机械振动基础作业(有答案-全版)

1.2 如果把双轴汽车的质量分别离散到前、后轴上去，在考虑悬架质量和非悬架质量两个离散质量的情况下，画出前轴或后轴垂直振动的振动模型简图，并指出在这种化简情况下，汽车振动有几个自由度？

解：前轴或后轴垂直振动的振动模型简图为图1.2所示，此时汽车振动简化为二自由度振动系统。

2m 为非悬架质量，1m 为悬架质量

1. 3设有两个刚度分别为21,k k 的线性弹簧如图T-1.3所示， 试证明：1）它们并联时的总刚度eq k 为：21k k k eq +=

2）它们串联时的总刚度eq k 为：

2

1111k k k eq +=

证明：1) 如图T-1.3(a)所示，21,k k 两个弹簧受到力的作用，变形相同， 即

2

211k F k F k F eq ==, 而F F F =+21，故有 F F k k

F k k eq eq =+21, 从而 21k k k eq +=

2）如图T-1.3(b)所示，21,k k 两个弹簧受到相同的力作用 即∆=∆=∆=eq k k k F 2211 （1）

且21∆+∆=∆ （2）

由（1）和（2）有：)(

2

1k F

k F k F eq += （3） 由（3）得:

2

11

11k k k eq += 1.8证明：两个同频率但不同相角的简谐运动的合成仍是同频率的简谐运动，即

)cos()cos(cos θωϕωω-=-+t C t B t A ，并讨论ϕ=0，ππ

,2

三种特例。

证明：因t B t B t B ωϕωϕ

ϕωsin sin cos cos )cos(+=-

从而有t B t B A t B t A ωϕωϕϕωωsin sin cos )cos ()cos(cos ++=-+

令 ()

ϕ

ϕϕ

θ2

22

sin cos sin sin B B A B ++=

则()[]t t B B A t B t A ωθωθϕϕϕωωsin sin cos cos sin cos )cos(cos 222+++=

-+

=

())cos(sin cos 222θωϕϕ-++t B B A

令C=

()ϕϕ222sin cos B B A ++，则有 )cos()cos(cos θωϕωω-=-+t C t B t A

当ϕ=0时，C=A+B ；当ϕ=

2π时，22B A C +=，22B

A arcsin +=

B θ ；当ϕ=π时，B A -=

C ，0=θ

1.13汽车悬架减振器机械式常规性能试验台，其结构形式之一如图T-1.13所示。其激振器为曲柄滑块机构，在导轨下面垂向连接被试减振器。试分析减振器试验力学的基本规律（位移，速度，加速度，阻尼力）。

解：

t

CA F t A x

t A x

t

A x d ωωωωωωcos sin cos sin 2

=-===ω

2.1弹簧下悬挂一物体，弹簧静伸长为δ，设将物体向下拉，使弹簧有静伸长3δ，然后无初速度地释放，求此后的运动方程。

解：设静平衡位置为原点，向下坐标为正方向，则系统的微分方程为0=+x k x

m

由题意知，0,200==x

x δ，且由mg k =δ，得δ

mg

k =，从而δ

ωg

n

=

设方程的解为)cos(ϕω+=

t A x n ，由初始条件有)cos(

2t g

x δ

δ=

2.2弹簧不受力时长度为65cm,下端挂上1kg 物体后，弹簧长85cm 。设用手拖住物体使弹簧回到原长后，无初速度地释放，试求物体的运动方程，振幅，周期及弹簧力的最大值。 解：由题意有，mg k =δ，得δ

mg

k =

，δ

ωg m k n

=

=

，因δ=0.2 (m) , g=9.8 (m/2

s )，故)/(7s rad n =ω 以平衡位置为原点，向下为正，可得运动微分方程和初始条件如下：⎪⎩⎪⎨

⎧=-=-==+0,

2.00002x

x x x n

δω

故运动方程为

t t x n 7sin 2.0)cos(2.0-=-=ω，振幅：0.2m, 周期：

πωπ

7

2

2=n 弹簧力的最大值：（)(6.19)8.91492.0N =⨯+⨯

2.3重物1m 悬挂在刚度为k 的弹簧上，并处于静平衡位置，另一重物2m 从高度为h 处自由落到1m 上无弹跳，如图T-2.3所示，求其后的运动。

解：根据题意，取M=1m +2m 所处的平衡位置为原点，向下为正，得系统运动的微分方程为：

⎪⎩

⎪

⎨

⎧+=-==+2120202,0m m gh m x k g m x kx x M ， 解得t x

t x x n n

n ωωωsin cos 00 +

= =)sin(2)cos(2

12212t m m k

k gh m t m m k k g m +++-

2.6求如图T-2.6所示系统的周期，三个弹簧都成铅垂，且122k k =，13k k =。

解：等效刚度=

132

135

)1

1(1k k k k =

++，由n ω=m

k m

k 351

=，故系统的周期为15322k m T n πωπ== 2.9求如图T-2.9所示系统微幅扭振的周期。图中两个摩擦轮可分别绕水平轴1O ，2O 转动，它们相互啮合，不能相对滑动，在图示位置（半径1O A 与2O B 在同一水平线上），弹簧不受力。摩擦轮可以看做等厚均质圆盘，质量分别为1m ,2m 。

解：坐标原点取为静平衡位置，故可不计重力势能，A 盘转动θ角，则B 盘转动θθB

A

B r r =

。 A 盘的惯性矩424A A A r I πρ=, B 盘的惯性矩4

24B

B B r I πρ= (A ρ,B ρ分别为A 盘和B 盘的单位面积的质量。)

因2

1A

A r m π

ρ= ，2

2B

B r m π

ρ=，故221A A r m I =， 2

2

2B

B r m I = 系统的势能为2

2212221)(2

1)(21)(21θθθA B B A r k k r k r k U

+=+=