近世代数练习题题库

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§1 第一章基础知识

1判断题：

1.1设A与B都是非空集合，那么

{}B

∈

=

⋃x

且。（）

B

A

A∈

x

x

1.2A×B = B×A （）

1.3只要f是A到A的一一映射，那么必有唯一的逆映射1-f。（）

1.4如果ϕ是A到A的一一映射,则ϕ[ϕ(a)]=a。( )

1.5集合A到B的可逆映射一定是A到B的双射。（）

1.6设A、B、D都是非空集合，则B

A⨯到D的每个映射都叫作二元运算。（）

1.7在整数集Z上，定义“ ”：a b=ab(a,b ∈Z)，则“ ”是Z的一个二元运算。（）1.8整数的整除关系是Z的一个等价关系。( )

2填空题：

2.1若A={0,1} , 则A⨯A= __________________________________。

2.2设A = {1，2}，B = {a，b}，则A×B =_________________。

2.3设={1,2,3} B={a,b},则A⨯B=_______。

2.4设A={1,2}, 则A⨯A=_____________________。

2.5设集合{}1,0,1-=A；{}2,1=B，则有B。

=

⨯A

2.6如果f是A与A间的一一映射，a是A的一个元，则()

[]=

-a

f1。

f

2.7设A =｛a1, a2,…a8｝，则A上不同的二元运算共有个。

2.8设A、B是集合，| A |＝| B |＝3，则共可定义个从A到B的映射，其中有个单射，有个满射，有个双射。

2.9设A是n元集，B是m元集，那么A到B 的映射共有____________个.

2.10设A={a,b,c}，则A到A的一一映射共有__________个.

2.11设A={a,b,c,d,e}，则A的一一变换共有______个.

2.12集合A的元间的关系～叫做等价关系，如果～适合下列三个条件：

_____________________________________________。

2.13 设A =｛a , b, c ｝，那么A 的所有不同的

等价关系的个数为______________。

2.14 设～是集合A 的元间的一个等价关系，它决定A 的一个分类：[][]b a ,是两个等价类。则[][]⇔=b a ______________。

2.15 设集合A 有一个分类，其中i A 与j A 是A 的两个类，如果j i A A ≠，那么=j

i A A ______________。 2.16 设A =｛1, 2, 3, 4, 5, 6｝，规定A 的等价关系～如下：a ～ b ⇔2|a-b ，那么A 的所有不同的等价类是______________ 。

2.17 设M 是实数域R 上的全体对称矩阵的集合，～是M 上的合同关系，则由～给出M 的所有不同的等价类的个数是______________。

2.18 在数域F 上的所有n 阶方阵的集合M n （F ）中，规定等价关系~:A~B ⇔秩(A)=秩(B)，则这个等价关系决定的等价类有________个。

2.19 设M 100 (F)是数域F 上的所有100阶方阵

的集合,在M 100 (F)中规定等价关系~如下：A~B ⇔秩(A)=秩(B)，则这个等价关系所决定的等价类共有_______个。

2.20 若 M={有理数域上的所有3级方阵},A,B ∈M,定义A~B ⇔秩(A)=秩(B),则由”~”确定的等价类有_____________________个。

3 证明题：

3.1 设φ是集合A 到B 的一个映射，对于A b a ∈,，规定关系“~”：)()(~b a b a φφ=⇔．证明：“~”是A 的一个等价关系．

3.2 在复数集C 中规定关系“~”：||||~b a b a =⇔．证

明：“~”是C 的一个等价关系．

3.3 在n 阶矩阵的集合)(F M n

中规定关系“~”：||||~B A B A =⇔．证明：“~”是)(F M n

的一个等价关系． 3.4 设“~”是集合A 的一个关系，且满足：

（1）对任意A a ∈，有a a ~；（2）对任意A c b a ∈,,，若,~,~c a b a 就有c b ~．证明：“~”是A 的一个等价关系．

3.5 设G 是一个群，在G 中规定关系“~”：

⇔b a ~存在于

G g ∈，使得ag g b 1-=．证明：“~”是G 的一个等价关系．

第二章群论

1判断题：

§2.1 群的定义.

1.1设非空集合G关于一个乘法运算满足以下四条：

(A) G对于这个乘法运算都是封闭的；

(B)∀a,b,cG，都有(ab)c=a(bc)成立；

(C) 存在G，使得∀aG，都有ea=a成立；

(D)∀aG，都存在aG，使得aa=e成立。

则G关于这个乘法运算构成一个群。( )

1.2设非空集合G关于一个乘法运算满足以下四条：

A）G对于这个乘法运算是封闭的；

B）∀a,b,c∈G，都有（ab）c=a(bc)成立；

C）存在e r∈G，使得∀a∈G，都有ae r=a成立；

D）∀a∈G，都存在a1-∈G，使得a1-a=e r成立。

则G关于这个乘法运算构成一个群。（）1.3设G是一个非空集合,在G中定义了一个代数运算,称为乘法,如果(1)G对乘法运算是封闭的(2)G对乘法适合结合律(3)G对乘法适合消