三角函数y=Asin(ωx+φ)+b图像与性质 高一下学期数学 北师大版必修4

函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A >0，ω>0)的图像
知识点一、函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A >0，ω>0)的图像
【问题导思】
1．对于同一个x ，函数y ＝2sin x ，y ＝sin x 和y ＝1
2sin x 的函数值有何关系？
2．由y ＝sin x 的图像能得到y ＝sin(x ＋π
4)的图像吗？
3．三个函数的函数值相同时，它们x 的取值有什么关系？ 1．参数A 、φ、ω、b 的作用
(1)左右平移(相位变换)：对于函数y ＝sin(x ＋φ)(φ≠0)的图像，可以看作是把y ＝sin x 的
图像上所有的点向左(当φ＞0时)或向右(当φ＜0时)平行移动|φ|个单位长度得到的．
(2)上下平移：对于函数y ＝sin x ＋b 的图像，可以看作是把y ＝sin x 的图像上所有点向上(当b ＞0时)或向下
(当b ＜0时)平行移动|b |个单位长度得到的． 3．伸缩变换
(1)振幅变换：对于函数y ＝A sin x (A ＞0，A ≠1)的图像可以看作是把y ＝sin x 的图像上所有点的纵坐标伸长(当A ＞1时)或缩短(当0＜A ＜1时)到原来的A 倍(横坐标不变)而得到的．
(2)周期变换：对于函数y ＝sin ωx (ω＞0，ω≠1)的图像，可以看作是把y ＝sin x 的图像上所有点的横坐标缩短(当ω＞1时)或伸长(当0＜ω＜1时)到原来的1
ω倍(纵坐标不变)而得到
的．
补充：奇偶性：当φ＝k π(k ∈Z )时是奇函数；当φ＝k π＋π
2
(k ∈Z )时是偶函数
函数y ＝sin x 的图象变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象的步骤
类型一、用五点法画出图像 例题：作函数y ＝2sin(
2
1x －π
6)在长度为一个周期的闭区间上的简图．
变式：用“五点法”作出f (x )＝3sin(-2x+π
4
)的图像．
类型二、图像的平移变换（正推反推） 例题：说明y ＝－2sin(
2
1x －π
6)＋1的图像是由y ＝sin x 的图像怎样变换而来的．
变式：函数f (x )的横坐标伸长到原来的两倍，再向右平移π2个单位长度，所得曲线是y ＝1
2sin x
的图像，试求函数y ＝f (x )的解析式．
类型三、图像平移后为奇（偶）函数 例题：已知函数)6
2sin(π
+=x y 向左平移m )2
|(|π
<
m 个单位后图像关于y 轴对称，求m
的值
变式：已知函数)6
2sin(π
+=x y 向左平移m )2
|(|π
<
m 个单位后图像关于原点中心对称，
求m 的值
类型四、根据图像（文字）求出函数解析式
例题：若函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋b (其中A >0，ω>0，|φ|<π
2
)的图像如图所示．
图1－8－1
(1)求函数f (x )的解析式；
(2)求S ＝f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 012)的值．
变式：1、已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π
2)在一个周期内的部分函数图像如图
所示．求此函数的解析式．
2、如图是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的图像，求A ，ω，φ的值，并确定其函数解析式.
函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A >0，ω>0)的性质
类型一、求y ＝A sin(ωx ＋φ)的周期 例1求下列函数的周期： (1)y ＝3sin(2x ＋π
3)＋1；
(2)y ＝4sin(15x －π
4)－2；
(3)y ＝|sin x |.
跟踪训练1、函数y ＝3sin(3x ＋π
4)的最小正周期为________．
类型二、求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间
例2已知曲线y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)上的一个最高点的坐标为(π
2，2)，由
此点到相邻最低点间的曲线与x 轴交于点(
6
5
π，0)． (1)求函数的解析式； (2)求出函数y 的单调区间．
变式：求函数y ＝2sin(π
6－2x )的单调增区间．
类型三、求y ＝A sin(ωx ＋φ)的最值
例3 已知函数y ＝a －b cos(2x ＋π6)(b >0)的最大值为32，最小值为－1
2.
(1)求a ，b 的值；
(2)求函数g (x )＝－4a sin(bx －π
3)的最小值并求出对应x 的集合．
跟踪训练3 已知函数f (x )＝2sin(2x －π
4)，x ∈R .
(1)求函数f (x )的最小正周期；
(2)求函数f (x )在区间[π8，3π
4]上的最小值和最大值．
类型四 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)性质的应用
例2 已知曲线y ＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|≤π2上最高点为(1，3)，该最高点与相邻的最低点间的曲线与x 轴交于点(5，0). (1)求函数的解析式；
(2)求函数在x ∈[－6，0]上的值域.
跟踪训练2 设函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(－π＜φ＜0)，函数y ＝f (x )的图像的一条对称轴是直线x ＝π
8.
(1)求φ的值；
(2)求函数y ＝f (x )的单调区间及最值.
类型五 根据函数的性质求方程
例题：已知函数)6sin(3)(π
ω+
=x x f )0>ω（在
），（12
0π
上单调递增，则ω的最大值为 变式：已知函数),75[),21
cos(t x x y ∈+=ππ)7
5
(>t 既有最小值又有最大值，则实数t 的取值范围是。