第十九讲一阶微分方程、可降阶微分方程的练习题答案

第十九讲:一阶微分方程、可降阶微分方程的练习题答案

一 、单项选择题（每小题4分，共24分）

1．微分方程2()y x y dx x dy +=是 （B ）

A ．一阶线性方程

B ．一阶齐次方程

C ．可分离变量方程

D ．二阶微分方程

解:变形 2

22dy xy y

y y dx x x x +⎛⎫

==+ ⎪⎝⎭

∴原方程是一阶齐次方程,选B

2．下列微分方程中，是可分离变量的方程是

（C ） A ．'x y

y e x += B ．'sin y y x -=

C ．22'1y y x y x =+++

D ．'2x y xy y e +=

解:()()2

211dy y x x dx =+++

()()211x y =++∴221y y x y x '=+++

是可分离变量方程,选C

3．2

cos dy y

dx x =的通解是 （B ）

A ．1

sec tan y y c x ⋅=+

B ．1

tan y c x =-+ C ．1

ln cos y c x =-+

D ．1

1

cos c y x =+

解：221

cos dy dx y x =⎰⎰

1

tan y c x ∴=-+ 选B

4．2'2x y xy e -+=满足(0)0y =的特解是（A ）

A ．2x y xe -=

B ．2x y xe =

C ．2x y e -=

D ．2x y e =

解：2

22xdx xdx x y e e e dx c --⎡⎤

⎰⎰=+⎢⎥⎣⎦⎰

222x x x e e e dx c --⎡⎤=+⎣⎦

⎰ 22x x ce xe --=+

由 ()00y =得0c =,

故2x y xe -= 选A

5．2'3550x x y +-=满足01x y

==的特解

是 （ B ） A ．321152

y x x =

+ B ．3211152

y x x =++ C ．3115

y x =+ D ．2112x + 解：321552y x x c ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭

由()01y =,知1c =

故特解为2

31152

x y x =++ 选B 6．可降阶微分方程'''

xy y =的通解是 （D ） A ．2

y x c =+ B ．2

2

x y c =+ C ．12y c x c =+ D ．212y c x c =+ 解：(1)方程不显含y :令'y p =,

''dp y dx =,dp x p dx

=. 1dp dx p x =⎰⎰33,ln ln ,,p c x p c x ==

2

212122

x y c c c x c =⋅+=+ 选D 二、 填空题

7．2

'

2y y y x x =-的通解是

解：令y u x =.21du dx x

u u u =--⎰⎰ 1ln ,ln x cx cx u y ==，ln x y cx

= 8．ln ln y xdx x ydy =满足11x y ==的特解

是

解：(1)ln ln y x dy dx y x =⎰⎰

22ln ln y x c =+

(2)由 ()11,000y c c ==+→=

特解22ln ln y x =

9．'26y xy x =+满足(0)2y =-的特解是

解：(1)226xdx xdx y e xe dx c +-⎡⎤⎰⎰=+⎢⎥⎣⎦

()22

23x x e e d x c -⎡⎤=--+⎣⎦⎰ 23x ce =- (2)

()021y c =-∴= 特解 23x y e =-

10．求0x y e dy e dx +=的通解为

解： y x dy dx e e -=⎰⎰

()()y x e d y e d x ---=--⎰⎰

y x e e c --=-+,通解

11y x c e e

+= 11．'3xy y +=的通解y =

解： 13,y y x x '+= 113dx dx x x y e e c x -

⎡⎤⎰⎰=+⎢⎥⎣⎦⎰

13xdx c x x ⎡⎤=⋅+⎢⎥⎣⎦

⎰

()133c x c x x

=

+=+(可用可分离变量做) 12．'''x y e -=的通解y = 解：1''x y e c -=-+

12'x y e c x c -=++

()2

1232

x x y c c x c e -=⋅+++- 三、计算题

13． 求曲线()sin y x c =+所满足的微分方程.

解： 通过求导,设法消去任意常数c ,

()sin y x c =+'cos()y x c ∴=+

()()22sin cos 1x c x c +++=

()22'1y y ∴+=

这是所求的微分方程

14．求221dy x y xy dx

=-+-的通解. 解：(1)判别方程的类型:

()()211dy x y x dx

=-+- ()()211x y =-+

可分离变量方程

(2) ()()2

21111dy dy x dx x dx y y =-=-++⎰⎰ ()

21arctan 2x y c -=+-.即:

()21tan 2x y c ⎛⎫- ⎪=- ⎪⎝

⎭

15．求0xydx +=满足

()12y -=的特解.