命题逻辑与一阶逻辑的异同
离散数学第2章一阶逻辑
2.1 一 阶 逻 辑 基 本 概 念
综上，有如下结论： (1)谓词中个体词的顺序不能随意变更。 (2)一元谓词用以描述一个个体的某种特性， 而n元谓词则用以描述n个个体之间的关系。 (3)0元谓词就是一般命题。 (4)具体命题的谓词表示形式和n元谓词是不同的， 前者是有真值的，而后者不是命题，它的 真值是不确定的。 (5)一个n元谓词不是一个命题，但将n元谓词中的 个体变项都用个体域中某个具体的个体取代后， 就成为一个命题。而且，个体变项在不同的个体域 中取不同的值对是否成为命题及命题的真值有很大 的影响。
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2.2.1 一阶逻辑公式的语言翻译 2.1 一 阶 逻 辑 基 本 概 念
例2.2.1 用一阶逻辑符号化下述语句. (1)天下乌鸦一般黑。 (2)没有人登上过木星。 (3)在美国留学的学生未必都是亚洲人。 (4)每个实数都存在比它大的另外的实数。 (5)尽管有人很聪明，但未必一切人都聪明 (6)对任意给定的ε >0，必存在着δ >0，使 得对任意的x，只要|x-a|<δ ，就有 |f(x)-f(a)|<ε 成立。
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2.1 一 阶 逻 辑 基 本 概 念
解： (1)设F(x):x是乌鸦；G(x,y):x与y一般黑 (x)(y)(F(x)F(y)G(x,y)) 或者 (x)(y)(F(x)F(y)G(x,y)) (2)设H(x):x是人；M(x):x登上过木星。 (x)(H(x)M(x)) 或 (x)(H(x) M(x)) (3)设H(x)：是亚洲人；A(x):是在美国留学的学生。 (x)(A(x) H(x)); 或者： (x)(A(x) H(x)) (4)设R(x):x是实数；L(x,y):x小于y (x)(R(x) (y)(R(y) L(x,y))); (5)设M(x):x是人；C(x):x很聪明 (x)(M(x)C(x)) (x)((M(x) C(x)); (6)对任意给定的ε >0，必存在着δ >0，使得对任意的x，只 要|x-a|<δ ，就有|f(x)-f(a)|<ε 成立。 (ε )((ε >0)(δ )((δ >0) (x)(( |x-a|<δ (|f(x)-f(a)|<ε )))) 28
逻辑学中最重要的两个分支是命题逻辑和一阶逻辑
逻辑学中最重要的两个分支是命题逻辑和一阶逻辑命题逻辑和一阶逻辑：逻辑学的两大分支逻辑学是研究人类思维规律和推理方法的学科，它是哲学中的一门重要分支。
逻辑学主要包括命题逻辑、一阶逻辑、高阶逻辑、模态逻辑等多个分支，其中最为重要的是命题逻辑和一阶逻辑。
一、命题逻辑命题逻辑是逻辑学中最基本的分支，它主要研究命题之间的关系，以及如何从一个命题推导出另一个命题。
命题是任何陈述或声明，它可以是真的也可以是假的，用语句表示时要有明确的主语和谓语，如“天空是蓝色的”，“数学是一门有用的学科”。
命题逻辑的符号系统包括命题符号、逻辑联结符(如“非”，“与”，“或”，“蕴含”等)和括号符号。
在命题逻辑中，命题符号用来表示句子中的命题，逻辑联结符则用来描述命题之间的逻辑关系，括号符号用来限定联结符的优先级。
通过将逻辑符号组合起来，命题逻辑可以描述复合命题的真假和逻辑关系。
二、一阶逻辑与命题逻辑不同，一阶逻辑是一种更为复杂和严格的逻辑体系，它不仅研究命题之间的关系，还研究事物之间的关系。
一阶逻辑可以用来描述一个领域中的对象、关系、函数和谓词等概念，因此具有更强的表达和演绎能力。
一阶逻辑的符号系统包括个体变量、谓词变量、量词和逻辑联结符等，其中个体变量用来表示领域中的对象，谓词变量用来描述对象之间的关系，量词则描述变量的范围和数量，逻辑联结符则描述命题之间的逻辑关系。
三、命题逻辑与一阶逻辑的比较命题逻辑和一阶逻辑虽然都是逻辑学的重要分支，但是它们具有不同的特点和应用范围。
1. 定义和表达能力命题逻辑主要用来描述命题之间的逻辑关系，因此它的表达能力与语义能力是有限的。
而一阶逻辑则可以描述更为复杂的概念和事物之间的逻辑关系，因此表达能力更强。
2. 形式化程度命题逻辑是一种较为简单的逻辑体系，因此它可以通过符号化的方式来实现形式化处理。
一阶逻辑则相对复杂一些，需要更为严格的语法和语义体系。
3. 应用范围命题逻辑主要应用于数学、哲学、计算机科学等领域的推理和证明中，而一阶逻辑则更为广泛，涵盖人工智能、形式语言、计算机程序验证、数据库管理等多个领域。
一阶逻辑推理理论
在一阶逻辑的推理过程中，还要用到下面的四个推理规则： 1．全称量词消去规则(简记为UI规则或UI ) xA(x) A(y) xA(x) A(c) 两式成立的条件是： (1)在第一式中，取代 x 的 y 应为任意的不在A(x)中约束出 现的个体变项。 例如：xyF(x，y) yF(y，y)是错误的。应该用s、t等公 式中没有出现的字母代替 x 。(见P53的具体说明) (2)在第二式中，c为任意个体常项。 (3)用 y 或 c 去取代A(x)中的自由出现的x时，一定要在 x 自由出现的一切地方进行取代。 在使用UI规则时，用第一式还是第二式要根据具体情况而 定。
例2.17 不存在能表示成分数的无理数。有理数都能表示 成分数。因此，有理数都不是无理数。 F(x)：x为无理数。G(x)：x为有理数。 H(x)：x能表示成分数。 前提：x(F(x) ∧H(x))，x(G(x) H(x)) 结论：x(G(x) F(x)) 证明： ① x(F(x) ∧H(x)) 前提引入 ②x(F(x) ∨H(x)) ①置换 ③x(H(x) F(x)) ②置换 ④H(y) F(y) ③ UI规则 ⑤x(G(x) H(x)) 前提引人 ⑥G(y) H(y) ⑤ UI规则 ⑦G(y) F(y) ④ ⑥假言三段论 ⑧x(G(x) F(x)) ⑦ UG规则 正确推理
第5章一阶逻辑等值演算与推理
二、基本规则 ．置换规则 设Φ()是含公式的公式，Φ()是用公式取代
Φ()中所有的之后的公式，若 ，则Φ() Φ(). 一阶逻辑中的置换规则与命题逻辑中的置
换规则形式上完全相同，只是在这里，是一阶 逻辑公式。
．换名规则 设为公式，将中某量词辖域中某约束变项 的所有出现及相应的指导变元改成该量词辖域 中未曾出现过的某个体变项符号，公式的其余 部分不变，设所得公式为'，则' .
．存在量词引入规则(简称规则或)
该式成立的条件是： （）是特定的个体常项。 （）取代的不能在()中出现过。
．存在量词消去规则(简记为规则或)
该式成立的条件是： （）是使为真的特定的个体常项。 （）不在()中出现。 （）若()中除自由出现的外，还有其它自由
出现的个体变项，此规则不能使用。
三、一阶逻辑自然推理系统 定义 自然推理系统定义如下：
()→() (换名规则) 原公式中，，都是既约束出现又有自
由出现的个体变项，只有仅自由出现。而在 最后得到的公式中，，，，，中再无既是约 束出现又有自由出现个体变项了。还可以如 下演算，也可以达到要求。
()→() ()→() (代替规则) ()→() (代替规则)
(2)(()→()) (()→()) (代替规则)
本例说明，全称量词“”对“∨”无分配律。 同样的，存在量词“”对“∧”无分配律。但 当()换成没有出现的时，则有
(()∨) ()∨ () (()∧) ()∧ ()
例 设个体域为＝{}，将下面各公式的量词消
去： () (()→()) () (()∨()) () () 解 () (()→())
(()→())∧(()→())∧(()→()) () (()∨())
离散数学 第四章 一阶逻辑基本概念
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§4.1 一阶逻辑命题符号化
（3）没有人登上过木星。 令H(x):x登上过木星， M(x):x是人。命题符号化为 ┐x(M(x)∧H(x))。 命题真值为真。 （4）在美国留学的学生未必都是亚洲人。 令F(x):x是在美国留学的学生，G(x):x是亚洲人。符号化 ┐x(F(x)→G(x)) 命题真值为真。
个体词、谓词和量词，以期达到表达出个体与总体的内在 联系和数量关系。
4
§4.1 一阶逻辑命题符号化
一阶逻辑命题符号化的三个基本要素
个体词
谓词
量词
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个体词及相关概念
个体词：指所研究对象中可以独立存在的具体的 或抽象的客体。
举例
命题：电子计算机是科学技术的工具。 个体词：电子计算机。 命题：他是三好学生。 个体词：他。
个体域为全总个体域
令 M(x):x是人 , F(x):x呼吸 , G(x):x用左手写字
能否将”凡人都呼吸”符号化为 (∀x) (M(x)∧F(x) ) ？ 不可以。 (∀x) (M(x)∧F(x) )表示宇宙中的万物都是人并 且会呼吸 能否将”有的人用左手写字”符号化为 (x)( M(x)→G(x) ) ？ 不可以。(x)( M(x)→G(x) ) 表示在宇宙万物中存在某个 个体x,”如果x是人则x会用左手写字”
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个体词及相关概念
个体常项：表示具体或特定的客体的个体词，用小写字母 a, b, c,…表示。 个体变项：表示抽象或泛指的客体的个体词，用x, y, z,… 表示。 个体域（或称论域）：指个体变项的取值范围。 可以是有穷集合，如{a, b, c}, {1, 2}。 可以是无穷集合，如N，Z，R，…。 全总个体域（universe）——宇宙间一切事物组成 。
第四章一阶逻辑的基本概念
(2) 令F(x)：x是无理数，G(y)：y是有理数，L(x,y)：x>y x(F(x)y(G(y)L(x,y) ) )
或者 xy(F(x)G(y)L(x,y))
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实例4
例4 在一阶逻辑中将下面命题符号化 (1) 没有不呼吸的人 (2) 不是所有的人都喜欢吃糖 解 (1) M(x): x是人, G(x): x呼吸
合式公式 (4) 若A是合式公式，则xA, xA也是合式公式 (5) 只有有限次地应用(1)—(4)形成的符号串才是合式公式. 合式公式简称公式
如, F(x), F(x)G(x,y), x(F(x)G(x)) xy(F(x)G(y)L(x,y))等都是合式公式
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量词的辖域
定义4.5 在公式 xA 和 xA 中，称x为指导变元，A为相应 量词的辖域. 在x和 x的辖域中，x的所有出现都称为约束 出现，A中不是约束出现的其他变项均称为是自由出现的.
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（3）存在唯一量词!，用来表达“恰有一个”、“存在唯一”等词语。
“(!x)R(x)”表示命题：“在个体域中恰好有一个个体使谓词R(x)为
真”。（了解）
全称量词、存在量词统称量词。量词是由逻辑学家Fray引入的，有了量 词之后，用逻辑符号表示命题的能力大大增强。
实例1
例1 用0元谓词将命题符号化 (1) 墨西哥位于南美洲
(2) 2 是无理数仅当 3 是有理数
(3) 如果2>3，则3<4
解：在命题逻辑中： (1) p, p为墨西哥位于南美洲（真命题）
(2) p→q, 其中, p：2 是无理数, q： 3 是有理数. 是假命题
(3) pq, 其中, p：2>3, q：3<4. 是真命题
04一阶逻辑基本概念讲解
(2) 在个体域中除了人外，再无别的东西，因而“有的人用 左手写字”符号化为
xG(x)
(b)个体域为全总个体域。 即除人外，还有万物，所以必须考虑将人先分离出来。
令F(x):x呼吸。
G(x):x用左手写字。
M(x):x是人。
(1) “凡人都呼吸”应符号化为 x(M(x)→F(x)) (2) “有的人用左手写字”符号化为 x(M(x)∧G(x)) 在使用全总个体域时，要将人从其他事物中区别出来，为此 结 引进了谓词M(x)，称为特性谓词。 论 同一命题在不同的个体域中符号化的形式可能不同。 思考：在全总个体域中，能否将(1)符号化为 x(M(x)∧F(x))？ 能否将(2)符号化为x(M(x)→G(x))？
一阶语言中的原子公式
定义4.3 设R(x1 ,x2 ,… ,xn)是一阶语言F的任意n元谓词，
t1 ,t2 ,… ,tn是一阶语言F的任意的n个项，则称
R(t1 ,t2 ,… ,tn)是一阶语言F的原子公式。 例如：1元谓词F(x)，G(x)，2元谓词H(x,y)，L(x,y)等都 是原子公式。
一阶语言F的合式公式
4.2一阶逻辑公式及解释
同在命题逻辑中一样，为在一阶逻辑中进行演算和推理， 必须给出一阶逻辑中公式的抽象定义，以及它们的分类及 解释。 一阶语言是用于一阶逻辑的形式语言，而一阶逻辑就是建 立在一阶语言基础上的逻辑体系，一阶语言本身不具备任 何意义，但可以根据需要被解释成具有某种含义。 一阶语言的形式是多种多样的，本书给出的一阶语言是便 于将自然语言中的命题符号化的一阶语言，记为F。
命题(2)的符号化形式为
xG(x))
（假命题）
(b)在D2内，(1)和(2)的符号化形式同(a)，皆为真命题。
命题逻辑与一阶逻辑之间的区别和联系
命题逻辑与一阶逻辑之间的区别和联系
命题逻辑与一阶逻辑之间的区别和联系
命题逻辑和一阶逻辑是逻辑学中的两个重要学科，它们之间有着密切的联系，也有着明显的区别。
命题逻辑是以事实判断为基础，研究可以用事实表述的大类断言的逻辑规律及其证明规则。
它是用来判断一个命题是否为真还是假的。
命题逻辑主要关注的是逻辑性的语句及其证明，因此它所涉及的是命题的真假性。
一阶逻辑是一种研究逻辑性断言的规则系统，它主要关注的是语句的真假性，还有函数、定义和变量的概念，以及这些因素之间的关系。
一阶逻辑是对命题逻辑的推广，除了包括命题逻辑的内容外，还要考虑到语言中函数、量词和变量的概念。
一阶逻辑是研究变量的逻辑演绎判断的，它的推理不仅仅是针对常量，还可以针对变量进行判断。
命题逻辑和一阶逻辑之间有着密切的联系，他们都是研究变量的逻辑演绎判断，而且一阶逻辑也包括了命题逻辑的内容。
但是它们之间还有明显的区别，命题逻辑主要关注的是逻辑性的断言及其证明，它只考虑语句的真假性，而一阶逻辑比命题逻辑复杂，它考虑到语句的真假性、函数、定义和变量的概念，以及这些因素之间的关系。
- 1 -。
浅析逻辑代数、命题逻辑、一阶逻辑、高阶逻辑和数理逻辑
浅析逻辑代数、命题逻辑、⼀阶逻辑、⾼阶逻辑和数理逻辑1. 从逻辑代数开始逻辑代数是⼀种⽤于描述客观事物逻辑关系的数学⽅法，由英国科学家乔治·布尔 (George·Boole) 于 19 世纪中叶提出，因⽽⼜称布尔代数。
所谓逻辑代数，就是把逻辑推理过程代数化，即把逻辑推理过程符号化。
2. 从逻辑代数到命题逻辑同样的，命题逻辑是将那些具有真假意义的陈述句接着进⾏符号化，产⽣原⼦命题。
与此同时，当我们把逻辑代数中的运算符：与( · )、或( + )、⾮( - )，替换成命题逻辑中的联结词集：合取( ∧ )、析取( ∨ )、⾮( ¬ )、蕴涵( → ) 和等价( ↔ ) 之后，我们就进⼊了命题逻辑的研究领域。
需要指出的是，通常也将命题逻辑称作命题演算，后者的出现就是⽤来讨论前者的，这⾥不再区分。
它与下⾯出现的⼀阶逻辑（谓词逻辑）都是数理逻辑的⼦集（或称之为分⽀），是数理逻辑的两个最基本的也是最重要的组成部分。
有⼈可能会问，为什么不从数理逻辑开始，其实意义不⼤。
要谈数理逻辑，不可避免的下⼀个主题就是逻辑代数。
为什么这样说呢？因为数理逻辑⼀开始的诞⽣是没有意义的，它的创始⼈正是我们熟知的莱布尼茨（没错，就是⾼数中的那个⽜顿-莱布尼茨公式）。
莱布尼茨⼀开始是想要建⽴⼀套普遍的符号语⾔，从⽽将⼀些由⾃然语⾔的推理转换成⽤符号演算。
但可惜他的⼯作只是开了个头，⽽且没有太多的发表，因此影响不⼤。
⽽真正使数理逻辑这门学科迅速扩张的是开头所说的英国科学家——乔治·布尔，⽽他所做的正是将逻辑代数化。
2.1 数理逻辑与数学和逻辑学数理逻辑⼜称符号逻辑、理论逻辑，是⼀门⽤数学⽅法研究逻辑或形式逻辑的学科，这是百度词条给出的解释。
还有⼀句话⾮常拗⼝：它既是数学的⼀个分⽀，也是逻辑学的⼀个分⽀。
其研究对象是对证明和计算这两个直观概念进⾏符号化以后的形式系统。
简单来讲，数理逻辑研究的并不是数学领域，⽽是计算机科学等领域。
第四章一阶逻辑的基本概念详解
谓词常项 谓词变项
如, S： … 是大学生, 如, F： … 具有性质F
S(a)
F(x)
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在谓词中包含的个体变元数目称为谓词的元数。与一个个 体变元相联系的谓词叫一元谓词，与多个个体变元相联系 的谓词叫多元谓词。
n(n1)元谓词 一元谓词(n=1)——表示性质 多元谓词(n2)——表示事物之间的关系 如：S(x)是一元谓词 L(x,y)：x与 y 有关系 L是二元谓词
xy(F(x)G(y)L(x,y))
(2) 令F(x)：x是无理数，G(y)：y是有理数，L(x,y)：x>y x(F(x)y(G(y)L(x,y) ) )
或者 xy(F(x)G(y)L(x,y))
0元谓词——不含个体变项的谓词
特别的，若F,G,S,L为谓词常项，则方为命题
量词
量词——表示数量的词 (1)全称量词: 表示所有的,任意的，每一个等 x : 对个体域中所有的x 如, xF(x)表示个体域中所有的x具有性质F xyG(x,y)表示个体域中所有的x和y有关系G (2)存在量词: 表示存在, 有一个 x : 个体域中有一个x 如, xF(x)表示个体域中有一个x具有性质F xyG(x,y)表示个体域中存在x和y有关系G xyG(x,y)表示对个体域中每一个x都存在一个y使得 x和y有关系G xyG(x,y)表示个体域中存在一个x使得对每一个y, x和y有关系G
(3) 如果2>3，则3<4
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实例2
例 2 在一阶逻辑中将下面命题符号化 (1) 人都爱美 (2) 有人用左手写字 个体域分别为 (a) D为人类集合 (b) D为全总个体域 解 (a) (1) xG(x), G(x)：x爱美
(2) xH(x), H(x)：x用左手写字 (b) M(x)：x为人
命题逻辑紧致性定理的拓扑证明与一阶逻辑紧致性定理在拓扑空间中
还有
〔· 〕 :
〔q 〕 =
二
二
{ p o s { p e s {
〔
.
p e s
!p ,
}二 {
且
r·
,
p 卜q
}
p 卜:
p 卜q
}
( 1 )
,
}p卜
L
q
}
使得A
二
=
r八
q〕 e B
根 据 〔4
L
,
p 6。 定 理 5
。
4〕集 簇 T
,
二
{
}
A } 存在 B ·二 B ·
,
。
: : · 队:
r
r
〕
,
p
`
,
Z
05
,
定义 p
。
,
=
p
为p 与 p 有相
!
Z
· · 令 B一 〔 〕 , 是 L 的语 句
`
{
}
二
。:
=
〔r · 门 · 〕
S
=
,
一
〔二 门 · 〕
r
, 显 然” 一 曰 `
L =
s
。
于 是 B L 是 s 的 子 集簇 且 必
=
o Le B
S
卜r
z: e BL
pe s
U
[ 〕。 ` [
]
。
扑 的定 义 F 是 开 的 因为 Z
一
F
一 {V o
一
Z
} 丽 (
。
r
)
二
”
,
}
r l
巩
·
)
第四章 一阶逻辑基本概念
(4) 个体变项符号：x, y, z, …, xi, yi, zi, …, i 1 (5) 量词符号：, (6) 联结词符号：, , , , (7) 括号与逗号：(, ), ，
2019/10/17
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一阶语言L 的项与原子公式
定义4.2 L 的项的定义如下：
(1) 个体常项和个体变项是项.
(2) 令F(x)：x是无理数，G(y)：y是有理数，L(x,y)：x>y
x(F(x)y(G(y)L(x,y))) 或者 xy(F(x)G(y)L(x,y))
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实例4
例4 在一阶逻辑中将下面命题符号化 (1) 没有不呼吸的人 (2) 不是所有的人都喜欢吃糖 解 (1) F(x): x是人, G(x): x呼吸
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实例3
例3 在一阶逻辑中将下面命题符号化 (1) 正数都大于负数 (2) 有的无理数大于有的有理数
解 (注意：题目中没给个体域，一律用全总个体域) (1) 令F(x)：x为正数，G(y)：y为负数, L(x,y)：x>y
x(F(x)y(G(y)L(x,y))) 或者 xy(F(x)G(y)L(x,y))
(d) F ( x, y) : x y 写出下列公式在I下的解释, 并指出它的真值.
(1) xF(f(x,a),g(x,a))
x(x+0=x0)
真
(2) xy(F(f(x,y),g(x,y))F(x,y)) xy(x+y=xyx=y) 假
(3) xF(g(x,y),a)
如：3
(3) 如果2>3，则3<4
解：在命题逻辑中： (1) p, p为墨西哥位于南美洲（真命题）
(2) p→q, 其中, p： 2是无理数，q： 3 是有理数. 是假命题
一阶逻辑
现在假设个体域D是全总个体域 这时，xF（x）和xG（x）不能表达原命题 的意义，因为 1. 所有的人要死的。 2. 有的人活百岁以上。 变成了 1. 所有的个体要死的。 变严格 2. 有的个体活百岁以上。 变松垮
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个体域D是全总个体域时,命题应转述为 1. 所有的人要死的。 2. 有的人活百岁以上。 1. 对所有个体而言,如果它是人,则它是要死 的。 2. 存在着个体,它是人并且活百岁以上。
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有时将不带个体变项的谓词称为0元谓词
L（a，b），L（c，d）是0元谓词
一旦一个0元谓词中的谓词的意义明确之 后，该0元谓词就是命题 命题逻辑中的简单命题都可以用0元谓词 表示，因而
可将命题看成谓词的特殊情况 命题逻辑中的联结词在一阶逻辑中均可应用 一阶逻辑是命题逻辑的拓展
以后常称这种个体变项和谓词的联合体为
谓词
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例如： 若 F（x）表示“x是无理数”， L（x，y）表示“x比y高2厘米”， a表示√2，b表示小李，c表示小赵 则 F（a） 表示“√2是无理数”， L（b，c） 表示“小李比小赵高2厘米”。
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谓词的元
一个谓词中所包含的个体词的数目称为该 谓词的元数 含有n（n ≧1）个个体词的谓词成为n元谓 词 一元谓词通常表示个体词的性质， n（n ≧2）元谓词通常表示个体词之间 的关系 用P（x1，x2，…，xn）表示泛指的n元谓词， 是以个体变项x1，x2，…，xn的个体域为定 义域，以{0，1}为值域的n元函数 在这里，n个个体变项的顺序不能随意改动
需要引进新的谓词 M（x）：x是人。 这样的表示了个体词取值范围的谓词称为 特性谓词 28
离散数学第四章一阶逻辑基本概念
在命题逻辑中，命题是最基本的单位，对简单命题不再进行分解，并且不考虑命题之间的内在联系和数量关系。
因而命题逻辑具有局限性，甚至无法判断一些简单而常见的推理。
考虑下面的推理:凡偶数都能被2整除；6是偶数。
所以，6能被2整除。
这个推理是我们公认的数学推理中的真命题，但是在命题逻辑中却无法判断它的正确性。
因为在命题逻辑中只能将推理中出现的三个简单命题依次符号化为p，q，r，将推理的形式结构符号化为(p∧q)→r由于上式不是重言式，所以不能由它判断推理的正确性。
为了克服命题逻辑的局限性，就应该将简单命题再细分，分析出个体词，谓词和量词，以期达到表达出个体与总体的内在联系和数量关系，这就是一阶逻辑所研究的内容。
一阶逻辑也称一阶谓词逻辑或谓词逻辑。
4.1 一阶逻辑的符号化下面直接仿照1.1来对谓词逻辑进行符号化。
个体词，谓词和量词是一阶逻辑命题符号化的三个基本要素。
下面讨论这三个要素。
一、个体词个体词是指所研究对象中可以独立存在的具体的或抽象的客体。
例如，小王，小李，中国，，3等都可以作为个体词。
将表示具体或特定的客体的个体词称作个体常项，一般用小写英文字母a，b，c…表示；而将表示抽象或泛指的个体词称为个体变项，常用x，y，z…表示。
称个体变项的取值范围为个体域(或称论域)。
个体域可以是有穷集合，例如，{1，2，3}，{a，b，c，d}，{a，b，c，…，x，y，z}，…；也可以是无穷集合，例如，自然数集合N={0，1，2，…}，实数集合R={x|x是实数}…。
有一个特殊的个体域，它是由宇宙间一切事物组成的，称它为全总个体域。
本书在论述或推理中如没有指明所采用的个体域，都是使用全总个体域。
二、谓词谓词是用来刻画个体词性质及个体词之间相互关系的词。
考虑下面四个命题(或命题公式):(1)是无理数。
(2)x是有理数。
(3)小王与小李同岁。
(4)x与y具有关系L.在(1)中，是个体常项，“…是无理数”是谓词，记为F，并用F()表示(1)中命题。
数学逻辑中的一阶逻辑和二阶逻辑
在数学领域中，逻辑是一门非常重要的学科。
它涉及到推理、论证以及证明等方面，是数学推理的基础。
在逻辑中，一阶逻辑和二阶逻辑是两个重要的分支，它们有着不同的特点和应用。
首先，让我们先来了解一下一阶逻辑。
一阶逻辑，也称为谓词逻辑，是一种基本的数学逻辑系统，它主要研究命题中的个体对象及其关系。
一阶逻辑的基本元素包括个体变量、谓词、量词等。
其中，个体变量表示论域中的个体对象，谓词表示对个体进行的性质或关系的描述，量词则表示对个体变量进行全称或存在的量化。
例如，存在一个个体变量x，谓词P(x)表示个体x具有某个性质P，量词∀x表示对所有个体x都具有该性质，量词∃x表示存在一个个体x具有该性质。
通过使用个体变量、谓词和量词，我们可以表示复杂的陈述和命题，并进行推理和论证。
一阶逻辑是描述数学结构和建立数学理论的基础，它能够表达和推理关于个体对象的性质和关系。
而与一阶逻辑相对应的是二阶逻辑。
二阶逻辑是一种更为强大和复杂的逻辑系统，它与一阶逻辑相比，语义表达能力更强，可以描述更复杂的数学结构和命题。
在二阶逻辑中，除了个体的性质和关系外，还可以引入表示集合的变量和谓词，以及集合的操作和关系。
二阶逻辑可以处理一阶逻辑中无法表达的陈述和命题，例如，对于实数集合，我们可以引入一个集合变量X和谓词P(x)表示X是一个有界集合，然后使用量词∃X来表达存在一个有界集合。
与此同时，我们还可以使用集合的运算和关系来描述集合之间的包含、相等、并集和交集等关系。
通过引入集合的概念，二阶逻辑能够更好地描述和分析数学中的集合论、拓扑学以及其他领域的问题。
总结起来，一阶逻辑和二阶逻辑都是数学逻辑中非常重要的分支。
一阶逻辑主要研究命题中的个体及其关系，适用于描述和论证个体对象的性质和关系。
而二阶逻辑则具有更强的语义表达能力，可以处理一阶逻辑中无法表达的陈述和命题，适用于描述和分析更复杂的数学结构和问题。
无论是一阶逻辑还是二阶逻辑，在数学领域中都扮演着重要的角色。
离散数学 第三章 一阶逻辑
在引入特性谓词后， 5. 在引入特性谓词后，使用全称量词与存 在量词符号化的形式是不同的。 在量词符号化的形式是不同的。
例将命题符号化:(1) 每个自然数都是实数. (2) 有的自然数是实数. 解(1) ∀x(N(x) →R(x)) 其中特性谓词N(x)：x是自然数 ; R(x)：x是实数 (2) ∃x(N(x) ∧R(x)) 其中特性谓词N(x)：x是自然数 ; R(x)：x是实数
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例1(续) 续
2 (2) 2 是无理数仅当 3 是有理数 2 是无理数 3 在一阶逻辑中, 是无理数, 在一阶逻辑中 设F(x): x是无理数 G(x): x是有理 是有理 数 F ( 2 ) → G( 3 )
F ( 2 ) → G( 3 ) (3) 如果2>3，则3<4 如果 ，
符号化为
在一阶逻辑中, 在一阶逻辑中 设 F(x,y)：x>y，G(x,y)：x<y, ： ， ： 符号化为 F(2,3)→G(3,4) →
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在不同的个体域中, 4. 在不同的个体域中,命题符号化的形式可能不一样 将命题符号化: 凡有理数均可表成分数, 例：将命题符号化: 凡有理数均可表成分数, 个体域是有理数集合. (1) 个体域是有理数集合. (2) 个体域是实数集合 解(1)∀xA(x) 其中A(x)：x可表成分数
(2)∀x( R(x)→A(x) ) 其中 R(x)：x是有理数， A(x)：x可表成分数
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一阶逻辑中命题符号化( 一阶逻辑中命题符号化(续)
例3 在一阶逻辑中将下面命题符号化 (1) 兔子比乌龟跑得快 (2) 有的兔子比所有的乌龟跑得快 （3）并不是所有的兔子都比乌龟跑得快 ） （4）不存在跑得同样快的两只兔子 ）
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一阶逻辑基本概念讲解
一阶逻辑在处理多主体系统时可能存在挑战，需要借助其他逻辑系 统如交互逻辑或认知逻辑等来扩展其表达能力。
一阶逻辑的未来发展方向与趋势
扩展表达能力
为了克服一阶逻辑的局限性，未来的研究可以探索扩展其表达能力和推理规则，例如通过引入新的量词或扩展模态、 时态等逻辑系统。
融合其他逻辑系统
为了更好地处理复杂问题，未来的研究可以探索一阶逻辑与其他逻辑系统的融合，例如将一阶逻辑与模态、时态、认 知等逻辑系统相结合。
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CATALOGUE
一阶逻辑的基本概念
命题与量词
命题
表示一个陈述句，具有真假性，是逻 辑推理的基本单位。
量词
表示数量的符号，如“所有”、“存 在”等，用于限定命题的范围。
逻辑联结词
逻辑联结词
表示命题之间关系的符号，如“并且”、“或者”、“如果...那么...”等。
否定词
表示否定关系的符号，用于改变命题的真假性。
推理过程
通过否定某个命题，根据逻辑规则或推理规则，推导出结论。
归结推理
归结推理
将复杂命题逐步简化为简单命题，然后 通过简单命题的推理得出结论的推理方
法。
结论
根据前提条件推导出的结果或结论。
前提条件
已知的前提或命题。
推理过程
将复杂命题逐步简化为简单命题，然 后通过简单命题的直接推理或间接推 理，得出结论。
一阶逻辑的重要性
逻辑基础
一阶逻辑是形式化逻辑的基础， 为数学、计算机科学和哲学等领 域提供了逻辑推理的框架。
精确表达
一阶逻辑能够精确地表达命题之 间的逻辑关系，有助于避免歧义 和误解。
推理工具
一阶逻辑是进行逻辑推理和数学 证明的重要工具，有助于发现和 证明新的数学定理。
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命题逻辑与一阶逻辑的异同
一、命题逻辑与一阶逻辑的异同
1、定义
命题逻辑是一切形式逻辑最具有重要性的一种，它是研究并证明形而上世界和经验世界等客观事物之间的有效关系的一类抽象数理系统。
一阶逻辑是以符号语言作为基础，主要研究建立定量的、确定的、可计算的逻辑系统和知识表示语言的一种逻辑学方法。
2、目的
命题逻辑的目的是证明一系列客观事物之间的有效关系，而一阶逻辑的目的是建立可计算的逻辑系统和知识表示语言。
3、应用
命题逻辑主要用于科学中的证明，比如经济学，会计学，金融学等；一阶逻辑主要用于计算机科学中的程序设计，人工智能，数据库等。
4、证明方法
命题逻辑使用演绎证明法来证明，而一阶逻辑则使用自然语言或者形式化程序设计来证明。
5、特点
命题逻辑特别关注两类事实的内在联系与关系，把客观事实转化为语义事实，它以自然语言的表达方式完成比较重要的推理；一阶逻辑则能够提供定量的计算技巧，把物理性知识转换成信息性知识，从而实现人工智能的目的。