数集确界原理.
数集确界原理
数集确界原理数集确界原理是数学中一个非常重要的概念，它在实际问题中具有广泛的应用。
在数学分析中，确界原理是指对于有上（下）界的非空实数集合必存在最小（大）上（下）确界。
这一原理在实际问题中有着重要的意义，下面我们将深入探讨数集确界原理及其应用。
首先，我们来了解一下数集的上确界和下确界。
对于一个实数集合A，如果存在一个实数M，使得对于A中的任意元素x，都有x≤M，那么M就是A的上确界，记作supA。
类似地，如果存在一个实数m，使得对于A中的任意元素x，都有x≥m，那么m就是A的下确界，记作infA。
上确界和下确界是数学分析中非常重要的概念，它们在实际问题中的应用非常广泛。
数集确界原理指出，对于有上（下）界的非空实数集合，必存在最小（大）上（下）确界。
这一原理在实际问题中有着广泛的应用。
例如，在经济学中，对于某种商品的价格集合，我们可以通过确界原理得到最低价和最高价，这对于市场分析和决策具有重要意义。
在工程学中，对于某种材料的强度集合，我们可以通过确界原理得到最小强度和最大强度，这对于设计和生产具有重要意义。
在物理学中，对于某种物理量的测量结果集合，我们可以通过确界原理得到最小值和最大值，这对于实验结果的分析具有重要意义。
除了在实际问题中的应用，数集确界原理在数学分析中也有着重要的理论意义。
它为实数集合的性质和运算提供了重要的基础。
通过确界原理，我们可以证明实数集合的某些性质，例如实数集合的稠密性、实数集合的有界性等。
这些性质对于实数集合的理论研究和应用具有重要意义。
总之，数集确界原理是数学分析中一个非常重要的概念，它在实际问题中具有广泛的应用，并且为实数集合的性质和运算提供了重要的基础。
通过对数集确界原理的深入理解和应用，我们可以更好地理解和运用实数集合的性质，为实际问题的分析和解决提供重要的理论支持。
希望本文对读者对数集确界原理有所帮助，谢谢阅读。
高等数学第1章第2节数集·确界原理
§２ 数集·确界原理引言上节课中我们对数学分析研究的关键问题作了简要讨论；此后又让大家自学了第一章 §１实数的相关内容．下面，我们先来检验一下自学的效果如何！１．证明：对任何x R ∈有（１）|1||2|1x x -+-≥；（２）|1||2||3|2x x x -+-+-≥. ２．证明：||||||x y x y -≤-.３．设,a b R ∈，证明：若对任何正数ε有a b ε+<，则a b ≤.４．设,,x y R x y ∈>，证明：存在有理数r 满足y r x <<.[引申]：①由题１可联想到什么样的结论呢？这样思考是做科研时的经常的思路之一．而不要做完就完了！而要多想想，能否具体问题引出一般的结论：一般的方法？②由上述几个小题可以体会出“大学数学”习题与中学的不同；理论性强，概念性强，推理有理有据，而非凭空想象；③课后未布置作业的习题要尽可能多做，以加深理解，语言应用．提请注意这种差别，尽快掌握本门课程的术语和工具（至此，复习告一段落）．本节主要内容：１．先定义实数集Ｒ中的两类主要的数集——区间邻域；２．讨论有界集与无界集；３．由有界集的界引出确界定义及确界存在性定理（确界原理）.一 区间与邻域1. 区间（用来表示变量的变化范围）设,a b R ∈且a b <.{}{}{}{}{}{}{}{}{}|(,).|[,].|[,)|(,]|[,).|(,].|(,).|(,).|.x R a x b a b x R a x b a b x R a x b a b x R a x b a b x R x a a x R x a a x R x a a x R x a a x R x R ⎧⎧⎪⎪∈<<=⎪⎪⎪⎪∈≤≤=⎨⎪∈≤<=⎧⎪⎪⎨⎪∈<≤=⎪⎩⎩⎨⎧∈≥=+∞⎪∈≤=-∞⎪⎪∈>=+∞⎨⎪∈<=-∞⎪⎪∈-∞<<+∞=⎩开区间: 有限区间闭区间: 闭开区间:半开半闭区间开闭区间:区间无限区间⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩2. 邻域联想：“邻居”．字面意思：“邻近的区域”．（看左图）．与a 邻近的“区域”很多，到底哪一类是我们所要讲的“邻域”呢？就是“关于a 的对称区间”；如何用数学语言来表达呢？（１） a 的δ邻域：设,0a R δ∈>，满足不等式||x a δ-<的全体实数x 的集合称为点a 的δ邻域，记作(;)U a δ，或简记为()U a ，即{}(;)||(,)U a x x a a a δδδδ=-<=-+.（２） 点a 的空心δ邻域{}(;)0||(,)(,)()o o U a x x a a a a a U a δδδδ=<-<=-⋃+ .（３） a 的δ右邻域和点a 的空心δ右邻域{}{}00(;)[,)();(;)(,)().U a a a U a x a x a U a a a U a x a x a δδδδδδ++++=+=≤<+=+=<<+（４） 点a 的δ左邻域和点a 的空心δ左邻域{}{}00(;)(,]();(;)(,)().U a a a U a x a x a U a a a U a x a x a δδδδδδ+---=-=-<≤=-=-<<（５）∞邻域，+∞邻域，-∞邻域{}()||,U x x M ∞=> （其中Ｍ为充分大的正数）；{}(),U x x M +∞=> {}()U x x M -∞=<-二 有界集与无界集什么是“界”？定义１（上、下界）： 设S 为R 中的一个数集．若存在数()M L ，使得一切x S ∈都有()x M x L ≤≥，则称Ｓ为有上（下）界的数集．数()M L 称为Ｓ的上界（下界）；若数集Ｓ既有上界，又有下界，则称Ｓ为有界集．若数集Ｓ不是有界集，则称Ｓ为无界集．注：１）上（下）界若存在，不唯一；２）上（下）界与Ｓ的关系如何？看下例：例1 讨论数集{}|N n n +=为正整数的有界性．分析：有界或无界←上界、下界？下界显然有，如取1L =；上界似乎无，但需要证明．解：任取0n N +∈，显然有01n ≥，所以N +有下界１；但N +无上界．证明如下：假设N +有上界M,则M>0，按定义，对任意0n N +∈，都有0n M ≤，这是不可能的，如取0[]1,n M =+则0n N +∈，且0n M >.综上所述知：N +是有下界无上界的数集，因而是无界集．例2 证明：（１）任何有限区间都是有界集；（２）无限区间都是无界集；（３）由有限个数组成的数集是有界集．[问题]：若数集Ｓ有上界，上界是唯一的吗？对下界呢？(答：不唯一 ，有无穷多个)．三 确界与确界原理１、确界的定义定义２（上确界） 设Ｓ是Ｒ中的一个数集，若数η满足：(1) 对一切,x S ∈有x η≤（即η是Ｓ的上界）;(2) 对任何αη<，存在0x S ∈，使得0x α>（即η是Ｓ的上界中最小的一个），则称数η为数集Ｓ的上确界，记作 sup .S η=定义３（下确界）设Ｓ是Ｒ中的一个数集，若数ξ满足：（１）对一切,x S ∈有x ξ≥（即ξ是Ｓ的下界）；（２）对任何βξ>，存在0x S ∈，使得0x β<（即ξ是Ｓ的下界中最大的一个），则称数ξ为数集Ｓ的下确界，记作inf S ξ=.上确界与下确界统称为确界例1 讨论数集{}S x x =为区间(0,1)中的有(无)理数的确界．分析：通过数轴看有无上、下界，进一步讨论上、下确界．提示：利用有理数集在实数集中的稠密性．sup 1,inf 0.S S ==例2．设.21inf ,1sup },2,1|1{===+=E E n n n E 证明２、确界的性质● 唯一性：若数集Ｓ存在上（下）确界，则一定是唯一的；● 若数集Ｓ存在上、下确界，则有inf sup S S ≤；● 数集Ｓ的确界可能属于Ｓ，也可能不属于Ｓ；● 存在性——定理１.1（确界原理）设Ｓ为非空数集，若Ｓ有上界，则Ｓ必有上确界；若Ｓ有下界，则Ｓ必有下确界．例3 设数集Ｓ有上界，证明：sup max .S S S ηη=∈⇔=分析：由确界原理，sup S 意义，按确界定义证明．例4．设Ａ、Ｂ为非空数集，满足：对一切x A ∈和y B ∈有x y ≤. 证明：数集Ａ有上确界，数集Ｂ有下确界，且sup inf .A B ≤分析：首先，证明sup ,inf .A B 有意义，用确界原理．其次，证明sup inf .A B ≤例5 设Ａ、Ｂ为非空有界数集，S A B =⋃，证明：（１）{}sup max sup ,sup S A B =；（２）{}inf min inf ,inf S A B =．分析：首先，由S A B =⋃及Ａ、Ｂ的性质知，Ｓ也是非空有界集．其次，证明（１）、（２）．小结、布置作业：Ｐ９：１（１），（２）； ２（1）； ４ （２）、（４）； ５；。
1-02-数集与确界原理
( −∞ , b ) = { x x < b}
无限区间
x o
b
x
区间长度的定义: 区间长度的定义: 两端点间的距离(线段的长度 称为区间的长度 两端点间的距离 线段的长度)称为区间的长度 线段的长度 称为区间的长度.
3.邻域: 设a与δ是两个实数 , 且δ > 0. .邻域:
数集{ x x − a < δ }称为点a的δ邻域 ,
中的一个数集， 满足： 定义 2 设 S 是 R 中的一个数集，若数ξ 满足： 的下界） （1）对一切 x ∈ S , 有 x ≥ ξ （即ξ 是 S 的下界） ） ； 存在 （2） ） 对任何β>ξ ,存在 x0 ∈ S , 使得 x0 < β （即ξ 是 S 的下界中最大的一个）则称数 ξ 为数集 S 的下 的下界中最大的一个） ， 确界， 确界，记作 ξ = inf S .
∴sup S ≤ max{sup A,sup B} ; 同理又有sup B ≤ sup S. ∴sup S ≥ max{sup A,sup B} ; ∴sup S = max{sup A,sup B} . 从而有x ≤ max{sup A,sup B} , 又: ∀x ∈ A, x ∈ S ⇒ x ≤ sup S ⇒sup A ≤ sup S,
数集S有上界 数集 有上界 ⇔ ∃M ∈ R, ∀x ∈ S有x ≤ M. 数集S无上界 数集 无上界 ⇔ ∀M ∈ R, ∃x0 ∈ S有x0 > M. 数集S有下界 数集 有下界 数集S无下界 数集 无下界
[ a , b ] , ( a , b ),(a , b 为有限数）是有界数集 为有限数）是有界数集;
+
Β为非空数集 满足: 为非空数集, 例4 设 Α, Β为非空数集,满足: ∀x ∈ A, ∀y ∈ B有 ≤ y x 证明: 有上确界, 有下确界,且 证明:数集 A有上确界 数集 有下确界 且sup A ≤ inf B 有上确界 数集B有下确界 由假设,数集 数集B中任一数 都是数集A的上界 的上界, 证: 由假设 数集 中任一数 y 都是数集 的上界 A中任一数 x 都是 的下界 中任一数 都是B的下界 的下界, 故由确界原理知,数集A有上确界 数集 有下确界 有上确界,数集 有下确界. 故由确界原理知 数集 有上确界 数集B有下确界 确界原理 是数集A的一个上界 的一个上界,而由上确界的定义知 ∀y∈B, y是数集 的一个上界 而由上确界的定义知 是数集A的最小上界, supA 是数集 的最小上界, 故有 supA ≤ y 是数集Β的一个下界, 而此式又表明数 supA 是数集Β的一个下界, 故由下确界的定义证得
数集,确界原理
a
x
(, b) { x x b}
o
b
x
(, ) { x x < }
x
2、邻域
定义1 设a与 是两个实数 , 且 0. 数集
{ x x a }称为点a 的δ邻域 , 点 a 叫做这邻
域中心， 叫做这邻域的半径 . 记作
U (a, ) { x a x a }.
存在某个正整数n0 N+ , 使得n0 M .
事实上，对任何正数M，取 n0 M 1，
则n0 N , 且n0 M , 这就证明了N 无上界.
1 例 2 证明集合E y / y , x (0, 1) 是无界集. x
证明
对任何M 0,
0
a
a
a
x
点
a 的 左邻域 和 点 a 的空心 左邻域
U (a, ) { x a x a } (a , a]
U (a, ) { x a x a } (a , a)
0
邻域
U ( ) x | x | M , U ( ) x x M , U ( ) x x M
即 又是S 的最大下界， 则 称 数 为数集 S 的
下确界， 记为 inf S .
x0
S
(ii) 对任意 0, 存在x0 S , 使得x0 即 是 S 的最大下界.
的确界. 例3 讨论数集 S {x | x为(0, 1)中的有理数}
supS = 1
上确界， 记为 sup S . S
关于实数完备性的6个基本定理
1. 确界原理； 2. 单调有界定理； 3. 区间套定理； 4. 有限覆盖定理; 5. 聚点定理; 6. 柯西收敛准则； 在实数系中这六个命题是相互等价的 。
在有理数系中这六个命题不成立 。
1. 确界原理 在实数系中，任意非空有上（下）界的数集
必有上（下）确界。
反例：S {x | x2 2, x Q},sup S 2, inf S 2, 即S在有理数集没有确界。确界原理在有理数域不成立。
5. 聚点定理 实数系中的任意有界无限点集至少有一个聚点。
反例： S {(1 1 )n | n Z }, n
S是有界的无限有理点集，在实数域内的聚点为e,
因而在必含有收敛子列。
反例：
{
xn
}
{(1
1 )n n
}是有理数系中的有界无穷数列,
实数完备性基本定理的等价性
实数基本定理等价性的路线 : 证明按以 下三条路线进行:
Ⅰ: 确界原理 单调有界原理 区间套 定理 Cauchy 收敛准则 确界原理 ; Ⅱ: 区间套定理 致密性定理 Cauchy 收敛准则 ; Ⅲ: 区间套定理 Heine–Borel 有限 复盖定理 区间套定理 .
任取H的有限个元素，构成集合H *,
H * {( x1 r1, x1 r1 ),( x2 r2 , x2 r2 ) ( xn rn , xn rn )}
由于H *中的开区间都不含 2，且2n个端点都是有理数， 设这2n个有理数中与 2最靠近的数为 r, 则在r与 2之间所有有理数都在上述n个区间之外。 即H的任意有限覆盖不能盖住[1,2]Q .
则 有理数域内构成闭区间套 [an,bn ]Q， 其在实数系内唯一的公共点为 2 Q.
数集确界原理
数集确界原理§1.2数集确界原理本节主要教学内容：区间与邻域确界及确界原理。
教学方法与设计：重点讲授确界的概念并补充例题对确界原理则以讲授其证明方法为主同时说明确界原理在本课程中的地位和作用。
一、区间与邻域 1、区间：开、闭、半开半闭、有限区间、无限区间（几何表示集合表示） 2、邻域点的δ领域去心领域左、右领域无穷大的领域：二、有界集确界原理 1、有界的概念 1o、设R若则称为有上界（下界）的数集M（L）称为的一个上界（下界）。
2 o、若既有上界又有下界则称为有界集否则称为无界集。
说明：（1）S为有界集。
此时称为的一个界。
（2）S为无界集S无上界或S无下界有。
（3）界：只强调存在不强调大小；若M为S的一个界则比M大的正数皆可作为S的界例：S={12}既有上界（）又有下界于是S有界（）。
S=（a、b）既有上界（）又有下界于是S有界（）。
S=N有下界但无上界。
有上界但无下界。
2、确界的概念最小的上界称为上确界最大的下界称为下确界即：（1）设S为R中的非空数集若满足：（i）; （ii）的最小上界. 则称数为S的上确界记为（supremum上确界的简写）（2）设S为R中的非空数集若满足：（i）；（ii）是的最大下界。
则称数为的下确界记为(infimum下确界的简写)。
上下确界统称确界。
说明：（1）若S存在上、下确界则。
（2）S的上（下）确界可能属于S也可能不属于S若属于则相等。
（3）若S存在上（下）确界则唯一。
（4）最大（小）性的表示：（ii）使。
使例：（1）则。
（2）S=则。
证明：（2）只证。
(i)有即1为的上界；(ii)要证只要所以有。
例：设S有上确界证明：证明：必要性。
由上确界定义,有又故充分性：（i）有即是S的上界；（ii）则。
由上确界的定义有：。
同理可证：。
3、确界原理：（i）设S为非空数集若S上界则S必有上确界；且唯一。
（ii）设S为非空数集若S下界则S必有下确界；且唯一。
证明：只证明（i）思路：1o、根据实数的表示法和上界的性质构造一个实数。
数集确界原理
作业 :
P9: 1, 2, 3, 4, 5.
§2 数集.确界原理
1.区间和邻域 有限区间 数集{x|a<x<b}称为开区间, 记为(a, b), 即 (a, b){x|a<x<b}. [a, b]{x|axb}——闭区间.
[a, b){x|ax<b}——半开区间, (a, b]{x|a<xb}——半开区间. 上述区间都是有限区间, 其中 a和b称为区间的端点, b-a 称为区 间的长度.
S
确界原理 设S为非空数集,若S有上界,则S必有上确界;若S有下界, 则S必有下确界. 例3 设 A, B为非空数集,满足: x A, y B有x y. 证明数集 A有上确界, 数集B有下确界,且
sup A inf B.
证: 由假设,数集B中任一数 y 都是数集A的上界, A中任一数 x 都是B的下界, 故有确界原理知,数集A有上确界,数集B有下确界.
证明 用反证法.假若结论不成立 ，则根据实数的有序性
有a > b.令e a - b, 则e为正数且 a b e , 这与假设 a < b e矛盾.从而必有 a b.
3.小结 (1), 两个实数的大小关系; (2), 实数的性质; (3), 区间和邻域的概念; (4), 确界原理.
直积(笛卡儿乘积) 设A、B是任意两个集合, 则有序对集合 AB{(x, y)|xA且yB} 称为集合A与集合B的直积. 例如, RR{(x, y)| xR且yR }即为xOy面上全体点 的集合, RR常记作R2.
3.实数集 两个实数的大小关系 • 定义1
给定两个非负实数 x a0 .a1a2 L an L, y b0 .b1b2 Lbn L, 其中a0 , b0为非负整数， ak , bk (k 1,2,L)为整数， 0 ak 9,0 bk 9. 若有ak bk , k 1,2,L, 则称x与y相等，记为x y； 若a0 > b0或存在非负整数l , 使得ak bk (k 1,2Ll )而al 1 > bl 1 则称x大于y或y小于x，分别记为x > y或y < x.
数集确界原理
一般地用归纳法可证明存在 nk ∈ N 及
S k = { x | x ∈ S + , x = n0 .n1 L nk ak +1 L},
则 Sk ≠ ∅ , ∃ xk ∈ S k , xk > n0 .n1 L nk ; ∀x ∈ S ,
1 x < n0 .n1 L nk + k . 10 LL
∀n, ∃ x = a0 .a1 L an bn+1 L ∈ S + , 由 于 x 由 正 规 小 数 表示, 必有 k > 0, 使 bn+ k > 0. 由于
xn+ k = a0 .a1 Lanan+1 Lan+ k ≥ a0 .a1 Lanbn+1 Lbn+ k ,
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因此 an+1 , an+ 2 ,L an+ k 不全为 0, 即η = a0 .a1a2 L
∃ k , 使 a0 .a1a2 L ak = n0 .n1n2 L nk , 而 ak +1 > nk +1 ,
1 此与 ∀x ∈ S ,x < n0 .n1 L nk + k 矛盾. 10
(ii) ∀α < η , 设 α = α 0 .α1 Lα k L . 则 ∃ k , 使 α 0 .α1 Lα k = n0 .n1 L nk， α k +1 < nk +1 . 而
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由定义∃ xk +1 ∈ Sk +1 , xk +1 > n0 .n1 L nk +1 . 则
xk +1 > n0 .n1 L nk +1 ≥ α 0 .α1 Lα k +1 L = α .
数学分析1.2数集与确界原理
第一章实数集与函数2 数集·确界原理一、区间与邻域设a、b∈R，且a<b，我们称数集{x|a<x<b}为开区间，记作(a,b)；数集{x|a≤x≤b}称为闭区间，记作[a,b]；数集{x|a≤x<b}和{x|a<x≤b}称为半开半闭区间，记作[a,b)和(a,b]，它们统称为有限区间。
(−∞,a]={x|x≤a}，[a,+∞)={x|x≥a}，(−∞,a)={x|x<a}，(a,+∞)={x|x>a}，(−∞, +∞) ={x|−∞<x<+∞}=R；它们统称为无限区间。
设a∈R，δ>0。
满足绝对值不等式|x-a|<δ的全体实数x的集合称为点a的δ邻域，记作U(a;δ)，或简单地写作U(a)，即有U(a;δ)={ x||x-a|<δ}=(a-δ,a+δ)点a的空心δ邻域定义为U⁰(a;δ)={ x|0<|x-a|<δ}也简单地记作U⁰ (a).点a的δ右邻域U+(a;δ)=[a, a+δ)，简记为U+(a)；点a的δ左邻域U-(a;δ)= (a-δ, a]，简记为U-(a)；去除点a后的点a的空心δ左、右邻域分别简记为U⁰+(a)和U⁰-(a).∞邻域U(∞)= { x||x|>M}，其中M为充分大的正数(下同)；+∞邻域U(+∞)= { x|x>M}，-∞邻域U(-∞)= { x|x<-M}.二、有界集·确界原理定义1：设S为R中的一个数集。
若存在数M(L)，使得对一切x∈S，都有x≤M(x≥L)，则称S为有上界(下界)的数集，数M(L)称为S的一个上界(下界)。
若数集S既有上界又有下界，则称S为有界集。
若S不是有界集，则称S为无界集。
例1：证明数集N+={n|n为正整数}有下界而无上界。
证：显然，任何一个不大于1的实数都是的N+下界，故N+为有下界的数集；∀M>0，取n0=[M]+1，则n0∈N+，且n0> M，故N+为无上界的数集。
§2.数集.确界原理.
§2.数集.确界原理 一. 区间与邻域 2.邻域(neighborhood)
(5) 邻域,邻域与 邻域 : 设M是一个充分大的正数 ,则
邻域:U: x R x M ,M M ,;
邻域:U: xR x M ,M ; 邻域:U : xR x M M,.
6
§2.数集.确界原理 一. 区间与邻域
例2(P6) 设S x x为区间(0,1)中的有理数,试按上,下
[思考题](PP6 7) 证明:
(1) 设S [0,1], 则supS 1, inf S 0;
(2)
设E
1n
n
n 1,2,,
则sup E
1, 2
inf
E
1;
(3) 对于正整数集N 1,2,, 则inf N 1, 而没有上确界.
a
a
a
x
4
§2.数集.确界原理 一. 区间与邻域 2.邻域(neighborhood)
设a R, 0. (3) a的右邻域与a的空心右邻域 :
Ua; : xR a x a a,a ; U0a; : xR a x a a,a .
(4) a的左邻域与a的空心左邻域 :
Ua; : xR a x a a ,a; U0a; : xR a x a a ,a.
设a R, 0.
(1) a的邻域 : 集合 x R x a 称为以a为中心为半径的邻域 ,
简称为a的邻域,记为U a; ,即
Ua; : x R x a a , a ;
(2)a的空心邻域 : 点a的邻域去掉中心" a"后所得到的集合, 记为
U 0a; ,即
U 0a; : x R 0 x a a , a a, a .
(i)x S, x ,即是S的一个下界;
数集确界原理
数集确界原理
数集确界原理是数学中一个非常重要的概念，它在实际问题中有着广泛的应用。
在数学分析中，确界原理是指有界数集必有上确界和下确界。
下面我们将详细介绍数集确界原理及其应用。
首先，我们来解释一下什么是数集的上确界和下确界。
对于一个有限的数集，
如果存在一个实数M，使得数集中的所有元素都小于等于M，那么M就是这个数
集的上确界。
同理，如果存在一个实数m，使得数集中的所有元素都大于等于m，那么m就是这个数集的下确界。
接下来，我们来讨论数集确界原理的应用。
首先，确界原理常常用于证明数列
的收敛性。
通过找到数列的上确界和下确界，我们可以判断数列是否有极限，从而得出数列的收敛性。
其次，确界原理也常用于解决最优化问题。
在最优化问题中，我们常常需要找到一个数集的上确界或下确界，从而得出最优解。
此外，确界原理还在实数的连续性和完备性证明中有着重要的应用。
在实际问题中，数集确界原理也有着广泛的应用。
比如在金融领域，确界原理
常用于证明利率的收敛性和最优投资组合的选择；在工程领域，确界原理常用于优化设计和资源分配等问题；在物理学中，确界原理也有着重要的应用，比如在能量的最优分配和系统的稳定性分析等方面。
总之，数集确界原理是数学中一个非常重要的概念，它不仅在理论研究中有着
重要的地位，而且在实际问题中也有着广泛的应用。
通过深入理解数集确界原理，我们可以更好地理解数学中的各种问题，并且能够更好地应用数学知识解决实际问题。
希望本文对读者能够有所帮助，谢谢阅读！。
数集确界原理
x 不是 E
的最大数，所以它不是 E 的上界，即 中任一元素都属于下类
xA 。这说明 E
A
；
2
3 x E ，使得
A、B不漏性由A、B定义即可看出； A、B不乱.设 a A ，b B 因a不是E的上界，
a x b . 4 由 3
a x ，而E内每一元素属于A，所以
无限区间
x o
b
x
区间长度的定义: 两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.
3.邻域: 设a与是两个实数 , 且 0.
数集{ x x a }称为点 a的邻域 ,
点a叫做这邻域的中心 , 叫做这邻域的半径 .
U (a ) { x a x a }.
.
( 1 ) n , 例2 ⑴ S 1 n
则
sup S ______,
⑵ 则
E y y sinx,
inf S _______ .
x (0, ).
inf E _________ . 例3 设S和A是非空数集，且有S A. 则 有 sup S sup A, inf S inf A.
不含任何元素的集合称为空集. (记作 ) 例如, { x x R, x 1 0}
2
规定 空集为任何集合的子集.
2.区间: 是指介于某两个实数之间的全体实数. 这两个实数叫做区间的端点.
a , b R, 且a b.
{ x a x b} 称为开区间, 记作 (a , b )
例6 设A,B为非空有限数集, S A B . 证明: 证 由于S A B显然是非空有界数集 因此S的上， 下确界都存在
高等数学第1章第2节数集确界原理.
1、能源计量网络图或统计分析表2、能源计量器具一览表（台帐）[包括进出用能单位、主要次级用能单位]3、用能单位能源计量组织机构图4、主要次级用能单位核定表5、主要用能设备核定表6、输入输出用能单位一览表7、能源计量器具配备率计算表三、企业提供软件资料8、能源计量管理制度[至少包含以下制度]●能源计量器具采购、验收、使用、维护保养制度●能源计量人员岗位职责●能源计量器具溯源和周期检定制度●能源计量数据采集制度●能源计量数据统计制度三、企业提供软件资料9、能源计量器具档案[仪器说明书、连续2个周期检定证书/校准报告、使用和维修记录、报废记录]10、量值传递/溯源图11、能源计量管理人员上岗证书12、能源计量器具周期检定计划表13、能源统计报表14、能源计量数据原始采集记录四、工作程序1、确定输入输出用能单位的能源种类2、核定主要次级用能单位3、核定主要用能设备4、画出能源计量网络图5、编制和整理软件资料6、配备能源计量器具7、能源计量器具周期检定表1 主要次级用能单位能源消耗量（或功率）限定值能源电力煤炭焦炭原油成品油重油、渣油煤气、蒸汽热水水其它种类石油液化气天然气单位kW t/a t/a t/a m3/a GJ/a t/a GJ /a限定值10 100 40 80 100005 000 5 000 2 926注1: 表中a是法定计量单位中“年”的符号。
注2: 表中m3指在标准状态下，表2同。
注3: 2 926 GJ相当于100 t标准煤。
其它能源应按等价热值折算，表2类推。
表2 主要用能设备能源消耗量（或功率）限定值能源电力煤炭、焦炭原油、成品油、重油、渣油煤气、蒸汽、热水水其它种类石油液化气天然气单位kW t/h t/h t/h m3/h MW t/h GJ/h限定值100 1 0.5 1 100 7 1 29.26注1: 对于可单独进行能源计量考核的用能单元（装置、系统、工序、工段等），如果用能单元已配备了能源计量器具，用能单元中的主要用能设备可以不再单独配备能源计量器具。
第二节 数集 确界原理
点a叫做这邻域的中心, 叫做这邻域的半径 .
U(a； ) {x | x a } (a ,a )
a
a
a x
点a的去心的邻域 :
Uo(a； ) { x | 0 x a }
右邻域： U (a; ) [a,a )
左邻域： U (a; ) (a ,a]
U
o
(a;
)
设p=2k，得q2=2k2，
于是q也是偶数，这与p/q是既约分数矛盾。
第二节 数集 确界原理
一、区间与邻域
(a,b), [a,b], (a,b], [a,b)
(, a), (, a], (a,),[a,), (,)
邻域: 设a与是两个实数 , 且 0.
数集{ x x a }称为点a的邻域 ,
确界，并证明上确界不属于有理数集.
证： 首先证明inf A 0,sup A 2.
先证 infA=0.
(1)x A, 则x 0.
0 x0
a
（2）若a>0, 分两种情况考虑。
()若a 2, 则x A,有x a.
()若0 a 2, 取x0为大于0小于a的有理数， 则x02 a2 2, 即x0 A,但x0 a. 故infA=0.
（1）x
S , 有x
n.n1n2
nk
1 10k
;
(2) ak S,使 ak n.n1n2 nk .
无限进行下去，得到实数 n.n1n2 nk .
现在证明 = supS. 为此要证：
（）x S,有x ;
（） ,x S,使 x.
若（）不成立，即x S,有x ,
则可以找到x的k位不足近似xk ,使
;
(2) a1 S,使 a1 n.n1 .
数学分析1.2数集与确界原理
第一章实数集与函数2 数集·确界原理一、区间与邻域设a、b∈R，且a<b，我们称数集{x|a<x<b}为开区间，记作(a,b)；数集{x|a≤x≤b}称为闭区间，记作[a,b]；数集{x|a≤x<b}和{x|a<x≤b}称为半开半闭区间，记作[a,b)和(a,b]，它们统称为有限区间。
(−∞,a]={x|x≤a}，[a,+∞)={x|x≥a}，(−∞,a)={x|x<a}，(a,+∞)={x|x>a}，(−∞, +∞) ={x|−∞<x<+∞}=R；它们统称为无限区间。
设a∈R，δ>0。
满足绝对值不等式|x-a|<δ的全体实数x的集合称为点a的δ邻域，记作U(a;δ)，或简单地写作U(a)，即有U(a;δ)={ x||x-a|<δ}=(a-δ,a+δ)点a的空心δ邻域定义为U⁰(a;δ)={ x|0<|x-a|<δ}也简单地记作U⁰ (a).点a的δ右邻域U+(a;δ)=[a, a+δ)，简记为U+(a)；点a的δ左邻域U-(a;δ)= (a-δ, a]，简记为U-(a)；去除点a后的点a的空心δ左、右邻域分别简记为U⁰+(a)和U⁰-(a).∞邻域U(∞)= { x||x|>M}，其中M为充分大的正数(下同)；+∞邻域U(+∞)= { x|x>M}，-∞邻域U(-∞)= { x|x<-M}.二、有界集·确界原理定义1：设S为R中的一个数集。
若存在数M(L)，使得对一切x∈S，都有x≤M(x≥L)，则称S为有上界(下界)的数集，数M(L)称为S的一个上界(下界)。
若数集S既有上界又有下界，则称S为有界集。
若S不是有界集，则称S为无界集。
例1：证明数集N+={n|n为正整数}有下界而无上界。
证：显然，任何一个不大于1的实数都是的N+下界，故N+为有下界的数集；∀M>0，取n0=[M]+1，则n0∈N+，且n0> M，故N+为无上界的数集。
数集确界定理
§1.2 数集.确界定理§2 数集.确界定理Ⅰ. 教学目的与要求1.理解区间及邻域的概念,2.掌握有界集和上、下确界的概念;3.理解实数确界的定义及确界原理,并在有关命题中正确地加以应用.Ⅱ. 教学重点与难点:重点: 实数确界的定义及确界原理.难点: 实数确界的定义及确界原理的应用.Ⅲ. 讲授内容一 区间与邻域设、 R ，且．我们称数集引为开区间，记作()；数集a b ∈b a <}|{b x a x <<b a ,称为闭区间，记作[]；数集{}和{}都称为半}|{b x a x ≤≤b a ,b x a x ≤≤|b x a x ≤<|开半闭区间，分别记作[)和(．以上这几类区间统称为有限区间．b a ,],b a 无限区间:[) ,+∞,a {}a x x ≥=},|{),(},|{],(a x x a a x x a >=+∞≤=-∞,都称为无限区间．}|{],(a x x a <=-∞R x x =+∞<<-∞=+∞-∞}|{),(有限区间和无限区间统称为区间．设R a ∈，0>δ．集合称为点的邻).,(}|{);(δδδδ+-=<-=a a a x x a U a δ域，记作，或简单地写作Ｕ.);(δa U )(a 点的空心邻域定义为或简单地记作，a δ},0|{);(δδ<-<=a x x a U)(a U注意的差别在于: 不包含点．);();(δδa U a U 与}0|{);(δδ<-<=a x x a Ua此外，我们还常用到以下几种邻域：点的右邻域，简记为a δ),[);(δδ+=+a a a U );(a U + 点的左邻域，简记为a δ],();(a a a U δδ-=-);(a U -去除点后，分别为点的空心左、右领域，简记为)()((a U a U +-与a a δ．))()(a U a U +- 与邻域，其中M 为充分大的正数(下同)；∞}|{)(M x x U >=∞邻域，领域．∞+}|{)(M x x U -<=+∞∞-}|{)(M x x U -<=-∞连接管口处理高中资料试卷弯扁度固保护进行整核对定值，审核与校对图卷破坏范围，或者对某些异常高中资§1.2 数集.确界定理二 有界集.确界原理定义1 设为R 中的一个数集．若存在数M(L)，使得对一切，都有M(S S x ∈x ≤x L)，则称S 为有上界(下界)的数集，数M(L)称为S 的一个上界(下界)．≥若数集既有上界又有下界，则称为有界集．若不是有界集，则称为无界集．S S S S例1 证明数集为正整数}有下界而无上界．n n N |{=+ 证 显然，任何一个不大于1的实数都是的下界，故为有下界的数集．+N +N为证N+无上界，按照定义只须证明：对于无论多么大的数M ，总存在某个正整数，使得事实上，对任何正数(无论多么大)，取，则)(+∈N n o M n o >M =0n []1+M on ，且．这就证明了无上界．+∈N M n o >+N 同样可以证明：任何有限区间都是有界集，无限区间都是无界集；由有限个数组成的数集是有界集．定义2 设是R 中的一个数集．若数满足：S η （i ）对一切，有，即是的上界；S x ∈η≤x ηS （ii ）对任何存在，使得即又是的最小上界ηα<S x o ∈α>o x ηS 则称数为数集的上确界，记作ηS Ssup =η 定义3 设是R 中的一个数集．若数满足：S ξ（i ）对一切，有，即是的下界S x ∈ξ≥x ξS（ii ）对任何，存在，使得即又是的最大下界，则称数为数ξβ>S x o ∈,β<o x ξS ξ集的下确界，记作 S Sinf =ξ上确界与下确界统称为确界．例2设为区间中的有理数}.试按上、下确界的定义验证：x x S |{=)1,0(.0inf ,1sup ==S S解 先验证:1sup =S （i ）对一切，显然有即是的上界．S x ∈1≤x 1S ii 对任何，若，则任取都有；若，则由有理数集()1<α0≤αS x o ∈α>o x 0>α在实数集中的稠密性，在中必有有理数即存在，使得．)1,(αo x S x o ∈α>o x 类似地可验证0inf =S注1 由上(下)确界的定义可见，若数集存在上(下)确界，则一定是唯一的．又若数S§1.2 数集.确界定理集存在上、下确界，则有．S S S sup inf ≤注2 数集S 的确界可能属于，也可能不属于．S S例 设数集有上确界．证明:3S SS S max sup =⇔∈=ηη 证 设，则对一切有，而，故是数集中最大)⇒S S ∈=sup ηs x ∈η≤x S ∈ηηS 的数，即，．S max =η，则；下面验证．)⇐S max =ηS ∈ηS sup =η（i ）对一切，有，即可是的上界；S x ∈η≤x ηS（ii ）对任何，只须取，则从而满足的定义．ηα<S x o ∈=ηα>o x S sup =η 定理1.1(确界原理) 设为非空数集．若有上界，则S 必有上确界；若有下界，S S S 则必有下确界．S 证 我们只证明关于上确界的结论，后一结论可类似地证明．为叙述的方便起见，不妨设含有非负数．由于有上界，故可找到非负整数，使S S n 得对于任何有;)1S x ∈1+<n x存在,使.)2S a ∈0n a ≥0对半开区间作等分,分点为,则存在中的一个数[)1,+n n 109.,,2.,1.n n n ,2,1,09, ,使得1n对于任何有；)1S x ∈101.1+<n n x存在，使．)2S a ∈111.n n a ≥再对半开区间作等分，则存在中的一个数使得)101.,.[11+n n n n 109,2,1,0 2n对于任何有)1S x ∈<x 221101.+n n n 存在，使)2S a ∈2..212n n n a ≥继续不断地等分在前一步骤中所得到的半开区间，可知对任何存在中的109,2,1,0 —个数k n ，使得§1.2 数集.确界定理对于任何有)1S x ∈kk n n n n x 101.21+< 存在，使)2S a k ∈..21k k n n n n a ≥ 将上述步骤无限地进行下去，得到实数．以下证明．为..21 k n n n n =η=ηS sup 此只需证明：（i ）对一切有；（ii ）对任何，存在使．S x ∈η≤x ηα<S ∈'α'a <α倘若结论（i ）不成立，即存在使，则可找到的位不足近似，使S x ∈η>x x k k x ，=>k k x η+k n n n n 21.k101从而得，kk n n n n x 101.21+> 但这与不等式相矛盾．于是（i ）得证．)1(现设ηα<，则存在使的位不足近似，即k ηk k k αη>，k k n n n n α> 21.根据数的构造，存在使，从而有ηS a ∈'k a η≥'，k a η≥'αα≥>k 即得到，．这说明（ii ）成立．'a <α例4设为非空数集，满足：对一切和有．证明：数集有B A ,A x ∈B y ∈y x ≤A 上确界，数集下确界，且BB A inf sup ≤()2 证 由假设，数集中任一数都是数集的上界，中任一数都是B y A A x B 的下界，故由确界原理推知数集有上确界，数集有下确界．A B现证不等式对任何，是数集的一个上界，而由上确界的定义)2(B y ∈y A 知，是数集的最小上界，故有．而此式又表明数是数集A sup A y A ≤sup A sup 的一个下界，故由下确界定义证得．B B A inf sup ≤ 例5 设为非空有界数集，．证明：B A , A S =B （i ）；}sup ,max{sup sup B A S =高中资料试卷弯扁度固定盒位置保护层对定值，审核与校对图纸，编写复杂设备或者对某些异常高中资料试卷工况进行自§1.2 数集.确界定理（ii ）.}inf min{inf,inf B S =证 由于显然也是非空有界数集，因此的上、下确界都存在．B A S =S （i ）对任何，有或或，从而有∈x S ∈x A B x ∈A s sup ≤⇒B x sup ≤≤x ，故得.}{B A sup ,sup max }{B A S sup ,sup max sup ≤另一方面，对任何，有；同理又有A x ∈;sup sup sup S A S x S x ≤⇒≤⇒∈．所以．SB sup sup ≤}{B A S sup ,sup max sup ≥综上，即证得．}{B A S sup ,sup max sup = (ii)可类似地证明．若把和补充到实数集中，并规定任一实数与、的大小关系为：∞+∞-a ∞+∞-，,,则确界概念可扩充为：若数集无上界，则定义为+∞<a -∞>a +∞<∞-S ∞+的非正常上确界，记作；若无下界，则定义为的非正常下确界，S +∞=S sup S ∞-S 记作．相应地，前面定义和定义中所定义的确界分别称为正常上、下确-∞=S inf 23界．推广的确界原理 任一非空数集必有上、下确界(正常的或非正常的).Ⅳ 小结与提问:本节要求学生掌握邻域的概念, 理解实数确界的定义及确界原理,并在有关命题中正确地加以应用.Ⅴ 课外作业:P 2、3、4、5、6、7、8.９。
第二节数集确界原理
确界原理的扩充
若把 和 补充到实数集中， 并规定一实数 a 与 、 的大小关系为 a , a , , 则确界概念可扩充为 若 S 无上界, 则定义 + 为 S 的非正常上确界，记作 sup ; 若 S 无下界, 则定义 - 为 S 的非正常下确界， 记作 inf .
相应地，前面定义2和定义3中所定义的确界分别称为正 常上、下确界. 推广的确界原理 任一非空数集必有上、下确界（正常的或非 正ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ的）.
例
正整数N+有
S y y 2 x 2 , x R 的 inf , sup 2.
inf N+ =1，sup N+ = +∞.
是Ｓ的下界中最大的一个） ，则称数 为数集Ｓ 的下确界，记作 inf S .
命题 2 inf S 的充要条件： 1） 是Ｓ下界； 2） ＞0， x0 S, 有x0 ＜ .
例3 设S { x | x为区间(0,1)中的有理数}.试按上、 下确界的定义验证： sup S 1,inf S 0.
2.邻域: 设a与 是两个实数 , 且 0.
U (a) {x a x a }.
U 0 (a) {x 0 x a }.
a
a
a
x
U () {x x M }.
二 有界集 确界原理
(一)有界集
定义1 S为R中的一个数集,若 M R, x S有x M .
注1 确界若存在则必唯一 注2 S sup S inf S 注3 S 的确界可能 S 可能 S
定义4 最大数与最小数
数集确界原理
a
a
a x
点a 旳 右邻域 和 点 a 旳空心 右邻域
U (a, ) {x a x a } [a, a ) U 0(a, ) {x a x < a } (a,a )
a
a
a x
点 a 旳 左邻域 和 点 a 旳空心 左邻域
U(a, ) {x a x a } (a ,a] U 0(a, ) {x a x a } (a ,a)
2、数集与确界的关系：确界不一定属于原集合.
3、确界与最值的关系：设E为数集. E 的最 值必属于E，但确界未必， 确界是一种临 界点. 非空有界数集必有确界， 但未必有 最值. 若max E存在， 必有 max E = supE, 对下确界有类似的结论.
思索题
1、任何有限数集是否一定都存在上、下确界？ 若都存在，它们分别是数集中的什么数？
上确界
M
上界
M1
M2
下界 下确界
m2 m1 m
确界旳精拟定义
定义3 设 S 是 R 中旳一种数集，若数 满足
(i) 对一切 x S, 有x , 即 是 S 的上界; (ii) 对任何 , 存在 x0 S, 使得 x0 , 即 又是 S 的最小上界，则称数 为数集 S 旳
上确界，记为 sup S.
例1 证明数集 N+{n / n为正整数}有下界而无上界.
证 显然，任何一个不大于1 的实数都是N 的下界，
பைடு நூலகம்故N
为有下界的数集
下证 N+ 无上界
按照无界集定义, 只须证：即对任意M 0，
存在某个正整数n0 N+ , 使得n0 M .
事实上，对任何正数M，取 n0 M 1，
则n0 N , 且n0 M , 这就证明了N无上界.
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称有理数xn a0.a1a2 L an为实数x的n 位不足近似，
而有理数xn
xn
1 10n
称为x的n 位过剩近似，n
0,1,2,L
说说明 明::
实负数实x的数不x足 近- a似0 .ax1n当a2 nL增a大n L时的不n减位，不即足有近x似0 与 x过1 剩 x近2 似 L , 过分剩别近规似定xn为当nx增n 大 a时0 .a不1a增2 L，a即n 有- 1x010n与x1xn x2-aL0 .a.1a2 L an .
§1 实数 §2 数集.确界原理 §3 函数概念 §4 具有某些特性的函数
§1 实 数
几个常用符号
1. 我们用符号“” 表示“任取” 或“对于任意的”或“对于所有的” , 符号“” 称为全称量词.
2. 我们用符号“”表示“存 符号“”称 在”. 为存在量词.
例：命题“对任意的实数x, 都存在实数y, 使得x+y=1”可表示为“xR, yR, 使x+y=1”
❖子集 如果集合A的元素都是集合B的元素, 则称A是B的子
集, 记为AB(读作A包含于B). AB若xA, 则xB.
显然, NZ, ZQ, QR.
2.集合的运算 设A、B是两个集合, 则 AB{x|xA或xB}称为A与B的并集(简称并). AB{x|xA且xB}称为A与B的交集(简称交). A\B{x|xA且xB}称为A与B的差集(简称差). ACI\A{x|xA}为称A的余集或补集, 其中I为全集.
若a0 > b0或存在非负整数l,使得ak bk (k 1,2L l)而al1 > bl1
则称x大于y或y小于x，分别记为x > y或y < x.
说说明 明:: .自对分然于 别规负 称定实x任=数何yx与非,yx,负若<实有y 数(-yx大>=x于-)y任与何-x负>实-y数, 则
•定义2
设x a0.a1a2 L an L 为非负实数
证明
由于x
<
y, 故存在非负整数n，使得x n
< yn.令r
1 2
(xn
yn
)
则r为有理数，且有x xn < r < yn y,即得x < r &t; b e ,则a b.
证明 用反证法.假若结论不成立 ，则根据实数的有序性
有a > b.令e a - b,则e为正数且a b e , 这与假设 a < b e矛盾.从而必有a b.
❖实数的性质
5.实数集R具有稠密性.即任何两个不相等的实数 之间几有另一个实数,且既有在理数,也有无理数.
6.实数集R与数轴上的点具有一一对应关系.即任 一实数都对应数轴上唯一的一点,反之,数轴上的 每一点也都唯一的代表一个实数.
例1 设x, y为实数，证明: 存在有理数r满足 : x < r < y.
的集合, RR常记作R2.
3.实数集 ❖两个实数的大小关系
• 定义1
给定两个非负实数
x a0.a1a2 L an L , y b0 .b1b2 L bn L ,其中a0 ,b0为非负整数， ak ,bk (k 1,2,L )为整数，0 ak 9,0 bk 9. 若有ak bk , k 1,2,L ,则称x与y相等，记为x y；
2.实数集是有序的.即任意两个实数a, b必满足下 述三个关系之一: a < b, a = b, a > b .
❖实数的性质
3.实数集的大小关系具有传递性.即若a > b, b > c, 则有a>c
4..实数具有阿基，米德性, 即对任何 a > b > 0, 则存在正整数 n,使得 nb > a.
把集合的全体元素一一列举出来. 例如A{a, b, c, d, e, f, g}. •描述法 若集合M是由元素具有某种性质P的元素x的全体所 组成, 则M可表示为
M{x | x具有性质P }. 例如M{(x, y)| x, y为实数, x2y21}.
❖几个数集 所有自然数构成的集合记为N, 称为自然数集. 所有实数构成的集合记为R, 称为实数集. 所有整数构成的集合记为Z, 称为整数集. 所有有理数构成的集合记为Q, 称为有理集.
•(AB)CACBC的证明 x(AB)CxABxA且xB xAC且xBC xACBC, 所以(AB)CACBC.
❖直积(笛卡儿乘积) 设A、B是任意两个集合, 则有序对集合 AB{(x, y)|xA且yB}
称为集合A与集合B的直积. 例如, RR{(x, y)| xR且yR }即为xOy面上全体点
3. 我们用符号“”表示“充分条件” 或 “推出” 这一意思. 比如, 若用p, q分别表示两个命题或陈述句. 则“ p q”表示“ 若p成立, 则q也成 立”. 即p是q成立的充分条件.
4. 我们用符号“”表示“当且仅当” 或 “充要条件” 这一意思. 比如“p q”表示“p成立当且仅当q成 立” 或者说p成立的充要条件是q成立.
提示: 如果研究某个问题限定在一个大的集合I中进行, 所
研究的其他集合A都是I的子集. 则称集合I为全集或基本 集.
❖集合运算的法则 设A、B、C为任意三个集合, 则有 (1)交换律 ABBA, ABBA; (2)结合律 (AB)CA(BC), (AB)CA(BC); (3)分配律 (AB)C(AC)(BC), (AB)C(AC)(BC); (4)对偶律 (AB)CACBC, (AB)CACBC.
•命题1
设x a.aa L 与y b.bb L 为两个实数 ，
则x > y的充要条件是 : n N , xn > y n.
其中 xn表示 x的n位不足近似 ，y n表示 y的n位过剩近似 .
❖实数的性质
1.实数集R对加,减,乘,除(除数不为0)四则运算是封闭的. 即任意两个实数和,差,积,商(除数不为0)仍然是实数.
1.集合
一、集合
❖集合
集合是指具有某种特定性质的事物的总体.
集合可用大写的字母A, B, C, D 等标识.
❖元素
组成集合的事物称为集合的元素.
集合的元素可用小写的字母a, b, c, d 等标识.
a是集合M的元素记为aM, 读作a属于M.
a不是集合M的元素记为aM, 读作a不属于M.
❖集合的表示 •列举法