全国硕士研究生考试数学历年真题试题及答案

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2023年全国硕士研究生招生考试考研《数学一》真题及详解

2023年全国硕士研究生招生考试考研《数学一》真题及详解一、选择题：1～10小题，每小题5分，共50分。

下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将所选选项前的字母填在答题卡指定位置。

1．曲线1ln 1y x e x ⎛⎫=+⎪-⎝⎭的渐近线方程为（）。

A ．y ＝x ＋e B ．y ＝x ＋1/e C ．y ＝xD ．y ＝x －1/e 【答案】B【解析】由已知1ln 1y x e x ⎛⎫=+⎪-⎝⎭，则可得： 1ln 11lim lim lim ln 11x x x x e y x k e x x x →∞→∞→∞⎛⎫+ ⎪-⎛⎫⎝⎭===+= ⎪-⎝⎭ ()()()11lim lim ln lim ln 11111lim ln 1lim 11x x x x x b y kx x e x x e x x x x e x e x e →∞→∞→∞→∞→∞⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=+-=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥--⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎡⎤=+==⎢⎥--⎣⎦所以斜渐近线方程为y ＝x ＋1/e 。

2．若微分方程y ′′＋ay ′＋by ＝0的解在（－∞，＋∞）上有界，则（）。

A ．a ＜0，b ＞0 B ．a ＞0，b ＞0 C ．a ＝0，b ＞0 D ．a ＝0，b ＜0 【答案】C【解析】由题意，微分方程的特征方程为λ2＋a λ＋b ＝0。

当Δ＝a 2－4b ＞0时，特征方程有两个不同的实根λ1，λ2，则λ1，λ2至少有一个不等于零。

若C 1、C 2都不为零，则微分方程的解为1212xx y C eC e λλ=+。

因此，此时不能有解在（－∞，＋∞）上有界。

当Δ＝a 2－4b ＝0时，特征方程有两个相同的实根λ1，2＝－a/2。

若C 2≠0，则微分方程的解为2212a a x x y C eC e--=+。

因此，此时不能有解在（－∞，＋∞）上有界。

当Δ＝a 2－4b ＜0时，特征方程的根为1,222a λ=-±。

2024 年全国硕士研究生入学统一考试数学

2024 年全国硕士研究生入学统一考试数学一、选择题（每题3分，共30分）下列计算正确的是（）A. 3a+2b=5abB. a6÷a2=a3C. (a+b)2=a2+2ab+b2D. a3⋅a2=a6下列函数中，随x的增大而减小的是（）A. y=2xB. y=x1（x>0）C. y=−x+1D. y=x2（x>0）下列说法正确的是（）A. 无限小数是无理数B. 负数没有平方根C. 所有的有理数都能用数轴上的点表示D. 绝对值等于本身的数是负数下列调查中，适合采用抽样调查方式的是（）A. 对某市中学生每天学习所用时间的调查B. 对某市食品合格情况的调查C. 对“神舟”飞船零部件的检查D. 对某校七年级（1）班学生视力情况的调查二、填空题（每题3分，共15分）若扇形的圆心角为60∘，半径为3，则该扇形的弧长为_______。

分解因式：x2−9= _______。

已知直线y=2x+b经过点(1,3)，则b= _______。

已知一个正多边形的内角和为1800∘，则这个正多边形的边数是_______。

已知关于x的一元二次方程x2−6x+k=0有两个相等的实数根，则k的值为_______。

三、解答题（共55分）1.（10分）计算：16−∣−3∣+(3)0−(−21)−2。

2.（10分）解方程组：{3x−2y=8x+4y=−13.（10分）先化简，再求值：(x−1)2−x(x+7)，其中x=21。

4.（10分）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点(1,0)，(0,3)，且对称轴为直线x=−1，求这个二次函数的解析式。

5.（15分）某商店经销一种成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售价每涨1元，月销售量就减少10千克。

针对这种水产品销售情况，请解答以下问题：（1）当销售单价定为每千克55元时，计算月销售量和月销售利润；（2）商店想在月销售成本不超过15000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？。

研究生数学试题及答案

研究生数学试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列哪个选项是函数f(x)=x^2+3x+2的导数？A. 2x+3B. 2x+6C. x^2+3D. 3x+2答案：A2. 矩阵A和矩阵B的乘积AB中，如果A是3x2矩阵，B是2x4矩阵，那么AB的维度是多少？A. 3x4B. 3x3C. 2x4D. 4x4答案：A3. 以下哪个级数是收敛的？A. 1/nB. 1/n^2C. 1/n^3D. 1/n^(1/2)答案：B4. 函数f(x)=sin(x)在区间[0, π]上的定积分是多少？A. 0B. πC. 2D. -π答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 如果函数f(x)在x=a处连续，那么lim(x→a)f(x) = _______。

答案：f(a)2. 矩阵A的特征值是特征多项式det(A-λI)=0的解，其中I是单位矩阵，λ代表_______。

答案：特征值3. 微分方程y''+y=0的通解是y=C1cos(x)+C2sin(x)，其中C1和C2是常数，那么这个方程的特解y_p=_______。

答案：04. 函数f(x)=x^3-3x+1在x=1处的二阶导数是_______。

答案：6三、解答题（每题15分，共30分）1. 证明函数f(x)=x^3在实数域R上是单调递增的。

证明：由于f'(x)=3x^2≥0对所有x∈R成立，且仅在x=0时取等号，因此f(x)在R上单调递增。

2. 求解微分方程y'+2y=e^(-2x)的通解。

解：首先找到齐次方程y'+2y=0的解，得到y_h=Ce^(-2x)。

然后使用待定系数法找到特解y_p=A，代入原方程得到A=1/2e^(-2x)。

因此，通解为y=Ce^(-2x)+1/2e^(-2x)。

结束语：本试题及答案旨在考察研究生数学的基本概念、计算能力和证明技巧，希望同学们通过练习能够加深对数学知识的理解与应用。

全国硕士研究生考试数学历年真题试题及答案

全国硕士研究生考试数学历年真题试题及答案一、单选题（共25题，共100分）1.若函数，x>0在x=0连续，则（）。

• A.ab=1/2• B.ab=-1/2• C.ab=0• D.ab=2ABCD正确答案：A您的答案：本题解析：暂无解析2.设函数f (x) 可导，且f ( x) f '(x)>0 ，则（）。

• A.f (1) >f ( 1)• B.f (1)< f ( 1)• C. | f (1)|> | f ( 1)• D.| f (1)| <| f ( 1)•ABCD正确答案：C您的答案：本题解析：暂无解析3.函数f (x, y, z)=x2 y+ z2 在点(1,2,0) 处沿向量r/n=(1,2,0)的方向导数为（）。

• A.12• B.6• C.4• D.2ABCD正确答案：D您的答案：4.甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位:m）处，图中，实线表示甲的速度曲线v=v 1(t) （单位：m/s），虚线表示乙的速度曲线v=v2 (t) ，三块阴影部分面积的数值依次为10，20，3，计时开始后乙追上甲的时刻记为t0 （单位：s），则（）。

• A. t0 =10• B.15< t0<20•• C.t0 =25• D.t0 >25ABCD正确答案：C您的答案：5.设为n 维单位列向量，E 为n 维单位矩阵，则（）。

• A.• B.• C.• D.ABCD正确答案：A您的答案：本题解析：暂无解析6.已知矩阵,则（）。

• A.A 与C相似，B 与C相似• B.A 与C相似，B 与C不相似• C. A 与C不相似，B与C相似• D.A 与C不相似，B与C不相似ABCD正确答案：B您的答案：本题解析：暂无解析7.设A，B 为随机事件，若0<p( a)<1,0<p(b)<p(a="" |b)="" 的充分必要条件是（）<="" p="">• A.P(B | A) >P(B | A)• B.P(B | A)< P(B | A)• C.P(B | A) >P(B | A)• D. P(B | A)< P(B | A)ABCD正确答案：A您的答案：本题解析：暂无解析8.设来自总体的简单随机样本，记则下列结论中不正确的是（）.• A.• B.• C.• D.ABCD正确答案：B您的答案：本题解析：暂无解析9.某部门在一次联欢活动中共设26个奖，奖品均价为280元，其中一等奖单价为400270元，一等奖的个数为()• A.6• B.5• C.4• D.3• E.2ABCDE正确答案：E您的答案：本题解析：设一等奖有X个，则其他奖项有26-X个。

1978-2019年全国硕士研究生入学统一考试(数学一)真题及部分答案

历年考研数学一真题1987-20191987年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)当x =_____________时,函数2x y x =⋅取得极小值. (2)由曲线ln y x=与两直线e 1y x=+-及y =所围成的平面图形的面积是_____________.1x =(3)与两直线 1y t =-+2z t =+及121111x y z +++==都平行且过原点的平面方程为_____________.(4)设L 为取正向的圆周229,x y +=则曲线积分2(22)(4)L xy y dx x x dy -+-⎰= _____________. (5)已知三维向量空间的基底为123(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1),===ααα则向量(2,0,0)=β在此基底下的坐标是_____________.二、(本题满分8分)求正的常数a 与,b 使等式201lim 1sin x x bx x →=-⎰成立.三、(本题满分7分) (1)设f 、g 为连续可微函数,(,),(),u f x xy v g x xy ==+求,.u v x x∂∂∂∂ (2)设矩阵A 和B 满足关系式2,+AB =A B 其中301110,014⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A 求矩阵.B四、(本题满分8分)求微分方程26(9)1y y a y ''''''+++=的通解,其中常数0.a >五、选择题(本题共4小题,每小题3分,满分12分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (1)设2()()lim1,()x af x f a x a →-=--则在x a =处 (A)()f x 的导数存在,且()0f a '≠ (B)()f x 取得极大值 (C)()f x 取得极小值 (D)()f x 的导数不存在 (2)设()f x 为已知连续函数0,(),s t I t f tx dx =⎰其中0,0,t s >>则I 的值(A)依赖于s 和t (B)依赖于s 、t 和x (C)依赖于t 、x ,不依赖于s (D)依赖于s ,不依赖于t (3)设常数0,k >则级数21(1)n n k n n∞=+-∑(A)发散 (B)绝对收敛 (C)条件收敛 (D)散敛性与k 的取值有关 (4)设A 为n 阶方阵，且A 的行列式||0,a =≠A 而*A 是A 的伴随矩阵，则*||A 等于(A)a (B)1a(C)1n a - (D)na六、（本题满分10分）求幂级数1112n nn x n ∞-=∑的收敛域，并求其和函数.七、（本题满分10分）求曲面积分2(81)2(1)4,I x y dydz y dzdx yzdxdy ∑=++--⎰⎰其中∑是由曲线13()0z y f x x ⎧=≤≤⎪=⎨=⎪⎩绕y 轴旋转一周而成的曲面,其法向量与y 轴正向的夹角恒大于.2π八、（本题满分10分）设函数()f x 在闭区间[0,1]上可微,对于[0,1]上的每一个,x 函数()f x 的值都在开区间(0,1)内,且()f x '≠1,证明在(0,1)内有且仅有一个,x 使得().f x x =九、（本题满分8分）问,a b 为何值时,现线性方程组123423423412340221(3)2321x x x x x x x x a x x b x x x ax +++=++=-+--=+++=-有唯一解,无解,有无穷多解?并求出有无穷多解时的通解.十、填空题(本题共3小题,每小题2分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)设在一次实验中,事件A 发生的概率为,p 现进行n 次独立试验,则A 至少发生一次的概率为____________;而事件A 至多发生一次的概率为____________.(2)有两个箱子,第1个箱子有3个白球,2个红球, 第2个箱子有4个白球,4个红球.现从第1个箱子中随机地取1个球放到第2个箱子里,再从第2个箱子中取出1个球,此球是白球的概率为____________.已知上述从第2个箱子中取出的球是白球,则从第一个箱子中取出的球是白球的概率为____________. (3)已知连续随机变量X 的概率密度函数为221(),xx f x-+-=则X 的数学期望为____________,X 的方差为____________.十一、（本题满分6分）设随机变量,X Y 相互独立,其概率密度函数分别为()X f x = 1001x ≤≤其它,()Y f y = e 0y - 00y y >≤, 求2Z X Y =+的概率密度函数.1988年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)(1)求幂级数1(3)3nnn x n ∞=-∑的收敛域. (2)设2()e ,[()]1x f x f x x ϕ==-且()0x ϕ≥,求()x ϕ及其定义域.(3)设∑为曲面2221x y z ++=的外侧,计算曲面积分333.I x dydz y dzdx z dxdy ∑=++⎰⎰二、填空题(本题共4小题,每小题3分,满分12分.把答案填在题中横线上)(1)若21()lim (1),tx x f t t x→∞=+则()f t '= _____________.(2)设()f x 连续且31(),x f t dt x -=⎰则(7)f =_____________. (3)设周期为2的周期函数,它在区间(1,1]-上定义为()f x =22x1001x x -<≤<≤,则的傅里叶()Fourier 级数在1x =处收敛于_____________.(4)设4阶矩阵234234[,,,],[,,,],==A αγγγB βγγγ其中234,,,,αβγγγ均为4维列向量,且已知行列式4,1,==A B 则行列式+A B = _____________.三、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (1)设()f x 可导且01(),2f x '=则0x ∆→时,()f x 在0x 处的微分dy 是(A)与x ∆等价的无穷小 (B)与x∆同阶的无穷小(C)比x ∆低阶的无穷小 (D)比x ∆高阶的无穷小 (2)设()y f x =是方程240y y y '''-+=的一个解且00()0,()0,f x f x '>=则函数()f x 在点0x 处(A)取得极大值 (B)取得极小值(C)某邻域内单调增加 (D)某邻域内单调减少 (3)设空间区域2222222212:,0,:,0,0,0,x y z R z x y z R x y z Ω++≤≥Ω++≤≥≥≥则(A)124xdv dv ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰(B)124ydv ydv ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰(C)124zdv zdv ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰(D)124xyzdv xyzdv ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰(4)设幂级数1(1)n n n a x ∞=-∑在1x =-处收敛,则此级数在2x =处(A)条件收敛 (B)绝对收敛(C)发散 (D)收敛性不能确定(5)n 维向量组12,,,(3)s s n ≤≤ααα线性无关的充要条件是(A)存在一组不全为零的数12,,,,s k k k 使11220s s k k k +++≠ααα(B)12,,,s ααα中任意两个向量均线性无关(C)12,,,s ααα中存在一个向量不能用其余向量线性表示(D)12,,,s ααα中存在一个向量都不能用其余向量线性表示四、(本题满分6分)设()(),x y u yf xg yx=+其中函数f 、g 具有二阶连续导数,求222.u u x y x x y∂∂+∂∂∂五、(本题满分8分)设函数()y y x =满足微分方程322e ,x y y y '''-+=其图形在点(0,1)处的切线与曲线21y x x =--在该点处的切线重合,求函数().y y x =六、（本题满分9分）设位于点(0,1)的质点A 对质点M 的引力大小为2(0kk r>为常数,r 为A 质点与M 之间的距离),质点M 沿直线y =(2,0)B 运动到(0,0),O 求在此运动过程中质点A 对质点M 的引力所作的功.七、（本题满分6分）已知,=AP BP 其中100100000,210,001211⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦B P 求5,.A A八、（本题满分8分）已知矩阵20000101x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A 与20000001y ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦B 相似. (1)求x 与.y (2)求一个满足1-=PAP B的可逆阵.P九、（本题满分9分）设函数()f x 在区间[,]a b 上连续,且在(,)a b 内有()0,f x '>证明:在(,)a b 内存在唯一的,ξ使曲线()y f x =与两直线(),y f x a ξ==所围平面图形面积1S 是曲线()y f x =与两直线(),y f x b ξ==所围平面图形面积2S 的3倍.十、填空题(本题共3小题,每小题2分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)设在三次独立试验中,事件A 出现的概率相等,若已知A 至少出现一次的概率等于19,27则事件A 在一次试验中出现的概率是____________.(2)若在区间(0,1)内任取两个数,则事件”两数之和小于65”的概率为____________.(3)设随机变量X 服从均值为10,均方差为0.02的正态分布,已知22(),(2.5)0.9938,u xx du φφ-==⎰则X 落在区间(9.95,10.05)内的概率为____________.十一、（本题满分6分）设随机变量X 的概率密度函数为21(),(1)X f x x π=-求随机变量1Y =的概率密度函数().Y f y1989年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)已知(3)2,f '=则0(3)(3)lim2h f h f h→--= _____________. (2)设()f x 是连续函数,且10()2(),f x x f t dt =+⎰则()f x =_____________.(3)设平面曲线L为下半圆周y =则曲线积分22()Lxy ds +⎰=_____________.(4)向量场div u在点(1,1,0)P 处的散度div u =_____________.(5)设矩阵300100140,010,003001⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A I 则矩阵1(2)--A I =_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (1)当0x >时,曲线1sin y x x=(A)有且仅有水平渐近线 (B)有且仅有铅直渐近线(C)既有水平渐近线,又有铅直渐近线 (D)既无水平渐近线,又无铅直渐近线(2)已知曲面224z x y =--上点P 处的切平面平行于平面2210,x y z ++-=则点的坐标是(A)(1,1,2)- (B)(1,1,2)-(C)(1,1,2) (D)(1,1,2)-- (3)设线性无关的函数都是二阶非齐次线性方程的解是任意常数,则该非齐次方程的通解是(A)11223c y c y y ++ (B)1122123()c y c y c c y +-+(C)1122123(1)c y c y c c y +--- (D)1122123(1)c y c y c c y ++--(4)设函数2(),01,f x x x =≤<而1()sin ,,n n S x b n x x π∞==-∞<<+∞∑其中12()sin ,1,2,3,,n b f x n xdx n π==⎰则1()2S -等于(A)12- (B)14-(C)14(D)12(5)设A 是n 阶矩阵,且A 的行列式0,=A 则A 中 (A)必有一列元素全为0 (B)必有两列元素对应成比例(C)必有一列向量是其余列向量的线性组合 (D)任一列向量是其余列向量的线性组合三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分) (1)设(2)(,),z f x y g x xy =-+其中函数()f t 二阶可导,(,)g u v 具有连续二阶偏导数,求2.zx y∂∂∂ (2)设曲线积分2()c xy dx y x dy ϕ+⎰与路径无关,其中()x ϕ具有连续的导数,且(0)0,ϕ=计算(1,1)2(0,0)()xy dx y x dy ϕ+⎰的值.(3)计算三重积分(),x z dv Ω+⎰⎰⎰其中Ω是由曲面z =与z =所围成的区域.四、(本题满分6分)将函数1()arctan 1x f x x+=-展为x 的幂级数.五、(本题满分7分)设0()sin ()(),xf x x x t f t dt =--⎰其中f 为连续函数,求().f x六、（本题满分7分）证明方程0ln exx π=-⎰在区间(0,)+∞内有且仅有两个不同实根.七、（本题满分6分）问λ为何值时,线性方程组13x x λ+= 123422x x x λ++=+ 1236423x x x λ++=+有解,并求出解的一般形式. 八、（本题满分8分）假设λ为n 阶可逆矩阵A 的一个特征值,证明 (1)1λ为1-A 的特征值.(2)λA为A 的伴随矩阵*A 的特征值.九、（本题满分9分）设半径为R 的球面∑的球心在定球面2222(0)x y z a a ++=>上,问当R 为何值时,球面∑在定球面内部的那部分的面积最大?十、填空题(本题共3小题,每小题2分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)已知随机事件A 的概率()0.5,P A =随机事件B 的概率()0.6P B =及条件概率(|)0.8,P B A =则和事件AB的概率()P AB =____________.(2)甲、乙两人独立地对同一目标射击一次,其命中率分别为0.6和0.5,现已知目标被命中,则它是甲射中的概率为____________.(3)若随机变量ξ在(1,6)上服从均匀分布,则方程210x x ξ++=有实根的概率是____________.十一、（本题满分6分）设随机变量X 与Y 独立,且X 服从均值为1、标准差(均方差)的正态分布,而Y 服从标准正态分布.试求随机变量23Z X Y =-+的概率密度函数.1990年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)2x t =-+(1)过点(1,21)M -且与直线 34y t =-垂直的平面方程是_____________.1z t =-(2)设a 为非零常数,则lim()x x x a x a→∞+-=_____________.(3)设函数()f x =111x x ≤>,则[()]f f x =_____________.(4)积分2220e y x dx dy -⎰⎰的值等于_____________. (5)已知向量组1234(1,2,3,4),(2,3,4,5),(3,4,5,6),(4,5,6,7),====αααα则该向量组的秩是_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设()f x 是连续函数,且e ()(),xx F x f t dt -=⎰则()F x '等于(A)e (e )()x x f f x ---- (B)e (e )()x x f f x ---+(C)e (e )()x x f f x ---(D)e (e )()x x f f x --+ (2)已知函数()f x 具有任意阶导数,且2()[()],f x f x '=则当n 为大于2的正整数时,()f x 的n 阶导数()()n f x 是(A)1![()]n n f x + (B)1[()]n n f x +(C)2[()]n f x(D)2![()]n n f x(3)设a 为常数,则级数21sin()[n na n∞=∑ (A)绝对收敛 (B)条件收敛(C)发散 (D)收敛性与a 的取值有关 (4)已知()f x 在0x =的某个邻域内连续,且0()(0)0,lim2,1cos x f x f x→==-则在点0x =处()f x (A)不可导 (B)可导,且(0)0f '≠(C)取得极大值 (D)取得极小值(5)已知1β、2β是非齐次线性方程组=AX b 的两个不同的解1,α、2α是对应其次线性方程组=AX 0的基础解析1,k 、2k 为任意常数,则方程组=AX b 的通解(一般解)必是(A)1211212()2k k -+++ββααα(B)1211212()2k k ++-+ββααα (C)1211212()2k k -+++ββαββ(D)1211212()2k k ++-+ββαββ三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)(1)求120ln(1).(2)x dx x +-⎰(2)设(2,sin ),z f x y y x =-其中(,)f u v 具有连续的二阶偏导数,求2.zx y∂∂∂(3)求微分方程244e x y y y -'''++=的通解(一般解).四、(本题满分6分)求幂级数0(21)n n n x ∞=+∑的收敛域,并求其和函数.五、(本题满分8分) 求曲面积分2SI yzdzdx dxdy =+⎰⎰其中S 是球面2224x y z ++=外侧在0z ≥的部分.六、（本题满分7分）设不恒为常数的函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续,在开区间(,)a b 内可导,且()().f a f b =证明在(,)a b 内至少存在一点,ξ使得()0.f ξ'>七、（本题满分6分）设四阶矩阵1100213401100213,0011002100010002-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦B C 且矩阵A 满足关系式1()-''-=A E C B C E其中E 为四阶单位矩阵1,-C 表示C 的逆矩阵,'C 表示C 的转置矩阵.将上述关系式化简并求矩阵.A八、（本题满分8分）求一个正交变换化二次型22212312132344448f x x x x x x x x x =++-+-成标准型.九、（本题满分8分）质点P 沿着以AB 为直径的半圆周,从点(1,2)A 运动到点(3,4)B 的过程中受变力F 作用(见图).F 的大小等于点P 与原点O 之间的距离,其方向垂直于线段OP 且与y 轴正向的夹角小于.2π求变力F 对质点P 所作的功.十、填空题(本题共3小题,每小题2分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)已知随机变量X 的概率密度函数1()e ,2xf x x -=-∞<<+∞ 则X 的概率分布函数()F x =____________.(2)设随机事件A 、B 及其和事件的概率分别是0.4、0.3和0.6,若B 表示B 的对立事件,那么积事件AB 的概率()P AB =____________.(3)已知离散型随机变量X 服从参数为2的泊松()Poisson 分布,即22e {},0,1,2,,!k P X k k k -===则随机变量32Z X =-的数学期望()E Z =____________.十一、（本题满分6分）设二维随机变量(,)X Y 在区域:01,D x y x <<<内服从均匀分布,求关于X 的边缘概率密度函数及随机变量21Z X =+的方差().D Z1991年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)设 21cos x t y t=+=,则22d ydx =_____________.(2)由方程xyz +=所确定的函数(,)z z x y =在点(1,0,1)-处的全微分dz =_____________.(3)已知两条直线的方程是1212321:;:.101211x y z x y zl l ---+-====-则过1l 且平行于2l 的平面方程是_____________.(4)已知当0x →时123,(1)1ax +-与cos 1x -是等价无穷小,则常数a =_____________.(5)设4阶方阵52002100,00120011⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦A 则A的逆阵1-A =_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)曲线221e 1ex x y --+=-(A)没有渐近线 (B)仅有水平渐近线(C)仅有铅直渐近线 (D)既有水平渐近线又有铅直渐近线 (2)若连续函数()f x 满足关系式20()()ln 2,2tf x f dt π=+⎰则()f x 等于(A)e ln 2x(B)2e ln 2x(C)eln 2x+(D)2eln 2x+(3)已知级数12111(1)2,5,n n n n n a a ∞∞--==-==∑∑则级数1n n a ∞=∑等于(A)3 (B)7 (C)8 (D)9 (4)设D 是平面xoy 上以(1,1)、(1,1)-和(1,1)--为顶点的三角形区域1,D 是D 在第一象限的部分,则(cos sin )Dxy x y dxdy +⎰⎰等于(A)12cos sin D x ydxdy ⎰⎰ (B)12D xydxdy ⎰⎰(C)14(cos sin )D xy x y dxdy +⎰⎰ (D)0(5)设n 阶方阵A 、B 、C 满足关系式,=ABC E 其中E 是n 阶单位阵,则必有(A)=ACB E (B)=CBA E(C)=BAC E (D)=BCA E三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分) (1)求20lim ).x π+→(2)设n 是曲面222236x y z ++=在点(1,1,1)P 处的指向外侧的法向量,求函数u =在点P 处沿方向n 的方向导数.(3)22(),x y z dv Ω++⎰⎰⎰其中Ω是由曲线 220yz x ==绕z 轴旋转一周而成的曲面与平面4z =所围城的立体.四、(本题满分6分)过点(0,0)O 和(,0)A π的曲线族sin (0)y a x a =>中,求一条曲线,L 使沿该曲线O 从到A 的积分3(1)(2)Ly dx x y dy +++⎰的值最小.五、(本题满分8分)将函数()2(11)f x x x =+-≤≤展开成以2为周期的傅里叶级数,并由此求级数211n n∞=∑的和.六、（本题满分7分）设函数()f x 在[0,1]上连续,(0,1)内可导,且1233()(0),f x dx f =⎰证明在(0,1)内存在一点,c 使()0.f c '=七、（本题满分8分）已知1234(1,0,2,3),(1,1,3,5),(1,1,2,1),(1,2,4,8)a a ===-+=+αααα及(1,1,3,5).b =+β(1)a 、b 为何值时,β不能表示成1234,,,αααα的线性组合?(2)a 、b 为何值时,β有1234,,,αααα的唯一的线性表示式?写出该表示式.八、（本题满分6分）设A 是n 阶正定阵,E 是n 阶单位阵,证明+A E 的行列式大于1.九、（本题满分8分）在上半平面求一条向上凹的曲线,其上任一点(,)P x y 处的曲率等于此曲线在该点的法线段PQ 长度的倒数(Q是法线与x 轴的交点),且曲线在点(1,1)处的切线与x 轴平行.十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)若随机变量X 服从均值为2、方差为2σ的正态分布,且{24}0.3,P X <<=则{0}P X <=____________.(2)随机地向半圆0y a <<为正常数)内掷一点,点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比,则原点和该点的连线与x 轴的夹角小于4π的概率为____________.十一、（本题满分6分）设二维随机变量(,)X Y 的密度函数为(,)f x y =(2)2e 0,00 x y x y -+>>其它求随机变量2Z X Y =+的分布函数.1992年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)设函数()y y x =由方程e cos()0x yxy ++=确定,则dydx=_____________.(2)函数222ln()u x y z =++在点(1,2,2)M -处的梯度grad Mu=_____________.(3)设()f x =211x-+ 00x x ππ-<≤<≤,则其以2π为周期的傅里叶级数在点x π处收敛于_____________. (4)微分方程tan cos y y x x'+=的通解为y=_____________.(5)设111212121212,n n n n n n a b a b a b a b a b a b a b a b a b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A 其中0,0,(1,2,,).i i a b i n ≠≠=则矩阵A的秩()r A =_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)当1x →时,函数1211e 1x x x ---的极限(A)等于2 (B)等于0 (C)为∞ (D)不存在但不为∞(2)级数1(1)(1cos )(n n a n∞=--∑常数0)a >(A)发散 (B)条件收敛(C)绝对收敛 (D)收敛性与a 有关(3)在曲线23,,x t y t z t ==-=的所有切线中,与平面24x y z ++=平行的切线(A)只有1条 (B)只有2条(C)至少有3条 (D)不存在(4)设32()3,f x x x x =+则使()(0)n f 存在的最高阶数n 为 (A)0 (B)1(C)2 (D)3(5)要使12100,121⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ξξ都是线性方程组=AX 0的解,只要系数矩阵A 为(A)[]212- (B)201011-⎡⎤⎢⎥⎣⎦(C)102011-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦(D)011422011-⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎣⎦三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分) (1)求x x →(2)设22(e sin ,),x z f y x y =+其中f 具有二阶连续偏导数,求2.zx y∂∂∂ (3)设()f x = 21exx -+ 00x x ≤>,求31(2).f x dx -⎰四、(本题满分6分)求微分方程323e x y y y -'''+-=的通解.五、(本题满分8分) 计算曲面积分323232()()(),xaz dydz y ax dzdx z ay dxdy ∑+++++⎰⎰其中∑为上半球面z =.六、（本题满分7分）设()0,(0)0,f x f ''<=证明对任何120,0,x x >>有1212()()().f x x f x f x +<+七、（本题满分8分）在变力F yzizxj xyk=++的作用下,质点由原点沿直线运动到椭球面2222221x y z a b c++=上第一卦限的点(,,),M ξηζ问当ξ、η、ζ取何值时,力F 所做的功W 最大?并求出W 的最大值.八、（本题满分7分）设向量组123,,ααα线性相关,向量组234,,ααα线性无关,问:(1)1α能否由23,αα线性表出?证明你的结论. (2)4α能否由123,,ααα线性表出?证明你的结论.九、（本题满分7分）设3阶矩阵A 的特征值为1231,2,3,λλλ===对应的特征向量依次为1231111,2,3,149⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ξξξ又向量12.3⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭β (1)将β用123,,ξξξ线性表出. (2)求(n n A β为自然数).十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上) (1)已知11()()(),()0,()(),46P A P B P C P AB P AC P BC ======则事件A、B 、C 全不发生的概率为____________.(2)设随机变量X 服从参数为1的指数分布,则数学期望2{e }X E X -+=____________.十一、（本题满分6分）设随机变量X 与Y 独立,X 服从正态分布2(,),N Y μσ服从[,]ππ-上的均匀分布,试求Z X Y =+的概率分布密度(计算结果用标准正态分布函数Φ表示,其中22()e)t xx dt --∞Φ=.1993年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)函数1()(2(0)x F x dt x =->⎰的单调减少区间为_____________.(2)2232120x y z +==绕y 轴旋转一周得到的旋转面在点处的指向外侧的单位法向量为_____________.(3)设函数2()()f x x x x πππ=+-<<的傅里叶级数展开式为1(cos sin ),2n n n a a nx b nx ∞=++∑则其中系数3b 的值为_____________. (4)设数量场u =则div(grad )u =_____________.(5)设n 阶矩阵A 的各行元素之和均为零,且A 的秩为1,n -则线性方程组=AX 0的通解为_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设sin 2340()sin(),(),xf x t dtg x x x ==+⎰则当0x →时,()f x 是()g x 的(A)等价无穷小 (B)同价但非等价的无穷小(C)高阶无穷小 (D)低价无穷小(2)双纽线22222()x y x y +=-所围成的区域面积可用定积分表示为(A)402cos 2d πθθ⎰ (B)404cos 2d πθθ⎰(C)2θ(D)2401(cos 2)2d πθθ⎰(3)设有直线1158:121x y z l --+==-与2:l 623x y y z -=+=则1l 与2l 的夹角为(A)6π(B)4π(C)3π(D)2π(4)设曲线积分[()e ]sin ()cos xL f t ydx f x ydy --⎰与路径无关,其中()f x 具有一阶连续导数,且(0)0,f =则()f x 等于(A)e e 2x x--(B)e e 2x x--(C)e e 12x x-+-(D)e e 12x x-+-(5)已知12324,369t ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦Q P 为三阶非零矩阵,且满足0,=PQ 则(A)6t =时P 的秩必为1 (B)6t =时P的秩必为2(C)6t ≠时P 的秩必为1 (D)6t ≠时P的秩必为2三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)(1)求21lim(sin cos ).x x x x→∞+(2)求.x(3)求微分方程22,x y xy y '+=满足初始条件11x y ==的特解.四、(本题满分6分)计算22,xzdydz yzdzdx z dxdy ∑+-⎰⎰其中∑是由曲面z =与z =所围立体的表面外侧.五、(本题满分7分)求级数20(1)(1)2n nn n n ∞=--+∑的和.六、(本题共2小题,每小题5分,满分10分) (1)设在[0,)+∞上函数()f x 有连续导数,且()0,(0)0,f x k f '≥><证明()f x 在(0,)+∞内有且仅有一个零点.(2)设,b a e >>证明.ba ab >七、（本题满分8分）已知二次型22212312323(,,)2332(0)f x x x x x x ax x a =+++>通过正交变换化成标准形22212325,f y y y =++求参数a 及所用的正交变换矩阵.八、（本题满分6分）设A 是n m ⨯矩阵,B 是m n ⨯矩阵,其中,n m <I 是n 阶单位矩阵,若,=AB I 证明B 的列向量组线性无关.九、（本题满分6分）设物体A 从点(0,1)出发,以速度大小为常数v 沿y 轴正向运动.物体B 从点(1,0)-与A 同时出发,其速度大小为2,v 方向始终指向,A 试建立物体B 的运动轨迹所满足的微分方程,并写出初始条件.十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)一批产品共有10个正品和2个次品,任意抽取两次,每次抽一个,抽出后不再放回,则第二次抽出的是次品的概率为____________.(2)设随机变量X 服从(0,2)上的均匀分布,则随机变量2Y X =在(0,4)内的概率分布密度()Y f y =____________.十一、（本题满分6分）设随机变量X的概率分布密度为1()e ,.2xf x x -=-∞<<+∞ (1)求X 的数学期望EX 和方差.DX(2)求X 与X 的协方差,并问X 与X 是否不相关? (3)问X 与X 是否相互独立?为什么?1994年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)011lim cot ()sin x x xπ→-= _____________.(2)曲面e 23x z xy -+=在点(1,2,0)处的切平面方程为_____________. (3)设e sin ,xxu y-=则2u x y ∂∂∂在点1(2,)π处的值为_____________.(4)设区域D为222,x y R +≤则2222()Dx y dxdy a b +⎰⎰=_____________. (5)已知11[1,2,3],[1,,],23==αβ设,'=A αβ其中'α是α的转置,则nA =_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (1)设4342342222222sin cos ,(sin cos ),(sin cos ),1x M xdx N x x dx P x x x dx x ππππππ---==+=-+⎰⎰⎰则有(A)N P M << (B)MP N<<(C)N MP <<(D)P MN<<(2)二元函数(,)f x y 在点00(,)x y 处两个偏导数00(,)x f x y '、00(,)y f x y '存在是(,)f x y 在该点连续的(A)充分条件而非必要条件 (B)必要条件而非充分条件(C)充分必要条件 (D)既非充分条件又非必要条件(3)设常数0,λ>且级数21n n a ∞=∑收敛,则级数1(1)nn ∞=-∑(A)发散 (B)条件收敛(C)绝对收敛 (D)收敛性与λ有关 (4)2tan (1cos )lim2,ln(12)(1)x x a x b x c x d e-→+-=-+-其中220,a c +≠则必有(A)4b d = (B)4b d =- (C)4a c = (D)4a c =- (5)已知向量组1234,,,αααα线性无关,则向量组1994年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)011lim cot ()sin x x xπ→-= _____________.(2)曲面e 23x z xy -+=在点(1,2,0)处的切平面方程为_____________. (3)设e sin ,xxu y-=则2u x y ∂∂∂在点1(2,)π处的值为_____________. (4)设区域D为222,x y R +≤则2222()Dx y dxdy a b +⎰⎰=_____________. (5)已知11[1,2,3],[1,,],23==αβ设,'=A αβ其中'α是α的转置,则nA =_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设4342342222222sin cos ,(sin cos ),(sin cos ),1x M xdx N x x dx P x x x dx x ππππππ---==+=-+⎰⎰⎰则有(A)N P M << (B)MP N<<(C)N MP <<(D)P MN<<(2)二元函数(,)f x y 在点00(,)x y 处两个偏导数00(,)x f x y '、00(,)y f x y '存在是(,)f x y 在该点连续的(A)充分条件而非必要条件 (B)必要条件而非充分条件(C)充分必要条件 (D)既非充分条件又非必要条件 (3)设常数0,λ>且级数21n n a ∞=∑收敛,则级数1(1)nn ∞=-∑(A)发散 (B)条件收敛(C)绝对收敛 (D)收敛性与λ有关 (4)2tan (1cos )lim2,ln(12)(1)x x a x b x c x d e -→+-=-+-其中220,a c +≠则必有(A)4b d = (B)4b d =-(C)4a c = (D)4a c =- (5)已知向量组1234,,,αααα线性无关,则向量组 (A)12233441,,,++++αααααααα线性无关 (B)12233441,,,----αααααααα线性无关 (C)12233441,,,+++-αααααααα线性无关 (D)12233441,,,++--αααααααα线性无关三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)(1)设 2221cos()cos()tx t y t t udu ==-⎰,求dy dx 、22d y dx在t =的值.(2)将函数111()ln arctan 412x f x x x x +=+--展开成x 的幂级数.(3)求.sin(2)2sin dxx x+⎰四、(本题满分6分)计算曲面积分2222,Sxdydz z dxdyx y z +++⎰⎰其中S是由曲面222x y R +=及,(0)z R z R R ==->两平面所围成立体表面的外侧.五、(本题满分9分) 设()f x 具有二阶连续函数,(0)0,(0)1,f f '==且2[()()][()]0xy x y f x y dx f x x y dy '+-++=为一全微分方程,求()f x 及此全微分方程的通解.六、(本题满分8分)设()f x 在点0x =的某一邻域内具有二阶连续导数,且()lim0,x f x x →=证明级数11()n f n ∞=∑绝对收敛.七、（本题满分6分）已知点A 与B 的直角坐标分别为(1,0,0)与(0,1,1).线段AB绕x 轴旋转一周所成的旋转曲面为.S 求由S 及两平面0,1z z ==所围成的立体体积.八、（本题满分8分）设四元线性齐次方程组(Ⅰ)为122400x x x x +=-=,又已知某线性齐次方程组(Ⅱ)的通解为12(0,1,1,0)(1,2,2,1).k k +-(1)求线性方程组(Ⅰ)的基础解析.(2)问线性方程组(Ⅰ)和(Ⅱ)是否有非零公共解?若有,则求出所有的非零公共解.若没有,则说明理由.九、（本题满分6分）设A 为n 阶非零方阵*,A 是A 的伴随矩阵,'A 是A 的转置矩阵,当*'=AA 时,证明0.≠A十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)已知A 、B 两个事件满足条件()(),P AB P AB =且(),P A p =则()P B =____________.(2)设相互独立的两个随机变量,X Y 具有同一分布率,且X 的分布率为则随机变量max{,}Z X Y =的分布率为____________.十一、（本题满分6分）设随机变量X和Y 分别服从正态分布2(1,3)N 和2(0,4),N 且X 与Y 的相关系数1,2xy ρ=-设,32X Y Z =+(1)求Z 的数学期望EZ 和DZ 方差. (2)求X 与Z 的相关系数.xz ρ (3)问X 与Y 是否相互独立?为什么?1995年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)2sin 0lim(13)xx x →+=_____________.(2)202cos x d x t dt dx ⎰= _____________.(3)设()2,⨯=a b c 则[()()]()+⨯++a b b c c a =_____________.(4)幂级数2112(3)n n nn nx ∞-=+-∑的收敛半径R=_____________.(5)设三阶方阵,A B 满足关系式16,-=+A BA A BA 且100310,41007⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦A 则B =_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (1)设有直线:L321021030x y z x y z +++=--+=,及平面:4220,x y z π-+-=则直线L(A)平行于π (B)在π上(C)垂直于π (D)与π斜交(2)设在[0,1]上()0,f x ''>则(0),(1),(1)(0)f f f f ''-或(0)(1)f f -的大小顺序是(A)(1)(0)(1)(0)f f f f ''>>-(B)(1)(1)(0)(0)f f f f ''>->(C)(1)(0)(1)(0)f f f f ''->>(D)(1)(0)(1)(0)f f f f ''>->(3)设()f x 可导,()()(1sin ),F x f x x =+则(0)0f =是()F x 在0x =处可导的(A)充分必要条件 (B)充分条件但非必要条件(C)必要条件但非充分条件 (D)既非充分条件又非必要条件 (4)设(1)ln(1n n u =-则级数 (A)1n n u ∞=∑与21nn u ∞=∑都收敛 (B)1n n u ∞=∑与21nn u ∞=∑都发散(C)1n n u ∞=∑收敛,而21nn u ∞=∑发散 (D)1n n u ∞=∑收敛,而21nn u ∞=∑发散(5)设11121311121321222321222312313233313233010100,,100,010,001101a a a a a a a a a a a a a a a a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦A B P P 则必有(A)12AP P =B (B)21AP P =B (C)12P P A =B (D)21P P A =B三、(本题共2小题,每小题5分,满分10分) (1)设2(,,),(,e ,)0,sin ,y u f x y z x z y x ϕ===其中,f ϕ都具有一阶连续偏导数,且0.zϕ∂≠∂求.du dx(2)设函数()f x 在区间[0,1]上连续,并设1(),f x dx A =⎰求110()().x dx f x f y dy ⎰⎰四、(本题共2小题,每小题6分,满分12分) (1)计算曲面积分,zdS ∑⎰⎰其中∑为锥面z =在柱体222x y x +≤内的部分.(2)将函数()1(02)f x x x =-≤≤展开成周期为4的余弦函数.五、(本题满分7分)设曲线L 位于平面xOy 的第一象限内,L 上任一点M 处的切线与y 轴总相交,交点记为.A 已知,MA OA =且L 过点33(,),22求L 的方程.六、(本题满分8分)设函数(,)Q x y 在平面xOy 上具有一阶连续偏导数,曲线积分2(,)L xydx Q x y dy +⎰与路径无关,并且对任意t 恒有(,1)(1,)(0,0)(0,0)2(,)2(,),t t xydx Q x y dy xydx Q x y dy +=+⎰⎰求(,).Q x y七、（本题满分8分）假设函数()f x 和()g x 在[,]a b 上存在二阶导数,并且()0,()()()()0,g x f a f b g a g b ''≠====试证:(1)在开区间(,)a b 内()0.g x ≠(2)在开区间(,)a b 内至少存在一点,ξ使()().()()f fg g ξξξξ''=''八、（本题满分7分）设三阶实对称矩阵A 的特征值为1231,1,λλλ=-==对应于1λ的特征向量为101,1⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ξ求.A九、（本题满分6分）设A 为n 阶矩阵,满足('=AA I I 是n 阶单位矩阵,'A 是A 的转置矩阵),0,<A 求.+A I十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)设X 表示10次独立重复射击命中目标的次数,每次射中目标的概率为0.4,则2X 的数学期望2()E X =____________.(2)设X 和Y 为两个随机变量,且34{0,0},{0}{0},77P X Y P X P Y ≥≥=≥=≥= 则{max(,)0}P X Y ≥=____________.十一、（本题满分6分）设随机变量X 的概率密度为()X f x = e 0x- 00x x ≥<,求随机变量e XY =的概率密度().Y f y1996年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)设2lim()8,x x x a x a →∞+=-则a =_____________.(2)设一平面经过原点及点(6,3,2),-且与平面428x y z -+=垂直,则此平面方程为_____________.(3)微分方程22e x y y y '''-+=的通解为_____________. (4)函数ln(u x =在点(1,0,1)A 处沿点A 指向点(3,2,2)B -方向的方向导数为_____________.(5)设A 是43⨯矩阵,且A 的秩()2,r =A 而102020,103⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦B 则()r AB =_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)已知2()()x ay dx ydyx y +++为某函数的全微分,a 则等于 (A)-1 (B)0(C)1 (D)2 (2)设()f x 具有二阶连续导数,且()(0)0,lim1,x f x f x→'''==则(A)(0)f 是()f x 的极大值 (B)(0)f 是()f x 的极小值 (C)(0,(0))f 是曲线()y f x =的拐点(D)(0)f 不是()f x 的极值,(0,(0))f 也不是曲线()y f x =的拐点(3)设0(1,2,),n a n >=且1n n a ∞=∑收敛,常数(0,),2πλ∈则级数21(1)(tan )n n n n a nλ∞=-∑(A)绝对收敛 (B)条件收敛(C)发散 (D)散敛性与λ有关 (4)设有()f x 连续的导数220,(0)0,(0)0,()()(),xf f F x x t f t dt '=≠=-⎰且当0x →时,()F x '与k x 是同阶无穷小,则k 等于(A)1 (B)2 (C)3 (D)4(5)四阶行列式112233440000000a b a b a b b a 的值等于(A)12341234a a a a b b b b - (B)12341234a a a a b b b b +(C)12123434()()a a b b a a b b -- (D)23231414()()a a b b a a b b --三、(本题共2小题,每小题5分,满分10分) (1)求心形线(1cos )r a θ=+的全长,其中0a >是常数.(2)设1110,1,2,),n x x n +===试证数列{}n x 极限存在,并求此极限.四、(本题共2小题,每小题6分,满分12分) (1)计算曲面积分(2),Sx z dydz zdxdy ++⎰⎰其中S 为有向曲面22(01),z x y x =+≤≤其法向量与z 轴正向的夹角为锐角.(2)设变换 2u x y v x ay =-=+可把方程2222260z z zx x y y∂∂∂+-=∂∂∂∂简化为20,zu v∂=∂∂求常数.a五、(本题满分7分) 求级数211(1)2nn n ∞=-∑的和.六、(本题满分7分) 设对任意0,x >曲线()y f x =上点(,())x f x 处的切线在y轴上的截距等于01(),x f t dt x⎰求()f x 的一般表达式.。

2024年考研数学一真题及解析

2024年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试题解析一、选择题:1~10小题，每小题5分,共50分。

下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是最符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。

（1）已知函数cos 0()xtf x edt =⎰,2sin 0()xt g x e dt =⎰,则（）（A ）()f x 是奇函数，()g x 是偶函数（B ）()f x 是偶函数，()g x 是奇函数（C ）()f x 与()g x 均为奇函数（D ）()f x 与()g x 均为周期函数【答案】C ，【解析】由于cos te 是偶函数，所以()f x 是奇函数；又2(sin )cos ()x xg x e'=是偶函数，所以是()g x 奇函数.（2）设(,,),(,,)P P x y z Q Q x y z ==均为连续函数，∑为曲面0,0)Z x y = 的上侧，则Pdydz Qdzdx ∑+=⎰⎰（）（A ）()x yP Q dxdy z z ∑+⎰⎰（B ）()x yP Q dxdy z z ∑-+⎰⎰（C ）()xyP Q dxdy zz∑-⎰⎰（D ）()xyP Q dxdy zz∑--⎰⎰【答案】A ，【解析】由,z x z y z x z y z ∂∂==-=-∂∂，1cos cos dS dxdy dS dxdy γγ=→=cos cos cos cos cos cos Pdydz Qdzdx P dS Q dS Pdxdy Q dxdy αβαβγγ∑∑∑+=+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰(()()z z x yP dxdy Q dxdy P Q dxdy x y z z∑∑∂∂=-+-=+∂∂⎰⎰⎰⎰.（3）设幂级数nn nxa ∑∞=0的和函数为)2ln(x +，则∑∞=02n nna（）（A ）61-（B ）31-（C ）61（D ）31【答案】（A ）【解析】法1，∑∞=--+=++=+=+11)21()1(2ln )211ln(2ln )211(2ln )2ln(n nn n x x x x所以⎪⎩⎪⎨⎧>-==-0,21)1(0,2ln 21n n n a n n ，当n n n a n 22221,0⋅-=>，所以61411)21(21)2213112112202-=--=-=⋅-⋅==∑∑∑∑∞=+∞=∞=∞=n n n n n n n n n n na na （，故选(A)；法2：n n n xx x x )2()1(21)21(2121])2[ln(0∑∞=-=+=+='+C n x C n x x n n n n n n +-=++-=+∑∑∞=-+∞=1110)21()1(1)21()1()2ln(，2ln )02ln()0(=+==C S ，⎪⎩⎪⎨⎧>-==-0,21)1(0,2ln 21n n n a n n ，所以)221(112202∑∑∑∞=∞=∞=⋅-==n n n n n n n n na na 61411)21(213112-=--=-=∑∞=+n n （4）设函数()f x 在区间上(1,1)-有定义，且0lim ()0x f x →=，则（）（A ）当0()limx f x m x→=时，(0)f m '=（B ）当(0)f m '=时，0()limx f x m x→=（C ）当0lim ()x f x m →'=时,(0)f m '=（D ）当(0)f m '=时，0lim ()x f x m→'=【答案】B ，【解析】因为(0)f m '=所以()f x 在0x =处连续，从而0lim ()(0)0x f x f →==，所以0()()(0)limlim 0x x f x f x f m x x →→-==-，故选B .（5）在空间直角坐标系O xyz -中,三张平面:(1,2,3)i i i i i a x b y c z d i π++==的位置关系如图所示,记(),,i i i i a b c α=,(),,,i i i i i a b c d β=若112233,r m r n αβαβαβ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则（）（A ）1,2m n ==（B ）2m n ==（C ）2,3m n ==（D ）3m n ==【答案】B ，【解析】由题意知111222333x d x d x d ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭有无穷多解,故1122333r r αβαβαβ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又由存在两平面的法向量不共线即线性无关,故1232r ααα⎛⎫ ⎪≥ ⎪ ⎪⎝⎭,则1122332r r αβαβαβ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故2m n ==,故选B.（6）设向量1231111,,1111ab a a ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,若123,,ααα线性相关,且其中任意两个向量均线性无关,则（）（A ）1,1a b =≠（B ）1,1a b ==-（C ）2,2a b ≠=（D ）2,2a b =-=【答案】D ，【解析】由于123,,ααα线性相关，故1111011a a a =得1a =或2-，当1a =时，13,αα相关，故2a =-，又由112111111201111aa b b -=-=----得2b =故选D .（7）设A 是秩为2的3阶矩阵，α是满足0A α=的非零向量，若对满足0Tβα=的3维向量β均有A ββ=，则（）（A ）3A 的迹为2（B ）3A 的迹为5（C ）2A 的迹为8（D ）2A 的迹为9【答案】A ，【解析】由0A α=且0α≠，故10λ=，由于A 是秩为2的3阶矩阵，对于0Ax =仅有一个解向量，所以，1λ是一重，0Tβα=可得到所有的β有两个无关的向量构成，A ββ=,故21λ=为两重，故3A 的特征值为0,1,1，故3()2tr A =.（8）设随机变量,X Y 相互独立，且()()~0,2,~2,2X N Y N -，若}{}{2P X Y a P X Y +<>=，则a =（）（A）2-（B）2-+（C）2-（D）2-+【答案】B ，【解析】()2~ 2,10;~ (2,4)X Y N Y X N +---，所以{2}P X Y a +<=Φ={0}P Y X -<=02()2+Φ,022+=,2a =-+（9）设随机变量X 的概率密度为2(1)01()0,x x f x -<<⎧=⎨⎩，其他,在(01)X x x =<<的条件下,随机变量Y 服从区间(,1)x 上的均匀分布,则Cov(,)X Y =（）（A ）136-（B ）172-（C ）172（D ）136【答案】D ，【解析】当01x <<时，|1el 1,(|)1se 0,Y X x y f y x x ⎧<<⎪=-⎨⎪⎩，则2,1,01(,)0,x y x f x y else <<<<⎧=⎨⎩10,1(,)24yx y EXY xyf x y dxdy d y xydx -∞<<+∞-∞<<+∞===⎰⎰⎰⎰112(1)3EX x x dx =-=⎰，,2(,)3x y EY y f x y dxdy -∞<<+∞-∞<<+∞==⎰⎰所以1(,)36Cov X Y EXY EXEY =-=，故选D （10）设随机变量,X Y 相互独立，且均服从参数为λ的指数分布，令Z X Y =-，则下列随机变量中与Z 同分布的是（）（A ）X Y +（B ）2X Y+（C ）2X （D ）X【答案】（D ）【解析】令{}{}zY X P z Z P z F Y X Z z ≤-=≤=-=)(,则0)(0=<z F z z 时，当当0≥z 时，dxdy e e dxdy y x f z F y x zy x zy x z λλλλ--≤-≤-⎰⎰⎰⎰==),()(zy x zy ye dy e e dy λλλλλ---+∞+-==⎰⎰120所以⎩⎨⎧≥-<=-0,10,0)(z ez z F zz λ，显然Y X Z -=与X 同步，故选（D ）二、填空题：11~16小题，每小题5分，共30分，请将答案写在答题纸指定位置上。

2023年全国硕士研究生招生考试《数学一》真题试卷【完整版】(文末含答案解析)

2023年全国硕士研究生招生考试《数学一》真题试卷【完整版】一、选择题：1～10小题，每小题5分，共50分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将所选选项前的字母填在答题卡指定位置。

1．曲线1ln 1y x e x ⎛⎫=+⎪-⎝⎭的渐近线方程为（）。

A ．y ＝x ＋e B ．y ＝x ＋1/e C ．y ＝xD ．y ＝x －1/e2．已知微分方程式y ′′＋ay ′＋by ＝0的解在（－∞，＋∞）上有界，则（）。

A ．a ＜0，b ＞0 B ．a ＞0，b ＞0 C ．a ＝0，b ＞0 D ．a ＝0，b ＜03．设函数y ＝f （x ）由2sin x t ty t t⎧=+⎪⎨=⎪⎩确定，则（）。

A ．f （x ）连续，f′（0）不存在B ．f′（0）存在，f′（x ）在x ＝0处不连续C ．f′（x ）连续，f′′（0）不存在D ．f′′（0）存在，f′′（x ）在x ＝0处不连续4．已知a n ＜b n （n ＝1，2，...），若级数1nn a∞=∑与1nn b∞=∑均收敛，则“级数1nn a∞=∑绝对收敛”是“1nn b∞=∑绝对收敛”的（）。

A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件5．已知n 阶矩阵A ，B ，C 满足ABC ＝0，E 为n 阶单位矩阵，记矩阵0A BC E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，0AB C E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，0E AB AB ⎛⎫ ⎪⎝⎭的秩分别为γ1，γ2，γ3，则（）。

A ．γ1≤γ2≤γ3 B ．γ1≤γ3≤γ2 C ．γ3≤γ1≤γ2 D ．γ2≤γ1≤γ36．下列矩阵中不能相似于对角矩阵的是（）。

A ．11022003a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭B ．1112003a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭C ．11020002a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭D ．11022002a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭7．已知向量121212212,1,5,03191⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ααββ，若γ既可由α1，α2线性表示，也可由与β1，β2线性表示，则γ＝（）。

2023年全国硕士研究生招生考试《数学二》真题及答案解析【完整版】

2023年全国硕士研究生招生考试《数学二》真题及答案解析【完整版】一、选择题：1～10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是最符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。

1．1ln 1y x e x ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭曲线的渐近线方程为（）。

A ．y ＝x ＋e B ．y ＝x ＋1/e C ．y ＝xD ．y ＝x －1/e 【答案】B【解析】1ln 11lim lim lim ln 1,1x x x x e y x k e x x x →∞→∞→∞⎛⎫+ ⎪-⎛⎫⎝⎭===+= ⎪-⎝⎭ ()()()11lim lim ln lim ln 11111lim ln 1lim 11x x x x x b y kx x e x x e x x x x e x e x e →∞→∞→∞→∞→∞⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=+-=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥--⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎡⎤=+==⎢⎥--⎣⎦所以斜渐近线方程为y ＝x ＋1/e ．2．函数()()01cos ,0x f x x x x ≤=+>⎩的原函数为（）。

A ．())()ln ,01cos sin ,0x x F x x x x x ⎧≤⎪=⎨⎪+->⎩B ．())()ln 1,01cos sin ,0x x F x x x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪+->⎩C ．())()ln ,01sin cos ,0x x F x x x x x ⎧≤⎪=⎨⎪++>⎩D ．())()ln 1,01sin cos ,0x x F x x x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪++>⎩【答案】D【解析】当x ≤0时，()(1d ln f x x x C ==+⎰当x ＞0时，()()()()()2d 1cos d 1dsin 1sin sin d 1sin cos f x x x x xx x x x x x x x x C =+=+=+-=+++⎰⎰⎰⎰原函数在（－∞，＋∞）内连续，则在x ＝0处(110lim ln x x C C -→++=，()220lim 1sin cos 1x x x x C C +→+++=+ 所以C 1＝1＋C 2，令C 2＝C ，则C 1＝1＋C ，故())()ln 1,0d 1sin cos ,0x C x f x x x x x C x ⎧++≤⎪=⎨⎪+++>⎩⎰，综合选项，令C ＝0，则f （x ）的一个原函数为())()ln 1,01sin cos ,0x x F x x x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪++>⎩.3．设数列{x n }，{y n }满足x 1＝y 1＝1/2，x n ＋1＝sinx n ，y n ＋1＝y n 2，当n →∞时（）。

考研数学往年试题及答案

考研数学往年试题及答案一、选择题（每题4分，共40分）1. 设函数f(x)=x^3-3x，求f'(x)的值。

A. 3x^2-3B. x^2-3C. 3x^2+3D. x^3-3答案：A2. 已知集合A={x|x<2}，B={x|x>3}，则A∩B=？A. {x|x<2}B. {x|x>3}C. {x|2<x<3}D. 空集答案：D3. 计算定积分∫(0,1) x^2 dx的值。

A. 1/3B. 1/2C. 2/3D. 1答案：B4. 设矩阵A=\[\begin{matrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{matrix}\]，求A的行列式值。

A. -2B. 2C. -1D. 1答案：B5. 求极限lim(x→0) (sin x)/x的值。

A. 0B. 1C. 2D. -1答案：B6. 已知等差数列{an}的前三项为1，4，7，求通项公式an。

A. 3n-2B. 3n+1C. n+3D. 3n-1答案：A7. 设函数f(x)=x^2+2x+1，求f(x)的最小值。

A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B8. 已知曲线y=x^3-3x+1在点(1, -1)处的切线斜率。

A. 1B. -1C. 3D. -3答案：A9. 计算二重积分∫∫D (x^2+y^2) dxdy，其中D为x^2+y^2≤1的区域。

A. πB. 2πC. π/2D. 4π答案：B10. 设函数f(x)=ln(x+√(1+x^2))，求f'(x)的值。

A. 1/(√(1+x^2)+x)B. 1/(√(1+x^2)-x)C. 1/(√(1+x^2))D. 1/(1+x^2)答案：A二、填空题（每题5分，共30分）1. 设函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6，求f'(x)的值。

答案：3x^2-12x+112. 已知等比数列{bn}的前三项为1，2，4，求通项公式bn。

近五年全国硕士研究生入学统一考试数学三真题及答案6

2002年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析一、填空题（本题共5小题，每小题3分，满分15分．把答案填在题中横线上．）（1）设常数21=/a ，则=-+-∞→nn a n na n ])21(12ln[lim ______．【答案】112a- 【考点】两个重要极限【难易度】★【详解】本题涉及到的主要知识点： ①数列极限转化为函数极限； ②)0(~)1ln(→+x x x 解析：方法一：ae a n a n na n na n n a n a n n nn n 211]ln[])21(11ln[lim ])21(12ln[lim )21(1lim)21(1)21(-==-+=-+-⋅-⋅-⋅-∞→∞→→∞方法二：a a x x a x x a x xa x a n na n x x x x nn 211)21(lim ])21(11ln[lim ])21(12ln[lim ])21(12ln[lim -=-=-+=-+-=-+-∞→∞→∞→∞→ （2）交换积分次序：=+⎰⎰⎰⎰x y x f y x y x f y yyyd ),(d d ),(d 212141410______．【答案】2120(,)xxdy f x y dy ⎰⎰【考点】交换累次积分的次序与坐标系的转换【难易度】★★【详解】本题涉及到的主要知识点：根据二次积分，画出积分区域，还原成二重积分后，再交换积分次序。

解析：画出与原题中二次积分的限所对应的积分区域1D 与2D ，如图.将它们的并集记为D .于是111422104(,)(,)yyydy f x y dx dy f x y dx +⎰⎰⎰⎰(,)Df x y d σ=⎰⎰.再将后者化为先y 后x 的二次积分：2120(,)(,).xxDf x y d dy f x y dx σ=⎰⎰⎰⎰于是111422104(,)(,)yyydy f x y dx dy f x y dx +=⎰⎰⎰⎰2120(,)xxdy f x y dx ⎰⎰（3）设三阶矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=403212221A ，三维列向量Ta )1,1,(=α．已知αA 与α线性相关，则=a ______．【答案】1-【考点】矩阵的乘法、向量组的线性相关【难易度】★★【详解】本题涉及到的主要知识点： ①矩阵的乘法：∑===⋅nk kjik ij b ac C B A 1,②若βα,线性相关，则对应分量成比例。

2023年全国硕士研究生招生考试《数学二》真题试卷【完整版】(文末含答案解析)

2023年全国硕士研究生招生考试《数学二》真题试卷【完整版】一、选择题：1～10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是最符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。

1．曲线1ln 1y x e x ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭的渐近线方程为（）。

A ．y ＝x ＋e B ．y ＝x ＋1/e C ．y ＝xD ．y ＝x －1/e2．函数()()01cos ,0x f x x x x ≤=+>⎩的原函数为（）。

A ．x n 是y n 的高阶无穷小 B ．y n 是x n 的高阶无穷小 C ．x n 是y n 的等价无穷小D ．x n 是y n 的同阶但非等价无穷小4．已知微分方程式y ′′＋ay ′＋by ＝0的解在（－∞，＋∞）上有界，则a ，b 的取值范围为（）。

A ．a ＜0，b ＞0 B ．a ＞0，b ＞0 C ．a ＝0，b ＞0 D ．a ＝0，b ＜05．设函数y ＝f （x ）由2sin x t t y t t⎧=+⎪⎨=⎪⎩确定，则（）。

A ．f （x ）连续，f′（0）不存在B ．f′（0）存在，f′（x ）在x ＝0处不连续C ．f′（x ）连续，f′′（0）不存在D ．f′′（0）存在，f′′（x ）在x ＝0处不连续6．若函数()()121d ln f x x x αα+∞+=⎰在α＝α0处取得最小值，则α0＝（）。

2023年全国硕士研究生招生考试数学试题及参考答案数学三

2023年全国硕士研究生招生考试数学试题及参考答案（数学三）（科目代码：303）一、选择题：1~10小题，每小题5分，共50分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将所选选项前的字母填在答题卡指定位置。

1、已知函数 ,则( )A、不存在，存在B、存在，不存在C、，均存在D、，均不存在2、函数的原函数为( )A、F(x)=B、F(x)=C、F(x)=D、F(x)=3、若微分方程y+ay+by=0的解在（-，+）上有界，则（）A、a<0 ，b>0B、a>0 ,b>0C、a=0 ,b>0D、a=0 ，b<04、已知(n=1,2,……)，若级数与均收敛，则“绝对收敛”是“绝对收敛”的（）A、充分必要条件B、充分不必要条件C、必要不充分条件D、既不充分也不必要条件5、设A,B为n阶可逆矩阵，E为n阶单位矩阵，为矩阵M的伴随矩阵，则=( )A、B、C、D、6、二次型的规范形为( )A、B、C、D、7、已知向量= ,=,= ,= ,若既可由，线性表示，也可由线性表示，则=（）A、k,k RB、k,k RC、k,k RD、k,k R8、设随机变量X服从参数为1的泊松分布，则E（|X-EX|）=( ) A、B、C、D、19、设,为来自总体N（）的简单随机样本，,为来自总体N（）的简单随机样本，且两样本相互独立，记=,=,=,=, 则（）B、C、D、10、设 ,为来自总体N（）的简单随机样本，其中是未知参数，若=为的无偏估计，则a=( ) A、B、C、D、二、填空题：11~16小题，每小题5分，共30分。

11、=12、已知函数满足,,则=13、=14、设某公司在t时刻的资产为，从0时刻到t时刻的平均资产等于 .假设连续且则=15、已知线性方程组有解，其中a,b为常数，若=4,则=16、设随机变量X与Y相互独立，且X B(1,p),Y B(2,p),p(0,1),则X+Y与X-Y的相关系数为三、解答题：1722小题，共70分。

2023年全国硕士研究生考试数学二真题及解析

2023年全国硕士研究生入学统一考试数学(二)试题一、选择题：1～10小题,每小题5分,共50分．下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的．1.函数1ln()1y x e x =+-的斜渐近线为（）.A ．y x e =+B ．1y x e =+C ．y x =D ．1y x e=-【答案】B解析：1ln 11lim lim lim ln 1,1x x x x e y x k e x x x →∞→∞→∞⎛⎫+ ⎪-⎛⎫⎝⎭===+= ⎪-⎝⎭()()()11lim lim ln lim ln 11111lim ln 1lim 11x x x x x b y kx x e x x e x x x x e x e x e →∞→∞→∞→∞→∞⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=+-=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥--⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎡⎤=+==⎢--⎣⎦所以斜渐近线方程为1y x e=+．2.函数0,()(1)cos ,0,x f x x x x ≤=+>⎩的原函数为（）.A．),0,()(1)cos sin ,0,x x F x x x x x ⎧⎪≤=⎨+->⎪⎩B．)1,0,()(1)cos sin ,0,x x F x x x x x ⎧⎪+≤=⎨+->⎪⎩C．),0,()(1)sin cos ,0,x x F x x x x x ⎧⎪≤=⎨++>⎪⎩D．)1,0,()(1)sin cos ,0,x x F x x x x x ⎧⎪+≤=⎨++>⎪⎩【答案】D当0x ≤时，1()ln(F x x C ==++（常用积分公式）当0x >时，2()(1)cos (1)sin cos F x x xdx x x x C =+=+++⎰由于()F x 在0x =处可导，则()F x 在0x =处连续，即0lim ()lim ()x x F x F x +-→→=10lim ln(x x C -→+20lim (1)sin cos x x x x C +→=+++1C ⇒21C =+因此仅有选项D 满足条件。

数学专业考研试题及答案

数学专业考研试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 设函数f(x)=x^3-3x，求f'(x)的值。

A. 3x^2 - 3B. 3x^2 + 3C. x^3 - 3D. x^3 + 3答案：A2. 已知数列{a_n}是等差数列，且a_1=2，公差d=3，求a_5的值。

A. 17B. 14C. 11D. 8答案：A3. 设矩阵A=\[\begin{bmatrix}1 & 2\\3 & 4\end{bmatrix}\]，求A 的行列式。

A. 2B. -2C. 5D. -5答案：C4. 计算定积分∫(0到π)sin(x)dx的值。

A. 2B. -2C. 0D. π答案：C二、填空题（每题5分，共20分）5. 设函数g(x)=x^2-4x+c，若g(x)在x=2处取得最小值，则c的值为_________。

答案：46. 已知复数z=2+3i，求其共轭复数的值。

答案：2-3i7. 设集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，求A∩B。

答案：{2,3}8. 已知方程x^2-6x+9=0，求方程的根。

答案：x=3三、解答题（每题15分，共30分）9. 证明：若a，b，c是等比数列，则a^2+b^2+c^2≥ab+bc+ca。

证明：设等比数列的公比为q，则a=b/q，c=bq。

则有a^2+b^2+c^2=(b/q)^2+b^2+(bq)^2=b^2(1/q^2+1+q^2)≥b^2(2q)=2b^2q=ab+bc+ca。

10. 解方程组：\[\begin{cases}x+y=1\\2x-y=0\end{cases}\]解：由第二个方程得y=2x，代入第一个方程得x+2x=1，解得x=1/3，y=2/3。

四、计算题（每题10分，共20分）11. 计算极限lim(x→0)[(1+x)^(1/x)-e]。

解：lim(x→0)[(1+x)^(1/x)-e]=lim(x→0)(1/x)ln(1+x)=lim(x→0)[(x-x^2/2+x^3/3!-...)/x]=1。