椭圆的一个几何性质和在物理学中的应用

椭圆的几何性质和在物理学中的应用

1 几何性质

为了思路清晰简明，我们采用罗列命题的方式叙述椭圆的几何性质，但这又不是简单的罗列，各命题间是有紧密地联系的。

定义1：椭圆是到两个定点（焦点）的距离和等于定长（2a ）的点的轨迹。 命题1：椭圆外一点到椭圆两焦点的距离和大于椭圆上一点到两焦点的距离和。

【证明】：如图1所示，M 是椭圆外任一点，1MF 和2MF 分别是该点到两焦点1F 和2F 的距离。由于M 在椭圆之外，所以我们总能够在椭圆上找到一点N ，使此点在21F MF ∆内。所以总有a NF NF MF MF 22121=+>+。

下面我们证明命题1中用到的关于三角形的一个命题。

命题2：三角形内一点到两个顶点的距离和小于第三个顶点到这两个顶点的距离和。 【证明】：如图，M 是ABC ∆中任一点，我们要证明的是CB CA BM AM +<+。 延长AM 与BC 交于D 点。

在ADC ∆中，由于两边之和大于第三边，有MD AM CD CA +>+； 在BDM ∆中，由于两边之和大于第三边，有MB MD DB >+。 上面两式相加有CB CA BM AM +<+，命题得证。

命题3：椭圆内一点到两焦点的距离和小于椭圆上一点到两焦点的距离和。

图3

图1

A

B

C

M

D 图2

【证明】：如图3所示，我们总能够在椭圆上找一点N ，使M 位于21F NF ∆内。由命题2可知命题正确。

我们可以说，椭圆的外部是这样的点的集合，它到椭圆的两个焦点的距离之和大于2a ；椭圆的内部是这样的点的集合，它到椭圆的两个核糖点的距离之和小于2a ；椭圆上的点到两个焦点的距离之和恰为2a 。

定义2：与椭圆只有一个公共点的直线称为椭圆的切线。

命题4：椭圆的切线不可能通过椭圆内的任何一点。 【证明】：假设切线可过椭圆内一点，则必与椭圆交于两点，这与该线为椭圆的切线相矛盾。 命题5：构成椭圆的切线的点的集合中，切点是到两个焦点的距离和最小的点。

【证明】：切点在圆上，因此到两焦点距离和为2a ，切线上其它点都在椭圆外，因此到两焦点的距离和大于2a ，命题得证。

命题6：直线与直线上到两定点的距离和最小的点跟该两点的连线成等角。

【证明】：如图4所示，设PQ 是任一直线，1F 和2F 是任意的两个点（在直线的同一侧）。我们总可以在直线上找一点M ，使此点到两点1F 和2F 的距离的和最小。方法如下

如图3所示，做1F 关于PQ 的对称点3F ，连结32F F 与PQ 交于M 点，则M 点为所求点。原因是简单的，如图5所示，任意在PQ 上取另一点1M ，则此点到两定点1F 、2F 的距离和大于M 到这两定点的距离和。由对称可知，角1PMF =角3PMF ，而角3PMF 与角2

QMF 互为对顶角。所以角1PMF =角2QMF ，命题得证。

命题7：椭圆的切线跟切点和焦点的两条连线成等角。 【证明】：因为切点是切线上所有点到两点的距离之和最小的点，由命题6知切线跟切点和焦点的两条连线成等角。

命题8：切线的垂线平分两焦点与切点连线所成的角。

【证明】：如图6所示，1F 与2F 是椭圆的两个焦点，M 是椭圆上任一点，PQ 是过M 点的切线，MN 是的21MF F ∠的平分线。则有，PQ MN ⊥。

F 1

F 2

P

图4

F 1

F 2

P

图5

F

2 几何性质的解析证明

如图7建立直角坐标系，则椭圆的标准方程是 12

22

2=+

b

y a

x

其中a 和b 分别表示椭圆的半长轴和半短轴，参数方程为

⎩⎨

⎧==θ

θ

sin cos b y a x 过椭圆上任一点()θθsin ,cos b a M 的切线斜率

θ

θθ

θθθ

sin cos sin 1cos a b a b dx

d d dy dx

dy k -

=-⋅

=⋅==

焦点坐标：()0,c 、()0,c -。 其中2

2

b a

c -=

。

切点与两焦点连线的斜率

c a b k -=θθ

cos sin 1

c

a b k +=θθ

cos sin 2

我们把三个斜率所决定的直线规定上方向（如图7所示），则可用三个二维向量表示其方向。 k ：()θθcos ,sin b a -，1k ：()θθsin ,cos b c a -，2k ：()θθsin ,cos b c a + k 与1k 所成角的余弦

P

图6

图7

()()()

θ

θθθ

θθ

θθθ

θθθ

θθ

θθθθθ

θ

θ

θθ

θθθϕcos 2sin cos cos sin sin cos sin cos 2sin cos cos sin cos sin sin cos sin sin cos cos sin sin cos cos sin cos 2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

22

2

22

2

2

2

2

2

2

22

2222

1ac c b a b a ac c ac b c a b a b ac a b c a b a b c a a -++++-=-+++++-=

+-++--=

用a 、c 替换b 有 ()

()()()

()()

θθθ

θθθθ

θϕcos cos sin cos cos cos cos sin cos 2

1c a c a c c a a c a c a c -+=

--+-=

（1）

同理可计算k 与2k 所成角的余弦

()()

θθθ

ϕsin cos sin cos 2c a c a c -+-

= （2）

比较（1）（2）两式可得： 21cos cos ϕϕ-=

结合图7可知，上面的结论说明焦点与椭圆上点M 的两条连线与切线成等角。 3 物理上的应用

3.1光线从焦点1F 射出，经椭圆上任一点反射后，反射光线经过另一焦点2F 。

3.2如图8所示，系于1F 、2F 的不可伸长的绳子子上有一滑轮。人用此装置由左端荡至右端的过程中，绳子拉力的合力沿角21MF F 的平分线。而人的运动方向沿椭圆的切线。由此得合力垂直于速度，因而绳子拉力对人不做功。运动过程中忽略摩擦的情况下机械能是守恒的。

2012年12月16日星期日整理

rongnal

图8