偏微分方程考试题

合集下载

偏微分方程数值解期末试题及标准答案

偏微分方程数值解试题(０6B ）参考答案与评分标准信息与计算科学专业一(10分）、设矩阵A 对称，定义)(),(),(21)(n R x x b x Ax x J ∈-=，)()(0x x J λλϕ+=.若0)0('=ϕ，则称称0x 是)(x J 的驻点(或稳定点).矩阵A 对称(不必正定)，求证0x 是)(x J 的驻点的充要条件是:0x 是方程组 b Ax =的解解: 设n R x ∈0是)(x J 的驻点，对于任意的n R x ∈,令),(2),()()()(2000x Ax x b Ax x J x x J λλλλϕ+-+=+=, （3分)0)0('=ϕ,即对于任意的n R x ∈,0),(0=-x b Ax ,特别取b Ax x -=0，则有0||||),(2000=-=--b Ax b Ax b Ax ，得到b Ax =0． (3分)反之,若n R x ∈0满足b Ax =0,则对于任意的x ,)(),(21)0()1()(00x J x Ax x x J >+==+ϕϕ,因此0x 是)(x J 的最小值点. (４分）评分标准：)(λϕ的展开式3分, 每问3分，推理逻辑性１分二（10分）、对于两点边值问题:⎪⎩⎪⎨⎧==∈=+-=0)(,0)(),()('b u a u b a x f qu dx du p dx d Lu 其中]),([,0]),,([,0)(min )(]),,([0min ],[1b a H f q b a C q p x p x p b a C p b a x ∈≥∈>=≥∈∈建立与上述两点边值问题等价的变分问题的两种形式：求泛函极小的Ritz 形式和Galerkin 形式的变分方程。

解: 设}0)(),,(|{11=∈=a u b a H u u H E为求解函数空间,检验函数空间．取),(1b a H v E ∈,乘方程两端,积分应用分部积分得到 (３分))().(),(v f fvdx dx quv dxdv dx du p v u a b a ba ==+=⎰⎰,),(1b a H v E ∈∀ 即变分问题的Galerkin 形式. （3分)令⎰-+=-=b a dx fu qu dxdu p u f u u a u J ])([21),(),(21)(22，则变分问题的Ritz 形式为求),(1*b a H u E ∈,使)(m in )(1*u J u J EH u ∈= （4分) 评分标准:空间描述与积分步骤３分，变分方程3分，极小函数及其变分问题４分,三(20分)、对于边值问题⎪⎩⎪⎨⎧-====⨯=∈=∂∂+∂∂====x u u u u G y x y u x u y y x x 1||,0|,1|)1,0()1,0(),(,010102222 (１)建立该边值问题的五点差分格式(五点棱形格式又称正五点格式),推导截断误差的阶。

偏微分方程数值解法试题与答案

一．填空（1553=⨯分）1．若步长趋于零时，差分方程的截断误差0→lmR ，则差分方程的解lm U 趋近于微分方程的解lm u . 此结论_______（错或对）； 2．一阶Sobolev 空间{})(,,),()(21Ω∈''=ΩL f f f y x f H y x关于内积=1),(g f _____________________是Hilbert 空间；3．对非线性（变系数）差分格式，常用 _______系数法讨论差分格式的_______稳定性； 4．写出3x y =在区间]2,1[上的两个一阶广义导数：_________________________________， ________________________________________；5．隐式差分格式关于初值是无条件稳定的. 此结论_______（错或对）。

二．（13分）设有椭圆型方程边值问题用1.0=h 作正方形网格剖分。

（1）用五点菱形差分格式将微分方程在内点离散化；（2）用截断误差为)(2h O 的差分法将第三边界条件离散化；（3）整理后的差分方程组为三．（12）给定初值问题xut u ∂∂=∂∂ ， ()10,+=x x u 取时间步长1.0=τ，空间步长2.0=h 。

试合理选用一阶偏心差分格式（最简显格式）, 并以此格式求出解函数),(t x u 在2.0,2.0=-=t x 处的近似值。

1．所选用的差分格式是： 2．计算所求近似值：四．（12分）试讨论差分方程()ha h a r u u r u u k l k l k l k l ττ+-=-+=++++11,1111逼近微分方程0=∂∂+∂∂xu a t u 的截断误差阶R 。

思路一：将r 带入到原式，展开后可得格式是在点（l+1/2,k+1/2）展开的。

思路二：差分格式的用到的四个点刚好是矩形区域的四个顶点，可由此构造中心点的差分格式。

偏微分方程数学考试试题

偏微分方程数学考试试题
1. 求解以下偏微分方程：
a. $ \frac{\partial u}{\partial t} = 3 \frac{\partial u}{\partial x} $
b. $ \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = 5 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} $
c. $ \frac{\partial u}{\partial t} = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} $
2. 考虑以下边界条件问题：
$ u(0,t) = 0 $
$ u(1,t) = 2t $
$ u(x,0) = \sin(\pi x) $
求解该问题的解析解。

3. 对于给定的偏微分方程，尝试通过变量分离的方法求解。

证明解的唯一性。

4. 考虑一维热传导方程：$ \frac{\partial u}{\partial t} = \alpha
\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} $
其中 $ \alpha $ 是热扩散系数。

解释在不同参数 $ \alpha $ 下方程的行为和性质。

5. 讨论偏微分方程的数值解法，比较有限差分法和有限元法的优缺点并举例说明。

6. 推导一维波动方程的解，并给出波动方程的初边值问题求解方法。

7. 请给出二阶常系数齐次线性偏微分方程的通解形式，并解释其中
每一个参数的物理意义。

8. 推导热传导方程的一维解，并讨论热源对温度分布的影响。

以上就是本次数学考试试题，请同学们认真作答，加油！。

偏微分方程总复习题

1. 定解问题的存在性、唯一性、稳定性统称为定解问题的适定性.2.定解问题的存在性、唯一性、稳定性统称为定解问题的适定性.3. 一维波动方程Cauchy 问题中点()t x ,的依赖区域是],[at x at x +-.4.一维波动方程Cauchy 问题的特征线是at x x ±=0.5.二维波动方程Cauchy 问题2022020t a y y x x ≤-+-)()(的决定区域是2022020)()()(t t a y y x x -≤-+-.6.二维波动方程Cauchy 问题的特征锥是2022020)()()(t t a y y x x -=-+-.7.当∞→t 时，二维波动方程Cauchy 问题的解的衰减估计为21-t .8.二维热传导方程的标准形式为f xu x u a t u +∂∂+∂∂=∂∂)(222222. 9.函数)(x f 的傅里叶变换ξξξd e f f F x i ⎰∞∞-=)(][.10.函数)(1x f 和)(2x f 的卷积=*)()(21x f x f dt t f t x f )()(⎰∞∞--21.11.=*)]()([21x f x f F ][][21f F f F ⋅. 12.=⋅)]()([21x f x f F ][][2121f F f F *π. 13.当∞→t 时，三维热传导方程的Cauchy 问题的解的衰减率为23-t.14.三维拉普拉斯方程的基本解是r 1.15.二维拉普拉斯方程的基本解是r1ln .16.二维调和函数的平均值公式为ds u a M u a⎰⎰Γ=2041π)(.17.设),(0M M G 为格林函数，则ds MM G ⎰⎰Γ),(0=1-.18.设),,()(z y x u M u =在点A 的邻域中除点A 外调和，则=⋅→)(lim M u r AM AM 0 ，时可以补充定义使其在点A 的邻域调和.1. 齐次波动方程的形如()at x F -的解所描述运动规律，称为右传播波. (√)2. 齐次波动方程的形如()at x G +的解所描述运动规律，称为左传播波.(√)3.当空间维数是偶数时，总有波的弥散现象发生.(√)4.当空间维数是奇数时，波总具有无后效现象.(×)5.当∞→t 时，一维波动方程Cauchy 问题的解没有衰减性.(√)6.不恒等于常数的调和函数在其定义区域的任何内点上不能达到上界或下界. (√)7.调和函数如果在其边界上恒等于常数，则在其定义域内恒等于常数.(√) 8.当∞→t 时，二维热传导方程的Cauchy 问题的解的衰减率为1-t .(√) 9.当∞→t 时，三维波动方程Cauchy 问题的解的衰减估计为1-t .(√)10.一维热传导方程的标准形式为f xu a t u +∂∂=∂∂22222.(×) 三、计算题;1. 用分离变量法求下列问题的解：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>==<<-=∂∂=<<>∂∂=∂∂==.)(),(),(),()(,sin ,),(00001300022222t t l u t u l x x x t u l x u l x t x u a t u o t t π 解：边界条件齐次的且是第一类的，令)()(),(t T x X t x u =得固有函数x ln x X n πsin)(=，且 t lan B t l an A t T n n n ππsin cos )(+=，)2,1( =n于是∑∞=+=1sin )sin cos(),(n n n x ln t l an B t l an A t x u πππ 今由始值确定常数n A 及n B ，由始值得∑∞==1sin 3sin n n x l n A l x ππ∑∞==-1sin )(n n x l n B l an x l x ππ 所以,13=A ,0=n A 当3≠n⎰-=ln xdx l n x l x an B 0sin )(2ππ⎩⎨⎧ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-=x l n x n l x l n n l x l n x n l l an πππππππcos sin cos 22222 )}))1(1(4cos 2sin 2443333222n lan l xl n n l x l n n x l --=--πππππ 因此所求解为∑∞=--+=1443sin sin )1(143sin 3cos ),(n n x l n t l an n a l x l t l a t x u πππππ2.验证 2221),,(yx t t y x u --=在锥0222>--y x t 中都满足波动方程222222yux u t u ∂∂+∂∂=∂∂. 证：函数2221),,(y x t t y x u --=在锥222y x t -->0内对变量t y x ,,有二阶连续偏导数。

偏微分方程数值解期末试题及参考答案

《偏微分方程数值解》试卷参考答案与评分标准专业班级信息与计算科学开课系室考试日期 2006.4.14命题教师王子亭偏微分方程数值解试题(06A)参考答案与评分标准信息与计算科学专业一（10分）、设矩阵A 对称正定，定义)(),(),(21)(n R x x b x Ax x J ∈-=，证明下列两个问题等价：(1)求n R x ∈0使 )(min )(0x J x J nRx ∈=;(2)求下列方程组的解：b Ax =解: 设n R x ∈0是)(x J 的最小值点,对于任意的n R x ∈,令),(2),()()()(2000x Ax x b Ax x J x x J λλλλϕ+-+=+=, (3分)因此0=λ是)(λϕ的极小值点,0)0('=ϕ,即对于任意的n R x ∈,0),(0=-x b Ax ,特别取b Ax x -=0,则有0||||),(2000=-=--b Ax b Ax b Ax ,得到b Ax =0. (3分) 反之,若nR x ∈0满足bAx =0,则对于任意的x ,)(),(21)0()1()(00x J x Ax x x J >+==+ϕϕ,因此0x 是)(x J 的最小值点. (4分)评分标准:)(λϕ的表示式3分, 每问3分,推理逻辑性1分二（10分）、对于两点边值问题：⎪⎩⎪⎨⎧==∈=+-=0)(,0)(),()(b u a u b a x f qu dxdu p dx d Lu 其中]),([,0]),,([,0)(min )(]),,([0min ],[1b a H f q b a C q p x p x p b a C p b a x ∈≥∈>=≥∈∈建立与上述两点边值问题等价的变分问题的两种形式：求泛函极小的Ritz 形式和Galerkin 形式的变分方程。

解: 设}0)()(),,(|{110==∈=b u a u b a H u u H 为求解函数空间,检验函数空间.取),(10b a H v ∈,乘方程两端,积分应用分部积分得到 (3分))().(),(v f fvdx dx quv dxdv dx du pv u a b a ba ==+=⎰⎰,),(10b a H v ∈∀ 即变分问题的Galerkin 形式. (3分)令⎰-+=-=b a dx fu qu dxdup u f u u a u J ])([21),(),(21)(22,则变分问题的Ritz 形式为求),(10*b a H u ∈,使)(min )(1*u J u J H u ∈= (4分)评分标准:空间描述与积分步骤3分,变分方程3分,极小函数及其变分问题4分,三（20分）、对于边值问题⎪⎩⎪⎨⎧=⨯=∈-=∂∂+∂∂∂0|)1,0()1,0(),(,12222G u G y x yux u （1）建立该边值问题的五点差分格式（五点棱形格式又称正五点格式），推导截断误差的阶。

偏微分方程期末试题A卷

第1 页共5页安徽大学20 08 —20 09 学年第二学期《偏微分方程》考试试卷（A 卷）（闭卷时间120分钟）院/系年级专业姓名学号题号一二三四五总分得分一、填空题（每小题3分，共15分）1.1.对常系数方程对常系数方程x y z u au bu cu du f D ++++=作未知函数的变换可以将所有一阶微商消失可以将所有一阶微商消失. .2.2.设设:R R F ®是光滑凸函数，(,)u x t 是热传导放程0tu u -D =的解，则()u F 是热传导方程的(下解;上解；解).3.3.上半平面的上半平面的Green 函数G(x,y)G(x,y)为为，其中12(,)y y y =为上半平面中某固定点为上半平面中某固定点. .4．设函数u 在以曲面G 为边界的区域W 内调和，在W G 上有连续的一阶偏导数，则u dSn G ¶¶òò=，其中n 是G 的外法方向的外法方向. . 5.5.热传导方程热传导方程2()0t xx yy u a u u -+=的特征曲面为．得分二、计算题（每小题10分，共40分） 1．求解初值问题．求解初值问题0,(,)(0,)(,0),,t x u bu cu x t R u x g x R ++=Î´¥ìí=Îî 其中，,b c R Î都是常数都是常数. .2.2.试用延拓法求解半有界直线上的热传导方程的边值问题：试用延拓法求解半有界直线上的热传导方程的边值问题：试用延拓法求解半有界直线上的热传导方程的边值问题：2000,0,0,|(),|0.t xx t x u a u x t u x u j ==ì-=>>ï=íï=î得分3．试求解．试求解22008(),|,|.tt xx yy zz t t t u u u u t u xy u z ==ì-++=ïí==ïî4．写出定解问题：．写出定解问题：200(),0,0,|0,|0,|().t xx x x l t u a u f x x l t u u u g x ===ì-=<<>ï==íï=î解的一般形式解的一般形式. .三、判断分析题（三、判断分析题（1010分）分）试判断下面命题是否成立，并说明原因试判断下面命题是否成立，并说明原因. .在证明Hopf 引理的过程中，我们能够作出一个辅助函数()v x 满足满足 (a)(a)在球面在球面()R B y ¶上0;v =(b)v 沿球()R B y 的半径方向的方向导数vn¶¶<0<0；；(c)(c)在整个球在整个球()R B y 内下调和内下调和. .四、分析计算题（四、分析计算题（1515分）分）试判断下列方程试判断下列方程2222222sin cos cos 0u u u u x x x x x y y y¶¶¶¶---=¶¶¶¶¶ 的类型，并根据标准型求出此方程的通解的类型，并根据标准型求出此方程的通解. .得分得分五、证明题(下面两道题请任选一题)（20分）1．设G 是2R 中有界区域，试利用证明热传导方程解的最大值原理的方法证明：中有界区域，试利用证明热传导方程解的最大值原理的方法证明：满足方程0xx yy u u +=的函数u(x,y)在G 上的最大值不会超过它在边界G ¶上的最大值上的最大值. .2．试用能量法（即用格林第一公式法）证明n 维Laplace 方程的第三边值问题方程的第三边值问题 12n u(x)0,x=(x ,x ,,x ),0u u f ns s ¶W D =ÎWìï¶íæö+=>ç÷ï¶èøî 是常数的解的唯一性，其中W 为边界光滑的有界区域为边界光滑的有界区域. .得分。

偏微分方程考试题及答案

偏微分方程考试题及答案一、单项选择题（每题2分，共10分）1. 偏微分方程的一般形式是什么？A. $ \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partialu}{\partial y} = 0 $B. $ \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0 $C. $ \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial^2u}{\partial y^2} = 0 $D. $ \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partialu}{\partial y} = 0 $答案：B2. 以下哪个方程不是线性偏微分方程？A. $ \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + 3u = 0 $B. $ \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 1 $C. $ \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + 2\frac{\partial u}{\partial y} = 0 $D. $ u^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial u}{\partial y} = 0 $答案：D3. 波动方程的解通常表示为两个函数的和，这两个函数分别是？A. $ f(x+ct) $ 和 $ g(x-ct) $B. $ f(x+ct) $ 和 $ g(x+ct) $C. $ f(x-ct) $ 和 $ g(x+ct) $D. $ f(x+ct) $ 和 $ h(x-ct) $答案：A4. 拉普拉斯方程的解是调和函数，以下哪个条件不是调和函数必须满足的？A. $ \Delta u = 0 $B. $ \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2u}{\partial y^2} = 0 $C. $ \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2} = 0 $ D. $ \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2u}{\partial y^2} = 1 $答案：D5. 以下哪个条件不是偏微分方程解的存在性和唯一性定理所要求的？A. 初始条件B. 边界条件C. 系数的连续性D. 变量的离散性答案：D二、填空题（每题3分，共15分）1. 偏微分方程 $ \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} -\frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0 $ 是一个 ________ 方程。

偏微分方程习题及答案

偏微分方程习题及答案【篇一：偏微分方程数值解法期末考试题答案】题答案及评分标准学年学期：专业：班级：课程：教学大纲：使用教材：教材作者：出版社：数学与应用数学数学偏微分方程数值解法《偏微分方程数值解法》教学大纲（自编，2006）《偏微分方程数值解法》陆金甫、关治清华大学出版社一、判断题（每小题1分，共10分）1、（o）2、（o）3、（x）4、（x）5、（o）6、（o）7、（o）8、（x）9、（x） 10、（o）二、选择题（每小题2分，共10分） 11、（d） 12、（a） 13、（c） 14、（b）15、（c）三、填空题（每小题2分，共20分）?2?216、2?2??x1?x2?2?2 17、a=[4 5 9;23 5 17;11 23 1] 18、y=exp(-t/3)*sin(3*t) ?xn19、help 20、zeros(m,n)21、inva(a)*b或者a/b22、a=sym([cos(x-y),sin(x+y);exp(x-y),(x-1)^3])?(s)?1?(s)?c[??(s)]2?023、a[?2(s)]2?2b?224????v(?)ed? 25、i?xu(xj,tn?1)?u(xj,tn)?四、计算题：（每小题12分，共36分）?u?u?0（x?r,t?0）的有限差分方程（两层显示26、写成对流方程?a?t?x格式，用第n层计算第n+1层），并把有限差分方程改写为便于计算的迭代格式???/h为网格比。

解：在点(xj,tn)处，差分方程为?1un?unjj??anunj?1?ujh?0（j?0,?1,?2,，n?0,1,2,）（8分）便于计算的形式为?1nnn???/h （4分） un?u?a?(u?ujjj?1j)，?u?2u?a2的有限差分方程（中心差分格式，用第n层27、写出扩散方程?t?x计算第n+1层），并把有限差分方程改写为便于计算的迭代格式，???/h2为网格比。

初次接触偏微分的应用练习题

初次接触偏微分的应用练习题偏微分方程是数学中的重要概念，它在科学、工程和经济等领域中有广泛的应用。

为了帮助大家更好地理解和掌握偏微分方程的应用，本文将介绍一些偏微分方程的练习题，并给出详细的解答过程。

练习题一：热传导方程考虑一个一维的热传导问题，假设一个长为L的金属棒，两端被恒定温度T1和T2的热源加热。

设该金属棒的热传导满足热传导方程：∂u/∂t = α∂²u/∂x²其中u(x,t)表示金属棒上的温度分布，α为热传导系数。

问题1：金属棒的初始温度分布为u(x,0) = f(x)，求解金属棒上的温度分布u(x,t)。

解答1：根据问题的条件，我们可以得到以下方程：∂u/∂t = α∂²u/∂x²u(x,0) = f(x)根据偏微分方程的特点，我们可以尝试使用分离变量法进行解答。

假设u(x,t)的解可以表示为u(x,t) = X(x)T(t)，则可得到以下两个常微分方程：X''(x)/X(x) = T'(t)/αT(t)将常微分方程进行分离变量，可得到两个独立的方程：X''(x)/X(x) = -λ²T'(t)/αT(t) = λ²其中λ为分离变量的常数，根据金属棒的边界条件，可以得到以下边界条件：X(0) = 0X(L) = 0对第一个常微分方程进行求解，可得到以下的特解：X(x) = Csin(λx)根据边界条件，我们可以确定λ的值为nπ/L，其中n为正整数。

因此，金属棒上的温度分布可以表示为：u(x,t) = ΣCnsin(nπx/L)e^(-α(nπ/L)²t)问题2：求解金属棒上任意位置x处的温度。

解答2：根据问题的条件，我们可以使用傅里叶级数展开来求解。

傅里叶级数可以表示任意函数f(x)在[-L,L]上的展开式：f(x) = Σ(Ansin(nπx/L) + Bncos(nπx/L))根据问题1的解答，将金属棒上的温度分布代入傅里叶级数展开中，可得到以下的展开式：u(x,t) = ΣΣCnsin(nπx/L)e^(-α(nπ/L)²t)根据傅里叶级数展开的特点，我们可以得到以下结论：Cn = 2/L∫[0,L]f(x)sin(nπx/L)dx因此，金属棒上任意位置x处的温度可以表示为：u(x,t) = Σ2/L∫[0,L]f(x)sin(nπx/L)dxsin(nπx/L)e^(-α(nπ/L)²t)练习题二：扩散方程考虑一个二维的扩散问题，假设一个正方形区域上的物质满足扩散方程：∂u/∂t = D(∂²u/∂x² + ∂²u/∂y²)问题：正方形区域的初始浓度分布为u(x,y,0) = f(x,y)，求解正方形区域上的浓度分布u(x,y,t)。

偏微分方程应用考试试题

偏微分方程应用考试试题题目一：1. 一个热传导问题：矩形金属板的热传导方程为∂u/∂t = α(∂²u/∂x² + ∂²u/∂y²)，其中 u(x,y,t) 表示温度分布， x，y 为空间变量， t 为时间变量, α 是一个正常数。

如果矩形板的边界满足以下条件:u(0,y,t) = 100, u(L,y,t) = 200, 0 ≤ y ≤ H, 0 ≤ t，(1)∂u/∂y(x,0,t) = 0，∂u/∂y(x,H,t) = 0，0 ≤ x ≤ L, 0 ≤ t，(2)u(x,y,0) = 0，0 ≤ x ≤ L, 0 ≤ y ≤ H，(3)其中 L 和 H 是正常数。

(a) 在给定的边界条件和初始条件下，求出热传导问题的解 u(x,y,t)。

(b) 求出 u(x,y,t) 在 y = H/2 处的时间变化情况。

2. 一个扩散问题：一维扩散方程为∂u/∂t = D * ∂²u/∂x²，其中 u(x,t) 表示某物质在空间 x 处的浓度分布，时间 t 为时间变量， D 是该物质的扩散系数。

如果在给定边界条件和初始条件下，扩散问题的解为：u(x,t) = A * exp(-α² * D * t) * sin(α * x + φ),其中 A，α 和φ 是常数。

(a) 求解上述扩散问题的边界条件和初始条件。

(b) 给定某初始条件，在一定时间范围内，描述u(x,t) 的变化情况。

题目二：1. 一个波动方程问题：一维波动方程为∂²u/∂t² = c² * ∂²u/∂x²，其中 u(x,t) 表示波动的振幅， x 为空间变量，t 为时间变量, c 是波速。

如果波动问题的解为：u(x,t) = A * sin(k * x - ω * t + φ),其中 A，k，ω 和φ 是常数。

偏微分方程练习题

偏微分方程练习题(2014年12月)11.1设Ω⊂R n是一个开集,分别写出C∞0(Ω)、C m(Ω)(m为非负整数)、C m(Ω)(m为非负整数)、L p(Ω)(1≤p<∞)、L ploc (Ω)(1≤p<∞)代表的函数空间的定义并给出这些空间两两之间的包含关系(至少写出三个关系).1.2分别写出柯西不等式和带ε的柯西不等式并严格证明(ε为正常数).1.3分别写出Young’s不等式和带ε的Young’s不等式并严格证明(ε为正常数).1.4设a,b>0,0<p<+∞,证明(a+b)p≤max{1,2p−1}(a p+b p).22.1设Ω⊂R n是一个有界开集,多重指标α=(α1,···,αn),|α|=α1+···+αn.设u∈L1loc (Ω),写出u的α阶弱偏导数Dαu(假定存在)的定义.并且用自己的语言简要说明弱偏导数和经典分析中的偏导数之间的区别和联系.2.2设Ω=(0,2)⊂R,u(x)={x,0<x≤1; 1,1<x<2,及v(x)={1,0<x≤1; 0,1<x<2.请用定义验证v(x)是u(x)的一阶弱导数. 33.1设Ω=B(0;4)为R n中球心是坐标原点半径为4的开球体,f=f(r)(r=√x21+···+x2n)是径向对称函数,请化简积分∫Ωf(x)dx(用ωn表示n维单位球体的体积).3.2设Ω⊂R n为有界区域,f(x)=(f1(x),···,f n(x))是定义在Ω中的向量值光滑函数,g(x)是定义在Ω中的光滑函数,请写出微分算子div f、∇g及∆g的定义.3.3设Ω⊂R n为有界光滑区域,ν是∂Ω的单位外法线向量,f(x)=(f1(x),···,f n(x))是定义在Ω中的向量值函数,f i∈C1(Ω)∩C(¯Ω)(i=1,···,n),请写出散度定理的内容(不需要证明). 3.4证明分部积分公式(经典分析中分部积分公式的高维形式)：设Ω⊂R n为有界光滑区域, f,g∈C1(Ω)∩C(¯Ω),则∫Ωf∂g∂x idx=−∫Ωg∂f∂x idx+∫∂Ωfgνi dS,1这里νi 是∂Ω的单位外法线向量ν的第i (1≤i ≤n )个分量,dS 表示曲面积分.3.5证明第一格林公式：设Ω⊂R n 为有界光滑区域,f,g ∈C 2(Ω)∩C 1(¯Ω),则∫Ωf ∆gdx +∫Ω∇f ∇gdx =∫∂Ωf ∂g ∂νdS,这里ν是∂Ω的单位外法线向量,dS 表示曲面积分.3.6证明第二格林公式：设Ω⊂R n 为有界光滑区域,f,g ∈C 2(Ω)∩C 1(¯Ω),则∫Ω(f ∆g −g ∆f )dx =∫∂Ω(f ∂g ∂ν−g ∂f ∂ν)dS,这里ν是Ω的单位外法线向量,dS 表示曲面积分.3.7假定对任意的f ∈C ∞0(B (0;1))成立不等式∫B (0;1)|f (x )|p dx ≤C (n,p )∫B (0;1)|∇f (x )|p dx,1≤p <+∞,请用Rescaling 技术证明：对任意的f ∈C ∞0(B (x 0;r ))成立不等式∫B (x 0;r )|f (x )|p dx ≤C (n,p )r p ∫B (x 0;r )|∇f (x )|p dx,1≤p <+∞,这里B (x 0;r )是球心为x 0半径为r 的开球体,C (n,p )是一个仅与n,p 有关的正常数.44.1设ωn 表示n 维单位球体的体积,请写出n (n ≥3)维Laplace 方程的基本解Γ(x,ξ),x ∈R n 是自变量,ξ∈R n 是参变量.并且证明:∀ξ∈R n ,Γ(x,ξ)∈L 1loc (R n )以及∆x Γ(x,ξ)=0,x =ξ.4.2设u ∈C 2(Ω),−∆u =0,证明u 满足平均值性质:∀B (x ;r )⊂⊂Ω,成立u (x )=1|∂B (x ;r )|∫∂B (x ;r )u (y )dS y =1|B (x ;r )|∫B (x ;r )u (y )dy,这里|∂B (x ;r )|和|B (x ;r )|分别表示∂B (x ;r )的面积和B (x ;r )的体积.4.3设Ω⊂R n 为有界连通开集,u ∈C 2(Ω)∩C (¯Ω)满足−∆u (x )=0,∀x ∈Ω,证明u 满足强极值原理:如果u 在Ω中取到最大值或最小值,则u 必是常值函数.4.4设Ω⊂R n 为有界连通开集,u ∈C 2(Ω)∩C (¯Ω)是Derichlet 边值问题{−∆u (x )=0,x ∈Ω;u (x )=g (x ),x ∈∂Ω,的解.如果g (x )≥0,∀x ∈∂Ω,则u 在Ω中恒正或恒等于零.4.5设u ∈C 2(B (0;r ))满足−∆u (x )=0,u (x )≥0,∀x ∈B (0;r )⊂R n .则∀x ∈B (0;r ),成立Harnack 不等式r n −2(r −|x |)(r +|x |)n −1u (0)≤u (x )≤r n −2(r +|x |)(r −|x |)n −1u (0).2并且据此结论证明:如果v ∈C 2(R n )满足−∆v (x )=0,v (x )≥0,∀x ∈R n ,则v 必是常值函数(Liouville’s 定理).4.6设Ω⊂R n 为有界连通开集,u ∈C 2(Ω)∩C (¯Ω)满足−∆u (x )+c (x )u (x )≤0,∀x ∈Ω,其中c (x )是Ω上非负有界函数,请叙述强极值原理.并且举例说明当c (x )不是Ω上非负函数时,强极值原理不成立.4.7设ΩR =R n \B (0;R ),R >0,u ∈C 2(ΩR )∩C (ΩR )满足−∆u (x )+c (x )u (x )=0,x ∈ΩR ,u (x )=g (x ),x ∈∂B (0;R ),lim |x |→∞u (x )=0.证明:如果c (x )≥0,n ≥3,则存在一个正常数C 使得|u (x )|≤C |x |2−n ,∀x ∈ΩR .4.8设Ω⊂R n 为有界光滑区域,u ∈C 2(Ω)∩C 1(¯Ω)满足{−∆u (x )+c (x )u (x )=f (x ),x ∈Ω;u (x )=0,x ∈∂Ω,这里c (x )≥0,∀x ∈Ω及f ∈L 2(Ω).证明:存在一个仅与n,Ω有关的正常数C 使得∫Ω|∇u (x )|2dx +2∫Ωc (x )|u (x )|2dx ≤C ∫Ω|f (x )|2dx.并且据此能量估计证明:如果f ≡0,则u ≡0.4.9设Ω⊂R n 为有界光滑区域,如果0=u ∈C 2(Ω)∩C 1(¯Ω)满足{−∆u (x )=λu (x ),x ∈Ω;u (x )=0,x ∈∂Ω,这里λ∈C (复数集),则称λ为特征值,u 称为相应于λ的特征函数.证明λ>0以及相应于不同特征值的特征函数一定按照L 2内积正交.55.1请写出热方程∂t u −∆u =0的基本解Γ(x,t ;ξ,τ),(x,t )∈R n ×R 是自变量,(ξ,τ)∈R n ×R 是参变量.并且证明:∀(ξ,τ)∈R n ×R ,t >τ时,∫R n Γ(x,t ;ξ,τ)dx =1以及∂t Γ(x,t ;ξ,τ)−∆x Γ(x,t ;ξ,τ)=0,x ∈R n .5.2请从数学上严格解释热量传递(热传导)具有无限传播速度性质.注意：不能仅用文字描述，至少要写出一个数学表达式并通过这个表达式来分析.5.3利用延拓方法求解下列初边值问题∂t u =∂xx u (x ),0<x <l,u (0,t )=u (l,t )=0,t ≥0,u (x,0)=φ(x ),0≤x ≤l,3这里φ∈C ([0,l ]),φ(0)=φ(l )=0.5.4设Ω⊂R n 为有界开集,T >0,u ∈C 2,1(ΩT )∩C (ΩT )满足∂t u (x,t )−∆u (x,t )≤0,∀(x,t )∈ΩT ,请叙述弱极值原理并给出严格证明.5.5设Ω⊂R n 为有界开集,T >0,u ∈C 2,1(ΩT )∩C (ΩT )满足∂t u (x,t )−∆u (x,t )+c (x,t )u (x,t )≤0,∀(x,t )∈ΩT ,其中c (x,t )是ΩT 上非负有界函数,请叙述弱极值原理并给出严格证明.5.6设E (t )在[a,b ]上可导,u (t ),v (t )∈C ([a,b ]).假定E ′(t )≤u (t )E (t )+v (t ),∀t ∈[a,b ],证明(Gronwall 不等式)E (t )≤E (a )e ∫ta u (τ)dτ+∫t a v (τ)e ∫t τu (s )ds dτ,∀t ∈[a,b ].5.7设Ω⊂R n 为有界光滑区域,T >0,如果u ∈C 2,1(ΩT )满足∂t u (x,t )−∆u (x,t )=f (x,t ),(x,t )∈ΩT ,u (x,0)=φ(x ),x ∈Ω,u (x,t )=0,(x,t )∈∂Ω×(0,T ),或∂t u (x,t )−∆u (x,t )=f (x,t ),(x,t )∈ΩT ,u (x,0)=φ(x ),x ∈Ω,∂u (x,t )∂ν=0,(x,t )∈∂Ω×(0,T ),这里ν是∂Ω的单位外法线向量.证明:∀t ∈[0,T ],成立能量不等式∫Ω|∇u (x,t )|2dx +2∫t 0∫Ω|∇u (x,τ)|2dxdτ≤e T (∫Ω|φ(x )|2dx +∫t 0∫Ω|f (x,τ)|2dxdτ).并且据此能量估计证明:如果f ≡0,φ≡0,则u ≡0.4。

偏微分方程习题及答案

偏微分方程数值解试题06A参考答案

偏微分方程数值解试题一（10分）、设矩阵对称正定，定义，证明下列两个问题等价：(1)求使;(2)求下列方程组的解：解: 设是的最小值点,对于任意的,令, (3分)因此是的极小值点,,即对于任意的,,特别取,则有,得到.（3分)反之,若满足,则对于任意的,,因此是的最小值点. (4分)评分标准:的表示式3分, 每问3分,推理逻辑性1分二（20分）、对于边值问题（1）建立该边值问题的五点差分格式（五点棱形格式又称正五点格式），推导截断误差的阶。

（2）取，求边值问题的数值解（写出对应的方程组的矩阵形式，并求解）（3）就取的一般情况写出对应方程组的系数矩阵（用分块矩阵表示）。

解: (1) 区域离散,差分格式为(5分)应用展开得到,截断误差为,其阶为(3分)(2) 未知量为,矩阵形式为,其中(4分)解为(3分)(3) 矩阵为,(5分)评分标准:第1问8分,格式4分,截断误差4.(2) 7分,方程4分,解3分.(3)5分, 形式3分,B的形式2分三（20分）、对于初边值问题（1）建立向前差分格式（最简显格式），推导截断误差的主项，指出误差阶;（2）写出差分格式的矩阵形式（即的形式），用矩阵方法分析格式的稳定性（3）建立六点加权格式，写出计算形式，应用方法（分离变量法）分析格式的稳定性。

解:(1) 区域离散,格式为, (5分)应用展开得到,误差主项为,阶为(3分)(2), (4分)稳定条件为(3分)(3) 格式为, (3分)当格式恒稳定,当,稳定条件为(2分)四（10分）、逼近的三层差分格式分析格式的稳定性解:计算形式为(2分) 此为三层格式,化为两层格式.令,则有(4分)令,代入格式,消去公因子,得到(2分)放大矩阵为,特征方程为,,的充要条件为方程有相同的复根或一对共扼复根,即.考虑到的变化,稳定条件为(2分)五（10分）、建立波动方程的初值问题的显格式，推导截断误差.解:差分格式为, (5分)截断误差为,阶为(5分)六（10分）、对于二维抛物型方程建立向后差分格式（隐格式），指出截断误差阶，分析格式的稳定性。

偏微分方程面试题

偏微分方程面试题
1. 什么是偏微分方程？
答：偏微分方程是指包含多个独立变量和它们的偏导数的方程。

2. 什么是泊松方程？
答：泊松方程是一种二阶偏微分方程，它描述了在某些区域内的
某些量的相对分布。

3. 什么是热方程？
答：热方程描述了物体在时间上的温度分布，在一定的边界条件下，可以用来求解热传导问题。

4. 什么是亥姆霍兹方程？
答：亥姆霍兹方程是一个二阶偏微分方程，它描述了无旋场的行为，同时也描述了圆形波导的行为。

5. 什么是拉普拉斯方程？
答：拉普拉斯方程是一个二阶偏微分方程，它描述了一个没有源、没有汇、在边界上不改变的场。

在一些物理问题中，这通常是描述电
场或流体流动的行为的方程。

6. 什么是抛物线方程？
答：抛物线方程是一种二阶偏微分方程，它描述了某些物理问题
中抛出物体的行为。

例如，它可以用来描述开角投掷问题，如篮球投
掷等。

7. 什么是对流扩散方程？
答：对流扩散方程是一种常见的具有对流和扩散项的偏微分方程，它可以用来描述某些物理问题的行为，如流体力学、化学反应等。

8. 什么是超声波方程？
答：超声波方程是一种二阶非线性偏微分方程，它可以用来描述
超声波的传播和反射。

在医学成像中，超声波方程是重要的应用之一。

偏微分方程试卷

偏微分方程试卷(A)姓名_____________班级____________学号______________1. (10分)求解初值问题:(1,ℜ∈y x ),0=+xy uuux x u -=)0,(并确定x u 的爆破时刻Y ,即Y y →时,.∞→x u2. (10分)求解定解问题,|,s i n |,,00012⎪⎩⎪⎨⎧==>ℜ∈=-=+=-xu x u t x u a u at x at x xx tt3. (15分)用分离变量法求解初边值问题⎪⎩⎪⎨⎧≥==≤≤==><<=-.0,),(,0),0(0,0),()0,(,0,0,2t Bt t l u t u l x t x u x u t l x bx u a u t xx tt4. (10分)用Fourier 变换求解 ⎝⎛ℜ∈=>ℜ∈=∆-.,0)0,(0,),(n nt x x u t x t x f u u题中的函数及其导数均可作Fourier 变换.tn etx t F 2||2}]4||exp{)4[(ξπ--=-5. (15分)用分离变量法求解单位圆外二维Laplace 方程的边值问题:⎪⎩⎪⎨⎧∞<=+=<≤>=++.||),,()2,(),(),1(,20,1,0112u r u r u f u r u ru r u r rr θπθθθπθθθ并简要说明不能给定),(θ∞u 的值.6. (10分)证明:如果初边值问题⎪⎩⎪⎨⎧==∈==>∈+=+0),(),0(],0[)()0,(),()0,(0),,0(),,(2t l u t u l x x x u x x u t l x t x f u u c u t xx t tt ϕφ有古典解,则古典解只有一个.(提示:设⎰+=lx t dx u u t E 022)()()7. (10分)让21λλ≠是特征值问题: ⎩⎨⎧=Ω∈=+∆Ω∂0|,,0u x u u λ的两个特征值,其对应的特征函数分别为,,21ϕϕ证明21,ϕϕ正交,即证⎰Ω=021dx ϕϕ.题中Ω为n ℜ中边界适当光滑的有界开域.8. (10分)设B 是)2(≥ℜn n 中的单位球,)(x u 是问题⎩⎨⎧∂∈=∈=∆-Bx x g u B x x f u ),(),(的光滑解.证明存在仅依赖n 的常数C,使得|).|max ||max (||max f g C u BBB+≤∂9. (10分)让),(t y x K -是一维热传导方程的解核(表达式看第4题末), )()(10ℜ∈∞C x ϕ.证明:(1) 对任意0>δ, 有.,0),(lim 1||0ℜ∈∀=-⎰>-+→x dy t y x K x y t δ(提示:令t s x y 4=-)(2) .),()(),(lim10ℜ∈∀=-⎰ℜ+→x x dy y t y x K t ϕϕ。

试题集：偏微分方程入门

1.偏微分方程的阶数由什么决定？o A. 方程中未知函数的最高阶导数o B. 方程中未知函数的个数o C. 方程中自变量的个数o D. 方程中常数的个数参考答案: A解析: 偏微分方程的阶数由方程中未知函数的最高阶偏导数决定。

2.下列哪个方程是二阶线性偏微分方程？o A. u x+u y=0o B. u xx+u yy=0o C. u x2+u y2=1o D. u xy+u=0参考答案: B解析: 二阶线性偏微分方程包含未知函数的二阶偏导数，且未知函数及其偏导数的系数为常数或仅依赖于自变量。

3.偏微分方程u t=u xx描述的是什么物理现象？o A. 弹性振动o B. 热传导o C. 流体动力学o D. 电磁波传播参考答案: B解析: u t=u xx是热传导方程，描述热量在均匀介质中的扩散。

4.以下哪个方程是波动方程？o A. u t=u xxo B. u tt=c2u xxo C. u xx+u yy=0o D. u x+u y=0参考答案: B解析: 波动方程通常形式为u tt=c2∇2u，其中c是波速。

5.偏微分方程u xx+u yy=0是哪种类型的方程？o A. 抛物型o B. 双曲型o C. 椭圆型o D. 非线性参考答案: C解析: u xx+u yy=0是拉普拉斯方程，属于椭圆型偏微分方程。

6.以下哪个是偏微分方程的初值条件？o A. u(x,0)=f(x)o B. u(x,y)=f(x,y)o C. u(0,y)=f(y)o D. u(x,1)=f(x)参考答案: A解析: 初值条件通常设定在时间变量的初始时刻，如u(x,0)=f(x)。

7.以下哪个是偏微分方程的边界条件？o A. u(x,0)=f(x)o B. u(x,y)=f(x,y)o C. u(0,y)=f(y)o D. u(x,1)=f(x)参考答案: C解析: 边界条件通常设定在空间变量的边界上，如u(0,y)=f(y)。

偏微分方程考试题

偏微分方程数值解期末试题及标准答案

偏微分方程数值解法试题与答案

偏微分方程数学考试试题

偏微分方程总复习题

偏微分方程数值解期末试题及参考答案

偏微分方程期末试题A卷

偏微分方程考试题及答案

偏微分方程习题及答案

初次接触偏微分的应用练习题

偏微分方程应用考试试题

最新偏微分方程数值解试题参考答案

偏微分方程练习题

偏微分方程习题及答案

偏微分方程数值解试题06A参考答案

偏微分方程面试题

偏微分方程试卷

试题集：偏微分方程入门