第14讲 一元一次不等式
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第14讲一元一次不等式
知识导航
1.一元一次不等式的相关概念及解法;
2.含参数的一元一次不等式;
3.一元一次不等式的实际应用;
4.含绝对值的一元一次不等式.
【板块一】一元一次不等式的相关概念及解法
方法技巧
1.一元一次不等式是指含一个未知数,未知数的次数是1的不等式,判断是否为一元一次不等式需要先化简再判断.
2.解一元一次不等式,是根据不等式的性质逐步将不等式化为a<a或x>a的形式.
题型一元一次不等式的定义
【例1】若不等式3(x-1)<mx2+nx-3是关于x的一元一次不等式,求m,n满足的条件.
【练1】(2017年春·启东市校级月考)下列不等式是一元一次不等式的是()
A.x2-9x≥x2+7x-6 B.x+1=0 C.x+y>0 D.x2+x+9≥0
题型二一元一次不等式的解法
【例2】解不等式2131
32
x x
--
-≥1,并把它的解集表示在数轴上.
【例3】若不等式
325
1
23
x x
--
<+的最小整数解是方程2x-ax=4的解,求a的值.
【练3】解不等式
222
2
23
x x
-+
>-,并写出它的非负整数解.
题型四列不等式,求取值范围
【例4】(2018·双桥区模拟)对于实数a,b,c表示运算:ab-c,如=2×3-4=6-4=2.(1)列出算式并求值:
(2)若的值大于1,请列出不等式,并解不等式;并判断(1)中①和②的值是不是此不等式的解.
【练4】(2018春·蔡甸区期末)若代数式315x -的值不小于代数式156
x
-的值,则x 的取值范围是____.
针对练习
1.下列各式:①-x ≥5;②y -3x <0;③x π
+5<0;④x 2+x ≠3;⑤3
x +3≤3x ;⑥2(x +2)-x <x -5,其中是一元一
次不等式的有______.(填序号)
2.若2
(1)30m m x +->是关于x 的一元一次不等式,则m 的值为____. 3.不等式2(5x +3)>x -3(1-2x )的最小整数解为____. 4.(2018春·蜀山区期末)不等式
214323
x x ---<的所有自然数解的和等于____. 5.(2018春·宁都县期末)代数式
12x -1的值小于31
3
x -的值,则x 的取值范围是____. 6.解不等式,并把解集在数轴上表示出来:
(1)2(5x -3)≤4x -3(1-3x ); (2)1+
5x >522
x --; (3)
2 1.530.6 1.930.50.20.1
x x x
---->
.
7.(2018春·孟津县期中)若不等式5(x -2)+8≤6(x -1)+7的最小整数解是方程3x -ax =-3的解,求210a --的值.
8.(2018春·九台区期末)对x ,y 定义一种新运算T ,规定:T (x ,y )=
2ax by
x y
++(a ,b 均为非零常数),这里等式
右边是通常的四则运算,例如:T(0,1)=
01
201
a b
b
⨯+⨯
=
⨯+
.若
(1,1)2,
(2,1) 1.
T
T
-=-
⎧
⎨
=
⎩
(1)求a,b的值;
(2)解关于m的不等式:T(2m,3-4m)≤8.
【板块二】含参数的一元一次不等式
方法技巧
1.解决含参数的一元一次不等式,抓住两条主线,将参数当作数看待或将参数当作主元看待.2.注意讨论参数的取值范围.
题型一解含参数的一元一次不等式
【例1】解关于x的不等式ax-2a<2(x-2).
【练1】解关于x的不等式ax+3<x+b..
题型二已知不等式的解集,求参数的取值范围
【例2】若不等式(2k+1)x<2k+1的解集是x>1,求k的取值范围.
【练2】当a=___时,关于x的不等式(1-a)x>a-5的解集是x<2.
题型三已知不等式的解集,化简后求参数的取值范围
【例3】(2017秋·双清区校级月考)已知一元一次不等式mx-3>2x+m.
(1)若它的解集是x<
3
2
m
m
+
-
,求m的取值范围;
(2)若它的解集是x>3
4
,试问:这样的m是否存在?如果存在,求出它的值;如果不存在,请说明理由.
【练3】若关于x的不等式m(x+2)>2m-1的解集是x<1
5
,则关于x的不等式(m-1)x>-1-m的解集是
()
A.x<
2
3
-B.x>
2
3
-C.x<
2
3
D.x>
2
3
题型四已知不等式的整数解,求参数的取值范围
【例4】(2018春·淮安区期末)已知不等式2x-m≤0至少有5个正整数解,求m的取值范围.题型五已知不等式的解集,求相关不等式的解集
【例5】若关于x的不等式(2a-b)x+3a-4b<0的解集是x>4
9
,试求关于x的不等式(a-4b)x+2a-3b<0
的解集.
【练5】已知关于x的不等式(4a-3b)x>2b-a的解集是x<4
9
,则ax>b的解集为____.
针对练习2
1.(2018春·大田县期中)若不等式(a-3)x<3-a的解集在数轴上表示如图所示,则a的取值范围是____.
2.已知不等式3x+a≤0的正整数解为1、2、3,则a的取值范围是____.
3.(2017·大庆)若实数3是不等式2x-a-2<0的一个解,则a可取的最小正整数为()
A.2 B.3 C.4 D.5
4.解关于X的不等式a(x-b)≤b(x-a).
5.(2018春·新野县期中)已知x=3是关于x的不等式3x-
2
2
ax+
>
2
3
x
的一个解,求a的取值范围.
6.设不等式(m+n)x+(2m-3n)<0的解集为x<-1
3
,求不等式(m-3n)x+(n-2m)>0的解.
【板块三】实际问题与一元一次不等式(一)
方法技巧
1.常见的一些等量关系:①行程问题∶路程=速度×时间;②工程问题:工作量=工作效率×工作时间,
各部分劳动量之和=总量;③利润问题∶商品利润=商品售价-商品进价,利润率=利润
进价
×100%;④增长率问题∶
增长量=原有量×增长率;⑤银行存贷款问题∶本息和=本金+利息,利息=本金×利率×时间;⑥数字问题∶多位数的表示方法∶例如∶abcd=a×103+b×102+c×10+d.
2.用不等式解决应用问题在设未知数时,表示不等关系的文字(如“至少”〉不能出现,即应给出肯定的未知数的设法,然后在最后写答案时,应把表示不等关系的文字补上.
题型一关系直接型
【例1】蓝天运输公司要将300吨物资运往某地,现有A、B两种型号的汽车可供调用.已知A型汽车每辆最多可装该物资20吨,B型汽车每辆最多可装该物资15吨.在每辆车不超载的条件下,要把这300吨物资一次性装运完.问∶在巳确定调用7辆A型车的前提下至少还需调用B型车多少辆?
【练1】(2018春•秦都区期中)某小区为了绿化环境,计划购进甲、乙两种花卉共31株,甲种花卉每株20元,乙种花卉每株5元,若购买甲、乙两种花卉总费用不超过350元,问至少需要购买乙种花卉多少株?
题型二阅读理解型
【例2】(2018•上城区一模)为节约用水,某市居民生活用水按阶梯式水价计量,水价分为三个阶梯,价格表如下表所示:
(注:居民生活用水水价=供水价格十污水处理费)
(1)当居民月用水量在18立方米及以下时,水价是元/立方米.
(2)4月份小明家用水量为20立方米,应付水费为:18×(1.90+1.00)+2×(2.85+1.00)=5.90(元),预计6月份小明家的用水量将达到30立方米,请计算小明家6月份的水费.
(3)为了节省开支,小明家决定每月用水的费用不超过家庭收人的1%,已知小明家的平均月收入为7530元,请你为小明家每月用水量提出建议.
【练2】用甲、乙两种原料配制成某种饮料,已知这两种原料的维生素C含量及购买这两种原料的价格如下表∶
现配制这种饮料10kg,要求至少含有4200单位的维生素C,若所需甲种原料的质量为x kg,则x应满足的不等式为()
A.600x+100(10-x)≥4200B.8x+4(100-x)≤4200
C.600x+100(10-x)≤4200D.8x+4(100-x)≥4200
针对练习3
1.(2018春⋅包河区期中)某商家出售某种商品,标价为360元,比进价高出80%,为了吸引顾客,又进行降价
处理,若要使售后利润率不低于20%(利润率=
-
售价进价
进价
×100%),则最多可降价( )
A.80元B.160元C.100元D.120元
2.(2018春⋅南江县期末)南江县出租车收费标准为:起步价3元(即行驶距离小于或等于3千米时都需要付费3元),超过3千米以后每千米加收1.5元(不足1千米按1千米计).在南江县,冉丽一次乘出租车出行时付费9元,那么冉丽所乘路程最多是()千米.
A.6B.7C.8D.9
3.(2018春⋅黄岛区期末)三个连续自然数的和小于15,这样的自然数组共有( )
A.6组B.5组C.4组D.3组
4.(2018春⋅道里区期末)去年某市空气质量良好(二级以上)的天数与全年天数(365天)之比达到60%,如果明年(365天)这样的比值要超过70%,那么明年空气质量良好的天数比去年至少要增加天.
5.(2018春⋅磴口县期末)蔬菜经营户老王,近两天经营的是青菜和西兰花.
(1)昨天的青菜和西兰花的进价和售价如下表,老王用600元批发青菜和西兰花共200斤,老王昨天青菜和西兰花各进了多少斤?
斤,但在运输中青菜损坏了10%,而西兰花没有损坏仍按昨天的售价销售,要想当天售完后所赚的钱不少于昨天所赚的钱,请你帮老王计算,青菜每斤售价至少为多少元?
6.下面是工厂各部门提供的信息:
人事部:明年生产工人不多于800人,每人每年工时按2400工时计算;
市场部∶预测明年的产品销售是10000〜12000件;
技术部∶该产品平均每件需用120工时,每件需要装4个某种主要部件;
供应部∶今年年终库存某种主要部件6000个,明年可采购到这些部件60000个.
请判定:①工厂明年的生产量至多应为多少件?②为了减少积压,至多可裁减多少工人用于开发其他新
产品?
【板块四】实际问题与一元一次不等式(二)
题型一与方程(组)结合
【例1】(2018⋅赤峰)小明同学三次到某超市购买益A、B两种商品,其中仅有一次是有折扣的,购买数量及消费金额如下表:
解答下列问题:
(1)第次购买有折扣;
(2)求A、B两种商品的原价;
(3)若购买A、B两种商品的折扣数相同,求折扣数;
(4)小明同学再次购买A、B两种商品共10件,在(3)中折扣数的前提下,消费金额不超过200元,求至少购买A商品多少件.
针对练习3
1.(2018春•包河区期中)某商家出售某种商品,标价为360元,比进价高出80%,为了吸引顾客,又进行降价
处理,若要使售后利润率不低于20%(利润率=
-
售价进价
进价
×100%),则最多可降价( )
A.80元B.160元C.100元D.120元
2.(2018春•南江县期末)南江县出租车收费标准为∶起步价3元(即行驶距离小于或等于3千米时都需要付费3元,超过3千米以后每千米加收1.5元(不足1千米按1千米计〉.在南江县,冉丽一次乘出租车出行时付费9元,那么冉丽所乘路程最多是( )千米.
A.6B.7C.8D.9
3.(2018春•黄岛区期末)三个连续自然数的和小于15,这样的自然数组共有( )
A.6组B.5组C.4组D.3组
4.(2018春•道里区期末)去年某市空气质量良好(二级以上)的天数与全年天数(365天)之比达到60%,如果明年(365天)这样的比值要超过70%,那么明年空气质量良好的天数比去年至少要增加天.
5.(2018春•磴口县期末)蔬菜经营户老王,近两天经营的是青菜和西兰花.
(1)昨天的青菜和西兰花的进价和售价如下表,老王用600元批发青菜和西兰花共200斤,老王昨天青菜和西兰
斤,但在运输中青菜损坏了10%,而西兰花没有损坏仍按昨天的售价销售,要想当天售完后所赚的钱不少于昨天所赚的钱,请你帮老王计算,青菜每斤售价至少为多少元?
6.下面是工厂各部门提供的信息:
人事部:明年生产工人不多于800人,每人每年工时按2400工时计算;
市场部:预测明年的产品销售是10000〜12000件;
技术部:该产品平均每件需用120工时,每件需要装4个某种主要部件;
供应部:今年年终库存某种主要部件6000个,明年可采购到这些部件60000个.
请判定:①工厂明年的生产量至多应为多少件?②为了减少积压,至多可裁减多少工人用于开发其他新产品?
【板块四】实际问题与一元一次不等式(二)
题型一与方程(组)结合
【例1】(2018 赤峰)小明同学三次到某超市购买益A、B两种商品,其中仅有一次是有折扣的,购买数量及消费金额如下表:
解答下列问题:
(1)第次购买有折扣;
(2)求A、B两种商品的原价;
(3)若购买A、B两种商品的折扣数相同,求折扣数;
(4)小明同学再次购买A、B两种商品共10件,在(3)中折扣数的前提下,消费金额不超过200元,求至少购买A商品多少件.
【练2】(2018•太原三模)2018年4月22日是第49个世界地球日,今年的主题为“珍惜自然资源呵护美丽国土——讲好我们的地球故事”.在地球日活动周中,同学们开展了丰富多彩的学习活动,某小组搜集到的数据显示,山西省总面积为15.66万平方公里,其中土石山区面积约5.59万平方公里,其余部分为丘陵与平原,丘陵面积比平原面积的2倍还多0.8万平方公里.
(1)求山西省的丘陵面积与平原面积;
(2)活动周期间,两位家长计划带领若干学生去参观山西地质博物馆,他们联系了两家旅行社,报价均为每人30元.经协商,甲旅行社的优惠条件是:家长免费,学生都按九折收费;乙旅行社的优惠条件是:家长、学生都按八折收费.若只考虑收费,这两位家长应该选择哪家旅行社更合算?
针对练习4
1.(2018•山西)2018年国内航空公司规定:旅客乘机时,免费携带行李箱的长,宽,高三者之和不超过115cm.某厂家生产符合该规定的行李箱.已知行李箱的宽为20cm,长与高的比为8︰11,则符合此规定的行李箱的高的最大值为cm.
2.(2018春•洪山区期末)已知购买60件八商品和30件B商品共需1080元;购买50件A商品和20件B商品共需880元.若某商店需购买B商品的件数比购买A商品的件数的2倍少4件,且商店购买的A、B两种商品的总费用不超过296元,则购买A商品的件数最多为件.
根据以上信息解答下列问题
(1)求A、B两种商品的单价;
(2)若第三次购买这两种商品共12件,且A种商品的数量不少于B种商品数量的2倍,请设计出最省钱的购买方案,并说明理由.
4.响应“家电下乡”的惠农政策,某商场决定从厂家购进甲、乙、丙三种不同型号的电冰箱80台,其中甲种电冰箱的台数是乙种电冰箱台数的1倍,购买三种电冰箱的总金额不超过132000元.已知甲、乙、丙三种电冰箱的出厂价格分别为:1200元/台、1600元/台、2000元/台.
(1)至少购进乙种电冰箱多少台?
(2)若要求甲种电冰箱的台数不超过丙种电冰箱的台数,则有哪些购买方案?
【练1】(2018•昆明)水是人类生命之源.为了鼓励居民节约用水,相关部门实行居民生活用水阶梯式计量水价政策.若居民每户每月用水量不超过10立方米,每立方米按现行居民生活用水水价收费(现行居民生活用水水价=基本水价+污水处理费);若每户每月用水量超过10立方米,则超过部分每立方米在基本水价基础上加价100%,每立方米污水处理费不变.甲用户4月份用水8立方米,缴水费27.6元;乙用户4月份用水12立方米,缴水费46.3元.(注:污水处理的立方数=实际生活用水的立方数)
(1)求每立方米的基本水价和每立方米的污水处理费各是多少元?
(2)如果某用户7月份生活用水水费计划不超过64元,该用户7月份最多可用水多少立方米?
题型二方案选择型
型两种客车,它们的载客量和租金如下表:
A,B型客车共5辆,同时送七年级师生到基地参加社会实践活动,设租用A 型客车x辆,根据要求回答下列问题:
(1)用含工的式子填写下表:
(3)在(2)的条件下,若七年级师生共有195人,写出所有可能的租车方案,并确定最省钱的租车方案.
【板块五】绝对值不等式
方法技巧
1.①关于x的不等式|x|<a(a>0)的解为:-a<x<a;②关于x的不等式|x|>a(a>0)的解为:a>x或者x <-a.
2.含绝对值的不等式可利用数形结合法与分类讨论法解决问题.
题型一解含一个绝对值的不等式
【例1】阅读求绝对值不等式子|x |<3解集的过程:
因为|x |<3,从如图所示的数轴上看:大于-3而小于3的数的绝对值是小于3的,所以|x |<3的解集是-3<x <3.解答下面的问题:
(1)不等式|x |<a (a >0)的解为 .
(2)求|x -5|<3的解集实质上是求不等式组 的解集,所以|x -5|<3的解集是 .
【练1】解下列含绝对值的不等式:
(1) |x |≤5
(2) |2x -1|<3
(1) 213
x ≥4
题型二 解含多个绝对值的不等式
【例2】解不等式:|x -1|+|x +2|=5.由绝对值的几何意叉知,核方程表示求在数紬上与1和-2的距离之和为5的点对应的x 的值.在数轴上,1和-2的距高为3,满足方程的x 对应点在1的右边或-2的左边.若x 对应点在1的右边,由可以看出x =2;同理,若x 对应点在-2的左边,可得x =-3,故原方程的解是x =2或x =-3.
参考阅读材料,解答下列向题:
(1)方程|x +3|=4的解カ .
(2)解不等式|x -3|+|x +4|≥9;
(3)若|x -3|-|x +4|≤a 对任意的x 都成立,求a 的取值范围.
0 1 -3 -2 -1 2
3 0
-2 -1
【练2】解不等式|x-5|-|x+2|<1.
针对练习5 1.解下列含绝对值的不等式:
(1) |2x+5|>7
(2) |x+2|<3x+14
(1) 3131
4
x
--
<2
2.解下列含绝对值的不等式:|x-1|+|x+2|>5.
3.解下列含绝对值的不等式:|x|≥|x-3|.
4.已知x<-1,化简|3x+1|-|1-3x|.
5.已知5(x+1)-3x>2(2x+3)+4,化简|2x-1|-|1+2x|.。