数集确界原理.

称有理数xn a0.a1a2 L an为实数x的n 位不足近似，
而有理数xn
xn
1 10n
称为x的n 位过剩近似，n
0,1,2,L
说说明 明::
实负数实x的数不x足 近- a似0 .ax1n当a2 nL增a大n L时的不n减位，不即足有近x似0 与 x过1 剩 x近2 似 L , 过分剩别近规似定xn为当nx增n 大 a时0 .a不1a增2 L，a即n 有- 1x010n与x1xn x2-aL0 .a.1a2 L an .
§1 实数 §2 数集.确界原理 §3 函数概念 §4 具有某些特性的函数
§1 实 数
几个常用符号
1. 我们用符号“” 表示“任取” 或“对于任意的”或“对于所有的” , 符号“” 称为全称量词.
2. 我们用符号“”表示“存 符号“”称 在”. 为存在量词.
例：命题“对任意的实数x, 都存在实数y, 使得x+y=1”可表示为“xR, yR, 使x+y=1”
❖实数的性质
5.实数集R具有稠密性.即任何两个不相等的实数 之间几有另一个实数,且既有在理数,也有无理数.
6.实数集R与数轴上的点具有一一对应关系.即任 一实数都对应数轴上唯一的一点,反之,数轴上的 每一点也都唯一的代表一个实数.
例1 设x, y为实数，证明: 存在有理数r满足 : x < r < y.
•(AB)CACBC的证明 x(AB)CxABxA且xB xAC且xBC xACBC, 所以(AB)CACBC.
❖直积(笛卡儿乘积) 设A、B是任意两个集合, 则有序对集合 AB{(x, y)|xA且yB}
称为集合A与集合B的直积. 例如, RR{(x, y)| xR且yR }即为xOy面上全体点
•命题1
设x a.aa L 与y b.bb L 为两个实数 ，
则x > y的充要条件是 : n N , xn > y n.
其中 xn表示 x的n位不足近似 ，y n表示 y的n位过剩近似 .
❖实数的性质
1.实数集R对加,减,乘,除(除数不为0)四则运算是封闭的. 即任意两个实数和,差,积,商(除数不为0)仍然是实数.
若a0 > b0或存在非负整数l,使得ak bk (k 1,2L l)而al1 > bl1
则称x大于y或y小于x，分别记为x > y或y < x.
说说明 明:: .自对分然于 别规负 称定实x任=数何yx与非,yx,负若<实有y 数(-yx大>=x于-)y任与何-x负>实-y数, 则
•定义2
设x a0.a1a2 L an L 为非负实数
2.实数集是有序的.即任意两个实数a, b必满足下 述三个关系之一: a < b, a = b, a > b .
❖实数的性质
3.实数集的大小关系具有传递性.即若a > b, b > c, 则有a>c
4..实数具有阿基，米德性, 即对任何 a > b > 0, 则存在正整数 n,使得 nb > a.
提示: 如果研究某个问题限定在一个大的集合I中进行, 所
研究的其他集合A都是I的子集. 则称集合I为全集或基本 集.
❖集合运算的法则 设A、B、C为任意三个集合, 则有 (1)交换律 ABBA, ABBA; (2)结合律 (AB)CA(BC), (AB)CA(BC); (3)分配律 (AB)C(AC)(BC), (AB)C(AC)(BC); (4)对偶律 (AB)CACBC, (AB)CACBC.
3. 我们用符号“”表示“充分条件” 或 “推出” 这一意思. 比如, 若用p, q分别表示两个命题或陈述句. 则“ p q”表示“ 若p成立, 则q也成 立”. 即p是q成立的充分条件.
4. 我们用符号“”表示“当且仅当” 或 “充要条件” 这一意思. 比如“p q”表示“p成立当且仅当q成 立” 或者说p成立的充要条件是q成立.
❖子集 如果集合A的元素都是集合B的元素, 则称A是B的子
集, 记为AB(读作A包含于B). AB若xA, 则xB.
显然, NZ, ZQ, QR.
2.集合的运算 设A、B是两个集合, 则 AB{x|xA或xB}称为A与B的并集(简称并). AB{x|xA且xB}称为A与B的交集(简称交). A\B{x|xA且xB}称为A与B的差集(简称差). ACI\A{x|xA}为称A的余集或补集, 其中I为全集.
证明
由于x
<
y, 故存在非负整数n，使得x n
< yn.令r
1 2
(xn
yn
)
则r为有理数，且有x xn < r < yn y,即得x < r < y.
例2 设a,b R,证明: 若对任何正数e有a < b e ,则a b.
证明 用反证法.假若结论不成立 ，则根据实数的有序性
有a > b.令e a - b,则e为正数且a b e , 这与假设 a < b e矛盾.从而必有a b.
把集合的全体元素一一列举出来. 例如A{a, b, c, d, e, f, g}. •描述法 若集合M是由元素具有某种性质P的元素x的全体所 组成, 则M可表示为
M{x | x具有性质P }. 例如M{(x, y)| x, y为实数, x2y21}.
❖几个数集 所有自然数构成的集合记为N, 称为自然数集. 所有实数构成的集合记为R, 称为实数集. 所有整数构成的集合记为Z, 称为整数集. 所有有理数构成的集合记为Q, 称为有理集.
1.集合
一、集合
❖集合
பைடு நூலகம்
集合是指具有某种特定性质的事物的总体.
集合可用大写的字母A, B, C, D 等标识.
❖元素
组成集合的事物称为集合的元素.
集合的元素可用小写的字母a, b, c, d 等标识.
a是集合M的元素记为aM, 读作a属于M.
a不是集合M的元素记为aM, 读作a不属于M.
❖集合的表示 •列举法
的集合, RR常记作R2.
3.实数集 ❖两个实数的大小关系
• 定义1
给定两个非负实数
x a0.a1a2 L an L , y b0 .b1b2 L bn L ,其中a0 ,b0为非负整数， ak ,bk (k 1,2,L )为整数，0 ak 9,0 bk 9. 若有ak bk , k 1,2,L ,则称x与y相等，记为x y；