反函数

反函数[重点难点]概念的把握,求反函数一、定义高中数学对函数的研究是以映射的观点来进行的，回顾前面研究映射时我们定义了一个特殊映射.一一映射.若将某映射f:的对应关系调转，只有一一映射能够保证调转后的对应仍是映射，称这一映射f-1:为原映射的逆映射.若将前述一一映射限制在数集到数集上，就可以得到我们这里研究的反函数.定义:如果确定函数y=f(x)，x∈A的映射f:A→B(f:y=f(x), x∈A)是从A到B上的一一映射，则它的逆映射f-1:B→A(f-1:y→x=f-1(y), y∈B).所确定的函数y=f-1(x), x∈B称为y=f(x),x∈A的反函数.二、说明及性质1．由定义和f(x)存在反函数的充要条件是它的映射为一一映射.如f(x)=x2(x∈R)无反函数（非一一），g(x)=x2+1(x≤0)有反函数，因为它是到[1，+∞）上的一一映射.2．f(x),x∈A和f-1(x), x∈B互为反函数.3．原函数的定义域是其反函数的值域，原函数的值域是其反函数的定义域.4．单调函数具有反函数，因为单调一一映射有反函数.可见函数在区间上具单调性是它有反函数的充分不必要条件.如函数y=(x≠0), 其反函数与自身相同，但它在(-∞,0)∪(0,+∞)上不具单调性.5．若b=f(a), 则a=f-1(b),即(a, b)在函数图象上，则(b, a)在其反函数图像上；反之也对.利用这一点可以把反函数上点的问题转化为研究函数上的点的问题.6．x∈A, f-1[f(x)]=x; x∈B, f[f-1(x)]=x.7．原函数与反函数图象关于y=x对称.8．单调函数的反函数与原函数具有相同的单调性.奇函数如果有反函数，则其反函数也是奇函数.需要认识到，奇函数不一定有反函数.如：y=x3-x, 当y=0时x=0, ±1,这不是一一映射，因此不具有反函数.但偶函数是不是一定没有反函数？如y=f(x)，x∈{0}, y∈{0},其图象就是原点.它是偶函数，也具有反函数（即自身）.三、求反函数的一般步骤1．求D,因为原函数的值域R是反函数的定义域，这定义域在结论中是必须指出的.2．在原函数的解析式中反求x，写成x=g(y).3．x, y互换，即将反函数写成y=g(x)因为习惯上通常将x作为自变量.4．下结论（注意给出反函数定义域）四、例题.例1．已知f(x)=(0≤x≤4), 求f(x)的反函数.分析：这里要先求f(x)的范围（值域）.解：∵0≤x≤4,∴0≤x2≤16, 9≤25-x2≤25,∴3≤y≤5,∵y=, y2=25-x2,∴x2=25-y2.∵0≤x≤4,∴x=(3≤y≤5)将x, y互换，∴f(x)的反函数f-1(x)=(3≤x≤5).例2．已知.f(x+1)=x2-3x+2, x∈(-∞,),求.f-1(x).分析：本题是求函数解析式与求反函数两类问题的稼接，因此可套用相应方法分别处理. 解：(1)求f(x)解析式（用换元法）令t=x+1, ∴t<, x=t-1,∴f(t)=(t-1)2-3(t-1)+2=t2-5t+6, t∈(-∞,).即y=f(x)=x2-5x+6, x∈(-∞,).这是f(x)的单调区间，存在反函数.(2)求反函数易知y∈(-,+∞).y=(x-)2-, (x-)2=y+,∵x<, x-<0,∴x-=-(y>-).∴x=-(y>-).∴f-1(x)=-(x>-).例3．已知f(x)=，求f-1(x).分析：求分数函数的反函数问题，应逐段求其反函数，再合并.解：当x≥0时，y=x+1≥1,∴y∈[1,+∞),∴f-1(x)=x-1 (x≥1)当x<0时，y=1-x2<1,∴y∈(-∞,1).反解x2=1-y, x=-(y<1)∴f-1(x)=-(x<1)∴综上f-1(x)=.例4．已知f(x)=(x≥3), 求f-1(5).分析：这里应充分理解和运用反函数的自变量就是原函数的函数值，所求的反函数的函数值就是原函数的自变量这一事实，转化成方程问题.解：设f-1(5)=x0, 则f(x0)=5,即=5 (x0≥3)∴x02+1=5x0-5, x02-5x0+6=0.解得：x0=3或x0=2(舍）∴f-1(5)=3.例5．设点（4，1）既在f(x)=ax2+b (a<0,x>0)的图象上，又在它的反函数图象上，求f(x)解析式.分析：由前面总结的性质我们知道.点（4，1）在反函数的图象上，则点（1，4）必在原函数的图象上.这样就有了两个用来确定a,b的点，也就有了两个求解a,b的方程.解：解得.a=-, b=,∴f(x)=-x+.另这个题告诉我们.函数的图象若与其反函数的图象相交，交点不一定都在直线y=x上.这一点好些同学弄不清楚.例6．已知f(x)=的反函数为f-1(x)=,求a,b,c的值.分析：注意二者互为反函数，也就是说已知函数f-1(x)=的反函数就是含字母的反函数f(x).解：求f-1(x)=的反函数，令f-1(x)=y有yx-3y=2x+5.∴(y-2)x=3y+5∴x=(y≠2),f-1(x)的反函数为y=.即=，∴a=3, b=5, c=-2.参考题目：求f(x)=-2x2-4x+1 (x≤-1)的反函数.（答案.f-1(x)=-1-(x≤3)）求f(x)=x(x<0)的反函数.（答案.f-1(x)=-x(x>0)）.在线测试选择题1．已知函数y=(x∈R且x≠1) ，那么它的反函数为（）A、y=(x∈R且x≠1)B、y=(x∈R且x≠6)C、y=(x∈R且x≠-)D、y=(x∈R且x≠-5) 2．若f(x-1)=x2-2x+3(x≤0)则f-1(x)为（）A、(x≥2)B、1-(x≥2)C、-(x≥3)D、(x≥3)3．欲使y=x2+4x(x≥a)有反函数，则a的最小值为（）A、-2B、2C、0D、44．f(x)=(x<-1)的反函数是（）A、f-1(x)=-B、f-1(x)=-,(x>0)C、f-1(x)=,(x<0)D、f-1(x)=,(x>0) 5．f(x+1)=则f-1(x+1)的解析式是（）A、B、-C、-D、答案与解析答案：1、B 2、C 3、A 4、C 5、B解析：1．解答：由y=x=y=, x≠6．选B．2．解答：由f(x-1)=x2-2x+3,x≤0 f(x)=(x+1)2-2(x+1)+3=x2+2,x≤-1 y≥3,又由y=x2+2,x≤-1 x=-y=-, x≥3.选C．3．解答：由y=x2+4x=(x+2)2-4, x≥a有反函数，则a≥-2，因此选A．4．解答：由y=x2=1-,∵ x<-1, ∴x2>1 1->1且x=-y<0, f-1(x)=, x<0，选C．5．解答：由f(x+1)=f(x)=x=f-1(x)=f-1(x+1)==-．选B．反函数1.反函数的定义设函数y=f(x)的定义域是A，值域是C．我们从式子y=f(x)中解出x得到式子x=φ(y)．如果对于y在C中的任何一个值，通过式子x=φ(y)，x在A中都有唯一的值和它对应，那么式子x=φ(y)叫函数y=f(x)的反函数，记作x=f-1(y)，习惯表示为y=f-1(x)．注意：函数y=f(x)的定义域和值域，分别是反函数y=f-1(x)的值域和定义域，例如：f(x)=的定义域是[-1，+∞]，值域是[0，+∞），它的反函数f-1(x)=x2-1, x≥0，定义域为[0，+∞），值域是[-1，+∞)。

2．反函数存在的条件按照函数定义，y=f(x)定义域中的每一个元素x，都唯一地对应着值域中的元素y，如果值域中的每一个元素y 也有定义域中的唯一的一个元素x和它相对应，即定义域中的元素x和值域中的元素y，通过对应法则y=f(x)存在着一一对应关系，那么函数y=f(x)存在反函数，否则不存在反函数．例如：函数y=x2,x∈R，定义域中的元素±1，都对应着值域中的同一个元素1，所以，没有反函数．而y=x2, x≥1表示定义域到值域的一一对应，因而存在反函数．3．函数与反函数图象间的关系函数y=f(x)和它的反函数y=f-1(x)的图象关于y=x对称．若点(a,b)在y=f(x)的图象上，那么点(b,a)在它的反函数y=f-1(x)的图象上．4．反函数的几个简单命题（1）一个奇函数y=f(x)如果存在反函数，那么它的反函数y=f-1(x)一定是奇函数．（2）一个函数在某一区间是（减）函数，并且存在反函数，那么它的反函数在相应区间也是增（减）函数．典型题目题目一：（1999年全国高考试题）已知映射f:A→B，其中，集合A={-3,-2,-1,1,2,3,4}，集合B中的元素都是A 中元素在映射f下的象，且对任意的a∈A，在B中和它对应的元素是{a}，则集合B中元素的个数是（）.A、4B、5C、6D、7分析：根据映射的基本概念：“映射允许集合A中的不同元素在集合B中有相同的象.”来解题.解：已知映射f: A→B，在集合A={-3,-2,-1,1,2,3,4}中共有7个元素，其中两个不同元素-3, 3对应B中相同的象|±3|=3，-2，2对应B中相同的象|±2|=2，-1，1对应B中相同的象|±1|=1，4对应B中的象|4|=4.故本题应选择（A）.评述：（1）映射是两个集合A与B之间的一种特殊反应，它的特点是对于集合A中任一元素，集合B中都有唯一元素和它对应；集合A中不同的元素在B中可以有不同的象，也可以有相同的象；集合B中的元素可以有原象，也可以没有原象.（2）映射具有方向性，即从A到B的映射与从B到A的映射一般是不同的映射.题目二:函数y=f(x+1)与函数y=f-1(x+1)的图象（） .A、关于直线y=x对称B、关于直线y=x+1对称C、关于直线y=x-1对称D、关于直线y=-x对称解答：y=f(x+1)与y=f-1(x+1)图象是分别将y=f(x), y=f-1(x)的图象向左平移一个单位所得，∵y=f(x)与y=f-1(x)的图象关于直线y=x对称，y=x向左平移一个单位而得y=x+1. 故选B.题目三:定义在R上的函数y=f(x)有反函数，则函数y=f(x+a)+b的图象与y=f-1(x+a)+b的图象间的关系是（）.A、关于直线y=x+a+b对称B、关于直线x=y+a+b对称C、关于直线y=x+a-b对称D、关于直线x=y+a-b对称解答:将y=x向左平移a个单位，向上平移b个单位得y=x+a+b，故选A.题目四：求下列函数的反函数：(1)y=x2+2x-2, x∈[-3,-2];(2)y=.解：（1）∵y=(x+1)2-3, x∈[-3,-2],∴-2≤y≤1且(x+1)2=y+3.∴x+1=-, y=-1-,∴所求反函数y=-1--2≤x≤1.(2)若x≤0，则y=x2≥0, x=-.若x>0, 则y=-x-1<-1, x=-y-1.∴所求反函数y=.评注：求函数y=f(x)的反函数的一般步骤是（1）确定原函数的值域，也就是反函数的定义域．（2）由y=f(x)的解析式求出x=f-1(y).（3）将x、y交换位置得y=f-1(x)．（4）求分段函数的反函数，应分别求出各段的反函数，它们联合在一起构成原函数的反函数．题目五：已知点（1，2）既在y=的图象上，又在它反函数的图象上，求a,b．解：∵点（1，2）在y=上，∴2= (1)∵点（1，2）在y=的反函数的图象上，∴点（2，1）在y=上，∴1=...........(2)由(1),(2)得a=-3, b=7．评议：本题目巧妙的运用了：若点(a,b)在y=f(x)的图象上，那么点(b,a)在它的反函数y=f-1(x)的图象上．题目六：若函数f(x)的图象过（0，1）点，则f-1(x+4)的图象必过点___________．分析：∵f(x)的图象过（0，1）点，∴f-1(x)的图象过（1，0）点，而f-1(x+4)的图象是把y=f-1(x)的图象向左平移4个单位而得到的，故f-1(x+4)的图象过(-3,0)点．题目七：设y=f(x)=, y=g(x)的图象与y=f-1(x+1)的图象关于y=x对称，求g(3)的值．解：由y=f-1(x+1), f(y)=x+1.∴x=f(y)-1, y=f(x)-1是y=f-1(x+1)的反函数，即它们关于y=x对称．所以g(x)=f(x)-1,∴g(3)=f(3)-1=-1=．分析：还可以先求出f-1(x)，然后求f-1(x+4)，然后求出f-1(x+4)的反函数就是y=g(x)的表达式子.评注：灵活应用反函数的定义，显得轻盈活泼．题目八：设y=f(x)是单调函数，求证：f(x)的反函数y=f-1(x)是单调函数，且其增减性与f(x)增减性一致．证明：以y=f(x)为增函数时情况加以证明，用反证法．设x1<x2, y1=f-1(x1), y2=f-1(x2), 证明y1<y2.反之若y1≥y2, 由于f(x)是增函数，∴f(y1)≥f(y2), 而f(y1)=x1, f(y2)=x2,∴x1≥x2与x1<x2矛盾，∴y1<y2, 即f-1(x)为增函数．当y=f(x)是减函数时，同理可证．题目九：函数y=f(x)=(1+)2-2(x≥-2), 求方程f(x)=f-1(x)的解集．分析：若先求出反函数f-1(x)=2-2(x≥-2)，再求它的解集，这时由题设有2-2=(1+)2-2. 整理得四次方程，求解有困难，但我们可利用y=f(x)与y=f-1(x)的图象关系求解．首先画出y=f(x)=(1+)2-2的图象，如图所示．因为互为反函数的两个函数的图象是关于直线y=x对称的，故立即可画出y=f-1(x)的图象，由图可见两图象恰有两个交点，且交点在y=x上，因此可由方程组：解得x=2或-2, 从而得方程f(x)=f-1(x)的解集为{-2,2}．。