2020版江苏高考数学名师大讲坛一轮复习教程学案：第45课__直线与圆的位置关系

第45课 直线与圆的位置关系(2)

1. 能利用直线与圆的方程及其相关性质，解决直线与圆的简单综合问题.

2. 掌握处理直线与圆的综合性问题的基本方法.

3. 领悟并基本掌握“等价转化”“数形结合”等数学思想方法，会选择并掌握合理简捷的运算途径.

1. 阅读：必修2第115～117页.

2. 解悟：①进一步熟悉直线方程与圆的方程及其相互关系；②过圆上一点作圆的切线，有几条？能否写出圆的切线方程？若是过圆外一点呢？③研究直线与圆的位置关系，一般有哪些方法？④定点、定值问题有哪些基本方法？

3. 践习：在教材空白处，完成必修2第128页复习题第12、14题，第129页复习题第26题.

基础诊断

1. 由直线y ＝x ＋1上的一点向圆(x －3)2＋y 2＝1解析：由直线y ＝x ＋1上的一点向圆(x －3)2＋y 2＝1引切线，当直线上的点到圆心的距

离最小，即圆心到直线的距离最小时，切线长也最小.因为圆心到直线的距离为|3＋1|

2＝22，

所以切线长最小为（22）2－1＝7.

2. 过点(－1，－2)的直线l 被圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0截得的弦长为2，则直线l 的斜率为 1或17

7

Ｗ.

解析：将圆的方程化为标准方程得(x －1)2＋(y －1)2＝1，所以圆心为(1，1)，半径为r ＝1.又因为弦长为2，所以圆心到直线l 的距离d ＝

1－⎝⎛⎭⎫222

＝22

.因为直线l 的斜率存

在，设为k ，所以直线l ：y ＋2＝k(x ＋1)，即kx －y ＋k －2＝0，所以|2k －3|

k 2＋1

＝2

2，解得k ＝1或k ＝177，故直线l 的斜率为1或17

7

.

3. 已知圆O ：x 2＋y 2＝5，直线l ：x cos θ＋y sin θ＝1⎝⎛⎭⎫0<θ<π

2，设圆O 上到直线l 的距离等于1的点的个数为k ，则实数k ＝ 4 Ｗ.

解析：因为圆O ：x 2＋y 2＝5，所以圆心O(0，0)，半径r ＝ 5.因为圆心O 到直线l 的距

离d ＝1

cos 2θ＋sin 2θ＝1<5，且r －d ＝5－1>1，所以圆O 上到直线l 的距离等于1的点的

个数为4，即k ＝4.

4. 已知曲线C ：(x －1)2＋y 2＝1，点A(－2，0)，B(3，a)，从点A 观察点B ，要使视线不被曲线C 挡住，则实数a 的取值范围是 (－∞，－

4)∪(4

，＋∞) . 解析：由题意知过点A 的圆的切线方程的斜率存在，则设切线方程为y ＝k(x ＋2)，即

kx －y ＋2k ＝0，则圆心到切线的距离d ＝|3k|k 2＋1

＝1，解得k ＝±2

4，所以过点A 的圆的切

线方程为y ＝±

24(x ＋2).当x ＝3时，y ＝±52

4

，所以所求的a 的取值范围为(－∞，－524)∪(52

4

，＋∞). 范例导航

考向❶ 直线与圆相交的弦的问题

例1 已知圆C ：(x －1)2＋y 2＝9内有一点P(2，2)，过点P 作直线l 交圆C 于A ，B 两点. (1) 当直线l 经过圆心C 时，求直线l 的方程； (2) 当弦AB 被点P 平分时，求直线l 的方程； (3) 当直线l 的倾斜角为45°时，求弦AB 的长.

解析：(1) 因为圆C ：(x －1)2＋y 2＝9的圆心为C(1，0)，直线l 经过两点P ，C ，

所以直线l 的斜率为k ＝2－0

2－1＝2，所以直线l 的方程为y ＝2(x －1)，即2x －y －2＝0.

(2) 当弦AB 被点P 平分时，l ⊥PC ，所以直线l 的方程为y －2＝－1

2(x －2)，即x ＋2y

－6＝0.

(3) 当直线l 的倾斜角为45°时，斜率为1，直线l 的方程为y －2＝x －2，即x －y ＝0，

则圆心C(1，0)到直线l 的距离为1

2

.

又圆的半径为3，所以弦AB ＝34.

已知圆x 2＋y 2＝8内一点P(－1，2)，过点P 的直线l 的倾斜角为α，直线l 交圆于A ，B 两点.

(1) 若α＝3π

4

，则AB

(2) 若弦AB 被点P 平分时，则直线l 的方程为 x －2y ＋5＝0 Ｗ.

解析：(1) 因为α＝3π

4，所以k AB ＝－1，所以直线l 的方程为y －2＝－(x ＋1)，即x ＋y

－1＝0，所以圆心O(0，0)到AB 的距离d ＝|0＋0－1|2

＝2

2，则AB ＝2

8－1

2

＝30. 解析：(2) 因为弦AB 被点P 平分，所以OP ⊥AB.

又因为k OP ＝－2，所以k AB ＝12，所以直线l ：y －2＝1

2(x ＋1)，即x －2y ＋5＝0.

考向❷ 定点、定值问题

例2 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(－3，4)，B(9，0)，C ，D 分别为线段

OA ，OB 上的动点，且满足AC ＝BD.

(1) 若AC ＝4，求直线CD 的方程；

(2) 求证：△OCD 的外接圆恒过定点.(异于原点O)

解析：(1) 因为A(－3，4)， 所以OA ＝（－3）2＋42＝5.

因为AC ＝4，所以OC ＝1，所以C ⎝⎛⎭⎫－35，45. 由BD ＝4，得D(5，0)，

所以直线CD 的斜率为

0－

45

5－⎝⎛⎭⎫－35＝－17， 所以直线CD 的方程为y ＝－1

7

(x －5)，

即x ＋7y －5＝0.

(2) 设C(－3m ，4m)(0

因为AC ＝BD ，所以OD ＝OB －BD ＝5m ＋4， 所以点D 的坐标为(5m ＋4，0).

又设△OCD 的外接圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0， 则有⎩⎪⎨⎪⎧F ＝0，9m 2

＋16m 2

－3mD ＋4mE ＋F ＝0，（5m ＋4）2＋（5m ＋4）D ＋F ＝0，

解得D ＝－(5m ＋4)，F ＝0，E ＝－10m －3，

所以△OCD 的外接圆的方程为x 2＋y 2－(5m ＋4)x －(10m ＋3)y ＝0， 整理得x 2＋y 2－4x －3y －5m(x ＋2y)＝0.

令⎩

⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4x －3y ＝0，x ＋2y ＝0， 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0(舍)或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1，

所以△OCD 的外接圆恒过定点(2，－1).

已知以点C ⎝⎛⎭⎫t ，2

t (t ∈R ，t ≠0)为圆心的圆与x 轴交于点O ，A ，与y 轴交于点O ，B ，其中O 为原点.

(1) 求证：△OAB 的面积为定值；

(2) 设直线y ＝－2x ＋4与圆C 交于点M ，N ，若OM ＝ON ，求圆C 的方程.

解析：(1) 由题意知圆C 的方程为(x －t )2

＋⎝⎛⎭⎫y －2t 2

＝t 2＋4t

2，