三角函数经典例题讲解【精品】

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三角函数总结经典例题

第三章三角函数3.1任意角三角函数一、知识导学1．角：角可以看成由一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的几何图形.角的三要素是：顶点、始边、终边.角可以任意大小，按旋转的方向分类有正角、负角、零角. 2．弧度制：任一已知角α的弧度数的绝对值rl=α，其中l 是以α作为圆心角时所对圆弧的长，r 为圆的半径.规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零.用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制.3．弧度与角度的换算：rad π2360=；rad 1745.01801≈=π；130.57180≈⎪⎭⎫ ⎝⎛=πrad .用弧度为单位表示角的大小时，弧度（rad ）可以省略不写.度()不可省略.4．弧长公式、扇形面积公式：,r l α=2||2121r lr S α=＝扇形,其中l 为弧长，r 为圆的半径.圆的周长、面积公式是弧长公式和扇形面积公式中当πα2=时的情形.5．任意角的三角函数定义：设α是一个任意大小的角，角α终边上任意一点P 的坐标是()y x ,，它与原点的距离是)0(>r r ，那么角α的正弦、余弦、正切、余切、正割、余割分别是yrx r y x x y r x r y ======ααααααc s c ,s e c ,c o t ,t a n ,c o s ,s i n .这六个函数统称为三角函数.7．三角函数值的符号：各三角函数值在第个象限的符号如图所示（各象限注明的函数为正，其余为负值）可以简记为“一全、二正、三切、四余”为正. 二、疑难知识导析1．在直角坐标系内讨论角（1）角的顶点在原点，始边在x 轴的正半轴上，角的终边在第几象限，就称这个角是第几象限角（或说这个角属于第几象限）.它的前提是“角的顶点为原点，角的始边为x 轴的非负半轴.否则不能如此判断某角为第几象限.若角的终边落在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限.（2）与α角终边相同的角的集合表示.{}Z k k ∈+⋅=,360αββ，其中α为任意角.终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同，终边相同的角有无数多个，它们相差360整数倍. 2．值得注意的几种范围角的表示法“0 ～ 90间的角”指 900<≤θ；“第一象限角”可表示为{}Z k k k ∈+⋅<<⋅,90360360θθ；“小于90的角”可表示为{}90<θθ. 3．在弧度的定义中rl与所取圆的半径无关，仅与角的大小有关. 4．确定三角函数的定义域时，主要应抓住分母为零时比值无意义这一关键.当终边在坐标轴上时点P 坐标中必有一个为0.5．根据三角函数的定义可知：（1）一个角的三角函数值只与这个角的终边位置有关，即角α与)(360Z k k ∈⋅=β的同名三角函数值相等；（2）r y r x ≤≤,，故有1sin ,1cos ≤≤αα，这是三角函数中最基本的一组不等关系. 6．在计算或化简三角函数关系式时，常常需要对角的范围以及相应三角函数值的正负情况进行讨论.因此，在解答此类问题时要注意：（1）角的范围是什么？（2）对应角的三角函数值是正还是负？（3）与此相关的定义、性质或公式有哪些？三、经典例题导讲[例1] 若A 、B 、C 是ABC ∆的三个内角，且)2(π≠<<C C B A ，则下列结论中正确的个数是（）①.C A sin sin < ②.C A cot cot < ③.C A tan tan < ④.C A cos cos <A ．1 B.2 C.3 D.4错解：C A < ∴ C A sin sin <，C A tan tan <故选B错因：三角形中大角对大边定理不熟悉，对函数单调性理解不到位导致应用错误正解：法1C A < 在ABC ∆中，在大角对大边，A C a c sin sin ,>∴>法2 考虑特殊情形，A 为锐角，C 为钝角，故排除B 、C 、D ，所以选A . [例2]已知βα,角的终边关于y 轴对称，则α与β的关系为 . 错解：∵βα,角的终边关于y 轴对称，∴22πβα=++πk 2，（)z k ∈错因：把关于y 轴对称片认为关于y 轴的正半轴对称.正解：∵βα,角的终边关于y 轴对称 ∴)(,22Z k k ∈+=+ππβα即)(,2z k k ∈+=+ππβα说明：（1）若βα,角的终边关于x 轴对称，则α与β的关系为)(,2Z k k ∈=+πβα（2）若βα,角的终边关于原点轴对称，则α与β的关系为)(,)12(Z k k ∈++=πβα （3）若βα,角的终边在同一条直线上，则α与β的关系为)(,Z k k ∈+=παβ[例3] 已知542cos ,532sin-==θθ，试确定θ的象限. 错解：∵0542cos ,0532sin <-=>=θθ，∴2θ是第二象限角，即.,222z k k k ∈+<<ππθπ从而.,244z k k k ∈+<<ππθπ故θ是第三象限角或第四象限角或是终边在y 轴负半轴上的角.错因：导出2θ是第二象限角是正确的，由0542cos ,0532sin <-=>=θθ即可确定，而题中542cos ,532sin -==θθ不仅给出了符号，而且给出了具体的函数值，通过其值可进一步确定2θ的大小，即可进一步缩小2θ所在区间.正解：∵0542cos ,0532sin <-=>=θθ，∴2θ是第二象限角，又由43sin 22532sinπθ=<=知z k k k ∈+<<+,22432ππθππ z k k k ∈+<<+,24234ππθππ，故θ是第四象限角. [例4]已知角α的终边经过)0)(3,4(≠-a a a P ，求ααααcot ,tan ,cos ,sin 的值. 错解：a y x r a y a x 5,3,422=+=∴=-=3434cot ,4343tan ,5454cos ,5353sin -=-=-=-=-=-===∴a a a a a a a a αααα错因：在求得r 的过程中误认为a >0正解：若0>a ，则a r 5=，且角α在第二象限3434cot ,4343tan ,5454cos ,5353sin -=-=-=-=-=-===∴a a a a a a a a αααα若0<a ，则a r 5-=，且角α在第四象限3434cot ,4343tan ,5454cos ,5353sin -=-=-=-==--=-=-=∴a a a a a a a a αααα 说明：（1）给出角的终边上一点的坐标，求角的某个三解函数值常用定义求解；（2）本题由于所给字母a 的符号不确定，故要对a 的正负进行讨论. [例5] （1）已知α为第三象限角，则2α是第象限角，α2是第象限角；（2）若4-=α，则α是第象限角. 解：（1）α 是第三象限角，即Z k k k ∈+<<+,2322ππαππZ k k k ∈+<<+∴,4322ππαππ，Z k k k ∈+<<+,34224ππαππ当k 为偶数时，2α为第二象限角当k 为奇数时，2α为第四象限角而α2的终边落在第一、二象限或y 轴的非负半轴上. （2）因为ππ-<-<-423，所以α为第二象限角. 点评：α为第一、二象限角时，2α为第一、三象限角，α为第三、四象限角时，2α为第二、四象限角，但是它们在以象限角平分线为界的不同区域.[例6]一扇形的周长为20cm ，当扇形的圆心角α等于多少时，这个扇形的面积最大？最大面积是多少？解：设扇形的半径为rcm ，则扇形的弧长cm r l )220(-=扇形的面积25)5()220(212+--=⋅-=r r r S 所以当cm r 5=时，即2,10===rl cm l α时2max 25cm S =.点评：涉及到最大（小）值问题时，通常先建立函数关系，再应用函数求最值的方法确定最值的条件及相应的最值. [例7]已知α是第三象限角，化简ααααsin 1sin 1sin 1sin 1+---+。

高中三角函数习题解析精选(含详细解答)

三角函数题解1.（2003上海春，15）把曲线y cos x +2y －1=0先沿x 轴向右平移2π个单位，再沿y 轴向下平移1个单位，得到的曲线方程是（）A.（1－y ）sin x +2y －3=0B.（y －1）sin x +2y －3=0C.（y +1）sin x +2y +1=0D.－(y +1)sin x +2y +1=0 2.（2002春北京、安徽，5）若角α满足条件sin2α＜0，cos α－sin α＜0，则α在（） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.（2002上海春，14）在△ABC 中，若2cos B sin A ＝sinC ，则△ABC 的形状一定是（） A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形4.（2002京皖春文，9）函数y =2sin x 的单调增区间是（） A.［2k π－2π，2k π＋2π］（k ∈Z ）B.［2k π＋2π，2k π＋23π］（k ∈Z ）C.［2k π－π，2k π］（k ∈Z ）D.［2k π，2k π＋π］（k ∈Z ）5.（2002全国文5，理4）在（0，2π）内，使sin x ＞cos x 成立的x 取值范围为（） A.（4π，2π）∪（π，45π）B.（4π，π）C.（4π，45π）D.（4π，π）∪（45π，23π）6.（2002北京，11）已知f （x ）是定义在（0，3）上的函数，f （x ）的图象如图4—1所示，那么不等式f （x ）cos x ＜0的解集是（）A.（0，1）∪（2，3）B.（1，2π）∪（2π，3）图4—1C.（0，1）∪（2π，3）D.（0，1）∪（1，3）7.（2002北京理，3）下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间（2π，π）上为减函数的是（）A.y =cos 2xB.y ＝2|sin x |C.y ＝(31)cos xD.y =－cot x8.（2002上海，15）函数y =x +sin|x |，x ∈［－π，π］的大致图象是（）9.（2001春季北京、安徽，8）若A 、B 是锐角△ABC 的两个内角，则点P （cos B －sin A ，sin B －cos A ）在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限10.（2001全国文，1）tan300°+cot405°的值是（） A.1＋3B.1－3C.－1－3D.－1＋311.（2000全国，4）已知sin α＞sin β，那么下列命题成立的是（） A.若α、β是第一象限角，则cos α＞cos β B.若α、β是第二象限角，则tan α＞tan β C.若α、β是第三象限角，则cos α＞cos β D.若α、β是第四象限角，则tan α＞tan β12.（2000全国，5）函数y ＝－x cos x 的部分图象是（）13.（1999全国，4）函数f （x ）=M sin （ωx ＋ϕ）（ω＞0），在区间［a ，b ］上是增函数，且f （a ）=－M ，f （b ）=M ，则函数g （x ）=M cos （ωx ＋ϕ）在［a ，b ］上（）A.是增函数B.是减函数C.可以取得最大值－D.可以取得最小值－m14.（1999全国，11）若sin α＞tan α＞cot α（－2π＜α＜2π)，则α∈（） A.（－2π，－4π） B.（－4π，0）C.（0，4π） D.（4π，2π）15.（1999全国文、理，5）若f （x ）sin x 是周期为π的奇函数，则f （x ）可以是（） A.sin x B.cos x C.sin2x D.cos2x16.（1998全国，6）已知点P （sin α－cos α，tan α）在第一象限，则在［0，2π］内α的取值范围是（）A.（2π，43π）∪（π，45π） B.（4π，2π）∪（π，45π） C.（2π，43π）∪（45π，23π） D.（4π，2π）∪（43π，π） 17.（1997全国，3）函数y =tan （3121-x π）在一个周期内的图象是（）18.（1996全国）若sin 2x >cos 2x ，则x 的取值范围是（） A.{x |2k π－43π<x <2k π+4π，k ∈Z }B.{x |2k π+4π<x <2k π+45π，k ∈Z }C.{x |k π－4π<x <k π+4π，k ∈Z }D.{x |k π+4π<x <k π+43π，k ∈Z }19.（1995全国文，7）使sin x ≤cos x 成立的x 的一个变化区间是（） A.［－43π，4π］ B.［－2π，2π］C.［－4π，43π］ D.［0，π］20.（1995全国，3）函数y ＝4sin （3x ＋4π）＋3cos （3x ＋4π）的最小正周期是（）A.6πB.2πC.32πD.3π21.（1995全国，9）已知θ是第三象限角，若sin 4θ＋cos 4θ＝95，那么sin2θ等于（） A.322 B.－322 C.32D.－32 22.（1994全国文，14）如果函数y =sin2x +a cos2x 的图象关于直线x =－8π对称，那么a等于（）A.2B.－2C.1D.－123.（1994全国，4）设θ是第二象限角，则必有（） A.tan2θ>cot 2θ B.tan2θ<cot 2θC.sin2θ>cos 2θD.sin2θ－cos 2θ 24.（2002上海春，9）若f （x ）=2sin ωx （0＜ω＜1)在区间［0，3π］上的最大值是2，则ω＝ .25.（2002北京文，13）sin 52π，cos 56π，tan 57π从小到大的顺序是 .26.（1997全国，18）︒︒-︒︒︒+︒8sin 15sin 7cos 8sin 15cos 7sin 的值为_____.27.（1996全国，18）tan20°+tan40°+3tan20°·tan40°的值是_____.28.（1995全国理，18）函数y ＝sin （x －6π）cos x 的最小值是 .29.（1995上海，17）函数y ＝sin 2x ＋cos 2x在（－2π，2π）内的递增区间是 .30.（1994全国，18）已知sin θ＋cos θ＝51，θ∈（0，π），则cot θ的值是 .31.（2000全国理，17）已知函数y ＝21cos 2x ＋23sin x cos x ＋1，x ∈R .（1）当函数y 取得最大值时，求自变量x 的集合；（2）该函数的图象可由y ＝sin x （x ∈R ）的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到?32.（2000全国文，17）已知函数y ＝3sin x ＋cos x ，x ∈R .（1）当函数y 取得最大值时，求自变量x 的集合；（2）该函数的图象可由y ＝sin x （x ∈R ）的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到?33.（1995全国理，22）求sin 220°＋cos 250°＋sin20°cos50°的值.34.（1994上海，21）已知sin α＝53，α∈（2π，π），tan （π－β）＝21，求tan （α－2β）的值.35.（1994全国理，22）已知函数f （x ）=tan x ，x ∈（0，2π），若x 1、x 2∈（0，2π），且x 1≠x 2，证明21［f （x 1）＋f （x 2）］＞f （221x x +）.36.已知函数12()log (sin cos )f x x x =-⑴求它的定义域和值域； ⑵求它的单调区间； ⑶判断它的奇偶性； ⑷判断它的周期性.37. 求函数f (x )=121log cos()34x π+的单调递增区间38. 已知f (x )=5sin x cos x -35cos 2x +325（x ∈R ） ⑴求f (x )的最小正周期； ⑵求f (x )单调区间；⑶求f (x )图象的对称轴，对称中心。

三角函数知识点及典型例题

三角函数知识点及典型例题三角函数知识点及典型例题§1.1.1、任意角1、正角、负角、零角、象限角的概念.2、与角α终边相同的角的集合：{}|360,S k k Z ββα==+?∈.§1.1.2、弧度制1、把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.2、 rl =α.3、弧长公式： R4、扇形面积公式： S=21 lr=21αr 2.§1.2.1、任意角的三角函数1、设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点()y x P ,，那么：xyx y ===αααtan ,cos ,sin . 2、设点()00,y x A 为角α终边上任意一点，那么：（设2020y x r +=）_______sin r y =α，________cos rx=α，_____tan x y =α.3、αsin ，αcos ，αtan 在四个象限的符号一正二正弦三切四余和三角函数线的画法. 4、诱导公式一：()()()_tan _2tan _cos _2cos _sin _2sin απααπααπα=+=+=+kk k （Z k ∈）5、特殊角0°，30°，45°，60°，90°，180°，270°的三角函数值. §1.2.2、同角三角函数的基本关系式1、平方关系：22sin cos 1αα+=.2、商数关系：sin tan cos ααα=. §1.3、三角函数的诱导公式1、诱导公式二：()()()._tan _tan _,cos _cos _,sin _sin ααπααπααπ=+-=+-=+2、诱导公式三：()()()._tan _tan _____,cos _cos _,sin _sin αααααα-=-=--=-3、诱导公式四：()()()._tan _tan _,cos _cos _,sin _sin ααπααπααπ-=--=-=-4、诱导公式五：._sin _2cos _,cos _2sin ααπααπ=??-=-5、诱导公式六：._sin _2cos _,cos _2sin ααπααπ-=??+=+ §1.4.1、正弦、余弦函数的图象1、记住正弦、余弦函数图象：2、能够对照图象讲出正弦、余弦函数的相关性质：定义域、值域、最大最小值、对称轴、对称中心、奇偶性、单调性、周期性. 3、会用五点法作图.§1.4.2、正弦、余弦函数的性质1、周期函数定义：对于函数()x f ，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有()()x f T x f =+，那么函数()x f 就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期.§1.4.3、正切函数的图象与性质 1、记住正切函数的图象：2、能够对照图象讲出正切函数的相关性质：定义域、值域、对称中心、奇偶性、单调性、周期性. §1.5、函数()?ω+=x A y sin 的图象1、能够讲出函数x y sin =的图象和函数()b x A y ++=?ωsin 的图象之间的平移伸缩变换关系.2、对于函数：()()0,0sin >>++=ω?ωA b x A y 有：振幅A ，周期ωπ2=T ，初相?，相位?ω+x ，频率πω21==f .第三章、三角恒等变换两角和与差的正弦、余弦、正切公式cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-sin()αβ+=sin cos cos sin αβαβ+sin()sin cos cos sin αβαβαβ-=-tan()αβ-tan tan 1tan tan αβαβ-=+ . tan()αβ+tan tan 1tan tan αβαβ+=-二倍角的正弦、余弦、正切公式1、_cos sin 2_2sin ααα=，变形：cos α=ααsin 22sin .2、22cos2cossin ααα=-22cos 1α=-212sin α=-变形1：21cos 2cos 2αα+=，变形2：21cos 2sin 2αα-=. 3、22tan tan 21tan ααα=- 1、注意正切化弦、平方降次. 解三角形 1、正弦定理R CcB b A a 2sin sin sin === 2、余弦定理a A bc c b cos 222-+=变形 cosA=bca cb 2222-+b B ac c a cos 2222-+=变形 cosB=acb c a 2222-+c C ab b a cos 2222-+=变形cosC=abc b a 2222-+3、三角形面积公式： S =21absinC=21bcsinA=21acsinB 课本题(必修4)1.（P 11 习题13）若扇形的周长为定值l ，则该扇形的圆心角为多大时，扇形的面积最大？22.（P 23 练习4）已知sin （4π-x ）=-51，且0<x<="">623.（ P 24 习题9(2)）设tan α=-21，计算αααα22cos 2cos sin sin 1--。

第五章三角函数典型易错题集(解析版)

第五章三角函数典型易错题集易错点1．忽略顺时针旋转为负角，逆时针旋转为正角。

【典型例题1】（2022·全国·高一专题练习）将手表的分针拨快10分钟，则分针在旋转过程中形成的角的弧度数是（） A ．6πB ．3π C ．6π-D ．3π-【错解】B将手表的分针拨快10分钟，则分针在旋转过程中形成的角的弧度数是102603ππ⨯=. 点评：学生对角的理解还是局限在0360之间，把角都当成正数，容易忽视角的定义，顺时针旋转为负，逆时针旋转为正。

【正解】D 【详解】将手表的分针拨快10分钟，则分针在旋转过程中形成的角的弧度数是102603ππ-⨯=-. 故选：D.易错点2．在三角函数定义中，忽略点坐标值的正负。

【典型例题2】（2022·湖北襄阳·高一期中）设α是第三象限角，(),4P x -为其终边上的一点，且1cos 5x α=，则tan α=（） A ．43-或43B ．34C ．43D ．34-【错解】A解：(,4)P x -为其终边上的一点，且1cos 5x α=， ∴15x，解得：3x =±，所以(3,4)P ∴--或者(3,4)P ∴-，所以44tan 33α-∴==-或者44tan 33α-∴==-点评：学生在解此类问题时往往忽略了角α15x=方程时容易造成两种错误:①293a a =⇒=,这类错误往往学生只能看到正根，没有负根。

②第二类错误，本题也解出了3x =±，但是忽视了本题α是第三象限角，此时x 是负数，要舍去其中的正根。

【答案】C 【详解】解：(,4)P x -为其终边上的一点，且1cos 5x α=， ∴15x，解得：0x =或3x =±，又α是第三象限角，0x ∴<，3x ∴=-，(3,4)P ∴--， 44tan 33α-∴==-．故选：C ．易错点3．分数的分子分母同乘或者同除一个数，分数的值不变（分数基本性质）【典型例题3】（2022·安徽省五河第一中学高二月考）已知tan 2θ=则22sin sin cos 2cos θθθθ+-的值为________．【错解】4222222sin sin cos 2cos (sin sin cos 2cos )cos tan tan 24θθθθθθθθθθθ+-=+-÷=+-=点评：学生在此类问题时多数出现分式问题，习惯了分子分母同除以cos θ（或者2cos θ），但本题是一个整式，要先化成分式，才能进一步同时除以cos θ（或者2cos θ）。

专题01 锐角三角函数和特殊角的三角函数(六大类型)(题型专练)(解析版)

专题01 锐角三角函数和特殊角的三角函数（六大类型）【题型1锐角三角函数的概念】【题型2 锐角三角函数的增减性】【题型3特殊角三角函数值】【题型4 同角三角函数的关系】【题型5 互余两角三角函数的关系】【题型6 三角函数的计算】【题型1锐角三角函数的概念】1．（2022秋•道县期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，则tan A 的值为（）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，∴tan A＝．故选：B．2．（2023•南岗区校级开学）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2BC，则tan B 等于（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：∵∠C＝90°，AB＝2BC，∴AC＝＝＝BC，∴tan B＝＝＝．故选：D．3．（2022秋•路北区校级期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，则cos B的值等于（）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：∵∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，∴BC＝＝6，∴cos B＝＝＝．故选：A．4．（2023•新华区校级模拟）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若c为斜边，a、b 为直角边，且a＝5，b＝12，则sin A的值为（）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：在Rt△ABC中，c＝＝＝13，sin A＝．故选：B．5．（2023•陈仓区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝8，BC＝10，则sin B的值是（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝8，BC＝10，∴AC＝，∴sin B＝＝＝，故选：C ．6．（2023•虹口区一模）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝1，BC ＝2，那么cos A 的值为（）A ．B ．2C ．D ．【答案】C【解答】解：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝1，BC ＝2，由勾股定理，得AB ＝＝．由锐角的余弦，得cos A ＝＝＝．故选：C ．7．（2023•金山区一模）在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝4，BC ＝3，则∠B 的正切值等于（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解答】解：∵∠ACB ＝90°，AC ＝4，BC ＝3，∴tan B ＝＝．故选：A ．8．（2023•长宁区一模）在△ABC 中，∠C ＝90°，已知AC ＝3，AB ＝5，那么∠A 的余弦值为（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解答】解：在Rt △ABC 中，AC ＝3，AB ＝5，故选：C．【题型2 锐角三角函数的增减性】9．（2023•未央区校级三模）若tan A＝2，则∠A的度数估计在（）A．在0°和30°之间B．在30°和45°之间C．在45°和60°之间D．在60°和90°之间【答案】D【解答】解：∵tan45°＝1，tan60°＝，而tan A＝2，∴tan A＞tan60°，∴60°＜∠A＜90°．故选：D．10．（2022秋•惠山区校级期中）已知∠A为锐角，且tan A＝3，则∠A的取值范围是（）A．0°＜∠A＜30°B．30°＜∠A＜45°C．45°＜∠A＜60°D．60°＜∠A＜90°【答案】D【解答】解：tan30°＝，tan45°＝1，tan60°＝，∵tan A＝3，∴3，又∵一个锐角的正切值随锐角度数的增大而增大，∴60°＜∠A＜90°，故选：D．11．（2021秋•淮北月考）已知角α为△ABC的内角，且cosα＝，则α的取值范围是（）A．0°＜α＜30°B．30°＜α＜45°C．45°＜α＜60°D．60°＜α＜90°【答案】C【解答】解：∵cos60°＝，cos45°＝，∴cos60°＜cosα＜cos45°，∴45°＜α＜60°，故选：C．【题型3特殊角三角函数值】12．（2022秋•嵊州市期末）已知tan A＝，∠A是锐角，则∠A的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．90°【答案】A【解答】解：∵，且∠A是锐角，∴∠A＝30°，故选：A．13．（2023•河西区模拟）计算2cos30°的结果为（）A．B．1C．D．【答案】C【解答】解：∵cos30°＝，∴2cos30°＝2×＝．故选：C．14．（2023•肃州区三模）sin60°的相反数（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：∵sin60°＝，∴sin60°的相反数是﹣．故选：C．15．（2023•高州市一模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若cos A＝，则∠A的大小是（）A．30°B．45°C．60°D．75°【答案】C【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∴∠A为锐角，∵cos A＝，∴∠A＝60°，故选：C．16．（2023•南开区二模）下列三角函数中，结果为的是（）A．cos30°B．tan30°C．sin60°D．cos60°【答案】D【解答】解：A．cos30°＝，不符合题意；B．tan30°＝，不符合题意；C．sin60°＝，不符合题意；D．cos60°＝sin30°＝，符合题意．故选：D．17．（2023•河西区一模）cos60°的值等于（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：cos60°＝，故选：D．18．（2023•东莞市校级一模）已知∠A为锐角且tan A＝，则∠A＝（）A．30°B．45°C．60°D．不能确定【答案】C【解答】解：∵∠A为锐角，tan A＝，∴∠A＝60°．故选：C．19．（2023•迎泽区校级二模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AC＝，那么∠B的度数是（）A．15°B．45°C．30°D．60°【答案】D【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∵tan B＝＝＝，∴∠B＝60°，故选：D．【题型4 同角三角函数的关系】20．（2023•泉港区模拟）已知∠A是锐角△ABC的内角，，则cos A的值是（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：由勾股定理可得sin2A+cos2A＝1，∵，∴（）2+cos2A＝1，∴cos2A＝，∴cos A＝或cos A＝﹣（舍去），故选：C．21．（2022秋•日照期末）若α为锐角，且sinα＝，则tanα为（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：由α为锐角，且sinα＝，得cosα＝＝＝，tanα＝＝＝，故选：D．22．（2022秋•桐柏县期末）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°．若sin A＝，则cos A等于（）A．B．C．D．1【答案】A【解答】解：∵sin2A+cos2A＝1，sin A＝，∴+cos2A＝1，∵∠A为锐角，∴cos A＝．故选：A．23．（2022秋•滦州市期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，，则cos A＝（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，＝，可设BC＝4k，则AB＝5k，由勾股定理得，AC＝＝3k，∴cos A＝＝，故选：C．24．（2023•钟楼区校级模拟）在Rt△ABC中，∠C＝90°，tan A＝，则cos A 等于（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：如图：设BC＝5x，∵tan A＝，∴AC＝12x，AB＝＝13x，∴cos A＝＝＝．故选：D．25．（2023秋•二道区校级月考）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若cos A＝，则sin A的值为．【答案】．【解答】解：∵sin2A+cos2A＝1，又∵，∴，∴sin A＝或（舍去），故答案为：．【题型5 互余两角三角函数的关系】26．（2023秋•肇源县校级月考）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，则tan B的值为（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，，∴，设BC＝12x，则AB＝13x，，∴，故选：D．27．（2023•二道区校级模拟）在Rt△ABC中，AC≠BC，∠C＝90°，则下列式子成立的是（）A．sin A＝sin B B．sin A＝cos B C．tan A＝tan B D．cos A＝tan B 【答案】B【解答】解：A、sin A＝，sin B＝，sin A≠sin B，故不符合题意；B、sin A＝，cos B＝，sin A＝cos B，故B符合题意；C、tan A＝，tan B＝，tan A≠tan B，故不符合题意；D、cos A＝，tan B＝，则cos A≠tan B，故不符合题意；故选：B．28．（2023秋•东阿县校级月考）在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，则cos B 的值为（）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：∵cos B＝，sin A＝＝，∴cos B＝．故选：B．29．（2022秋•双牌县期末）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，则tan B 的值为（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，∴sin A＝＝，∴设BC＝4a，AB＝5a，∴AC＝＝＝3a，∴tan B＝＝，故选：D．30．（2023•新邵县校级一模）已知△ABC中，∠A＝90°，tan B＝，则sin C＝．【答案】．【解答】解：如图．∵∠A＝90°，tan B＝，∴设AC＝x，则AB＝2x．∴BC＝＝．∴sin C＝．故答案为：．31．（2023•未央区校级二模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，则tan B 的值为．【答案】．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，∴sin A＝＝，∴设BC＝3a，AB＝5a，∴AC＝＝＝4a，∴tan B＝＝＝．故答案为：．【题型6 三角函数的计算】32．（2023春•江岸区校级月考）计算：．【答案】1．【解答】解：＝＝2﹣1＝1．33．（2022秋•蜀山区校级期末）计算：sin245°+tan60°•cos30°．【答案】2．【解答】解：原式＝（）2+×＝+＝2．34．（2023春•朝阳区校级期末）计算：．【答案】见试题解答内容【解答】解：＝2×﹣+1﹣×＝﹣+1﹣＝．35．（2022秋•武功县期末）计算：sin45°+2cos30°﹣tan60°．【答案】见试题解答内容【解答】解：原式＝+2×﹣＝+﹣＝．36．（2022秋•南通期末）计算：tan45°﹣2sin30°+4cos230°．【答案】3．【解答】解：原式＝＝1﹣1+3＝3．37．（2022秋•辛集市期末）计算：sin60°•tan30°+．【答案】1．【解答】解：原式＝＝+＝1．。

三角函数高三计算题解析

三角函数高三计算题解析一、单选题1．（2024·湖北·二模）若ππcos ,,tan 223sin αααα⎛⎫∈-= ⎪-⎝⎭，则πsin 23α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A ．718-B ．718-C ．18-D ．182．（23-24高三下·重庆·阶段练习）若,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且cos 13αα=，则sin 212α⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为（）A B ．338C ．D ．3．（2024·全国·模拟预测）已知角θ的顶点为坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，点2023π2023πsin,cos46P⎛⎫⎪⎝⎭在角θ的终边上，则sin21cos2θθ=+（）AB．C D．4．（2024·陕西咸阳·二模）当函数3sin4cosy x x=+取得最小值时，sin6x⎛⎫+=⎪⎝⎭（）A．4+-B．310+-C．310+D．410+5．（2024·安徽·模拟预测）已知()tan 4αβ-=，()()sin 3cos αβαβ-=+，则tan tan αβ-=（）A ．12B ．35C ．65D ．536．（2024·山东泰安·一模）若2πcos 24sin 22αα⎛⎫+-=- ⎪⎝⎭，则tan2α=（）A ．2-B ．12-C ．2D ．127．（2024·贵州毕节·模拟预测）已知sin 125α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cos 3α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．10-B ．5-C ．4D ．34-8．（2024·福建泉州·模拟预测）若0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，3sin 2cos 2sin cos 20αααα+=，则tan α=（）A ．4B ．2C ．12D ．149．（2024·河北·模拟预测）已知1tan 22θ=-，则3cos sin cos θθθ=+（）A ．925-B ．925C ．2725-D ．272510．（2024·江苏盐城·模拟预测）在ABC 中，已知tan tan tan tan 1A B A B ++=，则cos 2sin C C +的值为（）A ．2B ．2C D ．11．（2024·辽宁·一模）已知,αβ满足πππ2π,44αβ≤≤-≤≤，且553π32cos 5,962sin252ααββ⎛⎫-+=+=- ⎪⎝⎭，则24πsin 994αβ⎛⎫+-=⎪⎝⎭（）A B C D12．（23-24高三下·内蒙古锡林郭勒盟·开学考试）若cos 20501)a -=，则=a （）A ．12B ．1C ．32D ．213．（23-24高三下·江苏扬州·阶段练习）已知()cos(),cos 35αβαβ+=-=，则2log (tan tan )αβ-=（）A ．12B ．12-C ．2D ．2-【答案】D根据余弦的和差角公式求得tan tan αβ，再求结果即可.【详解】因为()11cos(),cos35αβαβ+=-=，14．（2024高三·全国·专题练习）已知sin 1523α︒⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则()cos 30α︒-=（）A ．13B ．13-C ．23D ．23-【答案】A 【详解】因为sin （15°－）＝，所以cos （30°－α）＝cos 2（15°－）＝1－2sin2（15°－）＝1－2×＝.15．（2024·吉林白山·二模）若πcos 43πcos 4αα⎛⎫+ ⎪⎝⎭=⎛⎫- ⎪⎝⎭，则πtan 24α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A ．7-B ．7C ．17-D ．17【详解】因为πcos cos sin 1tan 43πcos sin 1tan cos 4αααααααα⎛⎫+ ⎪--⎝⎭===++⎛⎫- ⎪⎝⎭，故1tan 2α=-，则22122tan 42tan21tan 3112ααα⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭===--⎛⎫-- ⎪⎝⎭，故4π1tan2tanπ34tan 27π441tan2tan 143ααα---⎛⎫-== ⎪⎝⎭+⋅-.故选：B.16．（23-24高三下·江西·开学考试）已知α为锐角，且πtan tan 14αα⎛⎫++= ⎪⎝⎭，则sin 21cos 2αα+=（）A ．12B ．3-C ．2-D ．13【答案】C 【分析】根据已知条件结合两角和的正切公式可得出关于tan α的方程，由已知可得出tan 0α>，可得出关于tan α的方程，求出tan α的值，利用二倍角的正弦和余弦公式可求得所求代数式的值.【详解】因为α为锐角，则tan 0α>，则πtantan π4tan tan tan π41tan tan 4ααααα+⎛⎫++=+⎪⎝⎭-1tan tan 11tan ααα+=+=-，整理可得2tan 3tan 0αα-=，解得tan 3α=，所以，()()()22222cos sin sin 21cos 2sin cos sin cos 2cos sin cos sin cos sin αααααααααααααα++++==--+cos sin 1tan 132cos sin 1tan 13αααααα+++====----.故选：C.17．（2023·全国·高考真题）已知()11sin ,cos sin 36αβαβ-==，则()cos 22αβ+=（）．A ．79B ．19C ．19-D ．79-18．（2021·全国·高考真题）若tan 2θ=-，则sin 1sin 2sin cos θθ+=+（）A ．65-B ．25-C ．25D ．6519．（2021·全国·高考真题）若0,,tan 222sin παααα⎛⎫∈= ⎪-⎝⎭，则tan α=（）A ．15B C D20．（1995·全国·高考真题）已知θ是第三象限的角，且44sin cos 9+=θθ，那么sin 2θ的值为A B ．C ．23D ．23-。

高考数学-三角函数专题复习

高考数学-三角函数专题复习三角函数专题考点例题解析】考点1.求值1、求sin330°、tan690°、sin585°的值。

解：利用三角函数的周期性和对称性，可得：sin330°=sin(360°-30°)=sin30°=1/2tan690°=tan(720°-30°)=tan30°=1/√3sin585°=sin(540°+45°)=sin45°=√2/22、已知角α为第三象限角，求sin(α+π/2)的值。

解：由于α为第三象限角，所以sinα<0，cosα<0.又因为sin(α+π/2)=cosα，所以sin(α+π/2)<0.3、已知sinθ+cosθ=5/3，cosθ-sinθ=2，求sin2θ的值。

解：将sinθ+cosθ和cosθ-sinθ相加，可得cosθ+cosθ=5/3+2=11/3，即cosθ=11/6.将cosθ-sinθ和sinθ+cosθ相减，可得2sinθ=-1/6，即sinθ=-1/12.代入sin2θ=2sinθcosθ的公式，可得sin2θ=-11/72.4、已知si n(π/4-α)=2/√5，求cosα的值。

解：sin(π/4-α)=sinπ/4cosα-cosπ/4sinα=2/√5，代入cosπ/4=√2/2和sinπ/4=√2/2，可得cosα=1/√10.5、已知f(cosx)=cos3x，求f(sin30°)的值。

解：将x=π/6代入f(cosx)=cos3x，可得f(cosπ/6)=cos(3π/6)=cosπ=-1.又因为sin30°=cosπ/6，所以f(sin30°)=-1.6、已知tanα=15π/22，求cos(π/2-α)的值。

解：tanα=15π/22，所以α为第三象限角，cos(π/2-α)=sinα>0.由tanα=sinα/cosα，可得cosα=15/√466，代入sin^2α+cos^2α=1，可得sinα=7/√466，最终可得cos(π/2-α)=7/15.7、已知tan(π/4+x)=2tan(π/4-x)，求cos2x的值。

高考数学三角函数典型例题

三角函数典型例题1 ．设锐角ABC ∆的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，,2sin a b A =.(Ⅰ)求B 的大小;(Ⅱ)求cos sin A C +的取值范围.【解析】:(Ⅰ)由2sin a b A =,根据正弦定理得sin 2sin sin A B A =,所以1sin 2B =, 由ABC ∆为锐角三角形得π6B =. (Ⅱ)cos sin cos sin A C A A π⎛⎫+=+π-- ⎪6⎝⎭cos sin 6A A π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭1cos cos 2A A A =++3A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.2 ．在ABC ∆中,角A ． B ．C 的对边分别为a 、b 、c,且满足(2a-c)cosB=bcos C ．(Ⅰ)求角B 的大小;(Ⅱ)设()()()2411m sin A,cos A ,n k,k ,==>且m n ⋅的最大值是5,求k 的值.【解析】:(I)∵(2a -c )cos B =b cos C ,∴(2sin A -sin C )cos B =sin B cos C ．即2sin A cos B =sin B cos C +sin C cos B =sin(B +C )∵A +B +C =π,∴2sin A cos B =sinA ． ∵0<A <π,∴sin A ≠0. ∴cos B =21. ∵0<B <π,∴B =3π. (II)m n ⋅=4k sin A +cos2A ． =-2sin 2A +4k sin A +1,A ∈(0,32π) 设sin A =t ,那么t ∈]1,0(.那么m n ⋅=-2t 2+4kt +1=-2(t -k )2+1+2k 2,t ∈]1,0(. ∵k >1,∴t =1时,m n ⋅取最大值.依题意得,-2+4k +1=5,∴k =23. 3 ．在ABC ∆中,角C B A ,,所对的边分别为c b a ，，,22sin 2sin=++CB A . I.试判断△ABC 的形状;II.假设△ABC 的周长为16,求面积的最大值.【解析】:I.)42sin(22sin 2cos 2sin2sinππ+=+=+-C C C C C2242πππ==+∴C C 即,所以此三角形为直角三角形. II.ab ab b a b a 221622+≥+++=,2)22(64-≤∴ab 当且仅当b a =时取等号,此时面积的最大值为()24632-.4 ．在ABC ∆中,a 、b 、c 分别是角A ． B ．C 的对边,C =2A ,43cos =A, (1)求B C cos ,cos 的值; (2)假设227=⋅BC BA ,求边AC 的长｡【解析】:(1)81116921cos 22cos cos 2=-⨯=-==A A C47sin ,43cos ;873sin ,81cos ====A A C C 得由得由()169814387347cos cos sin sin cos cos =⨯-⨯=-=+-=∴C A C A C A B (2)24,227cos ,227=∴=∴=⋅ac B ac BC BA ① 又a A a c A C C c A a 23cos 2,2,sin sin ==∴== ② 由①②解得a=4,c=625169483616cos 2222=⨯-+=-+=∴B ac c a b 5=∴b ,即AC 边的长为5.5 ．在ABC ∆中,A B >,且A tan 及B tan 是方程0652=+-x x 的两个根.(Ⅰ)求)tan(B A +的值; (Ⅱ)假设AB 5=,求BC 的长.【解析】:(Ⅰ)由所给条件,方程0652=+-x x 的两根tan 3,tan 2A B ==.∴tan tan tan()1tan tan A B A B A B ++=-231123+==--⨯(Ⅱ)∵180=++C B A ,∴)(180B A C +-=.由(Ⅰ)知,1)tan(tan =+-=B A C ,∵C 为三角形的内角,∴sin C =∵tan 3A =,A 为三角形的内角,∴sin A =, 由正弦定理得:sin sin AB BCC A=∴2BC ==6 ．在ABC ∆中,内角A ． B ．C 所对的边分别为a 、b 、c ,向量(2sin ,m B =,2cos 2,2cos12B n B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,且//m n ｡(I)求锐角B 的大小;(II)如果2b =,求ABC ∆的面积ABC S ∆的最大值｡【解析】:(1)//m n ⇒ 2sinB(2cos 2B2-1)=-3cos2B⇒2sinBcosB=-3cos2B ⇒ tan2B=- 3∵0<2B<π,∴2B=2π3,∴锐角B=π3(2)由tan2B =- 3 ⇒ B=π3或5π6①当B=π3时,b=2,由余弦定理,得:4=a 2+c 2-ac≥2ac -ac=ac(当且仅当a=c=2时等号成立)∵△ABC 的面积S △ABC =12 acsinB=34ac ≤ 3∴△ABC 的面积最大值为 3②当B=5π6时,b=2,由余弦定理,得:4=a 2+c 2+3ac≥2ac +3ac=(2+3)ac (当且仅当a=c =6-2时等号成立) ∴a c≤4(2-3)∵△ABC 的面积S △ABC =12 acsinB=14ac≤ 2- 3∴△ABC 的面积最大值为2- 37 ．在ABC ∆中,角A ． B ．C 所对的边分别是a ,b ,c ,且.21222ac b c a =-+ (1)求B CA 2cos 2sin 2++的值; (2)假设b =2,求△ABC 面积的最大值.【解析】:(1) 由余弦定理:cosB=142sin 2A C ++cos2B= 41-(2)由.415sin ,41cos ==B B 得 ∵b =2, a2+c 2=12ac +4≥2ac ,得ac ≤38, S △ABC =12ac si nB ≤315(a =c 时取等号)故S △ABC 的最大值为3158 ．)1(,tan >=a a α,求θθπθπ2tan )2sin()4sin(⋅-+的值｡【解析】aa -12;9 ．()()()()3sin 5cos cos 23sin cos tan 322f ππααπααππαααπ⎛⎫-⋅+⋅+ ⎪⎝⎭=⎛⎫⎛⎫-⋅+⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(I)化简()fα(II)假设α是第三象限角,且31cos 25πα⎛⎫-=⎪⎝⎭,求()f α的值｡【解析】10．函数f(x)=sin 2x+3sinxcosx+2cos 2x,x ∈R.(1)求函数f(x)的最小正周期和单调增区间;(2)函数f(x)的图象可以由函数y=sin2x(x ∈R)的图象经过怎样的变换得到?【解析】:(1)1cos 23()2(1cos 2)2x f x x x -=+++132cos 22223sin(2).62x x x π=++=++()f x ∴的最小正周期2.2T ππ== 由题意得222,,262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈ 即 ,.36k x k k Z ππππ-≤≤+∈()f x ∴的单调增区间为,,.36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦(2)先把sin 2y x =图象上所有点向左平移12π个单位长度, 得到sin(2)6y x π=+的图象,再把所得图象上所有的点向上平移32个单位长度, 就得到3sin(2)62y x π=++的图象｡11．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=23,23a,)4cos ,4(sin xx b ππ=,b a x f ⋅=)(｡ (1)求)(x f 的单调递减区间｡(2)假设函数)(x g y =及)(x f y =关于直线1=x 对称,求当]34,0[∈x 时,)(x g y =的最大值｡【解析】:(1))34sin(34cos 234sin 23)(ππππ-=-=x x x x f ∴当]223,22[34ππππππk k x ++∈-时,)(x f 单调递减解得:]8322,8310[k k x ++∈时,)(x f 单调递减｡(2)∵函数)(x g y =及)(x f y =关于直线1=x 对称 ∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=-=34)2(sin 3)2()(ππx x f x g⎪⎭⎫⎝⎛+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=34cos 3342sin 3πππππx x∵]34,0[∈x ∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+32,334ππππx∴]21,21[34cos -∈⎪⎭⎫⎝⎛+ππx ∴0=x 时,23)(max =x g12．cos 2sin αα=-,求以下各式的值; (1)2sin cos sin 3cos αααα-+; (2)2sin2sin cos ααα+【解析】:1cos 2sin ,tan 2ααα=-∴=-(1)1212sin cos 2tan 1421sin 3cos tan 3532αααααα⎛⎫⨯-- ⎪--⎝⎭===-++-+(2)2222sin 2sin cos sin 2sin cos sin cos αααααααα++=+ 2222112tan 2tan 322tan 15112ααα⎛⎫⎛⎫-+⨯- ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭===-+⎛⎫-+ ⎪⎝⎭13．设向量(sin ,cos ),(cos ,cos ),a x x b x x x R ==∈,函数()()f x a a b =⋅+(I)求函数()f x 的最大值及最小正周期; (II)求使不等式3()2f x ≥成立的x 的取值集合｡【解析】14．向量)1,32(cos --=αm ,)1,(sin α=n ,m 及n 为共线向量,且]0,2[πα-∈(Ⅰ)求ααcos sin +的值;(Ⅱ)求αααcos sin 2sin -的值.｡【解析】:(Ⅰ) m 及n 为共线向量, 0sin )1(1)32(cos =⨯--⨯-∴αα, 即32cos sin =+αα (Ⅱ) 92)cos (sin 2sin 12=+=+ααα ,972sin -=∴α 2)cos (sin )cos (sin 22=-++αααα ,916)32(2)cos (sin 22=-=-∴αα 又]0,2[πα-∈ ,0cos sin <-∴αα,34cos sin -=-αα 因此, 127cos sin 2sin =-ααα15．如图,A,B,C,D 都在同一个及水平面垂直的平面内,B,D 为两岛上的两座灯塔的塔顶｡测量船于水面A 处测得B 点和D 点的仰角分别为075,030,于水面C 处测得B 点和D 点的仰角均为060,AC=｡试探究图中B,D 间距离及另外哪两点距离相等,然后求B,D 的距离(计算结果准确到,2≈1.414,6≈2.449)【解析】:在ACD ∆中,DAC ∠=30°,ADC ∠=60°-DAC ∠=30°,又BCD ∠=180°-60°-60°=60°,故CB 是CAD ∆底边AD 的中垂线,所以BD=BA 在ABC ∆中,ABCACBCA AB ∠=∠sin sin , 即AB=2062351sin 60sin +=︒︒AC因此,km 33.020623≈+=BD故 B ．D 的距离约为｡16．函数()sin(),f x A x x R ωϕ=+∈(其中0,0,02A πωϕ>><<)的图象及x 轴的交点中,相邻两个交点之间的距离为2π,且图象上一个最低点为2(,2)3M π-.(Ⅰ)求()f x 的解析式;(Ⅱ)当[,]122x ππ∈,求()f x 的值域.【解析】： (1)由最低点为2(,2)3M π-得A=2.由x 轴上相邻的两个交点之间的距离为2π得2T =2π,即T π=,222T ππωπ===由点2(,2)3M π-在图像上的242sin(2)2,)133ππϕϕ⨯+=-+=-即sin(故42,32k k Z ππϕπ+=-∈ 1126k πϕπ∴=- 又(0,),,()2sin(2)266f x x πππϕϕ∈∴==+故(2)7[,],2[,]122636x x πππππ∈∴+∈ 当26x π+=2π,即6x π=时,()f x 取得最大值2;当7266x ππ+=即2x π=时,()f x 取得最小值-1,故()f x 的值域为[-1,2]17．如图,为了解某海域海底构造,在海平面内一条直线上的A,B,C 三点进展测量,50AB m =,120BC m =,于A 处测得水深80AD m =,于B 处测得水深200BE m =,于C 处测得水深110CF m =,求∠DEF 的余弦值｡【解析】:作//DMAC 交BE 于N ,交CF 于M .22223017010198DF MF DM =+=+=, 222250120130DE DN EN =+=+=, 2222()90120150EF BE FC BC =-+=+=在DEF ∆中,由余弦定理,2222221301501029816cos 2213015065DE EF DF DEF DE EF +-+-⨯∠===⨯⨯⨯18．51cos sin =+θθ，),2(ππθ∈，求〔1〕sin cos θθ-〔2〕33sincos θθ-〔3〕44sin cos θθ+【解析】：〔1〕3344791337sin cos (2)sin cos (3)sin cos 5125625θθθθθθ-=-=+=19．函数)sin(ϕω+=x A y 〔0>A ， 0ω>，πϕ<||〕的一段图象如下图，〔1〕求函数的解析式；〔2〕求这个函数的单调递增区间。

(完整版)高考三角函数经典解答题及答案

(完整版)高考三角函数经典解答题及答案1. 在△ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c，且 a²+c²-b²=(1) 求 sin²(2A+C)+cos²B 的值；(2) 若 b=2，求△ABC 面积的最大值。

解：(1) 由余弦定理：cosB=(a²+ c²- b²)/(2ac)=4/√115，得sinB=√(1-cos²B)=3√(23)/23。

由正弦定理sin²(2A+C)+cos²B=4sin²B+cos²B=13/23。

2. 在△ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，且bcosC=3acosB-ccosB。

(I) 求 cosB 的值；(II) 若 BA·BC=2，且b=√2，求 a 和 c·b 的值。

解：(I) 由正弦定理得 a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，则 2RsinBcosC=6RsinAcosB-2RsinCcosB，故sinBcosC=3sinAcosB-sinCcosB，可得sinBcosC+sinCcosB=3sinAcosB，即 sin(B+C)=3sinAcosB，可得 sinA=3sinAcosB/sinB。

又sinA≠0，因此 cosB=1/3。

3. 已知向量 m=(sinB,1-cosB)，向量 n=(2,k)，且 m 与 n 所成角为π/3，其中 A、B、C 是△ABC 的内角。

(1) 求角 B 的大小；(2) 求 sinA+sinC 的取值范围。

解：(1) ∠m与∠n所成角为π/3，且 m·n=2sinB+ k(1-cosB)=2√3/2cosB+k√(1-cos²B)，又 m·n=2cosB+k(1-cosB)，解得 k=4/3。

三角函数典型例题分析

目录1、0°～360°间的三角函数.典型例题分析 (2)2、弧度制.典型例题分析 (2)3、任意角的三角函数.典型例题分析一 (3)4、任意角的三角函数.典型例题精析二 (5)5、同角三角函数的基本关系式.典型例题分析 (12)6、诱导公式.典型例题分析 (17)7、用单位圆中的线段表示三角函数值.典型例题分析 (18)8、三角公式总表 (19)9、正弦函数、余弦函数的图象和性质.典型例题分析 (22)10、函数y=Asin(wx+j)的图象.典型例题分析 (27)11、正切函数、余切函数的图象和性质.典型例题分析 (29)12、已知三角函数值求角.典型例题分析 (30)全章小结 (31)高考真题选讲 (31)1、0°～360°间的三角函数·典型例题分析例1已知角α的终边经过点P(3a，-4a)(a＜0，0°≤α≤360°)，求解α的四个三角函数．解如图2-2：∵x=3a，y=-4a，a＜0例2求315°的四个三角函数．解如图2-3，在315°角的终边上取一点P(x，y)设OP=r，作PM垂直于x轴，垂足是M，可见∠POM=45°注：对于确定的角α，三角函数值的大小与P点在角α的终边上的位置无关，如在315°的角的终边上取点Q(1，-1)，计算出的结果是一样的．2、弧度制·典型例题分析角度与弧度的换算要熟练掌握，见下表．例2将下列各角化成2kπ+α(k∈Z，0≤α＜2π)的形式，并确定其所在的象限。

∴它是第二象限的角．注意：用弧度制表示终边相同角2kπ+α(k∈Z)时，是π的偶数倍，而不是π的整数倍．A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限∴sinα＞0，tgα＜0 因此点P(sinα，tgα)在第四象限，故选D．解∵M集合是表示终边在第一、二、三、四象限的角平分线上的角的集合．N集合是表示终边在坐标轴(四个位置)上和在第一、二、三、四象限的角平分线上的角的集合．3、任意角的三角函数·典型例题分析一例1已知角α的终边上一点P(-15α，8α)(α∈R，且α≠0)，求α的各三角函数值．分析根据三角函数定义来解A．1 B．0C．2 D．-2例3若sin2α＞0，且cosα＜0，试确定α所在的象限．分析用不等式表示出α，进而求解．解∵sin2α＞0，∴2α在第一或第二象限，即2kπ＜2α＜2kπ+π，k∈Z)当k为偶数时，设k=2m(m∈Z)，有当k为奇数时，设k=2m+1(m∈Z)有∴α为第一或第三象限的角，又由cosα＜0可知α在第二或第四象限．综上所述,α在第三象限．义域为{x|x∈R且x≠kπ，k∈Z}，∴函数y=tgx+ctgx的定义域是说明本例进一步巩固终边落在坐标轴上角的集合及各三角函数值在每一象限的符号，三角函数的定义域．例5计算(1)a2sin(-1350°)+b2tg405°-(a-b)2ctg765°-2abcos(-1080°)分析利用公式1，将任意角的三角函数化为0～2π间(或0°～360°间)的三角函数，进而求值．解(1)原式=a2sin(-4×360°+90°)+b2tg(360°+45°)-(a-b)2ctg(2×360°+45°)-2abcos(-3×360°)=a2sin90°+b2tg45°-(a-b)2ctg45°-2abcos0°=a2+b2-(a-b)2-2ab=04、任意角的三角函数·典型例题精析二例1下列说法中，正确的是 [ ]A．第一象限的角是锐角B．锐角是第一象限的角C．小于90°的角是锐角D．0°到90°的角是第一象限的角【分析】本题涉及了几个基本概念，即“第一象限的角”、“锐角”、“小于90°的角”和“0°到90°的角”．在角的概念推广以后，这些概念容易混淆．因此，弄清楚这些概念及它们之间的区别，是正确解答本题的关键．【解】第一象限的角可表示为｛θ|k·360°＜θ＜90°＋k·360°，k∈Z｝，锐角可表示为｛θ|0°＜θ＜90°｝，小于90°的角为｛θ|θ＜90°｝，0°到90°的角为｛θ|0°≤θ＜90°｝．因此，锐角的集合是第一象限角的集合当k=0时的子集，故(A)，(C)，(D)均不正确，应选(B)．(90°－α)分别是第几象限角？【分析】由sinα·cosα＜0，所以α在二、四象限；由sinα·tanα＜0，所以α在二、三象限．因此α为第二象限的角，然后由角α的【解】(1)由题设可知α是第二象限的角，即90°＋k·360°＜α＜180°＋k·360°(k∈Z)，的角．(2)因为180°＋2k·360°＜2α＜360°＋2k·360°(k∈Z)，所以2α是第三、第四象限角或终边在y轴非正半轴上的角．(3)解法一：因为90°+k·360°＜α＜180°＋k·360°(k∈Z)，所以－180°－k·360°＜－α＜－90°－k·360°(k∈Z)．故－90°－k·360°＜90°－α＜－k·360°(k∈Z)．因此90°－α是第四象限的角．解法二：因为角α的终边在第二象限，所以－α的终边在第三象限．将－α的终边按逆时针旋转90°，可知90°－α的终边在第四象限内．【说明】①在确定形如α＋k·180°角的象限时，一般要分k为偶数或奇数讨论；②确定象限时，α＋kπ与α－kπ是等效的．例3已知集合E=｛θ|cosθ＜sinθ，0≤θ≤2π｝，F=｛θ|tanθ＜sinθ｝，那么E∩F是区间[ ]【分析】解答本题必须熟练掌握各个象限三角函数的符号、各个象限的三角函数值随角的变化而递增或递减的变化情况．可由三角函数的性质判断，也可由三角函数线判断．用代入特殊值排除错误答案的方法解答本题也比较容易．【解法一】由正、余弦函数的性质，【解法二】由单位圆中的正弦线和正切线容易看出，对于二、四象限的角，AT＜MP，即tanα＜sinθ，由正弦线和余弦线可看出，当应选(A)．可排除(C)，(D)，得(A)．【说明】本题解法很多，用三角函数线还可以有以下解法：因为第一、三象限均有AT＞MP，即tanθ＞sinθ，所以(B)，(C)，(D)均不成立．用排除法也有些别的方法，可自己练习．例 4 (1)已知角α终边上一点P(3k，－4k)(k＜0)，求sinα，cosα，tanα的值；【分析】利用三角函数的定义进行三角式的求值、化简和证明，是三两个象限，因此必须分两种情况讨论．【解】(1)因为x＝3k，y=－4k，例5一个扇形的周长为l，求扇形的半径、圆心角各取何值时，此扇形的面积最大．【分析】解答本题，需灵活运用弧度制下的求弧长和求面积公式．本题是求扇形面积的最大值，因此应想法写出面积S以半径r为自变量的函数表达式，再用配方法求出半径r和已知周长l的关系．【解】设扇形面积为S，半径为r，圆心角为α，则扇形弧长为l－2r．所以【说明】在学习弧度制以后，用弧度制表示的求弧长与扇形面积公形的问题中，中心角用弧度表示较方便．本例实际上推导出一个重要公式，即当扇形周长为定值时，怎样选取中心角可使面积得到最大值．本题也可将面积表示为α的函数式，用判别式来解．【分析】第(1)小题因α在第二象限，因此只有一组解；第(2)小题给了正弦函数值，但没有确定角α的象限，因此有两组解；第(3)小题角α可能在四个象限或是轴线角，因此需分两种情况讨论．【解】(3)因为sinα=m(|m|＜1)，所以α可能在四个象限或α的终边在x轴上．例7(1)已知tanα=m，求sinα的值；【分析】(1)已知tanα的值求sinα或cosα，一般可将tanα母都是sinα和cosα的同次式，再转化为关于tanα的式子求值，转化的方法是将分子、分母同除以cosα(或cos2α，这里cosα≠0)，即可根据已知条件求值．【说明】由tanα的值求sinα和cosα的值，有一些书上利用公很容易推出，所以不用专门推导和记忆这些公式，这类问题由现有的关系式和方法均可解决．函数的定义来证明．由左边=右边，所以原式成立．【证法三】(根据三角函数定义)设P(x，y)是角α终边上的任意一点，则左边=左边，故等式成立．例9化简或求值：【分析】解本题的关键是熟练地应用正、余弦的诱导公式和记住特殊角的三角函数值．=－sinα－cosα(因为α为第三象限角)．例10 (1)若 f(cos x)=cos9x，求f(sin x)的表达式；【分析】在(1)中理解函数符号的含义，并将f(sin x)化成f(cos(90°－x))是充分利用已知条件和诱导公式的关键．在(2)中必须正确掌握分段函数求值的方法．【解】(1)f(sin x)＝f(cos(90°－x))＝cos9(90°－x)=cos(2×360°＋90°－9x)＝cos(90°－9x)=sin9x；＝1．5、同角三角函数的基本关系式·典型例题分析1）已知某角的一个三角函数值，求该角的其他三角函数值．解∵sinα＜0∴角α在第三或第四象限(不可能在y轴的负半轴上)(2)若α在第四象限，则说明在解决此类问题时，要注意：(1)尽可能地确定α所在的象限，以便确定三角函数值的符号．(2)尽可能地避免使用平方关系(在一般情况下只要使用一次)．(3)必要时进行讨论．例2 已知sinα=m(|m|≤1)，求tgα的值．(2)当m=±1时，α的终边在y轴上，tgα无意义．(3)当α在Ⅰ、Ⅳ象限时，∵cosα＞0．当α在第Ⅱ、Ⅲ象限时，∵cosα＜0，说明 (1)在对角的范围进行讨论时，不可遗漏终边在坐标轴上的情况．(2)本题在进行讨论时，为什么以cosα的符号作为分类的标准，而不按sinα的符号(即m的符号)来分类讨论呢？你能找到这里的原因并概括出所用的技巧吗？2）三角函数式的化简三角函数式的化简的结果应满足下述要求：(1)函数种类尽可能地少．(2)次数尽可能地低．(3)项数尽可能地少．(4)尽可能地不含分母．(5)尽可能地将根号中的因式移到根号外面来．化简的总思路是：尽可能地化为同类函数再化简．例3 化简sin2α·tgα+cos2α·ctgα+2sinαcosα=secα·cscα解2 原式=(sin2α·tgα+sinα·cosα)+(cos2α·ctgα+sinαcosα)=tgα·(sin2α+cos2α)+ctgα(sin2α+cos2α)=tgα+ctgα=secα·cscα说明 (1)在解1中，将正切、余切化为正弦、余弦再化简，仍然是循着减少函数种类的思路进行的．(2)解2中的逆用公式将sinα·cosα用tgα表示，较为灵活，解1与解2相比，思路更自然，因而更实用．例4 化简：分析将被开方式配成完全平方式，脱去根号，进行化简．3）三角恒等式的证明证明三角恒等式的过程，实际上是化异为同的过程，即化去形式上的异，而呈现实质上的同，这个过程，往往是从化简开始的——这就是说，在证明三角恒等式时，我们可以从最复杂处开始．例5 求证 cosα(2secα+tgα)(secα-2tgα)=2cosα-3tgα．分析从复杂的左边开始证得右边．=2cosα-3tgα=右边例6 证明恒等式(1)1+3sin2αsec4α+tg6α=sec6α(2)(sinA+ secA)3+(cosA+cscA)2=(1+secAcscA)2分析 (1)的左、右两边均较复杂，所以可以从左、右两边同时化简证明 (1)右边-左边=sec6α-tg6α-3sin2αsec4α-1=(sec2α-tg2α)(sec4α+sec2α·tg2α+tg2α)-3sin2αsec4α-1=(sec4α-2sec2αtg2α+tg2α)-1=(sec2α-tg2α)2-1=0∴等式成立．=sin2A+cos2A=1故原式成立在解题时，要全面地理解“繁”与“简”的关系．实际上，将不同的角化为同角，以减少角的数目，将不同的函数名称，化为同名函数，以减少函数的种类，都是化繁为简，以上两点在三角变换中有着广泛的应用．分析1 从右端向左端变形，将“切”化为“弦”，以减少函数的种类．分析2 由1+2sinxcosx立即想到(sinx+cosx)2，进而可以约分，达到化简的目的．说明 (1)当题目中涉及多种名称的函数时，常常将切、割化为弦(如解法1)，或将弦化为切(如解法2)以减少函数的种类．(2)要熟悉公式的各种变形，以便迅速地找到解题的突破口，请看下列．=secα+tgα∴等式成立说明以上证明中采用了“1的代换”的技巧，即将1用sec2α-tg2α代换，可是解题者怎么会想到这种代换的呢？很可能，解题者在采用这种代换时，已经预见到代换后，分子可以因式分解，可以约分，而所有这一切都是建立在熟悉公式的各种变形的基础上的，当然，对不熟练的解题者而言，还有如下的“一般证法”——即证明“左边-右边=0”∴左边=右边6、诱导公式·典型例题分析例1 求下列三角函数值：解 (1)sin(-1200°)=-sin1200°=-sin(3×360°+120°)=-sin120°=-sin(180°-60°)(2)tg945°=tg(2×360°+225°)=tg225°=tg(108°+45°)=tg45°=1例4 求证(1)sin(nπ+α)=(-1)n sinα；(n∈Z)(2)cos(nπ+α)=(-1)n cosα．证明：1°当n为奇数时，设n=2k-1(k∈Z)则(1)sin(nπ+α)=sin[(2k-1)π+α]=sin(-π+α)=-sinα=(-1)n sinα (∵(-1)n=-1)(2)cos(nπ+α)=cos[(2k-1)π+α]=cos(-π+α)=-cosα=(-1)n cosα2°当n为偶数时，设n=2k(k∈Z)，则(1)sin(nπ+α)=sin(2kπ+α)=sinα=(-1)n sinα(∵(-1)n=1)(2)cos(nπ+α)=cos(2kπ+α)=cosα=(-1)n cosα由1°，2°，本题得证．例5 设A、B、C是一个三角形的三个内角，则在①sin(A+B)-sinC ② cos(A+B)+cosC③tg(A+B)+tgC ④ctg(A+B)-ctgCA．1个 B．2个C．3个 D．4个解由已知，A+B+C=π，∴A+B=π-C，故有①sin(A+B)-sinC=sin(π-C)-sinC=sinC-sinC=0为常数．②cos(A+B)+cosC=cos(π-C)+cosC=-cosC+cosC=0为常数．③ tg(A+B)+tgC=tg(π-C)+tgC=-tgC+tgC=0为常数．④ctg(A+B)-ctgC=ctg(π-C)-ctgC=-ctgC-ctgC=-2ctgC不是常数．从而选(C)．7、用单位圆中的线段表示三角函数值·典型例题分析例1 利用三角函数线，求满足下列条件的角或角的范围．P′，则(2)如图2-11，过点(1，-1)和原点作直线交单位圆于点p和p′，则∴满足条件的所有角是8、三角公式总表1、L 弧长=αR=nπR 180 S 扇=21L R=21R 2α=3602R n ⋅π 2、正弦定理：A asin =B b sin =Cc sin = 2R （R 为三角形外接圆半径） 3、余弦定理：a 2=b2+c2-2bc A cos b2=a2+c2-2ac B cos c2=a2+b2-2ab C cosbca cb A 2cos 222-+=4、S ⊿=21a a h ⋅=21ab C sin =21bc A sin =21ac B sin =Rabc 4=2R 2A sin B sin C sin =AC B a sin 2sin sin 2=B C A b sin 2sin sin 2=C B A c sin 2sin sin 2=pr=))()((c p b p a p p ---(其中)(21c b a p ++=, r 为三角形内切圆半径) 5、同角关系： ⑴ 商的关系：①θtg =x y =θθcos sin =θθsec sin ⋅ ②θθθθθcsc cos sin cos ⋅===y x ctg ③θθθtg ry⋅==cos sin ④θθθθcsc cos 1sec ⋅===tg x r ⑤θθθctg rx⋅==sin cos ⑥θθθθsec sin 1csc ⋅===ctg y r ⑵ 倒数关系：1sec cos csc sin =⋅=⋅=⋅θθθθθθctg tg⑶ 平方关系：1csc sec cos sin 222222=-=-=+θθθθθθctg tg⑷)sin(cos sin 22ϕθθθ++=+b a b a （其中辅助角ϕ与点（a,b ）在同一象限，且abtg =ϕ）6、函数y=++⋅)sin(ϕωx A k 的图象及性质：（0,0>>A ω）振幅A ，周期T=ωπ2, 频率f=T1,相位ϕω+⋅x ，初相ϕ7、五点作图法：令ϕω+x 依次为ππππ2,23,,20 求出x 与y ，依点()y x ,作图三角函数值等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时，原三角函数值的符号；即：函数名不变，符号看象限三角函数值等于α的异名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时，原三角函数值的符号;即：函数名改变，符号看象限 9、和差角公式①βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=± ②βαβαβαsin sin cos cos )cos( =±③βαβαβαtg tg tg tg tg ⋅±=± 1)( ④)1)((βαβαβαtg tg tg tg tg ⋅±=±⑤γβγαβαγβαγβαγβαtg tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg ⋅-⋅-⋅-⋅⋅-++=++1)( 其中当A+B+C=π时,有:i).tgC tgB tgA tgC tgB tgA ⋅⋅=++ ii).1222222=++Ctg B tg C tg A tg B tg A tg 10、二倍角公式：(含万能公式) ①θθθθθ212cos sin 22sin tg tg +==②θθθθθθθ22222211sin 211cos 2sin cos 2cos tg tg +-=-=-=-=③θθθ2122tg tg tg -= ④22cos 11sin 222θθθθ-=+=tg tg ⑤22cos 1cos 2θθ+=11、三倍角公式：①)60sin()60sin(sin 4sin 4sin 33sin 3θθθθθθ+︒-︒=-= ②)60cos()60cos(cos 4cos 4cos 33cos 3θθθθθθ+︒-︒=+-=③)60()60(313323θθθθθθθ+⋅-⋅=--=tg tg tg tg tg tg tg 12、半角公式：（符号的选择由2θ所在的象限确定） ①2cos 12sinθθ-±= ②2cos 12sin 2θθ-= ③2cos 12cos θθ+±=④2cos 12cos2θθ+=⑤2sin 2cos 12θθ=- ⑥2cos 2cos 12θθ=+⑦2sin2cos )2sin 2(cos sin 12θθθθθ±=±=± ⑧θθθθθθθsin cos 1cos 1sin cos 1cos 12-=+=+-±=tg13、积化和差公式：[])sin()sin(21cos sin βαβαβα-++=[])sin()sin(21sin cos βαβαβα--+=[])cos()cos(21cos cos βαβαβα-++= ()[]βαβαβα--+-=cos )cos(21sin sin14、和差化积公式： ①2cos2sin2sin sin βαβαβα-+=+ ②2sin2cos2sin sin βαβαβα-+=-③2cos 2cos 2cos cos βαβαβα-+=+ ④2sin2sin 2cos cos βαβαβα-+-=- ⒗最简单的三角方程方程方程的解集a x =sin1=a {}Z k a k x x ∈+=,arcsin 2|π1<a (){}Z k a k x x k ∈-+=,arcsin 1|π a x =cos1=a {}Z k a k x x ∈+=,arccos 2|π1<a{}Z k a k x x ∈±=,arccos 2|π a tgx ={}Z k arctga k x x ∈+=,|π a ctgx ={}Z k arcctga k x x ∈+=,|π、正弦函数、余弦函数的图象和性质·典型例题分析例1 用五点法作下列函数的图象 (1)y=2-sinx ，x ∈[0，2π]解 (1)(图2-14)名称函数式定义域值域性质反正弦函数 x y arcsin = []1,1-增 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,2ππ -arcsinx arcsin(-x)= 奇反余弦函数 x y arccos = []1,1-减[]π,0x x arccos )arccos(-=-π 反正切函数 arctgx y = R 增 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-2,2ππ arctgx - arctg(-x)= 奇反余切函数arcctgx y = R 减()π,0arcctgx x arcctg -=-π)((2)(图2-15)描点法作图：例2 求下列函数的定义域和值域．解 (1)要使lgsinx有意义，必须且只须sinx＞0，解之，得 2kπ＜x＜(2k+1)π，k∈Z．又∵0＜sinx≤1，∴-∞＜lgsinx≤0．∴定义域为(2kπ，(2k+1)π)(k∈Z)，值域为(-∞，0]．的取值范围，进而再利用三角函数线或函数图象，求出x的取值范围。

高中数学三角函数解题实例及解题思路详解与举例分析和讲解

高中数学三角函数解题实例及解题思路详解与举例分析和讲解三角函数是高中数学中一个重要的章节，也是学生们经常遇到的难点之一。

在解题过程中，掌握一些解题技巧和思路是非常重要的。

本文将通过具体的题目举例，详细解析三角函数解题的思路和方法，并给出一些解题技巧，帮助高中学生和他们的父母更好地理解和掌握三角函数的应用。

一、正弦函数的解题实例1. 题目：已知一角的正弦值为0.6，求该角的余弦值。

解析：根据正弦函数的定义sinθ = 对边/斜边，已知sinθ = 0.6，我们可以设对边为3，斜边为5。

根据勾股定理，可以求得邻边为4。

然后，根据余弦函数的定义cosθ = 邻边/斜边，代入已知的值，得到cosθ = 4/5。

2. 题目：已知一角的正弦值为0.8，求该角的余切值。

解析：根据正弦函数的定义sinθ = 对边/斜边，已知sinθ = 0.8，我们可以设对边为8，斜边为10。

根据勾股定理，可以求得邻边为6。

然后，根据余切函数的定义tanθ = 对边/邻边，代入已知的值，得到tanθ = 8/6 = 4/3。

二、余弦函数的解题实例1. 题目：已知一角的余弦值为0.5，求该角的正弦值。

解析：根据余弦函数的定义cosθ = 邻边/斜边，已知cosθ = 0.5，我们可以设邻边为1，斜边为2。

根据勾股定理，可以求得对边为√3。

然后，根据正弦函数的定义sinθ = 对边/斜边，代入已知的值，得到sinθ = √3/2。

2. 题目：已知一角的余弦值为0.6，求该角的正切值。

解析：根据余弦函数的定义cosθ = 邻边/斜边，已知cosθ = 0.6，我们可以设邻边为6，斜边为10。

根据勾股定理，可以求得对边为8。

然后，根据正切函数的定义tanθ = 对边/邻边，代入已知的值，得到tanθ = 8/6 = 4/3。

三、正切函数的解题实例1. 题目：已知一角的正切值为1.5，求该角的余弦值。

解析：根据正切函数的定义tanθ = 对边/邻边，已知tanθ = 1.5，我们可以设对边为3，邻边为2。

三角函数例题精讲

三角函数习题（一）1．已知tanx=2，求sinx，cosx的值．2．求的值．3．若，求sinxcosx的值．4．求证：tan2x·sin2x=tan2x－sin2x．5．求函数在区间[0，2π?]上的值域．6．求下列函数的值域．(1)y＝sin2x－cosx+2； (2)y＝2sinxcosx－(sinx＋cosx)．7．若函数y=Asin(ωx+φ)(ω＞0，φ＞0)的图象的一个最高点为，它到其相邻的最低点之间的图象与x轴交于(6，0)，求这个函数的一个解析式．8．已知函数f(x)=cos4x－2sinxcosx－sin4x．(Ⅰ)求f(x)的最小正周期；(Ⅱ)若求f(x)的最大值、最小值．求的值域．9、已知，求（1）；（2）的值.10、求函数的值域。

三角函数习题集讲解（一）1．已知tanx=2，求sinx，cosx的值．解：因为，又sin2x＋cos2x=1，联立得解这个方程组得2．求的值．解：原式3．若，求sinxcosx的值．解：法一：因为所以sinx－cosx=2(sinx＋cosx)，得到sinx=－3cosx，又sin2x＋cos2x=1，联立方程组，解得所以法二：因为所以sinx－cosx=2(sinx＋cosx)，所以(sinx－cosx)2=4(sinx＋cosx)2，所以1－2sinxcosx=4＋8sinxcosx，所以有4．求证：tan2x·sin2x=tan2x－sin2x．证明：法一：右边＝tan2x－sin2x=tan2x－(tan2x·cos2x)=tan2x(1－cos2x)=tan2x·sin2x，问题得证．法二：左边=tan2x·sin2x=tan2x(1－cos2x)=tan2x－tan2x·cos2x=tan2x－sin2x，问题得证．5．求函数在区间[0，2π?]上的值域．解：因为0≤x≤2π，所以由正弦函数的图象，得到所以y∈[－1，2]．6．求下列函数的值域．(1)y＝sin2x－cosx+2； (2)y＝2sinxcosx－(sinx＋cosx)．解：(1)y=sin2x－cosx＋2＝1－cos2x－cosx＋2=－(cos2x＋cosx)＋3，令t=cosx，则利用二次函数的图象得到(2)y＝2sinxcosx－(sinx＋cosx)=(sinx＋cosx)2－1－(sinx＋cosx)，令t=sinx＋cosx，，则则，利用二次函数的图象得到7．若函数y=Asin(ωx+φ)(ω＞0，φ＞0)的图象的一个最高点为，它到其相邻的最低点之间的图象与x轴交于(6，0)，求这个函数的一个解析式．解：由最高点为，得到，最高点和最低点间隔是半个周期，从而与x轴交点的间隔是个周期，这样求得，T=16，所以又由，得到可以取8．已知函数f(x)=cos4x－2sinxcosx－sin4x．(Ⅰ)求f(x)的最小正周期；(Ⅱ)若求f(x)的最大值、最小值．数的值域．解：(Ⅰ)因为f(x)=cos4x－2sinxcosx－sin4x＝(cos2x－sin2x)(cos2x＋sin2x)－sin2x所以最小正周期为π．(Ⅱ)若，则，所以当x=0时，f(x)取最大值为当时，f(x)取最小值为9、已知，求（1）；（2）的值.解：（1）；(2).说明：利用齐次式的结构特点（如果不具备，通过构造的办法得到），进行弦、切互化，就会使解题过程简化。

高中数学三角函数经典例题及详解

高中数学三角函数经典例题及详解高中数学三角函数专题复考试要求：三角函数是一类最典型的周期函数。

本单元的研究可以帮助学生在用锐角三角函数刻画直角三角形中边角关系的基础上，借助单位圆建立一般三角函数的概念，体会引入弧度制的必要性。

同时，我们可以利用几何直观和代数运算的方法研究三角函数的周期性、奇偶性（对称性）、单调性和最大（小）值等性质；探索和研究三角函数之间的一些恒等关系；并且利用三角函数构建数学模型，解决实际问题。

内容包括：角与弧度、三角函数概念和性质、同角三角函数的基本关系式、三角恒等变换、三角函数应用。

1）角与弧度了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要性。

2）三角函数概念和性质①借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义，能画出这些三角函数的图象，了解三角函数的周期性、奇偶性、最大（小）值。

借助单位圆的对称性，利用定义推导出诱导公式（α±π，α±π的正弦、余弦、正切）。

②借助图象理解正弦函数在[0,2π]上、余弦函数在[0,2π]上、正切函数在(-π/2,π/2)上的性质。

③结合具体实例，了解y=Asin(ωx+φ)的实际意义；能借助图象理解参数ω，φ，A的意义，了解参数的变化对函数图象的影响。

3）同角三角函数的基本关系式理解同角三角函数的基本关系式sinx+cosx=4）三角恒等变换①经历推导两角差余弦公式的过程，知道两角差余弦公式的意义。

②能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系。

③能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，这三组公式不要求记忆）。

5）三角函数应用会用三角函数解决简单的实际问题，体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型。

经典题型：一、求值化简型这类问题常常用到的公式包括三角函数定义、同角三角函数关系式、诱导公式、和差倍公式、降幂公式、辅助角公式。

高中三角函数习题解析精选含详细解答

三角函数题解1.2003上海春;15把曲线y cos x +2y －1=0先沿x 轴向右平移2π个单位;再沿y 轴向下平移1个单位;得到的曲线方程是A.1－y sin x +2y －3=0B.y －1sin x +2y －3=0C.y +1sin x +2y +1=0D.－y +1sin x +2y +1=02.2002春北京、安徽;5若角α满足条件sin2α＜0;cos α－sin α＜0;则α在 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.2002上海春;14在△ABC 中;若2cos B sin A ＝sinC;则△ABC 的形状一定是 A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形4.2002京皖春文;9函数y =2sin x 的单调增区间是 A.2k π－2π;2k π＋2πk ∈ZB.2k π＋2π;2k π＋23πk ∈Z C.2k π－π;2k πk ∈Z D.2k π;2k π＋πk ∈Z5.2002全国文5;理4在0;2π内;使sin x ＞cos x 成立的x 取值范围为 A.4π;2π∪π;45πB.4π;π C.4π;45πD.4π;π∪45π;23π6.2002北京;11已知fx 是定义在0;3上的函数;fx 的图象如图4—1所示;那么不等式fx cos x ＜0的解集是A.0;1∪2;3B.1;2π∪2π;3图4—1C.0;1∪2π;3D.0;1∪1;37.2002北京理;3下列四个函数中;以π为最小正周期;且在区间2π;π上为减函数的是 A.y =cos 2xB.y ＝2|sin x |C.y ＝31cos xD.y =－cot x8.2002上海;15函数y =x +sin|x |;x ∈－π;π的大致图象是9.2001春季北京、安徽;8若A 、B 是锐角△ABC 的两个内角;则点P cos B －sin A ;sin B －cos A 在A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限10.2001全国文;1tan300°+cot405°的值是 A.1＋3B.1－3C.－1－3D.－1＋311.2000全国;4已知sin α＞sin β;那么下列命题成立的是 A.若α、β是第一象限角;则cos α＞cos β B.若α、β是第二象限角;则tan α＞tan β C.若α、β是第三象限角;则cos α＞cos β D.若α、β是第四象限角;则tan α＞tan β12.2000全国;5函数y ＝－x cos x 的部分图象是13.1999全国;4函数fx =M sin ωx ＋ϕω＞0;在区间a ;b 上是增函数;且fa =－M ;fb =M ;则函数gx =M cos ωx ＋ϕ在a ;b 上A.是增函数B.是减函数C.可以取得最大值－D.可以取得最小值－m14.1999全国;11若sin α＞tan α＞cot α－2π＜α＜2π);则α∈A.－2π;－4π B.－4π;0C.0;4πD.4π;2π15.1999全国文、理;5若fx sin x 是周期为π的奇函数;则fx 可以是 A.sin x B.cos x C.sin2x D.cos2x16.1998全国;6已知点P sin α－cos α;tan α在第一象限;则在0;2π内α的取值范围是 A.2π;43π∪π;45πB.4π;2π∪π;45π C.2π;43π∪45π;23πD.4π;2π∪43π;π 17.1997全国;3函数y =tan 3121-x π在一个周期内的图象是18.1996全国若sin 2x >cos 2x ;则x 的取值范围是 A.{x |2k π－43π<x <2k π+4π;k ∈Z } B.{x |2k π+4π<x <2k π+45π;k ∈Z }C.{x |k π－4π<x <k π+4π;k ∈Z }D.{x |k π+4π<x <k π+43π;k ∈Z }19.1995全国文;7使sin x ≤cos x 成立的x 的一个变化区间是A.－43π;4πB.－2π;2πC.－4π;43πD.0;π20.1995全国;3函数y ＝4sin3x ＋4π＋3cos3x ＋4π的最小正周期是A.6πB.2πC.32πD.3π21.1995全国;9已知θ是第三象限角;若sin 4θ＋cos 4θ＝95;那么sin2θ等于 A.322 B.－322 C.32D.－32 22.1994全国文;14如果函数y =sin2x +a cos2x 的图象关于直线x =－8π对称;那么a 等于A.2B.－2C.1D.－123.1994全国;4设θ是第二象限角;则必有 A.tan2θ>cot 2θ B.tan2θ<cot 2θC.sin2θ>cos 2θ D.sin2θ－cos 2θ 24.2002上海春;9若fx =2sin ωx 0＜ω＜1)在区间0;3π上的最大值是2;则ω＝ .25.2002北京文;13sin 52π;cos 56π;tan 57π从小到大的顺序是 .26.1997全国;18︒︒-︒︒︒+︒8sin 15sin 7cos 8sin 15cos 7sin 的值为_____.27.1996全国;18tan20°+tan40°+3tan20°·tan40°的值是_____.28.1995全国理;18函数y ＝sin x －6πcos x 的最小值是 .29.1995上海;17函数y ＝sin 2x ＋cos 2x在－2π;2π内的递增区间是 .30.1994全国;18已知sin θ＋cos θ＝51;θ∈0;π;则cot θ的值是 .31.2000全国理;17已知函数y ＝21cos 2x ＋23sin x cos x ＋1;x ∈R .1当函数y 取得最大值时;求自变量x 的集合；2该函数的图象可由y ＝sin xx ∈R 的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到32.2000全国文;17已知函数y ＝3sin x ＋cos x ;x ∈R .1当函数y 取得最大值时;求自变量x 的集合；2该函数的图象可由y ＝sin xx ∈R 的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到33.1995全国理;22求sin 220°＋cos 250°＋sin20°cos50°的值. 34.1994上海;21已知sin α＝53;α∈2π;π;tan π－β＝21; 求tan α－2β的值.35.1994全国理;22已知函数fx =tan x ;x ∈0;2π;若x 1、x 2∈0;2π;且x 1≠x 2;证明21fx 1＋fx 2＞f 221x x +.36.已知函数12()log (sin cos )f x x x =-⑴求它的定义域和值域； ⑵求它的单调区间； ⑶判断它的奇偶性； ⑷判断它的周期性.37. 求函数f x =121log cos()34x π+的单调递增区间38. 已知fx =5sin x cos x -35cos 2x +325x ∈R ⑴求fx 的最小正周期； ⑵求fx 单调区间；⑶求fx 图象的对称轴;对称中心..39若关于x 的方程2cos 2π + x - sin x + a = 0 有实根;求实数a 的取值范围..参考答案1.答案：C解析：将原方程整理为：y =x cos 21+;因为要将原曲线向右、向下分别移动2π个单位和1个单位;因此可得y =)2cos(21π-+x －1为所求方程.整理得y +1sin x +2y +1=0.评述：本题考查了曲线平移的基本方法及三角函数中的诱导公式.如果对平移有深刻理解;可直接化为：y +1cos x －2π+2y +1－1=0;即得C 选项.2.答案：B解析：sin2α＝2sin αcos α＜0 ∴sin αcos α＜0 即sin α与cos α异号;∴α在二、四象限; 又cos α－sin α＜0 ∴cos α＜sin α由图4—5;满足题意的角α应在第二象限3.答案：C解析：2sin A cos B ＝sin A ＋B ＋sin A －B 又∵2sin A cos B ＝sin C ; ∴sin A －B ＝0;∴A ＝B 4.答案：A解析：函数y =2x 为增函数;因此求函数y =2sin x 的单调增区间即求函数y =sin x 的单调增区间.5.答案：C解法一：作出在0;2π区间上正弦和余弦函数的图象;解出两交点的横坐标4π和45π;由图4—6可得C 答案.图4—6 图4—7解法二：在单位圆上作出一、三象限的对角线;由正弦线、余弦线知应选C.如图4—7 6.答案：C图4—5解析：解不等式fx cos x ＜0⎪⎩⎪⎨⎧<<><⎪⎩⎪⎨⎧<<<>⇒300cos 0)(300cos 0)(x x x f x x x f 或∴⎩⎨⎧<<<<⎪⎩⎪⎨⎧<<<<1010231x x x x 或ππ ∴0＜x ＜1或2π＜x ＜3 7.答案：B解析：A 项：y =cos 2x =22cos 1x+;x =π;但在区间2π;π上为增函数.B 项：作其图象4—8;由图象可得T =π且在区间2π;π上为减函数.C 项：函数y =cos x 在2π;π区间上为减函数;数y =31x 为减函数.因此y =31cos x 在2π;π区间上为增函数.D 项：函数y ＝－cot x 在区间2π;π上为增函数. 8.答案：C解析：由奇偶性定义可知函数y =x +sin|x |;x ∈－π;π为非奇非偶函数. 选项A 、D 为奇函数;B 为偶函数;C 为非奇非偶函数. 9.答案：B解析：∵A 、B 是锐角三角形的两个内角;∴A ＋B ＞90°; ∴B ＞90°－A ;∴cos B ＜sin A ;sin B ＞cos A ;故选B. 10.答案：B 解析：tan300°＋cot405°＝tan360°－60°＋cot360°＋45°＝－tan60°＋cot45°＝1－3.11.答案：D解析：因为在第一、三象限内正弦函数与余弦函数的增减性相反;所以可排除A 、C;在第二象限内正弦函数与正切函数的增减性也相反;所以排除B.只有在第四象限内;正弦函数与正切函数的增减性相同.12.答案：D解析：因为函数y ＝－x cos x 是奇函数;它的图象关于原点对称;所以排除A 、C;当 x ∈0;2π时;y ＝－x cos x ＜0.13.答案：C图4—8解法一：由已知得M ＞0;－2π＋2k π≤ωx ＋ϕ≤2π＋2k πk ∈Z ;故有gx 在a ;b 上不是增函数;也不是减函数;且当ωx ＋ϕ＝2k π时gx 可取到最大值M ;答案为C.解法二：由题意知;可令ω＝1;ϕ＝0;区间a ;b 为－2π;2π;M ＝1;则gx 为cos x ;由基本余弦函数的性质得答案为C.评述：本题主要考查函数y =A sin ωx ＋ϕ的性质;兼考分析思维能力.要求对基本函数的性质能熟练运用正用逆用；解法二取特殊值可降低难度;简化命题. 14.答案：B解法一：取α＝±3π;±6π代入求出sin α、tan α、cot α之值;易知α＝－6π适合;又只有－6π∈－4π;0;故答案为B.解法二：先由sin α＞tan α得：α∈－2π;0;再由tan α＞cot α得:α∈－4π;0评述：本题主要考查基本的三角函数的性质及相互关系;1995年、1997年曾出现此类题型;运用特殊值法求解较好.15.答案：B解析：取fx =cos x ;则fx ·sin x =21sin2x 为奇函数;且T =π. 评述：本题主要考查三角函数的奇偶与倍角公式. 16.答案：B解法一：P sin α－cos α;tan α在第一象限;有tan α＞0; A 、C 、D 中都存在使tan α＜0的α;故答案为B.解法二：取α＝3π∈2,4ππ;验证知P 在第一象限;排除A 、C;取α＝65π∈43π;π;则P 点不在第一象限;排除D;选B.解法三：画出单位圆如图4—10使sin α－cos α＞0是图中阴影部分;又tan α＞0可得24παπ<<或π＜α＜45π;故选B. 评述：本题主要考查三角函数基础知识的灵活运用;突出考查了转化思想和转化方法的选择;采用排除法不失为一个好办法.17.答案：A解析：y ＝tan 3121-x π＝tan 21x －32π;显然函数周期为T ＝2π;且x ＝32π时;y =0;故选A.评述：本题主要考查正切函数性质及图象变换;抓住周期和特值点是快速解题的关键.18.答案：D解析一：由已知可得cos2x =cos 2x －sin 2x <0;所以2k π+2π<2x <2k π+23π;k ∈Z .解得k π+4π<x <k π+43π;k ∈Z 注：此题也可用降幂公式转化为cos2x <0. 解析二：由sin 2x >cos 2x 得sin 2x >1－sin 2x ;sin 2x >21.因此有sin x >22或sin x <－22.由正弦函数的图象或单位圆得2k π+4π<x <2k π+43π或2k π+45π<x <2k π+47πk ∈Z ;2k π+45π<x <2k π+47π可写作2k +1π+4π<x <2k +1π+43π;2k 为偶数;2k +1为奇数;不等式的解可以写作n π+4π<x <n π+43π;n ∈Z . 评述：本题考查三角函数的图象和基本性质;应注意三角公式的逆向使用. 19.答案：A 解法一：由已知得：2 sin x －4π≤0;所以2k π＋π≤x －4π≤2k π＋2π;2k π＋45π≤x ≤2k π＋49π;令k =－1得－43π≤x ≤4π;选A. 解法二：取x ＝32π;有sin 2132cos ,2332-==ππ;排除C 、D;取x ＝3π;有sin3π＝213cos ,23=π;排除B;故选A. 解法三：设y ＝sin x ;y ＝cos x .在同一坐标系中作出两函数图象如图4—11;观察知答案为A.解法四：画出单位圆;如图4—12;若sin x ≤cos x ;显然应是图中阴影部分;故应选A.评述：本题主要考查正弦函数、余弦函数的性质和图象;属基本求范围题;入手容易;方法较灵活;排除、数形结合皆可运用.20.答案：C图4—12图4—11解析：y ＝4sin3x ＋4π＋3cos3x ＋4π＝554sin3x ＋4π＋53cos3x ＋4π＝5sin3x ＋4π＋ϕ其中tan ϕ＝43所以函数y ＝sin3x ＋4π＋3cos3x ＋4π的最小正周期是T ＝32π. 故应选C.评述：本题考查了a sin α＋b cos α＝22b a +sin α＋ϕ;其中sinϕ＝22ba b +;cos ϕ＝22ba a +;及正弦函数的周期性.21.答案：A解法一：将原式配方得sin 2θ＋cos 2θ2－2sin 2θcos 2θ＝95 于是1－21sin 22θ＝95;sin 22θ＝98;由已知;θ在第三象限; 故2k π＋π＜θ＜2k π＋23π从而4k π＋2π＜2θ＜4k π＋3π 故2θ在第一、二象限;所以sin2θ＝322;故应选A. 解法二：由2k π＋π＜θ＜2k π＋23π;有4k π＋2π＜4k π＋3πk ∈Z ;知sin2θ＞0;应排除B 、D;验证A 、C;由sin2θ＝322;得2sin 2θcos 2θ＝94;并与sin 4θ＋cos 4θ＝95相加得sin 2θ＋cos 2θ2＝1成立;故选A.评述：本题考查了学生应用正余弦的平方关系配方的能力及正弦函数值在各象限的符号的判别.22.答案：D解析：函数y =sin2x +a cos2x 的图象关于直线x =－8π对称;表明：当x =－8π时;函数取得最大值12+a ;或取得最小值－12+a ;所以有sin －4π+a ·cos －4π2=a 2+1;解得a =－1.评述：本题主要考查函数y =a sin x +b cos x 的图象的对称性及其最值公式.23.答案：A解法一：因为θ为第二象限角;则2k π＋2π＜θ＜2k π＋πk ∈Z ;即2θ为第一象限角或第三象限角;从单位圆看是靠近轴的部分如图4—13;所以tan2θ＞cot 2θ. 解法二：由已知得：2k π＋2π＜θ＜2k π＋π;k π＋4π＜2θ＜ k π＋2π;k 为奇数时;2n π＋45π＜2θ＜2n π＋23πn ∈Z ； k为偶数时;2n π＋4π＜2θ＜2n π＋2πn ∈Z ;都有tan 2θ＞cot 2θ;选A.评述：本题主要考查象限角的概念和三角函数概念;高于课本.24.答案：43 解析：∵0＜ω＜1 ∴T ＝ωπ2＞2π ∴fx 在0;3π区间上为单调递增函数∴fx max ＝f3π即2sin23=ωπ又∵0＜ω＜1 ∴解得ω＝4325.答案：cos56π＜sin 52π＜tan 57π 解析：cos56π＜0;tan 57π＝tan 52π ∵0＜x ＜2π时;tan x ＞x ＞sin x ＞0 ∴tan 52π＞sin 52π＞0 ∴tan 57π＞sin 52π＞cos 56π26.答案：2－3解析：︒︒︒︒=︒︒-︒-︒︒︒+︒-︒=︒︒-︒︒︒+︒8cos 15cos 8cos 15sin 8sin 15sin )815cos(8sin 15cos )815sin(8sin 15sin 7cos 8sin 15cos 7sin图4—133230sin 30cos 115tan -=︒︒-=︒=.评述：本题重点考查两角差的三角公式、积化和差公式、半角公式等多个知识点.27.答案：3解析：tan60°=︒︒-︒+︒40tan 20tan 140tan 20tan ;∴tan20°+tan40°=3－3tan20°tan40°;∴tan20°+tan40°+3tan20°tan40°=3.28.答案：－43 解析：y ＝sin x －6πcos x ＝21sin2x －6π－sin 6π＝21sin2x －6π－21当sin2x －6π＝－1时;函数有最小值;y 最小＝21－1－21＝－43. 评述：本题考查了积化和差公式和正弦函数有界性或值域.29.答案：2,23ππ-解析：y ＝sin2x ＋cos 2x ＝2sin 42π+x ;当2k π－2π≤2x ＋4π≤2k π＋2πk ∈Z 时;函数递增;此时4k π－23π≤x ≤4k π＋2πk ∈Z ;只有k ＝0时;－23π;2π－2π;2π. 30.答案：－43 解法一：设法求出sin θ和cos θ;cot θ便可求了;为此先求出sin θ－cos θ的值. 将已知等式两边平方得1＋2sin θcos θ＝251 变形得1－2sin θcos θ＝2－251;即sin θ－cos θ2＝2549 又sin θ＋cos θ＝51;θ∈0;π 则2π＜θ＜43π;如图4—14 所以sin θ－cos θ＝57;于是 sin θ＝54;cos θ＝－53;cot θ＝－43. 解法二：将已知等式平方变形得sin θ·cos θ＝－2512;又θ∈0;π;有cos θ＜0＜sin θ;且cos θ、sin θ是二次方程x 2－51x －2512＝0的两个根;故有cos θ＝－53; sin θ＝54;得cot θ＝－43. 评述：本题通过考查三角函数的求值考查思维能力和运算能力;方法较灵活. 31.解：1y ＝21cos 2x ＋23sin x cos x ＋1＝412cos 2x －1＋41＋432sin x cos x ＋1 ＝41cos2x ＋43sin2x ＋45＝21cos2x ·sin 6π＋sin2x ·cos 6π＋45＝21sin2x ＋6π＋45y 取得最大值必须且只需2x ＋6π＝2π＋2k π;k ∈Z ;图4—14即x ＝6π＋k π;k ∈Z .所以当函数y 取得最大值时;自变量x 的集合为｛x |x ＝6π＋k π;k ∈Z ｝.2将函数y ＝sin x 依次进行如下变换： ①把函数y ＝sin x 的图象向左平移6π;得到函数y ＝sin x ＋6π的图象；②把得到的图象上各点横坐标缩短到原来的21倍纵坐标不变;得到函数 y ＝sin2x ＋6π的图象；③把得到的图象上各点纵坐标缩短到原来的21倍横坐标不变;得到函数 y ＝21sin2x ＋6π的图象；④把得到的图象向上平移45个单位长度;得到函数y ＝21sin2x ＋6π＋45的图象；综上得到函数y ＝21cos 2x ＋23sin x cos x ＋1的图象.评述：本题主要考查三角函数的图象和性质;考查利用三角公式进行恒等变形的技能以及运算能力.32.解：1y ＝3sin x ＋cos x ＝2sin x cos6π＋cos x sin6π＝2sin x ＋6π;x ∈Ry 取得最大值必须且只需x ＋6π＝2π＋2k π;k ∈Z ;即x ＝3π＋2k π;k ∈Z .所以;当函数y 取得最大值时;自变量x 的集合为｛x |x ＝3π＋2k π;k ∈Z ｝2变换的步骤是：①把函数y ＝sin x 的图象向左平移6π;得到函数y ＝sin x ＋6π的图象；②令所得到的图象上各点横坐标不变;把纵坐标伸长到原来的2倍;得到函数 y ＝2sin x ＋6π的图象；经过这样的变换就得到函数y ＝3sin x ＋cos x 的图象.评述：本题主要考查三角函数的图象和性质;利用三角公式进行恒等变形的技能及运算能力.33.解：原式＝211－cos40°＋211＋cos100°＋21sin70°－sin30° ＝1＋21cos100°－cos40°＋21sin70°－41＝43－sin70°sin30°＋21sin70° ＝43－21sin70°＋21sin70°＝43. 评述：本题考查三角恒等式和运算能力.34.解：由题设sin α＝53;α∈2π;π; 可知cos α＝－54;tan α＝－43又因tan π－β＝21;tan β＝－21;所以tan2β＝34tan 1tan 22-=-ββtan α－2β＝2471134432tan tan 12tan tan =++-=+-βαβα 35.证明：tan x 1＋tan x 2＝2121212211cos cos sin cos cos sin cos sin cos sin x x x x x x x x x x +=+ 2121cos cos )sin(x x x x +=)cos()cos()sin(2212121x x x x x x -+++=因为x 1;x 2∈0;2π;x 1≠x 2;所以2sin x 1＋x 2＞0;cos x 1cos x 2＞0;且0＜cos x 1－x 2＜1; 从而有0＜cos x 1＋x 2＋cos x 1－x 2＜1＋cos x 1＋x 2; 由此得tan x 1＋tan x 2＞)cos(1)sin(22121x x x x +++;所以21tan x 1＋tan x 2＞tan 221x x +即21fx 1＋fx 2＞f 221x x +.36.解1x 必须满足sin x -cos x >0;利用单位圆中的三角函数线及52244k x k ππππ+<<+;k ∈Z ∴函数定义域为)45k 2,4k 2(π+ππ+π;k ∈Z ∵sin cos )4x x x π--∴当x ∈5(2,2)44k k ππππ++时;0sin()14x π<-≤∴0sin cos x x <-∴121log 2y -≥∴ 函数值域为+∞-,213∵()f x 定义域在数轴上对应的点关于原点不对称;∴()f x 不具备奇偶性4∵ fx+2π=fx ∴ 函数fx 最小正周期为2π 注；利用单位圆中的三角函数线可知;以Ⅰ、Ⅱ象限角平分线为标准;可区分sin x -cos x 的符号；以Ⅱ、Ⅲ象限角平分线为标准;可区分sin x +cos x 的符号37.解：∵f x =121log cos()34x π+令431π+=x t ;∴y=t cos log 21;t 是x 的增函数;又∵0<21<1;∴当y=t cos log 21为单调递增时;cost 为单调递减且cost>0;∴2k π≤t<2k π+2πk ∈Z;∴2k π≤431π+x <2k π+2π k ∈Z ;6k π-43π≤x<6k π+43π k ∈Z;∴f x =)431cos(log 21π+x 的单调递减区间是6k π-43π;6k π+43πk ∈Z38.解： 1T=π 2增区间k π-12π;k π+125π;减区间k π+]1211k ,125π+ππ 3对称中心62k π+π;0;对称轴π+π=1252k x ;k ∈Z39.解：原方程变形为：2cos 2x - sin x + a = 0 即 2 - 2sin 2x - sin x + a = 0;∴817)41(sin 22sin sin 222-+=-+=x x x a ;∵- 1≤sin x ≤1 ;∴81741sin m in -=-=a x 时，当； 11sin m ax ==a x 时，当; ∴a 的取值范围是1,817-。

微专题三角函数的范围与最值(解析版)(1)

微专题三角函数的范围与最值【秒杀总结】一、三角函数f(x)=A sin(ωx+φ)中ω的大小及取值范围1.任意两条对称轴之间的距离为半周期的整数倍，即k T2(k∈Z)；2.任意两个对称中心之间的距离为半周期的整数倍，即k T2(k∈Z)；3.任意对称轴与对称中心之间的距离为14周期加半周期的整数倍，即T4+k T2(k∈Z)；4.f(x)=A sin(ωx+φ)在区间(a,b)内单调⇒b-a≤T2且kπ-π2≤aω+φ≤bω+φ≤kπ+π2(k∈Z)5.f(x)=A sin(ωx+φ)在区间(a,b)内不单调⇒(a,b)内至少有一条对称轴，aω+φ≤kπ+π2≤bω+φ(k∈Z)6.f(x)=A sin(ωx+φ)在区间(a,b)内没有零点⇒b-a≤T2且kπ≤aω+φ≤bω+φ≤(k+1)π(k∈Z)7.f(x)=A sin(ωx+φ)在区间(a,b)内有n个零点⇒(k-1)π≤aω+φ<kπ(k+n-1)π<bω+φ≤(k+n)π(k∈Z) ．二、三角形范围与最值问题1.坐标法：把动点转为为轨迹方程2.几何法3.引入角度，将边转化为角的关系4.最值问题的求解，常用的方法有：(1)函数法；(2)导数法；(3)数形结合法；(4)基本不等式法．要根据已知条件灵活选择方法求解．【典型例题】例1.(2023·全国·高三专题练习)在△ABC中，cos A=725，△ABC的内切圆的面积为16π，则边BC长度的最小值为( )A.16B.24C.25D.36【答案】A【解析】因为△ABC的内切圆的面积为16π，所以△ABC的内切圆半径为4．设△ABC内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．因为cos A=725，所以sin A=2425，所以tan A=247．因为S△ABC=12bc sin A=12(a+b+c)×4，所以bc=256(a+b+c)．设内切圆与边AC切于点D，由tan A=247可求得tan A 2=34=4AD，则AD =163．又因为AD =b +c -a 2，所以b +c =323+a ．所以bc =256323+2a =253163+a ．又因为b +c ≥2bc ，所以323+a ≥2253163+a ，即323+a 2≥1003163+a ，整理得a 2-12a -64≥0．因为a >0，所以a ≥16，当且仅当b =c =403时，a 取得最小值．故选：A ．例2.(2023·全国·高三专题练习)已知函数f (x )=sin (ωx +φ)，其中ω>0，|φ|≤π2,-π4为f (x )的零点：且f (x )≤f π4 恒成立，f (x )在-π12,π24区间上有最小值无最大值，则ω的最大值是( )A.11 B.13C.15D.17【答案】C【解析】由题意，x =π4是f (x )的一条对称轴，所以f π4 =±1，即π4ω+φ=k 1π+π2,k 1∈Z ①又f -π4 =0，所以-π4ω+φ=k 2π,k 2∈Z ②由①②，得ω=2k 1-k 2 +1，k 1,k 2∈Z 又f (x )在-π12,π24 区间上有最小值无最大值，所以T ≥π24--π12 =π8即2πω≥π8，解得ω≤16，要求ω最大，结合选项，先检验ω=15当ω=15时，由①得π4×15+φ=k 1π+π2,k 1∈Z ，即φ=k 1π-13π4,k 1∈Z ，又|φ|≤π2所以φ=-π4，此时f (x )=sin 15x -π4 ，当x ∈-π12,π24 时，15x -π4∈-3π2,3π8 ，当15x -π4=-π2即x =-π60时，f (x )取最小值，无最大值，满足题意.故选：C例3.(2023·高一课时练习)如图，直角ΔABC 的斜边BC 长为2，∠C =30°，且点B ,C 分别在x 轴，y 轴正半轴上滑动，点A 在线段BC 的右上方．设OA =xOB +yOC ，(x ,y ∈R )，记M =OA ⋅OC，N =x +y ，分别考查M ,N 的所有运算结果，则A.M 有最小值，N 有最大值B.M 有最大值，N 有最小值C.M 有最大值，N 有最大值D.M 有最小值，N 有最小值【答案】B【解析】依题意∠BCA =30∘,BC =2,∠A =90∘，所以AC =3,AB =1.设∠OCB =α，则∠ABx =α+30∘,0∘<α<90∘，所以A 3sin α+30∘ ,sin α+30∘，B 2sin α,0 ,C 0,2cos α ，所以M =OA ⋅OC =2cos αsin α+30∘ =sin 2α+30∘ +12，当2α+30∘=90∘,α=30∘时，M 取得最大值为1+12=32.OA =xOB +yOC ，所以x =3sin α+30∘ 2sin α,y =sin α+30∘2cos α，所以N =x +y =3sin α+30∘2sin α+sin α+30∘ 2cos α=1+32sin2α，当2α=90∘,α=45∘时，N 有最小值为1+32.故选B .例4.(2023·全国·高三专题练习)已知函数f x =a sin x +b cos x +cx 图象上存在两条互相垂直的切线，且a 2+b 2=1，则a +b +c 的最大值为( )A.23 B.22C.3D.2【答案】D【解析】由a 2+b 2=1，令a =sin θ,b =cos θ，由f x =a sin x +b cos x +cx ，得f x =a cos x -b sin x +c =sin θcos x -cos θsin x +c =sin θ-x +c ，所以c -1≤f x ≤c +1由题意可知，存在x 1,x 2，使得f (x 1)f (x 2)=-1，只需要c -1 c +1 =c 2-1 ≥1，即c 2-1≤-1，所以c 2≤0，c =0，a +b +c =a +b =sin θ+cos θ=2sin θ+π4≤2所以a +b +c 的最大值为2.故选:D .例5.(2023·全国·高三专题练习)已知m >0，函数f (x )=(x -2)ln (x +1),-1<x ≤m ,cos 3x +π4,m <x ≤π,恰有3个零点，则m 的取值范围是( )A.π12,5π12 ∪2,3π4B.π12,5π12 ∪2,3π4C.0,5π12 ∪2,3π4D.0,5π12 ∪2,3π4【答案】A【解析】设g x =(x -2)ln (x +1)，h x =cos 3x +π4，求导g x =ln (x +1)+x -2x +1=ln (x +1)+1-3x +1由反比例函数及对数函数性质知g x 在-1,m ,m >0上单调递增，且g 12<0，g 1 >0，故gx 在12,1 内必有唯一零点x 0，当x ∈-1,x 0 时，g (x )<0，g x 单调递减；当x ∈x 0,m 时，g (x )>0，g x 单调递增；令g x =0，解得x =0或2，可作出函数g x 的图像，令h x =0，即3x +π4=π2+k π,k ∈Z ，在0,π 之间解得x =π12或5π12或3π4，作出图像如下图数形结合可得：π12,5π12∪2,3π4，故选：A例6.(2023·全国·高三专题练习)已知函数f x =cos ωx -π3(ω>0)在π6,π4 上单调递增，且当x ∈π4,π3 时，f x ≥0恒成立，则ω的取值范围为( )A.0,52 ∪223,172B.0,43 ∪8,172C.0,43 ∪8,283D.0,52 ∪223,8【答案】B【解析】由已知，函数fx =cos ωx -π3(ω>0)在π6,π4 上单调递增，所以2k 1π-π≤ωx -π3≤2k 1πk 1∈Z ，解得：2k 1πω-2π3ω≤x ≤2k 1πω+π3ωk 1∈Z ，由于π6,π4 ⊆2k 1πω-2π3ω,2k 1πω+π3ω k 1∈Z ，所以π6≥2k 1πω-2π3ωπ4≤2k 1πω+π3ω，解得：12k 1-4≤ω≤8k 1+43k 1∈Z ①又因为函数f x =cos ωx -π3(ω>0)在x ∈π4,π3上f x ≥0恒成立，所以2k 2π-π2≤ωx -π3≤2k 2π+π2k 2∈Z ，解得：2k 2πω-π6ω≤x ≤2k 2πω+5π6ωk 2∈Z ，由于π4,π3 ⊆2k 2πω-π6ω,2k 2πω+5π6ω k 2∈Z ，所以π4≥2k 2πω-π6ωπ3≤2k 2πω+5π6ω，解得：8k 2-23≤ω≤6k 2+52k 2∈Z ②又因为ω>0，当k 1=k 2=0时，由①②可知：ω>0-4≤ω≤43-23≤ω≤52，解得ω∈0，43；当k 1=k 2=1时，由①②可知：ω>08≤ω≤283223≤ω≤172，解得ω∈8，172.所以ω的取值范围为0,43 ∪8,172.故选：B .例7.(2023·全国·高三专题练习)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，△ABC 的面积为S ，若sin (A +C )=2S b 2-a2，则tan A +13tan (B -A )的取值范围为( )A.233,+∞ B.233,43C.233,43D.233,43【答案】C【解析】在△ABC 中，sin (A +C )=sin B ,S =12ac sin B ，故题干条件可化为b 2-a 2=ac ，由余弦定理得b 2=a 2+c 2-2ac cos B ，故c =2a cos B +a ，又由正弦定理化简得：sin C =2sin A cos B +sin A =sin A cos B +cos A sin B ，整理得sin (B -A )=sin A ，故B -A =A 或B -A =π-A (舍去)，得B =2A △ABC 为锐角三角形，故0<A <π20<2A <π20<π-3A <π2 ，解得π6<A <π4，故33<tan A <1tan A +13tan (B -A )=tan A +13tan A ∈233,43故选：C例8.(2023·上海·高三专题练习)在钝角△ABC 中，a ,b ,c 分别是△ABC 的内角A ,B ,C 所对的边，点G 是△ABC 的重心，若AG ⊥BG ，则cos C 的取值范围是( )A.0,63B.45,63C.63,1D.45,1【答案】C【解析】延长CG 交AB 于D ，如下图所示：∵G 为△ABC 的重心，∴D 为AB 中点且CD =3DG ，∵AG ⊥BG ，∴DG =12AB ，∴CD =32AB =32c ；在△ADC 中，cos ∠ADC =AD 2+CD 2-AC 22AD ⋅CD=52c 2-b 232c 2=5c 2-2b 23c 2；在△BDC 中，cos ∠BDC =BD 2+CD 2-BC 22BD ⋅CD =52c 2-a 232c 2=5c 2-2a 23c 2；∵∠BDC +∠ADC =π，∴cos ∠BDC =-cos ∠ADC ，即5c 2-2a 23c 2=-5c 2-2b 23c 2，整理可得：a 2+b 2=5c 2>c 2，∴C 为锐角；设A 为钝角，则b 2+c 2<a 2，a 2+c 2>b 2，a >b ，∴a 2>b 2+a 2+b 25b 2<a 2+a 2+b 25，∴b a 2+15+15b a 2<1b a 2<1+15+15b a2，解得：b a 2<23，∵a >b >0，∴0<b a <63，由余弦定理得：cos C =a 2+b 2-c 22ab =25⋅a 2+b 2ab =25a b +b a >25×63+36 =63，又C 为锐角，∴63<cos C <1，即cos C 的取值范围为63,1.故选：C .例9.(2023·全国·高三专题练习)设锐角△ABC 的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ，若A =π3,a =3，则b 2+c 2+bc 的取值范围为( )A.(1，9] B.(3，9]C.(5，9]D.(7，9]【答案】D 【解析】因为A =π3,a =3，由正弦定理可得asin A=332=2=b sin B =csin 2π3-B ，则有b =2sin B ,c =2sin 2π3-B ，由△ABC 的内角A ,B ,C 为锐角，可得0<B <π2,0<2π3-B <π2,，∴π6<B <π2⇒π6<2B -π6<5π6⇒12<sin 2B -π6 ≤1⇒2<4sin 2B -π6≤4，由余弦定理可得a 2=b 2+c 2-2bc cos A ⇒3=b 2+c 2-bc ,因此有b 2+c 2+bc =2bc +3=8sin B sin 2π3-B+3=43sin B cos B +4sin 2B +3=23sin2B -2cos2B +5=5+4sin 2B -π6∈7,9 故选：D .例10.(2023·上海·高三专题练习)某公园有一个湖，如图所示，湖的边界是圆心为O 的圆，已知圆O 的半径为100米．为更好地服务游客，进一步提升公园亲水景观，公园拟搭建亲水木平台与亲水玻璃桥，设计弓形MN ,NP ,PQ ,QM 为亲水木平台区域(四边形MNPQ 是矩形，A ，D 分别为MN ,PQ 的中点，OA =OD =50米)，亲水玻璃桥以点A 为一出入口，另两出入口B ，C 分别在平台区域MQ ,NP 边界上(不含端点)，且设计成∠BAC =π2，另一段玻璃桥F -D -E 满足FD ⎳AC ,FD =AC ,ED ⎳AB ,ED =AB ．(1)若计划在B ，F 间修建一休闲长廊该长廊的长度可否设计为70米？请说明理由；(附：2≈1.414,3≈1.732)(2)设玻璃桥造价为0.3万元/米，求亲水玻璃桥的造价的最小值．(玻璃桥总长为AB +AC +DE +DF ，宽度、连接处忽略不计)．【解析】(1)由题意，OA =50,OM =100，则MQ =100,AM =503,∠BAC =π2，设∠MAB =θ,∠NAC =α=π2-θ．若C ，P 重合，tan α=100503=23,tan θ=1tan α=32=MB503，得MB =75，∴75<MB <100,32<tan θ<23,MB =AM ⋅tan θ=503tan θ，NC =AN ⋅tan α=503tan θ,而MF =CP =100-NC =100-503tan θ，∴BF =MB -MF =503tan θ+1tan θ -100≥100(3-1)，当tan θ=1(符合题意)时取等号，又100(3-1)>70，∴可以修建70米长廊．(2)AB =AM cos θ=503cos θ,AC =AN cos α=503sin θ，则AB +AC =503cos θ+503sin θ=503(sin θ+cos θ)sin θcos θ．设t =sin θ+cos θ=2sin θ+π4 ，则t 2=1+2sin θcos θ，即sin θcos θ=t 2-12．AB +AC =1003t t 2-1=1003t -1t，由(1)知32<tan θ<23，而33<32<1<23<3，∴∃θ使θ+π4=π2且π4<θ+π4<3π4，即1<t ≤2,0<t -1t ≤22，∴AB +AC =1003t -1t≥1006，当且仅当t =2,θ=π4时取等号．由题意，AB +AC =DE +DF ，则玻璃桥总长的最小值为2006米，∴铺设好亲水玻璃桥，最少需2006×0.3=606万元．例11.(2023·全国·高三专题练习)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，满足b sin A =a sin B +π3(1)设a =3，c =2，过B 作BD 垂直AC 于点D ，点E 为线段BD 的中点，求BE ⋅EA的值；(2)若△ABC 为锐角三角形，c =2，求△ABC 面积的取值范围．【解析】(1)b sin A =a sin B +π3，由正弦定理得：sin B sin A =sin A sin B +π3 =12sin A sin B +32sin A cos B ，所以12sin A sin B -32sin A cos B =0，因为A ∈0,π ，所以sin A ≠0，所以12sin B -32cos B =0，即tan B =3，因为B ∈0,π ，所以B =π3，因为a =3，c =2，由余弦定理得：b 2=a 2+c 2-2ac cos B =9+4-6=7，因为b >0，所以b =7，其中S △ABC =12ac sin B =12×3×2×32=332，所以BD =2S △ABC AC =337=3217，因为点E 为线段BD 的中点，所以BE =32114，由题意得：EA =ED +DA =BE +DA，所以BE ⋅EA =BE ⋅BE +DA =BE 2+0=2728.(2)由(1)知：B =π3，又c =2，由正弦定理得：a sin A =c sin C =2sin A +π3，所以a =2sin A sin A +π3 =2sin A 12sin A +32cos A =41+3tan A，因为△ABC 为锐角三角形，所以A ∈0,π2C =2π3-A ∈0,π2，解得：A ∈π6,π2 ，则tan A ∈33,+∞，3tan A ∈0,3 ，1+3tan A∈1,4 ，故a =41+3tan A∈1,4 ，△ABC 面积为S =12ac sin B =32a ∈32,23 故△ABC 面积的取值范围是32,23.【过关测试】一、单选题1.(2023·全国·高三专题练习)已知a ,b ∈R ，设函数f 1(x )=cos2x ，f 2(x )=a -b cos x ，若当f 1(x )≤f 2(x )对x ∈[m ,n ](m <n )恒成立时，n -m 的最大值为3π2，则( )A.a ≥2-1 B.a ≤2-1C.b ≥2-2D.b ≤2-2【答案】A【解析】设t =cos x ，x ∈[m ,n ]，因为n -m 的最大值为3π2>π=T2，所以x ∈[m ,n ]时，t =cos x 必取到最值，当n -m =3π2时，根据余弦函数对称性得cos m +n 2=1⇒m +n2=2k π,k ∈Z ，此时cos m =cos m +n 2-n -m 2=cos 2k π-3π4 =cos 3π4=-22cos n =cos m +n 2+n -m 2 =cos 2k π+3π4 =cos 3π4=-22或者cos m +n 2=-1⇒m +n 2=π+2k π,k ∈Z ，此时cos m =cos m +n 2-n -m2 =cos 2k π+π-3π4 =-cos 3π4=22cos n =cos m +n 2+n -m 2=cos 2k π+π+3π4 =-cos 3π4=22由f 1(x )≤f 2(x )⇒2cos 2x -1≤a -b cos x ⇒2cos 2x +b cos x -1+a ≤0，设t =cos x ，x ∈[m ,n ]时 2t 2+bt -1+a ≤0对应解为t 1≤t ≤t 2，由上分析可知当t 1=-22，t 2≥1或t 1≤-1，t 2=22时，满足n -m 的最大值为3π2，所以t 1t 2≤-22，即-1+a 2≤-22，所以a ≥2-1.-b 2=t 1+t 2≥1-22或-b 2=t 1+t 2≤-1+22，即b ≤2-2或b ≥2-2，故选：A .2.(2023·全国·高三专题练习)△ABC 中，AB =2，∠ACB =π4，O 是△ABC 外接圆圆心，是OC ⋅AB+CA ⋅CB的最大值为( )A.0 B.1C.3D.5【答案】C【解析】过点O 作OD ⊥AC ,OE ⊥BC ，垂足分别为D ，E ，如图，因O 是△ABC 外接圆圆心，则D ，E 分别为AC ，BC 的中点，在△ABC 中，AB =CB -CA ，则|AB |2=|CA |2+|CB|2-2CA ⋅CB ，即CA ⋅CB =|CA |2+|CB|2-22，CO ⋅CA =CO CA cos ∠OCA = CD ⋅ CA =12CA 2，同理CO ⋅CB =12|CB |2，因此，OC ⋅AB +CA ⋅CB =OC ⋅CB -CA+CA ⋅CB =CO ⋅CA -CO ⋅CB +CA ⋅CB=12|CA |2-12|CB |2+|CA |2+|CB |2-22=|CA |2-1，由正弦定理得：|CA |=|AB|sin B sin ∠ACB =2sin B sin π4=2sin B ≤2，当且仅当B =π2时取“=”，所以OC ⋅AB +CA ⋅CB的最大值为3.故选：C3.(2023·全国·高三专题练习)在锐角△ABC 中，若3sin A cos A a +cos Cc=sin B sin C ，且3sin C +cos C =2，则a +b 的取值范围是( )A.23,4 B.2,23C.0,4D.2,4【答案】A【解析】由3sin C +cos C =2sin C +π6 =2，得C +π6=π2+2k π，k ∈Z ，∵C ∈0,π2 ，∴C =π3．由题cos A a +cos C c =sin B sin C 3sin A，由正弦定理有cos A a +cos Cc =b ⋅323a=b 2a ，故cos A sin A +cos C sin C =b 2sin A，即cos A ⋅sin C +sin A ⋅cos C =b sin C 2=3b 4，故sin A +C =sin B =3b 4，即b sin B =433，由正弦定理有a sin A=b sin B =c sin C =433，故a =433sin A ，b =433sin B ，又锐角△ABC ，且C =π3，∴A ∈0,π2 ，B =2π3-A ∈0,π2 ，解得A ∈π6，π2 ，∴a +b =433(sin A +sin B )=433sin A +sin 2π3-A =433sin A +32cos A +12sin A =4sin A +π6，∵A ∈π6，π2，∴A +π6∈π3，2π3 ，sin A +π6 ∈32，1 ，∴a +b 的取值范围为23,4 ．故选：A ．4.(2023·全国·高三专题练习)设ω∈R ，函数f x =2sin ωx +π6 ,x ≥0,32x 2+4ωx +12,x <0,g x =ωx ．若f (x )在-13,π2 上单调递增，且函数f x 与g (x )的图象有三个交点，则ω的取值范围是( )A.14,23B.33,23C.14,33D.-43,0 ∪14,23【答案】B 【解析】当x ∈0,π2 时，ωx +π6∈π6,πω2+π6 ，因为f (x )在-13,π2 上单调递增，所以πω2+π6≤π2-4ω3≤-132sin π6≥12 ，解得14≤ω≤23，又因函数f x 与g (x )的图象有三个交点，所以在x ∈-∞,0 上函数f x 与g (x )的图象有两个交点，即方程32x 2+4ωx +12=ωx 在x ∈-∞,0 上有两个不同的实数根，即方程3x 2+6ωx +1=0在x ∈-∞,0 上有两个不同的实数根，所以Δ=36ω2-12>0-ω<032×02+6ω×0+1>0 ，解得ω>33，当ω∈33,23时，当x ≥0时，令f x -g x =2sin ωx +π6-ωx ，由f x -g x =1>0，当ωx +π6=5π2时，ωx =7π3，此时，f x -g x =2-7π3<0，结合图象，所以x ≥0时，函数f x 与g (x )的图象只有一个交点，综上所述，ω∈33,23.故选：B .5.(2023秋·湖南长沙·高三长郡中学校考阶段练习)已知函数f (x )=sin ωx +π3 (ω>0)在π3,π上恰有3个零点，则ω的取值范围是( )A.83,113 ∪4,143 B.113,4 ∪143,173C.113,143 ∪5,173D.143,5 ∪173,203【答案】C 【解析】x ∈π3,π，ωx +π3∈π3ω+π3,πω+π3 ，其中2πω≤π-π3<4πω，解得：3≤ω<6，则π3ω+π3≥4π3，要想保证函数在π3,π 恰有三个零点，满足①π+2k 1π≤π3ω+π3<2π+2k 1π4π+2k 1π<πω+π3≤5π+2k 1π，k 1∈Z ，令k 1=0，解得：ω∈113,143 ；或要满足②2k 2π≤π3ω+π3<π+2k 2π2k 2π+3π<πω+π3≤2k 2π+4π，k 2∈Z ，令k 2=1，解得：ω∈5,173；经检验，满足题意，其他情况均不满足3≤ω<6条件，综上：ω的取值范围是113,143 ∪5,173.故选：C6.(2023·全国·高三专题练习)已知函数f (x )=sin ωx +π4(ω>0)在区间[0,π]上有且仅有4条对称轴，给出下列四个结论：①f (x )在区间(0,π)上有且仅有3个不同的零点；②f (x )的最小正周期可能是π2；③ω的取值范围是134，174；④f (x )在区间0,π15上单调递增．其中所有正确结论的序号是( )A.①④ B.②③C.②④D.②③④【答案】B【解析】由函数f (x )=sin ωx +π4 (ω>0)，令ωx +π4=π2+k π,k ∈Z ，则x =1+4k π4ω,k ∈Z 函数f (x )在区间[0,π]上有且仅有4条对称轴，即0≤1+4k π4ω≤π有4个整数k 符合，由0≤1+4k π4ω≤π，得0≤1+4k4ω≤1⇒0≤1+4k ≤4ω，则k =0,1,2,3，即1+4×3≤4ω<1+4×4，∴134≤ω<174，故③正确；对于①，∵x ∈(0,π)，∴ωx +π4∈π4,ωπ+π4，∴ωπ+π4∈7π2,9π2当ωx +π4∈π4,7π2时，f (x )在区间(0,π)上有且仅有3个不同的零点；当ωx +π4∈π4,9π2时，f (x )在区间(0,π)上有且仅有4个不同的零点；故①错误；对于②，周期T =2πω，由134≤ω<174，则417<1ω≤413，∴8π17<T ≤8π13，又π2∈8π17,8π13，所以f (x )的最小正周期可能是π2，故②正确；对于④，∵x ∈0,π15 ，∴ωx +π4∈π4,ωπ15+π4 ，又ω∈134，174 ，∴ωπ15+π4∈7π15,8π15 又8π15>π2，所以f (x )在区间0,π15 上不一定单调递增，故④错误．故正确结论的序号是：②③故选：B7.(2023·全国·高三专题练习)函数y =sin ωx -π6ω>0 在0,π 有且仅有3个零点，则下列说法正确的是( )A.在0,π 不存在x 1，x 2使得f x 1 -f x 2 =2B.函数f x 在0,π 仅有1个最大值点C.函数f x 在0,π2上单调进增D.实数ω的取值范围是136,196 【答案】D【解析】对于A ,f (x )在0,π 上有且仅有3个零点，则函数的最小正周期T <π ，所以在0,π 上存在x 1,x 2 ，且f (x 1)=1,f (x 2)=-1 ，使得f x 1 -f x 2 =2，故A 错误；由图象可知，函数在0,π 可能有两个最大值，故B 错误;对于选项D ,令ωx -π6=k π,k ∈Z ，则函数的零点为x =1ωk π+π6 ,k ∈Z ,所以函数在y 轴右侧的四个零点分别是：π6ω,7π6ω,13π6ω,19π6ω，函数y =sin ωx -π6ω>0 在0,π 有且仅有3个零点，所以13π6ω≤π19π6ω>π，解得ω∈136,196 ，故D 正确；由对选项D 的分析可知，ω的最小值为136，当0<x <π2 时，ωx -π6∈-π6,11π12 ，但-π6,11π12 不是0,π2的子集，所以函数f x 在0,π2上不是单调进增的，故C 错，故选：D .8.(2023·上海·高三专题练习)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin (A +C )cos B b +cos C c =sin A sin C ，B =π3，则a +c 的取值范围是( )A.32,3B.32,3C.32,3 D.32,3【答案】A【解析】由题知sin (A +C )cos B b+cos C c=sin A sin C ，B =π3∴sin B cos B b +cos C c =sin Asin C 即cos B b +cos C c =23sin A3sin C由正弦定理化简得∴c ⋅cos B +b ⋅cos C =23bc sin A 3sin C=23ab3∴sin C cos B +cos C sin B =23b sin A3∴sin (B +C )=sin A =23b sin A3∴b =32∵B =π3∴a sin A =b sin B =c sin C =1∴a +c =sin A +sin C =sin A +sin 2π3-A =32sin A +32cos A =3sin A +π6∵0<A <2π3∴π6<A +π6<5π6∴32<3sin A +π6≤3即32<a +c ≤3故选：A .二、多选题9.(2023秋·山东济南·高三统考期中)在△ABC 中，内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ，且tan A +B 1-tan A tan B =3ca cos B，则下列结论正确的是( )A.A =π6B.若b -c =33a ，则△ABC 为直角三角形C.若△ABC 面积为1，则三条高乘积平方的最大值为33D.若D 为边BC 上一点，且AD =1,BD :DC =2c :b ，则2b +c 的最小值为977【答案】BCD【解析】对于A ，因为tan A +B 1-tan A tan B =3c a cos B ，所以tan A +tan B =3ca cos B，则由正弦定理得3sin C =sin A cos B tan A +tan B =sin A cos B ⋅sin A cos B +cos A sin Bcos A cos B =sin A ⋅sin A +B cos A =sin A ⋅sin Ccos A ，则3sin C cos A =sin A sin C ，因为0<C <π，所以sin C >0，故tan A =3，又0<A <π，所以A =π3，故A 错误；对于B ，由余弦定理得a 2=b 2+c 2-2bc cos A =b 2+c 2-bc ，因为b -c =33a ，即b =33a +c ，代入上式得a 2=33a +c 2+c 2-33a +c c ，整理得3c 2+3ac -2a 2=0，解得a =3c 或a =-32c (舍去)，则b =2c ，所以b 2=a 2+c 2，故B 正确；对于C ，设AB ,AC ,BC 边上的高分别是CE ,BF ,AD ，则由三角形面积公式易得AD =2a ,BF =2b ,CE =2c ，则AD ×BF ×CE 2=8abc2，因为1a +1b +1c ≥331abc ，当且仅当1a =1b=1c ，即a =b =c 时，等号成立，此时S =12bc sin A =34b 2=1，得b 2=433，所以AD ×BF ×CE 2=8abc2≤33，故C 正确；对于D ，因为BD :DC =2c :b ，所以AD =AB +BD =AB+2c b +2c BC =AB +2cb +2c AC -AB=b b +2c AB +2c b +2cAC，可得1=b 2(b +2c )2c 2+4c 2(b +2c )2b 2+22bc (b +2c )2cb cos60°，整理得b +2c 2=7b 2c 2，故1c +2b=7，所以2b +c =2b +c ×171c +2b =172b c +2c b +5 ≥1722b c ⋅2c b+5=977，当且仅当2b c =2c b 且1c +2b=7，即b =c =377时，等号成立，所以2b +c ≥977，即2b +c 的最小值为977，故D 正确.故选：BCD .10.(2023秋·江苏苏州·高三苏州中学校考阶段练习)已知函数f x =sin2x1+2cos 2x，则下列说法中正确的是( )A.f x +π =f xB.f x 的最大值是33C.f x 在-π2,π2上单调递增D.若函数f x 在区间0,a 上恰有2022个极大值点，则a 的取值范围为60643π,60673π【答案】ABD 【解析】f x =sin2x 1+2cos 2x =sin2x 1+21+cos2x 2=sin2x2+cos2x ，A 选项：f x +π =sin 2x +2π 2+cos 2x +2π=sin2x 2+cos2x =f x ，A 选项正确；B 选项：设f x =sin2x2+cos2x=t ，则sin2x -t cos2x =2t =1+t 2sin 2x +φ ≤1+t 2，解得t 2≤13，-33≤t ≤33，即t max =33，即f x 的最大值为33，B 选项正确；C 选项：因为f -π2 =f π2 =0，所以f x 在-π2,π2 上不单调，C 选项错误；D 选项：f x =2cos2x 2+cos2x -sin2x -2sin2x 2+cos2x 2=4cos2x +22+cos2x2，令f x =0，解得cos2x =-12，即x =π3+k π或x =2π3+k π，k ∈Z ，当x ∈π3+k π,2π3+k π ，k ∈Z 时，f x <0，函数单调递减，当当x ∈2π3+k π,4π3+k π ，k ∈Z 时，f x >0，函数单调递增，所以函数f x 的极大值点为π3，4π3，⋯，π3+n-1π，又函数f x 在区间0,a上恰有2022个极大值点，则a∈π3+2021π,π3+2022π，即a∈6064π3,6067π3，D选项正确；故选：ABD.11.(2023·全国·高三专题练习)在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，面积为S，有以下四个命题中正确的是( )A.Sa2+2bc的最大值为3 12B.当a=2，sin B=2sin C时，△ABC不可能是直角三角形C.当a=2，sin B=2sin C，A=2C时，△ABC的周长为2+23D.当a=2，sin B=2sin C，A=2C时，若O为△ABC的内心，则△AOB的面积为3-13【答案】ACD【解析】对于选项A：Sa2+2bc =12bc sin Ab2+c2-2bc cos A+2bc=12×sin Abc+cb+2-2cos A≤-14×sin Acos A-2(当且仅当b=c时取等号).令sin A=y，cos A=x，故Sa2+2bc≤-14×yx-2，因为x2+y2=1，且y>0，故可得点x,y表示的平面区域是半圆弧上的点，如下图所示：目标函数z=yx-2上，表示圆弧上一点到点A2,0点的斜率，数形结合可知，当且仅当目标函数过点H12,32，即A=60∘时，取得最小值-3 3，故可得z=yx-2∈-33,0，又Sx2+2bc≤-14×yx-2，故可得Sa2+2bc≤-14×-33=312，当且仅当A=60∘，b=c，即三角形为等边三角形时，取得最大值，故选项A正确；对于选项B：因为sin B=2sin C，所以由正弦定理得b=2c，若b是直角三角形的斜边，则有a2+c2= b2，即4+c2=4c2，得c=233，故选项B错误；对于选项C，由A=2C，可得B=π-3C，由sin B=2sin C得b=2c，由正弦定理得，bsin B=csin C，即2csinπ-3C=csin C，所以sin3C=2sin C，化简得sin C cos2C+2cos2C sin C=2sin C，因为sin C≠0，所以化简得cos2C=3 4，因为b=2c，所以B>C，所以cos C=32，则sin C=12，所以sin B=2sin C=1，所以B=π2，C=π6，A=π3，因为a=2，所以c=233，b=433，所以△ABC的周长为2+23，故选项C正确；对于选项D，由C可知，△ABC为直角三角形，且B=π2，C=π6，A=π3，c=233，b=433，所以△ABC的内切圆半径为r=122+233-433=1-33，所以△ABC的面积为12cr=12×233×1-33=3-13所以选项D正确，故选：ACD12.(2023·全国·高三专题练习)在锐角△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且c-b=2b cos A，则下列结论正确的有( )A.A=2BB.B的取值范围为0,π4C.a b的取值范围为2,2D.1tan B-1tan A+2sin A的取值范围为533,3【答案】AD【解析】在△ABC中，由正弦定理可将式子c-b=2b cos A化为sin C-sin B=2sin B cos A，把sin C=sin A+B=sin A cos B+cos A sin B代入整理得，sin A-B=sin B，解得A-B=B或A-B+B=π，即A=2B或A=π(舍去).所以A=2B.选项A正确.选项B：因为△ABC为锐角三角形，A=2B，所以C=π-3B.由0<B<π2,0<2B<π2,0<π-3B<π2解得B∈π6,π4，故选项B错误.选项C ：a b =sin A sin B =sin2Bsin B =2cos B ，因为B ∈π6,π4 ，所以cos B ∈22,32，2cos B ∈2,3 ，即ab的取值范围2,3 .故选项C 错误.选项D ：1tan B -1tan A +2sin A =sin A -B sin A sin B +2sin A =1sin A +2sin A .因为B ∈π6,π4，所以A =2B ∈π3,π2 ，sin A ∈32,1.令t =sin A ，t ∈32,1，则f t =2t +1t.由对勾函数的性质知，函数f t =2t +1t 在32,1上单调递增.又f 32 =533，f 1 =3，所以f t ∈533,3 .即1tan B -1tan A+2sin A 的取值范围为533,3 .故选项D 正确.故选：AD .三、填空题13.(2023·全国·高三专题练习)已知函数f (x )=sin ωx +π6,ω>0，若f π4 =f 5π12 且f (x )在区间π4,5π12 上有最小值无最大值，则ω=_______．【答案】4或10【解析】∵f (x )满足f π4 =f 5π12 ，∴x =π4+5π122=π3是f (x )的一条对称轴，∴π3⋅ω+π6=π2+k π，∴ω=1+3k ，k ∈Z ，∵ω>0，∴ω=1,4,7,10,13,⋯.当x ∈π4,5π12时，ωx +π6∈π4ω+π6,5π12ω+π6 ，y =sin x 图像如图：要使f (x )在区间π4,5π12上有最小值无最大值，则：π2≤π4ω+π6<3π23π2<5π12ω+π6≤5π2⇒4≤ω<163 或5π2≤π4ω+π6<7π27π2<5π12ω+π6≤9π2⇒283≤ω<525 ，此时ω=4或10满足条件；区间π4,5π12 的长度为：5π12-π4=5π12-3π12=π6，当ω≥13时，f (x )最小正周期T =2πω≤2π13<π6，则f (x )在π4,5π12 既有最大值也有最小值，故ω≥13不满足条件.综上，ω=4或10.故答案为：4或10.14.(2023·全国·高三专题练习)函数f x =3sin ωx +φ ω>0,φ <π2，已知f π3 =3且对于任意的x ∈R 都有f -π6+x +f -π6-x =0，若f x 在5π36,2π9上单调，则ω的最大值为______.【答案】5【解析】因为函数f x =3sin ωx +φ ω>0,φ <π2 ，f π3=3，所以f π3=33sin ω·π3+φ =3，所以πω3+φ=π2+k π(k ∈Z )，φ=π2-k π3+k 1π(k 1∈Z ),因为于任意的x ∈R 都有f -π6+x +f -π6-x =0，所以f -π6+x =-f -π6-x ，所以sin x -π6 ⋅ω+φ =-sin -ω⋅x +π6 +φ ，所以sin ωx -ωπ6+φ =sin ωx +ωπ6-φ ，所以ωx -ωπ6+φ=ωx +ωπ6-φ+2k 2π(k 2∈Z )或ωx -ωπ6+φ+ωx +ωπ6-φ=k 3π(k 3∈Z )，所以φ=ωπ6+k 2π(k 2∈Z )或2ωx =k 3π(k 3∈Z )，即x =k 3π2ω(k 3∈Z )(舍去)，所以φ=ωπ6+k 2π(k 2∈Z )，因为φ=π2-k π3+k 1π(k 1∈Z )，所以π2-k π3+k 1π=ωπ6+k 2π(k 1∈Z )，即ω=1+2(k 1-k 2)，令t =k 1-k 2，所以ω=1+2t (t ∈Z )，f x 在5π36,2π9上单调，所以π12≤T 2=πω，所以ω≤12，而ω=1+2t (t ∈Z )，当ω=11，φ=-π6，所以f x =3sin 11x -π6 ，函数在5π36,2π9不单调，舍去；当ω=9，φ=3π2+k π(k ∈Z )，舍去；当ω=7，φ=π6，所以f x =3sin 7x +π6 ，函数在5π36,2π9 不单调，舍去；当ω=5，φ=-π6，所以f x =3sin 5x -π6 ，函数在5π36,2π9 单调，所以ω的最大值为5.故答案为：5.15.(2023·全国·高三专题练习)已知函数f (x )=sin (ωx +φ)，其中ω>0，|φ|≤π2，-π4为f (x )的零点，且f (x )≤f π4恒成立，f (x )在区间-π12,π24 上有最小值无最大值，则ω的最大值是_______【答案】15【解析】由题意知函数f x =sin ωx +φ ω>0，φ ≤π2 ，x =π4为y =f (x )图象的对称轴，x =-π4为f (x )的零点，∴2n +14•2πω=π2，n ∈Z ，∴ω=2n +1．∵f (x )在区间-π12，π24 上有最小值无最大值，∴周期T ≥π24+π12 =π8，即2πω≥π8，∴ω≤16．∴要求ω的最大值，结合选项，先检验ω=15，当ω=15时，由题意可得-π4×15+φ=k π，φ=-π4，函数为y =f (x )=sin 15x -π4，在区间-π12，π24 上，15x -π4∈-3π2，3π8 ，此时f (x )在x =-π12时取得最小值，∴ω=15满足题意．则ω的最大值为15.故答案为：15.16.(2023·全国·高三对口高考)在△ABC 中，AB =3cos x ,cos x ,AC =cos x ,sin x ，则△ABC 面积的最大值是____________【答案】34【解析】S △ABC =12AB⋅AC sin AB ,AC =12AB 2⋅AC 21-cos 2AB ,AC =12AB 2⋅AC 2-AB ⋅AC 2=124cos 2x -3cos 2x +sin x cos x 2=123cos x sin x -cos 2x =12sin 2x -π6 -12 ≤34，当sin 2x -π6 =-1时等号成立.此时2x -π6=-π2，即x =-π6时，满足题意.故答案为：34.17.(2023·高一课时练习)用M I 表示函数y =sin x 在闭区间I 上的最大值．若正数a 满足M [0,a ]≥2M [a ,2a ]，则a 的最大值为________．【答案】1312π【解析】①当a ∈0,π2时，2a ∈[0,π),M [0,a ]=sin a ,M [a ,2a ]=1，若M [0,a ]≥2M [a ,2a ]，则sin a ≥2，此时不成立；②当a ∈π2,π时，2a ∈[π,2π),M [0,a ]=1,M [a ,2a ]=sin a ，若M [0,a ]≥2M [a ,2a ]，则1≥2sin a ⇒sin a ≤12，又a ∈π2,π ，解得a ∈5π6,π ；③当a ∈π,3π2时，2a ∈[2π,3π),M [0,a ]=1,M [a ,2a ]=sin2a ，若M [0,a ]≥2M [a ,2a ]，则1≥2sin2a ⇒sin2a ≤12，又a ∈π,3π2 ，解得a ∈π,13π12；④当a ∈3π2,+∞时，2a ∈[3π,+∞)，M [0,a ]=1，M [a ,2a ]=1，不符合题意.综上所述，a ∈5π6,13π12 ，即a 的最大值为1312π.故答案为：1312π18.(2023·上海·高三专题练习)在△ABC 中，角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，已知a =2，b cos C -c cos B =4，π4≤C ≤π3，则tan A 的最大值为_______.【答案】12【解析】在△ABC 中，因为a =2，b cos C -c cos B =4，所以b cos C -c cos B =4=2a ，所以sin B cos C -sin C cos B =2sin A 所以sin B cos C -sin C cos B =2sin (B +C )，所以sin B cos C -sin C cos B =2sin B cos C +2cos B sin C ，所以sin B cos C +3cos B sin C =0，所以sin B cos C +cos B sin C +2cos B sin C =0，所以sin (B +C )+2cos B sin C =0，所以sin A +2cos B sin C =0，所以由正弦定理得a +2c cos B =0，所以cos B =-1c<0，所以角B 为钝角，角A 为锐角，所以要tan A 取最大值，则A 取最大值，B ,C 取最小值，从而b ,c 取最小值．又b cos C =c cos B +4=c ×-1c +4=3,∴cos C =3b，由π4≤C ≤π3，得12≤cos C ≤22,∴12≤3b≤22，∴32≤b ≤6，由cos B =a 2+c 2-b 22ac =-1c,∴b 2-c 2=8,∴10≤c ≤27,∴tan A 取最大值时，b =32,c =10，此时由余弦定理可得cos A =b 2+c 2-a 22bc =18+10-42×32×10=255，从而求得tan A =1cos 2A-1=12，即tan A 最大值为12．故答案为：1219.(2023·全国·高三专题练习)在△ABC 中，若∠BAC =120°，点D 为边BC 的中点，AD =1，则AB⋅AC的最小值为______.【答案】-2【解析】AB ⋅AC =AD +DB ⋅AD +DC=AD 2+AD ⋅DC +DB +DB ⋅DC，因为D 为边BC 的中点，AD =1，故AB ⋅AC =1-DB 2，故求DB 的最大值.设DB =DC =x ，AC =a ,AB =c ，则由余弦定理，cos ∠BDA =x 2+12-c 22x ，cos ∠CDA =x 2+12-b 22x，因为∠BDA +∠CDA=180∘，故x 2+12-c 22x +x 2+12-b 22x=0，即2x 2+2=b 2+c 2，又2x 2=b 2+c 2+bc ≥3bc ，故2x 2+2=4x 2-bc ，即2x 2=2+bc ≤2+43x 2，此时x 2≤3，故AB ⋅AC =1-x 2≥-2，当且仅当b =c 时取等号.即AB ⋅AC的最小值为-2故答案为：-220.(2023·全国·高三专题练习)△ABC 中，角A ，B ，C 所对的三边分别为a ，b ，c ，c =2b ，若△ABC 的面积为1，则BC 的最小值是________．【答案】3【解析】因为△ABC 的面积为1，所12bc sin A =12b ×2b sin A =b 2sin A =1，可得b 2=1sin A，由BC =AC -AB ，可得|BC |2=|AC |2+|AB |2-2AC ⋅AB =b 2+c 2-2bc cos A =b 2+2b2-2b ×2b cos A =5b 2-4b 2cos A =5sin A -4cos A sin A =5-4cos Asin A，设m =sin A -4cos A +5=-14×sin A cos A -54，其中A ∈(0,π)，因为sin A cos A -54=sin A -0cos A -54表示点P 54,0 与点(cos A，sinA )连线的斜率，如图所示，当过点P 的直线与半圆相切时，此时斜率最小，在直角△OAP 中，OA =1,OP =54，可得PA =34，所以斜率的最小值为k PA =-tan ∠APO =-43，所以m 的最大值为-14×-43 =13，所以|BC |2≥3，所以|BC |≥3，即BC 的最小值为3，故答案为：3．21.(2023·全国·高三专题练习)已知θ>0，对任意n ∈N *，总存在实数φ，使得cos (nθ+φ)<32，则θ的最小值是___【答案】2π5【解析】在单位圆中分析，由题意，nθ+φ的终边要落在图中阴影部分区域(其中∠AOx =∠BOx =π6)，必存在某个正整数n ，使得nθ+φ终边在OB 的下面，而再加上θ，即跨越空白区域到达下一个周期内的阴影区域内，∴θ>∠AOB =π3，∵对任意n ∈N *要成立，所以必存在某个正整数n ，使得以后的各个角的终边与前面的重复(否则终边有无穷多，必有两个角的终边相差任意给定的角度比如1°，进而对于更大的n ,次差的累积可以达到任意的整度数，便不可能在空白区域中不存在了)，故存在正整数m ,使得2m πθ∈N *，即θ=2m πk ，k ∈N *，同时θ>π3，∴θ的最小值为2π5,故答案为：2π5.22.(2023·上海·高三专题练习)已知函数f (x )=sin (ωx +φ)，其中ω>0，0<φ<π，f (x )≤f π4恒成立，且y =f (x )在区间0,3π8上恰有3个零点，则ω的取值范围是______________．【答案】6,10【解析】由已知得：f (x )≤f π4恒成立，则f (x )max =f π4 ，π4ω+φ=π2+2k π,k ∈Z ⇒φ=π2-πω4+2k π,k ∈Z ，由x ∈0,3π8 得ωx +φ∈φ,3π8ω+φ ，由于y =f (x )在区间0,3π8上恰有3个零点，故0<φ<π3π<3π8ω+φ≤4π，则0<π2-πω4+2k π<π3π<3πω8+π2-πω4+2k π≤4π，k ∈Z ，则8k -2<ω<8k +220-16k <ω≤28-16k,k ∈Z ,只有当k =1时，不等式组有解，此时6<ω<104<ω≤12 ，故6<ω<10，故答案为：6,1023.(2023·全国·高三专题练习)已知锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且A >B ，若sin C =2cos A sin B +725，则tan B 的取值范围为_______．【答案】34,247【解析】∵sin C =2cos A sin B +725，∴sin A +B =sin A cos B +cos A sin B =2cos A sin B +725，即sin A -B =725，∵又A >B ，且A ,B 都为锐角，故cos A -B =2425，tan A -B =724，因为锐角三角形ABC ，所以tan A >0,tan B >0,tan C >0,所以tan A =tan A -B +B =tan A -B +tan B 1-tan A -B ⋅tan B =724+tan B1-724⋅tan B >0所以1-724⋅tan B>0,所以tan B<247，又因为tan C=-tan A+B=tan A+tan Btan A⋅tan B-1>0所以tan A⋅tan B-1=724+tan B1-724⋅tan B⋅tan B-1>0所以12tan2B+7tan B-12>0，解得tan B>34或tan B<-43(舍去)故34<tan B<247.故答案为：3 4,247.24.(2023·全国·高三专题练习)若函数f x =43x-13sin2x+a cos x在-∞,+∞内单调递增，则实数a的取值范围是___________.【答案】-423,423【解析】因函数f(x)在-∞,+∞内单调递增，则∀x∈R，f (x)=43-23cos2x-a sin x≥0，即a sin x≤43-23cos2x，整理得a sin x≤43sin2x+23，当sin x=0时，则0≤23成立，a∈R，当sin x>0时，a≤43sin x+23sin x，而43sin x+23sin x=232sin x+1sin x≥432，当且仅当2sin x=1sin x，即sin x=22时取“=”，则有a≤423，当sin x<0时，a≥43sin x+23sin x，而43sin x+23sin x=-23(-2sin x)+1-sin x≤-432，当且仅当-2sin x=1-sin x，即sin x=-22时取“=”，则有a≥-423，综上得，-423≤a≤423所以实数a的取值范围是-423,423.故答案为：-423,42325.(2023秋·湖南衡阳·高一衡阳市八中校考期末)设函数f x =2sinωx+φ-1(ω>0)，若对于任意实数φ，f x 在区间π4,3π4上至少有2个零点，至多有3个零点，则ω的取值范围是________．【答案】4,16 3【解析】令f x =0，则sinωx+φ=12，令t=ωx+φ，则sin t12，。

高中数学例题：三角函数的定义

高中数学例题：三角函数的定义
例1．已知角α的终边经过点P （－4a ，3a ）（a ≠0），求sin α，cos α，tan α的值。

【思路点拨】先根据点P （－4a ，3a ）求出OP 的长；再分a ＞0，a ＜0两种情况结合任意角的三角函数的定义即可求出结论【答案】35，45-，34-或35-，45，34
-
【解析】 5||r a ==。

若a ＞0，则r=5a ，α是第二象限角，则
33sin 55
y a r a α===， 44cos 55
x a r a α-===-， 33tan 44y a x a α===--，若a ＜0，则r=－5a ，α是第四象限角，则
3sin 5α=-，4cos 5α=，3tan 4
α=-。

【总结升华】本题主要考查三角函数的定义和分类讨论的思想。

三角函数值的大小与点在角的终边上的位置无关，只与角的大小有关。

要善于利用三角函数的定义及三角函数的符号规律解题。

举一反三：
【变式1】已知角
α的终边在直线y =上，求sin α，cos α，tan α的值。

【答案】1221,22
-- 【解析】因为角
α的终边在直线y =上，
所以可设()(0)P a a ≠为角α终边上任意一点。

则2||r a ==（a ≠0）。

若a ＞0，则α为第一象限角，r=2a ，所以
sin 22a α==，
1
cos 22a
a α==，
tan a α==。

若a ＜0，则α为第三象限角，r=－2a ，所以sin α==，
1
cos 22a
a α=-=-，tan α==。

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龙文学校个性化辅导教案提纲教师：学生：时间：年_ 月日段
授课目的与考点分析：
三角函数式是高考考查的重点内容之一.通过本节的学习使考生掌握化简和求值问题的解题规律和途径，特别是要掌握化简和求值的一些常规技巧，以优化我们的解题效果，做到事半功倍
1. 求函数)6cos(sin sin 2x x x y -+=π
的周期和单调增区间．
解 )sin 6
sin cos 6(cos sin sin 2x x x x y ππ++= x x x cos sin 23sin 232+=x x 2sin 4
3)2cos 1(43+-= )2cos 432sin 43(43x x -+=)3
2sin(2343π++=x ． ∴ 函数的周期 ππ==2
2T ．当 22ππ-k ≤32π+x ≤22ππ+k ，即 125ππ-k ≤x ≤12
ππ+k (k ∈Z ) 时函数单调增加，即函数的增区间是 [125ππ-k ，12
ππ+k ] (k ∈Z )． 2. 已知函数2
35cos 35cos sin 5)(2+-=x x x x f （Ⅰ）求f(x)的最小正周期；（Ⅱ）求f(x)的递增区间.
解：（Ⅰ）2
35cos 35cos sin 5)(2+-=x x x x f )3sin 2cos 3cos 2(sin 52cos 352sin 252
3522cos 1352sin 25π
πx x x x x x -=-=++-=
)3
2sin(5π-=x ∴最小正周期T=ππ=2
2 （Ⅱ）由题意，解不等式ππ
π
ππ
k x k 223222+≤-≤+-
得 )(12512Z k k x k ∈+≤≤+-ππππ
)(x f ∴的递增区间是)](12
5,12[Z k k k ∈++-ππππ
3. 已知函数)(,2cos sin 8cos 23)(42x f x
x x x f 求--=的定义域，判断它的奇偶性，并求其值域. 解：x
x x x x x x f 2cos sin 8sin 212cos sin 8)sin 1(23)(4242-+=---= )
9.()(),()(,)()7}.(,4
2,|{,4
2,22,02cos )4(.1sin 42cos )sin 21)(sin 41(222分是偶函数且的定义域关于原点对称因为分且所以函数的定义域为解得得由分x f x f x f x f z k k x R x x z k k x k x x x x
x x ∴=-∈+≠∈∈+≠+≠≠+=-+=ππππππ )
12(}.3,51|{)(,4
2,1sin 4)(2分且的值域为且又≠≤≤∴∈+≠
+=y y y x f z k k x x x f ππ 四、本次课后作业：五、学生对于本次课的评价：
○特别满意 ○满意 ○一般 ○差
六、教师评定
1.学生上次作业评价： ○好 ○较好 ○一般 ○差
2.学生本次上课情况评价： ○好 ○较好 ○一般 ○差
学生签字：龙文学校教务处签字：。