清北学堂08国庆赠送试题答案
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清北学堂08国庆赠送试题答案数学
1、 不等式
<证法一>
()2
1111
x a a +-=4
12112
21-
+⎪⎭
⎫ ⎝
⎛
-x a 由柯西不等式： ⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛+∑=n k k x a 12
212
≤()
⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛+∑=n k k k x a a 122⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛∑=n k k a
11
≤()
∑=+n k k k x a a 12
2
2
只需证:
()
()21112
2211
21x a a x
a
a n
k k
k
+-≤
+∑
= （1）
由于
()2
222x
a
a k
k +<
()
2
2
222k
k
k
a x
a
a -+=
41211
22
-+⎪⎭⎫ ⎝
⎛-x a k -
41211
2
2
-
+⎪⎭⎫ ⎝⎛+x a k
2
()
∑∑
==⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+⎪
⎭⎫ ⎝⎛+--+⎪⎭⎫ ⎝⎛-<+n k k k n
k k
k
x a x a x a
a 12
2
221
2
2
24121141211 由于a1 1 211-≤+ +k k a a ∴ （1）式成立 <证法二> 当()1112 -≥a a x 由 11 1≤∑=n k k a ，可设： 2 12 21⎪⎪⎭⎫ ⎝ ⎛+∑=n k k x a ≤2 121⎪⎪⎭⎫ ⎝ ⎛∑=n k k x a =2 121 41⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛∑=n k k a x ≤()2211212121x a a x +-≤ 当()1112