高考圆锥曲线中的定点与定值问题题型总结超全

专题08 解锁圆锥曲线中的定点与定值问题

一、解答题

1．【陕西省榆林市第二中学2018届高三上学期期中】已知椭圆的左右焦点分别为，离心率为；圆过椭圆的三个顶点.过点且斜率不为0的直线与椭圆交于两点.

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）证明：在轴上存在定点，使得为定值；并求出该定点的坐标.

【答案】（1）（2）

【解析】试题分析：（Ⅰ）设圆过椭圆的上、下、右三个顶点，可求得，再根据椭圆的离心率求得，可得椭圆的方程；（Ⅱ）设直线的方程为，将方程与椭圆方程联立求得两点的坐标，计算得。设x轴上的定点为，可得，由定值可得需满足，解得可得定点坐标。

解得。

∴椭圆的标准方程为.

（Ⅱ）证明：

由题意设直线的方程为，

由消去y整理得，

设，，

要使其为定值，需满足，

解得.

故定点的坐标为.

点睛：解析几何中定点问题的常见解法

(1)假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点；

(2)从特殊位置入手，找出定点，再证明该点符合题意．

2．【四川省成都市第七中学2017-2018学年高二上学期半期考】已知斜率为的直线经过点与抛物线（为常数）交于不同的两点，当时，弦的长为.

（1）求抛物线的标准方程；

（2）过点的直线交抛物线于另一点，且直线经过点，判断直线是否过定点？若过定点，求出该点坐标；若不过定点，请说明理由.

【答案】（1）;（2）直线过定点

【解析】试题分析：（1）根据弦长公式即可求出答案；

（2）由（1）可设，则，

则；

同理：

.

由在直线上（1）；

由在直线上将（1）代入（2）

将（2）代入方程，即可得出直线过定点．

（2）设，则，

则即；

同理：；

.

由在直线上，即（1）；

由在直线上将（1）代入（2）

将（2）代入方程，易得直线过定点

3．【四川省成都市第七中学2017-2018学年高二上学期半期考】已知抛物线过点，是上一点，斜率为的直线交于不同两点（不过点），且的重心的纵坐标为.

（1）求抛物线的方程，并求其焦点坐标；

（2）记直线的斜率分别为，求的值.

【答案】（1）方程为;其焦点坐标为（2）

【解析】试题分析;（1）将代入，得，可得抛物线的方程及其焦点坐标；

（2）设直线的方程为，将它代入得，利用韦达定理，结合斜率公式以及的重心的纵坐标，化简可的值；

因为的重心的纵坐标为，

所以，所以，所以，

所以，

又

.

所以.

4．已知椭圆的短轴端点到右焦点的距离为2．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）过点的直线交椭圆于两点，交直线于点，若，

，求证：为定值．

【答案】(1) ;(2)详见解析.

【解析】试题分析：（Ⅰ）利用椭圆的几何要素间的关系进行求解；（Ⅱ）联立直线和椭圆的方程，得到关于或的一元二次方程，利用根与系数的关系和平面向量的线性运算进行证明.

（Ⅱ）由题意直线过点，且斜率存在，设方程为,

将代人得点坐标为，

由，消元得，

设，，则且，

方法一：因为，所以.

同理，且与异号，

所以

.

所以，为定值.

当时，同理可得.

所以，为定值.

同理，且与异号，

所以

.

又当直线与轴重合时，，

所以，为定值.

【点睛】本题考查直线和椭圆的位置关系，其主要思路是联立直线和椭圆的方程，整理成关于或的一元二次方程，利用根与系数的关系进行求解，因为直线过点，在设方程时，往往设为，可减少讨论该直线是否存在斜率.

5．【四川省绵阳南山中学2017-2018学年高二上学期期中考】设抛物线：，为的焦点，过的直线与相交于两点.

（1）设的斜率为1，求；

（2）求证：是一个定值.

【答案】(1) （2）见解析

【解析】试题分析：（1）把直线的方程与抛物线的方程联立，利用根与系数的关系及抛物线的定义、弦长公式即可得出；（2）把直线的方程与抛物线的方程联立，利用根与系数的关系、向量的数量积即可得出；

（2）证明：设直线的方程为，

由得

∴，

，

∵，

，

∴是一个定值.

点睛：熟练掌握直线与抛物线的相交问题的解题模式、根与系数的关系及抛物线的定义、过焦点的弦长公式、向量的数量积是解题的关键，考查计算能力,直线方程设成也给解题带来了方便.

6．【内蒙古包头市第三十三中2016-2017学年高一下学期期末】已知椭圆C: 的离心率为,右焦点为(,0).(1)求椭圆C的方程; (2)若过原点作两条互相垂直的射线,与椭圆交于A,B两点,求证:点O到直线AB的距离为定值.

【答案】(1) ,(2) O到直线的距离为定值.

【解析】试题分析：（1）根据焦点和离心率列方程解出a，b，c；

（2）对于AB有无斜率进行讨论，设出A，B坐标和直线方程，利用根与系数的关系和距离公式计算；

有OA⊥OB知x1x2+y1y2=x1x2+(k x1+m) (k x2+m)=(1+k2) x1x2+k m(x1+x2)=0 代入,得4 m2=3 k2+3原点到直线AB 的距离，当AB的斜率不存在时, ,可得, 依然成立.所以点O到直线的距离为定值 .

点睛：本题考查了椭圆的性质，直线与圆锥曲线的位置关系，分类讨论思想，对于这类题目要掌握解题方法．设而不求，套用公式解决．

7．【四川省成都市石室中学2017-2018学年高二10月月考】已知双曲线渐近线方程为，为坐标原点，点在双曲线上．

（Ⅰ）求双曲线的方程；

（Ⅱ）已知为双曲线上不同两点，点在以为直径的圆上，求的值．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ） .

【解析】试题分析：（1）根据渐近线方程得到设出双曲线的标准方程，代入点M的坐标求得参数即可；（2）由条件可得，可设出直线的方程，代入双曲线方程求得点的坐标可求得。

（Ⅱ）由题意知。

设直线方程为，

由，解得，

∴。

由直线方程为.以代替上式中的，可得

。

∴。

8．【湖南省株洲市醴陵第二中学、醴陵第四中学2018届高三上学期两校期中联考】已知椭圆E: 经过点P(2,1)，且离心率为．

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）设O为坐标原点，在椭圆短轴上有两点M，N满足，直线PM、PN分别交椭圆于A，B．探求直线AB是否过定点，如果经过定点请求出定点的坐标，如果不经过定点，请说明理由．

【答案】（1）；（2）直线AB过定点Q（0，﹣2）.

【解析】试题分析：（1）根据椭圆的几何性质得到椭圆方程；（2）先由特殊情况得到结果，再考虑一般情况，联立直线和椭圆得到二次函数，根据韦达定理，和向量坐标化的方法，得到结果。

x1+x2=，x1x2=，

又直线PA的方程为y﹣1=（x﹣2），即y﹣1=（x﹣2），

因此M点坐标为（0，），同理可知：N（0，），

当且仅当t=﹣2时，对任意的k都成立，直线AB过定点Q（0，﹣2）.

9．【广西桂林市第十八中学2018届高三上学期第三次月考】已知椭圆的左，右焦点分别为.过原点的直线与椭圆交于两点，点是椭圆上的点，若，，且的周长为.