高一数学均值定理的应用试题答案及解析
均值定理专题归纳与训练
均值不等式的应用一．均值不等式1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222ba ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”） (3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”） ; 若0x≠，则11122-2x x x xxx+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若0>ab ，则2≥+ab b a (当且仅当b a =时取“=”）若0ab ≠，则22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 5.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．应用一：求最值 例1：求下列函数的值域 (1)y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x 技巧一：凑项 例2：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值.技巧二：凑系数 例3. 当时，求(82)y x x =-的最大值.变式：设230<<x ，求函数)23(4x x y -=的最大值.技巧三： 分离 例4. 求2710(1)1x x y x x ++=>-+的值域. 技巧四：换元 求2710(1)1x x y x x ++=>-+的值域. 技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数()af x x x=+的单调性。
高中数学《均值不等式及其应用》针对练习及答案
第一章 集合与常用逻辑用语、不等式1.4.2 均值不等式及其应用（针对练习）针对练习针对练习一 均值不等式的内容及辨析1．,a b R ∈，下列不等式始终成立的是 A ．()2221a b a b +>-- B ．22a b a b+≥C ． 2a b+≥D ．22a b ab +⎛⎫≥ ⎪⎝⎭2．若0a b >>，则下列不等式成立的是（ ）A ．2a ba b +>>>B ．2a ba b +>>C ．2a ba b +>>> D ．2a ba b +>>>3．下列不等式中正确的是（ ） A ．224a b ab +≥ B ．44a a+≥C ．221242a a ++≥+ D ．2244a a+≥4．下图称为弦图，是我国古代三国时期赵爽为《周髀算经》作注时为证明勾股定理所绘制，我们新教材中利用该图作为“（ ）”的几何解释．A ．如果a b >，b c >，那么a c >B ．如果0a b >>，那么22a b >C ．对任意实数a 和b ，有222a b ab +≥，当且仅当 a b =时等号成立D ．如果a b >，0c >那么ac bc >5．若,a b R +∈，则下列关系正确的是（ ）A．2112a b a b+≤≤+B．2112a ba b+≤≤+C2112a ba b+≤≤≤+D2112a b a b+≤≤+针对练习二 均值不等式的简单应用6．设正实数,x y 满足21x y +=，则xy 的最大值为（ ） A ．12 B ．14C ．18D ．1167．已知0m >，0n >，且0m n +-=，则mn 的最大值是（ ） A ．1 BC ．3D ．58．正实数a ，b 满足25a b +=，当b =（ ）时，ab 取得最大值. A ．254B ．258C ．52D ．549．已知21a b -=，则139ba⎛⎫+ ⎪⎝⎭的最小值为（ ）A ．4 BC．D10．已知两个正数,,m n 满足3mn =，则3m n +的最小值为（ ） A ．3 B ．6CD针对练习三 均值不等式相关拓展公式的应用11．已知0a >，0b >，1a b +=，则以下不等式正确的是（ ） A ．114ab+≤、 B≥ C ．221a b +≥ D ．2214ab a b +≥12．已知0x >，0y >，且2x y +=，则下列结论中正确的是（ ） A ．22xy+有最小值4B ．xy 有最小值1C ．22x y +有最大值4D 413．已知0a >，0b >，且1a b +=．下述四个结论 ①14ab >；①ln ln 0a b +<；①1916a b +≥；①2212a b +≥. 其中所有正确结论的编号是（ ） A ．①①① B ．①①① C ．①①① D ．①①①14．已知0a >，0b >，且2a b +=，则下列式子不恒成立的是（ ） A ．222a b +≥ B ．124a b ->C ．22log log 0a b +≥D 215．已知0a ≥，0b ≥，且4a b +=，则（ ） A ．3ab ≤ B ．5ab ≥C ．228a b +≥D ．2212a b +≤针对练习四 均值不等式“1”的妙用16．已知0a >，0b >，431a b +=，则13b a+的最小值为（ ） A ．13 B ．19 C ．21 D ．2717．若正数,x y 满足315xy+=，则34x y +的最小值是（ ） A ．245B ．285C ．5D ．618．已知实数，,0,191a b a b >+=，则119a b+的最小值为（ ） A ．100 B ．300 C ．800 D ．40019．已知0a >，0b >，32a b ab +=，则a b +的最小值为（ ）A ．2B ．3C ．2D ．2+20．设0a >，1b >，若2a b +=，则411ab +-的最小值为（ ）针对练习五 对勾函数与均值定理的关系与区别21．下列各函数中，最小值为4的是（ ） A ．4y x x=+ B ．4sin (0)sin y x x xπ=+<< C ．34log log 3x y x =+ D ．4x x y e e -=+22．若0x >，则下列说法正确的是（ ）A的最小值为2 B ．11x x ++的最小值为1 C ．122x x+的最小值为2 D ．1lg lg x x+的最小值为223．已知0a ≠,下列各不等式恒成立的是 A ．12a a+> B ．12a a+≥C ．12a a+≤-D ．12a a+≥24．函数()933y x x x =+>-的最小值是（ ） A ．2 B ．4 C ．6 D ．925．已知函数4y x x=+，()0,4x ∈，则该函数（ ） A ．有最大值5，无最小值 B ．无最大值，有最小值4 C ．有最大值5和最小值4 D ．无最大值和最小值针对练习六 分式最值问题26．函数21()1x x f x x ++=-（1x >）的最小值为（ ）A．B ．3+C ．2+ D ．527．若函数()()22422x x f x x x -+=>-在x a =处取最小值，则=a （ ）28．若72x ，则2610()3x x f x x -+=-有（ ）A ．最大值52B ．最小值52C ．最大值2D ．最小值229．若a ，b ，c 均为正实数，则2222ab bca b c +++的最大值为（ ）A ．12 B ．14C D30．设正实数x ，y ，z 满足22340x xy y z -+-=，则当xyz取得最大值时，212x y z +-的最大值为（ ） A ．0 B ．3C ．94D ．1针对练习七 均值不等式的综合应用31．已知1F ，2F 是椭圆22:12516x y C +=的两个焦点，点M 在C 上，则12MF MF ⋅的最大值为（ ）． A ．13 B ．12 C ．25 D ．1632．如图，已知点G 是①ABC 的重心，过点G 作直线分别与AB ､AC 两边交于M ､N两点（M ､N 与B ､C 不重合），设AB xAM =，AC y AN =，则1111x y +++的最小值为（ ）A ．12 B ．23C ．34D ．4533．已知0a >，0b >，在()32111133ax bx x ⎛⎫--- ⎪⎝⎭的展开式中，若3x 项的系数为2，则11a b+的最小值为（ ） A ．12 B ．2 C ．34D ．4334．已知tan tan 1αβ=，则cos cos αβ的最大值为（ ） A ．12 B ．14CD35．已知等比数列{}n a 的公比为q ，且51a =，则下列选项不正确的是（ ） A ．372a a +≥ B ．462a a +≥C ．76210a a -+≥D ．191911a a a a +=+第一章 集合与常用逻辑用语、不等式1.4.2 均值不等式及其应用（针对练习）针对练习针对练习一 均值不等式的内容及辨析1．,a b R ∈，下列不等式始终成立的是 A ．()2221a b a b +>-- B ．22a b a b+≥C． 2a b+≥D ．22a b ab +⎛⎫≥ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】 【分析】均值不等式使用首要条件都为正数．排除BD ，A 选项可取等号． 【详解】A 选项，()()()222221110a b a b a b +---=-++≥，故A 不正确；B 、C 选项的不等式，只有0,0a b >>时才成立，所以不正确；D 选项, 作差法()22022a b a b ab -+⎛⎫-=≥ ⎪⎝⎭，所以正确选项为D ． 【点睛】均值不等式的使用“一正二定三相等”，缺一不可． 2．若0a b >>，则下列不等式成立的是（ ）A ．2a ba b +>>>B ．2a ba b +>>C ．2a ba b +>>> D ．2a ba b +>>> 【答案】C 【解析】根据题中条件，由不等式的性质，以及基本不等式，即可比较出结果. 【详解】因为0a b >>，所以2a ba +>b ，又根据基本不等式可得，2a b+>所以2a ba b +>>>. 故选：C.3．下列不等式中正确的是（ ） A ．224a b ab +≥ B ．44a a+≥C ．221242a a ++≥+ D ．2244a a+≥ 【答案】D 【解析】 【分析】利用作差法和基本不等式分析判断每一个选项的正误得解. 【详解】A. 2224()2a b ab a b ab +-=--不一定大于等于零，所以该选项错误；B. 4a a +，当a 取负数时，显然40a a +<，所以44a a+≥错误，所以该选项错误；C. 22122a a ++≥+，当且仅当221a +=时成立，由于取得条件不成立，所以221222a a ++>+，如0a =时，22152422a a ++=<+，所以该选项错误；D. 224a a +≥，当且仅当a =.所以该选项正确. 故选：D 【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 4．下图称为弦图，是我国古代三国时期赵爽为《周髀算经》作注时为证明勾股定理所绘制，我们新教材中利用该图作为“（ ）”的几何解释．A ．如果a b >，b c >，那么a c >B ．如果0a b >>，那么22a b >C ．对任意实数a 和b ，有222a b ab +≥，当且仅当 a b =时等号成立D ．如果a b >，0c >那么ac bc > 【答案】C 【解析】设图中直角三角形的边长分别为a ，b ，正方形面积，根据图象关系，可得222ab a b ≤+即可得答案. 【详解】设图中全等的直角三角形的边长分别为a ，b ，则四个直角三角形的面积为1422a b ab ⨯⨯⨯=，正方形的面积为222a b =+， 由图象可得，四个直角三角形面积之和小于等于正方形的面积， 所以222ab a b ≤+，当且仅当a b =时等号成立，所以对任意实数a 和b ，有222a b ab +≥，当且仅当a b =时等号成立. 故选：C5．若,a b R +∈，则下列关系正确的是（ ）A．2112a b a b+≤≤+B．2112a ba b+≤≤+C2112a ba b+≤≤≤+D2112a b a b+≤≤+【答案】A 【解析】本题可根据11112abab得出211a b≤+a b+≥2a b +≤，最后根据222a bab +≥2a b+≥，即可得出结果. 【详解】 因为111122a ba b ab，当且仅当a b =时取等号， 所以211ab≤+a b =时取等号，因为a b +≥a b =时取等号， 2a b+≤，当且仅当a b =时取等号， 因为222a b ab +≥，当且仅当a b =时取等号， 所以()22222222a b a b aba b +≥++=+，即22224a b ab 2a b +，当且仅当a b =时取等号，综上所述，2112a b a b+≤≤+a b =时取等号， 故选：A. 【点睛】本题考查基本不等式的相关性质，主要考查基本不等式通过转化得出的其他形式，考查运算能力，考查转化与化归思想，是简单题.针对练习二 均值不等式的简单应用6．设正实数,x y 满足21x y +=，则xy 的最大值为（ ） A ．12 B ．14C ．18D ．116【答案】C 【解析】 【分析】根据基本不等式可求得最值.【详解】由基本不等式可得2x y +≥即1≤， 解得18xy ≤，当且仅当2x y =，即14x =，12y =时，取等号， 故选：C.7．已知0m >，0n >，且0m n +-=，则mn 的最大值是（ ） A ．1B C ．3D ．5【答案】D 【解析】 【分析】结合基本不等式求得mn 的最大值. 【详解】依题意m n +=所以252m n mn +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，当且仅当m n =.故选：D8．正实数a ，b 满足25a b +=，当b =（ ）时，ab 取得最大值. A ．254B ．258C ．52D ．54【答案】D 【解析】由a ，b 为正实数，所以2a b +≥()2225=88a b ab +≤，当且仅当2a b =时取等，结合25a b +=即可得解. 【详解】由a ，b 为正实数，所以2a b +≥()2225=88a b ab +≤，当且仅当2a b =时取等， 又25a b +=，此时54b =. 故选：D. 【点睛】本题考查了利用基本不等式求最值，以及基本不等式的取等条件，属于基础题.9．已知21a b -=，则139ba⎛⎫+ ⎪⎝⎭的最小值为（ ）A．4 BC ．D 【答案】C 【解析】 【分析】结合基本不等式来求得最小值. 【详解】 依题意21a b -=，2213239b a ba-⎛⎫+≥⋅= ⎪⎝⎭122a b =-=时取等号． 故选：C10．已知两个正数,,m n 满足3mn =，则3m n +的最小值为（ ） A ．3 B ．6 CD 【答案】B 【解析】 【分析】直接由基本不等式可得． 【详解】3236m n +≥⨯=，当且仅当33m n ==时取等号，所以3m n +的最小值为6，故选：B针对练习三 均值不等式相关拓展公式的应用11．已知0a >，0b >，1a b +=，则以下不等式正确的是（ ）A ．114a b+≤ B +≥C ．221a b +≥ D ．2214ab a b +≥【答案】B 【解析】 【分析】根据条件结合基本不等式进行求解. 【详解】由题意，()1124baa b a b a b⎛⎫++=++≥ ⎪⎝⎭，故选项A 错误；2≥=12a b ==时，等号成立，故选项B 正确；2221224a b a b ++⎛⎫= ⎪⎝⎭≥，则2212a b +≥，故选项C 错误；()222124a b ab a b ab a b +⎛⎫+=+≤= ⎪⎝⎭，故选项D 错误. 故选：B.12．已知0x >，0y >，且2x y +=，则下列结论中正确的是（ ） A ．22xy+有最小值4 B ．xy 有最小值1C ．22x y +有最大值4D 4【答案】A 【解析】 【分析】利用基本不等式和不等式的性质逐个分析判断即可 【详解】解： 0x >，0y >，且2x y +=，对于A ，()221222242x y x y xy x y y x ⎛⎫+=++=++≥+ ⎪⎝⎭，当且仅当1x y ==时取等号，所以A 正确，对于B ，因为2x y =+≥1xy ≤，当且仅当1x y ==时取等号，即xy 有最大值1，所以B 错误，对于C ，因为224x y +≥==，当且仅当1x y ==时取等号，即22x y +有最小值4，所以C 错误，对于D ，因为22()4x y x y =+++=，当且仅当1x y ==时取等号，即4，所以D 错误，故选：A13．已知0a >，0b >，且1a b +=．下述四个结论 ①14ab >；①ln ln 0a b +<；①1916ab+≥；①2212a b +≥. 其中所有正确结论的编号是（ ） A ．①①① B ．①①①C ．①①①D ．①①①【答案】D 【解析】 【分析】利用基本不等式和不等式的性质逐个分析判断解：对于①，因为0a >，0b >，且1a b +=，所以1a b =+≥12a b ==时取等号，得104ab <≤，所以①错误，对于①，由①可知，104ab <≤，所以()1ln ln 4ab ≤，即ln ln 2ln 2a b +≤-，所以ln ln 0a b +<，所以①正确，对于①，因为0a >，0b >，且1a b +=，所以()19199101016a b a b a b a b b a ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当9a b b a =即13,44a b ==时取等号，所以①正确，对于①，因为222()21a b a ab b +=++=，所以2212a b ab +=-，由①可知，104ab <≤，所以1122ab -≥，所以2212a b +≥，当且仅当12a b ==时取等号，所以①正确，故答案为：D14．已知0a >，0b >，且2a b +=，则下列式子不恒成立的是（ ） A．222a b +≥ B ．124a b ->C ．22log log 0a b +≥D 2【答案】C 【解析】由基本不等式得1ab ≤，根据各选项结合已知条件即可判断正误. 【详解】由0a >，0b >，2a b +=，得2()14a b ab +≤=当且仅当a b =时等号成立， 222()22a b a b ab +=+-≥，124a b b --=，111b a -=->-，即124a b->， 222log log log ()0a b ab +=≤，24a b =++0>2≤，故选：C15．已知0a ≥，0b ≥，且4a b +=，则（ ） A ．3ab ≤ B ．5ab ≥C ．228a b +≥D ．2212a b +≤【答案】C【分析】ab 范围可直接由基本不等式得到，22a b +可先将a b +平方再利用基本不等式关系．【详解】解：由0a ，0b ，且4a b +=，∴242a b ab +⎛⎫= ⎪⎝⎭，当且仅当2a b ==时取等号而2222216()22()a b a b ab a b =+=+++，当且仅当2a b ==时取等号228a b ∴+．故选：C ． 【点睛】本题主要考查基本不等式知识的运用，属于基础题，基本不等式是沟通和与积的联系式，和与平方和联系时，可先将和平方．针对练习四 均值不等式“1”的妙用16．已知0a >，0b >，431a b +=，则13b a+的最小值为（ ） A ．13 B ．19 C ．21 D ．27【答案】D 【解析】 【分析】利用基本不等式“1”的妙用求最小值. 【详解】11443333129152427b b a ab a a b ab ⎛⎫⎛⎫+=++=++++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当49ab ab =，即19a =，b ＝6时，等号成立，故13b a+的最小值为27 故选：D17．若正数,x y 满足315xy+=，则34x y +的最小值是（ ） A ．245B ．285C ．5D ．6【答案】C【分析】利用基本不等式“1”的代换求34x y +的最小值，注意等号成立条件. 【详解】11123134(34)((13)31)(13555y x x y x y x y x y +=+++≥++=5=，当且仅当2x y =时等号成立，①34x y +的最小值是5. 故选：C18．已知实数，,0,191a b a b >+=，则119a b+的最小值为（ ） A ．100 B ．300 C ．800 D ．400【答案】D 【解析】 【分析】应用“1”的代换，将目标式转化为1919362b aa b++，再利用基本不等式求最小值即可，注意等号成立的条件. 【详解】由,0,191a b a b >+=，①1191191919()(19)362362400b a a b ab a b a b +=++=++≥+，当且仅当a b =时等号成立. ①119a b+的最小值为400. 故选：D19．已知0a >，0b >，32a b ab +=，则a b +的最小值为（ ） A．2 B ．3 C ．2D ．2+【答案】D 【解析】 【详解】根据题意，3132122a b ab b a+=⇒+=，①313()2222222a b a b a b b a b a ⎛⎫+=++=++≥+=⎪⎝⎭b =且32a b ab +=时等号成立，①a b +的最小值为2+ 故选：D ．20．设0a >，1b >，若2a b +=，则411a b +-的最小值为（ ） A．6 B ．9 C ．D ．18【答案】B 【解析】 【分析】依题意可得(1)1a b +-=，再利用乘“1”法及基本不等式计算可得； 【详解】解：0a >，1b >，且2a b +=，10b ->∴且(1)1a b +-=，∴4141()[(1)]11a b a b a b +=++--- 4(1)4(55291b a b a b -=+++-， 当且仅当4(1)1b aa b -=-，即23a =43b =时取等号， 故411ab +-的最小值为9； 故选：B针对练习五 对勾函数与均值定理的关系与区别21．下列各函数中，最小值为4的是（ ） A ．4y x x=+ B ．4sin (0)sin y x x xπ=+<< C ．34log log 3x y x =+ D ．4x x y e e -=+【答案】D 【解析】 【分析】直接利用基本不等式2a b ab +．(0,0)a b >>和关系式的恒等变换的应用求出结果．【详解】解：用基本不等式要满足“一正二定三相等“．A ．选项中x 的正负不确定．同样的，C ，选项中3log x 和log 3x 取值不一定大于0．B ．当(0,)x π∈时，sin (0x ∈，1]sin 0x ⇒>，40sin x>， 4sin sin x x=时sin 2x ⇒=不符合，所以也不能用基本不等式，不满足三相等， D ．0x e >，40x e ->且4244x x x x e e e e --+=，当且仅当4x x e e -=即2x ln =时取等号． 故选：D ． 【点睛】本题考查的知识要点：直接利用基本不等式的性质的应用和用基本不等式要满足“一正二定三相等“．的条件的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．22．若0x >，则下列说法正确的是（ ）A的最小值为2 B ．11x x ++的最小值为1 C ．122x x+的最小值为2 D ．1lg lg x x+的最小值为2 【答案】A 【解析】 【分析】A.2≥，所以该选项正确； B. 函数的最小值不是1，所以该选项错误； C. 函数的最小值不是2，所以该选项错误； D. 当01x <<时，1lg 0lg x x+<，所以函数的最小值为2错误，所以该选项错误. 【详解】解：A.2≥，当且仅当1x =时等号成立，所以该选项正确；B. 11111111x x x x +=++-≥=++，当且仅当0x =时取等，因为0x >，所以等号不成立，所以函数的最小值不是1，所以该选项错误；C. 1222x x +≥，当且仅当0x =时取等，因为0x >，所以等号不成立，所以函数的最小值不是2，所以该选项错误； D. 当01x <<时，1lg 0,0lg x x <<，所以1lg 0lg x x+<，所以函数的最小值为2错误，所以该选项错误. 故选：A23．已知0a ≠,下列各不等式恒成立的是 A ．12a a+> B ．12a a+≥C ．12a a+≤-D ．12a a+≥ 【答案】D 【解析】当0a <时，10a a+<，选项,A B 不成立；当0a >时，10a a+>，选项C 不成立；11||||a a a a+=+，由基本不等式可得选项D 成立. 【详解】取1a =-时，12a a+=-，可判断选项A,B 不正确； 取1a =时，12a a+=，可判断选项C 不正确； 因为1,a a同号，11=||||2a a a a++≥， 当且仅当1a =±时，等号成立，选项D 正确. 故选:D. 【点睛】本题考查基本不等式求最值满足的条件，“一正”“二定”“三等”缺一不可，解题时要注意特值的运用，减少计算量，提高效率，属于基础题. 24．函数()933y x x x =+>-的最小值是（ ） A ．2 B ．4 C ．6 D ．9【答案】D【解析】先将函数解析式化为9333y x x =-++-，再利用基本不等式，即可求出结果. 【详解】 因为3x >，所以993333933y x x x x =+=-++≥==--， 当且仅当933x x -=-，即6x =时，等号成立. 故选：D. 【点睛】 易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 25．已知函数4y x x=+，()0,4x ∈，则该函数（ ） A ．有最大值5，无最小值 B ．无最大值，有最小值4 C ．有最大值5和最小值4 D ．无最大值和最小值【答案】B 【解析】 【分析】根据基本不等式求解，注意“一正二定三相等”的条件. 【详解】解：因为()0,4x ∈，所以44y x x=+≥=，当且仅当42x x ==时等号成立，所以函数有最小值4，由于定义域为开区间，故无最大值. 故选：B针对练习六 分式最值问题26．函数21()1x x f x x ++=-（1x >）的最小值为（ ）A ．B ．3+C ．2+D ．5 【答案】B【解析】【分析】 将函数化简变形为221(1)3(1)33()(1)3111x x x x f x x x x x ++-+-+===-++---，然后利用基本不等式求解即可【详解】解：因为1x >，所以10x ->，所以221(1)3(1)33()(1)333111x x x x f x x x x x ++-+-+===-++≥=---，当且仅当311x x -=-，即1x =+时取等号，所以函数21()1x x f x x ++=-（1x >）的最小值为3+ 故选：B 27．若函数()()22422x x f x x x -+=>-在x a =处取最小值，则=a （ ） A．1+B ．2 C ．4 D ．6【答案】C【解析】【分析】 由20x ->，而()4222f x x x =-++-，利用基本不等式可求出最小值，结合等号取得的条件可求出a 的值.【详解】 由题意，20x ->，而()()()22222424422222x x x x f x x x x x -+-+-+===-++---26≥=，当且仅当422x x -=-，即4x =时，等号成立，所以4a =.故选：C.【点睛】本题考查基本不等式的应用，考查学生的计算求解能力，属于基础题.28．若72x ，则2610()3x x f x x -+=-有（ ） A ．最大值52B ．最小值52C ．最大值2D ．最小值2【答案】D【解析】【分析】 构造基本不等式()1()33f x x x =-+-即可得结果. 【详解】①72x ≥，①30x ->，①()()22316101()=32333x x x f x x x x x -+-+==-+≥---， 当且仅当133x x -=-，即4x =时，等号成立，即()f x 有最小值2. 故选：D.【点睛】 本题主要考查通过构造基本不等式求最值，属于基础题.29．若a ，b ，c 均为正实数，则2222ab bc a b c +++的最大值为（ ）A ．12B ．14C ．2D 【答案】A【解析】【分析】对原式变形，两次利用基本不等式，求解即可.【详解】因为a ，b 均为正实数，则2222222ab bc a c a c a b c b b ++=≤++++12=， 当且仅当222a c b b+=，且a c =，即a b c ==时取等号， 则2222ab bc a b c+++的最大值为12． 故选：A ．【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”中的“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方，注意多次运用不等式，等号成立条件是否一致.30．设正实数x ，y ，z 满足22340x xy y z -+-=，则当xy z 取得最大值时，212x y z +-的最大值为（ ）A ．0B ．3C ．94D ．1【答案】D【解析】【分析】利用22340x xy y z -+-=可得143xy x y z y x =+-，根据基本不等式最值成立的条件可得22,2x y z y ==，代入212x y z++可得关于y 的二次函数，利用单调性求最值即可. 【详解】由正实数x ，y ，z 满足22340x xy y z -+-=，2234z x xy y ∴=-+．∴22111434432?xy xy x y z x xy y x y y x ===-++-， 当且仅当20x y =>时取等号，此时22z y =． ∴222122121(1)1122x y z y y y y+-=+-=--+，当且仅当1y =时取等号， 即212x y z +-的最大值是1．故选：D【点睛】本题主要考查了基本不等式的性质和二次函数的单调性，考查了最值取得时等号成立的条件，属于中档题. 针对练习七 均值不等式的综合应用31．已知1F ，2F 是椭圆22:12516x y C +=的两个焦点，点M 在C 上，则12MF MF ⋅的最大值为（ ）．A ．13B ．12C ．25D ．16 【答案】C【解析】【分析】根据椭圆定义可得1210MF MF +=，利用基本不等式可得结果.【详解】由椭圆方程知：5a =；根据椭圆定义知：12210MF MF a +==，21212252MF MF MF MF ⎛+⎫∴⋅≤= ⎪⎝⎭（当且仅当12MF MF =时取等号）， 12MF MF ∴⋅的最大值为25.故选：C.32．如图，已知点G 是①ABC 的重心，过点G 作直线分别与AB ､AC 两边交于M ､N两点（M ､N 与B ､C 不重合），设AB xAM =，AC y AN =，则1111x y +++的最小值为（ ）A ．12B ．23C ．34D ．45【答案】D【解析】【分析】 依据三点共线得到关于x y 、的等式，再依据均值定理去求1111x y +++的最小值 【详解】因为G 是①ABC 的重心，所以()()211(0,0)323AG AB AC xAM y AN x y =⨯+=+>> 由于M ､G ､N 共线，所以11133x y +=，即3x y += 所以()1111111111211511511y x x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫+++=++++=++ ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭14255⎛+= ⎝≥（当且仅当1111y x x y ++=++即32x y ==时取等号） 故选：D33．已知0a >，0b >，在()32111133ax bx x ⎛⎫--- ⎪⎝⎭的展开式中，若3x 项的系数为2，则11a b+的最小值为（ ）A ．12B ．2C ．34D ．43 【答案】D【解析】【分析】根据二项展开式的通项公式得到3a b +=，再利用基本不等式可求出结果.【详解】 因为()32111133ax bx x ⎛⎫--- ⎪⎝⎭233311(1)(1)(1)33ax x bx x x =-----， 3(1)x -的展开式的通项公式为313(1)k k k k T C x -+=⋅-，0,1,2,3k =,所以221333311(1)(1)233a Cb C C ⋅⋅--⋅⋅--=，即3a b +=， 因为0,0a b >>，所以1111()3a b a b a b ++=+⋅1(2)3b a a b =++14(22)33≥+=， 当且仅当32a b ==时，等号成立.故选：D 34．已知tan tan 1αβ=，则cos cos αβ的最大值为（ ）A ．12B ．14 CD【答案】A【解析】【分析】依据重要不等式去求解cos cos αβ的最大值【详解】①tan tan 1αβ=，sin sin cos cos ,αβαβ∴=()22222sin cos sin cos 11cos cos sin cos sin cos cos cos .2242ααββαβααββαβ++∴=⋅⋅=⇒≤（当且仅当tan tan 1αβ==时等号成立），故选：A.35．已知等比数列{}n a 的公比为q ，且51a =，则下列选项不正确的是（ ） A ．372a a +≥B ．462a a +≥C ．76210a a -+≥D ．191911a a a a +=+ 【答案】B【解析】【分析】根据等比数列的通项公式可得321a q =，27a q =，41a q =，6a q =，再利用基本不等式判断A ，利用特殊值判断B ，根据完全平方数的非负性判断C ，根据下标和性质判断D ；【详解】解：因为等比数列{}n a 的公比为q ，且51a =，所以321a q =，27a q =，41a q =，6a q =，所以237221a q q a =≥++，当且仅当221q q =，即1q =±时取等号，故A 正确； 所以461a a q q +=+，当0q <时460a a +<，故B 错误；()2276212110a a q q q -+=-+=-≥，故C 正确； 19191921919511a a a a a a a a a a a +++===+⋅，故D 正确； 故选：B。
高考数学均值不等式专题含答案家教文理通用
高考：均值不等式专题◆知识梳理1．常见基本不等式2,0,a R a ∈≥0a ≥222()22a b a b ++≥， 222a b c ab bc ac ++≥++ 若a>b>0,m>0,则b b m a a m +<+； 若a,b 同号且a>b 则11a b<。
ab b a R b a 2,,22≥+∈则;.2,,22ab b a R b a -≥+∈2．均值不等式:两个正数的均值不等式：ab b a ≥+2 变形ab b a 2≥+，22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭,ab b a 222≥+等。
3．最值定理:设,0,x y x y >+≥由（1）如果x,y 是正数,且积(xy P =是定值）,则 时,x y +和有最小值（2）如果x,y 是正数和(x y S +=是定值）,则 时,22Sxy 积有最大值（）4．利用均值不等式可以证明不等式，求最值、取值范围，比较大小等。
注：① 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”；② 熟悉一个重要的不等式链：ba 112+2a b+≤≤≤222b a +。
◆课前热身1. 已知,x y R +∈，且41x y +=，则x y ⋅的最大值为 . 2. 2. 若0,0x y >>1x y +=,则41x y+的最小值为 ． 3. 已知：0>>x y ，且1=xy ，则22x y x y+-的最小值是 .4. 4. 已知下列四个结论①当2lg 1lg ,10≥+≠>x x x x 时且；②02x >≥当时；③x x x 1,2+≥时当的最小值为2；④当xx x 1,20-≤<时无最大值. 则其中正确的个数为◆考点剖析 一、基础题型。
1.直接利用均值不等式求解最值。
例1：（2010年高考山东文科卷第14题）已知,x y R +∈，且满足134x y+=，则xy 的最大值为 。
均值不等式的应用(习题+答案)
均值不等式应用一．均值不等式1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”） (3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） 若0ab ≠，则22-2a b a b a bb a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x解：（1）y ＝3x 2＋12x2 ≥23x 2·12x2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞）（2）当x ＞0时，y ＝x ＋1x≥2x ·1x＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1x ）≤－2x ·1x=－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。
高一数学均值定理的应用试题
高一数学均值定理的应用试题1.若正数满足，则的最小值是（）A．B．C．5D．6【答案】C.【解析】∵，∴，∴，当且仅当，时等号成立，∴的最小值是.【考点】基本不等式求最值.2.若则下列不等式成立的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】根据基本不等式可知：,,故选B.【考点】利用不等式比较大小3.已知，且，则的最大值为_______.【答案】1【解析】因为，所以，当且仅当时取等号. 因此即的最大值为1.【考点】基本不等式求最值4.已知函数.(Ⅰ) 求的最小值及相应的值；(Ⅱ) 解关于的不等式：.【答案】(Ⅰ) 当时, (Ⅱ) (1)当时,解集为；(2)当时,解集为【解析】(Ⅰ)故等号成立条件：故当时,(Ⅱ)(1)当时,解集为；(2)当时,解集为【考点】函数最值及解不等式点评：第一问求函数最值还可借助于函数导数工具进行求解：求导数，导数为零求的极值点，计算极值及区间边界值求得最值，第二问求解带有参数的不等式要分情况讨论5.已知，函数的最小值是（）A．5B．4C．8D．6【答案】B【解析】因为，函数的最小值是4选B6.已知且满足,则的最小值为 .【答案】18【解析】解：因为时取得等号，因此填写18.7.下列各式中最小值等于2的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】解：A选项中需要对a讨论，B选项中的最小值为，C选项中的最小值为，B选项中的最小值为2，8.已知，求的最小值为【答案】【解析】解：因为，求9.已知则的最小值是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】解:因为故选B10.已知：，且，则的最小值为 .【答案】3【解析】解：因为，且，则11.已知，则的最小值是【答案】4【解析】解：因为，则12.已知，则的最大值是【答案】9【解析】解：因为13.已知a＞0，b＞0，a+b=2，则y=的最小值是A．B．4C．D．5【答案】C【解析】解：因为知a＞0，b＞0，a+b=2，则y=故所求解的最小值是14.下列结论正确的是（）A．当且时，B．当时，C．当时，的最小值为2D．当时，无最大值【答案】B【解析】解：选项A中，lgx为负数不成立，选项B成立，选项C，中等号取不到。
均值不等式应用全面总结+题型总结(含详细解析)
均值不等式应用全面总结+题型总结（含详细解析）一．均值不等式1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”）(3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”）若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”）3.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） 若0ab ≠，则22-2a b a b a bb a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”）4.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．（2）求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．应用一：求最值例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x解：（1）y ＝3x 2＋12x2 ≥23x 2·12x2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞）（2）当x ＞0时，y ＝x ＋1x≥2x ·1x＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1x ）≤－2x ·1x=－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。
高三数学均值定理的应用试题答案及解析
高三数学均值定理的应用试题答案及解析1.已知是抛物线的焦点，点，在该抛物线上且位于轴的两侧，（其中为坐标原点），则与面积之和的最小值是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】据题意得，设，则，或，因为位于轴两侧所以.所以两面积之和为.【考点】1、抛物线；2、三角形的面积；3、重要不等式.2.设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的最大值是 .【答案】5【解析】易得.设，则消去得：，所以点P在以AB为直径的圆上，，所以，.法二、因为两直线的斜率互为负倒数，所以，点P的轨迹是以AB为直径的圆.以下同法一.【考点】1、直线与圆；2、重要不等式.3.己知，若恒成立，则实数m的取值范围是___________．【答案】【解析】因为，所以恒成立，即恒成立，解得所求实数的范围为.【考点】1.基本不等式.4.设，，若，则的最小值为( )A．B．6C．D．【答案】A【解析】由可得，.因为，，所以当且仅当即时取等号.【考点】1.基本不等式的应用.2.构造基本不等式的知识.5.已知集合A＝{x|x2－2x－3＞0 }，B＝{x|ax2＋bx＋c≤0}，若A∩B＝{x|3＜x≤4}，A∪B＝R，则的最小值为＿＿＿＿.【答案】【解析】∵，∴，∵A∩B＝{x|3＜x≤4}，，∴，∴-1和4是的根，∴，，∴，且，∴，当且仅当取等号.【考点】1.一元二次不等式的解法；2.基本不等式.6.已知正实数x，y满足，则x + y 的最小值为【答案】【解析】,由得.所以当且仅当取等号.二元关系不明确时，可利用消元，揭示本质，注意消元时隐含范围的挖掘.【考点】基本不等式.7.下列结论中①函数有最大值②函数（）有最大值. ③若，则正确的序号是____【答案】①③【解析】函数对称轴为，故当时取到最大值，①正确；函数，因为，所以，②错误；因为，则，③正确．【考点】1、二次函数的最值；2、基本不等式.8.设a,b是两个实数，且a≠b，①②，③。
高一数学均值定理的应用试题答案及解析
高一数学均值定理的应用试题答案及解析1.下列结论正确的是 ( )A．当时，B．的最小值为C．当时，D．当时，的最小值为【答案】D【解析】A,错误，当时，不能确定的符号，当时，，不成立；B，错误，欲取得最小值2当且仅当时取得，即，所以时不能取得最小值2；C，错误，即，当时，不等式成立．所以选D．【考点】均值不等式成立的条件．2.若则下列不等式成立的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】选项中整理得，即与已知矛盾，排除;选项中两边平方得，即与已知矛盾，排除；选项中中错误，应该是，排除；【考点】基本不等式；3.已知，则的最小值是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由；【考点】基本不等式；4.若则函数的最大值为【答案】【解析】由得；【考点】基本不等式；5.已知正实数x，y满足，则x + y 的最小值为．【答案】【解析】∵正实数x，y满足xy+2x+y=4，∴当且仅当x=−1时取等号．∴x+y的最小值为2−3．故答案为：2−3．【考点】基本不等式的性质.6.已知，且，则的最大值为_______.【答案】1【解析】因为，所以，当且仅当时取等号. 因此即的最大值为1.【考点】基本不等式求最值7.若正实数满足，则的最小值是______【答案】5【解析】根据题意，由于正实数满足，，则两边同时除以xy得到，，那么= (3x+4y) ( )=(13+) ,故可知答案为5.【考点】均值不等式点评：主要是考查了运用基本不等式来求解最值的运用，属于基础题。
8.已知a，b∈R，下列不等式不成立的是（）A．a＋b≥2B．a2＋b2≥2abC．ab≤()2D．|a|＋|b|≥2【答案】A【解析】当a>0,b<0时，a＋b≥2不成立．9.已知且满足,则的最小值为 .【答案】18【解析】解：因为时取得等号，因此填写18.10.若，则的最小值是（）A．B．8C．10D．12【答案】B【解析】解：因为，那么可知x>0,y>0,因此，解得最小值是8，选B11.下列各式中最小值等于2的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】解：A选项中需要对a讨论，B选项中的最小值为，C选项中的最小值为，B选项中的最小值为2，12.建造一个容积8，深为长的游泳池，若池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，则游泳池的最低总造价为__________元．【答案】1760【解析】解：设长x，则宽4 x ，造价y=4×120+4x×80+16x ×80≥1760，当且仅当：4x×80="16" x ×80，即x=2时取等号．故答案为：176013.已知，，则的大小关系是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】解：因为，，因此，选A14.对任意，下列不等式中不成立的是 ( )A．B．C．D．【答案】C【解析】解：因为，恒成立，利用对数函数y=lgx在给定定义域内递增，可知，因此C错误。
高三数学均值定理的应用试题答案及解析
高三数学均值定理的应用试题答案及解析1.函数y＝ (x>－1)的图象最低点的坐标为()A．(1,2)B．(1，－2)C．(1,1)D．(0,2)【答案】D【解析】y＝＝x＋1＋≥2，当x＋1＝，即x＝0时，y最小值为2，故选D项．2.如图，已知小矩形花坛ABCD中，AB＝3 m，AD＝2 m，现要将小矩形花坛建成大矩形花坛AMPN，使点B在AM上，点D在AN上，且对角线MN过点C.(1)要使矩形AMPN的面积大于32 m2，AN的长应在什么范围内？(2)M，N是否存在这样的位置，使矩形AMPN的面积最小？若存在，求出这个最小面积及相应的AM，AN的长度；若不存在，说明理由．【答案】（1）在(2，)或(8，＋∞)内（2）AM＝6，AN＝4时，S＝24.min【解析】解：(1)设AM＝x，AN＝y(x>3，y>2)，矩形AMPN的面积为S，则S＝xy.∵△NDC∽△NAM，∴＝，∴x＝，∴S＝ (y>2)．由>32，得2<y<，或y>8，∴AN的长度应在(2，)或(8，＋∞)内．(2)当y>2时，S＝＝3(y－2＋＋4)≥3×(4＋4)＝24，当且仅当y－2＝，即y＝4时，等号成立，解得x＝6.∴存在M，N点，当AM＝6，AN＝4时，S＝24.min3.已知lg(3x)＋lgy＝lg(x＋y＋1)．(1)求xy的最小值；(2)求x＋y的最小值．【答案】（1）1 （2）2【解析】解：由lg(3x)＋lgy＝lg(x＋y＋1)得(1)∵x>0，y>0，∴3xy＝x＋y＋1≥2＋1，∴3xy－2－1≥0，即3()2－2－1≥0，∴(3＋1)(－1)≥0，∴≥1，∴xy≥1，当且仅当x＝y＝1时，等号成立．∴xy的最小值为1.(2)∵x>0，y>0，∴x＋y＋1＝3xy≤3·()2，∴3(x＋y)2－4(x＋y)－4≥0，∴[3(x＋y)＋2][(x＋y)－2]≥0，∴x＋y≥2，当且仅当x＝y＝1时取等号，∴x＋y的最小值为2.4.已知b>0，直线(b2＋1)x＋ay＋2＝0与直线x－b2y－1＝0互相垂直，则ab的最小值等于() A．1B．2C．2D．2【答案】B【解析】由两条直线垂直的充要条件可得(－)·＝－1，解得a＝，所以ab＝·b＝＝b＋.因为b>0，所以b＋≥2＝2，当且仅当b＝，即b＝1时取等号．5.函数的图象恒过定点A,若点A在直线上,其中,则的最小值为_______.【答案】【解析】由已知．函数的图象恒过定点A，所以有，即.所以，，当且仅当且时，的最小值为.【考点】对数函数的图象和性质，基本不等式的应用.6.已知x>0，y>0，求证：.【答案】见解析【解析】原不等式等价于(x＋y)2≥4xy，即(x－y)2≥0，显然成立．故原不等式得证．7.设正实数满足，则当取得最小值时，的最大值为．【答案】2【解析】由已知可得，则，此时当且仅当时取等号，则，当且仅当时，有．【考点】1.基本不等式的应用;2.函数的最值8.设a,b是两个实数，且a≠b，①②，③。
高一数学均值定理试题
高一数学均值定理试题
1.已知一个扇形的周长是40，则扇形面积的最大值为 .
【答案】100
【解析】设扇形所在圆的半径为R，扇形弧长为L则有,
,当时取得
【考点】基本不等式
2.设点P(x，y)在函数y＝4－2x的图像上运动，则9x＋3y的最小值为________.
【答案】18
【解析】因为2x+y=4,所以,
当x=1,y=2时取得最小值，最小值为18.
3.建造一个容积为8立方米，深为2米的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价
每平方米分别为120元和80元，那么水池的最低造价___________元
【答案】1760
【解析】略
4.已知，且,则的最小值为________
【答案】16
【解析】略
5.已知求的最小值（）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
【答案】C
【解析】略
6.已知正整数满足，使得取最小值时，则实数对是 ( ) A．(5，10）B．（6，6）C．（10，5）D．（7，2）
【答案】A
【解析】略
7.求函数的最大值为
【答案】
【解析】略
8.设x，y满足则z＝x＋y()
A．有最小值2，最大值3B．有最小值2，无最大值
C．有最大值3，无最小值D．既无最小值，也无最大值
【答案】B
【解析】略
9.已知都是正数，下列命题正确的是（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】略
10.下列结论正确的是（）
A．B．当C．D．
【答案】C
【解析】略。
均值定理分式求和型(附解析答案)
1（2019·四川高考模拟）若正实数x,y满足x+y=1，则4x+1+1y的最小值为().A．447B．275C．143D．92【答案】D【解析】∵x>0,y>0,x+y=1,∴x+1+y=24 x+1+1y=x+1+y2⋅(4x+1+1y)=12(1+4+4yx+1+x+1y)≥12(5+2√4)=92等号成立条件:4yx+1=x+1y, 且x+y=1,得到x=13,y=23，故选D．(难度1星)2（2019·河南高考模拟）9sin2α+1cos2α的最小值为（）A．18B．16C．8D．6【答案】B【解析】sin2α+cos2α=1，9 sin2α+1cos2α=(sin2α+cos2α)(9sin2α+1cos2α) =(9+1+9cos2αsin2α+sin2αcos2α)≥9+1+2√9cos2αsinα⋅sin2αcosα=16等号成立条件:9cos2αsin2α=sin2αcos2α, 且sin2α+cos2α=1,得到sin2α=34, cos2α=14，故选B．[难度2星] (2019河北高三开学考试)3设a,b∈R,a2+b2=2，则1a2+1+4b2+1的最小值为______.【答案】94依题意a 2+1+b 2+1=4，所以1a 2+1+4b 2+1=14(1a 2+1+4b 2+1)(a 2+1+b 2+1) =14(5+b 2+1a 2+1+4(a 2+1)b 2+1)≥14(5+2√b 2+1a 2+1⋅4(a 2+1)b 2+1)=94，等号成立条件:b 2+1a 2+1=4(a 2+1)b 2+1, 且a 2+b 2=2,得到 a 2=13,b 2=53时等号成立. 故填94.(难度2星)4（2019山东临沂高考模拟）若两个正实数x,y 满足1x +4y =1，且不等式x +y4<m 2−3m 有解，则实数m 的取值范围( ) A ． (−1,4) B ．(−∞,−1)∪(4,+∞) C ．(−4,1) D ．(−∞,0)∪(3,+∞)【答案】B 【解析】不等式x +y4<m 2−3m 有解 故m 2−3m >(x +y 4)min正实数x,y 满足1x +4y =1,则 x +y4=(1x +4y )(x +y4)=2+4x y+y 4x≥2+2√4x y⋅y 4x=4等号成立条件:4xy =y4x , 且1x +4y =1, 得到 x =2,y =8时等号成立. 可得m 2−3m >(x +y 4)min=4,即m 2−3m >4解得m >4或m <−1．故选B ．(难度3星)5（2019·天津高考模拟）已知a >1,b >1，若log a 2+log b 16=3，则log 2(ab)的最小值为_______． 【答案】3 【解析】令x =log a 2,y =log b 16，则a =21x ,b =24y , x +y =3，所以log 2(ab)=log 2a +log 2b =1x +4y ， 1x+4y =13(x +y )(1x +4y )=13(1+4+yx +4xy)≥13(5+2√y x ⋅4x y)=3等号成立条件:yx =4x y, 且x +y =3,得到 x =1,y =2时等号成立. 综上，故log 2(ab)的最小值为3.(难度3星)6（2019·天津高考模拟）已知a >0,b >0,c >0，若点P(a,b)在直线x +y +c =2上，则4a+b+a+b c的最小值为___________.【答案】2+2√2 【解析】因为点P(a,b)在直线x +y +c =2上, ∴a +b +c =2,a +b =2−c >04a+b+a+b c=42−c+2−c c=42−c+2c−1设{2−c =m c =n ，则m +n =2，42−c+2c =4m +2n ， 4m+2n =( 4m +2n )(m+n 2 )=3+2n m+m n≥3+2√2n m ⋅m n=3+2√2，等号成立条件:2nm =mn , 且m +n =2, 得到 m =4−2√2,n =2√2−2时等号成立.∴42−c +2c −1≥3+2√2−1=2+2√2即4a+b +a+b c的最小值为2+2√2，故答案为2+2√2.(难度3星)7（2019·广东高考模拟）已知x,y 均为正实数，且1x+2+1y+2=16，则x +y 的最小值为（ ） A ．20 B ．24 C ．28 D ．32【答案】A 【解析】∵x,y 均为正实数，且1x+2+1y+2=16，则6(1x+2+1y+2)=1 ∴x +y =(x +2)+(y +2)−4=6(1x+2+1y+2)[(x +2)+(y +2)]−4=6(2+y+2x+2+x+2y+2)−4≥6(2+2√y+2x+2⋅x+2y+2)−4=20 等号成立条件:y+2x+2=x+2y+2, 且1x+2+1y+2=16, 得到 x =y =10时等号成立. 所以 x +y 的最小值为20,故选A.。
高一数学均值定理的应用试题
高一数学均值定理的应用试题1.设，函数的最小值为（）A．10B．9C．8D．【答案】B.【解析】，当且仅当，时，等号成立，∴的最小值诶9.【考点】基本不等式求最值.2.若则函数的最大值为【答案】【解析】由得；【考点】基本不等式；3.函数的最大值为 .【答案】【解析】当时，，当且仅当时取等号.所以函数的最大值为.【考点】基本不等式求最值4.已知，且，则的最大值为_______.【答案】1【解析】因为，所以，当且仅当时取等号. 因此即的最大值为1.【考点】基本不等式求最值5.若对于任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是．【答案】【解析】，的最大值为【考点】不等式恒成立及均值不等式点评：利用均值不等式求最值时需注意：都为正数，当乘积是定值时和有最值，当和为定值时乘积有最值，最后要验证等号成立的条件是否满足6.已知函数.(Ⅰ) 求的最小值及相应的值；(Ⅱ) 解关于的不等式：.【答案】(Ⅰ) 当时, (Ⅱ) (1)当时,解集为；(2)当时,解集为【解析】(Ⅰ)故等号成立条件：故当时,(Ⅱ)(1)当时,解集为；(2)当时,解集为【考点】函数最值及解不等式点评：第一问求函数最值还可借助于函数导数工具进行求解：求导数，导数为零求的极值点，计算极值及区间边界值求得最值，第二问求解带有参数的不等式要分情况讨论7.设a、b为实数，且a＋b＝3，则的最小值为A．6B．C．D．8【答案】B【解析】解：根据基本不等式的性质，有2a+2b≥，又由a+b=3，则2a+2b≥ =，故选：B．8.若实数满足，则的最大值是（）A．1B．C．D．2【答案】C【解析】解：∵m2+n2=1，x2+y2=3，∴设m=sinα ,n=cosα， x= sinβ y= cosβ，∴mx+ny= （sinαsinβ+cosαcosβ）= cos（α-β），∵-1≤cos（α-β）≤1，∴所求的最大值是，故选C．9.下列各式中最小值等于2的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】解：因为选项A中，不一定满足一正的前提，因此不成立。
高三数学均值定理试题
高三数学均值定理试题1.函数的最大值为．【答案】【解析】因为函数的定义域为，所以，因为，所以。
还可用导数求单调性再求最值。
【考点】基本不等式。
2.已知直线（）经过圆的圆心，则的最小值是( )A．9B．8C．4D．2【答案】A【解析】由圆的一般方程,知,所以,圆心的坐标为又因为直线（）经过该圆心.所以,即所以,因为,所以,所以,当且仅当,即时,取“=”号.故选A【考点】1、基本不等式；2、圆的方程.3.已知是函数图象上的任意一点，是该图象的两个端点，点满足，（其中是轴上的单位向量），若(为常数)在区间上恒成立，则称在区间上具有“性质”.现有函数：①; ②；③；④.则在区间上具有“性质”的函数为 .【答案】①②③④【解析】①;显然；②；直线AB的方程为：，设D点的横坐标为，则.所以具有T性质；③，直线AB的方程为：，设D点的横坐标为，则；④.直线AB的方程为：，设D点的横坐标为，则.【考点】1、新定义；2、函数及重要不等式.4.已知，若恒成立，则实数的取值范围是 .【答案】【解析】因为当时，恒成立，即小于的最小值即可，而，即，解得．【考点】基本不等式．5.若正数满足，则的最大值为____.【答案】【解析】，所以，，又单调性可知，时取得最大值，最大值为．【考点】基本不等式．6.函数的最小值是．【答案】【解析】，当且仅当，即时等号成立.【考点】基本不等式7.设，则的最小值为．【答案】8【解析】时等号成立）；所以；即；又解得，则的最小值为8.8.若实数满足,则的最大值是_________．【答案】【解析】略9.已知x＞0，y＞0，且x+2y+2xy=8，则x+2y的最小值是（）A． 3B．4C．D．【答案】B【解析】略10.下列结论正确的是（）A．当B．C．的最小值为2D．当时，的最小值是4【答案】B【解析】略11.已知都是正数，则三数（）A．都大于2B．都小于2C．至少有一个不大于2D．至少有一个不小于2【答案】D【解析】略12.已知的（）A．最大值是B．最小值是C．最大值是D．最小值是【答案】C【解析】略13.函数的最小值为_____________.【答案】15【解析】略14.已知，且，则的最大值为【答案】【解析】，当且仅当x=4y=时取等号.15.已知圆C过点（1,0），且圆心在x轴的正半轴上，直线l：被该圆所截得的弦长为，则圆C的标准方程为 .【答案】【解析】由题意，设圆心坐标为，则由直线l：被该圆所截得的弦长为得，，解得或-1，又因为圆心在x轴的正半轴上，所以，故圆心坐标为（3，0），又已知圆C过点（1,0），所以所求圆的半径为2，故圆C的标准方程为。
高三数学均值定理试题
高三数学均值定理试题1. [选修4-5：不等式选讲]已知，证明【答案】证明见解析.【解析】直接利用算术－几何平均不等式可得，，两式相乘即得要证不等式．试题解析：∵，∴,,∴.【考点】算术平均值－几何平均不等式．2. [2013·广东六校联考]已知正实数x，y满足xy＝1，则(＋y)(＋x)的最小值为________．【答案】4【解析】依题意知，(＋y)(＋x)＝1＋＋＋1≥2＋2＝4，当且仅当x＝y＝1时取等号，故(＋y)(＋x)的最小值为4.3.已知都是正数，且，则的最小值为 .【答案】6+【解析】因为都是正数所以。
当且仅当且且即时成立。
【考点】基本不等式。
4.设实数x,y满足条件：；；，目标函数的最大值为12，则的最小值是【答案】【解析】约束条件的可行域如图所示，目标函数z=ax+by(a>0,b>0)过点（4,6）时为最大值12,所以4a+6b=12，得：2a+3b=6，a=，（）（2a+3b）,4+9+，（当时，等号成立），所以，即的最小值是.【考点】1.线性规划；2.基本不等式的性质.5.若直线被圆截得的弦长为4，则的最小值是( )A．16B．9C．12D．8【答案】B【解析】将化为标准方程，得.由直线被圆截得的弦长为4，知直线过圆心（－1,2），即，所以，，故选B.【考点】圆的方程，直线与圆的位置关系，基本不等式的应用.6.已知，则函数的最小值为____________.【答案】.【解析】由于，，当且仅当时，上式取等号，由于，解得，即当时，函数取最小值.【考点】基本不等式7.已知，则的最小值是 .【答案】【解析】因为，所以.【考点】基本不等式.8.(本题满分10分)选修4 - 5 ：不等式选讲设函数，.(I)求证；(II)若成立，求x的取值范围.【答案】(I)；(II)。
【解析】（Ⅰ）．…5分（Ⅱ）∵，∴要使成立，需且只需.即，或，或，解得，或故的取值范围是. …10分【考点】绝对值不等式的解法；基本不等式；绝对值三角不等式。
高三数学均值定理的应用试题
高三数学均值定理的应用试题1.已知直线l经过点(，2)，其横截距与纵截距分别为a、b(a、b均为正数)，则使a＋b≥c恒成立的c的取值范围为________．【答案】(－∞，]【解析】设方程＋＝1，过点(，2)，∴＋＝1，∴a＋b＝(a＋b)(＋)＝＋＋≥，故c≤.2.已知x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值是()A．3B．4C．D．【答案】B【解析】依题意，得(x＋1)(2y＋1)＝9，所以(x＋1)＋(2y＋1)≥2＝6，即x＋2y≥4.当且仅当即时等号成立，所以x＋2y的最小值是4.3.若a>0，b>0，且a＋b＝2，则ab＋的最小值为()A．2B．3C．4D．2【答案】A【解析】由2＝a＋b≥2得0<ab≤1，令t＝ab，t∈(0,1]，则y＝t＋在(0,1]上为减函数，故当＝2，故选A.t＝1时，ymin4.规定记号“⊗”表示一种运算，即a⊗b＝＋a＋b(a，b为正实数)．若1⊗k＝3，则k的值为________，此时函数f(x)＝的最小值为________．【答案】13【解析】1⊗k＝＋1＋k＝3，即k＋－2＝0，∴＝1或＝－2(舍)，∴k＝1.f(x)＝＝＝1＋＋≥1＋2＝3，当且仅当＝即x＝1时等号成立．5.己知，若恒成立，则实数m的取值范围是___________．【答案】【解析】因为，所以恒成立，即恒成立，解得所求实数的范围为.【考点】1.基本不等式.6.已知△ABC中,∠C=90°,则的取值范围是()A．(0,2)B．C．D．【答案】C【解析】因为∠C=90°,所以c2=a2+b2,即c=.又有a+b>c,所以，选C.7.已知，则函数的最小值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由于，则，所以，当且仅当，由于，即当时，上式取等号，因此函数的最小值为，故选C.【考点】基本不等式8.某公司一年购买某种货物600吨，每次都购买x吨(x为600的约数)，运费为3万元/次，一年的总存储费用为2x万元．若要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次需购买________吨．【答案】30【解析】设一年的总运费与总存储费用之和为y万元，则y＝×3＋2x≥2 ＝120，当且仅当＝2x，x＝30时，取得等号．9.设x，y，z均为正整数，满足x－2y＋3z＝0，则的最小值是________．【答案】3【解析】＝≥3.10.点为第一象限内的点，且在圆上，的最大值为________．【答案】1【解析】由题意，且，化简得，由基本不等式得，令，即，解得，则，所以的最大值为1.【考点】1.基本不等式的应用.11.设均为正实数，且，则的最小值为．【答案】16【解析】首先，由于均为正实数，则，因此，同理．求的最小值，这里有两个参数，如能减少一个参数，就可把式子化为一个参数的式子，便于找到解题思路．由已知解出，那么，时，，，当且仅当，即时等号成立，故所求最小值为16．【考点】基本不等式的应用．12.函数的最小值是．【答案】【解析】将函数整理得：，当且仅当，故最小值为．【考点】基本不等式的应用13.若正数，满足，则的最小值是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，正数，满足，所以，，，当且仅当，即时，取等号，故选C.【考点】基本不等式的应用14.已知正实数,且，则的最小值为 ( )A．B．C．D．5【答案】A【解析】因为，正实数,且，所以，=，故选A。
均值定理最值练习题
均值定理最值练习题均值定理最值练习题均值定理是微积分中的一个重要定理，它在数学分析和物理学中都有广泛的应用。
它是说，如果一个函数在某个区间上连续，并且在该区间上的导数存在，那么在该区间上，函数的平均值等于函数在该区间的两个端点处的函数值之差与该区间的长度的乘积。
在这篇文章中，我们将通过一些具体的练习题来加深对均值定理的理解和应用。
练习题一：设函数f(x) = x^2 - 2x，在区间[0,2]上应用均值定理，求函数在该区间上的最大值和最小值。
解析：首先，我们需要计算函数在区间[0,2]上的平均值。
根据均值定理，平均值等于函数在区间两个端点处的函数值之差与该区间的长度的乘积。
所以，平均值为f(2) - f(0) / (2-0) = 2 - 0 / 2 = 1。
接下来，我们需要找到函数在区间[0,2]上的极值点。
为了找到极值点，我们需要求函数的导数。
函数f(x)的导数为f'(x) = 2x - 2。
令f'(x) = 0，我们可以解得x = 1。
这意味着函数在x = 1处可能有极值点。
接下来，我们需要判断x = 1处的极值点是最大值还是最小值。
为了做到这一点，我们可以求函数的二阶导数。
函数f'(x)的二阶导数为f''(x) = 2。
由于f''(x) = 2大于0，这意味着函数在x = 1处有一个局部最小值。
综上所述，函数f(x)在区间[0,2]上的最大值和最小值分别为f(0) = 0和f(2) = 0。
练习题二：设函数g(x) = sin(x)，在区间[0,π]上应用均值定理，求函数在该区间上的最大值和最小值。
解析：首先，我们需要计算函数在区间[0,π]上的平均值。
根据均值定理，平均值等于函数在区间两个端点处的函数值之差与该区间的长度的乘积。
所以，平均值为g(π) - g(0) / (π-0) = 0 - 0 / π = 0。
接下来，我们需要找到函数在区间[0,π]上的极值点。
均值定理例题
均值定理例题
（原创实用版）
目录
1.均值定理的概念和定义
2.均值定理的性质和特点
3.均值定理的例题解析
4.均值定理的应用领域和实际意义
正文
【均值定理的概念和定义】
均值定理，又称为算术平均值定理，是概率论和统计学中的一个重要定理。
它指的是，在一组独立随机变量中，若每个随机变量的取值都在一个有限的区间内，那么这组随机变量的平均值也一定在这个区间内。
这个定理为我们研究随机变量的取值范围提供了一个重要的理论依据。
【均值定理的性质和特点】
均值定理的性质主要体现在以下几点：首先，它适用于所有独立随机变量；其次，它要求每个随机变量的取值都在一个有限的区间内；最后，它得出的结论是这组随机变量的平均值也在这个区间内。
这个定理的一个重要特点是，它可以帮助我们在不了解具体随机变量的情况下，通过对其平均值的研究，来把握其取值范围。
【均值定理的例题解析】
例如，假设有一个袋子里面有 3 个红球，2 个绿球，我们从袋子里
随机抽取 2 个球，那么抽取的 2 个球都是红球的概率是多少？根据均值定理，我们可以知道，抽取的 2 个球都是红球的概率一定小于等于 1/3，因为如果我们抽取的 2 个球都是红球，那么剩下的 1 个球就必须是绿球，而这种情况的概率是 2/5，小于等于 1/3。
【均值定理的应用领域和实际意义】
均值定理在实际生活中的应用非常广泛，例如在金融、保险、医学等领域都有其应用。
在金融领域，均值定理可以帮助我们预测股票价格的变动范围；在保险领域，均值定理可以帮助我们计算保险费的缴纳额度；在医学领域，均值定理可以帮助我们预测某种疾病的发病率。
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高一数学均值定理的应用试题答案及解析
1.已知，则的最小值是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由，得，即，亦即,且，从而
，当且仅当，又，即，时，取得最小值，注意乘“1”法技巧的使用.
【考点】指数、对数的运算和基本不等式求最值.
2.若正数满足，则的最小值是（）
A．B．C．5D．6
【答案】C.
【解析】∵，∴，∴
，当且仅当，时等号成立，∴的最小值是.
【考点】基本不等式求最值.
3.若则函数的最大值为
【答案】
【解析】由得；
【考点】基本不等式；
4.设，则下列不等式中正确的是()
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】∵，∴，即，又由基本不等式可得，而，∴．
【考点】作差法证明不等式，基本不等式．
5.若△ABC中，，则△ABC面积S的取值范围是 .
【答案】
【解析】因为，又所以
【考点】基本不等式求范围
6.如图，有一块等腰直角三角形的空地，要在这块空地上开辟一个内接矩形的绿地，已知,，绿地面积最大值为（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设，，由条件可知和为等直角三角形，所以，．＝≥＝，即≤4，所以，所以绿地
面积最大值为4，故选C．
【考点】基本不等式在实际中的应用．
7.若正实数满足，则的最小值是______
【答案】5
【解析】根据题意，由于正实数满足，，则两边同时除以xy得到，
，那么= (3x+4y) ( )=(13+) ,故可知答案为5.
【考点】均值不等式
点评：主要是考查了运用基本不等式来求解最值的运用，属于基础题。
8.若实数a、b满足，则3a+3b的最小值是 .
【答案】6
【解析】因为，则当且仅当a=b=1时等号成立故答案为：6
9.已知且满足,则的最小值为 .
【答案】18
【解析】解：因为时取得等号，因此填写18. 10.（1）解不等式；
（2）已知, 且, 求的最小值；
【答案】（1）（2）9
【解析】本试题主要是考查了不等式的解集以及均值不等式的运用，求解最值。
（1）因为或，从而得到。
（2），结合均值不等式得到结论。
解：（1）或，解集为……5分
（2），
取等号当且仅当……10分。
11.若，则的最小值是（）
A．B．8C．10D．12
【答案】B
【解析】解：因为，那么可知x>0,y>0,因此，解得最小值是8，选B
12.已知直线过点（2，1），其中是正数，则的最大值为
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】解：因为直线过点（2,1），则有2m+n-1=0,2m+n=1,m>0,n>0,则mn
,选C
13.设a>b>c>0，则的最小值是________
【答案】4
【解析】解：原式=
14.已知正数x，y满足的最大值为（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】解：因为正数x，y满足
故解得为B
15.建造一个容积8，深为长的游泳池，若池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，则游泳池的最低总造价为__________元．
【答案】1760
【解析】解：设长x，则宽4 x ，造价y=4×120+4x×80+16x ×80≥1760，
当且仅当：4x×80="16" x ×80，即x=2时取等号．
故答案为：1760
16.已知则的最小值是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】解:因为
故选B
17.（本小题满分10分）若，求：函数的最大值.
【答案】当且仅当时，函数取得最大值0.
【解析】本试题主要是考查了均值不等式的运用，求解函数的最值的思想的运用。
因为
，运用一正二定，三相等的思想得到。
当且仅当时，函数取得最大值0.
18.已知，则的最小值是
【答案】4
【解析】解：因为，则
19.如果直角三角形周长为，则它的最大面积为 .
【答案】2
【解析】解：因为设三边长为，a,b,c，且c为斜边，则a+b+c=2,
a+b+
20.已知，则的最大值是
【答案】9
【解析】解：因为
21.已知a＞0，b＞0，a+b=2，则y=的最小值是
A．B．4C．D．5
【答案】C
【解析】解：因为知a＞0，b＞0，a+b=2，则y=
故所求解的最小值是
22.若，则的最小值是________________________.
【答案】
【解析】(当且仅当“”时，取“=”).
23.下列结论正确的是（）
A．当且时，B．当时，
C．当时，的最小值为2D．当时，无最大值
【答案】B
【解析】解：选项A中，lgx为负数不成立，选项B成立，选项C，中等号取不到。
选项D中，函数为增函数，有最大值。
24.当时，函数的最小值为；
【答案】8
【解析】
故当时，函数的最小值为8.
25.用一段篱笆围成一个面积为200的矩形菜园，所用篱笆最短为 m.
【答案】
【解析】略
26.用篱笆围成一个面积为６４ｍ２的矩形菜园，所用篱笆最短为（）ｍ．
A．28B．32C．16D．10
【答案】B
【解析】略
27.若实数，则的最小值是___ ___.
【答案】4
【解析】略
28.已知两个正实数x、y满足x+y=2,则使不等式+≥m恒成立的实数m的取值范围是
__________．
【答案】（－∞,］
【解析】，+≥m恒成立
【考点】1不等式与函数的转化；2．均值不等式求最值
29.已知正数、满足，则的最小值是．
【答案】18
【解析】因为、为正数,所以,当且仅当即时取．
【考点】基本不等式．
30.（1）已知x<，求函数y＝4x－2＋的最大值；
（2）已知x>0，y>0且＝1，求x＋y的最小值．
【答案】（1）1；（2）16
【解析】（1）将原函数进行化简，将题中给出已知条件带入化简后的函数，并根据公式进行比较，求出原函数最大值即可。
（2）将＝1此式带入到x＋y中，进行化简，得出函数式，再根据公式，进行比较，求出x＋y的最小值即可。
试题解析：（1）x<，∴4x－5<0．
∴y＝4x－5＋＋3＝－[（5－4x）＋]＋3
＝1．
≤－2＋3＝1，y
max
（2）∵x>0，y>0且＝1，
∴x＋y＝（x＋y）＝10＋≥10＋2＝16，即x＋y的最小值为16
【考点】函数万能关系不等式。