北师大版高中数学必修5《一章 数列 3 等比数列 3.1等比数列》赛课导学案_13
北师大版高中必修53.1等比数列课程设计
北师大版高中必修5 3.1等比数列课程设计一、课程目标本次课程主要目标是了解等比数列的概念、性质和运算法则，掌握等比数列的求和公式，能够通过例题和思考练习解决实际问题，在应用方面具备初步的能力。
二、课程内容1. 等比数列的概念和性质•定义等比数列•等比数列的公比•等比数列的前n项和公式•等比数列的性质2. 等比数列的运算法则•等比数列的加法•等比数列的乘法3. 等比数列的应用•解决实际问题三、课程设计1. Warm-up等比数列在实际生活中的应用及其重要性，学生自己分享。
2. 自主学习自习课本第53页-54页内容，学生可以结合红楼梦一书里面的一些数例得出一些实际的问题，举例。
3. 互动探究教师与学生互动探究等比数列的性质和规律，提醒注意等比数列中如果公比大于1，则数列会呈现出一个增长趋势。
反之，如果公比小于1，则数列会呈现出一个不规则的减少趋势。
4. 实战演练教师在本章习题中选取若干题目进行讲解和解答，帮助学生学习更深入。
5. 思考提问教师询问学生：你们在学习过程中遇到过哪些等比数列的应用问题？如何解决的？四、教材选用北师大版高中数学必修5 同步课堂，第53页至54页。
五、教学评价1. 诊断测验为了检测学生学会的知识点是否全面、深刻，需要通过给学生一些测试题来确定是否理解了课程的重点和难点。
2. 作业批改该部分包括课堂上的练习题和家庭作业。
教师对学生作业进行及时评价和反馈，鼓励学生进一步努力。
3. 学生自评每个学生有机会自己对所学的知识进行评价，以确保他们对所学的知识点有一个全面、清晰的理解。
同时，他们还可以提出进一步的困惑和疑问。
六、教学评估方式评估方式主要以测验和作业批改为主，同时也包括学生在自评中的表现情况。
北师大版高中数学必修5《一章 数列 3 等比数列 3.1等比数列》公开课课件_4
第一章 数 列
§3.1等比数列
温故知新：
1、等差数列定义：an－an－１=d(d为常数) （n≥2)
2、等差数列的通项公式：
an=a1+(n-1)d
3、等差数列的通项公式如何推导出来的？
①归纳法
②累加法
讲授新课
1、《算法统宗》中有这样一题: “一文(钱)日增一倍，倍至三十日，问日计钱几何？
{an}是递增等比数列
证明：
an 3n
an1 an
an
3n1 3n
0,
3 {an}是等比数列
an1 1 an
an1 an {an}是递增数列
∴ {an}是递增等比数列
三、等比中项
等差中项
等比中项
如果三个数x,A,y组成等 差数列，那么A叫做x和y 的等差中项。
a1q2
a…4 a3q a1q3
, an a1 (n 1)d
an a1qn1
北师大版必修五《等比数列》（第一课时）
设等差数列{ a n },公差为d 设等比数列{ a n},公比为 q
a2 a1 d
a3 a2 d a4 a3 d
(n 1)个相加
(n N 且n 2)
如果一个数列从第_二___项
起，每一项与它的前一 项的_比__都等于_同__一个常
数，那么这个数列就叫 做__________ 常数叫做 等 比 数列的_公__比__
公比通常用字母q表示
an q an1
(q 0)
(n N 且n 2)
想一想 判断下列数列是否为等比数列。若是，则公比是 多少，若不是，请说明理由。
北师大版高中数学必修5《一章 数列 3 等比数列 3.1等比数列》赛课导学案_17
北师大版高中数学必修5《等比数列及其通项公式》（第一课时）3.1 等比数列及其通项公式教材：北师大版《普通高中课程标准实验教科书·数学》必修5课题：3.1 等比数列及其通项公式一、教学目标知识目标：正确理解等比数列的定义，通项公式及应用能力目标：通过类比学习，培养学生的类比思想，提升学生数学思维；德育目标：通过等差数列相关知识，类比学习等比数列，体会事物之间的相似之处与不同之处；情感目标：创设问题情境，培养学生的探索精神和合作意识。
二、教学重点、难点1.教学重点：等比数列的定义，通项公式及应用2.教学难点：类比等差数列的定义，通项公式学习等比数列三、教学过程设计复习等差数列的概念等差数列定义：如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的差是同一个常数.我们称这样的数列为等差数列，这个常数为等差数列的公差，通常用字母d表示.)(1*+∈=-Nndaann或)2(1≥∈=-*-nNndaann且师生活动：针对等差数列定义，在教师的引导下，提出“是否还存在其他形式的数列”问题，激发学生思维，为导入等比数列的概念做准备设计意图：以旧知带动学生的思维，引发学生的探索热情1.导入等比数列定义先请学生看一段关于拉面制作的视频，视频结束后，从视频中引出一个问题请学生思考，通过这个问题与学生一起探讨是否还存在其它形式的数列.问题：从视频中我们发现，拉面师傅将一根面条操作一次后变成了两根，操作两次后变成了四根，操作三次后变成了八根，请同学们想一想，拉面师傅操作十次后，面条变成了几根？等比数列定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫作等比数列，这个常数叫作等比数列的公比，公比通常用字母q 表示（q ≠0）)(1*+∈=N n q a a n n 或)2(1≥∈=*-n N n q a an n 且师生活动：在教师的引导下，帮助学生建立等比数列的概念设计意图：通过视频提出问题，与学生互动，激发学生对新知探索的兴趣，引导学生建立等比数列的概念.整个环节意在让学生经历数学知识的产生过程，体会成功的喜悦。
高中数学第1章数列1311等比数列第一课时课件北师大版必修5
B．2
C．－2
D．4
答案 B
第41页
4. 2－1 与 2＋1 的等比中项是________． 答案 ±1
第42页
5．在等比数列{an}中，已知 a1a3a11＝8，那么 a2a8＝________． 答案 4
第43页
6．已知{an}为等比数列，a3＝2，a2＋a4＝230，求{an}的通项 公式．
第34页
探究 3 (1)在 a，b 同号时，a，b 的等比中项有两个；异号 时，没有等比中项．
(2)在一个等比数列中，从第 2 项起，每一项都是它的前一项 与后一项的等比中项．
第35页
●思考题 4 (1)① 3＋1 和 3－1 的等比中项为________． ②1＋ 3和 1－ 3的等比中项为________． (2)已知{an}中 an＝2n，则 a2 和 a4 的等比中项为________． (3)由 x＝ ab是否能得到 a，x，b 成等比数列？由 a，x，b 成等比数列能否得到 x＝ ab？
(2)数列{an}中，a1＝2，aan＋n 1＝21(n∈N*)，则 a20＝________． (3)等比数列{an}中，a6＝6，a9＝9，则 a3＝________．
第20页
【答案】 (1)4 (2)220 (3)4
第21页
例 3 已知等比数列{an}，若 a1＋a2＋a3＝7，a1a2a3＝8，求 an.
【答案】 A
第32页
(2)已知 b 是 a，c 的等比中项，求证：ab＋bc 是 a2＋b2 与 b2 ＋c2 的等比中项．
第33页
【解析】 b 是 a，c 的等比中项，则 b2＝ac，且 a，b，c 均 不为零，
又(a2＋b2)(b2＋c2)＝a2b2＋a2c2＋b4＋b2c2＝a2b2＋2a2c2＋b2c2， (ab＋bc)2＝a2b2＋2ab2c＋b2c2＝a2b2＋2a2c2＋b2c2，所以(ab＋ bc)2＝(a2＋b2)·(b2＋c2)，即 ab＋bc 是 a2＋b2 与 b2＋c2 的等比中项．
北师大版高中数学必修5《一章 数列 3 等比数列》赛课导学案_4
《等比数列》教学设计一、教材分析等比数列是一种特殊的数列，它有着非常广泛的实际应用：如存款利息、购房贷款、资产折旧等一些计算问题．教材将等比数列安排在等差数列之后，有承前启后的作用．一方面与等差数列有密切联系，另一方面为进一步学习数列求和等有关内容做好准备．二、学情分析1.学生的专业知识有了一定的基础，对涉及专业的题目表现出浓厚的兴趣；2.学生的学习习惯较好，但数学基础和归纳概括能力较弱；3.学生的自主探究、合作交流有了一定的基础且有较强的表现欲。
三、教学目标：1．知识目标：理解等比数列的概念，推导并掌握通项公式．2．能力目标：（1）通过公式的探索，发现，在知识发生、发展以及形成过程中培养学生观察、联想、归纳、分析、综合和逻辑推理的能力．（2）通过通项公式的探求过程，培养学生用不完全归纳法去发现并解决问题的能力．3．情感目标培养学生勇于探索、善于猜想的学习态度，调动学生主动参与课堂教学的积极性，增强学生学好数学的心理体验，产生热爱数学的情感．四、教学重点等比数列的定义、通项公式的推导；教学难点通项公式的初步应用．五、教学方法：发现式教学法，类比分析法．六、教学过程：一、新课引入国王奖赏国际象棋发明者的事例，发明者要求：在第1个方格放1颗麦粒，在第2个方格上放2颗麦粒，在第3个方格上放4颗麦粒，在第4个方格上放8颗麦粒，依此类推，直到第64个方格子．国王能否满足他的要求呢?问题1：上述例子可以转化为什么样的数学问题？问题2：上述例子有何共同特点？二、新课讲解1、上述例子可以与数列联系起来．（有了等差数列的学习作基础）2、得到以下3个数列：① 1，2， 22，…，263② 1，12，14， (12)⎛⎫ ⎪⎝⎭，… ③ 36，36×0.9，36×092，…，36×09n ，…通过讨论，得到这些情境的共同特点是从第二项起，每一项与它前面一项的比都相等（等于同一个常数）．3、归纳总结，形成等比数列的概念．一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫等比数列，这个常数叫做等比数列的公比．（引导学生经过类比等差数列的定义得出）对等比数列概念深化理解问题1：上述三例的公比分别为多少？问题2：你能举一个公比小于0的等比数列吗？问题3：等比数列与等差数列在定义上有许多密切关系，那么有没有这样的数列，它既是等差数列又是等比数列呢？问题4：形如a ，a ，a ，…（R a ∈）的数列既是等差数列，又是等比数列对吗？（对问题4，学生作短暂的讨论）（1）形如a ，a ，a ，…的数列一定是等差数列，但未必是等比数列．当a =0时，数列的每一项均为0，不能作比，因此不是等比数列；当a ≠0时，此数列 为等比数列．（2）等比数列的各项均不为0，且公比也不为0．4、问题：刚才我们得到了等比数列的概念，是用文字语言来表达的，但是在使用时往往需要符号化，下面试将等比数列定义的内容用数学表达式写出．（提示可类比等差数列，由学生活动得出）（1）对于数列{}n a ，若1n n a q a +=（*∈N n ，q 为常数 ），则称这个数列为等比数列，常数q 叫做等比数列的公比．（2）{}n a 是等比数列⇔1n na q a +=（*∈N n ，q 为常数 ），此式可来证明一个数列是否为等比数列．5、通项公式的推导学生1：∵21a a q =，()23211a a q a q q a q ===，()234311a a q a q q a q ===，……∴11n n a a q -=．学生2：∵ 1n n a q a +=，∴1n n a q a -=，12n n a q a --=，…，32a q a =，21a q a =． 将各式相乘便有11n n a q a -=，∴11n n a a q -=（*∈N n ，2≥n ）， 当1n =时，11n n a a q -=两边均为1a 即等式也成立，说明上式当*n N ∈时都成立．6、师生共同小结：（1）当1q =时， 1a a n =，点(),n n a 在直线y=1a 上．当1q ≠时， 函数图象类似于指数函数图象，但它的图象是由一些孤立的点组成．（2）从方程的观点去考虑，方程中有四个量，在n a ，1a ，q 和n 中只要知 道其中三个便可求第四个，请学生举例编题（应能编出四类问题）． 例1 判断下列数列是否是等比数列?（电脑显示） ①11111,,,,24816--； ②1，2，4，8，16，20；③1，1，1，1，1；④－1，－2，－4，－8，－16；例2 在等比数列{}n a 中，已知3a =20，1206=a ，求n a ．三、小结1、本节课研究了等比数列的概念，得到了其通项公式；2、在研究内容与方法上要与等差数列相类比，把握它们的区别和联系；3、用函数与方程的思想认识通项公式，并加以应用；四、作业教科书第48页练习第1题、第3题，第52页习题2．3第1题、第2题（1）、第3题．。
高中数学北师大版必修5第一章《3.1等比数列》省级名师优质课教案比赛获奖教案示范课教案公开课教案
高中数学北师大版必修5第一章《3.1等比数列》省级名师优质课教案比赛获奖教案示范课教案公开课教案
【省级名师教案】
1教学目标
1. 熟练掌握等比数列的定义、通项公式等基本知识,并熟练加以运用.
2. 进一步培养学生的类比、推理、抽象、概括、归纳、猜想能力.
3. 感受等比数列丰富的现实背景,进一步培养学生对数学学习的积极情感.
2学情分析
这节内容由于是在等差数列的基础上,运用同样的方法和步骤,研究类似的问题,学生接受起来较为容易,所以应多放手让学生思考,并注意运用类比思想,这样不仅有利于学生分清等差和等比数列的区别,而且可以锻炼学生从多角度、多层次分析和解决问题的能力.另外,与等差数列相比等比数列须要注意的细节较多,如没有零项、q≠0等,在教学中应注意加以比较. 3重点难点
重点:1.等比数列的概念;2.等比数列的通项公式;3.等比数列的单调性。
难点:等比数列通项公式和单调性。
4教学过程
4.1第一学时
教学活动
1【导入】等比数列的概念和通项公式
在前面我们学习了等差数列,在现实生活中,我们还会遇到下面的特殊数列:
在现实生活中,经常会遇到下面一类特殊数列.下图是某种细胞分裂的模型.
细胞分裂个数可以组成下面的数列:
1,2,4,8,…
问题:回忆等差数列的研究方法,我们对这个数列应作如何研究?
2【讲授】建立模型。
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等比数列（课时1）
教学目标
1、理解等比数列的概念，会根据定义来判断一个数列是否为等比数列；
2、等比数列通项公式的推导及简单应用。
3、通过等比数列的学习，培养学生类比、归纳等思维能力。
教学重点、难点
重点：等比数列的概念，通项公式的推导及简单应用；
难点：根据定义判断或证明某些数列为等比数列，通项公式的推导。
教学过程
1. 复习引入
等差数列的概念:
定义：*1,()n n a a d n N +-=∈
通项公式：()*1(1),n a a n d n N =+-∈
事实上，等差数列只是数列的其中一种特殊形式，现在一起来看看这样几个问题：
问题1：细胞分裂问题
4322,22,2,1，，
问题2：给你一张足够大的纸，假设其厚度为0.1毫米，那么当你把这张纸对折了27次的时候，所达到的厚度有多少？（据说把一张纸折叠27次，其厚度能够超过珠穆朗玛峰的高度8848.13m ！）
5
8545251101，，，， 问题3：庄子曰：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”
如果将“一尺之棰”视为一份，则每日剩下的部分依次为：
16
18141211，，，， 思考：这几组数列中，数列的各项之间有什么关系？（类比等差数列的探究方法）
2. 新知初探
以上几组数列的共同点：从第2项起，每一项与前一项的比都等于同一常数.
思考：与等差数列的概念相类比，可以给出这种数列的概念吗？
定义：一般地，如果一个数列从地2项起，每一项与前一项的比值都等于同一个常数，则称此数列为等比数列。
这个常数就叫做公比，用q 表示（q ≠0）。
数学表达式：*1,()n n
a q n N a +=∈ 问：从等比数列的定义及其数学表达式中，可以看出什么？也就是，这个公式在什么条件下成立？
注意 等比数列各项均不为零，公比0q ≠。
例1 判断下列数列是否为等比数列：
（1） 4322,22,2,1，，
； （2）
5
8545251101，，，，； （3） 16
18141211，，，，. (4)1, 0, 1, 0 ……
注 数列成等比数列的条件：11;20;30n n n
a q a q a +=≠≠.
练习1、判断下列数列是否为等比数列：
（1）1、2、1、2、1； （2）-2、-2、-2、-2；
（3）11111392781--、、、、； （4）2、1、12、14
、0. 探究通项公式
思考：如果等比数列{}n a 的首项是1a ,公比是、q, 那么这个等比数列的第 n 项 n a 如何表示?
根据定义我们发现
212321234321,
,
,a a q a a q a q a a q a q a q ======
以此类推，可以得到n a 用1a 和q 表示的数学表达式吗？
归纳猜测得到：11n n a a q -=
证明：设{}n a 是等比数列，当2n ≥时，有
3241231
,,,...,n n a a a a q q q q a a a a -====，用累积法把这n-1个式子相乘， .,,,,,5432n a a a a a ）（
得 11
n n a q a -=，所以11n n a a q -= 当1n =时，11a a =成立，所以称11n n a a q -=为等比数列{}n a 的通项公式。
通项公式：11n n a a q -= (*n N ∈)
3. 巩固应用
例1 在等比数列{}n a 中，已知.160,2063==a a 求通项公式n a .
变式1 等比数列{}n a 中，.,3,2.61n a a q a 与求-==
变式2 等比数列{}n a 中，.,32,291q a a 求==
变式3 等比数列{}n a 中，的值。
求q a a a a ,4
5,106431=+=+
变式4 等比数列{}n a 中，.,21
,18,367463n a a a a a n 求==+=+ 4、课堂小结
本节课的主要内容是等比数列的定义及其通项公式，会根据定义判断数列是否为等比数列，会根据通项公式求其中任意一项，并且会根据数列的特性求一些简单数列的通项公式。
5、布置作业
《课时练习册》 层次（一） A 组
6、板书设计
6、教学反思
在本堂课的教学中，教学重点是理解并掌握等比数列的概念及通项公式。
在教学过程中，采用类比的思想方法来学习，通过回忆等差数列的相关知识，采用启发式、自主探究式的教学方法，注重培养学生逻辑推理能力、类比归纳等思维能力。
在本节课需要注意以下几点：1. 情感饱满，语言简练，注意抑扬顿挫，凸显出高潮（重点）；2. 板书规范，注意整体布局及美感；
3. 充分了解学情，在此基础上注重培养学生的知识迁移、类比能力。