一元三次方程求根

[编辑本段]解一元三次方程的卡尔丹公式法

卡尔丹公式法

特殊型一元三次方程X^3＋pX＋q=0 (p、q∈R)。

判别式Δ=(q/2)^2＋(p/3)^3。

卡尔丹公式

X1=(Y1)^(1/3)＋(Y2)^(1/3)；

X2= (Y1)^(1/3)ω＋(Y2)^(1/3)ω^2；

X3=(Y1)^(1/3)ω^2＋(Y2)^(1/3)ω，

其中ω=(－1＋i3^(1/2))/2；

Y(1,2)=－(q/2)±((q/2)^2＋(p/3)^3)^(1/2)。

标准型一元三次方程aX ^3＋bX ^2＋cX＋d=0，（a，b，c，d∈R，且a≠0）。

令X=Y—b/(3a)代入上式。

可化为适合卡尔丹公式直接求解的特殊型一元三次方程Y^3＋pY＋q=0。

卡尔丹判别法

当Δ=(q/2)^2＋(p/3)^3>0时，方程有一个实根和一对共轭虚根；

当Δ=(q/2)^2＋(p/3)^3=0时，方程有三个实根，其中有一个两重根；

当Δ=(q/2)^2＋(p/3)^3<0时，方程有三个不相等的实根。解一元三次方程的其他方法

[编辑本段]解一元三次方程的其他方法

除了上文中的卡尔丹公式解法，一元三次方程还有其它解法，列举如下：

1.因式分解法

因式分解法不是对所有的三次方程都适用，只对一些简单的三次方程适用．对于大多数的三次方程，只有先求出它的根，才能作因式分解。当然，对一些简单的三次方程能用因式分解求解的，当然用因式分解法求解很方便，直接把三次方程降次。

例如：解方程x^3-x=0

对左边作因式分解，得x(x+1)(x-1)=0，得方程的三个根：x1=0；x2=1；x3=—1。

2.另一种换元法

对于一般形式的三次方程，先将方程化为x^3+px+q=0的特殊型。

令x=z—p/3z，代入并化简，得：z^3-p/27z+q=0。再令z=w，代入，得：w^2+p/27w+q=0．这实际上是关于w的二次方程。解出w，再顺次解出z，x。

3.盛金公式法

三次方程应用广泛。用根号解一元三次方程，虽然有著名的卡尔丹公式，并有相应的判别法，但使用卡尔丹公式解题比较复杂，缺乏直观性。范盛金推导出一套直接用a、b、c、d表达的较简明形式的一元三次方程的一般式新求根公式，并建立了新判别法．盛金公式

Shengjin’s Formulas

一元三次方程aX^3＋bX^2＋cX＋d=0，（a，b，c，d∈R，且a≠0）。

重根判别式：A=b^2－3ac；B=bc－9ad；C=c^2－3bd，

总判别式：Δ=B^2－4AC。

当A=B=0时，盛金公式①：

X1=X2=X3=－b/(3a)=－c/b=－3d/c。

当Δ=B^2－4AC>0时，盛金公式②：

X1=(－b－(Y1)^(1/3)－(Y2)^(1/3))/(3a)；

X2，X3=(－2b＋(Y1)^(1/3)＋(Y2)^(1/3))/(6a)±i3^(1/2)((Y1)^(1/3)－(Y2)^(1/3))/(6a)，

其中Y1，Y2=Ab＋3a(－B±(B^2－4AC)^(1/2))/2，i^2=－1。

当Δ=B^2－4AC=0时，盛金公式③：

X1=－b/a＋K；X2=X3=－K/2，

其中K=B/A，(A≠0)。

当Δ=B^2－4AC<0时，盛金公式④：

X1=(－b－2A^(1/2)cos(θ/3))/(3a)；

X2，X3=(－b＋A^(1/2)(cos(θ/3)±3^(1/2)sin(θ/3)))/(3a)，

其中θ=arccosT，T= (2Ab－3aB)/(2A^(3/2))，(A＞0，－1＜T＜1)。

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盛金判别法

Shengjin's Distinguishing Means

①：当A=B=0时，方程有一个三重实根；

②：当Δ=B^2－4AC>0时，方程有一个实根和一对共轭虚根；

③：当Δ=B^2－4AC=0时，方程有三个实根，其中有一个两重根；

④：当Δ=B^2－4AC<0时，方程有三个不相等的实根。

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盛金定理

Shengjin's Theorems

当b=0，c=0时，盛金公式①无意义；当A=0时，盛金公式③无意义；当A≤0时，盛金公式④无意义；当T＜-1或T＞1时，盛金公式④无意义。

当b=0，c=0时，盛金公式①是否成立？盛金公式③与盛金公式④是否存在A≤0的值？盛金公式④是否存在T＜-1或T＞1的值？盛金定理给出如下回答：

盛金定理1：当A=B=0时，若b=0，则必定有c=d=0（此时，方程有一个三重实根0，盛金公式①仍成立）。

盛金定理2：当A=B=0时，若b≠0，则必定有c≠0（此时,适用盛金公式①解题）。

盛金定理3：当A=B=0时，则必定有C=0（此时,适用盛金公式①解题）。

盛金定理4：当A=0时，若B≠0，则必定有Δ＞0（此时，适用盛金公式②解题）。

盛金定理5：当A＜0时，则必定有Δ＞0（此时，适用盛金公式②解题）。

盛金定理6：当Δ=0时，若B=0，则必定有A=0（此时，适用盛金公式①解题）。

盛金定理7：当Δ=0时，若B≠0，盛金公式③一定不存在A≤0的值（此时，适用盛金公式③解题）。

盛金定理8：当Δ＜0时，盛金公式④一定不存在A≤0的值。（此时，适用盛金公式④解题）。

盛金定理9：当Δ＜0时，盛金公式④一定不存在T≤-1或T≥1的值，即T出现的值必定是-1＜T＜1。

显然，当A≤0时，都有相应的盛金公式解题。

注意：盛金定理逆之不一定成立。如：当Δ＞0时，不一定有A＜0。

盛金定理表明：盛金公式始终保持有意义。任意实系数的一元三次方程都可以运用盛金公式直观求解。

当Δ=0(d≠0)时，使用卡尔丹公式解题仍存在开立方。与卡尔丹公式相比较，盛金公式的表达形式较简明，使用盛金公式解题较直观、效率较高；盛金判别法判别方程的解较直观。重根判别式A=b^2－3ac；B=bc－9ad；C=c^2－3bd是最简明的式子，由A、B、C构成的总判别式Δ=B^2－4AC也是最简明的式子（是非常美妙的式子），其形状与一元二次方程的根的判别式相同；盛金公式②中的式子(－B±(B^2－4AC)^(1/2))/2具有一元二次方程求根公式的形式，这些表达形式体现了数学的有序、对称、和谐与简洁美。

一元三次方程求根公式[回目录]

一元三次方程的求根公式用通常的演绎思维是作不出来的，用类似解一元二次方程的求根公式的配方法只能将型如

ax^3+bx^2+cx+d+0的标准型一元三次方程形式化为x^3+px+q=0的特殊型。

卡尔丹公式的推导

第一步：

ax^3+bx^2+cx+d=0

为了方便，约去a得到