偏微分方程考试题

数学物理方程及数值解 复习提要

一、偏微分方程的建立 CH1 典型方程和定解条件 【内容提要】

1. 方程的建立(步骤:确定物理量;微元法建立等式;化简得方程)

主要方法：微元法； 泛定方程:

(1) 波动方程(双曲型)：

弦振动方程：22

222

2

(,)(,)(),()

u x t u x t F a a t

x

ρ∂∂==

∂∂张力单位长度弦质量 传输线方程：2222

22222

22

1,00i a LC

i a a t x t x νν∂∂∂∂-=-=∂∂∂=∂；， 电磁场方程:2222

2211,,H E H E t t εμεμ

∂∂=∇=∇∂∂

22

222222221(),με

标量函数形式:∂∂∂∂=++∂∂∂=∂u u u z a u a t x y (2) 热传导方程/扩散方程（抛物型）:

ρ

，其中22u F

a u f f t c ∂=∇+=

∂ 导热杆（无热源）2

22u u a t x ∂∂=∂∂， 导热片（无热源）22222

()u u u a t x y ∂∂∂=+∂∂∂ (3) 稳恒方程(椭圆型):

Poisson 方程：，2

u f ∇= Laplace 方程：，2

0u ∇=

2.定解条件：初始条件及边界条件

边界条件(1)第一类边界条件(Dirichlet 条件): 1(,)(,)D u M t f M t ∂=

(2) 第二类边界条件(Neumann 条件):

2D

u

f n ∂∂=∂ (3) 第三类边界条件(Robin 条件): 3(

)D

u

u f n σ∂∂+=∂ 3.定解问题的提法：

⎧⎪

⎧⎨⎨⎪⎩⎩

偏微分方程(泛定方程)定解问题初始条件定解条件边界条件

()Cauchy ⎧⎨

⎩泛定方程

(1)初始问题初始条件 ⎧⎨

⎩泛定方程

(2)边界问题(第一,二,三)边界条件

⎧⎪

⎨⎪⎩

泛定方程(3)混合问题初始条件边界条件

4.线性偏微分方程的基本性质

（1）.线性迭加原理

212,11,,,,,,

,:n

n

ij i ij i n i j i i j i

L a b c a b c f x x x x x x ==∂∂

=++∂∂∂∑∑其中是算子的函数

1

1

1

(1,2)(

),n

n

n

i i i

i i

i i i i i i L u f i

n L c u c L u c f

=====⇒==

∑∑

∑命题：

2111

0(1,2),,()0,n

n

i

i i i i i i i i i i k j u Lu i c u c L c u x x ∞

===∂==⇒=∂∂∑∑∑一致敛命收题：

(2.) 齐次化原理（冲量原理）

Duhamel 原理：设(,,)x t ωτ是方程22

222,,(,)(,)0,(,),a x t t x x x f x x t ωτωτωττω⎧∂∂=-∞<<+∞>⎪∂∂⎪

⎨∂⎪==-∞<<+∞⎪∂⎩的解，

⇒0

(,,)d ,()t x t u x t ωττ=⎰是方程22222

(,),,0(,0)(,0)0,0,u u a f x t x t t

x u x u x x t ⎧∂∂=+-∞<<+∞>⎪∂∂⎪⎨∂⎪==-∞<<+∞⎪∂⎩

的解。

【典型习题】

1：长为l 的均匀杆，侧面绝缘,一端温度为零，另一端有恒定热流q 进入（即单位时间内通过单位截面积流入

的热量为q ），杆的初始温度分布是

()

2

x l x -，试写出相应的定解问题 解：初始条件：0()|2t x l x u =-=， 杆的初始温度分布是()

2

x l x -，

边界条件： 0|0x u ==由杆的一端温度为零

x l

u k q x

=∂-=-∂，杆的另一端有恒定热流q ，

u u n x

∂∂=∂∂）（Fourier 实验定律 故定解问题为：

2

2200

()|2|0,t x x l

u u a t x x l x u u u k q

x ===⎧∂∂=⎪∂∂⎪

-⎪

=

⎨⎪

⎪∂==⎪∂⎩

该定解问题为齐次方程第二类非齐次边界条件的混合问题

3：长为l 的弦两端固定，开始时在x c =受冲量k 的作用，试写出相应的定解问题

解：设弦的两端为：0x x l ==，由题意有

弦的振动方程为 2222u u

a t x

∂∂=∂∂ (0)

x l << 边界条件为：0||0x x l u u ==== 初始条件为：0|0t u ==

在点x c =，取小段 c x c -≤≤+δδ （δ是无穷小量），

由冲量定理有0|2t t k u δρ== ，(冲量=动量改变量) ()ρ是弦的质量密度； ∴ 0|,2||t t k u x c =-≤=δρ

δ

于是，

()00

||,|0,||.

2t t x c u k

x c =->⎧⎪

=→⎨-≤⎪⎩

δδδδρ

故定解问题为

22220000|||0,|||2|0,|0t t t x x l u u a t x x c u u k

x c u u δδδρ====⎧∂∂=⎪∂∂⎪

->⎪⎧⎪⎪==⎨⎨-≤⎪⎪⎩⎪

==⎪⎪⎩

，

，

该定解问题为齐次方程第一类齐次边界条件的混合问题 5、 若(),()F z G z 是两个任意二次连续可微函数，验证