2020高考数学核心突破《专题5 立体几何 第1讲 空间几何体的三视图、表面积与体积》

专题五 第1讲
1．(教材回归)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( D )
A ．3π
B ．4π
C ．2π＋4
D ．3π＋4
解析 由题中三视图知该几何体是底面半径为1，高为2的半个圆柱，故其表面积S ＝2×
1
2×π×12＋π×1×2＋2×2＝3π＋4.故选D.
2．(2017·山东烟台模拟)一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图是一个正三角形及其内切圆，则该几何体的体积为( A )
A ．163－
16π
3
B.163－16π3
C ．83－8π
3
D.83－8π3
解析 由三视图可知，几何体为一个棱长为4的正三棱柱去掉了一个内切圆柱．V
三棱柱
＝⎝⎛⎭⎫12×4×4×sin 60°×4＝16 3.在俯视图中，设内切圆半径为r ，则内切圆圆心与各顶点连
接分三角形为3个全等的小三角形，由三角形面积可得1
2×4×4×sin 60°＝3×⎝⎛⎭⎫12×4×r ，解得r ＝23
3
.
故V 圆柱＝πr 2h ＝π×⎝⎛
⎭
⎫2332
×4＝16π3.
∴几何体的体积V ＝V 三棱柱－V 圆柱＝163－16π
3
.故选A.
3．一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图所示，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( D )
A.1
8 B.1
7 C.1
6 D.15
解析 如图，由已知条件可知，截去部分是以△ABC 为底面且三条侧棱两两垂直的正三棱锥D -ABC .设正方体的棱长为a ，则截去部分的体积为16a 3，剩余部分的体积为a 3－16a 3＝5
6a 3.
它们的体积之比为1
5
.故选D.
4．(考点聚焦)一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是( B )
A ．1＋ 3
B ．2＋3
C ．1＋2 2
D ．2 2
解析 四面体的直观图如图所示．侧面SAC ⊥底面ABC ，且△SAC 与△ABC 均为腰长是2的等腰直角三角形，SA ＝SC ＝AB ＝BC ＝2，AC ＝2.设AC 的中点为O ，连结SO ，BO ，则SO ⊥AC ，∴SO ⊥平面ABC ，∴SO ⊥BO .又OS ＝OB ＝1，∴SB ＝2，故△SAB 与△SBC 均是边长为2的正三角形，故该四面体的表面积为2×12×2×2＋2×3
4
×(2)2＝2＋ 3.
5．已知底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为( D )
A.32π
3 B ．4π C ．2π
D.4π3
解析 正四棱柱的外接球的球心为上下底面的中心连线的中点，所以球的半径r ＝
⎝⎛⎭⎫222＋⎝⎛⎭
⎫222＝1，球的体积V ＝4π3r 3＝4π3.故选D.
6．一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积是32π
3
，那么这个三棱柱的体积是( D )
A ．963
B ．163
C ．24 3
D ．48 3
解析 如图，设球的半径为R ，
由43πR 3＝32π
3，得R ＝2. 所以正三棱柱的高h ＝4. 设其底面边长为a ， 则13·3
2a ＝2，所以a ＝43， 所以V ＝
3
4
×(43)2×4＝48 3.故选D. 7．(书中淘金)如图，在棱长为6的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别在C 1D 1与C 1B 1
上，且C 1E ＝4，C 1F ＝3，连接EF ，FB ，BD ，DE ，DF ，则几何体EFC 1DBC 的体积为( A )
A ．66
B ．68
C ．70
D ．72
解析 如图，连接DC 1，那么几何体EFC 1-DBC 被分割成三棱锥D -EFC 1及四棱锥D -CBFC 1，那么几何体EFC 1DBC 的体积为V ＝13×12×3×4×6＋13×12×(3＋6)×6×6＝12＋
54＝66.
故所求几何体EFC 1DBC 的体积为66.
8．(2017·湖北八校联考)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画的是某多面体的三视图，则该多面体的外接球的表面积为__41π__.
解析 由三视图可知该几何体是如图所示的三棱锥A -BCD ，将该三棱锥放在棱长为4的正方体中，E 是棱的中点，所以三棱锥A -BCD 和三棱柱EFD -ABC 的外接球相同．设外接球的球心为O ，半径为R ，△ABC 的外接圆的圆心是M ，则OM ＝2.在△ABC 中，AB ＝AC ＝25，由余弦定理得cos ∠CAB ＝AC 2＋AB 2－BC 22AC ·AB ＝20＋20－162×25×25＝35，所以sin ∠CAB ＝45，由正弦定
理得2CM ＝BC sin ∠CAB ＝5，则CM ＝5
2.所以R ＝OC ＝
OM 2＋CM 2＝
41
2
，则外接球的表面积为S ＝4πR 2＝41π.
9．一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为 8
3
π m 3.
解析 由三视图知该几何体由两个相同的圆锥和一个圆柱组成．其中，圆锥的底面半径
和圆柱的底面半径均为1，圆锥的高均为1，圆柱的高为2.因此该几何体的体积为V ＝2×
1
3π×12×1＋π×12×2＝8
3
π (m 3)．
10．(数学文化)我国古代数学家祖暅是著名数学家祖冲之之子，祖暅原理叙述道：“夫叠基成立积，缘幂势既同，则积不容异：”意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体被平行于这两个平行平面的任意平面所截，如果截得的两个截面面积总相等，那么这两个几何体的体积相等，其最著名之处是解决了“牟合方盖”中的体积问题，其核心过程为：如图中正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1，求图中四分之一的圆柱体BB 1C 1-AA 1D 1和四分之一圆柱体AA 1B 1-DD 1C 1公共部分的体积V ，若图中正方体的棱长为2，则V ＝
16
3
.
(在高度h 处的截面：用平行于正方体上下底面的平面去截，记截得两圆柱体公共部分所得面积为S 1，截得正方体所得面积为S 2，截得四棱锥C 1-ABCD 所得面积S 3，S 1＝R 2－h 2，S 2＝R 2，S 3＝h 2，S 2－S 1＝S 3)
解析 由题意可知，用平行于底面的平面截得的面积满足S 2－S 1＝S 3，其中S 1表示两个圆柱的公共部分的截面面积，S 2表示截得正方体的截面面积，S 3表示截得锥体的截面面积．由祖暅原理可知：正方体体积减去两个圆柱的公共部分体积等于锥体体积，即23－V ＝1
3
×22×2，即V ＝23－13×22×2＝163
.。