工程优化报告

工程优化方法综述

一、优化建模

1 概述

建立数学模型是优化设计中的一个重要的组成部分。优化结构是否可用，主要取决于所建立的数学模型是否能够确切而简介地反映工程问题的客观实际。在建立数学模型时，片面地强调确切，往往会使数学模型十分冗长、复杂，增加求解问题的困难程度，有时甚至会使问题无法求解；片面强调简洁，则可能使数学模型过分失真，以致失去了求解的意义。合理的做法是在能够确切反映工程实际问题的基础上力求简洁。设计变量、目标函数和约束条件是组成优化设计模型的三要素，下面分别予以讨论。

2 设计变量的选择

机械设计中的所以参数都是可变的，但是将所以的设计参数都列为设计变量不仅会使问题复杂化，而且是没有必要的。例如材料的机械性能由材料的种类决定，在机械设计中常用材料的种类有限，通常可根据需要和经验事先选定，因此诸如弹性模量、泊松比、许用应力等参数按选定材料赋以常量更为合理；另一类状态参数，如功率、温度、应力、应变、绕度、压力、速度、加速度等则通常可由设计对象的尺寸、载荷以及各构件间的运动关系等计算得出，多数情况下也没有必要作为设计变量。因此，在充分了解设计要求的基础上，应根据各设计参数对目标函数的影响程度认真分析其主次，尽量减少设计变量的数目，以简化优化设计问题。另外还应注意设计变量应当相当独立，否则会使目标函数出现“山脊”或“沟谷”，给优化带来困难。

3. 目标函数的确定

目标函数是一项设计所追求的指标的数学反映，因此对它最基本的要求是能够用来评价设计的优劣，同时必须是设计变量的可计算函数。选择目标函数是整个优化设计过程中最重要的决策之一。

有些问题存在明显的目标函数，例如一个没有特殊要求的承受静载的梁，自然希望它越轻越好，因此选择其自重作为目标函数是没有异议的。但涉及一台复杂的机器，追求的目标往往较多，

就目前使用较成熟的优化方法来说，还不能把所有要追求的指标都列为目标函数，因为这样做并不一定能有效地求解。因此应当对所追求的各项指标进行细致的分析，从中选择最重要最具有代表性的指标作为设计追求的目标。例如一架好的飞机，应该具有自重轻、静载重量大、航程长、使用经济、价格便宜、跑道长度合理等性能，显然这些都是设计时追求的指标。但并不需要把它们都列为目标函数，在这些指标中最重要的指标是飞机的自重。因为采用轻的零部件建造的自身重量最轻的飞机只会促进其它几项指标，而不会损害其中任何一项。因此选择飞机自重作为优化的目标函数应该是最合适了。

若一项工程设计中追求的目标是互相矛盾的，这时常常取其中最主要的指标作为目标函数，而其余的指标列为约束条件。也就是说，不指望这些次要参数都达到最优，只要它们不至于过劣就可以了。

4 约束条件的确定

约束条件是就工程设计本身而提出的对设计变量取值范围的限制条件。和目标函数一样，它们也是设计变量的可计算函数。

如前所述，约束条件可分为性能约束和边界约束两大类。性能约束通常与设计原理有关，有时非常简单，如设计曲柄连杆机构时，按曲柄存在条件而写出的约束函数均为设计变量的线性显函数；有时却相当复杂，如对一个复杂的机构系统，要计算其中各构件的应力和位移，常采用有限元法，这时相应的约束函数为设计变量的隐函数，计算这样的约束函数往往要花费很大的计算量。

在选择约束条件时应当特别注意避免出现相互矛盾的约束。因为相互矛盾的约束必然导致可行域为一空集，使问题的解不存在。另外应当尽量减少不必要的约束，不必要的约束不仅增加优化设计的计算量，而且可能使可行域缩小，影响优化结果。

二、优化理论

1 综述

优化理论归根到底是优化数学理论，机械优化设计是建立在多元函数的极值理论上的。主要包括以下几个方面的内容：

多元函数的方向导数与梯度

多元函数的泰勒展开

无约束优化问题的极值条件

凸集、凸函数与凸规划

等式约束优化问题的极值条件 不等式约束优化问题的极值条件

2 K-T 条件

在以上众多理论中，K-T 条件应用最为广泛，下面重点讨论一下K-T 条件。

不等式约束多元函数极值条件：

用起作用约束的下标集合表示

用梯度形式表示，可得

K-T 条件的几何意义：在约束极小点处，函数的负梯度一定能表示成所有起作用约束在该点梯度的非负线性组合。

三、优化算法

1. 无约束优化算法

1.1 概 述 无约束优化方法是优化技术中基本的也是非常重要的内容。无约束优化问题的数学模型如下：

()()()()()

()**101,2,...,01,2,...,01,2,...,m j j j i i j j j df x dg x i n dx dx g x j m j m μμμ=+====≥=∑()()()()()()***01,2,...,00j j j J i i j j df x dg x i n dx dx g x j J j J μμ∈+===∈≥∈∑()()**j j j J

f x

g x μ∈-∇=∇∑12min ()[]n n F x x x x x R ⎧⎨=∈⎩⋅⋅⋅

使用无约束优化方法，不仅可以直接求无约束优化设计问题的最优解，而且通过对无约束优化方法的研究给约束优化方法建立明确的概念、提供良好的基础，某些优化设计方法就是先把约束优化设计问题转化为无约束问题后，再直接用无约束优化方法求解。无约束优化问题一般模型为

给定x(0)，置k=1

a) 确定局部下降方向d (k),使▽f(x (k))T d (k)<0；

b) 确定步长t k >0,使f(x (k)+t k d (k))

c) 令x (k+1)=x (k)+t k d (k)；

d) 判断是否终止，终止则输出，否则k:=k+1，返回(a)

从上面的分析我们看到一个算法的搜索方向成为该优化方法的基本标志，分析、确定搜索方向d (k)是研究优化方法的愚根本的任务之一。根据构成搜索方向使用的信息性质不同，无约束优化可以分为两类。一类是利用目标函数的一阶导数或二阶导数的无约束优化方法，如最速下降法、共轭梯度法、牛顿法等。另一类是只利用目标函数值得无约束优化算法，如坐标轮换法、单纯形法和鲍威尔法。下面将分别讨论。

1.2 最速下降法

优化设计是追求目标函数值最小，因此，自然可以设想从某点出发，其搜索方向取该点的负梯度方向，使函数值在该点附近下降最快。这种方法也称为最速下降法。

1.2.1 基本原理

梯度法的迭代公式为：

()()

()()()()()()()()()()()()()(

)()(k 1)(k)(k)(k (k)(k))

(111)()()()()()()(

` 0 ())()))0

0(k k k k k k k k k

k k k k T k k T k k T g F x x f x f x min a min f x a g f x a g a f x a g g f x g x g x g g αϕϕ

α++++∇-=-=--=∇===+==∇其中是函数在迭代点处的梯度一般采用一维搜索的最优步长，即

据一元函数极值条件和多元复合函数求导公式，得即（或