高一数学均值定理的应用试题答案及解析

高一数学均值定理的应用试题答案及解析

1.已知，则的最小值是（）

A．B．C．D．

【答案】A

【解析】由，得，即，亦即,且，从而

，当且仅当，又，即，时，取得最小值，注意乘“1”法技巧的使用.

【考点】指数、对数的运算和基本不等式求最值.

2.若正数满足，则的最小值是（）

A．B．C．5D．6

【答案】C.

【解析】∵，∴，∴

，当且仅当，时等号成立，∴的最小值是.

【考点】基本不等式求最值.

3.若则函数的最大值为

【答案】

【解析】由得；

【考点】基本不等式；

4.设，则下列不等式中正确的是()

A．B．

C．D．

【答案】B

【解析】∵，∴，即，又由基本不等式可得，而，∴．

【考点】作差法证明不等式，基本不等式．

5.若△ABC中，，则△ABC面积S的取值范围是 .

【答案】

【解析】因为，又所以

【考点】基本不等式求范围

6.如图，有一块等腰直角三角形的空地，要在这块空地上开辟一个内接矩形的绿地，已知,，绿地面积最大值为（）

A．B．C．D．

【答案】C

【解析】设，，由条件可知和为等直角三角形，所以，．＝≥＝，即≤4，所以，所以绿地

面积最大值为4，故选C．

【考点】基本不等式在实际中的应用．

7.若正实数满足，则的最小值是______

【答案】5

【解析】根据题意，由于正实数满足，，则两边同时除以xy得到，

，那么= (3x+4y) ( )=(13+) ,故可知答案为5.

【考点】均值不等式

点评：主要是考查了运用基本不等式来求解最值的运用，属于基础题。

8.若实数a、b满足，则3a+3b的最小值是 .

【答案】6

【解析】因为，则当且仅当a=b=1时等号成立故答案为：6

9.已知且满足,则的最小值为 .

【答案】18

【解析】解：因为时取得等号，因此填写18. 10.（1）解不等式；

（2）已知, 且, 求的最小值；

【答案】（1）（2）9

【解析】本试题主要是考查了不等式的解集以及均值不等式的运用，求解最值。

（1）因为或，从而得到。

（2），结合均值不等式得到结论。

解：（1）或，解集为……5分

（2），

取等号当且仅当……10分。

11.若，则的最小值是（）

A．B．8C．10D．12

【答案】B

【解析】解：因为，那么可知x>0,y>0,因此，解得最小值是8，选B

12.已知直线过点（2，1），其中是正数，则的最大值为

A．B．C．D．

【答案】C

【解析】解：因为直线过点（2,1），则有2m+n-1=0,2m+n=1,m>0,n>0,则mn

,选C

13.设a>b>c>0，则的最小值是________

【答案】4

【解析】解：原式=

14.已知正数x，y满足的最大值为（）

A．B．C．D．

【答案】B

【解析】解：因为正数x，y满足

故解得为B

15.建造一个容积8，深为长的游泳池，若池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，则游泳池的最低总造价为__________元．

【答案】1760

【解析】解：设长x，则宽4 x ，造价y=4×120+4x×80+16x ×80≥1760，

当且仅当：4x×80="16" x ×80，即x=2时取等号．

故答案为：1760

16.已知则的最小值是（）

A．B．C．D．

【答案】B

【解析】解:因为

故选B

17.（本小题满分10分）若，求：函数的最大值.

【答案】当且仅当时，函数取得最大值0.

【解析】本试题主要是考查了均值不等式的运用，求解函数的最值的思想的运用。因为

，运用一正二定，三相等的思想得到。

当且仅当时，函数取得最大值0.

18.已知，则的最小值是

【答案】4

【解析】解：因为，则

19.如果直角三角形周长为，则它的最大面积为 .

【答案】2

【解析】解：因为设三边长为，a,b,c，且c为斜边，则a+b+c=2,

a+b+

20.已知，则的最大值是

【答案】9

【解析】解：因为

21.已知a＞0，b＞0，a+b=2，则y=的最小值是

A．B．4C．D．5

【答案】C

【解析】解：因为知a＞0，b＞0，a+b=2，则y=

故所求解的最小值是

22.若，则的最小值是________________________.

【答案】

【解析】(当且仅当“”时，取“=”).

23.下列结论正确的是（）

A．当且时，B．当时，

C．当时，的最小值为2D．当时，无最大值

【答案】B

【解析】解：选项A中，lgx为负数不成立，选项B成立，选项C，中等号取不到。选项D中，函数为增函数，有最大值。

24.当时，函数的最小值为；

【答案】8

【解析】

故当时，函数的最小值为8.

25.用一段篱笆围成一个面积为200的矩形菜园，所用篱笆最短为 m.

【答案】

【解析】略

26.用篱笆围成一个面积为６４ｍ２的矩形菜园，所用篱笆最短为（）ｍ．

A．28B．32C．16D．10

【答案】B

【解析】略

27.若实数，则的最小值是___ ___.

【答案】4

【解析】略

28.已知两个正实数x、y满足x+y=2,则使不等式+≥m恒成立的实数m的取值范围是

__________．

【答案】（－∞,］

【解析】，+≥m恒成立

【考点】1不等式与函数的转化；2．均值不等式求最值

29.已知正数、满足，则的最小值是．

【答案】18

【解析】因为、为正数,所以,当且仅当即时取．

【考点】基本不等式．

30.（1）已知x<，求函数y＝4x－2＋的最大值；

（2）已知x>0，y>0且＝1，求x＋y的最小值．

【答案】（1）1；（2）16

【解析】（1）将原函数进行化简，将题中给出已知条件带入化简后的函数，并根据公式进行比较，求出原函数最大值即可。