数值分析课后习题

第1章 绪论

1. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似值，即误差限不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：

.

0.17,

430.56,

6.385,

031.0,

1021.15

4

321⨯=====**

*

*

*x x x x x

2. 求方程01562=+-x x 的两个根，使它至少具有4位有效数字(

)

982.27783≈。

第2章 函数插值

1. 给出)ln()(x x f =的数值表

用线性插值及二次插值计算的近似值。

2. 44≤≤-x 上给出x

e x

f =)(的等距节点函数表，若用线性插值求x

e 的近似值，要使截断误差不超过6

10-，问使用函数表的步长h 应取多少？

3. 13)(4

7

+++=x x x x f ，求].2,,2,2[]2,,2,2[8

1

7

1

f f 及

4. 求一个次数不高于4次的多项式)(x P 使它满足0)0()0(='=P P ，

(1)(1)1,(2)1P P P '===。

5. 证明若)()()(x g x f x F +=，则],,[],,[],,[F 101010n n n x x x g x x x f x x x +=

6. 已知实验数据如下：

用最小二乘法求形如2

bx a y +=的经验公式。

7. 设数据)4,3,2,1,0)(,(=i y x i i 由表3-1给出，表中第4行为,ln i i y y =可以看出数学模型为bx

ae y =，用最小二乘法确定a 及b 。

8. 给定如下数值

（1） 求函数f(x)的差商表；

(2) 用牛顿插值公式求三次插值多项式3()N x 。

第三章 数值积分

1. 分别用复化梯形公式和复化辛普森公式计算下列积分： （1）

dx x x

⎰+1

024，8=n ；(2) dx x ⎰91，4=n . 2. 若用复化梯形公式求积分

dx e x ⎰

10

，则积分区间要多少等分才能保证计算结果有五位有

效数字？

3. 给定求积公式,试确定求积系数，使之代数精度尽可能高。 (1) ⎰

--++-≈a a a f A f A a f A dx x f 22101)()0()()(，

(2)

1

121

1

()[(1)2()3()]3

f x dx f f x f x -≈-++⎰ 4. 用龙贝格算法求积分直到第五位小数不变。

（1）

3

11dx x ⎰ （2）10sin x dx x

⎰

5. 若0)(''>x f ，证明用梯形公式计算积分dx x f b a

⎰

)( 所得结果比较精度值大，并说明几

何意义。

6.用梯形公式及辛普森公式求积分

dx e x ⎰

10

的近似值。估计误差.

7. ()f x 在[-1，1]上有二阶连续导数，

（1） 写出以

01x x ==

为插值节点的()f x 的一次插值多项式1()L x ；

（2） 设想要计算

1

1

()f x dx -⎰

，以1()L x 代替()f x ，写出求积公式；

（3） 写出其代数精度。

第四章 非线性方程求根

1. 用二分法求方程2

10x x --=的正根，使误差小于0.05．

2. 若将方程0123

=--x x 写成下列几种迭代函数形式，求不动点附近的一个根，并建立相应的迭代公式．

（1）3

2

11)(x x x +==ϕ； （2）2211)(x

x x +==ϕ； （3）1

1

)(3-=

=x x x ϕ． 试判断由它们构成的迭代法在5.10=x 附近的收敛性．选择一种收敛的迭代法，求在5.1附近有4位有效数字的根，

3. 给定函数()x f ，设对一切x ，()x f '存在且()M x f m ≤'≤<0，证明对于范围

M

2

0<

<λ内的任意定数λ，迭代过程()k k k x f x x λ-=+1均收敛于()0=x f 的根*x ． 4. 设)3()(2

-+=x c x x ϕ，应如何选取c ，才能使迭代)(1k k x x ϕ=+具有局部收敛性？c 取何值时，这个迭代收敛最快？

5. 设0)(=x f 有单根*x ，)(x x ϕ=是0)(=x f 的等价方程，)(x ϕ可表示为 ()()*()x x m x f x φ=-， 证明：当*)('1*)(x f x m ≠

时，迭代公式)(1k k x x ϕ=+是一阶收敛的；当*)

('1

*)(x f x m =时，

迭代公式)(1k k x x ϕ=+至少是二阶收敛的． 7. 常数A 的m 次根可由对方程0=-A x m

或01=-m

x A

用Newton 迭代法求得，

验证它们相应的Newton 迭代格式分别为

⎥⎦

⎤⎢⎣⎡+-=

-+11)1(1m k k k x A x m m x ， ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

-+=++A x x m m x m k k k 1

1

)1(1． 8. 设*x 为)(x f 的m 重零点，若将Newton 迭代法修改为

)

(')

(1k k k k x f x f m

x x -=+，)10( ，，=k ，

证明：此迭代格式具有2阶收敛速度． 9. 应用牛顿法于方程()012

=-=x a

x f ，导出求a 的迭代公式，并用此公式求115的值．

10. 证明迭代公式

()

a

x a

x x x k k k k ++=+2

2

1

33， 是计算a 的三阶方法．假定初值0x 充分靠近根*

x ，求(

)(

)3

1

lim k

k x x a x a --+∞

→．

第五章习题

1. 利用Gauss 消去法求解下列方程组并写出系数矩阵相应的三角分解．

（1）⎪⎩⎪⎨⎧=++-=-+=-+120221321321321x x x x x x x x x ； （2）⎪⎩⎪

⎨⎧=++=++=++5

3367435532321

321321x x x x x x x x x ．

2. 用矩阵的LU 分解求解方程组b AX =

. 5791068109710875765A ⎛⎫ ⎪

⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,1111b ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭

. 4.用追赶法求解三对角方程组b Ax =，其中 （1）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=510151015A ，⎪⎪⎪⎭⎫

⎝⎛=71417b ； （2）⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫

⎝

⎛=210014100141

0012A ，⎪⎪

⎪⎪

⎪

⎭

⎫

⎝⎛-=0321b ．