天津市大学物理竞赛试题答案及评分标准
2011年天津市大学生物理竞赛试卷解析
������������ −
������������
=
273 116
+ −
21 21
=
3.09
单位时间需往外抽送的热量为单位时间通过墙壁传入室内的热量，即
������������ = 0.2 × (116 − 21) = 19 kW
因此卡诺热机的功率（即单位时间所做的功）为
������
=
������������ ������
（2）以电流表读数������、内阻������������、伏特表读数������、内阻������������这四个作为已知条件，写出内接法和
外接法测量电阻值������′与实际电阻������的绝对误差、相对误差的数学表达式；（3）当待测电阻������较
大或较小时，分别采用哪种电路图（内接法和外接法）更合适。
ℎ
������ℎ
������������������������������ = ������ 2π → ������ = ������������������ = 2π������������
������
=
ℎ ������
=
2���������� ������
即，第������圆轨道的周长是该轨道上运动电子的德布罗意波波长������的������倍。
d(������0
+
������)
=
������0+������
∫
������0
(������
−
2������0
+
������02 ������
)
d������
=
1 2
[(������0
天津市大学生物理竞赛(B类)培训习题-力学部分
质量，其质量的增长率正比于它的瞬时质量和瞬
时速度的乘积： dm kmv
dt
式中为常量。试证明雨滴的速率实际上最后成为
常量，并给出终极速率的表达式。忽略空气的阻
力。
解：由变质量的运动方程：
(m dm)(v dv) mv mgdt
dm dv v m mg dt dt dm km v dt dv 2 km v m m g dt dv g kv2 dt
• (4)列方程，求解。
16
• 第三类是功能关系式的应用具体的解题步骤为：
• (1)选择所研究的质点系。 • (2)确定所研究的过程以及过程的始末状态。
• (3) 根据过程中外力的功和非保守内力的功代数和所服从的 条件确定所用的功能关系式。
• (4)列方程，求解。
• 第四类是角动量分量守恒定律的应用具体的求解方法是： (1) 、（2）同上。
6、刚体的转动惯量 7、刚体的角动量
J mk rk2
J r 2 dm
10
L r p r mv Lz J
8、力矩的功 9、功率
dW Md
W Md
1
2
dW d p M M dt dt
11
二、基本规律 basic law
8
9、质心（质量中心）：在研究质点系统问题中，与质点系统
质量分布有关的一个代表点，它的位置在平均意义上代表着 质量分布中心。 xC mi xi / M mr M r
dri mi m v drC dt i i vC 质心的速度： dt M M dvi m i mi ai dvC dt 质心的加速度： aC dt M M
2015大学物理竞赛答案详解
2015年“拓普杯”天津市大学生物理竞赛参考答案及评分标准一、解：卫星轨道长轴：公里875523846371r 1=+= 短轴：公里68104396371r 1=+= 其椭圆面积：21r r S π=由开普勒第二定律可知，卫星单位时间扫过的面积为：mL dt dS 2=上式中，L 为卫星轨道角动量，而卫星运动周期T ：Lr mr m L r r dt dS S T 212122//ππ===由角动量守恒得，远、近地点角动量有2211r mv r mv L ==代入上式求远地点和近地点的速度分别为：公里36.660112681014.32221=⨯⨯⨯==T r v π 公里8.1860112875514.32212=⨯⨯⨯==T r v π 二解：设氢气质量为m1气球的容积为V ，球囊德质量为m2。
气球的总重量：g 6m g m g m 121== 气球的浮力：g m ρρρρρf 1121122g m Vg === 2分 由气球状态方程：RT M MpV mol=2分 求得密度：RTpM V M ρmol == 2分氢气密度： RTM p ρmol 111=空气密度：RTM p ρmol 222=由于氢气压力为大气压力的1.8倍，即21 1.8P p =，29M 2,M 2mol 1mol ==，可得 068P P 112221.M M ρρmol mol==代入求浮力：g m .g m ρρf 1112068==依牛顿第二定律：a m g m f 2166=-三、解：（1）最终温度为 221T T + 3分（2）移去热源时，棒内温度分布 x LT T )x (121T T -+= 2分x 到x+dx 段温度改变dT ，熵变TdT Adx ρC dS ⋅=⋅==T dT Cdm T dQ⎰⎰+=2021T T )x (T LTdT Adx ρC 1 2 3分又由于x L T T )x (121T T -+=，微分：dx LT T )x (12dT -=)x (dT T 12T 2dx -=代入上式： )x (dT T )x (T T T lnALρC S L12021T 22-⋅+=⎰dT TT T lnT AL ρC TT⋅+-=⎰2T 2112 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-=⎰⎰dT T ln dT T T ln T AL ρC T T T T 2T 2112()2111143316606866s /m .m gm g m .m g m f a =-=-=∴()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+--=212T T 211212T T T T ln T T T ln T T AL ρC()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡----+--=1211222112122T T T T T ln T T ln T T T ln T T AL ρC⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-+=1211221222T 2T T 11T T T ln T T T ln T AL ρC 2分四、解：设柱形电容器充电后带电量为q ，单位长度带电量Lqλ=。
2013天津市大学生物理竞赛答案
2013年天津市大学物理竞赛答案一、解：已知R=3m ，s m v s m a m R t /0,/3,302===，质点做圆周运动（1）由dtdva t = （1分）得)/(33030s m t dt dt a v v t t =+=+=⎰⎰ （1而)/(33)3(2222s m t t R v a n === （1分） 质点做圆周运动，当其总加速度a 恰好与半径成45n t a a =即233t = （2分） 得s t 1= （负值舍去） （1分） 或者 2/1s rad R a =⇒=ββτ （2分） 22/1s r a d R a n =⇒=ωω （1分） n t a a = （2分） s t 1==βω（1分） （2）在1s 内，质点所经过的路程为：221t a tdt a vdt S t ttt ===⎰⎰（1分） m S 5.11321=⨯⨯=（1分） 在1s 内，质点所经过的角位移为：R SR S =⨯=∆ππθ22 （1分） rad 5.035.1==∆θ （1分） 或者222121t Ra t t ==∆βθ （1分） rad 5.013321=⨯⨯=∆θ （1分） a二、解：设球体积为V ，空气压强P 0RT MPV P P H μ==08.12（或nkT P =） （2分）000222M P M P V RTM P H H H μμμ=⇒= 222226.3292928.18.1000000H H H H M M M M M P M P =⇒=⨯⇒=μμ （3分） a M a M M g M M F F H H H 2226)()(=+=+-=球球浮合 （2分） g M gV F 00==ρ浮 （2分）g a 34.0= （1分）三、 解：设电容器内球带电量为Q ，外球带电量为-Q由高斯定理可知204rQ E r επε=（2分）⎰-=⋅=210124)(R R r RR R Q r d E V επε（2分）122104R R R R V Q C r -==επε（1分）代入数据r rrC C επεεπεεπε02001086.03.001.0015.0015.001.05.24==-⨯⨯= （2分）两个电介质串联，总电容为rC C C C C επε02121067.0=+=（1分）20max max 4rQ E r επε=20max max 4r E Q r επε=（2分）V E C Q V rr 5020max max max107.2067.0015.04⨯===επεεπε（2分）四、 解：（1）村庄a费马原理：光从空间的一点到另一点是沿着光程为极值的路径传播的 （2分）如图所示，假想有一束光从a 点出发，经椭圆上某点c 反射到达b 点，则光线的实际路径acb 取的即为极小值。
11年第二届拓普杯天津市普通高等院校《大学物理》竞赛
2011年第二届拓普杯天津市普通高等院校《大学物理》竞赛试题一、如图是长为L 质量为m 的均质细杆处于水平静止状态。
它的一端在光滑的轴上，细杆可绕轴自由转动，另一端用轻绳（不计质量）悬挂于天花板，轻绳垂直于水平面。
问：（1）在剪断轻绳这一瞬间，细杆质心加速度a 、细杆绕其质心转动角加速度β、轴的支撑力N 各是多少？（2）当细杆转动到竖直位置转动角速度ω、质心速度v ？ 解法：（1）设轴的支撑力为N ，则： 平动方程：ma N mg =- （1） 1分转动方程：βI Lmg =2（2） 1分 由231mL I=， β2L a = 代入（2）得 1分 g a43= 1分代入（1）式得： mg ma mg N41=-=细杆绕轴转动的角加速度：L g a 232==β 1分 刚体的运动可看作：质心的平动和绕质心的转动的复合运动。
细杆转动平动如图所示，故绕质心的转动角加速度 Lg 23=='ββ 1分 (2) 竖直位角速度为ω，由机械守恒2223121212ωω⎪⎭⎫ ⎝⎛==mL I L mgL g 3=ω 3分 质心速度： gL L v c3212==ω 1分 解法2L g dt d 23==ωβ θωωθθωωβd d dt d d d dt d L g =⋅===23 2分⎰⎰=ωπωωθ02023d d L g L g 3=ω 1分 质心速度： gL L v c3212==ω 1分二、如图所示，高为a 、底半径为b 的非绝热正圆锥容器，内装一种化学纯气体。
容器置于气压为P 0温度为T 0的大气中。
开始时，锥顶开口与大气相通，内部气体压强为P 0，但温度分布为T = T 0 + x ，此时将开口闭合，最终达到平衡时容器内气压P 是多少？ 解：利用初始条件求容器内气体总分子数N 由理想气体压强公式：0P nkT =（2分） （若写成PV C T =或00PV PV T T =也给2分） 分子数密度：000()()P P n x kT k T x ==+ （2分） x —x+dx 内的分子数为：2200()()P b dN n x y dx x dx k T x a ππ⎛⎫== ⎪+⎝⎭（2分）积分求总分子数：2000()aP b N x dx k T x a π⎛⎫= ⎪+⎝⎭⎰22000200aP b T x T dx ka T x π⎛⎫=-+ ⎪+⎝⎭⎰ 222000020ln 2P b T a a aT T ka T π⎛⎫+=-+ ⎪⎝⎭（2分） 将开口闭合，最终达到平衡时，温度与大气相同为T 0，压强为P ，而分子数密度均匀。
2013年天津市大学生物理竞赛试题
解：（1）
c
i
i
法线
村庄b
村庄a 湖
费马原理：光从空间的一点到另一点是沿着光程为极值的 路径传播的 （2分） 如图所示，假想有一束光从a点出发，经椭圆上某点c反射到 达b点，则光线的实际路径acb取的即为极小值。由反射定 律，ac与c点法线的夹角i等于bc与法线的夹角i’，若以反射 点c作为发电站位置则输电线acb最短。 （3分）
p0Vm R 8.31J /(mol.K ) pV M RT RT T0 m
• 阿伏伽德罗定律: – 在气体压强趋于0的情况下,相同温度和相同 压强的1mol任何气体的体积都是一样的, – 在标准状态(T0=273.15K,p0=1atm)下, 1mol气 体Vm=22.414升 – 质量为M.摩尔质量为m,则摩尔数为M/m.在任 何温度T,压强p,体积V下,有:
科里奥利力（Coriolis force）有些地方也称作哥 里奥利力，简称为科氏力，是对旋转体系中进行直 线运动的质点由于惯性相对于旋转体系产生的直线 运动的偏移的一种描述。科里奥利力来自于物体运 动所具有的惯性。
旋转体系中质点的直线运动科里奥利力是以牛顿 力学为基础的。1835年，法国气象学家科里奥利 提出，为了描述旋转体系的运动，需要在运动方 程中引入一个假想的力，这就是科里奥利力。引 入科里奥利力之后，人们可以像处理惯性系中的 运动方程一样简单地处理旋转体系中的运动方程， 大大简化了旋系的处理方式。由于人类生活的地 球本身就是一个巨大的旋转体系，因而科里奥利 力很快在流体运动领域取得了成功的应用。 2016/4/4
大学生物理知识拓展
刘淑静
liushujing@ 生物医科工程学院1 楼 物理教研室 1、分析历届大学生物理竞赛试题 2、分析得分点，讲解在竞赛中如何最有效的发挥 自己的实力 3、按力学、热学、电磁学、光学、振动和波动、 相对论、量子力学顺序对知识重点进行归纳复习 4、讲解每一部分的典型例题 5、 最后一节课随堂测试（6道大题）
2012年天津市大学生物理竞赛试卷解析
（������ = ������������,������⁄������������,������，������为位移）；（3）推导振动周期������ = 2π√������������⁄(������������������2)；（4）写出如何用计 时器测算小球振动周期值；（5）将（4）代入（3）写出气体热容比������的表达式。 解：（1）示意图形如下
∆������ = ������(5) − ������(0) = 7 − 12 = −5 m
已知 B 球的瞬时速度为������������ = ������̇ = 4 − 2������，可知当������∗ = 2 s时，B 球开始转向运动。故路程为 ∆������ = |������(5) − ������(2)| + |������(0) − ������(2)| = 9 + 4 = 13 m
为大于 0 的系数）。求：（1）电荷分布区域内电场强度������的大小和方向；（2）两平面之间的
电势差。
解：（1）无限大平面电荷产生的电场为
������ ������ = 2������0
故位于������处的场强为
������
=
������
∫
0
������������������������ 2������0
当圆柱 A 和 B（C）分离时，圆柱 B（C）的速度达到极大值，故
0
=
d(���������2���) d(sin ������)
=
4������������(√3
大学物理竞赛题库 答案
一、二、三、四、五、六、答案： 5cm ；0.19π七、解：准静态过程T Q S /d d =，等温过程T V p T Q S /d /d d ==由RT pV =得V RT p /=，代入上式得V V R S /d d =21ln/d 2/11R V V R S V V ==∆⎰ 76.5-= J/K八、解: 由卡诺循环效率可得热机放出的热量1312T T Q Q = 卡诺热机输出的功1131)1(Q T TQ W -==η，由热力学第一定律可得致冷机向暖气系统放出的热量W Q Q +'='21卡诺致冷机是逆向的卡诺循环,同样有3212T TQ Q '='，由此解得 )1(1323132331T T T T Q T T T WT Q --=-='暖气系统总共所得热量112332112)()(Q T T T T T T Q Q Q --='+= 71027.6⨯= J九、解：(1) 设电荷的平均体密度为ρ，取圆柱形高斯面如图(1)(侧面垂直底面，底面∆S 平行地面)上下底面处的场强分别为E 1和E 2，则通过高斯面的电场强度通量为：⎰⎰E ²S d ＝E 2∆S -E 1∆S ＝(E 2-E 1) ∆S 高斯面S 包围的电荷为∑q i ＝h ∆S ρ ，由高斯定理(E 2－E 1) ∆S ＝h ∆S ρ /ε 0 可得() E E h1201-=ερ＝4.43³10-13 C/m 3(2) 设地面面电荷密度为σ．由于电荷只分布在地表面，所以电力线终止于地面，取高斯面如图(2) 由高斯定理⎰⎰E ²S d =∑i1qε可得-E ∆S =S ∆σε01σ =－ε 0 E ＝－8.9³10-10 C/m 3十、解：设圆柱形电容器单位长度上带有电荷为λ，则电容器两极板之间的场强分布为)2/(r E ελπ=设电容器内外两极板半径分别为r 0，R ，则极板间电压为⎰⎰⋅π==R rRr r r r E U d 2d ελ 0ln 2r Rελπ=电介质中场强最大处在内柱面上，当这里场强达到E 0时电容器击穿，这时应有002E r ελπ=00lnr R E r U = 适当选择r 0的值，可使U 有极大值，即令0)/ln(/d d 0000=-=E r R E r U ，得e R r /0=显然有22d d r U < 0，故当e R r /0=时电容器可承受最高的电压e RE U /0max = = 147 kV十一、 解：如答图，设在C 区域中的任一点A 到两圆心的距离分别为r 1、r 2，r 1、r 2与两圆心连线的夹角分别为θ 1、θ2．假定C 中也流有与导线中的电流密度相同的一正一反正好抵消的电流，并令导线中的电流密度为J ，则两导线在A 点分别产生的磁感强度为：101210122r Jr r J B μμ=ππ= 202220222r Jr r J B μμ=ππ=总磁感强度21B B B+=。
天津市拓普杯大学物理竞赛力学试题选讲
3g 3g 1 ，a ， N mg 2L 4 4
（2）由机械能守恒和线量角量关系可得
mg
L 1 1 2 2 3g mL 2 2 3 L
3 gL L 2 2
v
例 5（第二届竞赛第 9 题，10 分） ：有一半径为 R、盘面平行于水平面的圆盘，盘面上有两 个从圆心出发直到边缘的光滑小槽， 一个是沿半径方向的直槽， 另一个是以半径 R 为直径的 半圆弧槽。当圆盘绕其垂直于中心轴以匀角速度 转动时，处于圆心的小物体（视为质点） 以初速度为零地沿小槽滑动。求： （1）沿半径方向的直槽达到圆盘的边缘时，小物体相对于 圆盘、相对于地面的速度各为多少？（2）沿半圆弧槽到达圆盘的边缘时，小物体相对于圆 盘、相对于地面的速度各为多少？ 解：以圆盘为参考系，则在圆盘上的质点受到惯性离心力的作用，在距离圆心为 r 处受到的 惯性离心力为
2
（米） 。求： （1）B 从第 0 秒到第 5 秒末的位移和路程分别是多少？（2）A 何时以多大速度 开始运动？ 解： （1）由 B 的运动学方程可得 B 到达坐标原点的时刻为
12 4t t 2 0 t 2 t 6 0 t 6(s)
故在前 5 秒内 B 球不会与 A 球相遇。前五秒的位移为
1 1 T mi vc vi vc vi mi v 2 c v 2i 2vc vi 2 2 1 1 1 1 mvc2 mi v 2i vc mi vi mvc2 mi v 2i 2 2 2 2
附 3：设体系 A 和体系 B 的质心为 C，体系 A 的质心为 A，体系 B 的质心为 B，则系统角动
F mr 2
大学物理竞赛选拔试卷及答案
A BDl 0v大学物理竞赛选拔试卷1.（本题6分）一长度为l的轻质细杆，两端各固结一个小球A、B（见图），它们平放在光滑水平面上。
另有一小球D，以垂直于杆身的初速度v0与杆端的Α球作弹性碰撞．设三球质量同为m，求：碰后（球Α和Β）以及D球的运动情况．2.（本题6分）质量m=10kg、长l=40cm的链条，放在光滑的水平桌面上，其一端系一细绳，通过滑轮悬挂着质量为m1=10kg的物体，如图所示．t=0时,系统从静止开始运动,这时l1=l2=20cm<l3．设绳不伸长，轮、绳的质量和轮轴及桌沿的摩擦不计，求当链条刚刚全部滑到桌面上时，物体m1速度和加速度的大小．3.（本题6分）长为l的匀质细杆，可绕过杆的一端O点的水平光滑固定轴转动，开始时静止于竖直位置．紧挨O点悬一单摆，轻质摆线的长度也是l，摆球质量为m．若单摆从水平位置由静止开始自由摆下，且摆球与细杆作完全弹性碰撞，碰撞后摆球正好静止．求：(1)细杆的质量．(2)细杆摆起的最大角度?．4.（本题6分）质量和材料都相同的两个固态物体，其热容量为C．开始时两物体的温度分别为T1和T2（T1>T2）．今有一热机以这两个物体为高温和低温热源，经若干次循环后，两个物体达到相同的温度，求热机能输出的最大功A max．5.（本题6分）如图所示，为某种一定量的理想气体进行的一个循环过程，它是由一个卡诺正循环12341和一个卡诺逆循环15641组成．已知等温线温度比T1/T2=4，卡诺正逆循环曲线所包围面积大小之比为S1/S2=2．求循环的效率?．6.（本题6分）将热机与热泵组合在一起的暖气设备称为动力暖气设备，其中带动热泵的动力由热机燃烧燃料对外界做功来提供.热泵从天然蓄水池或从地下水取出热量，向温度较高的暖气系统的水供热.同时，暖气系统的水又作为热机的冷却水.若燃烧1kg燃料，锅炉能获得的热量为H，锅炉、地下水、暖气系统的水的温度分别为210℃，15℃，60℃.设热机及热泵均是可逆卡诺机.试问每燃烧1kg燃料，暖气系统所获得热量的理想数值（不考虑各种实际损失）是多少？7.（本题5分）如图所示，原点O是波源，振动方向垂直于纸面，波长是?．AB为波的反射平面，反射时无相位突变?．O点位于A点的正上方，hAO=．Ox轴平行于AB．求Ox轴上干涉加强点的坐标（限于x≥0）．8.（本题6分）一弦线的左端系于音叉的一臂的A点上，右端固定在B点，并用T=7.20N的水平拉力将弦线拉直，音叉在垂直于弦线长度的方向上作每秒50次的简谐振动（如图）．这样，在弦线上产生了入射波和反射波，并形成了驻波．弦的线密度?=2.0g/m，弦线上的质点离开其平衡位置的最大位移为4cm．在t=0时，O点处的质点经过其平衡位置向下运动，O、B之间的距离为L=2.1m．试求：(1)入射波和反射波的表达式；(2)驻波的表达式．9.（本题6分）用每毫米300条刻痕的衍射光栅来检验仅含有属于红和蓝的两种单色成分的光谱．已知红谱线波长?R在0.63─0.76?m范围内，蓝谱线波长?B在0.43─0.49?m范围内．当光垂直入射到光栅时，发现在衍射角为24.46°处，红蓝两谱线同时出现．(1)在什么角度下红蓝两谱线还会同时出现？(2)在什么角度下只有红谱线出现？10.（本题6分）如图所示，用波长为?=632.8nm(1nm=10-9m)的单色点光源S照射厚度为e=1.00×10-5m、折射率为n2=1.50、半径为R=10.0cm的圆形薄膜F，点光源S与薄膜F的垂直距离为d=10.0cm，薄膜放在空气（折射率n1=1.00）中，观察透射光的等倾干涉条纹．问最多能看到几个亮纹？（注：亮斑和亮环都是亮纹）．11.（本题6分）507⨯双筒望远镜的放大倍数为7，物镜直径为50mm.据瑞利判据，这种望远镜的角分辨率多大？设入射光波长为nm550.眼睛瞳孔的最大直径为7.0mm.求出眼睛对上述入射光的分辨率.用得数除以7，和望远镜的角分辨率对比，然后判断用这种望远镜观ha察时实际起分辨作用的是眼睛还是望远镜.12.（本题6分）一种利用电容器控制绝缘油液面的装置示意如图.平行板电容器的极板插入油中，极板与电源以及测量用电子仪器相连，当液面高度变化时，电容器的电容值发生改变，使电容器产生充放电，从而控制电路工作.已知极板的高度为a ，油的相对电容率为εr ，试求此电容器等效相对电容率与液面高度h 的关系.13.（本题6分）在平面螺旋线中，流过一强度为I 的电流，求在螺旋线中点的磁感强度的大小．螺旋线被限制在半径为R 1和R 2的两圆之间，共n 圈．[提示：螺旋线的极坐标方程为b a r +=θ，其中a ，b 为待定系数]14.（本题6分）一边长为a 的正方形线圈，在t =0时正好从如图所示的均匀磁场的区域上方由静止开始下落，设磁场的磁感强度为B(如图)，线圈的自感为L ，质量为m ，电阻可忽略．求线圈的上边进入磁场前，线圈的速度与时间的关系．15.（本题6分）如图所示，有一圆形平行板空气电容器，板间距为b ，极板间放一与板绝缘的矩形线圈．线圈高为h ，长为l ，线圈平面与极板垂直，一边与极板中心轴重合，另一边沿极板半径放置．若电容器极板电压为U 12=U m cos ?t ，求线圈电压U 的大小．16.（本题6分）在实验室中测得电子的速度是0.8c ，c 为真空中的光速．假设一观察者相对实验室以0.6c 的速率运动，其方向与电子运动方向相同，试求该观察者测出的电子的动能和动量是多少？（电子的静止质量m e ＝9.11×10?31kg ）17.（本题6分）已知垂直射到地球表面每单位面积的日光功率（称太阳常数）等于1.37×103W/m 2． (1)求太阳辐射的总功率．(2)把太阳看作黑体，试计算太阳表面的温度．（地球与太阳的平均距离为1.5×108km ，太阳的半径为6.76×105km ，?=5.67×10-8W/(m 2·K 4)） 18.（本题6分））已知氢原子的核外电子在1s 态时其定态波函数为a r a /3100e π1-=ψ，式中220em h a e π=ε．试求沿径向找到电子的概率为最大时的位置坐标值．(?0=8.85×10-12C 2·N -1·m -2，h =6.626×10-34J ·s ，m e =9.11×10-31kg ，e =1.6×10-19C)参考答案1.（本题6分）解：设碰后刚体质心的速度为v C ，刚体绕通过质心的轴的转动的角速度为?，球D 碰后的速度为v ?，设它们的方向如图所示．因水平无外力，系统动量守恒：C m m m v v v )2(0+'=得：(1)20C v v v ='-1分 弹性碰撞，没有能量损耗，系统动能不变；222220])2(2[21)2(212121ωl m m m m C ++'=v v v ，得(2)22222220l C ω+='-v v v 2分 系统对任一定点的角动量守恒,选择与A 球位置重合的定点计算．A 和D 碰撞前后角动量均为零，B 球只有碰后有角动量，有])2([0C B l ml ml v v -==ω，得(3)2lC ω=v 2分(1)、(2)、(3)各式联立解出lC 00;2;0vv v v ==='ω。
物理(天津卷)(参考答案及评分标准)
2024年中考第一次模拟考试（天津卷）
物理·参考答案
一、选择题（每小题3分，共30分．每小题3分，多选、错选不得分，漏选得1分）
二、多选题（每小题3分，共9分，多选、错选不得分，漏选得1分） 11、ABD 12、ACD 13、AB 三、填空题（每空2分，共24分） 14．空气 色散 15．省力 增大 16．热传递 汽化 17．5000 惯性 18． 2 1.5 19． 0.48 3.6
四、综合题（共18分。
要求写出必要的文字说明、公式、主要的运算过程、数值和单位） )kg 3kg ⨯⨯℃得，天然气放出的热量为 1.0081040%
⨯=得，烧开这壶水消耗的天然气的体积是
21．（6分）水平大小 1.0 =
由于支点不在中点处，杠杆自重会产生一个向下的作用力，则F1需要比原来更大才能使杠杆平衡，故其它条件不变，杠杆平衡时，F1l1都是大于F2l2。
（2）主要实验步骤：①按电路图连接电路；①只闭合开关S，记下电流表示数为I；①再闭合开关S，记。
大学生物理竞赛试题及解答
其中 ^i 代表 x 轴正方向上的单位矢量. 你能否举出理由说明此结果并不正确. 31 ( 6 分) 用牛顿环测定透镜曲率半径实 验中, 为什么有时圆环条纹的中心并非暗斑, 甚至出现亮班 ( 理论上应是暗斑) ? 用什么数 据处理方法能消除它对曲率半径测量的影 响? 四、 在下面两题中任选一题作答. ( 10 分)
(D ) 此问题中谈 a 点、 b 点的电势无意
义 .
71 ( 3 分) 如图示, S 、 S 1、 S 2 为狭缝, P 1、 为线偏振片 (P 及 P ′ 可以撤去) , 其 P 2、 P、 P′
率, ∃ v 为一固定的速率间隔, 则速率在 v ± ∃ v 范围内的分子的百分率随着温度的增加 将 , 速率在 v p 到 v 之间的分子 的百分率随着温度的增加将 . 31 ( 2 分) 从单一热源吸取热量并将其完 全用来对外作功, 是不违反热力学第二定律 的, 例如 过程就是这种情况 . 41 ( 5 分) 如图示, 截面积为 A 、 单位长度 上匝数为 n 的螺绕环上套一边长为 l 的方形 线 圈, 今 在 方 形 线 圈 中 通 以 交 流 电 流 I = I 0 sin Ξt, 螺绕环两端为开端, 则其间电动势的 大小为
中 P 1 和 P 2 的偏振化方向互相垂直, P 和 P ′ 的偏振化方向互相平行, 且与 P 1、 P 2 的偏振 化方向皆成 45° 角. 在下列四种情况下, 屏上 有无干涉条纹. ( 四种情况全部填对才能得 分).
① 撤 掉 P 、P ′ , 保 留 P 1、P 2 , 屏 上 干涉条纹; ② 撤掉 P ′ 保留 P 、 P 1、 P 2 , 屏上 干涉条纹; ③ 撤 掉 P , 保 留 P 1、P 2、P ′ , 屏上 干涉条纹; ④ P 1、P 2、P 、P ′ 同 时 存 在, 屏 上 干涉条纹; ( 81 2 分) 卢瑟福 Α粒子散射实验证实了 , 斯 特 恩—盖 拉 赫 实 验 证 实 了
2016天津大学生物理竞赛试题
2016天津市大学生物理竞赛试题1. 物体运动坐标为22)1(,-==t y t x 。
式中x 和y 的单位为米，t 的单位为秒。
试求：（1）物体运动方程)(x f y =；（2）何时物体速度有最小值？（3）计算1=t 秒时的切向和法向加速度各为多少？2. 在两半径分别为)(2121R R R R <、同心圆面上均匀带电，带电量分别为21Q Q 、。
求：（1）此带电系统的电场能E 电为多少？（2）两球面间电荷相互作用能E 间为多少？（3）试说明E 电—E 间的物理意义。
3. 有一混合气体是由1n 摩尔氩气和2n 摩尔氮气，常温下此混合气体的绝热方程为??=C （C 为常量）。
求：（1）1n 与2n 的比值是多少？（2）若此混合理想气体等压膨胀，内能增加所吸收的热量与系统对外作功所吸收的热量的比值是多少？4. 设N 个粒子系统的速率在du u u +-内的分子数为：Kdu dNu = )0(v u ≤≤0=dNu )(v u ≥（1）推出速率分布函数图；（2）用N 和v 定出常数K ；（3）用v 表示速率平均值和方根速率。
5. 在杨氏干涉实验中，用波长3100.5-⨯米的绿色光垂直照射在双缝上，在与双缝向距为6.1米的屏幕上测得相邻明条纹间距为0.1毫米。
试问：（1）两缝间距是多少？（2）如果把一条狭缝遮住，在双缝与屏幕之间的中心轴上平放一反射镜，左端与双缝间距10厘米，右端与屏幕间距90厘米。
屏幕上什么范围内有干涉条纹？上、下侧干涉条纹明暗程度如何？可见几条完整的明条纹？6. 线偏振光垂直入射于石英波片表面入射，已知553.1,544.1==e o n n 。
（1）若入射光振动方向与光轴成︒30角。
试计算通过波片后，o 光、e 光强度是多少？假设无吸收。
（2）若波片的厚度为2.0毫米，通过的两光光程差是多少？7. 有一静止面积1000=S 平方米，面密度为0σ的均匀正方形板，当观察者以C u 6.0=（C 为光速）速度沿其对角线运动。
物理竞赛考试试题解答与评分标准
物理竞赛考试试题解答与评分标准一、（15分）一半径为R 、内侧光滑的半球面固定在地面上，开口水平且朝上. 一小滑块在半球面内侧最高点处获得沿球面的水平速度，其大小为0v (00≠v ). 求滑块在整个运动过程中可能达到的最大速率. 重力加速度大小为g .参考解答：以滑块和地球为系统，它在整个运动过程中机械能守恒. 滑块沿半球面内侧运动时，可将其速度v 分解成纬线切向 (水平方向)分量ϕv 及经线切向分量θv . 设滑块质量为m ，在某中间状态时，滑块位于半球面内侧P 处，P 和球心O 的连线与水平方向的夹角为θ. 由机械能守恒得2220111sin 222m mgR m m ϕθθ=-++v v v (1) 这里已取球心O 处为重力势能零点. 以过O 的竖直线为轴. 球面对滑块的支持力通过该轴，力矩为零；重力相对于该轴的力矩也为零. 所以在整个运动过程中，滑块相对于轴的角动量守恒，故0cos m R m R ϕθ=v v .(2)由 (1) 式，最大速率应与θ的最大值相对应max max ()θ=v v . (3)而由 (2) 式，q 不可能达到π2. 由(1)和(2)式，q 的最大值应与0θ=v 相对应，即max ()0θθ=v . (4) [(4)式也可用下述方法得到：由 (1)、(2) 式得22202sin tan 0gR θθθ-=≥v v .若sin 0θ≠，由上式得22sin 2cos gRθθ≤v .实际上，sin =0θ也满足上式。
由上式可知 max 22max 0sin 2cos gRθθ=v .由(3)式有222max max 0max ()2sin tan 0gR θθθθ=-=v v .(4’)]将max ()0θθ=v 代入式(1)，并与式(2)联立，得()2220max max max sin 2sin 1sin 0gR θθθ--=v .(5)以max sin θ为未知量，方程(5)的一个根是sin q=0，即q =0，这表示初态，其速率为最小值，不是所求的解. 于是max sin 0θ≠. 约去max sin θ，方程(5)变为 22max 0max 2sin sin 20gR gR θθ+-=v .(6)其解为20maxsin 14gR θ⎫=⎪⎪⎭v .(7)注意到本题中sin 0θ≥，方程(6)的另一解不合题意，舍去. 将(7)式代入(1)式得，当max θθ=时，(22012ϕ=+v v , (8)考虑到(4)式有max ==v (9)评分标准：本题15分. (1)式3分， (2) 式3分，(3) 式1分，(4) 式3分， (5) 式1分，(6) 式1分，(7) 式1分， (9) 式2分.二、（20分）一长为2l 的轻质刚性细杆位于水平的光滑桌面上，杆的两端分别固定一质量为m 的小物块D 和一质量为m α（α为常数）的小物块B ，杆可绕通过小物块B 所在端的竖直固定转轴无摩擦地转动. 一质量为m 的小环C 套在细杆上（C 与杆密接），可沿杆滑动，环C 与杆之间的摩擦可忽略. 一轻质弹簧原长为l ，劲度系数为k ，两端分别与小环C 和物块B 相连. 一质量为m 的小滑块A 在桌面上以垂直于杆的速度飞向物块D ，并与之发生完全弹性正碰，碰撞时间极短. 碰撞 时滑块C 恰好静止在距轴为r （r >l ）处.1. 若碰前滑块A 的速度为0v ，求碰撞过程中轴受到的作用力的冲量；2. 若碰后物块D 、C 和杆刚好做匀速转动，求碰前滑块A 的速度0v 应满足的条件.参考解答：1. 由于碰撞时间t ∆很小，弹簧来不及伸缩碰撞已结束. 设碰后A 、C 、D 的速度分别为A v 、C v 、D v ，显然有D C 2l r =v v .(1)以A 、B 、C 、D 为系统，在碰撞过程中，系统相对于轴不受外力矩作用，其相对于轴的角动量守恒D C A 0222m l m r m l m l ++=v v v v .(2)由于轴对系统的作用力不做功，系统内仅有弹力起作用，所以系统机械能守恒. 又由于碰撞时间t ∆很小，弹簧来不及伸缩碰撞已结束，所以不必考虑弹性势能的变化. 故2222D C A 011112222m m m m ++=v v v v . (3)由 (1)、(2)、(3) 式解得2200022222248,,888C D A lr l r l r l r l r===-+++v v v v v v (4)[代替 (3) 式，可利用弹性碰撞特点0D A =-v v v .(3’)同样可解出(4). ]设碰撞过程中D 对A 的作用力为1F '，对A 用动量定理有221A 0022428l r F t m m m l r+'∆=-=-+v v v ,(5)方向与0v 方向相反. 于是，A 对D 的作用力为1F 的冲量为221022428l r F t m l r+∆=+v (6)方向与0v 方向相同.以B 、C 、D 为系统，设其质心离转轴的距离为x ，则22(2)2mr m l l r x m αα++==++.(7)质心在碰后瞬间的速度为C 0224(2)(2)(8)l l r x r l r α+==++v v v . (8)轴与杆的作用时间也为t ∆，设轴对杆的作用力为2F ，由质心运动定理有 ()210224(2)28l l r F t F t m m l rα+∆+∆=+=+v v . (9)由此得2022(2)28r l r F t m l r -∆=+v . (10)方向与0v 方向相同. 因而，轴受到杆的作用力的冲量为2022(2)28r l r F t m l r-'∆=-+v , (11)方向与0v 方向相反. 注意：因弹簧处在拉伸状态，碰前轴已受到沿杆方向的作用力；在碰撞过程中还有与向心力有关的力作用于轴. 但有限大小的力在无限小的碰撞时间内的冲量趋于零，已忽略.[代替 (7)-(9) 式，可利用对于系统的动量定理21C D F t F t m m ∆+∆=+v v . ][也可由对质心的角动量定理代替 (7)-(9) 式. ]2. 值得注意的是，(1)、(2)、(3) 式是当碰撞时间极短、以至于弹簧来不及伸缩的条件下才成立的. 如果弹簧的弹力恰好提供滑块C 以速度02248C lrl r =+v v 绕过B 的轴做匀速圆周运动的向心力，即()222C 022216(8)l r k r m m r l r -==+ v v(12) 则弹簧总保持其长度不变，(1)、(2)、(3) 式是成立的. 由(12)式得碰前滑块A 的速度0v 应满足的条件0=v (13)可见，为了使碰撞后系统能保持匀速转动，碰前滑块A 的速度大小0v 应满足(13)式.评分标准：本题20分.第1问16分，(1)式1分， (2) 式2分，(3) 式2分，(4) 式2分， (5) 式2分，(6) 式1分，(7) 式1分，(8) 式1分，(9) 式2分，(10) 式1分，(11) 式1分； 第2问4分，(12) 式2分，(13) 式2分.三、（25分）一质量为m 、长为L 的匀质细杆，可绕过其一端的光滑水平轴O 在竖直平面内自由转动. 杆在水平状态由静止开始下摆， 1. 令mLλ=表示细杆质量线密度. 当杆以角速度ω绕过其一端的光滑水平轴O 在竖直平面内转动时，其转动动能可表示为k E k L αβγλω=式中，k 为待定的没有单位的纯常数. 已知在同一单位制下，两物理量当且仅当其数值和单位都相等时才相等. 由此求出α、β和γ的值.2. 已知系统的动能等于系统的质量全部集中在质心时随质心一起运动的动能和系统在质心系（随质心平动的参考系）中的动能之和，求常数k 的值.3. 试求当杆摆至与水平方向成θ角时在杆上距O 点为r 处的横截面两侧部分的相互作用力. 重力加速度大小为g .提示：如果)(t X 是t 的函数，而))((t X Y 是)(t X 的函数，则))((t X Y 对t 的导数为d (())d d d d d Y X t Y Xt X t=例如，函数cos ()t θ对自变量t 的导数为dcos ()dcos d d d d t t tθθθθ=参考解答：1. 当杆以角速度ω绕过其一端的光滑水平轴O 在竖直平面内转动时，其动能是独立变量λ、ω和L 的函数，按题意 可表示为k E k L αβγλω= (1)式中，k 为待定常数（单位为1）. 令长度、质量和时间的单位分别为[]L 、[]M 和[]T （它们可视为相互独立的基本单位），则λ、ω、L 和k E 的单位分别为1122[][][],[][],[][],[][][][]k M L T L L E M L T λω---==== (2)在一般情形下，若[]q 表示物理量q 的单位，则物理量q 可写为()[]q q q = (3) 式中，()q 表示物理量q 在取单位[]q 时的数值. 这样，(1) 式可写为()[]()()()[][][]k k E E k L L αβγαβγλωλω= (4) 在由(2)表示的同一单位制下，上式即()()()()k E k L αβγλω= (5) [][][][]k E L αβγλω= (6) 将 (2)中第四 式代入 (6) 式得22[][][][][][]M L T M L T αγαβ---= (7)(2)式并未规定基本单位[]L 、[]M 和[]T 的绝对大小，因而(7)式对于任意大小的[]L 、[]M 和[]T 均成立，于是1,2,3αβγ=== (8) 所以23k E k L λω= (9) 2. 由题意，杆的动能为,c ,r k k k E E E =+ (10) 其中，22,cc 11()222k L E m L λω⎛⎫== ⎪⎝⎭v (11) 注意到，杆在质心系中的运动可视为两根长度为2L的杆过其公共端（即质心）的光滑水平轴在铅直平面内转动，因而，杆在质心系中的动能,r k E 为 32,r 2(,,)222k k L L E E k λωλω⎛⎫== ⎪⎝⎭(12)将(9)、 (11)、 (12)式代入(10)式得 2323212222L L k L L k λωλωλω⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(13)由此解得 16k = (14)于是E k =16lw 2L 3. (15) 3. 以细杆与地球为系统，下摆过程中机械能守恒sin 2k L E mg θ⎛⎫= ⎪⎝⎭(16) 由(15)、(16)式得w =以在杆上距O 点为r 处的横截面外侧长为()L r -的那一段为研究对象，该段质量为()L r λ-，其质心速度为22c L r L rr ωω-+⎛⎫'=+= ⎪⎝⎭v . (18) 设另一段对该段的切向力为T (以θ增大的方向为正方向)， 法向(即与截面相垂直的方向)力为N (以指向O 点方向为正向)，由质心运动定理得()()cos t T L r g L r a λθλ+-=- (19)()()sin n N L r g L r a λθλ--=- (20)式中，t a 为质心的切向加速度的大小()3cos d d d d d 2d 2d dt 4ct L r g L r L r a t t Lθωωθθ+'++====v (21) 而n a 为质心的法向加速度的大小()23sin 22n L r g L r a Lθω++==. (22) 由(19)、(20)、(21)、(22)式解得 ()()23cos 4L r r L T mg L θ--= (23)()()253sin 2L r L r N mg L θ-+=(24)评分标准：本题25分.第1问5分， (2) 式1分， (6) 式2分，(7) 式1分，(8) 式1分；第2问7分， (10) 式1分，(11) 式2分，(12) 式2分， (14) 式2分；不依赖第1问的结果，用其他方法正确得出此问结果的，同样给分；第3问13分，(16) 式1分，(17) 式1分，(18) 式1分，(19) 式2分，(20) 式2分，(21) 式2分，(22) 式2分，(23) 式1分，(24) 式1分；不依赖第1、2问的结果，用其他方法正确得出此问结果的，同样给分.四、（20分）图中所示的静电机由一个半径为R 、与环境绝缘的开口（朝上）金属球壳形的容器和一个带电液滴产生器G 组成. 质量为m 、带电量为q 的球形液滴从G 缓慢地自由掉下（所谓缓慢，意指在G 和容器口之间总是只有一滴液滴）. 液滴开始下落时相对于地面的高度为h . 设液滴很小，容器足够大，容器在达到最高电势之前进入容器的液体尚未充满容器. 忽略G 的电荷对正在下落的液滴的影响.重力加速度大小为g . 若容器初始电势为零，求容器可达到的最高电势max V .参考解答：设在某一时刻球壳形容器的电量为Q . 以液滴和容器为体系，考虑从一滴液滴从带电液滴产生器 G 出口自由下落到容器口的过程. 根据能量守恒有2122Qq Qqmgh km mgR kh R R+=++-v . (1)式中，v 为液滴在容器口的速率，k 是静电力常量. 由此得液滴的动能为21(2)(2)2()Qq h R m mg h R kh R R-=---v . (2)从上式可以看出，随着容器电量Q 的增加，落下的液滴在容器口的速率v 不断变小；当液滴在容器口的速率为零时，不能进入容器，容器的电量停止增加，容器达到最高电势. 设容器的最大电量为max Q ，则有max (2)(2)0()Q q h R mg h R kh R R---=-.(3)由此得max ()mg h R RQ kq-=.(4)容器的最高电势为maxmax Q V kR= (5) 由(4) 和 (5)式得max ()mg h R V q-=(6)评分标准：本题20分. (1)式6分， (2) 式2分，(3) 式4分，(4) 式2分， (5) 式3分，(6) 式3分.五、（25分）平行板电容器两极板分别位于2dz =±的平面内，电容器起初未被充电. 整个装置处于均匀磁场中，磁感应强度大小为B ，方向沿x 轴负方向，如图所示.1. 在电容器参考系S 中只存在磁场；而在以沿y 轴正方向的恒定速度(0,,0)v （这里(0,,0)v 表示为沿x 、y 、z 轴正方向的速度分量分别为0、v 、0，以下类似）相对于电容器运动的参考系S '中，可能既有电场(,,)xy z E E E '''又有磁场(,,)x y z B B B '''. 试在非相对论情形下，从伽利略速度变换，求出在参考系S '中电场(,,)xy z E E E '''和磁场(,,)x y z B B B '''的表达式. 已知电荷量和作用在物体上的合力在伽利略变换下不变.2. 现在让介电常数为ε的电中性液体（绝缘体）在平行板电容器两极板之间匀速流动，流速大小为v ，方向沿y 轴正方向. 在相对液体静止的参考系（即相对于电容器运动的参考系）S '中，由于液体处在第1问所述的电场(,,)xy z E E E '''中，其正负电荷会因电场力作用而发生相对移动（即所谓极化效应），使得液体中出现附加的静电感应电场，因而液体中总电场强度不再是(,,)xy z E E E '''，而是0(,,)xy z E E E εε'''，这里0ε是真空的介电常数. 这将导致在电容器参考系S 中电场不再为零. 试求电容器参考系S 中电场的强度以及电容器上、下极板之间的电势差. （结果用0ε、ε、v 、B 或（和）d 表出. ）参考解答：1. 一个带电量为q 的点电荷在电容器参考系S 中的速度为(,,)x y z u u u ，在运动的参考系S '中的速度为(,,)x y z u u u '''. 在参考系S 中只存在磁场(,,)(,0,0)x y z B B B B =-，因此这个点电荷在参考系S 中所受磁场的作用力为0,,x y z z y F F qu B F qu B==-= (1)在参考系S '中可能既有电场(,,)xy z E E E '''又有磁场(,,)x y z B B B '''，因此点电荷q 在S '参考系中所受电场和磁场的作用力的合力为(),(),()x x y z z y y yx z z x z z x y y x F q E u B u B F q E u B u B F q E u B u B '''''''=+-'''''''=-+'''''''=+- (2)两参考系中电荷、合力和速度的变换关系为,(,,)(,,),(,,)(,,)(0,,0)x y z x y z x y z x y z q q F F F F F F u u u u u u '='''='''=-v (3)由(1)、 (2)、 (3)式可知电磁场在两参考系中的电场强度和磁感应强度满足()0,,()xy z z y yx z z x z z x yy x y E u B u B E u B u B u B E u B u B u B '''+--='''-+=-'''+--=v v (4)它们对于任意的(,,)x y z u u u 都成立，故(,,)(0,0,),(,,)(,0,0)xy z xy z E E E B B B B B '''='''=-v (5)可见两参考系中的磁场相同，但在运动的参考系S '中却出现了沿z 方向的匀强电场.2. 现在，电中性液体在平行板电容器两极板之间以速度(0,,0)v 匀速运动. 电容器参考系S 中的磁场会在液体参考系S '中产生由(5)式中第一个方程给出的电场. 这个电场会把液体极化，使得液体中的电场为(,,)(0,0,)xy z E E E B εε'''=v . (6) 为了求出电容器参考系S 中的电场，我们再次考虑电磁场的电场强度和磁感应强度在两个参考系之间的变换，从液体参考系S '中的电场和磁场来确定电容器参考系S 中的电场和磁场. 考虑一带电量为q 的点电荷在两参考系中所受的电场和磁场的作用力. 在液体参考系S '中，这力(,,)x y z F F F '''如(2)式所示. 它在电容器参考系S 中的形式为(),(),()x x y z z y y y x z z x z z x y y x F q E u B u B F q E u B u B F q E u B u B =+-=-+=+- (7)利用两参考系中电荷、合力和速度的变换关系(3)以及(6)式，可得00,,()x y z z y y x z z x z z x y y x y E u B u B E u B u B u B BE u B u B u B εε+-=-+=-+-=+-v v (8)对于任意的(,,)x y z u u u 都成立，故(,,)(0,0,(1)),(,,)(,0,0)x y z x y z E E E B B B B B εε=-=-v (9) 可见，在电容器参考系S 中的磁场仍为原来的磁场，现由于运动液体的极化，也存在电场，电场强度如(9)中第一式所示.注意到(9)式所示的电场为均匀电场，由它产生的电容器上、下极板之间的电势差为z V E d =-.(10)由(9)式中第一式和(10)式得01V Bd εε⎛⎫=- ⎪⎝⎭v .(11)评分标准：本题25分.第1问12分， (1) 式1分， (2) 式3分， (3) 式3分，(4) 式3分，(5) 式2分；第2问13分， (6) 式1分，(7) 式3分，(8) 式3分， (9) 式2分， (10) 式2分，(11) 式2分.六、（15分）温度开关用厚度均为0.20 mm 的钢片和青铜片作感温元件；在温度为20C ︒时，将它们紧贴，两端焊接在一起，成为等长的平直双金属片. 若钢和青铜的线膨胀系数分别为51.010-⨯/度和52.010-⨯/度. 当温度升高到120C ︒时，双金属片将自动弯成圆弧形，如图所示. 试求双金属片弯曲的曲率半径. (忽略加热时金属片厚度的变化. )参考解答：设弯成的圆弧半径为r ，金属片原长为l ，圆弧所对的圆心角为φ，钢和青铜的线膨胀系数分别为1α和2α，钢片和青铜片温度由120C T =︒升高到2120C T =︒时的伸长量分别为1l ∆和2l ∆. 对于钢片1()2dr l l φ-=+∆ (1) 1121()l l T T α∆=- (2) 式中，0.20 mm d =. 对于青铜片2()2dr l l φ+=+∆ (3) 2221()l l T T α∆=- (4) 联立以上各式得 2122121212()()2.010 mm 2()()T T r d T T αααα++-==⨯-- (5)评分标准：本题15分. (1)式3分， (2) 式3分，(3) 式3分，(4) 式3分， (5) 式3分.七、（20分）一斜劈形透明介质劈尖，尖角为θ，高为h . 今以尖角顶点为坐标原点，建立坐标系如图(a)所示；劈尖斜面实际上是由一系列微小台阶组成的，在图(a)中看来，每一个小台阶的前侧面与xz 平面平行，上表面与yz 平面平行. 劈尖介质的折射率n 随x 而变化，()1n x bx =+，其中常数0b >. 一束波长为λ的单色平行光沿x 轴正方向照射劈尖；劈尖后放置一薄凸透镜，在劈尖与薄凸透镜之间放一档板，在档板上刻有一系列与z 方向平行、沿y 方向排列的透光狭缝，如图(b)所示. 入射光的波面（即与平行入射光线垂直的平面）、劈尖底面、档板平面都与x 轴垂直，透镜主光轴为x 轴. 要求通过各狭缝的透射光彼此在透镜焦点处得到加强而形成亮纹. 已知第一条狭缝位于y =0处；物和像之间各光线的光程相等.1. 求其余各狭缝的y 坐标；2. 试说明各狭缝彼此等距排列能否仍然满足上述要求.图(a) 图(b) 参考解答：1. 考虑射到劈尖上某y 值处的光线，计算该光线由0x =到x h =之间的光程()y δ. 将该光线在介质中的光程记为1δ，在空气中的光程记为2δ. 介质的折射率是不均匀的，光入射到介质表面时，在0x = 处，该处介质的折射率()01n =；射到x 处时，该处介质的折射率()1n x bx =+. 因折射率随x 线性增加，光线从0x =处射到1x h =（1h 是劈尖上y 值处光线在劈尖中传播的距离）处的光程1δ与光通过折射率等于平均折射率()()()1111110111222n n n h bh bh =+=++=+⎡⎤⎣⎦ (1) 的均匀介质的光程相同，即2111112nh h bh δ==+ (2)x忽略透过劈尖斜面相邻小台阶连接处的光线（事实上，可通过选择台阶的尺度和档板上狭缝的位置来避开这些光线的影响），光线透过劈尖后其传播方向保持不变，因而有21h h δ=- (3)于是()212112y h bh δδδ=+=+. (4)由几何关系有 1tan h y θ=. (5)故()22tan 2b y h y δθ=+. (6)从介质出来的光经过狭缝后仍平行于x 轴，狭缝的y 值应与对应介质的y 值相同，这些平行光线会聚在透镜焦点处.对于0y =处，由上式得d 0()=h . (7)y 处与0y =处的光线的光程差为()()220tan 2b y y δδθ-=. (8) 由于物像之间各光线的光程相等，故平行光线之间的光程差在通过透镜前和会聚在透镜焦点处时保持不变；因而(8)式在透镜焦点处也成立. 为使光线经透镜会聚后在焦点处彼此加强，要求两束光的光程差为波长的整数倍，即22tan ,1,2,3,2b y k k θλ== . (9) 由此得y A θθ==. (10) 除了位于y =0处的狭缝外，其余各狭缝对应的y 坐标依次为,,,,A . (11)2. 各束光在焦点处彼此加强，并不要求(11)中各项都存在. 将各狭缝彼此等距排列仍可能满足上述要求. 事实上，若依次取,4,9,k m m m = ，其中m 为任意正整数，则49,,,m m m y y y === . (12)，光线在焦点处依然相互加强而形成亮纹. 评分标准：本题20分.第1问16分， (1) 式2分， (2) 式2分， (3) 式1分，(4) 式1分，(5) 式2分，(6) 式1分，(7) 式1分，(8) 式1分， (9) 式2分， (10) 式1分，(11) 式2分； 第2问4分，(12) 式4分（只要给出任意一种正确的答案，就给这4分）.八、（20分）光子被电子散射时，如果初态电子具有足够的动能，以至于在散射过程中有能量从电子转移到光子，则该散射被称为逆康普顿散射. 当低能光子与高能电子发生对头碰撞时，就会出现逆康普顿散射. 已知电子静止质量为e m ，真空中的光速为 c . 若能量为e E 的电子与能量为E γ的光子相向对碰，1. 求散射后光子的能量；2. 求逆康普顿散射能够发生的条件；3. 如果入射光子能量为2.00 eV ，电子能量为 1.00´109 eV ，求散射后光子的能量. 已知 m e =0.511´106 eV /c 2. 计算中有必要时可利用近似：如果1x <<»1-12x .参考解答：1. 设碰撞前电子、光子的动量分别为e p （0e p >）、p γ（0p γ<），碰撞后电子、光子的能量、动量分别为,,,ee E p E p γγ''''. 由能量守恒有E e +E g =¢E e +¢E g .(1) 由动量守恒有 p e +p g =¢p e +¢p g .(2) 光子的能量和动量满足E g =p g c ,¢E g =¢p g c .(3)电子的能量和动量满足22224e e e E p c m c -=，22224ee e E p c m c ''-= (4) 由(1)、(2)、(3)、(4)式解得e E E E γγ'=(5)2. 由(5)式可见，为使¢E g >E g , 需有0E E γγ'-=即E γ 或 e p p γ>(6)注意已设p e >0、p g <0. 3. 由于2e e E mc >>, 因此有242e e e m cE E -.(7)将(7)式代入(5)式得¢E g »2E e E g2E g +m e2c 42E e. (8)代入数据，得»29.7´106eV. (9)¢Eg评分标准：本题20分.第1问10分， (1) 式2分， (2) 式2分， (3) 式2分，(4) 式2分，(5) 式2分；第2问5分，(6) 式5分；第3问5分，(7) 式2分， (8) 式1分， (9) 式2分.。
第五届非物理类专业大学生物理竞赛试题及解答(上海、天津)
简要说明：金属球壳带有电量为Q时，其电量分布在外 表面，且均匀分布如图（a）。根据均匀带电球面场分 布，球体为等势体，故球心O处电势与球面等势
U0 =
Q 4πε 0 R2
当球壳腔内绝缘放置q0时，导体球壳电量分布如图（b） 利用电势叠加原理则O点电势为q0-q0，Q+q0产生电势的 叠加。 q Q+q −q
12(4分)一光子的波长与一电子的德布罗意波长皆为5.0Å ，此光子的动量p0与电子动量pc之比p0/pc=_____,光子 的动量E0与电子的动能Ee之比E0/Ee=_____ 12(4分)1；4.1×102 h h h p = ,∴ p0 = , pe = 简要说明：由物质波公式： λ λ0 λe p Q λ0 = λe ∴ 0 =1 光子动能即为总量E0=p0c；电子动能的相对论公式为
2 v2 − v2 − v12 1.（8分） 2v2 ; g g
简要说明： 调节两小球抛出的时间间隔，可使两球有多种相遇的
机会。本题意在求出诸多相遇中，第②球所经的时间Δt 最大的值，解决此问题设计到的运动学方程为：
1 2 h1 = v1∆t1 − g (∆t1 ) 2
1 1 2 2 h2 = v2 ∆t 2 − g (∆t 2 ) = v2 ∆t − g (∆t ) 2 2
(2
M + m 6 Mv 0
)L
简要说明：研究甲、乙及船系统.∵系统水平方向（设 为x方向）受外力为零，故系统水平方向动量守恒。设 船任一时刻速度为V，方向如图示。则有
MV + M (V + v0 ) + m(V − v0 ) = 0
V= m−M v0 < 0 2M + m
得
说明船向x负向运动，则乙相对地面运动速度值
天津市大学生物理竞赛真题(含答案)
2012年“拓普杯”天津市大学物理竞赛考生姓名： 所在学校：所在考场： 准考证号：1. 质量均为m 的两个弹性小球（视为质点）A 、B ，位于光滑水平桌面的x 轴上，A 静止于坐标原点上；B 不受其他因素影响时的运动规律为：x=12+4t-t 2（M ）。
求：（1）B 从第0秒到第5时，以多大速度开始运动？2.如图所示，水平桌面上A 、B 、C 是三个半径均为R 的圆柱体初始堆放状态，柱间、柱与桌面间的摩擦可忽略不计。
圆柱质量：M (A) =2m ，M (B)=m ，M （C ）=m ，当撤去约束后初始速度均为零。
求圆柱A 触及桌面时的速度是多少？3. 如图所示，两无限大几何平面间距为d 。
它们之间的区域分布着电荷，电荷体密度p=kx （k 为大于0的系数）求：（1）电荷分布区域内电场强度E 的大小和方向；（2）两平面之间的电势差。
4. 平放置、折射率为1.50的玻璃片上面有一小滴折射率为1.36的油。
油滴会慢慢地摊展成中央厚边缘薄的圆形膜，在太阳光下借助读数显微镜从正上方观察。
试问：（1）摊展过程中边缘、内部干涉条纹如何移动？内部干涉条纹数目、间距如何变化？（2）边缘明暗程度如何，成什么颜色？（3）当中央膜厚为0.476微M 时，中心成什么颜色？5. 某透明物质的全反射临界角是450，问：（1）此物质折射率？（2）此物质起偏角？（3）当光从透明物质内射向分界面时起偏角又是多少？（4）有一束光强为I 0、振动方向在入射面内的线偏光以布儒斯特角（入射角）投向该透明物质，反射光、折射光的光强各为多少？（忽略吸收）6. 中国速度的象征——京沪高速。
它是由每根长100M 的钢轨铺就而成。
有观察者站在铁轨旁，他离其中一根钢轨AB （端点分别为A 和B ）的两端点的距离均为100M ，列车以360公里/小时高速贴地行驶，鸣着汽笛疾飞而过。
列车司机说笛声频率为800赫兹。
试问：（1）当列车刚进入钢轨AB 的起始端A 点时，观察者感觉到的笛声频率为多少？（2）列车驶离钢轨时。
全国大学生物理竞赛历年考试习题(含答案)
全国大学生物理竞赛历年考试习题(含答案)一、选择题1. 下列哪个物理量是标量？A. 速度B. 加速度C. 力D. 质量答案：D解析：质量是标量，因为它只有大小，没有方向。
而速度、加速度和力都是矢量，它们既有大小，又有方向。
2. 下列哪个物理现象可以用牛顿第一定律解释？A. 摩擦力B. 重力C. 弹力D. 惯性答案：D解析：牛顿第一定律也被称为惯性定律，它指出一个物体如果不受外力作用，它将保持静止状态或匀速直线运动状态。
惯性是物体保持其运动状态的性质。
3. 下列哪个物理量是功的单位？A. 焦耳B. 牛顿C. 瓦特D. 库仑答案：A解析：焦耳是功和能量的单位，1焦耳等于1牛顿的力作用在物体上，使物体在力的方向上移动1米的距离所做的功。
4. 下列哪个物理现象可以用安培环路定理解释？A. 电流B. 电阻C. 磁场D. 电压答案：C解析：安培环路定理是电磁学中的一个重要定理，它描述了磁场与电流之间的关系。
该定理指出，通过一个闭合路径的磁场线积分等于该路径所包围的电流总和。
5. 下列哪个物理现象可以用波尔兹曼分布律解释？A. 热力学B. 统计力学C. 量子力学D. 相对论答案：B解析：波尔兹曼分布律是统计力学中的一个重要定律，它描述了在热力学平衡状态下，不同能量状态的粒子数目的分布。
该定律是统计力学的基础之一。
6. 下列哪个物理现象可以用薛定谔方程解释？A. 光的干涉B. 量子隧穿C. 原子光谱D. 相对论效应答案：B解析：薛定谔方程是量子力学中的一个基本方程，它描述了微观粒子在量子态下的行为。
量子隧穿是量子力学中的一个重要现象，它可以用薛定谔方程来解释。
7. 下列哪个物理现象可以用广义相对论解释？A. 光的折射B. 引力透镜C. 狭义相对论效应D. 光的干涉答案：B解析：广义相对论是爱因斯坦提出的一种引力理论，它描述了引力的本质和作用。
引力透镜是广义相对论的一个重要预言，它可以用广义相对论来解释。
8. 下列哪个物理现象可以用电磁感应定律解释？A. 法拉第电磁感应定律B. 安培环路定理C. 楞次定律D. 电磁感应答案：A解析：法拉第电磁感应定律是电磁学中的一个基本定律，它描述了磁场变化产生的感应电动势。
2013天津物理竞赛答案
2013年“拓普杯”天津市大学生物理竞赛姓名 所在学校 所在考场 准考证号： 注意：本试卷共2页，试题每题10分， A 类考生需做1至10题，B 类考生做1至8题及11、12题。
各题都需写出具体过程和结果。
请将所有答案写在答题纸上，答在此页上无效!交卷时此试卷和答题纸草稿纸一并上交。
注意：以下1至8题全体考生必答（要求写出具体计算过程与结果）。
1．有一质点从静止出发沿半径为R ＝３米的圆周做运动，切向加速度ａｔ＝３米／秒2。
求:（1）经过多少时间它的总加速度a 恰好与半径成450角？（2）在上述时间内，质点所经过的路程和角位移各是多少？2 一充满氢气的气球，球囊的质量是氢气质量的5.0倍，球内外的温度相同，而球内的压力为球外的大气压力的1.8倍，在忽略球囊本身体积、空气阻力情况下，静止释放此气球，求开始上升时的加速度是多少？（氢气的摩尔质量为2.0克，空气的平均摩尔质量为29.0克）3. 有一内外半径分别为1厘米、5厘米的球形电容器，其间充满相对介电常量为ε1、ε2两层均匀电介质，且ε1=2.5ε2，两介质分界面半径为1.5厘米，已知电介质击穿场强为2.0x107 伏特/米。
求此电容器所能承受的最大电压是多少？4. 在一椭圆形状的湖边有两个小村庄，光学专业出生的村官欲为两村庄共建一水利发电站，他利用费马原理选择发电站的地址（发电站必须建在湖边），以使得进村的输电线为最短（输电线必须从电站分别与两村相连接，以便于电站监控和维修）。
（1）请描述如何选址，（2）根据费马原理推导出反射定律的数学表达式。
5. 右图为一方解石（CaC03）棱镜，光轴垂直纸面，有一非 偏振光垂直入射在上表面上，为使从棱镜出射光为非寻常光 （e 光）。
问：（1）棱镜顶角α是多少？（2）e 光与上表面 的入射光的夹角是多少？（3）在图中标出各部分光的偏振方 向。
（n o =1.658,n e =1.486）6. 一场物理竞赛按命题老师的时钟应在2小时内完成。
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20XX 年“拓普杯”天津市大学生物理竞赛参考答案及评分标准一、请写出国际单位制中七个基本物理量单位的名称和量纲。
答：长度（m ）2分 质量（kg ）2分 时间（s ）2分 电流（A ）1分 热力学温度（K ）1分 发光强度（cd ）1分 物质的量（mol ）1分二、一列静止长度为600米的超快速火车通过一个封闭式的火车站，据站长讲车站全长为450米，火车通过时正好装进车站，即站长观察到火车后端刚好在进口处的同时其前端刚好在出口处。
求: （1）火车的速率是多少？ (2) 对火车上的乘务员来说，他观测到的车站长度是多少？解：（1）2021V L L C=- 4分220714L V C L =-=2分（2）221V L L C'=- 2分337.5m = 2分三、航天英雄乘坐的神州六号舱容积为9.0立方米，在标准状态下，求：（1）舱内空气的质量是多少？（2）舱内氮气的分压是多少？（3）在正常照度下，人眼瞳孔直径为 3.0mm ，在可见光中眼最敏感的波长λ=550nm 。
若晴好白天飞船位于长城正上方350公里处，设长城宽度5.0米，航天英雄能直接看清长城吗？（按质量百分比计，氮气76﹪，氧气23﹪，氩气1﹪，其它气体可略，它们的分子量分别为28， 32， 40）解：标准状态，气化P 0=1atm,气温为0 0c ，空气平均mol 质量3109.28-⨯=μ千克/摩尔。
1. 内质量： 330V 910M 28.91011.6V 22.4μ-⨯=∙=⨯⨯=（千克） 3分2. 由气体状态方程可得：RT MV μ=0P 2分RT M V P 222NN N μ=1分0.78442828.90.76MM P P 222N N 0N =⨯=∙=∴μμ()atm 0.78440.7844P P 0N 2==∴ 1分 3. 依瑞利判据知人眼的最小分辨角为51.222.210radDϕλδ-==⨯ 2分可分辨最小间距：77102.23500005y =⨯⨯=∙=-ϕδδL (米) 1分 看不到长城！四、将质量相同、温度分别为T 1、T 2 的两杯水在等压下绝热地混合，试问：（1）此系统达到最后状态，计算此过程的熵变。
（2）分析判断熵是增加、减少、还是未变？要有推算过程并对结论说明理由。
（设水的摩尔等压热容量为C p ，每杯水的量为ν摩尔） 解：（1）两杯水在等压下绝热的混合，可视为不可逆过程，为了求出两杯水的熵变，可以设想这样一个可逆过程，令两杯水经可逆等压过程，温度分别为T 1和T 2变为2T 21+T .设摩尔等压热容量为P C ，每杯水为νmol 。
p p dQ C ndT=则:p p dQ C dT ν= （3分） 总的熵变应等于两杯水熵变之和：对第一杯水熵变：121211T 221211S ln2T T T P P T T C dTT T dQC TTT νν+++∆===⎰⎰ （1分） 对第二杯水熵变：121222T 221222ln2T T T P P T T C dTT T dQS C TTT νν+++∆===⎰⎰（1分） 总熵变为：()212121212P 1212S S C ln ln ln 224P T T T T T T S C T T TT νν+⎛⎫++∆=∆+∆=+= ⎪⎝⎭（1分） （2）.由：22121212T 2S ln 4P T TT C TT ν++∆=212221212T ,T T T T T >+∴≠2212121212P 1212T 222S ln C ln 044P T TT TT TT C TT TT νν+++∴∆=>= （2分）即0>∆S 。
此过程熵增加。
（2分）水在等压绝热的混合过程，系统变化时自发宏观过程，总是向熵增加的方向进行。
五、在两正交偏振片M 、N 之间，放置一厚度为0.5mm 的石英晶片（n e 主 =1.5534，n o =1.5443），其光轴Z 与M 、N 之间夹角均为450，垂直入射到M 的自然光的波长为0.5μm ，设所有元件对光没有散射和吸收，问：(1) 在偏振片N 后能看见多少条等厚干涉条纹？(2) 如果所放置的石英晶片为如图所示的劈尖形状（其劈背厚度a=0.5mm ，光轴不变），则在偏振片N 后A 处（对应于劈尖最顶端处）观测到的光强度为多少？解：.M 的投射光为线偏光，设光强为m I ，它振动的方向与晶轴夹角45。
，故晶体出射光强：m m e I I I 2145cos 2==。
m m o I I I 2145sin 2==。
此时o ，e 光（在劈背）光程差： 2()o e dn n πδλ=-主o ，e 光出射后的光强： m e eN I I I 4145cos 2==。
m o oNI I I 4145cos 2==。
eN I 与oN I 又有附加光程π，在N 后看劈背出来eN I ，oN I 的相位差：（2k+1）π （k=0，1，2，3….） 暗纹2()o e dn n πδπλ=-+=主 （5分）2k π （k=0，1，2，3….） 明纹若是明纹：3610.5101()(1.5534 1.5443)9.620.5102e o dk n n ξλ--⨯=-+=-+=⨯（2分） 可看到10条条纹（2）在劈尖的最顶端A 处，其d=0mm 则：δπ= 为暗纹（2分） 则其光强0I =（1分）图 1→|a |← NMA六、空气折射率n约为1.0003。
用下列给定装置：一台迈克尔逊干涉仪；扩展钠光灯面光源（平均波长为λ）；两个完全相同的长度为L的玻璃管，侧面带有阀门都是打开的，其内为一个大气压的空气；一台高精度真空泵及真空管、阀等配件；若干个可升降光学支架。
设计一个可行方案，要求：（1）画出实验设计光路图；（2）简略写出主要操作步骤；（3）推算出空气折射率n的数学表达式。
解：实验设计图 (3)七、在光滑水平桌面上，有一长为L质量为m的匀质金属棒，绕一端在桌面上旋转，棒的另一端在半径为L的光滑金属圆环上滑动，接触良好。
旋转中心的一端与圆环之间连接一电阻R（不影响棒转动），若在垂直桌面加一均匀磁场B，当t=0，起始角θ=0处，金属棒获得初角速度为ω0。
求：（1）任意时刻t 金属棒的角速度ω ；（2）金属棒停下来时转过的角度θ=？（其它电阻、摩擦力不计）。
解：（1）某时刻大，棒的角速度为ω，此时，棒切割磁力线获得电动势：21B L2εω=，棒中电流：2B LIR2Rεω==2分棒中（r-r+dr）所受安培力为：：dF IBdr=，dr所受的磁力矩：Md IBrdr=；合力矩：24200124L L B LM dM IBrdr IBLRω====⎰⎰2分2241)31(0)43dM J J mLdtB L d dmLR dt dtωωωω===-<由力学转动方程：（转动惯量022222203B 40B 4B 4.........................................2t L t Rmd L dtRmd L dtRmeωωωωωωωω-∴=-=-∴=⎰⎰分量变量：积分:分223B 400222........................2dt4.........................................23L t Rmd d dt dtd eRm B Lθθωθωθωωθ-∞=⇒==∴=⎰⎰（）分分八、粒子在无限深方势阱 [-a/2，a/2] 内作一维运动的波函数为ax n A n πψcos=（n=1,2,3,……）。
求：(1) 归一化常数A ；(2) 粒子的零点能；(3) 第一激发态，粒子在 [a/8，a/2] 间出现的几率； (4) 粒子运动的坐标不确定度()22x xx -=∆（x 为位移平均值，2x为位移平方的平均值），由不确定关系，估算在基态时相应的动量不确定度p ∆不小于多少？ 解：（1）由归一化条件：/22/21a n a dx ψ-=⎰1分得 /2/22222/2/221coscos 122a a a a n xn a a A xdx A dx A aππ--+==∙=⎰⎰ 2/A a ∴= 1分所以，归一化的波函数为：()2/cos1,2,3n n a x n aπψ==（2）零点能即基态能，这是1n =可由111ˆH E ψψ= 1分 即222211122(2/cos )22a x E m x a m aππψψ∂-==∂ 22212228h E m a ma π∴== 1分（3）第二激发态2n = 波函数为222/cosa x aπψ= 0.5分 2228a a dx ρψ∴=⎰ 1分 228231(2/cos)0.29684a a a x dx a ππ==-≈⎰ 0.5分 （4）基态下：/2/2221/2/2(2/cos)0a a a a x x dx x a x dx aπψ--===⎰⎰1分22/2/22222212/2/22cos 122a a a a a a x x dx x xdx a a πψπ--===-⎰⎰ 1分222211()122x x x x a π∴∆=-==- 由不确定关系：2x p ∆∙∆≥2226(6)p a ππ∴∆≥- p ∆不小于2226(6)a ππ- 1分九、有一不带自由电荷铁电体（去掉外电场仍然保持极化状态的电介质）长圆筒，其长度为L ，内外半径为a 、b ，极化强度矢量p=k r/r 2 (k 为常数，介质内部无极化电荷)，相对介电常数为εr 、相对磁导率为μr ，求：（1）圆筒内外的电场强度E 、电位移矢量D 分布；（2）若圆筒绕其中心轴以匀角速ω转动，圆筒内外的磁场强度H 、磁感应强度B 分布。
解：极化体电荷密度：'111()()0kD p r p r r r r r rρ∂∂=-∙=∙=∙=∂∂ 1分 极化面电荷：'a r ar ar akkp n p r raσ====∙=-∙=-=- 0.5分'b kbσ=0.5分 圆筒表面单位长度的极化电荷： ''212a a a k λπσπ=⨯⨯=- 1分''212b b b k λπσπ=⨯⨯= 0.5分由高斯定理求极化电荷产生附加场'E 分布：000()''()20()a r a k E a rb rr r b λπεε⎧<⎪⎪==-<<⎨⎪⎪>⎩ 1分 由于00E =，故0''E E E E =+=，故介质内外电场分布：00()'()0()r a kE E a r b r r b ε⎧<⎪⎪==-<<⎨⎪⎪>⎩ 0.5分 由0D E P ε=+，求D 分布，介质外0E =，0P =，故：000()()0()0()r a k k D a r b r r r b εε⎧<⎪⎪=-+=<<⎨⎪⎪>⎩ 1分 筒旋转，内外表面异号极化电荷形成流向相反的载流长直螺线管，单位长度圆筒面荷','a b λλ旋转形成电流密度：'222a a j k k ωωλπωππ=⋅=-⨯=- 1分 '222b b j k k ωωλπωππ=⋅=⨯= 1分 螺线管内部，H nI j ==，外部为0，磁场叠加：0,(),()0,()r a H k a r b r b ω<⎧⎪=<<⎨⎪>⎩1分由0B H μμ=，求得B 的分布：00,(),()0,()r r a B k a r b r b μμω<⎧⎪=<<⎨⎪>⎩1分十、质量为m 的质点A ，在一个光滑且足够大的水平桌面上运动，质点A 系一轻绳子，绳子穿过桌面上一光滑小孔O ， 另一端挂一质量也为m 的质点B 。