第三章 电阻电路的一般分析

第三章电阻电路的一般分析电路的一般分析是指方程分析法，它是以电路元件的约束特性(VCR)和电路的拓扑约束特性(KCL,KVL)为依据，建立以支路电流或回路电流，或结点电压为变量的回路方程组，从中解出所要求的电流、电压、功率等。

方程分析法的特点是：（1）具有普遍适用性，即无论线性和非线性电路都适用；（2）具有系统性，表现在不改变电路结构，应用KCL，KVL,元件的VCR建立电路变量方程，方程的建立有一套固定不变的步骤和格式，便于编程和用计算机计算。

本章的重点是会用观察电路的方法，熟练运用支路法、回路法和结点电压法的“方程通式”写出支路电流方程、回路方程和结点电压方程，并加以求解。

3-1 在一下两种情况下，画出图示电路的图，并说明其节点数和支路数(1)每个元件作为一条支路处理；(2)电压源(独立或受控）和电阻的串联组合，电流源和电阻的并联组合作为一条支路处理。

解:(1)每个元件作为一条支路处理时，图(a)和(b)所示电路的图分别为题解3-1图(a1)和(b1)。

图(a1)中节点数6b==n，支路数11图(b1)中节点数7=bn，支路数12=(2)电压源和电阻的串联组合，电流源和电阻的并联组合作为一条支路处理时，图(a)和图(b)所示电路的图分别为题解图(a2)和(b2)。

图(a2)中节点数4b=n，支路数8=图(b2)中节点数15b=n，支路数9=3-2指出题3-1中两种情况下，KCL,KVL独立方程数各为多少？解：题3－1中的图(a)电路，在两种情况下，独立的KCL方程数分别为(1)51==4n1--1=6-1-=n (2)3独立的KVL方程数分别为(1)61=84+--n+=1b1=111b (2)5+6+--n=图(b)电路在两种情况下，独立的KCL方程数为(1)61=5-=1n-7n (2)41=1-=-独立的KVL方程数分别为(1)6+1=95b1-n+=-=1271b (2)51=-n++-3-3对题图(a)和(b)所示G，各画出4个不同的树，树支数各为多少？解：一个连通图G 的树T 是这样定义的：(1) T 包含G 的全部结点和部分支路；(2) T 本身是连通的且又不包含回路。

根据定义，画出图(a)和(b)所示图G 的4个树如题解3-3图(a)和(b)所示。

树支数为结点数减一。

故图(a)的数有树支，图(b)的树有树支1615n -=-=3-4 图示桥形电路共可画出16个不同的树，试一一列出（由于节点树为4，故树支为3，可按支路号递减的方法列出所有可能的组合，如123，124，…，126，134，135，…等，从中选出树）。

解：图示电路，16个不同的树的支路组合为：（123），（124），（125），（136），（145），（146），（156），（234），（235），（236），（246），（256），（345），（346），（456）3-5 对题图3-3所示的1G 和2G ，任选一树并确认其基本回路组，同时指出独立回路数和网孔数各为多少？解：在连通图G 中，由树支和一个连支组成的回路称为G 的基本回路（或单连支回路），基本回路是独立回路，网孔也是独立回路，因此，基本回路数＝独立回路数＋网孔数。

对一个节点数为n ，支路数为b 的连通网，其独立回路数)1(+-=n b l 。

从题图3-3所示的1G 和2G 中任选一树，（见题解3-5图(a)和(b)中粗线所示），对应于这一树的基本回路分别为6,521==l l 。

3-6 对图示非平面图，设：（1）选择支路（1，2，3，4）为树；（2）选择支路（5，6，7，8）为树，问独立回路各有多少？求其基本回路组。

解：图中有结点数5=n ，支路数10=b ，故独立回路树为615101=+-=+-n b（1）选择支路（1，2，3，4）为树，对应的基本回路组为：（1，2，3，4，5），（1，2，3，7），（1，2，6），（2，3，4，8），（2，3，9），（3，4，10）（2）选择支路（5，6，7，8）为树，对应的基本回路组为：（1，5，8），（2，5，6，8），（3，6，7），（4，5，7），（5，7，8，9），（5，6，10）3-7 图示电路中V u V u R R R R R R s s 40,20,2,8,4,1063654321==Ω=Ω==Ω=Ω==，用支路电流法求解电流5i 。

解：本题电路有4个节点，6条支路，独立回路数为6－4＋1=3。

设各支路电流和独立回路绕行方向如图所示，由KCL 列方程，设流出节点的电流取正号。

节点① 0621=++i i i节点② 0432=++-i i i节点③ 0654=-+-i i i由KVL 列方程回路Ⅰ 401082246-=--i i i回路Ⅱ 2041010321-=++-i i i回路Ⅲ 20884543=++-i i i联立求解以上方程组，得电流 A i 956.05-=注：由本题的求解过程可以归纳出用支路电流法分析电路的步骤如下：（1）选定各支路电流的参考方向；（2）任取（n-1）个结点，依 KCL 列独立结点电流方程；（3）选定（b-n+1）个独立回路（平面回路可选网孔），指定回路的绕行方向，根据KVL 列写独立回路电压方程；（4）求解联立方程组，得到个支路电流，需要明确：以上支路电流法求解电路的步骤只适用于电路中每一条支路电压都能用支路电流表示的情况，若电路中含有独立电流源或受控电流源，因其电压不能用支路电流表示，故不能直接使用上述步骤。

此外，若电路中含有受控源，还应将控制量用支路电流表示，即要多加一个辅助方程。

3-8 用网孔电流法求解题图3-7中电流5i 。

解：设网孔电流为1,23,l l l i i i ，其绕行方向如题图3-7中所标。

列写网孔方程⎪⎩⎪⎨⎧=+---=-+--=--20204820424104081020321321321l l l l l l l l l i i i i i i i i i应用行列式法解上面方程组 48802048202410401020,5104204842410810203-=------=∆=------=∆ 所以 A i i l 956.051044880335-=-=∆∆== 注：网孔电流法是以假想的网孔电流作为求解量，它仅适用于平面电路。

从本题的求解可以归纳出用网孔电流法求解电路的步骤是：（1）选取网孔电流1,23,l l l i i i ，如网孔电流方向即认为是列网孔 KVL 方程的绕行方向。

（2）列网孔电流方程。

观察电路求自电阻1122,R R （一个网孔中所有电阻之和称该网孔的自电阻，如本题中11223320,24,20R R R =Ω=Ω=Ω,自电阻总为正值）；互电阻121323,,R R R （两网孔公共支路上的电阻之和，如本题中12132310,8,4R R R =-=-=-，当流过互电阻的两网孔电流方向一致，互电阻为正值，否则为负值），等效电压源数值（方程右方为各回路中电压源的代数和，与网孔电流方向一致的电压源前取负号，否则取正号）。

3-9 用回路电流法求解题图3-7中电流3i 。

解法一：取回路电流为网孔电流，如题图3-7中所示。

回路方程同题3-8中方程。

故有488051043-=∆=∆ 128002020842010840203-=------=∆所以 A i i i A i A i l l l l 5517.19561.05078.29561.0510448805078.25104128003233322-=+-=-=-=-=∆∆=-=-=∆∆=解法二：取回路电流如题解3-9图所示。

仅让Ⅱ号回路电流流经3i 所在的支路。

列写回路方程。

⎪⎩⎪⎨⎧=++--=++--=--03620182020241040181020321321321l l l l l l l l l i i i i i i i i i用行列式法求上面方程组 792036018202010184020,51043620182024101810202-=-----=∆=----=∆ 所以 A i i l 5517.151047920223-=-=∆∆== 显然解法二中回路电流的选取法使计算量减小。

注：回路电流法适用于平面或非平面电路，比网孔法更具灵活性。

回路法分析电路时，首先要确定一组基本回路，表定回路电流的绕行方向，其余步骤与网孔法类似。

需要指出的是回路电流法中两回路的共有支路有时会有多条，因而互有电阻的确定要特别细心。

否则会发生遗漏互有电阻的错误。

3-10 用回路电流法求解题图中Ω5电阻中的电流i 。

解：选取网孔为基本回路，回路电流的绕行方向如图中所示。

列回路方程⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-+-=+-=-016848817601648326123232121l l l l l l l i i i i i i i 应用行列式法 4608080481760612,19201680817606123=---=∆=----=∆ 所以 A i i l 4.21920460833==∆∆== 3-11 用回路电流法求解图示电路中电压o U 。

解：回路电流如图中所标。

因A 3电流源仅与回路Ⅰ相关，即有，A i l 31=其余两回路的方程为865013620101813610508321321=-=++-=++-l l l l l l i i i i i i把A i l 31=带入两个方程中，加以整理得 ⎩⎨⎧=+=+140201016010503232l l l l i i i i解得 A i l 22=电压 V i U l o 80240402=⨯=⨯=3-12 用回路电流法求解图示电路中电压U 。

解：按图示设网孔电流为回路电流。

因受控电流源仅和Ⅲ号回路相关，故有1615n -=-=，对回路Ⅰ和Ⅱ列方程，并代入131.0l l i i -=有⎩⎨⎧-=⨯++-=⨯+-4201.0510401.010*********l l l l l l i i i i i i整理得⎩⎨⎧-=+-=-420105.304352121l l l l i i i i解得 Ai i A i i i l l l l l 5.0)5(1.01.053575.43435475.4313222=-⨯-=-=-=⨯-=⨯=-=选外层回路列KVL 方程 042012021=-+⨯+U i i l l从中解出 V U 25.276420)75.43(1)5(20=+-⨯+-⨯=3-13 用回路电流法求解题图(a),(b)两电路中每个元件的功率，并做功率平衡检验。

解(a)：选取(a)图中网孔为基本回路，回路电流方向如图中所标，列回路方程 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==++⨯-=ϕU i i i i i l l l l l 41102311533211 )3()2()1(式中ϕU 为受控电流源的控制量，需要用回路电流加以表示，所以增补一个方程 3324)(2l l l i i i U =+⨯=ϕ )4(从中解得 32l l i i =把方程)1(和)4(代入方程)2(中，有 10231522=++-l l i i即 A i i l l 552532=== 各元件的功率分别为V 10电压源发出的功率W i p l 505101021=⨯=⨯=A 15电流源发出功率[][]Wi i i i p l l l l 105010120315 )(1)(31521312=⨯+⨯⨯=-⨯++⨯⨯=受控电流源发出功率 [][]W i i U i i U p l l l l 400)2060(54203 )(34133313=+⨯=⨯+⨯⨯=++⨯⨯=ϕϕWi i i i i i p l l l l l l 1500203102101 )(3)(2)(12223132221=⨯+⨯+⨯=+⨯++⨯+-⨯=吸电路共发出功率 W p p p p1500400105050321=++=++=发满足 吸发p p=解(b)：解法一：取网孔为基本回路，电路电流如图(b)中所标。