全错位排列递推公式的简易推导(齐麟-晋级)

全错位排列递推公式的简易证明

华图教育 齐麟

错位排列作为排列组合中的一类典型题目，自身难度较高，考生往往只是知其然而不知其所以然，即只了解全错位排列的递推公式，而不能理解其含义以及灵活的运用。本文结合图示的方法，对全错位排列公式进行简易的证明。

首先，我们先来认识错位排列：

1.部分错位排列：

【例】5个人站成一排，其中甲不站第一位，乙不站第二位，共有多少种不同的站法。 用排除法：

先考虑5个人的全排列，有5

5A 种不同的排法，然后除去甲排第一（有44A 种）与乙排第

二（也有44A 种）

，但两种情况又有重复部分，因此多减了一部分，必须加上多减部分，这样得到共有：5

5A －244A ＋33A ＝78种。

2.全错位排列：

【例】5个人站成一排，其中A 不站第一位，B 不站第二位，C 不站第三位，D 不站第四位，E 不站第五位，共有多少种不同的站法。

【分析】仿照以上解法，我们有

51

423324150555453525150D A C A C A C A C A C A 44=-⨯+⨯-⨯+⨯-⨯=

故5人的全错位排列方式共有44种。

因此我们可以由容斥原理得到n 个元素的全错位排列公式：

n D =n!(1-1/1!+1/2!-1/3!+...+(-1)^n*1/n!)

错位排列的递推公式

简单计算后我们有：1D 0=；2D 1=；3D 2=。

计算四元素全错位排列时我们可以这样考虑：

假定元素为A 、B 、C 、D ；对应的位置为a 、b 、c 、d 。对于元素A ，我们可将其放在b 、c 、d 三个位置，容易看出，这三个位置对于元素A 来说是等价的；假定A 现在放在了b 位置。

A

B C D b a c d

此时，元素B 有两种选择：①放在a 位置；②不放在a 位置；当元素B 放在a 位置时，我们会发现，之后的情形与2D 相同；而当B 不放在a 位置时，情况与3D 相同（因为B 不放

在a 位置，我们可以认为a 位置就是b 位置）。

因此，我们得到一个递推公式：423D (41)(D D )=-+；

类似的，得到n 个元素全错位排列的递推公式：

n n 1n 2D (n 1)(D D )--=-+

A B C D b a c d A B C D b a c d A

B C D a b c d