高一数学培优专题一答案解析

高一数学培优专题一

---------二次函数

1．【2018豫南九校期末考】已知函数()2

23f x x ax =--在区间[]

1,2上是单调增函数，则

实数a 的取值范围为（ ）

A ．(),1-∞

B ．(],1-∞

C ．()2,+∞

D ．[

)2,+∞

【答案】B

【解析】函数f (x )＝x 2

－2ax －3的图象开口向上，对称轴为直线x ＝a ，画出草图如图所示．

由图象可知，函数在[a ，＋∞)上是单调增函数，因此要使函数f (x )在区间[1，2]上是单调增函数，只需a ≤1，从而a ∈(－∞，1]，故选B ．

2【2018安徽宣城三校联考】函数()()2

325f x kx k x =+--在[

)1+∞，上单调递增，则k

取值范围是（ ）

【答案】D

【名师点睛】解答本题时注意以下两点：

（1）对于函数()()2

325f x kx k x =+--，需要通过讨论k 的取值情况来判断函数的类型．

（2）对于二次函数的单调性问题，在解决过程中要依据二次函数图象的开口方向和对称轴与所给区间的位置关系进行分析讨论求解．

3【2018河北保定一模】已知函数()f x 既是二次函数又是幂函数，函数()g x 是R 上的奇函数，函数()()()11

g x h x f x =++，则

()()()()()()()()()201820172016101201620172018h h h h h h h h h +++

+++-+

+-+-+-=

（ ）

A ．0

B ．2018

C ．4036

D ．4037

A ．

()0+∞，

B ．2

,5

⎛⎤

-∞ ⎥⎝

⎦

C ．23⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，

D ．25

⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，

【答案】D

【解析】因为函数()f x 既是二次函数又是幂函数，所以()()()2

211

g x f x x h x x =∴=

++，

因此()()()()()()2

2

0112,0111

1

01

g x g x g h x h x h x x -+-=

++

+==

+=+++，因此

()()()()()()()()()2018201720161012016201720182018214037

h h h h h h h h h ++++++-+-+-+-=⨯+=，故选D ．

4．设二次函数()2

2f x ax bx =+-，如果()()12f x f x = ()12x x ≠，则()

12f x x +=_________________ 【答案】－2

所以()212222b b b f x x f a b a a a ⎛⎫⎛⎫

+=-=⋅+⋅--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

5．（本小题满分12分）已知函数2

()(0)f x ax bx c a =++≠满足(0)1f =，对任意x R ∈，都有1()x f x -≤，且()(1)f x f x =-． 求函数()f x 的解析式；

6．【2018安徽宣城三校联考】（本小题满分10分）已知,a b 为常数，且0a ≠，

()2f x ax bx =+， ()20f =．

（1）若方程()0f x x -=有唯一实数根，求函数()f x 的解析式； （2）当1a =时，求函数()f x 在区间[]

1,2-上的最大值与最小值； 【解析】试题分析：

（1）由()20f =可得2b a =-，故()()

22f x a x x =-，根据方程有唯一实数根，可得判别式为0，求得a 后可得解析式．（2）当1a =时， ()2

2f x x x =-，结合抛物线的开口方

向和对称轴与区间的关系求最值． 试题解析：

()2420f a b =+=，∴2b a =-，∴()()2222f x ax ax a x x =-=-．

（1）∵方程()0f x x -=有唯一实数根，即方程()2

210ax a x -+=有唯一实数根，∴∆=

()

2

210a +=，

解得12a =-

，∴()21

2

f x x x =-+． （2）当1a =时， ()2

2f x x x =-， []1,2x ∈-，∴函数()f x 在[]

1,1-上单调递减，在[]1,2上单调递增．

∴()()min 11f x f ==-，又()()13,20f f -==，∴()()max 13f x f =-=． ∴函数()f x 在区间[]

1,2-上的最大值与最小值分别为3， 1-．