不定积分培优讲义

不定积分培优讲义

不定积分

内容要点

1.(影子法liate)

2.基本的2个？一、基本概念与性质

1.本原函数和不定积分的概念

2．不定积分的性质

设置F十、dx？F十、c、 f在哪里？十、为了f？十、C是一个任意常数。然后（1）

fxdxfxc

或df？十、F十、C

（2）??f?x?dx??f?x?或d??f?x?dx??f?x?dx

（3）（4）? 肯德基？十、dx？KF十、dx？F十、G十、dx？？F十、dx？？G十、dx？？3.原函数的存在性1）设f？十、在区间I上连续，然后是f？十、原函数必须存在于区间I上。2）初等函数的原函数不一定是初等函数

sinx2dx，?cos?xxa?12?dx，?sinxxdx，?cosxxdx，?dxlnx，?e?xdx

二.基本积分公式1？xdx？1aa？1.C（a±1，实常数）

2．?dx?lnx?c

x3。？adx？x1lnaxa？c（a？0，a？1）

x?exdx?e?c

4．? cosxdx？辛克斯？c5。？sinxdx？？Coxx？C

6．?secxdx?7．?cscxdx?22?cos?sin12xxdx?tanx?c

12dx？？科茨？C

8．?tanxsecxdx?secx?c9．?cotxcscxdx??cscx?c10.?tanxdx??lncosx?c11.?cotxdx?lnsi nx?c12.?secxdx?lnsecx?tanx?c13.?cscxdx?lncscx?cotx?c14.?15.?16.?dxa?x22?arcsin xa?c（a?0）

dxa？xdxa？xdxx？a22222？1arctanxa？c（a？0）

2alnaxax2c(a0)17.2lnxxa2c(a0)

三、代换积分法和部分积分法

1．第一换元积分法(凑微分法影子法)设?f?u?du?f?u??c，又??x?可导，则

F十、十、dx？？F十、D十、你知道吗十、FU杜

f(u)cfxc

常用的微分公式应该是“背对背”，也就是说，计算微分非常熟练。几种常用的微分形式：（1）？F斧头？Bdx？(2)? F斧头？Bxnn？11a？F斧头？BD斧头？B（a？0）？Faxna1ndx？？BD斧头？B（a？0，n？0）

n(3)?f?lnx?dxx??f?lnx?d?lnx?

(4)? F1.dx？1.F2.十、十、十、1.D十、(5)? Fxxdxxx？2.f1？十、D十、

xx(6)?f?a?adx??f?a?d?a?(a?0，a?1)lna?f?ex?f?e?edx?xx?d?e?

x（7）？F辛克斯？cosxdx？？F辛克斯？D辛克斯？

(8)?f?cosx?sinxdxf?cosx?d?cosx?(9)?f?tanx?secxdx?22?f?tanx?d?tanx?

(10)? F科茨？cscxdx F科茨？D科茨？(11)? F塞克斯？secxtanxdx？？F塞克斯？D塞克斯？

(12)?f?cscx?cscxcotxdxf?cscx?d?cscx?(13)?f?arcsinx?1?x2dx??f?arcsinx?d?arcs inx?

(14)? Farccosx？1.x2dx Farccosx？Darccosx？

(15)?f?arctanx?1?x2dx??f?arctanx?d?arctanx?

(16)? F阿科特斯？1.x2dx F阿科特斯？D阿科特斯？

(17)?1??f?arctan?1??1?xdx??farctandarctan?2?1?xx??x??(18)?f?lnx2?x?a2 22dx?x?af?lnx???2??f?lnx???f?lnx????x?a22????d?ln?x?????d?ln?x?x?a22?? (a?0)??(a?0)

(19)?? 十、a222dx？十、A.十、a22x？a22

(20)?f??x?f?x?dx?lnf?x??c?f?x??0?

2.第二变换积分法

fxdx令xt1??f??t?tdt?gt?c?gx?c，

t在哪里1.十、是x吗T函数的反函数。

第二换元积分法绝大多数用于根式的被积函数，通过换元把根式去掉，其常见的变量

替

它可以分为两类：

第一类：被积函数是x与nax?b或x与n如

EB等等，只做根Xax？bcx？D或由E组成的代数表达式的根，例如

xg?x??t，解出xt?已经不再有根式，那么就作这种变

数量替换x T那就行了

第二类：被积函数含有ax?bx?c?a?0?，如果仍令2ax?bx?c?t，解出

2x T如果它仍然是根符号，那么就不能进行这种变量替换。它需要特殊的处理

来替换a？当为0时，它将更改为22a？？十、十、LA.当它为0时，会先更改为“0”吗？

0 22? A.L十、x0？？然后做以下三个三角形替换？？什么之中的一个：

根式的形式所作替换三角形示意图（求反函数用）

a?x22x?asinta?x22x?atantx?a22x?asect值得注意：如果既能用上述第二换元积分法，又可以用第一换元积分法，那么一般用第一换元积分法比较简单。

[示例1]

令x?a＝u22?xx?adx?133221?213x?ad?x?a2222?

1.2udu？u2乐队？C十、a22？3.C

【例2】

22? 十、ax22dx？12? 十、ax22d？十、a222？22灵x？a＝t122？tt2？adt22？？

tt2？adt？？2.A.1.22吨？A.dt？2.Ta2lna？助教？TC十、A.2a2lna？A.A.xa？x2222？

C

去根号倒代换高次代换三角代换、部分影子代换

3.部分积分法。放你鸽子？十、十、五、有连续导数吗

uxdvxuxvxvxdux

或