最新《从平面向量到空间向量》
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从平面向量到空间向量
定义:两个向量a和b的向量积是一个向量,其模长等于以a和b为邻边的平行四边形的面积,方 向垂直于a和b所在的平面,记作a×b。
运算规则:向量积满足反交换律,即a×b=-b×a;向量积也满足结合律,即 (a+b)×c=a×c+b×c。
几何意义:向量积可以表示一个旋转操作,其方向垂直于a和b所在的平面。
空间向量的加法性质:满足结合律 和交换律,即(a+b)+c=a+(b+c) 且a+b=b+a。
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空间向量的加法定义:根据平行四 边形法则,将两个空间向量相加得 到新的向量。
空间向量加法的几何意义:表示两 个向量的起点和终点分别连接,得 到的向量即为两个向量的和。
定义:数乘是向量与实数的乘 积,结果仍为向量
PART SIX
数学学科的完善和发展
促进物理、工程等领域的发展和创 新
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为解决实际问题提供更广泛的方法 和思路
提高人类的思维能力和认知水平
人工智能与机器学 习:空间向量在处 理大数据和模式识 别方面的应用将进 一步发展,有助于 提高人工智能的准 确性和效率。
物理模拟和仿真: 空间向量在物理模 拟和仿真领域的应 用将更加广泛,例 如在流体动力学、 电磁学等领域,有 助于提高模拟的准 确性和效率。
PART FOUR
定义:空间向量的加法、数乘等运算 性质:满足交换律、结合律和数乘分配律 几何意义:表示空间中向量之间的位置关系和方向 应用:解决实际问题中的向量问题两个非零向量的夹角的余弦值乘以它们的模长 性质:数量积满足交换律和分配律 几何意义:表示两个向量在垂直方向上的投影长度之积 运算律:与标量乘法和向量加法的结合律
高中数学北师大版选修2-1 2.1从平面向量到空间向量 课件(29张)
§1 从平面向量到空间向量
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UBIAODAOHANG
D典例透析 S随堂演练
IANLI TOUXI
UITANGYANLIAN
【做一做1-2】 如图所示,在长、宽、高分别为AB=3,AD=2,AA1=1的长方体 ABCD-A1B1C1D1的八个顶点的两点为始点和终点的向量中: (1)模为1的向量共有多少个?
(2)试写出模为 5的所有向量. (3)试写出与向量������������ 相等的所有向量. (4)试写出向量������������1 的相反向量.
分析:正确解答此题的关键是抓住向量的模、相等向量、相反向 量等概念.
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量������������和������������, 则
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IANLI TOUXI
§1 从平面向量到空间向量
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IANLI TOUXI
UITANGYANLIAN
【做一做1-1】 两个向量(非零向量)的模相等是两个向量相等的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 解析:模相等但方向不相同的两个向量不相等,两个相等向量的 模一定相等. 答案:B
第二章
空间向量与立体几何
高中数学北师大版选修2-1 2.1从平面向量到空间向量 课件(27张)
答案:(1)45° (2)135° (3)90°
一
二
思考辨析
二、向量、直线、平面
一
二
思考辨析
特别提醒1.在空间中,一个向量成为直线的方向向量的条件包含 两个方面:一是该向量为非零向量;二是该向量与直线平行或重合, 二者缺一不可. 2.表示平面的法向量的有向线段所在的直线与该平面垂直,这是 寻找已知平面的法向量的依据.
思维点拨:根据长方体的性质及空间向量的有关概念写出即可.
解 :(1)与������������ 相等的向量有:������1 ������1 , ������1 ������1 , ������������. (2)与������������1 相反的向量有:������1 ������, ������1 ������ , ������1 ������, ������1 ������. (3)与������������ 平行的向量有:������������, ������1 ������1 , ������1 ������1 , ������1 ������1 , ������1 ������1 , ������������ , ������������ .
一
二
思考辨析
【做一做1】 “两个向量(非零向量)的模相等”是“两个向量相等” 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:模相等方向不相同的两个向量不相等,两个相等向量的模 一定相等. 答案:B
一
二
思考辨析
【做一做2】 给出下列命题:①若两个空间向量相等,则它们的起 点相同,终点也相同;②若空间向量a,b满足|a|=|b|,则a=b;③在正方 体ABCD-A1B1C1D1中,必有 ������������ = ������1 ������ ;1 ④若空间向量m,n,p满足 m=n,n=p,则m=p.其中正确的个数为( ) A.4 B.3 C.2 D.1 解析:当两个空间向量起点相同,终点也相同时,这两个向量必相 等;但两个向量相等,不一定有起点相同、终点相同,故①错.根据向 量相等的定义,要保证两个向量相等,不仅模要相等,而且方向还要 相同,但②中向量a与b的方向不一定相同,故②错.根据正方体的性
一
二
思考辨析
二、向量、直线、平面
一
二
思考辨析
特别提醒1.在空间中,一个向量成为直线的方向向量的条件包含 两个方面:一是该向量为非零向量;二是该向量与直线平行或重合, 二者缺一不可. 2.表示平面的法向量的有向线段所在的直线与该平面垂直,这是 寻找已知平面的法向量的依据.
思维点拨:根据长方体的性质及空间向量的有关概念写出即可.
解 :(1)与������������ 相等的向量有:������1 ������1 , ������1 ������1 , ������������. (2)与������������1 相反的向量有:������1 ������, ������1 ������ , ������1 ������, ������1 ������. (3)与������������ 平行的向量有:������������, ������1 ������1 , ������1 ������1 , ������1 ������1 , ������1 ������1 , ������������ , ������������ .
一
二
思考辨析
【做一做1】 “两个向量(非零向量)的模相等”是“两个向量相等” 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:模相等方向不相同的两个向量不相等,两个相等向量的模 一定相等. 答案:B
一
二
思考辨析
【做一做2】 给出下列命题:①若两个空间向量相等,则它们的起 点相同,终点也相同;②若空间向量a,b满足|a|=|b|,则a=b;③在正方 体ABCD-A1B1C1D1中,必有 ������������ = ������1 ������ ;1 ④若空间向量m,n,p满足 m=n,n=p,则m=p.其中正确的个数为( ) A.4 B.3 C.2 D.1 解析:当两个空间向量起点相同,终点也相同时,这两个向量必相 等;但两个向量相等,不一定有起点相同、终点相同,故①错.根据向 量相等的定义,要保证两个向量相等,不仅模要相等,而且方向还要 相同,但②中向量a与b的方向不一定相同,故②错.根据正方体的性
2.1《从平面向量到空间向量》课件(北师大版选修2-1)
一、选择题(每题5分,共15分)
1.在空间向量中,下列说法正确的是(
)
(A)如果两个向量的长度相等,那么这两个向量相等 (B)如果两个向量平行,那么这两个向量的方向相同 (C)如果两个向量平行并且它们的模相等,那么这两个向量相 等 (D)同向且等长的有向线段表示同一向量
3.(5分)在平行六面体ABCD—A′B′C′D′中,与向量BA相等 的向量是_______;与BC′平行的向量是_______. 【解析】CD是与BA长度相等,方向相同的向量,AD′是与 BC′方向相同的向量
答案:CD
AD′(答案不唯一)
4.(15分)已知:如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体
被截面AEFG所截而得的,其中AD=1,BE=3,CD内,所以CD⊥AI,在等腰三角形EAD中,I是ED的中点,所
以AI⊥ED,所以AI⊥平面CDE.因此AI是平面ECD的法向量.
2.(5分)记“一个平面和它的一个法向量”为一个“垂直 对”,那么,在正方体中,由正方体的四个顶点围成的面,由
两个顶点对应的向量(AB与BA只记一次)中,共可以组成“垂
1.(5分)如图,四棱锥E—ABCD中,EA⊥平面ABCD,四边形
ABCD为正方形,且EA=AD,F、G、H、I分别是所在边上的中点, 则过点A作平面CDE的一个法向量是( )
【解析】选A.因为EA⊥平面ABCD,所以EA⊥CD,又四边形 ABCD为正方形,所以AD⊥CD,所以CD⊥平面EAD,又AI在平面
两条不共线的向量都垂直的向量.
【解析】
7.在空间四边形ABCD中,已知BC=AC,AD=BD,作BE⊥CD,E为
垂足,作AH⊥BE于H,求证:AH是平面BCD的一个法向量.
【证明】取AB中点F,连接CF、DF、AE, ∵AC=BC,∴CF⊥AB. 又∵AD=BD,∴DF⊥AB,∴AB⊥平面CDF. 又CD在平面CDF内,∴CD⊥AB.又CD⊥BE, ∴CD⊥平面ABE, ∴CD⊥AH.又AH⊥BE,∴AH⊥平面BCD.故 AH是平面BCD的一个法向量.
1.在空间向量中,下列说法正确的是(
)
(A)如果两个向量的长度相等,那么这两个向量相等 (B)如果两个向量平行,那么这两个向量的方向相同 (C)如果两个向量平行并且它们的模相等,那么这两个向量相 等 (D)同向且等长的有向线段表示同一向量
3.(5分)在平行六面体ABCD—A′B′C′D′中,与向量BA相等 的向量是_______;与BC′平行的向量是_______. 【解析】CD是与BA长度相等,方向相同的向量,AD′是与 BC′方向相同的向量
答案:CD
AD′(答案不唯一)
4.(15分)已知:如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体
被截面AEFG所截而得的,其中AD=1,BE=3,CD内,所以CD⊥AI,在等腰三角形EAD中,I是ED的中点,所
以AI⊥ED,所以AI⊥平面CDE.因此AI是平面ECD的法向量.
2.(5分)记“一个平面和它的一个法向量”为一个“垂直 对”,那么,在正方体中,由正方体的四个顶点围成的面,由
两个顶点对应的向量(AB与BA只记一次)中,共可以组成“垂
1.(5分)如图,四棱锥E—ABCD中,EA⊥平面ABCD,四边形
ABCD为正方形,且EA=AD,F、G、H、I分别是所在边上的中点, 则过点A作平面CDE的一个法向量是( )
【解析】选A.因为EA⊥平面ABCD,所以EA⊥CD,又四边形 ABCD为正方形,所以AD⊥CD,所以CD⊥平面EAD,又AI在平面
两条不共线的向量都垂直的向量.
【解析】
7.在空间四边形ABCD中,已知BC=AC,AD=BD,作BE⊥CD,E为
垂足,作AH⊥BE于H,求证:AH是平面BCD的一个法向量.
【证明】取AB中点F,连接CF、DF、AE, ∵AC=BC,∴CF⊥AB. 又∵AD=BD,∴DF⊥AB,∴AB⊥平面CDF. 又CD在平面CDF内,∴CD⊥AB.又CD⊥BE, ∴CD⊥平面ABE, ∴CD⊥AH.又AH⊥BE,∴AH⊥平面BCD.故 AH是平面BCD的一个法向量.
《 从平面向量到空间向量》示范公开课教学课件【高中数学北师大】
向量与向量有什么关系呢?
长度相等,方向相反.
方向相反且模相等的向量称为相反向量.向量的相反向量用表示.
规定:模为的向量叫做零向量,记为.零向量的起点与终点重合,零向量的方向为任意方向.
当表示向量的两条有向线段所在的直线平行或重合时,称这两个向量互为共线向量(或平行向量).如图,向量,,互为共线向量,记作,,.
解:当两个空间向量的起点相同,终点也相同时,这两个向量必相等,但两个向量相等,不一定起点相同、终点相同,故命题①错误,
若空间向量,满足,但,的方向没定,命题②错误;
当时,也有,③不正确;④显然正确;
对于命题⑤,空间中任意两个单位向量的模均为,但方向不一定相同,故不一定相等,故⑤错.故选C.
C
结构框图
解:
⑥向量可以用有向线段表示,但向量不等同于有向线段,如:零向量就不能看作是有向线段.
4
(多选)在平行六面体中,与向量相等的向量有( ) A. B. C. D.
解:如图,在平行六面体中,与向量相等的向量有,,, 故选:.
我们曾通过力和位移引入了平面向量,事实上,力和位移都是空间中的概念,如图,在天平中,左、右两个秤盘均被3根细绳均匀地固定在横梁上,在其中一个秤盘中放入质量为1 kg的物品,在另一个秤盘中放入质量为1 kg的砝码,天平平衡.3根细绳通过秤盘分担对物品的拉力(拉力分别为,,),这些力在同一平面内吗?
说明:相等向量和相反向量都是共线向量的特殊情况.规定:零向量与任意向量平行.
当表示向量的有向线段所在直线平行于平面或在平面内时,就说向量平行于平面,记作//.通常,我们把平行于同一平面的向量,叫作共面向量. 共线向量是共面向量的一种特例.
空间中任意两个向量一定共面. 这是因为数学中,我们学习的向量都是自由向量,可以通过平移使两个向量所在的直线有一个交点,根据 “两条相交直线确定一个平面” 知空间中任意两个向量一定共面.空间中任意三个向量可能是共面的,也可能是不共面的. 能平移到同一平面内的三个向量叫做共面向量.
长度相等,方向相反.
方向相反且模相等的向量称为相反向量.向量的相反向量用表示.
规定:模为的向量叫做零向量,记为.零向量的起点与终点重合,零向量的方向为任意方向.
当表示向量的两条有向线段所在的直线平行或重合时,称这两个向量互为共线向量(或平行向量).如图,向量,,互为共线向量,记作,,.
解:当两个空间向量的起点相同,终点也相同时,这两个向量必相等,但两个向量相等,不一定起点相同、终点相同,故命题①错误,
若空间向量,满足,但,的方向没定,命题②错误;
当时,也有,③不正确;④显然正确;
对于命题⑤,空间中任意两个单位向量的模均为,但方向不一定相同,故不一定相等,故⑤错.故选C.
C
结构框图
解:
⑥向量可以用有向线段表示,但向量不等同于有向线段,如:零向量就不能看作是有向线段.
4
(多选)在平行六面体中,与向量相等的向量有( ) A. B. C. D.
解:如图,在平行六面体中,与向量相等的向量有,,, 故选:.
我们曾通过力和位移引入了平面向量,事实上,力和位移都是空间中的概念,如图,在天平中,左、右两个秤盘均被3根细绳均匀地固定在横梁上,在其中一个秤盘中放入质量为1 kg的物品,在另一个秤盘中放入质量为1 kg的砝码,天平平衡.3根细绳通过秤盘分担对物品的拉力(拉力分别为,,),这些力在同一平面内吗?
说明:相等向量和相反向量都是共线向量的特殊情况.规定:零向量与任意向量平行.
当表示向量的有向线段所在直线平行于平面或在平面内时,就说向量平行于平面,记作//.通常,我们把平行于同一平面的向量,叫作共面向量. 共线向量是共面向量的一种特例.
空间中任意两个向量一定共面. 这是因为数学中,我们学习的向量都是自由向量,可以通过平移使两个向量所在的直线有一个交点,根据 “两条相交直线确定一个平面” 知空间中任意两个向量一定共面.空间中任意三个向量可能是共面的,也可能是不共面的. 能平移到同一平面内的三个向量叫做共面向量.
《从平面向量到空间向量》
加速度
加速度是描述物体速度变化快慢的物 理量,也可以用空间向量表示,包括 大小和方向。
解决实际问题的应用
物理问题
空间向量在解决物理问题 中有着广泛的应用,如力 的平衡、动量守恒、机械 能守恒等。
航天工程
在航天工程中,空间向量 被广泛应用于火箭发射、 卫星轨道计算、重力场研 究等方面。
机器人技术
在机器人技术中,空间向 量被用于描述机器人的运 动轨迹、姿态控制、传感 器数据等方面。
混合积
$overrightarrow{AB} cdot (overrightarrow{CD} times overrightarrow{EF})$表示一个 标量,其值为$left| overrightarrow{AB} right| cdot left| overrightarrow{CD} right| cdot left| overrightarrow{EF} right| cdot sintheta$。
转动惯量
描述物体转动惯性的物理量,与物体的质量分布和旋转轴的位置有关。转动惯 量的方向与转动轴的方向一致,大小等于质量与质点到转动轴距离平方的乘积。
电场与磁场的研究
电场
描述电场中电荷受力情况的物理量,由电荷分布和电场强度矢量共同决定。在空间向量中,电场强度矢量是一个 既有大小又有方向的矢量,遵循矢量运算法则。
03
空间向量在几何中的应用
力的合成与分解
力的合成
根据力的平行四边形法则,两个 力可以合成一个合力,合力的大 小和方向由平行四边形的边长和 夹角确定。
力的分解
一个力可以分解为两个或多个分 力,分力的大小和方向由平行四 边形的边长和夹角确定。
速度和加速度的研究
速度
速度是描述物体运动快慢的物理量, 可以用空间向量表示,包括大小和方 向。
加速度是描述物体速度变化快慢的物 理量,也可以用空间向量表示,包括 大小和方向。
解决实际问题的应用
物理问题
空间向量在解决物理问题 中有着广泛的应用,如力 的平衡、动量守恒、机械 能守恒等。
航天工程
在航天工程中,空间向量 被广泛应用于火箭发射、 卫星轨道计算、重力场研 究等方面。
机器人技术
在机器人技术中,空间向 量被用于描述机器人的运 动轨迹、姿态控制、传感 器数据等方面。
混合积
$overrightarrow{AB} cdot (overrightarrow{CD} times overrightarrow{EF})$表示一个 标量,其值为$left| overrightarrow{AB} right| cdot left| overrightarrow{CD} right| cdot left| overrightarrow{EF} right| cdot sintheta$。
转动惯量
描述物体转动惯性的物理量,与物体的质量分布和旋转轴的位置有关。转动惯 量的方向与转动轴的方向一致,大小等于质量与质点到转动轴距离平方的乘积。
电场与磁场的研究
电场
描述电场中电荷受力情况的物理量,由电荷分布和电场强度矢量共同决定。在空间向量中,电场强度矢量是一个 既有大小又有方向的矢量,遵循矢量运算法则。
03
空间向量在几何中的应用
力的合成与分解
力的合成
根据力的平行四边形法则,两个 力可以合成一个合力,合力的大 小和方向由平行四边形的边长和 夹角确定。
力的分解
一个力可以分解为两个或多个分 力,分力的大小和方向由平行四 边形的边长和夹角确定。
速度和加速度的研究
速度
速度是描述物体运动快慢的物理量, 可以用空间向量表示,包括大小和方 向。
高中数学北师大版选修2-1 2.1从平面向量到空间向量 课件(29张)
→ → →
������ , ������ , ������ 表示 .
-4-
3.自由向量 数学中所讨论的向量与向量的起点无关,我们称之为自由向量. 说明:空间向量是平面向量概念的拓展,只有大小和方向两个要 素,用有向线段表示向量时,它的起点可以是空间内的任意一点,只 要保证它的大小和方向不变,它是可以自由平移的,与起点无关. 4.向量的长度或模 空间向量的大小叫作向量的长度或模,用 |������������ |或| a|表示. 说明:数量可以比较大小,但向量不可以比较大小,向量的模是个 非负实数,可以比较大小.
-11-
【做一做3】 如图所示,在正方体ABCD-A'B'C'D'中,平面ABCD的 法向量有 ,平面AA'D'D的法向量 有 ,平面AA'C'C的法向量 有 .
-12-
解析 :平面 ABCD 的法向量有 ������������', ������'������ , ������������', ������'������ , ������������', ������'������ , ������������', ������'������ , 平面AA'D'D 的法向量有 ������������ , ������������, ������������ , ������������ , ������'������', ������'������', ������'������', ������'������', 平面AA'C'C 的法向量有 ������������ , ������������ , ������'������', ������'������' . 答案: ������������', ������'������ , ������'������ , ������������', ������������', ������'������ , ������������', ������'������ ������������ , ������������, ������������ , ������������ , ������'������', ������'������', ������'������', ������'������' ������������ , ������������ , ������'������', ������'������'
������ , ������ , ������ 表示 .
-4-
3.自由向量 数学中所讨论的向量与向量的起点无关,我们称之为自由向量. 说明:空间向量是平面向量概念的拓展,只有大小和方向两个要 素,用有向线段表示向量时,它的起点可以是空间内的任意一点,只 要保证它的大小和方向不变,它是可以自由平移的,与起点无关. 4.向量的长度或模 空间向量的大小叫作向量的长度或模,用 |������������ |或| a|表示. 说明:数量可以比较大小,但向量不可以比较大小,向量的模是个 非负实数,可以比较大小.
-11-
【做一做3】 如图所示,在正方体ABCD-A'B'C'D'中,平面ABCD的 法向量有 ,平面AA'D'D的法向量 有 ,平面AA'C'C的法向量 有 .
-12-
解析 :平面 ABCD 的法向量有 ������������', ������'������ , ������������', ������'������ , ������������', ������'������ , ������������', ������'������ , 平面AA'D'D 的法向量有 ������������ , ������������, ������������ , ������������ , ������'������', ������'������', ������'������', ������'������', 平面AA'C'C 的法向量有 ������������ , ������������ , ������'������', ������'������' . 答案: ������������', ������'������ , ������'������ , ������������', ������������', ������'������ , ������������', ������'������ ������������ , ������������, ������������ , ������������ , ������'������', ������'������', ������'������', ������'������' ������������ , ������������ , ������'������', ������'������'
从平面向量到空间向量教案北师大版
-帮助学生深入理解平面向量到空间向量的知识点,掌握向量的概念和运算。
-通过实践活动,培养学生的动手能力和解决问题的能力。
-通过合作学习,培养学生的团队合作意识和沟通能力。
3.课后拓展应用
教师活动:
-布置作业:教师根据平面向量到空间向量的课题,布置适量的课后作业,巩固学习效果。
-提供拓展资源:教师提供与平面向量到空间向量相关的拓展资源,如书籍、网站、视频等,供学生进一步学习。
2.直观想象:通过观察向量的图形表示,提高学生的直观想象能力,使其能够更好地理解向量的性质和运算。
3.数学建模:通过运用向量知识解决实际问题,培养学生的数学建模能力,使其能够将数学知识应用到实际生活中。
4.数据分析:通过分析向量的坐标表示,提高学生的数据分析能力,使其能够处理和分析复杂的数学问题。
5.数学运算:通过掌握向量的运算规则,提升学生的数学运算能力,使其能够熟练进行向量的加减、乘除等运算。
例题三:已知向量a=(1,2,3),向量b=(4,5,6),求向量a×b。
解答:向量a×b表示向量a和向量b的向量积。根据向量积的计算公式,向量a×b=(2*6-3*5,3*4-1*6,1*5-2*4)=(12-15,12-24,5-12)=(-3,-12,-7)。
例题四:已知向量a=(1,2,3),向量b=(4,5,6),求向量a与向量b的点积。
解答:向量a+b表示向量a和向量b的对应分量相加。因此,向量a+b=(1+4,2+5,3+6)=(5,7,9)。
例题二:已知向量a=(1,2,3),向量b=(4,5,6),求向量a-b。
解答:向量a-b表示向量a和向量b的对应分量相减。因此,向量a-b=(1-4,2-5,3-6)=(-3,-3,-3)。
-通过实践活动,培养学生的动手能力和解决问题的能力。
-通过合作学习,培养学生的团队合作意识和沟通能力。
3.课后拓展应用
教师活动:
-布置作业:教师根据平面向量到空间向量的课题,布置适量的课后作业,巩固学习效果。
-提供拓展资源:教师提供与平面向量到空间向量相关的拓展资源,如书籍、网站、视频等,供学生进一步学习。
2.直观想象:通过观察向量的图形表示,提高学生的直观想象能力,使其能够更好地理解向量的性质和运算。
3.数学建模:通过运用向量知识解决实际问题,培养学生的数学建模能力,使其能够将数学知识应用到实际生活中。
4.数据分析:通过分析向量的坐标表示,提高学生的数据分析能力,使其能够处理和分析复杂的数学问题。
5.数学运算:通过掌握向量的运算规则,提升学生的数学运算能力,使其能够熟练进行向量的加减、乘除等运算。
例题三:已知向量a=(1,2,3),向量b=(4,5,6),求向量a×b。
解答:向量a×b表示向量a和向量b的向量积。根据向量积的计算公式,向量a×b=(2*6-3*5,3*4-1*6,1*5-2*4)=(12-15,12-24,5-12)=(-3,-12,-7)。
例题四:已知向量a=(1,2,3),向量b=(4,5,6),求向量a与向量b的点积。
解答:向量a+b表示向量a和向量b的对应分量相加。因此,向量a+b=(1+4,2+5,3+6)=(5,7,9)。
例题二:已知向量a=(1,2,3),向量b=(4,5,6),求向量a-b。
解答:向量a-b表示向量a和向量b的对应分量相减。因此,向量a-b=(1-4,2-5,3-6)=(-3,-3,-3)。
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D′ A′
D
C′
B′
F C
A
E
B
例 1.在 正 方 体 ABCDABCD中 , (3)E和 F分 别 是 AB和 BB的 中 点 ,在 正 方
体 中 能 找 到 3个 与 EF平 行 的 向 量 吗?
解:(3)在三角A形BB中,因为
D′
EF//AB,
A′
C′ B′
B叫做向量的终点;
表示方法2: 用字母表示 a, b, c…… 或者 a, b, c……
空间向量的大小 空间向量的大小 也叫作向量的长度或模 用AB 或|a |表示
两向量的夹角
A
B
b
b
a
a
O 过空间任意一点O作向量a , b 的相等
向量OA和 OB,则∠AOB叫作向量
a , b 的夹角,记作< a , b >
(1)首尾相接的若干向量之和, 等于由起始向量的起点指向 末尾向量的终点的向量;
A 1 A 2 A 2 A 3 A 3 A 4 A n 1 A n A 1 A n
推广:
(2)首尾相接的若干向量若构成一个封闭图 形,则它们的和为零向量。
A 1 A 2 A 2 A 3 A 3 A 4 A n A 1 0
《从平面向量到空间向量》
复习回顾:平面向量
1、定义:既有大小又有方向的量。
几何表示法: 用有向线段表示
字母表示法:
用小写字母 a 表示,或者用表示向量的 有向线段的起点和终点字母表示。
相等向量:长度相等且方向相同的向量
B
A
D
C
平面向量的加法、减法与数乘运算
b a 向量加法的三角形法则 b 向量加法a的平行四边形法则
规定 0≤< a ,b>≤
两向量的夹角
当< a ,b>=/2时,向量 a 与 b 垂直, 记作: a⊥b
当< a ,b>=0或时,向量 a 与 b 平行, 记作: a // b
例 1.在 正 方 体 ABC DA BC D 中 , (1)向 量 D C ,A B,D C 与 向 量 AB 相 等 吗 ?
上
李明从学校大门口出发,向
北行走100m,再向东行走
东 200m,最后上电梯15m到达
南
住处.
住处
学校
在一个平面内来考虑 既有大小又有方向的量称为平面向量 在一个空间内来考虑 既有大小又有方向的量称为空间向量
D A
C
Ba
D1 A1
C1 B1
b
D
C
A
B
空间向量的表示 表示方法1: 用有向线段表示 如 AB , A叫做向量的起点,
C B
向量与直线
l为空间一直线,A,B是直线l上任意两点 则称 AB 为直线l的方向向量. 与 AB 平行的非零向量 a 也为直线l的 方向向量
Bl aA
练习2、过空间中一定点A,作方向向量 为 a 的空间直线。
a A
向量与平面
如果直线l垂直于平面,
l
那么把直线l的方向向量 a
a
叫做平面的法向量.
(1)与 AD 相等的向量有
E
D
A D , BC , B C .
F
( 2 )向量 AD 的相反向量有
A
D A , CB , C B , DA .
(3 )与 EF 平行的向量有
A B , D C , B A , C D
C′ B′
平面向量的加法、减法与数乘运算
b
a 向量减法的 三角形法则
a
k a (k>0)
k a (k<0) 向量的数乘
平面向量的加法、减法与数乘运算律
加法交换律: a b b a 加法结合律: (a b ) c a (b c ) 数乘分配律: k (a b ) k a+ k b
推广:
所有与直线l平行的
A
非零向量都是平面的法向量.
练习3、过空间中一定点A,作法向量 为 a 的平面。
a A
小 结:
空间向量的概念 直线的方向向量 法向量
从而EF//AB
F
D
C
EF//BA,EF//DC
A
E
B
练习1、 在长方体 ABCD ABCD中,
(1)举出与向量 AD相等的向量 ;
(2)举出向量 AD的相反向量 ;
(3) AE 1 AA, AF 1 AB,
D′
3
3
举出与 EF平行的向量 . A′
C′ B′
E
D
F A
C B
D′
解:
A′
解 : (1) DC AB ,
A B AB , D C AB
D′ A′
D
C′
B′
F C
A
E
B
例 1.在 正 方 体 A B C D A B C D 中 , (2)向 量 C D ,C D ,B A 与 A B 是 相 反 向 量 吗 ?
解 : (2)CD AB,
CD AB, BA AB