(完整word版)图形变换共顶点旋转.知识精讲(2014-2015).doc
初中数学图形变换知识点整理
初中数学图形变换知识点整理图形变换是初中数学中的重要内容，它涵盖了平移、旋转、翻折和放缩等多个知识点。
了解图形变换的概念和基本原理，对于学好初中数学和几何学有着重要的意义。
本文将对初中数学图形变换的知识点进行整理和总结。
首先，我们来讨论平移。
平移是指在平面内保持大小和形状不变，只改变位置的变换。
通过平移变换，图形在平面内沿着某一方向移动，可以描述为向上、向下、向左或向右平移。
平移的关键是平移向量，它由水平方向和垂直方向的平移量组成。
平移变换可以用向量法来表示，即将平移向量的水平位移和垂直位移分别应用到图形的每一个点上。
接下来是旋转变换。
旋转是指围绕某一点旋转图形的变换。
在旋转变换中，旋转中心是关键点，它决定了旋转的中心和方向。
通过角度来确定旋转的大小，顺时针旋转和逆时针旋转分别由正负角度表示。
旋转变换可以用正弦和余弦函数来表示，通过坐标变换的方式来实现。
对于一个图形中的点，通过将其坐标按照旋转公式进行计算，可以得到旋转后的新坐标。
第三个知识点是翻折变换。
翻折是指关于某条直线对称的变换。
在翻折变换中，直线称为对称轴，它决定了翻折的位置和方向。
通过关于对称轴两侧的点对应，可以得到翻折后的新图形。
对称轴可以是水平线、垂直线或斜线，只要两侧的点位置对应即可。
翻折变换也可以通过坐标变换的方式来实现，通过确定翻折的对称轴和对称中心，将图形上的点按照对称关系进行计算。
最后是放缩变换。
放缩是指改变图形的尺寸大小的变换。
放缩变换可以分为放大和缩小两种情况。
放大是指增加图形的尺寸，缩小是指减小图形的尺寸。
放缩变换可以通过改变图形的横坐标和纵坐标的比例因子来实现。
比例因子大于1时图形放大，小于1时图形缩小。
放缩变换还可以通过矩阵变换的方式来实现，通过对图形的顶点坐标进行矩阵运算，可以得到放缩后的新坐标。
在实际问题中，图形变换常常与应用问题相结合。
例如，在地图上标记某一城市的位置时，可以通过平移变换将城市的位置标记到地图上的正确位置；在建筑设计中，可以使用旋转变换来调整建筑物的朝向；在布艺设计中，可以使用翻折变换来设计出各种不同的花纹；在制作模型时，可以使用放缩变换来控制模型的尺寸大小。
图形变换共顶点旋转.知识精讲(-2015)教学教材
中考内容中考要求A B C图形的旋转了解图形的旋转，理解对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等的性质；会识别中心对称图形能按要求作出简单平面图形旋转后的图形，能依据旋转前、后的图形，指出旋转中心和旋转角 能运用旋转的知识解决简单问题180⎧⎧⎪⎨⎩⎪⎪︒⎪⎪⎧⎪⎨⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎩定义：绕定点旋转一定的角度概念与性质性质：旋转前后两个图形全等中心对称：旋转能重合等边三角形旋转等腰三角形共顶点旋转等腰直角三角形正方形费马点与最值一、旋转1、定义把一个图形绕着某一点O 转动一个角度的图形变换叫做旋转，点O 叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角，如果图形上的点P 经过旋转变为点'P ，那么这两个点叫做这个旋转的的对应点．如下图．Q'P'QPO【注意】1、研究旋转问题应把握两个元素：旋转中心与旋转角．2、每一组对应点所构成的旋转角相等． 2、性质（1）旋转后的图形与原图形是全等的；（进而得到相等的线段、相等的角） 共顶点旋转中考大纲知识精讲知识网络图（2）旋转前后两个图形对应点到旋转中心的距离相等；（进而得到等腰三角形）（3）对应点与旋转中心所连线段的夹角都等于旋转角；（若特殊角则得到等边三角形、等腰直角三角形）3、作图的重要条件由旋转的性质可知，旋转作图必须具备两个重要条件（1）旋转中心（2）旋转方向及旋转角度．4、作图的基本步骤具体步骤分以下几步连：即连接图形中每一个关键点与旋转中心．转：即把连线按要求绕旋转中心转过一定角度（作旋转角）截：即在角的另一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点．连：即连接所得到的各点．二、中心对称1、中心对称的定义把一个图形绕着某一点旋转180︒，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做中心对称点，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点（如下图）ADOCB【注意】1、图形成中心对称是旋转角为定角（180︒）的旋转问题，它是一种特殊的旋转，反映的是两个图形的一种特殊关系．2、中心对称阐明的是两个图形的特殊位置关系．2、中心对称的性质关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分．关于中心对称的两个图形是全等图形．关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等．如果连接两个图形的对应点的线段都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形一定关于这一点成中心对称．3、中心对称图形把一个图形绕着某一点旋转180︒，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．（如下图）ADOCB4、中心对称与中心对称图形的区别与联系中心对称是指两个图形的关系，中心对称图形是指具有某种性质的一个图形．若把中心对称图形的两个部分分别看作两个图形，则他们成中心对称；若把中心对称的两个图形看作一个整体，则成为中心对称图形．5、关于原点对称的点的坐标特征两个点关于原点对称时，他们坐标符号相反，反过来，只要两个点的坐标符号相反，则两个点关于原点对称．6、中心对称图形与旋转对称图形的比较名称定义区 别 联 系 旋转对称图形如果一个图形绕着某一点旋转一定角度（小于周角）后能与原图形完全重合，那么这个图形叫做旋转对称图形旋转角度不一定是180︒旋转对称图形只有旋转180︒才是中心对称图形，而中心对称图形一定是旋转对称图形中心对称图形 如果一个图形绕某一点旋转180︒后能与自身重合，那么这个图形叫做中心对称图形必须旋转180︒7、中心对称图形与轴对称图形比较 名称定义基本图形 区别 举例 中心对称图形如果一个图形绕着某点旋转180︒后能与自身重合，那么这个图形叫做中心对称图形绕某一点旋转180︒线段、平行四边形、矩形、菱形、圆轴对称图形如果一个图形沿某一条直线翻折180︒后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这样的图形叫做轴对称图形180沿某一条直线翻折180︒（对折）线段、等腰三角形、矩形、菱形、正方形、圆三、共顶点旋转1、共顶点旋转三角形有出现一个公共的顶点，两个三角形可以通过旋转相互得到，这类题目需要找到两个旋转三角形或者通过作出辅助线找到两个旋转三角形．等边三角形共顶点共顶点等腰直角三角形【注意】以上给出了各种图形连续变化图形，图中出现的两个阴影部分的三角形是全等三角形，此模型需要注意的是利用“全等三角形”的性质进行边与角的转化．证明的基本思想“SAS”．【例题】如图，等边三角形ABC∆与等边DEC∆共顶点于C点．求证：AE BD=．DECBA【答案】∵ABC∆是等边三角形，∴60ACB∠=︒，AC BC=．∴60BCD DCA∠+∠=︒，同理60ACE DCA∠+∠=︒，DC EC=．∴BCD ACE∠=∠在BCD∆与ACE∆中，BC ACBCD ACEDC EC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴BCD ACE∆∆≌，∴BD AE=．四、费马点与最值1、三线共点问题图形中出现有公共端点的相等线段，可考虑将含有相等线段的图形绕公共端点旋转两相等线段的夹角后与另一相等线段重合．2、OA与OB共用顶点O，固定OA将OB绕点O旋转过程中的，会出现AB的最大值与最小值，如图．最大值位置最小值位置BOA3、费马点的定义到三个定理的三条线段之和最小，夹角都为120°．旋转与最短路程问题主要是利用旋转的性质转化为两点之间线段最短的问题，同时与旋转有关路程最短的问题，比较重要的就是费马点问题4、费马点的结论（1）平面内一点P到△ABC三顶点的之和为PA PB PC++，当点P为费马点时，距离之和最小．（2）三内角皆小于120°的三角形，分别以AB,BC,CA为边，向三角形外侧做正三角形1ABC1ACB,1BCA,然后连接1AA,1BB,1CC,则三线交于一点P,则点P就是所求的费马点．（3）若三角形有一内角大于或等于120度,则此钝角的顶点就是所求的费马点．（4）当ABC∆为等边三角形时,此时内心与费马点重合【例题】下面简单说明如何找点P 使它到ABC ∆三个顶点的距离之和PA PB PC ++最小？这就是所谓的费尔马问题．P'C'PCBA【解析】如图1，把APC ∆绕A 点逆时针旋转60°得到△AP ′C ′，连接PP ′．则△APP ′为等边三角形，AP = PP ′，P ′C ′=PC ，所以PA PB PC ++= PP ′+ PB + P ′C ′．点C ′可看成是线段AC 绕A 点逆时针旋转60°而得的定点，BC ′为定长 ，所以当B 、P 、P ′、C ′ 四点在同一直线上时，PA PB PC ++最小． 这时∠BPA =180°-∠APP ′=180°-60°=120°，∠APC =∠A P ′C ′=180°-∠AP ′P =180°-60°=120°，∠BPC =360°-∠BPA -∠APC =360°-120°-120°=120° 因此，当ABC ∆的每一个内角都小于120°时，所求的点P 对三角形每边的张角都是120°，可在AB 、BC 边上分别作120°的弓形弧，两弧在三角形内的交点就是P 点；当有一内角大于或等于120°时，所求的P 点就是钝角的顶点．费尔马问题告诉我们，存在这么一个点到三个定点的距离的和最小，解决问题的方法是运用旋转变换．1、利用旋转思想构造辅助线（1）根据相等的线段先找出被旋转的三角形． （2）根据对应边找出旋转角度，画出旋转三角． 2、四大旋转全等模型（关键找伴随全等三角形）等腰三角形、等腰直角三角形、等边三角形伴随旋转出全等，处于各种位置的旋转模型，及残缺的旋转模型都要能很快看出来（1）等腰三角形旋转模型图（共顶点旋转等腰出伴随全等）解题方法技巧（2）等边三角形旋转模型图（共顶点旋转等边出伴随全等）（3）等腰直角旋转模型图（共顶点旋转等腰直角出伴随全等）（4）不等边旋转模型图（共顶点旋转不等腰出伴随相似）（5）正方形共顶点旋转3、旋转秘籍（1）图形中出现等腰三角形，常考虑将以腰为边的某三角形绕等腰三角形的顶角所在的顶点旋转一顶角后与另一腰重合．（1）图形中出现等边三角形，常考虑将含有等边三角形边长的某个三角形绕顶点旋转60︒角后与另一边重合．（2）图形中出现正方形时，常考虑将含有正方形边长的某个三角形绕顶点旋转90︒角后与另一边重合． 4、正方形等面积结论（1）=ABC CDE S S △△（2）G 为AB 中点，则12CG DE =（3）G 为AB 中点，CG DE ⊥EDGABC5、等边三角形手拉手共线的结论（ABC △和BDE △均为等边三角形，A B D 、、三点共线）（1）ABE CBD ≌△△ （2）=CD AE（3）ABF CBG ≌△△（4）DBG EBF ≌△△（5）BF BG =（6）AF CG =，EF DG =（7）FBG △为等边三角形 （8）HB 平分AHD ∠ （9）60CHA ∠=︒ABCDE FHG6、等腰直角三角形共顶点旋转常见的变式（1）基本模型：OAB △和OCD △均为等腰直角三角形 结论：BD AC =，BD AC ⊥DABCO（2）变式一：在上面模型的基础上连接AD ，分别取AB 、CD 、AD 的中点E 、F 、G ，连接EG 、FG结论：EG FG =，EG FG ⊥GEDFABCO（3）变式二：在上面模型的基础上连接OE 、OF ，则OEA △和OFD △均为等腰直角三角形，如下图去掉别的线段结论：EG FG =，EG FG ⊥GEDFAO（4）变式三：在上面模型的基础上分别取OA 、OD 的中点M 、N ，分别以ON 、OM 为边作正方形结论：EG FG =，EG FG ⊥GEDFHIMNAO7、等边三角形共顶点旋转常见的变式（1）基本模型：OAB △和OCD △均为等腰三角形 结论：BD AC =，BD 与AC 所夹锐角为60︒DCBAO（2）变式：在上面模型的基础上连接AD ，分别取AB 、CD 、AD 的中点E 、F 、G ，连接EG 、FG结论：EG FG =，=120EGF ∠︒GFEDCBAO精品文档精品文档 8、等腰三角形共顶点旋转常见的变式（1）基本模型：OAB △和OCD △均为等腰三角形，BOA COD ∠=∠ 结论：BD AC =，BD 与AC 的夹角等于AOB ∠DOCB A（2）变式：在上面模型的基础上连接AD ，分别取AB 、CD 、AD 的中点E 、F 、G ，连接EG 、FG结论：EG FG =，=2EGF BAO ∠∠GEFD OC BA9、终极模型提炼：只要OAB △和OCD △相似，且BOA COD ∠=∠，OBA OCD ∠=∠结论：BG CG =，=2BGC BAO ∠∠GDOB CA1、 找旋转中心时是对应点连线垂直平分线的交点，要注意和对称中心相区别．2、 找共顶点全等三角形时，要注意找旋转图形的对应点．3、 遇到正方形的共顶点旋转，基本上都可以转化成等腰直角三角形的共顶点旋转． 易错点辨析。
图形的变换知识点归纳总结
图形的变换知识点归纳总结一、平移变换平移变换是指图形在平面上按照一定的方向和距离进行移动，移动后的图形与原图形形状相同，但位置发生了改变。
平移变换的基本性质如下：1. 平移变换不改变图形的大小、形状和方向。
2. 平移变换前后的图形相似，并且对应的点保持相等的距离。
二、旋转变换旋转变换是指图形绕定点旋转一定角度后得到的图形。
旋转变换的基本性质如下：1. 旋转变换不改变图形的大小和形状，但可能改变图形的方向。
2. 旋转变换前后的图形相似，且对应的点保持相等的距离。
3. 旋转角度可以为正数表示顺时针旋转，也可以为负数表示逆时针旋转。
三、缩放变换缩放变换是指图形按照一定的比例进行放大或缩小的操作。
缩放变换的基本性质如下：1. 缩放变换改变图形的大小，但保持图形的形状和方向不变。
2. 缩放变换前后的图形相似，且对应的点保持相等的距离。
3. 缩放因子大于1表示放大，缩放因子小于1表示缩小。
四、对称变换对称变换是指图形绕一条直线、点或中心对称后得到的图形。
对称变换的基本性质如下：1. 对称变换改变图形的形状、大小和方向。
2. 对称变换前后的图形相似，且对应的点与对称轴的距离相等。
五、复合变换复合变换是指对同一个图形进行多次变换操作，可以是平移、旋转、缩放或对称变换的组合。
复合变换的基本性质如下：1. 复合变换的结果与变换的顺序有关。
2. 复合变换可以通过矩阵运算来表示。
六、应用举例1. 平移变换：例子如将一个正方形沿水平方向平移10个单位。
2. 旋转变换：例子如将一个三角形绕原点逆时针旋转45度。
3. 缩放变换：例子如将一个长方形按照缩放因子2放大。
4. 对称变换：例子如将一个矩形绕直线y=x对称。
5. 复合变换：例子如将一个矩形先绕原点旋转90度，然后再沿y轴平移10个单位。
通过对图形的变换操作，我们可以更好地理解空间几何变换的性质和规律。
图形变换在计算机图形学、几何学、建筑设计等领域都有重要的应用，对于培养思维能力和观察力也有积极的影响。
(完整word版)图形变换对称.知识精讲(2014-2015)
中考内容中考要求A B C图形的轴对称了解图形的轴对称和轴对称图形，理解对应点所连的线段被对称轴垂直平分的性质 能按要求作出简单平面图形经过一次或两次轴对称后的图形；掌握简单图形之间的轴对称关系，并能指出对称轴；掌握基本图形（等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正多边形、圆）的轴对称性及其相关性质能运用轴对称的知识解决简单问题⎧⎪⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩轴对称垂直平分线对称角分线轴对称图形等腰三角形等边三角形一、轴对称与轴对称图形：1、轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，两个图形中的对应点叫做对称点，对应线段叫做对称线段。
2、轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。
【注意】对称轴是直线而不是线段3、轴对称的性质：（1）关于某条直线对称的两个图形是全等形；（2）如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线；（3）两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上； （4）如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。
二、线段垂直平分线：1、定义：垂直平分一条线段的直线是这条线的垂直平分线。
对称中考大纲知识精讲知识网络图2、性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；3、判定：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．【注意】1、据线段垂直平分线的这一特性可以推出：三角形三边的垂直平分线交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。
2、垂直平分线中线段的中点的特殊性，常需要分类讨论．三、角的平分线：1、定义：把一个角分成两个相等的角的射线叫做角的平分线.2、性质：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等.3、判定：到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上.【注意】根据角平分线的性质，三角形的三个内角的平分线交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.3、角分线常见辅助线（1）往角两边作垂线用角平分线上的点往角两边作垂线，这是常用的辅助线，可以利用边角边构造全等（2）往角两边截取相等的线段在角两边截取相等的线段，这也是角平分线常用的辅助线，常用于解决线段和差问题（3）：过角平分线上的点作垂线过角平分线上的点作垂线，常用于构造三线合一，构造等腰三角形（4）：过角平分线上的点作角一边的平行线可以构造等腰三角形，可以记作口诀：“角平分线+平行线，等角三角形现。
旋转图形知识点总结
旋转图形知识点总结一、旋转的基本概念1. 旋转的定义：旋转是指把一个图形绕着一个固定的点旋转一定的角度，使得原图形和旋转后的图形具有相同的形状和大小。
2. 旋转的中心：旋转的中心是一个固定的点，图形绕着这个点进行旋转。
3. 旋转角度：旋转角度是指图形经过旋转后，原始图形和旋转后的图形之间的角度差。
通常用度数来表示旋转角度。
4. 旋转方向：旋转方向是指图形在旋转过程中的运动方向，可以是顺时针方向或者逆时针方向。
二、旋转图形的特点1. 旋转图形的不变性：当一个图形绕着一个固定的点进行旋转时，它的形状和大小不会发生改变，只是方向和位置发生了变化。
2. 旋转图形的对称性：旋转图形和原始图形之间具有一定的对称性，通过旋转可以得到图形的对称图形。
三、旋转的基本操作1. 如何进行旋转：要进行图形的旋转操作，首先需要确定旋转的中心点和旋转的角度，然后按照旋转规则进行操作。
2. 旋转后的图形：根据旋转的角度和方向，可以得到旋转后的图形，通常可以通过计算或者直接作图的方式来得到旋转后的图形。
四、旋转图形的相关性质和定理1. 判断旋转对称图形：通过观察图形的对称性，可以判断出一个图形是否具有旋转对称性。
2. 旋转对称图形的性质：旋转对称图形具有一些特殊的性质，比如对称轴上的点经过旋转后还是对称轴上的点。
3. 旋转变换的相关定理：旋转变换有一些相关的定理，比如旋转变换是一种保持长度和角度不变的变换。
五、常见的旋转图形1. 旋转正多边形：正多边形是一种常见的图形，在进行旋转操作时，可以通过旋转规则来得到旋转后的正多边形。
2. 旋转圆形：圆形是一种特殊的图形，通过旋转操作可以得到不同位置和方向的圆形。
3. 旋转长方形和正方形：长方形和正方形在进行旋转操作时，可以根据旋转的规则来得到旋转后的图形。
六、应用举例1. 旋转图形的应用：旋转图形不仅在几何学中有应用，还可以在实际生活中得到应用，比如在工程设计、建筑设计等领域中可以通过旋转图形来实现设计需求。
五年级下册数学《图形的变换》旋转 知识点整理
旋转
有疑问的题目请发在“51加速度学习网”上，让我们来为你解答
（）51加速度学习网整理一、本节学习指导
本节较简单，在画图前同学们先观察图形，然后在作图。
常想想我们周围的旋转实例。
二、知识要点
1、旋转：在平面内，一个图形绕着一个顶点旋转一定的角度得到另一个图形的变化较做旋转，定点O叫做旋转中心，旋转的角度叫做旋转角，原图形上的一点旋转后成为的另一点成为对应点。
（1）生活中的旋转：电风扇、车轮、纸风车
（2）旋转要明确绕点，角度和方向。
（3）长方形绕中点旋转180度与原来重合，正方形绕中点旋转90度与原来重合。
等边三角形绕中点旋转120度与原来重合。
2、旋转的性质：
（1）图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕某个固定点旋转固定角度的位置移动；
（2）其中对应点到旋转中心的距离相等；
（3）旋转前后图形的大小和形状没有改变；
（4）两组对应点非别与旋转中心的连线所成的角相等，都等于旋转角；
（5）旋转中心是唯一不动的点。
3、对称和旋转的画法：旋转要注意：顺时针、逆时针、度数
三、经验之谈：
再旋转中，旋转三要素要理解：旋转点，旋转方向，旋转角度。
很多题目中要求我们在方格纸上画出旋转多少度的图形，此时我们不要急着下手，我们先找出原图形中几个关键点所在线段，根据旋转方向，细心的画出旋转后的图形。
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旋转与中心对称知识点总结
旋转与中心对称知识点总结一、旋转的基本概念1. 旋转的定义旋转是指一个图形绕着一个固定的点（称为旋转中心）旋转一定角度，使得图形的每一点都按照相同的角度和方向进行旋转。
旋转是一种基本的变换方式，可以将一个图形变换成另一个图形。
2. 旋转的性质（1）旋转保持图形的大小不变，只改变其位置和方向。
（2）旋转是一种等距变换，即旋转前后图形上的任意两点的距离不变。
（3）旋转有方向性，即按照逆时针或者顺时针方向旋转。
（4）旋转的角度可以是正数、负数或者零。
3. 旋转的记法在表示旋转时，通常用“R(α, O)”来表示。
其中，R表示旋转的动作，α表示旋转的角度，O 表示旋转的中心。
4. 旋转的应用旋转在几何中有着广泛的应用，如在图形的相似性、对称性、平移和旋转组合变换等方面都有重要作用。
此外，旋转还在几何构造和设计中有着重要的应用价值。
二、中心对称的基本概念1. 中心对称的定义中心对称是指以某一点为中心进行对称变换，使得图形的每一点都关于这个中心对称，即以中心为轴，使得对称的两个部分分别对称于中心点的两侧。
2. 中心对称的性质（1）中心对称的图形和它的中心对称图形是全等的，即它们的形状和大小都完全相同。
（2）中心对称是一种等长变换，原图形中的任意一点到中心的距离和对称图形中的相对点到中心的距离相等。
（3）中心对称是一种对易变换，即进行两次中心对称等于原图形。
3. 中心对称的应用中心对称在几何中也有着重要的应用，如在图形的分类和性质判断、对称性的分析、几何构造等方面都有重要的应用。
此外，中心对称还在艺术设计和图案构图中有着重要的应用价值。
三、旋转与中心对称的关系1. 旋转与中心对称的联系旋转和中心对称在一定条件下是等价的，即通过旋转可以实现中心对称，通过中心对称也可以实现旋转。
这是因为旋转和中心对称都是一种对称性变换，它们都具有保持图形不变的性质。
2. 旋转与中心对称的应用旋转与中心对称在一些几何问题中常常结合使用，如在构造等边三角形、六边形等图形时，旋转和中心对称可以互相借助，以实现图形的变换和构造。
图形的旋转知识点总结
图形的旋转知识点总结图形的旋转是数学中的一个重要概念，它涉及到几何学、线性代数和复变函数等多个数学分支。
图形的旋转是指将一个图形绕着一个固定的点或一条固定的轴进行转动的操作。
通过旋转，我们可以改变一个图形的位置和朝向，从而在空间中创造出新的图形。
图形的旋转有很多重要的性质和规律，下面我们将对这些知识点进行总结，以便更好地理解和应用旋转。
1. 旋转的基本概念：旋转是指将一个图形按照一定的角度绕着一个固定的点或一条固定的轴进行转动。
旋转可以用旋转矩阵或四元数来表示。
常见的旋转操作有：绕着原点旋转、绕着某个点旋转、绕着某个轴旋转等。
2. 旋转的角度和方向：旋转角度可以是正值、负值或零。
正值表示顺时针旋转，负值表示逆时针旋转，零表示不旋转。
通常，我们用角度来度量旋转的大小，也可以使用弧度来度量。
3. 旋转的坐标系：旋转操作可以改变图形在坐标系中的位置和方向。
旋转操作可能导致图形的坐标发生变换，使得图形在坐标系中的坐标值发生改变。
在进行旋转时，需要考虑坐标系的方向和原点的位置。
4. 旋转的中心点：旋转的中心点是图形旋转的支点，也是旋转轴上的一个点。
图形绕着中心点进行旋转时，中心点保持不动，而图形其他部分相对于中心点发生旋转。
5. 旋转的公式：图形的旋转可以通过一定的数学公式来表示。
对于平面上的图形，可以使用旋转矩阵或复数的乘法来表示。
对于三维空间中的图形，可以使用旋转矩阵、四元数或欧拉角来表示。
6. 旋转的性质：旋转有一些基本性质，如保持长度不变、保持形状不变、保持直线平行性等。
这些性质使得旋转成为一种重要的几何变换方法。
7. 旋转的合成：多个旋转操作可以合成为一个旋转操作。
合成旋转操作可以通过矩阵乘法、四元数的乘法或连续的旋转操作来实现。
合成旋转操作可以用来模拟复杂的旋转变换。
8. 旋转和刚体运动：旋转是刚体运动的一种基本形式。
刚体从一个位置旋转到另一个位置，可以通过旋转操作来实现。
旋转操作可以描述刚体绕着一个固定点或一条固定轴进行转动的过程。
认识基本的图形变换：数学知识点
认识基本的图形变换：数学知识点图形变换是数学中的重要概念，通过对图形的移动、旋转、翻转等操作，可以得到新的图形。
本文将介绍几种基本的图形变换及其相关的数学知识点。
一、平移平移是将图形沿着某个方向进行移动，保持图形内部的所有点与原图形的相对位置不变。
平移的基本概念是向量，平移可以用向量的加法表示。
对于给定的平移向量[u, v]，我们可以将图形中的每个点(x, y)平移得到新的点(x + u, y + v)。
这样，就完成了对图形的平移变换。
二、旋转旋转是将图形按照某个中心点进行旋转。
旋转角度是一个重要的概念，用角度的正负表示顺时针或逆时针旋转。
对于给定的旋转角度θ，我们可以将图形中的每个点(x, y)绕旋转中心点(x0, y0)进行旋转得到新的点：x' = (x - x0) * cos(θ) - (y - y0) * sin(θ) + x0y' = (x - x0) * sin(θ) + (y - y0) * cos(θ) + y0通过对图形中的每个点进行旋转，整个图形也随之旋转。
三、翻转翻转是将图形沿着某个轴进行镜像变换，使得图形关于轴对称。
常见的翻转有水平翻转和垂直翻转两种。
水平翻转是将图形中的每个点(x, y)关于x轴对称得到新的点(x, -y)；垂直翻转是将图形中的每个点(x, y)关于y轴对称得到新的点(-x, y)。
四、缩放缩放是将图形按照某个中心点进行比例变化。
缩放因子是一个重要的概念，常用k表示，当k > 1时，图形被放大；当0 < k < 1时，图形被缩小。
对于给定的缩放因子k，我们可以将图形中的每个点(x, y)按照如下公式进行缩放：x' = k * (x - x0) + x0y' = k * (y - y0) + y0通过对图形中的每个点进行缩放，整个图形也随之缩放。
五、应用举例图形变换的概念和方法在现实生活中有许多应用。
举例如下：1. 计算机图形学中的图像处理，通过平移、旋转、翻转和缩放等变换，可以实现图像的编辑和变形。
使用Word进行和形的旋转和缩放
使用Word进行和形的旋转和缩放现在，在日常工作或学习中，我们经常需要用到各种图形，包括矩形、梯形、三角形等等。
为了美观和出版，有时候我们需要对这些图形进行旋转和缩放。
在Word软件中，通过简单的操作，我们可以轻松地实现这一目的。
一、旋转图形1. 选择需要旋转的图形。
可以单击选择，也可以使用鼠标框选多个图形。
2. 单击“插入”选项卡，选择“形状”下拉菜单。
3. 在“基本形状”中，选择需要旋转的图形形状。
4. 选择后，将光标移动到选中的形状上，在右下方会出现四个形状的控制点，其中最后一个点为旋转控制点。
5. 将鼠标放在旋转控制点上，光标会变为类似于曲柄的图标。
按住鼠标左键后，可以拖动图形进行旋转。
6. 通过调整图形的角度，即可实现旋转操作。
二、缩放图形1. 选择需要缩放的图形。
2. 单击“插入”选项卡，选择“形状”下拉菜单。
3. 在“基本形状”中，选择需要缩放的图形形状。
4. 选择后，将光标移动到选中的形状上，在右下方会出现四个形状的控制点，其中第一个点为缩放控制点。
5. 将鼠标放在缩放控制点上，光标会变为双箭头的图标。
按住鼠标左键后，可以拖动图形进行缩放。
6. 可以根据需要调整图形的大小，即可实现缩放操作。
三、独立旋转和缩放除了通过鼠标控制点旋转和缩放图形之外，我们还可以通过菜单进行旋转和缩放操作。
1. 选择需要旋转或缩放的图形。
2. 单击“格式”选项卡，选择“形状填充”或“形状轮廓”。
3. 在弹出的菜单中，选择“形状效果”。
4. 在“形状效果”中，可以分别选择“旋转”和“缩放”，通过调整数值进行对应操作。
总结使用Word进行和形的旋转和缩放非常简单，只需几个简单的操作即可实现。
通过这些操作可以让我们的工作或学习文档更加生动、美观。
当然，如果您需要更多的形状变换和操作，还可以通过其他专业的绘图软件来完成。
图形的旋转---旋转、旋转中心、旋转角、对应点、旋转的性质
23.1(1.1)图形的旋转---旋转、旋转中心、旋转角、对应点、旋转的性质一．【知识要点】1.旋转：平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转，这个定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角． 2.图形旋转有如下性质：（1）旋转不改变图形的大小和形状；（2）经过旋转，图形上的每一点都绕旋转中心沿相同的方向转动了相同的角度； （3）任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角； （4）对应点到旋转中心的距离相等。
二．【经典例题】1.如图，绕点B 逆时针方向旋转到的位置，若，，且E 、B 、C 三点共线，则旋转度数为 .2.如图，在6×4的方格纸中，格点三角形甲经过旋转后得到格点三角形乙，则其旋转中心是（ ） A ．点MB ．格点NC ．格点PD ．格点Q3.如图，在正方形网格中，线段A B ''是线段AB 绕某点逆时针旋转角a 得到的，点A '与A 对应，则角a 的大小为（ ）。
A.30° B.60° C.90° D.120°4.正方形ABCD 的边长为3，E 、F 分别是AB 、BC 边上的点，且∠EDF=45°．将△DAE 绕点D 逆时针旋转90°，得到△DCM ．（1）求证：EF=FM ；（2）当AE=1时，求EF 的长．ABC ∆EBD ∆︒=∠10A ︒=∠15C5.如图，在直角坐标系中，已知点A(-3,0)、B(0,4)，对△OAB连续作旋转变换，依次得到1、2、3、4，则2019的直角顶点的坐标为____________。
三．【题库】【A】1.下列四个圆形图案中,分别以它们所在圆的圆心为旋转中心,顺时针旋转120°后能与原图形完全重合的是( )A B C D2.下列说法正确的是（）.平移不改变图形的形状和大小，而旋转则改变图形的形状和大小.图形可以向某方向平移一定的距离，也可以向某方向旋转一定距离.平移和旋转的共同点是改变图形的位置.在平移和旋转图形中，对应角相等，对应线段相等且平行3.如下左图，ABC△以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转60︒，得AB C''△，则ABB'△是三角形。
图形转化知识点总结
图形转化知识点总结一、平移变换平移是指将图形沿着直线方向移动相同的距离。
平移不改变图形的大小和形状，只是改变了图形的位置。
平移变换可以用矢量表示，设平移的向量为(v1, v2)，则图形上的每个点(x, y)经过平移变换后的坐标为(x+v1, y+v2)。
平移变换可以简单地用平移向量(v1,v2)实现：(x, y) → (x+v1, y+v2)。
二、旋转变换旋转变换是指将图形绕着一个点旋转一定的角度。
旋转变换不改变图形的大小和形状，只是改变了图形的方向。
设旋转角度为θ，则图形上的每个点(x, y)经过旋转变换后的坐标为(x*cosθ-y*sinθ, x*sinθ+y*cosθ)。
三、镜像变换镜像变换是指将图形沿着一条直线进行翻转。
镜像变换不改变图形的大小和形状，但改变了图形的对称性。
设镜像轴为直线ax+by+c=0，则(x,y)经过镜像变换后的坐标为(x-2*(ax+by+c)*a/(a^2+b^2), y-2*(ax+by+c)*b/(a^2+b^2))。
四、组合变换在实际应用中，通常需要对图形进行多种变换的组合，例如先进行平移，然后进行旋转，最后进行镜像。
组合变换可以通过矩阵相乘来实现，设矩阵A表示平移变换，矩阵B表示旋转变换，矩阵C表示镜像变换，则将图形进行组合变换的过程可以表示为C*B*A*V，其中V为图形上的点的坐标。
四、图形转化的应用图形转化在计算机图形学、计算机辅助设计(CAD)、计算机游戏等领域有着广泛的应用。
在计算机图形学中，我们可以通过编程实现对图形的平移、旋转、镜像等变换，以及它们的组合变换，从而实现对图形的灵活操作。
在CAD软件中，用户可以通过平移、旋转、镜像等变换操作来设计和修改图形。
在计算机游戏中，图形转化可以使得游戏中的角色和场景呈现更加生动和多样的效果。
总结通过本篇文章的介绍，我们对图形转化有了一个较为全面的了解。
图形转化包括平移、旋转、镜像等基本变换，以及它们的组合变换。
图形的变换(word文字版)
第一章图形的变换战国时期的铜镜唐代花鸟纹锦瓷器轴对称你还见过哪些轴对称图形？画出他们的对称轴。
例1：数一数，你发现了什么？点A与点'A到对称轴的距离都是2小格。
例2：画出下面图形的轴对称图形。
怎样画得又好又快？做一做像下面这样把一张纸连续对折三次，剪出的是什么图案？四次呢？旋转你见过哪些旋转现象？例3：1）时钟上的旋转问题指针从“12”绕点O 顺时针旋转30︒到“1” ； 指针从“1”绕点O 顺时针旋转60︒到“___” ； 指针从“3”绕点O 顺时针旋转____到“6” ； 指针从“6”绕点O 顺时针旋转180︒到“12”。
2）有关风车的旋转问题风车旋转前后，每个三角形有什么变化？例4：画出三角形AOB 绕点O 顺时针旋转90︒后的图形。
先画点'A ，'OA 垂直于OA ，点'A 与点O 的距离还应该是6格； 这样就可以把线段OA 绕点O 顺时针旋转90︒。
点B ……做一做1）下面的图案分别是由哪个图形旋转而成的？风车绕点O 逆 时针旋转____ 风车绕点O 逆 时针旋转____2）利用旋转画一朵小花。
说一说你是怎样画的？生活中的数学数学与艺术艺术家们利用几何学中的平移、对称和旋转变换，设计出了许多美丽的镶嵌图案。
欣赏设计利用变换可以设计出许多漂亮的图案！在铜镜的图案中把旋转了4次。
把连续平移就得到了这条花边图案！我把◇连续平移2格。
我把进行对称变换，设计出了板报栏目的花边。
练习一1）利用轴对称变换设计美丽的图案。
先设计出一个轴对称图形。
2）下面的图案分别是由哪种方法剪出来的？你还有什么剪法？⑴⑵⑶3）下面这些图案分别是由哪个图形经过什么变换得到的？4）利用旋转设计图案。
展示作品，并说一说你是怎样画的。
5）像下面这样把一张纸连续对折三次，剪出来的是什么图案？想一想，剪一剪。
从上面任选一个图案，剪一剪。
6）长方形的两条对称轴相交于点O，绕点O旋转长方形。
你发现它转过多少度后与原来的图形重合？按上面的方法试一试，你会发现下面的图形有什么特点。
图形的转换知识点
图形的转换知识点图形的转换是计算机图形学中的一个重要概念。
在图形学中，我们使用数学方法来描述和操作图形。
通过一系列的转换操作，我们可以改变图形的位置、大小、方向和形状。
本文将介绍一些常见的图形转换知识点，并提供逐步的思考过程。
1.平移（Translation）平移是一种简单的图形转换，它将图形沿着指定的向量移动。
平移操作可以通过将图形的每个顶点坐标增加一个固定的平移向量来实现。
例如，如果我们要将一个三角形向右平移5个单位，我们可以将三角形的每个顶点的x坐标加上5。
2.缩放（Scaling）缩放是一种改变图形大小的转换。
它可以通过将图形的每个顶点坐标乘以一个缩放因子来实现。
如果缩放因子大于1，图形将被放大；如果缩放因子小于1，图形将被缩小。
需要注意的是，缩放操作会改变图形的比例关系。
3.旋转（Rotation）旋转是一种改变图形方向的转换。
它可以通过将图形的每个顶点坐标绕一个旋转中心点按照一定角度进行旋转来实现。
旋转角度可以用弧度或角度来表示，正值表示顺时针旋转，负值表示逆时针旋转。
4.对称（Reflection）对称是一种改变图形位置关系的转换。
它可以通过将图形的每个顶点坐标按照某条轴进行镜像来实现。
例如，关于x轴对称意味着将图形的每个点的y坐标取负值。
5.剪切（Shearing）剪切是一种改变图形形状的转换。
它可以通过将图形的每个顶点坐标按照一定的比例进行偏移来实现。
剪切操作可以用来实现图形的错切、斜拉等效果。
综上所述，图形的转换是计算机图形学中的重要概念。
我们可以通过平移、缩放、旋转、对称和剪切等操作来改变图形的位置、大小、方向和形状。
这些转换操作可以通过数学方法来实现，对于计算机图形学的学习和应用都具有重要意义。
希望通过本文的介绍和思考过程，读者能够对图形的转换知识点有所了解。
在实际应用中，我们可以利用这些知识来实现各种有趣的图形效果和动画效果。
无论是游戏开发、计算机动画还是虚拟现实等领域，图形的转换都起着至关重要的作用。
6旋转2.半角及三线共点问题(2014-2015)-教师版
2015年中考解决方案旋转2—半角及三线共点问题学生姓名：上课时间：内容基本要求略高要求较高要求 旋转了解图形的旋转，理解对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等的性质；会识别中心对称图形能按要求作出简单平面图形旋转后的图形，能依据旋转前、后的图形，指出旋转中心和旋转角能运用旋转的知识解决简单问题☞半角问题旋转模型图 ☞秘籍：角含半角要旋转FED CBAG FED CBAABCDEF F ED CBAGABCDEFGABC D E ABCD E F中考说明旋转2【例1】 E 、F 分别是正方形ABCD 的边BC 、CD 上的点，且45EAF =︒∠，AH EF ⊥，H 为垂足，求证：AH AB =．C HF ED B A【答案】延长CB 至G ，使BG DF =，连结AG ，易证ABG ADF △≌△，BAG DAF =∠∠，AG AF =．再证AEG AEF △≌△，全等三角形的对应高相等(利用三角形全等可证得)， 则有AH AB =．【例2】 如图所示，在正方形ABCD 中，3AB =，点E 、F 分别在BC 、CD 上，且30BAE ∠=︒，15DAF ∠=︒，求AEF ∆的面积．FED CB A【答案】如图所示，将ADF ∆绕点A 顺时针旋转90︒，得到ABG ∆，则G 、B 、E 共线.而153045GAE ∠=︒+︒=︒，且90153045FAE ∠=︒-︒-︒=︒， 故GAE FAE ∠=∠，则GAE ∆≌FAE ∆.由此可得EF EG =，60AEF AEG ∠=∠=︒，30EFC ∠=︒. 在Rt ABE ∆中，3AB =，30BAE ∠=︒，故1BE =， 31CE =-.在Rt EFC ∆中，30EFC ∠=，则2(31)EF =-.故112(31)33322AEF AEG S S EG AB ∆∆==⨯=⨯-⨯=-.中考满分必做题CHF EGD BAAB CDEFG【巩固】如图，正方形ABCD 的边长为1，AB 、AD 上各存一点P 、Q ，若APQ ∆的周长为2，求PCQ∠的度数．Q PDCBA【答案】把CDQ ∆绕点C 旋转90︒到CBF ∆的位置，CQ =CF ．∵2AQ AP QP ++=，又2AQ QD AP PB +++=，∴QD+BP=QP ． 又DQ=BF ，∴PQ =PF ．∴QCP FCP ∆∆≌．∴QCP FCP ∠=∠． 又∵90QCF ∠=︒，∴45PCQ ∠=︒．【巩固】如图：正方形ABCD 的边长为6cm ，E 是AD 的中点，点P 在AB 上，且∠ECP =45°．则PE 的长是________cm ．△PEC 的面积是__________2cm .（11年怀柔二模）PEDCBA【答案】（1）5（2）15【例3】 如图所示，在等腰直角ABC ∆的斜边AB 上取两点M 、N ，使45MCN ∠=︒，记AM m =，MN x =，BN n =，求证：以x 、m 、n 为边长的三角形的形状是直角三角形.x m n N M CBA【答案】解法１：如图所示，将CBN ∆绕点C 顺时针旋转90︒，得到CAD ∆.连接MD ，则AD BN n ==，CD CN =，DCBACD BCN ∠=∠，故MCD ACM ACD ACM BCN ∠=∠+∠=∠+∠ 904545MCN =︒-︒=︒=∠从而MDC MNC ∆∆≌， 则MD MN x ==.而454590DAM ∠=︒+︒=︒，故在直角三角形AMD ∆中有222m n x +=.解法2：我们用上一讲学习过的“对称变换”也能得到解答． 如图所示，以CM 为对称轴将CMA ∆翻折到CMP ∆的位置． 易证CPN ∆和CBN ∆关于CN 对称，且PMN ∆为直角三角形， 并且可得PM AM m ==，PN NB n ==，MN x =．【巩固】请阅读下列材料：已知：如图1在Rt ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AB AC =，点D 、E 分别为线段BC 上两动点，若45DAE ∠=︒．探究线段BD 、DE 、EC 三条线段之间的数量关系．小明的思路是：把AEC ∆绕点A 顺时针旋转90︒，得到ABE '∆，连结E D '， 使问题得到解决．请你参考小明的思路探究并解决下列问题：（1）猜想BD 、DE 、EC 三条线段之间存在的数量关系式，并对你的猜想给予证明； （2）当动点E 在线段BC 上，动点D 运动在线段CB 延长线上时，如图2，其它条件不变，⑴中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明．图1ABCDE图2AB CDE【答案】（1）222DE BD EC =+证明：根据AEC ∆绕点A 顺时针旋转90︒得到ABE '∆∴AEC ABE '∆∆≌∴BE EC '=，AE AE '=，C ABE '∠=∠，EAC E AB '∠=∠ 在Rt ABC ∆中∵AB AC =∴45ABC ACB ∠=∠=︒ ∴90ABC ABE '∠+∠=︒即90E BD '∠=︒∴222E B BD E D ''+= 又∵45DAE ∠=︒ ∴45BAD EAC ∠+∠=︒ ∴45E AB BAD '∠+∠=︒ 即45E AD '∠=︒∴AEDAED '∆∆≌ ∴DE DE '= ∴222DE BD EC =+（2）关系式222DE BD EC =+仍然成立NMCAE'EDCBAFEDCB A证明：将ADB ∆沿直线AD 对折，得AFD ∆，连FE ∴AFD ABD ∆∆≌ ∴AF AB =，FD DB =FAD BAD ∠=∠，AFD ABD ∠=∠ 又∵AB AC =，∴AF AC =∵45FAE FAD DAE FAD ∠=∠+∠=∠+︒()9045EAC BAC BAE DAE DAB DAB ∠=∠-∠=︒-∠-∠=︒+∠∴FAE EAC ∠=∠ 又∵AE AE = ∴AFE ACE ∆∆≌∴FE EC =，45AFE ACE ∠=∠=︒180135AFD ABD ABC ∠=∠=︒-∠=︒∴1354590DFE AFD AFE ∠=∠-∠=︒-︒=︒ ∴在Rt DFE ∆中222DF FE DE +=即222DE BD EC =+ ．【例4】 如图1，Rt ABC ∆≌Rt EDF ∆，90ACB F ∠=∠=，30A E ∠=∠=． EDF ∆绕着边AB 的中点D 旋转，DE ，DF 分别交线段AC 于点M ，K ．（1）观察：①如图2、图3，当0CDF ∠=或60时，AM CK + ______MK （填“＞”，“＜”或“＝”）． ②如图4，当∠CDF ＝30时，AM CK + ______MK （只填“＞”或“＜”）．（2）猜想：如图1，当0＜∠CDF ＜60时，AM CK + ______MK ，证明你所得到的结论． （3）如果222MK CK AM +=，请直接写出CDF ∠度数和AMMK的值． KMF DCBAE(F,K)MEBA C图1 图2(M)KE FD BA CMKEF D BAC图3 图4 【答案】（1）①＝ ②＞（2）＞证明：作点C 关于FD 的对称点G ，连接GK 、GM 、GD则GD ＝CD ，GK ＝CK ，∠GDK ＝∠CDK ∵D 是AB 的中点，∴AD ＝CD ＝GD ∵∠A ＝30°，∴∠CDA ＝120°∵∠EDF ＝60°，∴∠GDM ＋∠GDK ＝60° ∠ADM ＋∠CDK ＝60° ∴∠ADM ＝∠GDM ．又DM DM =,ADM ∴∆GDM ≅∆,GM AM ∴= ∵GM ＋GK ＞MK ，∴AM ＋CK ＞MK ． （3）∠CDF ＝15°，AM MK ＝23【例5】 (1)如图，在四边形ABCD 中，90AB AD B D =∠=∠=︒，，E F 、分别是边BC CD 、上的点，且12EAF =BAD ∠∠．求证：EF BE FD =+;(2) 如图在四边形ABCD 中，180AB AD B+D =∠∠=︒，，E F 、分别是边BC CD 、上的点，且12EAF BAD ∠=∠， (1)中的结论是否仍然成立？不用证明．(3) 如图，在四边形ABCD 中，AB AD =，180B ADC ∠+∠=︒，E F ，分别是边BC CD ，延长线上的点，且12EAF BAD ∠=∠， (1)中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．EFDCBAEFD CBAEFDCBAG CMK EF DBA【答案】证明：延长EB 到G ，使BG=DF ，联结AG ．∵90ABG ABC =D AB AD ∠=∠∠=︒=，， ∴ABG ADF ∆∆≌． ∴ 12AG AF ∠∠＝，＝．∴113232EAF BAD ∠+∠=∠+∠=∠=∠．∴GAE =EAF ∠∠． 又AE AE =，∴AEG AEF ∆∆≌． ∴EG EF ＝． ∵EG=BE+BG ． ∴EF BE FD =+(2) (1)中的结论EF BE FD =+仍然成立．(3)结论EF BE FD =+不成立，应当是EF BE FD =+ 证明：在BE 上截取BG ， 使BG=DF ，连接AG ． ∵180B ADC ∠+∠=︒， 180ADF ADC ∠+∠=︒， ∴B ADF ∠=∠． ∵AB AD =，∴ABG ADF ∆∆≌．∴BAG DAF AG AF ∠=∠=，．∴12BAG+EAD DAF +EAD=EAF =BAD ∠∠∠∠∠∠＝∴GAE EAF ∠=∠． ∵AE AE =， ∴AEG AEF ∆∆≌ ∴EG EF =∵EG BE BG =-【例6】 如图所示，ABC ∆是边长为1的正三角形，BDC ∆是顶角为120︒的等腰三角形，以D 为顶点作一个60︒的MDN ∠，点M 、N 分别在AB 、AC 上，求AMN ∆的周长．NM DCBA【答案】2．321EFGDCBAEFGDCBA【巩固】 在等边ABC ∆的两边AB ，AC 所在直线上分别有两点M N D ，，为ABC ∆外一点，且60MDN ∠=︒，120BDC ∠=︒，BD CD =，探究：当点M N ，分别爱直线AB AC ，上移动时，BM BN MN ，，之间的数量关系及AMN ∆的周长Q 与等边ABC ∆的周长L 的关系．图①M NDCBA 图②MND CBA N图③MD CBA（1）如图①，当点M N ，在边AB AC ，上，且DM DN =时，BM NC MN ，，之间的数量关系式_________；此时QL=__________ （2）如图②，当点M N ，在边AB AC ，上，且DM DN ≠时，猜想(1)问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；（3）如图③，当点M N ，分别在边AB CA ，的延长线上时，若AN x =，则Q =_________(用x L ，表示)【答案】第三问提示：利用旋转，即可得到两个阴影部分全等M /NDCB A AB CDMNM /【例7】 已知：如图，正方形ABCD 中，AC ,BD 为对角线，将BAC ∠绕顶点A 逆时针旋转α(045α<<)，旋转后角的两边分别交BD 于点P 、点Q ，交BC ,CD 于点E 、点F ，联结EF 、EQ ． （1）在BAC ∠的旋转过程中，AEQ ∠的大小是否改变，若不变写出它的度数，若改变，写出它的变化范围（直接在答题卡上写出结果，不必证明）；（2）探究APQ ∆与AEF ∆的面积的数量关系，写出结论并加以证明．（11年石景山一模）QFC DBAP E【答案】（1）不变； 45°；（2）结论：S △AEF =2 S △APQ∵AEQ ∠=45°，45EAF ∠=︒ ∴90EQA ∠=︒ ∴2AE 同理2AF AP = 过点P 作PH AF ⊥于H ∴S △AEF 11222AF EQ AP AQ =⋅=⋅ 22AP AQ PH AQ S =⋅=⋅=△APQ【例8】 如图(1)，两块等腰直角三角板ABC 和DEF ，90ABC DEF ∠=∠=，点C 与EF 在同一条直线l 上，将三角板ABC 绕点C 逆时针旋转α角（090α<<）得到''A B C ∆．设2EF =，1BC =,CE x =． (1)如图⑵，当︒=90α，且点C 与点F 重合时，连结'EB ，将直线'EB 绕点E 逆时针旋转45，交直线'A D 于点M ，请补全图形，并求证：'A M DM =．⑵如图⑶，当︒<<︒900α，且点C 与点F 不重合时，连结'EB ，将直线'EB 绕点E 逆时针旋转45，交直线'A D 于点M ，求'A MDM的值（用含x 的代数式表示）．图⑴ 图⑵ 图⑶BA CFlEA'B'DDElF (C )ABMDB'A'E lF C HQF CDBAP E【答案】⑴补全图形如右图⑴．② 如图⑵，连结AE ，∵ABC ∆和DEF ∆是等腰直角三角形， ABC ∠＝DEF ∠＝90︒，1AB =,2DE =， ∴1BC =，2EF =,45DFE ACB ∠=∠=︒． ∴2'==AC C A ，22DF =，'EFB ∠＝90︒． ∴2''=-=C A DF D A ， ∴点'A 为DF 的中点．∴'EA ⊥DF ，'EA 平分DEF ∠．∴E MA '∠＝90︒，EF A '∠＝45︒，2'=E A ． ∵'MEB ∠＝EF A '∠＝45︒， ∴'MEA ∠＝EF B '∠, ∴Rt 'MA E ∆∽Rt ∆FE B '， ∴'''A M A E EF B F =＝，∴22'=M A ，∴22222''=-=-=M A D A DM ，∴'A M DM =．⑵如图(3)，过点'B 作G B '⊥E B '交直线EM 于点G ，连结G A '．∵G EB '∠＝90︒，EM B '∠＝45︒，∴GE B '∠＝45︒． ∴''B E B G =．∵C B A ''∠＝G EB '∠＝90︒，∴G B A ''∠＝E CB '∠． 又∵''A B ＝C B '，∴∆G B A ''≌∆E CB '． ∴'A G ＝CE ＝x ，''GB A ∠＝'CEB ∠．∵''GB A ∠＋GM A '∠＝'CEB ∠＋DEM ∠＝45︒， ∴GM A '∠＝DEM ∠， ∴G A '∥DE ．∴2''xDE G A DM M A ==．【例9】 如图1、2是两个相似比为1：2的等腰直角三角形，将两个三角形如图3放置，小直角三角形的斜边与大直角三角形的一直角边重合。
旋转(全)知识点习题及答案精编版
旋转23.1 图形的旋转1.旋转的定义：在平面内，把一个图形绕着某一个点O旋转一个角度的图形变换叫做旋转．点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角，如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做对应点．注意：①旋转是围绕一点旋转一定的角度的图形变换，因而旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋转前后图形能够重合，这时判断旋转的关键．②旋转中心是点而不是线，旋转必须指出旋转方向．③旋转的范围是平面内的旋转，否则有可能旋转成立体图形，因而要注意此点。
2.旋转的性质（1）旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等．②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．③旋转前、后的图形全等．（2）旋转三要素：①旋转中心；②旋转方向；③旋转角度．注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样．3.旋转对称图形如果某一个图形围绕某一点旋转一定的角度（小于360°）后能与原图形重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形．常见的旋转对称图形有：线段，正多边形，平行四边形，圆等．23.2 中心对称图形1.中心对称（1）中心对称的定义把一个图形绕着某个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．．（2）中心对称的性质①关于中心对称的两个图形能够完全重合；②关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分．2.中心对称图形（1）定义把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．注意：中心对称图形和中心对称不同，中心对称是两个图形之间的关系，而中心对称图形是指一个图形自身的特点，这点应注意区分，它们性质相同，应用方法相同．（2）常见的中心对称图形平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．3.关于原点对称的点的坐标特点（1）两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（-x，-y）．（2）关于原点对称的点或图形属于中心对称，它是中心对称在平面直角坐标系中的应用，它具有中心对称的所有性质．但它主要是用坐标变化确定图形．注意：运用时要熟练掌握，可以不用图画和结合坐标系，只根据符号变化直接写出对应点的坐标．4.坐标与图形变化--旋转（1）关于原点对称的点的坐标P（x，y）⇒P（-x，-y）（2）旋转图形的坐标图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．23.3课题学习图案设计1.利用轴对称设计图案关键是要熟悉轴对称的性质，利用轴对称的作图方法来作图，通过变换对称轴来得到不同的图案．2.利用平移设计图案确定一个基本图案按照一定的方向平移一定的距离，连续作图即可设计出美丽的图案．通过改变平移的方向和距离可使图案变得丰富多彩．3.作图--旋转变换（1）旋转图形的作法：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．（2）旋转作图有自己独特的特点，决定图形位置的因素较多，旋转角度、旋转方向、旋转中心，任意不同，位置就不同，但得到的图形全等．4.利用旋转设计图案由一个基本图案可以通过平移、旋转和轴对称以及中心对称等方法变换出一些复合图案．利用旋转设计图案关键是利用旋转中的三个要素（①旋转中心；②旋转方向；③旋转角度）设计图案．通过旋转变换不同角度或者绕着不同的旋转中心向着不同的方向进行旋转都可设计出美丽的图案．5.几何变换的类型（1）平移变换：在平移变换下，对应线段平行且相等．两对应点连线段与给定的有向线段平行（共线）且相等．（2）轴对称变换：在轴对称变换下，对应线段相等，对应直线（段）或者平行，或者交于对称轴，且这两条直线的夹角被对称轴平分．（3）旋转变换：在旋转变换下，对应线段相等，对应直线的夹角等于旋转角．（4）位似变换：在位似变换下，一对位似对应点与位似中心共线；一条线上的点变到一条线上，且保持顺序，即共线点变为共线点，共点线变为共点线；对应线段的比等于位似比的绝对值，对应图形面积的比等于位似比的平方；不经过位似中心的对应线段平行，即一直线变为与它平行的直线；任何两条直线的平行、相交位置关系保持不变；圆变为圆，且两圆心为对应点；两对应圆相切时切点为位似中心．旋转基础练习一一、选择题1．在26个英文大写字母中，通过旋转180°后能与原字母重合的有 （ ）A ．6个B ．7个C ．8个D ．9个2．从5点15分到5点20分，分针旋转的度数为 （ ）A ．20°B ．26°C ．30°D ．36°3．如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠A=40°，以直角顶点C 为旋转中心，将△ABC旋转到△A′B′C 的位置，其中A′、B′分别是A 、B 的对应点，且点B 在斜边A′B′上，直角边CA′交AB 于D ，则旋转角等于 （ ）A ．70°B ．80°C ．60°D ．50°(图1) (图2) (图3)二、填空题．1．在平面内，将一个图形绕一个定点沿着某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为________，这个定点称为________，转动的角为________．2．如图2，△ABC 与△ADE 都是等腰直角三角形，∠C 和∠AED 都是直角，点E 在AB上，如果△ABC 经旋转后能与△ADE 重合，那么旋转中心是点_________；旋转的度数是__________．3．如图3，△ABC 为等边三角形，D 为△ABC 内一点，△ABD 经过旋转后到达△ACP 的位置，则，（1）旋转中心是________；（2）旋转角度是________；（3）△ADP 是________三角形．三、解答题．1．阅读下面材料：如图4，把△ABC 沿直线BC 平行移动线段BC 的长度，可以变到△ECD 的位置． 如图5，以BC 为轴把△ABC 翻折180°，可以变到△DBC 的位置．(图4) (图5) (图6) (图7)如图6，以A 点为中心，把△ABC 旋转90°，可以变到△AED 的位置，像这样，其中一个三角形是由另一个三角形按平行移动、翻折、旋转等方法变成的，这种只改变位置，不改变形状和大小的图形变换，叫做三角形的全等变换．回答下列问题如图7，在正方形ABCD 中，E 是AD 的中点，F 是BA 延长线上一点，AF=12AB ． （1）在如图7所示，可以通过平行移动、翻折、旋转中的哪一种方法，使△ABE 移到△ADF 的位置？（2）指出如图7所示中的线段BE 与DF 之间的关系．2．一块等边三角形木块，边长为1，如图，现将木块沿水平线翻滚五个三角形，那么B点从开始至结束所走过的路径长是多少？答案:一、1．B 2．C 3．B二、1．旋转旋转中心旋转角2．A 45°3．点A 60°等边三、1．（1）通过旋转，即以点A为旋转中心，将△ABE逆时针旋转90°．（2）BE=DF，BE⊥DF2．翻滚一次滚120°翻滚五个三角形，正好翻滚一个圆，所以所走路径是2．旋转基础练习二一、选择题1．△ABC绕着A点旋转后得到△AB′C′，若∠BAC′=130°，∠BAC=80°，则旋转角等于（）A．50°B．210°C．50°或210°D．130°2．在图形旋转中，下列说法错误的是（）A．在图形上的每一点到旋转中心的距离相等B．图形上每一点转动的角度相同C．图形上可能存在不动的点D．图形上任意两点的连线与其对应两点的连线长度相等3．如图，下面的四个图案中，既包含图形的旋转，又包含图形的轴对称的是（）二、填空题1．在作旋转图形中，各对应点与旋转中心的距离________．2．如图，△ABC和△ADE均是顶角为42°的等腰三角形，BC、DE分别是底边，图中的△ABD绕A旋转42°后得到的图形是________，它们之间的关系是______，其中BD CE（填“>”,“<”或“=”）．3．如图，自正方形ABCD的顶点A引两条射线分别交BC、CD于E、F，∠EAF=45°，在保持∠EAF=45°的前提下，当点E、F分别在边BC、CD上移动时，BE+DF与EF的关系是________．三、解答题1．如图，正方形ABCD的中心为O，M为边上任意一点，过OM随意连一条曲线，将所画的曲线绕O点按同一方向连续旋转3次，每次旋转角度都是90°，这四个部分之间有何关系？2．如图，以△ABC 的三顶点为圆心，半径为1，作两两不相交的扇形，则图中三个扇形面积之和是多少？3．如图，已知正方形ABCD 的对角线交于O 点，若点E 在AC的延长线上，AG ⊥EB ，交EB 的延长线于点G ，AG 的延长线交DB 的延长线于点F ，则△OAF 与△OBE 重合吗？如果重合给予证明，如果不重合请说明理由？答案:一、1．C 2．A 3．D二、1．相等 2．△ACE 图形全等 = 3．相等三、1．这四个部分是全等图形2．∵∠A+∠B+∠C=180°，∴绕AB 、AC 的中点旋转180°，可以得到一个半圆，∴面积之和=12． 3．重合：证明：∵EG ⊥AF∴∠2+∠3=90°∵∠3+∠1+90°=180°∵∠1+∠3=90°∴∠1=∠2同理∠E=∠F ，∵四边形ABCD 是正方形，∴AB=BC∴△ABF ≌△BCE ，∴BF=CE ，∴OE=OF ，∵OA=OB∴△OBE 绕O 点旋转90°便可和△OAF 重合．旋转基础练习三一、选择题1．如图，摆放有五杂梅花，下列说法错误的是（以中心梅花为初始位置）（ ）A ．左上角的梅花只需沿对角线平移即可B ．右上角的梅花需先沿对角线平移后，再顺时针旋转45°C ．右下角的梅花需先沿对角线平移后，再顺时针旋转180D ．左下角的梅花需先沿对角线平移后，再顺时针旋转90°2．同学们曾玩过万花筒吧，它是由三块等宽等长的玻璃镜片围成的，如图是看到的万花筒的一个图案，图中所有三角形均是等边三角形，其中的菱形AEFG 可以看成把菱形ABCD 以A 为中心（ ）A ．顺时针旋转60°得到的B ．顺时针旋转120°得到的C ．逆时针旋转60°得到的D ．逆时针旋转120°得到的3．下面的图形中，绕着一个点旋转120°后，能与原来的位置重合的是（）A．（1），（4）B．（1），（3）C．（1），（2）D．（3），（4）二、填空题1．如图，五角星也可以看作是一个三角形绕中心点旋转_______次得到的，每次旋转的角度是________．2．图形之间的变换关系包括平移、_______、轴对称以及它们的组合变换．3．如图，过圆心O和图上一点A连一条曲线，将OA绕O点按同一方向连续旋转三次，每次旋转90°，把圆分成四部分，这四部分面积_________．三、解答题．1．请你利用线段、三角形、菱形、正方形、圆作为“基本图案”绘制一幅以“校运动会”为主题的徽标．2．如图，是某设计师设计的方桌布图案的一部分，请你运用旋转的方法，将该图案绕原点O顺时针依次旋转90°、180°、270°，并画出图形，你来试一试吧！但是涂阴影时，要注意利用旋转变换的特点，不要涂错了位置，否则你将得不到理想的效果，并且还要扣分的噢！3．如图，△ABC的直角三角形，BC是斜边，将△ABP绕点A逆时针旋转后，能与△ACP′重合，如果AP=3，求PP′的长．答案:一、1．D 2．D 3．C二、1．4 72°2．旋转3．相等三、1．答案不唯一，学生设计的只要符合题目的要求，都应给予鼓励．2．略3．∵△ABP绕点A逆时针旋转后，能与△ACP′重合，∴AP′=AP，∠CAP′=∠BAP，∴∠PAP′=∠PAC+∠CAP′=∠PAC+∠BAP=∠BAC=90°，△PAP′为等腰直角三角形，PP′为斜边，∴．旋转基础练习四一、选择题1．在英文字母VWXYZ中，是中心对称的英文字母的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个2．下面的图案中，是中心对称图形的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个3．如图，把一张长方形ABCD的纸片，沿EF折叠后，ED′与BC的交点为G，点D、C分别落在D′、C′的位置上，若∠EFG=55°，则∠1=（）A．55°B．125°C．70°D．110°二、填空题1．关于某一点成中心对称的两个图形，对称点连线必通过_________．2．把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形是_________图形．3．用两个全等的直角非等腰三角形可以拼成下面图形中的哪几种：_______（填序号）（1）长方形；（2）菱形；（3）正方形；（4）一般的平行四边形；（5）等腰三角形；（6）梯形．三、解答题1．仔细观察所列的26个英文字母，将相应的字母填入下表中适当的空格内．2．如图，在正方形ABCD中，作出关于P点的中心对称图形，并写出作法．3．如图，是由两个半圆组成的图形，已知点B是AC的中点，画出此图形关于点B成中心对称的图形．答案:一、1．B 2．D 3．D二、1．这一点（对称中心）2．中心对称3．（1）（4）（5）三、1．略2．作法：（1）延长CB且BC′=BC；（2）延长DB且BD′=DB，延长AB且使BA′=BA；（3）连结A′D′、D′C′、C′B则四边形A′BC′D′即为所求作的中心对称图形，如图所示．3.略.旋转基础练习五一、选择题1．下面图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．直角B．等边三角形C．直角梯形D．两条相交直线2．下列命题中真命题是（）A．两个等腰三角形一定全等B．正多边形的每一个内角的度数随边数增多而减少C．菱形既是中心对称图形，又是轴对称图形D．两直线平行，同旁内角相等3．将矩形ABCD沿AE折叠，得到如图的所示的图形，已知∠CED′=60°，则∠AED的大小是（）A．60°B．50°C．75°D．55°二、填空题1．关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过__________，而且被对称中心所________．2．关于中心对称的两个图形是_________图形．3．线段既是轴对称图形又是中心对称图形，它的对称轴是_________，它的对称中心是__________．三、解答题1．分别画出与已知四边形ABCD成中心对称的四边形，使它们满足以下条件：（1）以顶点A为对称中心，（2）以BC边的中点K为对称中心．2．如图，已知一个圆和点O，画一个圆，使它与已知圆关于点O成中心对称．3．如图，A、B、C是新建的三个居民小区，我们已经在到三个小区距离相等的地方修建了一所学校M，现计划修建居民小区D，其要求：（1）到学校的距离与其它小区到学校的距离相等；（2）控制人口密度，有利于生态环境建设，试写居民小区D的位置．21085答案:一、1．D 2．C 3．A二、1．对称中心 平分 2．全等 3．线段中垂线，线段中点．三、1．略 2．作出已知圆圆心关于O 点的对称点O′，以O′为圆心，已知圆的半径为半径作圆．3．连结AB 、AC ，分别作AB 、AC 的中垂线PQ 、GH 相交于M ，学校M 所在位置，就是△ABC 外接圆的圆心，小区D 是在劣弧BC 的中点即满足题意．旋转基础练习六一、选择题1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A ．等边三角形B ．等腰梯形C ．平行四边形D ．正六边形2．下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（ ） A ．正方形 B ．矩形 C ．菱形 D ．平行四边形3．如图所示，平放在正立镜子前的桌面上的数码“21085”在镜子中的像是（ ）A ．21085B ．28015C ．58012D ．51082二、填空题1．把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做__________．2．请你写出你所熟悉的三个中心对称图形_________．3．中心对称图形具有什么特点（至少写出两个）_____________．三、解答题1．在平面内，如果一个图形绕一个定点旋转一定的角度后能与自身重合，那么就称这个图形是旋转对称图形，转动的这个角称为这个图形的一个旋转角，例如：正方形绕着它的对角线的交点旋转90°后能与自身重合，所以正方形是旋转对称图形，应有一个旋转角为90°．（1）判断下列命题的真假（在相应括号内填上“真”或“假”）①等腰梯形是旋转对称图形，它有一个旋转角为180°；（ ）②矩形是旋转对称图形，它有一个旋转角为180°；（ ）（2）填空：下列图形中是旋转对称图形，且有一个旋转角为120°是_____．（写出所有正确结论的序号）①正三角形；②正方形；③正六边形；④正八边形．（3）写出两个多边形，它们都是旋转对称图形，却有一个旋转角为72°，并且分别满足下列条件：①是轴对称图形，但不是中心对称图形；②既是轴对称图形，又是中心对称图形．2．如图，将矩形A 1B 1C 1D 1沿EF 折叠，使B 1点落在A 1D 1边上的B 处；沿BG 折叠，使D 1点落在D 处且BD 过F 点．（1）求证：四边形BEFG 是平行四边形；（2）连接BB ，判断△B 1BG 的形状，并写出判断过程．D 1C 1B 1A 1B AED G F3．如图，直线y=2x+2与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，将△AOB 绕点O 顺时针旋转90°得到△A 1OB 1．（1）在图中画出△A 1OB 1；（2）设过A 、A 1、B 三点的函数解析式为y=ax 2+bx+c ，求这个解析式．答案：一、1．D 2．D 3．D二、1．中心对称图形 2．答案不唯一 3．答案不唯一三、1．（1）①假 ②真 （2）①③（3）①例如正五边形 正十五边形 •②例如正十边 正二十边形2．（1）证明：∵A 1D 1∥B 1C 1，∴∠A 1BD=∠C 1FB又∵四边形ABEF 是由四边形A 1B 1EF 翻折的，∴∠B 1FE=∠EFB ，同理可得：∠FBG=∠D 1BG ， 初中数学资源网 ∴∠EFB=90°-12∠C 1FB ，∠FBG=90°-12∠A 1BD ， ∴∠EFB=∠FBG∴EF ∥BG ，∵EB ∥FG∴四边形BEFG 是平行四边形．（2）直角三角形，理由：连结BB ，∵BD 1∥FC 1，∴∠BGF=∠D 1BG ，∴∠FGB=∠FBG同理可得：∠B 1BF=∠FB 1B ．∴∠B 1BG=90°，∴△B 1BG 是直角三角形3．解：（1）如右图所示……………………………………………………………最新资料推荐…………………………………………………11（2）由题意知A 、A 1、B 1三点的坐标分别是（-1，0），（0，1），（2，0）∴01042a b c c a b c =-+⎧⎪=⎨⎪=++⎩ 解这个方程组得12121a b c ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩∴所求五数解析式为y=-12x 2+12x+1．。
图形的旋转中心知识点总结
图形的旋转中心知识点总结一、基本概念图形的旋转中心是指图形旋转时所围绕的点，旋转中心是进行旋转变化的基准点，决定了图形旋转的方式和方向。
对于平面内的图形来说，旋转中心通常是一个固定的点或者是另一个图形的顶点。
二、旋转中心的作用1.决定旋转方向和角度：旋转中心决定了图形旋转的方向和角度，当旋转中心不同，图形的旋转效果也会有所不同。
2.确定旋转后的位置：通过旋转中心，可以确定图形旋转后的位置，帮助我们更好地理解和描述图形的变化过程。
3.揭示图形的对称性：旋转中心可以揭示图形的对称性，帮助我们理解图形的几何属性和特点。
三、常见的旋转中心1.固定点旋转中心：即图形的旋转中心是一个固定的点，可以是图形中心、某个顶点、某个重心或其他特定的点。
2.动态旋转中心：当图形的旋转中心不固定，会随着旋转过程的变化而变化，这种情况下我们称之为动态旋转中心。
四、图形的旋转方式1.顺时针旋转：即图形按照顺时针方向旋转，旋转角度为正。
2.逆时针旋转：即图形按照逆时针方向旋转，旋转角度为负。
五、旋转中心与图形的关系1.对称图形的旋转中心：对称图形的旋转中心通常位于图形的中心，因为对称图形的中心是其旋转中心，围绕旋转中心旋转对称图形时，旋转后的图形与原图形相似且对称。
2.非对称图形的旋转中心：非对称图形的旋转中心通常位于图形的特定点，可以是图形的顶点、重心或其他点，围绕旋转中心旋转非对称图形时，旋转后的图形将呈现出不同于原图形的特点。
六、图形的旋转与应用1.在几何学中，图形的旋转是一种常见的基本变换，通过旋转可以改变图形的朝向和位置，帮助我们更好地理解图形的性质和特点。
2.在工程设计中，图形的旋转可以用于构建复杂的结构和装置，通过旋转可以实现不同部件的组合和变换。
3.在艺术创作中，图形的旋转可以用于创作不同的图案和造型，通过旋转可以实现更加丰富的视觉效果。
七、图形的旋转规律1.当图形围绕旋转中心进行旋转时，旋转后的图形与原图形相似，且对称于旋转中心。
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共顶点旋转中考大纲中考内容A了解图形的旋转，理解对应点到旋转中心的距离相等、对应图形的旋转点与旋转中心连线所成的角彼此相等的性质；会识别中心对称图形中考要求B C能按要求作出简单平面图形旋转后的图能运用旋转的形，能依据旋转前、后的图形，指出旋知识解决简单转中心和旋转角问题知识网络图定义：绕定点旋转一定的角度概念与性质性质：旋转前后两个图形全等中心对称：旋转 180 能重合等边三角形旋转等腰三角形共顶点旋转等腰直角三角形正方形费马点与最值知识精讲一、旋转1、定义把一个图形绕着某一点 O 转动一个角度的图形变换叫做旋转，点 O 叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角，如果图形上的点 P 经过旋转变为点 P ' ，那么这两个点叫做这个旋转的的对应点．如下图．PQOP'Q'【注意】 1、研究旋转问题应把握两个元素：旋转中心与旋转角．2、每一组对应点所构成的旋转角相等．2、性质（ 1）旋转后的图形与原图形是全等的；（进而得到相等的线段、相等的角）（2）旋转前后两个图形对应点到旋转中心的距离相等；（进而得到等腰三角形）（3）对应点与旋转中心所连线段的夹角都等于旋转角；（若特殊角则得到等边三角形、等腰直角三角形）3、作图的重要条件由旋转的性质可知，旋转作图必须具备两个重要条件（1）旋转中心（2）旋转方向及旋转角度．4、作图的基本步骤具体步骤分以下几步连：即连接图形中每一个关键点与旋转中心．转：即把连线按要求绕旋转中心转过一定角度（作旋转角）截：即在角的另一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点．连：即连接所得到的各点．二、中心对称1、中心对称的定义把一个图形绕着某一点旋转 180 ，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做中心对称点，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点（如下图）A DOB C【注意】 1、图形成中心对称是旋转角为定角（180）的旋转问题，它是一种特殊的旋转，反映的是两个图形的一种特殊关系．2、中心对称阐明的是两个图形的特殊位置关系．2、中心对称的性质关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分．关于中心对称的两个图形是全等图形．关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等．如果连接两个图形的对应点的线段都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形一定关于这一点成中心对称．3、中心对称图形把一个图形绕着某一点旋转180 ，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．（如下图）A DOB C4、中心对称与中心对称图形的区别与联系中心对称是指两个图形的关系，中心对称图形是指具有某种性质的一个图形．若把中心对称图形的两个部分分别看作两个图形，则他们成中心对称；若把中心对称的两个图形看作一个整体，则成为中心对称图形．5、关于原点对称的点的坐标特征两个点关于原点对称时，他们坐标符号相反，反过来，只要两个点的坐标符号相反，则两个点关于原点对称．6、中心对称图形与旋转对称图形的比较名称定义区别联系如果一个图形绕着某一点旋转一旋转对称图形定角度（小于周角）后能与原图旋转角度不一定是 180旋转对称图形只有形完全重合，那么这个图形叫做旋转 180 才是中心旋转对称图形对称图形，而中心对如果一个图形绕某一点旋转 180 称图形一定是旋转中心对称图形后能与自身重合，那么这个图形必须旋转 180 对称图形叫做中心对称图形7、中心对称图形与轴对称图形比较名称定义基本图形区别举例如果一个图形绕着某线段、平行四边中心对称图点旋转 180 后能与自绕某一点旋转形、矩形、菱形、形身重合，那么这个图形180圆叫做中心对称图形如果一个图形沿某一180条直线翻折180 后，直线段、等腰三角沿某一条直线翻轴对称图形线两旁的部分能够互形、矩形、菱形、折 180 （对折）相重合，那么这样的图正方形、圆形叫做轴对称图形三、共顶点旋转1、共顶点旋转三角形有出现一个公共的顶点，两个三角形可以通过旋转相互得到，这类题目需要找到两个旋转三角形或者通过作出辅助线找到两个旋转三角形．等边三角形共顶点共顶点等腰直角三角形【注意】以上给出了各种图形连续变化图形，图中出现的两个阴影部分的三角形是全等三角形，此模型需要注意的是利用“全等三角形”的性质进行边与角的转化．证明的基本思想“SAS”．【例题】如图，等边三角形ABC 与等边DEC 共顶点于 C 点．求证：AE BD ．AEDB C【答案】∵ABC 是等边三角形，∴ACB 60 ， AC BC ．∴BCDDCA 60 ，同理 ACE DCA 60 ， DC EC ．∴ BCDACE在BCD 与 ACE 中，BC ACBCD ACEDC EC∴BCD ≌ACE ，∴ BD AE ．四、费马点与最值1、三线共点问题图形中出现有公共端点的相等线段，可考虑将含有相等线段的图形绕公共端点旋转两相等线段的夹角后与另一相等线段重合．2、 OA 与 OB 共用顶点 O ，固定 OA 将 OB 绕点 O 旋转过程中的，会出现AB 的最大值与最小值，如图．B最大值位置OA最小值位置3、费马点的定义到三个定理的三条线段之和最小，夹角都为 120°．旋转与最短路程问题主要是利用旋转的性质转化为两点之间线段最短的问题，同时与旋转有关路程最短的问题，比较重要的就是费马点问题4、费马点的结论（ 1）平面内一点P 到△ABC三顶点的之和为PA PB PC ，当点 P 为费马点时，距离之和最小．（ 2 ）三内角皆小于 120°的三角形，分别以AB , BC ,CA 为边，向三角形外侧做正三角形 ABC1 ACB1 , BCA1 , 然后连接 AA1 , BB1 , CC1 ,则三线交于一点P ,则点 P 就是所求的费马点．（ 3 ）若三角形有一内角大于或等于120 度,则此钝角的顶点就是所求的费马点．（ 4 ）当 ABC 为等边三角形时,此时内心与费马点重合【例题】下面简单说明如何找点P 使它到ABC 三个顶点的距离之和PA PB PC 最小？这就是所谓的费尔马问题．C'AP'PB C【解析】如图 1，把 APC 绕 A 点逆时针旋转 60°得到△AP ′C′，连接 PP ′．则△ APP′为等边三角形， AP = PP′，P′C′=PC，所以 PA PB PC = PP′+PB+ P′C′．点 C′可看成是线段AC 绕 A 点逆时针旋转60°而得的定点， BC′为定长，所以当 B、 P、P′、 C′四点在同一直线上时，PA PB PC 最小．这时∠ BPA=180°-∠APP′=180-°60 °=120°，∠APC =∠ A P′C′=180-°∠ AP′P=180°-60 °=120°，∠BPC =360°-∠ BPA-∠ APC=360°-120 °-120 °=120°因此，当ABC 的每一个内角都小于120°时，所求的点P 对三角形每边的张角都是120°，可在 AB、BC边上分别作120 °P点；当有一内角大于或等于120 °的弓形弧，两弧在三角形内的交点就是时，所求的 P 点就是钝角的顶点．费尔马问题告诉我们，存在这么一个点到三个定点的距离的和最小，解决问题的方法是运用旋转变换．解题方法技巧1、利用旋转思想构造辅助线（1）根据相等的线段先找出被旋转的三角形．（2）根据对应边找出旋转角度，画出旋转三角．2、四大旋转全等模型（关键找伴随全等三角形）等腰三角形、等腰直角三角形、等边三角形伴随旋转出全等，处于各种位置的旋转模型，及残缺的旋转模型都要能很快看出来（ 1）等腰三角形旋转模型图（共顶点旋转等腰出伴随全等）（ 2）等边三角形旋转模型图（共顶点旋转等边出伴随全等）（ 3）等腰直角旋转模型图（共顶点旋转等腰直角出伴随全等）（ 4）不等边旋转模型图（共顶点旋转不等腰出伴随相似）（ 5）正方形共顶点旋转3、旋转秘籍（1）图形中出现等腰三角形，常考虑将以腰为边的某三角形绕等腰三角形的顶角所在的顶点旋转一顶角后与另一腰重合．160 角后与另一边重（）图形中出现等边三角形，常考虑将含有等边三角形边长的某个三角形绕顶点旋转合．290 角后与另一边重合．（）图形中出现正方形时，常考虑将含有正方形边长的某个三角形绕顶点旋转4、正方形等面积结论（ 1 ） S△ABC =S△CDE（ 2 ） G 为 AB 中点，则CG 1DE 2（ 3）G为AB中点，CG DEBGACED5、等边三角形手拉手共线的结论（△ABC和△BDE均为等边三角形，A、B、D 三点共线）（1）△ABE≌△CBD（2）AE =CD（3）△ABF≌△CBG（4）△DBG≌△EBF（5）BF BG（ 6）AF CG ， EF DG（7）△FBG为等边三角形（8）HB平分AHD（9）CHA 60CEHF GABD6、等腰直角三角形共顶点旋转常见的变式（ 1）基本模型：△OAB和△OCD均为等腰直角三角形结论： BD AC ， BD ACBCOA D（ 2）变式一：在上面模型的基础上连接AD ，分别取 AB 、 CD 、 AD 的中点 E 、 F 、 G ，连接 EG 、 FG 结论： EG FG ， EG FGBCEFOA DG（ 3）变式二：在上面模型的基础上连接OE 、 OF ，则△OEA 和△OFD 均为等腰直角三角形，如下图去掉别的线段结论： EG FG ， EG FGEFOA DG（ 4）变式三：在上面模型的基础上分别取OA 、 OD 的中点 M 、 N ，分别以 ON 、 OM 为边作正方形结论： EG FG ， EG FGHIEFOM NA DG7、等边三角形共顶点旋转常见的变式（ 1）基本模型：△OAB和△OCD均为等腰三角形结论： BD AC ， BD 与 AC 所夹锐角为60COBDA2AD ，分别取 AB 、 CD 、 AD 的中点 E 、 F 、 G ，连接 EG 、 FG （）变式：在上面模型的基础上连接结论： EG FG ， EGF =120COBFEA DG8、等腰三角形共顶点旋转常见的变式1△OAB 和△OCD 均为等腰三角形，BOA COD（）基本模型：结论： BD AC ， BD 与 AC 的夹角等于 AOBOBCAD2AD ，分别取 AB 、 CD 、 AD 的中点 E 、 F 、 G ，连接 EG 、 FG （）变式：在上面模型的基础上连接结论： EG FG ， EGF =2 BAOOBECAFGD9、终极模型提炼：只要△OAB和△OCD相似，且BOA COD ，OBA OCD结论： BG CG ，BGC=2 BAOOCBDGA易错点辨析1、找旋转中心时是对应点连线垂直平分线的交点，要注意和对称中心相区别．2、找共顶点全等三角形时，要注意找旋转图形的对应点．。