理论力学 牛顿动力学方程

& a r = && r φ 2 r && a = 2 r φ + r && φ
φ
(3) ( Leabharlann Baidux , ay ) → ( ar , aφ)
作 业
已知球坐标系与直角坐标系关系: 已知球坐标系与直角坐标系关系 x = r sinθ cos θ y = r sinθ sin θ z = r cos θ 推导球坐标系( , 推导球坐标系(r,θ,φ)中的 ) (1)速度分量( v r ,vθ,vφ ); )速度分量( (2)加速度分量( a r ,aθ,aφ ) . )加速度分量(
例题:假设"和平"号宇宙空间站在接近地面摧 例题:假设"和平" 毁时, 毁时,有一质量为 m 的碎片以水平方向的初速 vo 抛出,已知空气阻力与速度成正比, 抛出,已知空气阻力与速度成正比,即 f = - kv 为常数),试求碎片的运动方程和轨迹方程. ),试求碎片的运动方程和轨迹方程 ( k 为常数),试求碎片的运动方程和轨迹方程. 牛顿第二定律: g g v v 解:牛顿第二定律:mg + f = mg - kv = mdv/dt 建立坐标系:x 轴 —— vo 方向; 建立坐标系: 方向 y 轴 —— 垂直向下方向. 垂直向下方向. 初始条件: 初始条件: t = 0, xo = 0 , yo = 0 , zo = 0; , ; vxo = vo , vyo = 0 , vzo = 0; 运动微分方程: 运动微分方程: - kvx = mdvx /dt mg - kvy = mdvy /dt 0 = mdvz /dt
理论力学
何国兴
东华大学应用物理系
第一章 牛顿动力学方程
§1.1 经典力学基础——《原理》 经典力学基础——《原理》 牛顿三大定律 §1.2 牛顿第二定律在常用坐标系中的表达式 牛顿第二定律矢量表达式 F = dP/dt = d(mv)/dt 为常数, 若m 为常数, F = mdv /dt = ma 1,直角坐标系 Fx = mdvx /dt = max Fy = mdvy /dt = may Fz = mdvz /dt = maz
例:求柱坐标中质点的速度,加速度分量表达式. 求柱坐标中质点的速度,加速度分量表达式.
解 : 坐标变换
2
x = r cos φ , y = r sin φ , z = z
2 2
x y z H r = + + = cos2 φ + sin2 φ + 02 = 1 r r r
( )
1 & + r 2] = 2r + r && & & && = [2rr & r 1 d T T az = z dt z z = && H z &
4,球坐标系(作业) 球坐标系(作业)
例:细杆 OL 绕 O 点以匀角 转动, 速ω转动,并推动小环 C 在 上滑动, 固定的钢丝 AB 上滑动,d 为常数. 为常数.试求小环的速度及 加速度的量值. 加速度的量值.
方法 2 建立极坐标系 Q r = d sec θ & & r = dθ sec θtgθ = dω sec θtgθ A
ro r
C
ro ω θ
B
&& = dω2 (secθtg2θ + sec3 θ) r O ro & r o r & ∴ v = r r + rθ θ ro ro = dω sec θtgθ r dω sec θ θ v = (dω sec θtgθ)2 + (-dω sec θ)2 x +d = dω sec θ = ω d
x y z Hφ = + + = r2 sin2 φ + r2 cos2 φ + 02 = r φ φ φ
2
2
2
x y z Hz = + + = 02 + 02 + 12 = 1 z z z
2 2 2
& & 分量 : v r = H r r = r & & v = H = r & & vz = Hzz = z
运动微分方程: 运动微分方程: - kvx = mdvx /dt mg - kvy = mdvy /dt 0 = mdvz /dt x方向: dvx / vx = - (k/ m) dt 方向: 方向 → vx = vo e - kt/m y方向: - kdvy/(mg-kvy) = -(k/ m)dt 方向: 方向 → vy = (mg/k)(1- e - kt/m ) z方向: 方向: dvz = 0 → vz = vzo = 0 方向 vx = vo e - kt/m vy = (mg /k)( 1- e - kt/m ) 1vz = 0
vx = vo e - kt/m ,vy = (mg /k)( 1- e - kt/m ) ,vz = 0 1→ x - xo = ∫ot vo e - kt/m dt = (mvo /g)( 1- e - kt/m ) → y - yo = ∫ot (mg /k)( 1- e - kt/m ) dt = mg t /k - m2g /k2 (1- e - kt/m ) → z - zo = ∫ot 0 dt = 0 运动方程: 运动方程: x = (mvo /g)( 1- e - kt/m ) y = mg t /k - m2g /k2 (1- e - kt/m ) z=0 → kt/m = - ln( 1-kx/mvo ) 轨迹方程: 轨迹方程: y = - g ln( 1-kx/mvo ) - mg x / kvo z=0
2 弧元 : ds = vdt = H1 (dq1 )2 + H 2 (dq 2 )2 + H 2 (dq3 )2 2 3
加速度在基矢方向上的 分量 : r r r r dv 1 r a i = a ei = dt H i q i r r r r dv r d r r r d r v aiH i = = q v dt q dt q i dt i i r r r r r v dr r r r & & & Q = = q q 1 + q q 2 + q q 3 & & & q i q i dt q i 1 2 3 r r = q i r r r r 1 v r r v r r r v 1 2 = ∴ v = v = v+ v q q 2 v & & &i q i q i 2 & i q i
r r r r 1 r r = H i ei 或 ei = H i q i q i r r r r r dr r dq1 r dq 2 r dq 3 速度 : v = = + + dt q1 dt q 2 dt q 3 dt r r r & & & = H1q1e1 + H 2q 2 e2 + H 3q 3 e3 r r 0 , i ≠ j 正交曲线坐标系: 正交性 ei e j = 1 , i = j r r 2 2 & 1 + H 2q 2 + H 2q 2 & & 速率 : v = v v = H1 q 2 2 3 3
r r r r r d r r r d r 1 2 ai H i = v q v dt q , v q = q 2 v &i dt i i i r r r r r v r r & & & Q = q q1 + q q2 + q q3 qi qi 1 2 3 r r r r d r r r r = q q1 + q q q2 + q q q3 = dt q & & & q1 i 2 i 3 i i r r r d r r v 1 2 ∴ v q = v q = q 2 v dt i i i r r d r r r d r d 1 2 1 2 ai H i = v q v dt q = dt q 2 v q 2 v & dt i i i i v2 1 d T 令 T = , 则加速度 : a i = 2 H i dt qi & T q i
2 2 2
d θ
方法 2 建立极坐标系 & & r = dθ sec θtgθ = dω sec θtgθ && = dω 2 (sec θtg 2 θ + sec 3 θ ) r & a = && rθ 2 = dω 2 (sec θtg 2 θ + sec 3 θ ) dω 2 sec θ r
3,一般曲线坐标系中的速度,速率,加速度公式 一般曲线坐标系中的速度,速率, y q2 q3 e3 o e1 q1 e2
x
z
x = x(q1, q2 , q3 ), y = y(q1, q2 , q3 ), z = z(q1, q2 , q3 ) r r r r r r = r (q 1 , q 2 , q 3 ) = x i + y j + z k r r x r y r z r i+ j+ k ( i = 1,, ) 2 3 = q i q i q i q i 2 2 2 r x y z r 拉密系数 : H i = = q + q + q q i i i i r r r Q 与 q i 坐标线在 P 点的切线单位向量 ei 同向 q i r r r r 1 r r ∴ = H i ei 或 ei = H i q i q i
& & vx = r cosφ - rφ sinφ & & v = r sinφ + rφ cosφ
y
dr & vr = r = dt & = r dφ v φ = rφ dt
ax cosφ sinφ && rφ2 r & = a sinφ cosφ 2rφ + r&& & & φ y
& & & v = r 2 + r 2 2 + z 2 v2 1 2 & & & T= = (r + r 2 2 + z 2 ) 2 2
1 2 & & & T = (r + r 2 2 + z 2 ) 2
1 加速度: ar = Hr
d T T & & = r& r2 dt r & r 1 d T T 1 d 2 a = & = r 0 r dt & H dt
y A d θ O C r
L
ω
B
x
解:方法 1 建立直角坐标系 Oxy . r r r r r 设 OC = r = x i + y j = d tgθ i + d j r r r dr & x2 + d 2 r 2 v= = θd sec θ i = ωi dt d r r x2 + d 2 r r dv a= = 2ω 2 d sec 2 θ tgθ i = 2ω 2 x d2 i dt
y
φ
r
x vx cosφ sinφ vr = vy sinφ cosφ v φ
& v x cos φ sin φ r = & v sin φ cos φ rφ y
§1.2 牛顿第二定律在常用坐标系中的表达式 2,平面极坐标系 (r,φ) (2) ( vx , vy ) → ( vr , vφ)
§1.2 牛顿第二定律在常用坐标系中的表达式 y 2,平面极坐标系 (r,φ) ro φo v 直角坐标系关系: 与直角坐标系关系 (1) (x , y) → (r ,φ)
x = r cosφ y = r sinφ
vx= vr cosφ-vφsin φ vy= vr sinφ+ vφ cosφ
& & v x = r cos φ - r φ sin φ & & v = r sin φ + r φ cos φ