函数单调性的习题及答案
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函数的单调性(一)
一、选择题:
1.在区间(0,+∞)上不是增函数的函数是
( )
A .y =2x +1
B .y =3x 2
+1
C .y =
x
2
D .y =2x 2
+x +1
2.函数f (x )=4x 2
-mx +5在区间[-2,+∞]上是增函数,在区间(-∞,-2)上是减函
数,则f (1)等于 ( ) A .-7 B .1 C .17 D .25 9.函数)2()(||)(x x x g x x f -==和的递增区间依次是
( )
A .]1,(],0,(-∞-∞
B .),1[],0,(+∞-∞
C .]1,(),,0[-∞+∞
D ),1[),,0[+∞+∞
10.已知函数()()2212f x x a x =+-+在区间(]4,∞-上是减函数,则实数a 的取值范围是( )
A .a ≤3
B .a ≥-3
C .a ≤5
D .a ≥3
10.已知函数()()2212f x x a x =+-+的单调递减区间(]4,∞-上是减函数,则实数a 的取值范围是( ) A .a ≤3 B .a ≥-3 C .a ≤5 D .a ≥3
二、填空题:
13.函数y =(x -1)-2
的减区间是___ _. 14.函数y =x -2x -1+2的值域为__ ___. 15、设()y f x =是R 上的减函数,则()3y f
x =-的单调递减区间为 .
16、函数f (x ) = ax 2
+4(a +1)x -3在[2,+∞]上递减,则a 的取值范围是__ . 三、解答题:
17.f (x )是定义在( 0,+∞)上的增函数,且f (y
x
) = f (x )-f (y ) (1)求f (1)的值.
(2)若f (6)= 1,解不等式 f ( x +3 )-f (x
1
) <2 .
18.函数f (x )=-x 3
+1在R 上是否具有单调性如果具有单调性,它在R 上是增函数还是减
函数试证明你的结论.
19.试讨论函数f (x )=21x -在区间[-1,1]上的单调性.
20.设函数f (x )=12+x -ax ,(a >0),试确定:当a 取什么值时,函数f (x )在0,+∞)上为单调函数.
21.已知f (x )是定义在(-2,2)上的减函数,并且f (m -1)-f (1-2m )>0,求实数m 的取
值范围.
22.已知函数f (x )=x
a
x x ++22,x ∈[1,+∞]
(1)当a =2
1
时,求函数f (x )的最小值;
(2)若对任意x ∈[1,+∞),f (x )>0恒成立,试求实数a 的取值范围.
参考答案
一、选择题: CDBBD ADCCA BA
二、填空题:13. (1,+∞), 14. (-∞,3),15.[)3,+∞, ⎥⎦
⎤ ⎝
⎛-∞-2
1,
三、解答题:17.解析:①在等式中0≠=y x 令,则f (1)=0.
②在等式中令x=36,y=6则.2)6(2)36(),6()36()6
36
(
==∴-=f f f f f 故原不等式为:),36()1()3(f x
f x f <-+即f [x (x +3)]<f (36),又f (x )在(0,+∞)上为增函数,
故不等式等价于:.23153036
)3(00103-<<⇒⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧<+<>>+x x x x x
18.解析: f (x )在R 上具有单调性,且是单调减函数,证明如下:
设x 1、x 2∈(-∞,+∞), x 1<x 2 ,则f (x 1)=-x 13+1, f (x 2)=-x 23
+1.
f (x 1)-f (x 2)=x 23-x 13=(x 2-x 1)(x 12+x 1x 2+x 22)=(x 2-x 1)[(x 1+
2
2x )2+43x 22
].
∵x 1<x 2,∴x 2-x 1>0而(x 1+
2
2x )2+43x 22
>0,∴f (x 1)>f (x 2).
∴函数f (x )=-x 3
+1在(-∞,+∞)上是减函数.
19.解析: 设x 1、x 2∈-1,1]且x 1<x 2,即-1≤x 1<x 2≤1.
f (x 1)-f (x 2)=211x --2
21x -=
2
2
2
12
22111)1()1(x x x x -+----=
2
2
2
1121211))((x x x x x x -+-+-
∵x 2-x 1>0,2
22
111x x -+->0,∴当x 1>0,x 2>0时,x 1+x 2>0,那么f (x 1)>
f (x 2).
当x 1<0,x 2<0时,x 1+x 2<0,那么f (x 1)<f (x 2).
故f (x )=21x -在区间[-1,0]上是增函数,f (x )=21x -在区间[0,1]上是减函数.
20.解析:任取x 1、x 2∈0,+)∞且x 1<x 2,则
f (x 1)-f (x 2)=121+x -12
2+x -a (x 1-x 2)=
1
12
22
122
21+++-x x x x -a (x 1-x 2)
=(x 1-x 2)(1
12
22
12
1++++x x x x -a )
(1)当a ≥1时,∵
1
12
22
12
1++++x x x x <1,
又∵x 1-x 2<0,∴f (x 1)-f (x 2)>0,即f (x 1)>f (x 2) ∴a ≥1时,函数f (x )在区间[0,+∞)上为减函数. (2)当0<a <1时,在区间[0,+∞]上存在x 1=0,x 2=2
12a
a
-,满足f (x 1)=f (x 2)=1 ∴0<a <1时,f (x )在[0,+)∞上不是单调函数 注: ①判断单调性常规思路为定义法; ②变形过程中
1
12
22
12
1++++x x x x <1利用了121+x >|x 1|≥x 1;12
2+x >x 2;
③从a 的范围看还须讨论0<a <1时f (x )的单调性,这也是数学严谨性的体现.
21.解析: ∵f (x )在(-2,2)上是减函数
∴由f (m -1)-f (1-2m )>0,得f (m -1)>f (1-2m )