函数单调性的习题及答案

函数的单调性（一）

一、选择题：

1．在区间(0，＋∞)上不是增函数的函数是

（ ）

A ．y =2x ＋1

B ．y =3x 2

＋1

C ．y =

x

2

D ．y =2x 2

＋x ＋1

2．函数f (x )=4x 2

－mx ＋5在区间［－2，＋∞］上是增函数，在区间(－∞，－2)上是减函

数，则f (1)等于 （ ） A ．－7 B ．1 C ．17 D ．25 9．函数)2()(||)(x x x g x x f -==和的递增区间依次是

（ ）

A ．]1,(],0,(-∞-∞

B ．),1[],0,(+∞-∞

C ．]1,(),,0[-∞+∞

D ),1[),,0[+∞+∞

10．已知函数()()2212f x x a x =+-+在区间(]4,∞-上是减函数，则实数a 的取值范围是（ ）

A ．a ≤3

B ．a ≥－3

C ．a ≤5

D ．a ≥3

10．已知函数()()2212f x x a x =+-+的单调递减区间(]4,∞-上是减函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．a ≤3 B ．a ≥－3 C ．a ≤5 D ．a ≥3

二、填空题：

13．函数y =(x －1)-2

的减区间是___ _． 14．函数y =x －2x -1＋2的值域为__ ___． 15、设()y f x =是R 上的减函数，则()3y f

x =-的单调递减区间为 .

16、函数f (x ) = ax 2

＋4(a ＋1)x －3在[2，＋∞]上递减，则a 的取值范围是__ ． 三、解答题：

17．f (x )是定义在( 0，＋∞)上的增函数，且f (y

x

) = f (x )－f (y ) （1）求f (1)的值．

（2）若f (6)= 1，解不等式 f ( x ＋3 )－f (x

1

) ＜2 ．

18．函数f (x )=－x 3

＋1在R 上是否具有单调性如果具有单调性，它在R 上是增函数还是减

函数试证明你的结论．

19．试讨论函数f (x )=21x -在区间［－1，1］上的单调性．

20．设函数f (x )=12+x －ax ，(a ＞0)，试确定：当a 取什么值时，函数f (x )在0，＋∞)上为单调函数．

21．已知f (x )是定义在(－2，2)上的减函数，并且f (m －1)－f (1－2m )＞0，求实数m 的取

值范围．

22．已知函数f (x )=x

a

x x ++22，x ∈［1，＋∞］

（1）当a =2

1

时，求函数f (x )的最小值；

（2）若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )＞0恒成立，试求实数a 的取值范围．

参考答案

一、选择题： CDBBD ADCCA BA

二、填空题：13. (1，＋∞)， 14. (－∞，3)，15.[)3,+∞， ⎥⎦

⎤ ⎝

⎛-∞-2

1,

三、解答题：17.解析：①在等式中0≠=y x 令，则f (1)=0．

②在等式中令x=36，y=6则.2)6(2)36(),6()36()6

36

(

==∴-=f f f f f 故原不等式为：),36()1()3(f x

f x f <-+即f [x (x ＋3)]＜f (36)，又f (x )在(0，＋∞)上为增函数，

故不等式等价于：.23153036

)3(00103-<<⇒⎪⎪⎩⎪

⎪⎨⎧<+<>>+x x x x x

18.解析： f (x )在R 上具有单调性，且是单调减函数，证明如下：

设x 1、x 2∈(－∞，＋∞)， x 1＜x 2 ，则f (x 1)=－x 13＋1， f (x 2)=－x 23

＋1．

f (x 1)－f (x 2)=x 23－x 13=(x 2－x 1)(x 12＋x 1x 2＋x 22)=(x 2－x 1)［(x 1＋

2

2x )2＋43x 22

］．

∵x 1＜x 2，∴x 2－x 1＞0而(x 1＋

2

2x )2＋43x 22

＞0，∴f (x 1)＞f (x 2)．

∴函数f (x )=－x 3

＋1在(－∞，＋∞)上是减函数．

19.解析： 设x 1、x 2∈－1，1］且x 1＜x 2，即－1≤x 1＜x 2≤1．

f (x 1)－f (x 2)=211x -－2

21x -=

2

2

2

12

22111)1()1(x x x x -+----=

2

2

2

1121211))((x x x x x x -+-+-

∵x 2－x 1＞0，2

22

111x x -+-＞0，∴当x 1＞0，x 2＞0时，x 1＋x 2＞0，那么f (x 1)＞

f (x 2)．

当x 1＜0，x 2＜0时，x 1＋x 2＜0，那么f (x 1)＜f (x 2)．

故f (x )=21x -在区间［－1，0］上是增函数，f (x )=21x -在区间［0，1］上是减函数．

20.解析：任取x 1、x 2∈0，＋)∞且x 1＜x 2，则

f (x 1)－f (x 2)=121+x －12

2+x －a (x 1－x 2)=

1

12

22

122

21+++-x x x x －a (x 1－x 2)

=(x 1－x 2)(1

12

22

12

1++++x x x x －a )

(1)当a ≥1时，∵

1

12

22

12

1++++x x x x ＜1，

又∵x 1－x 2＜0，∴f (x 1)－f (x 2)＞0，即f (x 1)＞f (x 2) ∴a ≥1时，函数f (x )在区间［0，＋∞)上为减函数． (2)当0＜a ＜1时，在区间［0，＋∞］上存在x 1=0，x 2=2

12a

a

-，满足f (x 1)=f (x 2)=1 ∴0＜a ＜1时，f (x )在［０，＋)∞上不是单调函数 注： ①判断单调性常规思路为定义法； ②变形过程中

1

12

22

12

1++++x x x x ＜1利用了121+x ＞|x 1|≥x 1;12

2+x ＞x 2；

③从a 的范围看还须讨论0＜a ＜1时f (x )的单调性，这也是数学严谨性的体现．

21.解析： ∵f (x )在(－2，2)上是减函数

∴由f (m －1)－f (1－2m )＞0，得f (m －1)＞f (1－2m )