〖2021年整理〗《变化率问题》优秀教案

§变化率问题

一内容和内容解析

内容：平均变化率的概念及其求法。

内容解析：本节课是高中数学（选修2-2）第一章导数及其应用的第一节变化率与导数中的变化率问题。本节内容通过分析研究气球膨胀率问题、高台跳水问题，总结归纳出一般函数的平均变化率概念，在此基础上，要求学生掌握函数平均变化率解法的一般步骤。平均变化率是个核心概念，它在整个高中数学中占有及其重要的地位，是研究瞬时变化率及其导数概念的基础。在这个过程中，注意特殊到一般、数形结合等数学思想方法的渗透。

教学重点：函数平均变化率的概念。

二目标和目标解析

新课标对“导数及其应用”内容的处理有了较大的变化，它不介绍极限的形式化定义及相关知识，也有别于以往教材将导数仅仅作为一种特殊的极限、一种“规则”来学习的处理方式，而是按照：平均变化率—瞬时变化率—导数的概念—导数的几何意义这样的顺序来安排，用“逼近”的方法定义导数，这种概念建立的方式形象、直观、生动又容易理解，突出了导数概念的本质。平均变化率是本章的一个重要的基本概念，本节课是《导数及其应用》的起始课，对导数概念的形成起着奠基作用。

目标：理解平均变化率的概念及内涵，掌握求平均变化率的一般步骤。

目标解析：

1经历从生活中的变化率问题抽象概括出函数平均变化率概念的过程，体会从特殊到一般的数学思想，体现了数学知识通过函数平均变化率几何意义的教学，让学生体会数形结合的思想。

3通过例题的解析，让学生进一步理解函数平均变化率的概念。

三教学问题诊断分析

吹气球是很多人具有的生活经验，运动速度是学生非常熟悉的物理知识，这两个实例的共同点是背景简单。从简单的背景出发，既可以利用学生原有的知识经验，又可以减少因为背景的复杂而可能引起的对数学知识学习的干扰，这是有利的方面。但是如何从具体实例中抽象出共同的数学问题的本质是本节课教学的关键。

教学难点：如何从两个具体的实例中归纳总结出函数平均变化率的概念。

四教学支持条件分析

为了有效实现教学目标，准备计算机、投影仪、多媒体课件等。

1在信息技术环境下，可以使两个实例的背景更形象、更逼真，从而激发学生的学习兴趣，通过演示平均变化率的几何意义让学生更好地体会数形结合思想。

2通过应用举例的教学，不断地提供给学生比较、分析、归纳、综合的机会，体现了从特殊到一般的思维过程，既关注了学生的认知基础，又促使学生在原有认知基础上获取知识，提高思维能力，保持高水平的思维活动，符合学生的认知规律。

五教学过程设计

1问题情景

从生活述语和学生比较熟悉的姚明身高曲线引入课题。

设计意图：使学生了解生活中的变化率问题，为归纳函数平均变化率提供更多的实际背景。

师生活动：稍加点拨，继续引导学生举出生活中的变化率问题。

2数学建构

问题1：大家可能都有过吹气球的回忆。在吹气球的过程中,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢从数学角度,如何描述这种现象呢

设计意图：通过熟悉的生活体验，提炼出数学模型，从而为归纳函数平均变化率概念提供具体背景。

师生活动：由球的体积公式推导半径关于体积的函数解析式，然后通过计算，用数据来回答问题，解释上述现象。

思考：当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少

设计意图：把问题1中的具体数据运算提升到一般的字母表示，体现从特殊到一般的数学思想。为归纳函数平均变化率概念作铺垫。

师生活动：教师播放多媒体，学生可以直接回答问题，教师板书其正确答案，并利用几何画板进行演示分析结果的分析与归纳。

问题2：在高台跳水运动中, 运动员相对于水面的高度h单位:m与起跳后的时间t单位: 存在函数关系ht=－10，如果用运动员在某段时间内的平均速度描述其运动状态, 那么:（1）在0≤t≤这段时间里,运动员的平均速度为多少？（2）在1≤t≤2这段时间里, 运动员的平均速度为多少？

设计意图：高台跳水展示了生活中最常见的一种变化率——运动速度，而运动速度是学生非常熟悉的物理知识，这样可以减少因为背景的复杂而可能引起的对数学知识学习的干扰。通过计算为归纳函数平均变化率概念提供又一重要背景。

师生活动：教师播放多郭晶晶、吴敏霞在2021年北京奥运会上跳水比赛录像，让学生在情景中感受速度变化，学生通过计算回答问题。对第（2）小题的答案说明其物理意义。

探究：计算运动员在0≤t ≤6549

这段时间里的平均速度,并思考下面的问题: 1 运动员在这段时间里是静止的吗

2 你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗

设计意图：通过计算得出平均速度只能粗略地描述运动状态，从而为瞬时速度的提出埋下伏笔即为导数的概念作了铺垫，利用图像解释的过程体现了数形结合的数学思想方法。

师生活动：教师播放多媒体，学生通过计算回答问题。对答案加以说明其物理意义（突出数形结合思想——对教材的一个处理）。

思考：当运动员起跳后的时间从t 1增加到t 2时,运动员的平均速度是多少

设计意图：把问题2中的具体数据运算提升到一般的字母表示，体现从特殊到一般的数学思想（体现化归的数学思想）。并为归纳函数平均变化率概念作铺垫。

师生活动：教师播放多媒体，学生可以直接回答问题，教师板书其正确答案。通过引导，使学生逐步归纳出问题1、2的共性。

定义：一般地,函数=f 中，式子2121

()()f x f x x x --称为函数f 从1到2的平均变化率。其中令21x x x ∆=-，21()()y f x f x ∆=-，则:

2121()()f x f x y x x x

-∆=-∆。 设计意图：归纳概念的过程，体现了从特殊到一般的数学思想。

思考：（1）x ∆,y ∆的符号是怎样的？（2）平均变化率有哪些变式？

设计意图：加深对概念内涵的理解。

师生活动：教师播放多媒体，师生共同讨论得出结果。

思考：观察函数f 的图象平均变化率2121()()f x f x y x x x

-∆=-∆表示什么（图略）