图形的全等
证明图形的全等
证明图形的全等全等是几何学中常用的概念，用来描述两个图形在形状和大小上完全相同的情况。
两个全等的图形是可以重合在一起的，它们的所有对应的边和角均相等。
在本文中，我们将从几何学的角度探讨如何证明图形的全等。
一、全等的基本定义在证明图形的全等之前，我们首先要了解全等的基本定义。
两个图形全等的条件是：1. 边对应相等：两个图形的对应边的长度相等。
2. 角对应相等：两个图形对应的角的大小相等。
3. 边角对应相等：如果两个图形的一对对应边和夹角相等，则其余对应边和对应角也相等。
基于这个定义，我们可以利用这些条件来证明图形的全等。
二、证明图形的全等的方法1. SSS（边边边）法：SSS法是指通过证明两个图形的三条边相等来证明它们全等。
具体步骤如下：（1）证明两个图形的对应边相等。
（2）利用等值关系，证明两个图形的其他对应边相等。
（3）根据全等的基本定义，可以得出两个图形全等。
举例来说，如果我们需要证明两个三角形ABC和DEF全等，我们可以依次证明AB=DE, AC=DF和BC=EF。
如果这三个条件都成立，那么根据SSS法则可以推断出两个三角形全等。
2. SAS（边角边）法：SAS法是指通过证明两个图形的两条边和夹角相等来证明它们全等。
具体步骤如下：（1）证明两个图形的对应边相等。
（2）证明两个图形的夹角相等。
（3）利用等值关系，证明两个图形的其他对应边相等。
（4）根据全等的基本定义，可以得出两个图形全等。
举例来说，如果我们需要证明两个三角形ABC和DEF全等，我们可以依次证明AB=DE, ∠A=∠D和BC=EF。
如果这三个条件都成立，那么根据SAS法则可以推断出两个三角形全等。
3. ASA（角边角）法：ASA法是指通过证明两个图形的两个角和一条边相等来证明它们全等。
具体步骤如下：（1）证明两个图形的夹角相等。
（2）证明两个图形的边相等。
（3）利用等值关系，证明两个图形的其他对应边相等。
（4）根据全等的基本定义，可以得出两个图形全等。
图形的全等
如果两个三角形的三条对应边相等，那么这两个三角形全等。例如，已知三 角形ABC和三角形DEF中，AB=DE，BC=EF，CA=FD，那么这两个三角形 全等。
边角边（SAS）
如果两个三角形的两条对应边相等，并且它们的夹角也相等，那么这两个三 角形全等。例如，已知三角形ABC和三角形DEF中，AB=DE，BC=EF， <B=<E，那么这两个三角形全等。
06
全等的应用举例
在几何中的应用举例
1
证明两个三角形全等可以解决许多几何问四边形的对应 角相等。
3
两个圆全等可以确定圆心之间的距离相等。
在设计中的应用举例
建筑设计中需要使用全等图形来保持建筑的比例和对称性。
在服装设计中，全等图形可以用于制作图案和拼接不同材料 。
02
判别方法
几何证明法
根据定义
通过全等三角形的定义，即两个三角形的三组对应边分别相等，且三组对应边的 夹角也分别相等，来判断两个三角形全等。
按照边角关系
利用三角形中边与角的关系来判断三角形是否全等。如果两个三角形的两边及其 夹角对应相等，或三个对应角相等，则可以判断这两个三角形全等。
量证明法
利用勾股定理的逆定理
04
练习题
选择题
01
02
03
总结词1
在下列四个图形中，哪些 是全等的？
总结词2
下面哪两个图形经过平移 、旋转或翻折后可以完全 重合？
总结词3
下列哪两个图形可以通过 旋转而相互得到？
解答题
1 2
总结词1
请说明如何在平面上，通过平移、旋转或翻折 一个图形，使其与另一个图形完全重合。
总结词2
对于给定的两个全等图形，如何通过平移、旋 转或翻折得到它们之间的相互关系？
第20讲 图形的全等
第二十讲图形的全等考点综述：本部分内容是中考热点和重点之一。
它包括：全等三角形的性质和判定以、角平分线的性质以及利用尺规作三角形和角平分线。
全等三角形的性质和判定以填空题和解答题为主；角平分线的性质多结合其他知识一起考查。
中考课标要求考点精析考点1 全等图形（1）全等图形的概念和特征全等图形：能够完全重合的图形叫做全等图形。
全等图形的特征：两个图形全等，它们的形状和大小都相同。
（2）全等图形的识别方法①重叠法：能够完全重合的图形叫做全等图形。
②形状、大小完全相同的图形是全等图形。
考点2 全等三角形及其性质（1）全等三角形的有关概念能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
把两个全等三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点；重合的边叫做对应边；重合的角叫做对应角。
“全等”用“≌”表示，读作“全等于”。
（2）全等三角形的性质①全等三角形的对应边相等，对应角相等；②全等三角形的对应线段（角平分线、中线、高）相等，周长相等，面积相等。
考点3 三角形全等的判定（1）一般三角形全等的判定①“边角边”定理：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简称“SAS”。
②“角边角”定理：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简称“ASA”。
③“角角边”定理：两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简称“AAS”。
④“边边边”定理：三边对应相等的两个三角形全等，简称“SSS ”。
（2）直角三角形全等的判定①利用一般三角形全等的判定都能证明直角三角形全等；②斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简称“HL”定理。
2008年中考试题汇编（部分）一、选择、填空题：（1）（四川成都）如图，在△ABC与△DEF中，已有条件AB=DE ，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEF，不能添加的一组条件是（）(A)∠B=∠E,BC=EF （B）BC=EF，AC=DF(C）∠A=∠D，∠B=∠E （D）∠A=∠D，BC=EF（2）(2008年南通市)已知：如图，△OAD≌△OBC，且∠O＝70°，∠C＝25°，则∠AEB＝________度.（3）（2008年遵义市）如图，，，，，则等于（）A．B．C．D．（第1题图）（第2题图）（第3题图）（第4题图）（4）（2008年龙岩市）如图，在边长为4的等边三角形ABC中，AD是BC边上的高，点E、F是AD上的两点，则图中阴影部分的面积是（）A．4B．3C．2D．（5）（山东滨州）如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE、AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ.以下五个结论：①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°。
图形的全等
三、全等三角形的性质
全等三角形的对应边相等，对应角相等。 全等三角形的对应边相等，对应角相等。
∵△ABC≌ △A‘B’C‘ ≌ ‘ ’ ‘ ∴ AB=A’B‘, BC=B’C‘, AC=A’C‘ ’ ‘ ’ ‘ ’ ‘
互相重合的顶点叫做对应顶点 互相重合的顶点叫做对应顶点. 对应顶点 对应边. 互相重合的边叫做对应边 互相重合的边叫做对应边 互相重合的顶点角叫做对应角 互相重合的顶点角叫做对应角
二、全等三角形表示法
全等符号： 全等符号： “ ≌ ” △ABC ≌ △ 对应顶点： 对应顶点： 对应边： 对应边： AB和A’B’、BC和B’C’、AC和 和 ’ ’ 和 ’ ’ 和
(全等三角形的对应边相等 全等三角形的对应边相等) 全等三角形的对应边相等
∴ ∠ A= ∠ A’, ∠ B= ∠B‘ , ’ ‘ ∠ C= ∠C’ ’
(全等三角形的对应角相等 全等三角形的对应角相等) 全等三角形的对应角相等
四、在找全等三角形的对应元素时一般 有什么规律 规律？ 有什么规律？
A B D A D C B C
24.1
图形的全等
回忆： 回忆：举出现实生活中能够完全重合的 图形的例子? 图形的例子? 同一张底片洗出的同大小照片是 能够完全重合的; 能够完全重合的;
能够完全重合的两个图形叫做全等图形 能够完全重合的两个图形叫做全等图形. 全等图形
定义： 一、定义： 全 等 三 角 形
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形
《图形的全等》课件
2023《图形的全等》课件contents •知识导入•基础概念与定理•应用与实践•全等四边形的概念与性质•全等五边形的概念与性质•全等六边形的概念与性质目录01知识导入图形全等是指两个图形能够完全重合，即它们的形状和大小都相同。
定义全等是几何中一个非常重要的概念，在后续的学习中我们将学习如何判定两个图形是否全等以及如何进行图形的全等变换。
理解什么是图形的全等相似是指两个图形形状相同，但大小不一定相等。
全等与相似是两个不同的概念，虽然它们有一定的联系。
在全等变换中，可以将一个图形放大或缩小，但它的形状保持不变。
举例：正方形和其中心对称图形是全等的，但它们不是相似的。
图形的全等与相似的关系图形全等的证明方法通过证明两个图形的对应边相等，对应角相等来证明两个图形全等。
定义法判定定理举例注意通过证明两个图形满足 SSS、SAS、ASA、AAS 中的任意一个来证明两个图形全等。
在三角形全等的证明中，我们通常使用 SSS、SAS、ASA、AAS 中的任意一个进行证明。
在证明图形全等时，要注意对应边和对应角的位置和顺序，避免出现“张冠李戴”的情况。
02基础概念与定理全等形形状和大小都相同的图形称为全等形。
全等三角形如果有两个三角形全等，则它们的三组对应边分别相等，三个对应角也相等。
基础概念1图形的全等的定理23对于两个三角形，如果对应边相等、对应角相等，则这两个三角形全等。
定理1对于两个三角形，如果一个三角形的三边分别与另一个三角形的对应边成比例，且它们的夹角相等，则这两个三角形全等。
定理2对于两个三角形，如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的对应角，则这两个三角形全等。
定理3全等三角形的对应边相等。
性质1性质2性质3全等三角形的对应角相等。
全等三角形的对应中线、对应角平分线、对应中垂线分别相等。
03全等三角形的性质020103应用与实践证明两个三角形全等运用全等三角形证明线段和角相等利用全等三角形进行测量的应用全等三角形的应用明确问题首先需要明确需要解决的问题是什么，并收集相关的已知条件。
4.2图形的全等
B A D
B
C
E
D
C
3、下列两个三角形是怎 样由一个三角形得到另一个 三角形？它们有什么特点？
D
B
C
一个三角形经过平移、旋转、翻折后 所得到的三角形与原三角形全等。
你能总结出哪些图形变换可以判定两个三角形全等吗？
平移
D M S
A
O
B C E
F
A C N T
翻折
旋转
B
O D
结论：一个三角形经过平移、翻折、旋转等变 换，变换后三角形与原三角形是全等三角形。
4.2 图形的全等
九江三中 詹丽萍
埃舍尔，荷兰科学思维 版画大师，20世纪画坛中伟 大的艺术家。在1956年举办 的艺次画展，得到了众多数 学家的赞赏。 埃舍尔的作品以平面镶 嵌、不可能的结构、悖论、 循环等为特点，数学的原则 和思想在他的作品中得到了 非同寻常的形象化。
欣赏 埃舍尔 艺术作品
下列各组图形能够完全重合吗？
∠D、 ___ ∠C ∠A、∠F的对应角分别是___
全等三角形的对应元素： A
A1
B
C
B1
C1
对应顶点：点A和点A1，点B和点B1，点C和点C1， 对应边：AB和A1B1，AC 和A1C1，BC 和 B1C1 对应角：∠A和 ∠A1， ∠B 和 ∠B1， ∠C和∠C1
A
“全等”符号“≌”， 读作“全等于”
C1
对应顶点：点A和点A1，点B和点B1，点C和点C1， 对应边：AB = A1B1，AC = A1C1，BC = B1C1 对应角：∠A = ∠A1， ∠B = ∠B1，∠C = ∠C1
例题讲解，掌握新知
A D
1、如图△ABC≌△DCB， 指出所有的对应边与对应角。
图形的全等
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应关系。
忽略全等定义
03
在证明全等图形时，要根据全等图形的定义进行证明，不能忽
略基本概念。
04
全等图形的应用
在几何学中的应用
证明几何命题
全等图形可以用于证明几何命题，例如平行、垂直、等角等命题 。
确定点的位置
通过全等图形可以确定点的位置，进一步确定图形的形状和大小 。
计算面积和周长
全等图形的形状和大小是相同的，因此可以通过计算一个图形的 面积和周长来得到另一个图形的面积和周长。
全等图形的形状完全相同，即它们 的形状和大小都是相同的。
大小相等
全等图形的大小相等，即它们在平 面上占据的面积或体积是相等的。
对应边相等
全等图形的对应边相等，即每对相 对应的边长度是相等的。
对应角相等
全等图形的对应角相等，即每对相 对应的角大小是相等的。
全等图形的判定方法
定义法
边角边定理
两个图形的形状和大小完全相同，则它们全 等。
如果两个三角形的两边及其夹角分别相等， 则它们全等。
角边角定理
斜边直角边定理
如果两个三角形的两个角及其夹边分别相等 ，则它们全等。
如果两个直角三角形的斜边和一条直角边分 别相等，则它们全等。
4.2 图形的全等
知3－讲
解：因为Rt△ABC≌Rt△CDE， 所以∠BAC＝∠DCE. 又因为在Rt△ABC中，∠B＝90°， 所以∠ACB＋∠BAC＝90°.
所以∠ACB＋∠ECD＝90°.
所以∠ACE＝180°－(∠ACB＋∠ECD) ＝180°－90°＝90°.
（来自《点拨》）
知3－讲
总
结
示大小相同．记两 个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应
的位置上，如点A和点D，点B和点E ，点C和点F是对应
顶点；AB和DE，BC和EF，AC和DF是对应边；∠A和 ∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是对应角．
4.教你一招：对应元素的确定方法：
(1)字母顺序确定法：根据书写规范，按照对应顶点确定对 应边、对应角，如△CAB≌△FDE，则AB与DE、AC与 DF、BC与EF是对应边，∠A和∠D、∠B和∠E、∠C 和∠F是对应角；
（来自《点拨》）
知3－讲
例6 如图，Rt△ABC≌Rt△CDE，∠B＝∠D＝90°，且
B，C，D三点在一条直线上，求∠ACE的度数．
要求∠ACE，只需求∠ACB、 导引： ∠ECD或∠ACB＋∠ECD即可． 由于∠ACB和∠ECD无法求出，
因此必须求∠ACB＋∠ECD.
由Rt△ABC≌Rt△CDE，可知∠BAC＝∠DCE， 结合直角三角形的两个锐角互余的性质，可求∠ACB 与∠ECD的度数和，再根据平角的定义可求∠ACE的 度数．
（来自《点拨》）
知3－练
1
若△ABC与△DEF全等，点A和点 E，点B和点D分
别是对应点，则下列结论错误的是(
A．BC＝EF C．∠C＝∠F 2 B．∠B＝∠D D．AC＝EF )
)
图形全等知识点总结
图形全等知识点总结一、定义1. 全等图形的定义：如果两个图形的所有对应的角相等，并且对应的边相等，那么这两个图形就是全等图形。
这个定义也可以简单描述为"三条边和三个角对应相等"。
2. 全等图形的表示：在表示全等图形时，通常使用符号"≌"或者"≡"，例如：△ABC≌△DEF。
3. 全等图形的记号：在表示全等图形时，通常将对应的顶点、线段等表示出来，比如△ABC≌△DEF，其中A对应D，B对应E，C对应F。
二、全等三角形1. 全等三角形的性质全等三角形的性质有以下几点：① 对应的角相等：在两个全等三角形中，对应的角是相等的。
② 对应的边相等：在两个全等三角形中，对应的边是相等的。
③ 全等三角形的充要条件：两个三角形全等的充分必要条件是它们的三对角相等。
2. 证明全等三角形的方法① SSS全等判定法：如果两个三角形的三条边分别相等，则这两个三角形全等。
② SAS全等判定法：如果两个三角形的一条边和夹角分别相等，则这两个三角形全等。
③ ASA全等判定法：如果两个三角形的两个角和其中一条边分别相等，则这两个三角形全等。
④ AAS全等判定法：如果两个三角形的两个角和其中一条边分别相等，则这两个三角形全等。
3. 全等三角形的应用全等三角形的性质和判定法在几何学中有着广泛的应用，比如用于证明定理、解题、构造等方面。
在实际应用中需要根据具体的图形条件和问题要求来选择合适的方法。
三、全等四边形1. 全等四边形的性质全等四边形的性质有以下几点：① 对应的角相等：在两个全等四边形中，对应的角是相等的。
② 对应的边相等：在两个全等四边形中，对应的边是相等的。
③ 对角相等的四边形可能不全等：两个四边形如果只是对角相等，并不能断定它们全等。
2. 证明全等四边形的方法与三角形类似，全等四边形的判定法也有几种：① 全等的两个对边都相等。
② 三边一角和两边相邻的两个角全等。
4.2 图形的全等课件
D O
C
⑶.找出对应角,它们有什么关系？ (口答) = B _________ = C ∠A 和∠ ，∠D 和∠ 对应角：________
∠ DOA 和∠ ______________ = COB ⑷.如果∠A=35°，∠D=75°，那么 70° ∠COB=____
A
图1
A C
B
2、如图2，如果△ADE ≌ △CBF，那么AE∥CF吗？ D B 是 ___ (口答“是”或“不是”)
在两个全等三角形中，对应角的对边是对应边，对应边 的对角是对应角。
在两个全等三角形中公共角是对应角，公共边是对应边。 在两个全等三角形中（不等边），相等的角是对应角， 相等的边是对应边。 在两个全等三角形中，一对最长的边是对应边，一对最 短的边是对应边。一对最大的角是对应角，一对最小 的角也是对应角。
15
2.几种常见的全等三角形基本图形
A D
B
C
E
F
平移
D
A D
A E B C F
B E C F
16
2.几种常见的全等三角形基本图形
E D
E
A
A
B
D
C
B C
旋转
17
2.几种常见的全等三角形基本图形
A E B C D
A E B O D C
翻折
A
A
D
A
B
C
B C D E
B
C
D
18
确定对应边、对应角的方法
11
A1
A1
B1
C1
B1
C1
定义：能够完全重合的两个三角形称为全等三角形。 记作：△ABC≌△A1B1C1 注：记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点 的字母写在对应的位置上。
13-1图形的全等
13章1课观察下列各组中的图形，想一想它们都有怎样的关系？））））知识点1：全等图形的定义两个能完全重合的图形称为全等图形。
经过旋转或翻折后能完全重合的图形是全等图形。
A B CA B C全等，表示为ABC≌'''ABC与'''ABC≌DEF，其中：互相重合的顶点叫作对应D，B对应E，C对应F；互相重合的边叫作对应边，AC与DF，BC与EF分别对应；对应∠D，∠B对应∠E，∠C对应∠：全等三角形的性质全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等如下图所示的图形属于翻折型，它们的特点是可沿某一直线翻折，直线两旁的部分能完全重合，如下图①②所示的图形属于旋转型，它们可看成是绕三角形的某一个顶点旋转一定的角度所构成的，故一般有一对相等的角隐含在对顶角，某些角的和或差中。
）全等三角形对应边的寻找方法：①全等三角形的对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；题型一：全等图形的识别【例1】指出下列所示图形中，哪些是全等图形？题型二：全等图形的性质1】对于两个图形，给出下列结论：（1）两个图形的周长相等；个图形的周长、面积都相等；（4）两个图形的形状相同，面积也相同。
其中能得到这两个图形D】每个图形都有两个三角形全等。
根据已知条件，写出其余相等的对应边和对应角。
A题型四：全等三角形性质2】如图，已知△3】如右图，在题型五：图形分割问题1】（1）将一个张方形分成两个全等的图形（至少用三种方法）一．选择题（共A. C. D.∆≅∆，ABABC DEFA.点A一．选择题（共A. C. D.三、解答题（共3小题）'''∆≅A B CABC一．选择题（共1、下列说法：A.A.30B.45A.100︒、如图，ABO CDO∆≅∆，点一个三角形的三条边的长分别是11 / 11。
证明全等的五种方法
证明全等的五种方法全等是几何中的一个重要概念，指的是两个图形在形状和大小上完全相同。
在证明两个图形全等时，通常可以使用以下五种方法：SAS、ASA、SSS、AAS和HL。
下面将分别介绍这五种方法的原理和应用。
1. SAS（边-角-边）SAS是三角形全等的一个重要准则，它表示如果两个三角形的两边和夹角分别相等，则这两个三角形全等。
具体地，如果在两个三角形ABC和DEF中，AB=DE，AC=DF，且∠BAC=∠EDF，则可以得出三角形ABC≌DEF。
这种方法常用于证明两个三角形全等的情况。
2. ASA（角-边-角）ASA也是三角形全等的一个重要准则，它表示如果两个三角形的两个角和夹边分别相等，则这两个三角形全等。
具体地，如果在两个三角形ABC和DEF中，∠BAC=∠EDF，∠ABC=∠DEF，且BC=EF，则可以得出三角形ABC≌DEF。
这种方法常用于证明两个三角形全等的情况。
3. SSS（边-边-边）SSS是三角形全等的一个重要准则，它表示如果两个三角形的三条边分别相等，则这两个三角形全等。
具体地，如果在两个三角形ABC和DEF中，AB=DE，BC=EF，且AC=DF，则可以得出三角形A BC≌DEF。
这种方法常用于证明两个三角形全等的情况。
4. AAS（角-角-边）AAS是三角形全等的一个重要准则，它表示如果两个三角形的两个角和非夹边的对边的夹角分别相等，则这两个三角形全等。
具体地，如果在两个三角形ABC和DEF中，∠BAC=∠EDF，∠ABC=∠DEF，且BC=EF，则可以得出三角形ABC≌DEF。
这种方法常用于证明两个三角形全等的情况。
5. HL（斜边-斜边-直角边）HL是直角三角形全等的一个重要准则，它表示如果两个直角三角形的一条斜边和直角边分别相等，则这两个直角三角形全等。
具体地，如果在两个直角三角形ABC和DEF中，AB=DE，且∠BAC=∠EDF，则可以得出直角三角形ABC≌DEF。
图形的全等
初一一班赵天爱21（一）全等的概念能够完全重合的两个图形叫做全等图形（二）表示方法：ABC≌△A′B′C′（三）图形全等一、点的全等：∵点无大小。
∴所有点满足全等。
二、线的全等①直线：∵直线无端点，可无限延伸。
∴所有直线满足全等。
②射线：∵射线可无限延伸。
∴所有射线满足全等。
③线段：线段两端点间距离（线段长度）相等，则这两条线段满足全等。
三、角的全等：∵角的边是射线，可无限延伸。
∴角度一样则全等。
四、三角形的全等：【A是英文角的缩写(angle)，S是英文边的缩写(side)。
】三角形全等需要什么条件？我们做了一些猜想，并一一证明。
【反例②】【反例⑥】五、中线、高线、角平分线的长度与三角形全等的关系。
1、关于中线①②③④⑤⑥⑦⑧⑨3、关于高线①②③④⑤⑥⑦⑧⑨①1、⑧证明已知：如图：Ｄ为ＡＢ中点，Ｄ＇为Ａ＇Ｂ＇中点，AB=A ’B ’,AC=A ’C ’,AD=A ’D ’ 求证：△ABC ≌△A ’B ’C’证明：延长AD至E ，使DE=AD,延长A ’D ’至E ’使D ’E ’=A ’D ’②③④⑤⑥⑦⑧⑨B∵AE,BC交于D,A’E’,Ｂ＇Ｃ＇交于Ｄ＇∴∠１＝∠２，∠３＝∠４∵Ｄ，Ｄ＇分别为ＡＢ，Ａ＇Ｂ＇中点∴ＢＤ＝ＤＣ，ＢＤ＝Ｂ＇Ｄ＇∠１＝∠２∵△ＡＢＤ，△ＥＣＤ中ＢＤ＝ＤＣＤＥ＝ＡＤ∴△ＡＢＤ≌△ＥＣＤ同理：△Ａ＇Ｂ＇Ｄ＇≌△Ｅ＇Ｃ＇Ｄ＇∠５＝∠６，∠７＝∠８ＡＢ＝ＣＥ，Ａ＇Ｂ＇＝Ｃ＇Ｅ＇ＡＣ＝Ａ＇Ｃ＇∵△ＡＣＥ，△Ａ＇Ｃ＇Ｅ＇中ＡＥ＝Ａ＇Ｅ＇ＣＥ＝Ｃ＇Ｅ＇∴△ＡＣＥ≌△Ａ＇Ｃ＇Ｅ＇∴∠７＝∠５，∠９＝∠１０∠ＣＡＢ＝∠Ｃ＇Ａ＇Ｂ＇∴△ABC，△A’B’C’中ＡＢ＝Ａ＇Ｂ＇ＡＣ＝Ａ＇Ｃ＇∴△ABC≌△A’B’C’∴命题成立1、⑨证明已知：ＡＢ＝Ａ＇Ｂ＇，ＢＣ＝Ｂ＇Ｃ＇，ＡＤ＝Ａ＇Ｄ＇，Ｄ，Ｄ＇分别为ＢＣ，Ｂ＇Ｃ＇中点。
求证：△ABC≌△A’B’C’证明：∵Ｄ，Ｄ＇为ＢＣ，Ｂ＇Ｃ＇中点，且ＢＣ＝Ｂ＇Ｃ∴BD=B’D’ＡＢ＝Ａ＇Ｂ＇∴△ＡＢＤ，△ＥＣＤ中BD=B’D’ＡＤ＝Ａ＇Ｄ＇∴△ＡＢＤ≌△ＥＣＤＢＣ＝Ｂ＇Ｃ＇∴△ABC≌△A’B’C’中ＡＢ＝Ａ＇Ｂ＇∠B=∠B’∴△ABC≌△A’B’C’∴命题成立2、⑧证明已知如图：∠A=∠A ’,∠B=∠B ’,D,D’分别平分∠ACB, ∠A ’C ’B ’ 求证：△ABC ≌△A ’B ’C ’ 证明:∵A=∠A ’,∠B=∠B ’ ∴∠ACB=∠A ’C ’B ’∵D,D’分别平分∠ACB, ∠A ’C ’B ’ ∴∠１＝∠２，∠３＝∠４A=∠A’ ∵△ADC,△A ’D ’C ’中 ∠２=∠３CD=C’D’∴△ADC ≌△A ’D ’C ’ AC=A’C’∴△ABC,△A ’B ’C ’中 A=∠A ’∠B=∠B ’∴△ABC ≌△A ’B ’C ’∴命题成立2、⑨证明已知如图：∠ABC=∠A’B’C’, ∠B=∠B’,CD=C’D’,CD,C’D’分别平分∠ACB, ∠A’C’B’ 求证：△ABC ≌△A ’B ’C ’ ∵∠ABC=∠A’B’C’, ∠B=∠B’ ∴∠A=∠A’∴∠１＝∠２，∠３＝∠４∠A=∠A’∵△ADC,△A ’D ’C ’中 ∠２＝∠４CD=C’D’∴△ADC ≌△A ’D ’C ’AC=A’C’ ∴△ABC,△A’B’C’中 ∠ABC=∠A’B’C’ ∠B=∠B’∴△ABC ≌△A’B’C’∴命题成立3、⑧反例△ABC 为等腰三角形将其用AD 分为△ABD 、△ADC 则两三角形AD 边相等AC=AB 高AE 相等而两三角形不全等。
图形的全等
1.图形的全等 一、知识点梳理 1.全等图形：能够完全重合的两个图形叫全等图形。
（形状、大小都相同）2. 全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等；面积相等，周长相等；对应线段（高线、中线、角平分线）相等。
3. 全等三角形的判定方法：①“边、角、边”（或SAS ）定理； ②“角、边、角”（或ASA ）定理； ③“角、角、边”（或AAS ）定理； ④“边、边、边”（或SSS ）定理； ⑤ “斜边、直角边”（或HL ）定理． 4.证明三角形全等的思路：(ASA)(AAS)⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎧⎪⎪⎧⎪⎪⎨⎨⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎪⎪⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎩找夹角已知两边找直角找另一边边为角的对边找任一角找夹角的另一边已知一边一角边为角的邻边找夹边的另一角找边的对角找夹边已知两角找任一边(SAS)(HL)(SSS) (AAS)(SAS)(ASA)(AAS) 5.全等三角形的常见模型：（1）平移型 2）对称型（3）旋转型二、例题精讲：例1．如图1，ABC △是不等边三角形，DE BC =，以D ，E 为两个顶点作位置不同的三角形，使所作三角形与ABC △全等，这样的三角形最多可以画出（ ）A ．2个B ．4个C ．6个D ．8个例2．（1）如图2，已知AB ＝AD ，∠1＝∠2，要使△ABC ≌△ADE ，还需添加的条件是（只需填一个） ．（2）已知：如图3，点C 、D 在线段AB 上，PC=PD ．请你添加一个条件是图中存在全等三角形，并给予证明． 所添条件为 ，你得到的一对全等三角形为 ．AB C DE图1ABCDE12图2B图3例3．已知：如图4，△OAD ≌△OBC ，且∠O ＝70°，∠C ＝25°，则∠AEB ＝________度.例4．某校学生到野外活动，为测量一池塘两端A 、B 的距离，设计了如下方案： （1）如图5（1）先在平地取一个可以直接到达A 、B 的点C ，可连结AC 、BC ，并延长AC 到D 、BC 到E ，使DC=AC ，EC=BC ，最后测出DE 的距离即为AB 之长。
图形的全等(精讲)
4.2 图形的全等全等形形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合.能够完全重合的两个图形叫做全等形.注意：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等.两个全等形的周长相等，面积相等.题型1：全等图形的定义1.下列图形中，是全等图形的是（）A．B．C．D．【变式1-1】下列叙述中错误的是（）A．能够完全重合的图形称为全等图形B．全等图形的形状和大小都相同C．所有正方形都是全等图形D．形状和大小都相同的两个图形是全等图形【变式1-2】下列四个图形中，有两个全等的图形，它们是（）A．①和②B．①和③C．②和④D．③和④全等三角形能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.要素：对应顶点，对应边，对应角1. 对应顶点，对应边，对应角定义两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角.2. 找对应边、对应角的方法（1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；（2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角；（3）有公共边的，公共边是对应边；（4）有公共角的，公共角是对应角；（5）有对顶角的，对顶角一定是对应角；（6）两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（或角），一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角），等等.注意：在写两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应位置上，这样容易找出对应边、对应角.如下图，△ABC与△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，其中点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点；AB和DE，BC和EF，AC和DF是对应边；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是对应角.题型2：全等三角形与对应元素2.已知：如图，△ABD与△CDB全等，△ABD＝△CDB，写出其余的对应角和各对对应边．【变式2-1】如图，△ABN△△ACM，∠B和∠C是对应角，AB和AC是对应边，则下列结论中一定成立的是（）A．∠BAM=∠MAN B．AM=CN C．∠BAM=∠ABM D．AM=AN【变式2-2】如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则△1的度数是（）A．115°B．65°C．40°D．25°全等三角形的性质全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等.注意：全等三角形对应边上的高相等，对应边上的中线相等，周长相等，面积相等.全等三角形的性质是今后研究其它全等图形的重要工具.题型3：全等三角形的性质3.下列说法错误的是（）A．全等三角形的对应高相等B．全等三角形的对应中线相等C．全等三角形对应的角平分线相等D．所有的等边三角形都全等【变式3-1】如图，已知△ABD△△ACE．求证：BE=CD．【变式3-2】如图，已知△ABC△△DEF，△A=32°，△B=48°，BF=3，求△DFE的度数和EC的长．题型4：全等三角形的性质与直线位置关系4.如图所示，△ADF△ △CBE，且点E，B，D，F在一条直线上，判断AD与BC的位置关系．【变式4-1】在讲完全等三角形后，教数学的王老师布置了一道数学题：如图所示，已知△ABC≅△ADE，其中∠CAE=38°，∠C=52°，则DE与AC有何位置关系？请说明理由．【变式4-2】如图，已知△ABF△△DEC，说明AC△DF成立的理由．题型5：全等三角形的性质与求角度5.如图，若△OAD△△OBC，且△0=65°，△BEA=135°，求△C的度数．【变式5-1】如图，△ABC△△ADE，且△CAD=10°，△B=△D=25°，△EAB=120°，求△DFB和△DGB的度数．【变式5-2】如图所示，△ABC△△ADE，BC的延长线过点E，△ACB=△AED=105º,△B=50º,△CAD=10°，求出△DEF的度数.题型6：全等三角形的性质与探究性问题6.如图，已知△ABC中，AB＝AC＝24厘米，△ABC＝△ACB，BC＝16厘米，点D为AB的中点.如果点P在线段BC上以4厘米/秒的速度由B点向C点运动.同时，点Q在线段CA上由C点以a厘米/秒的速度向A点运动.设运动的时间为t秒.（1）直接写出：①BD＝厘米；②BP＝厘米；③CP＝厘米；④CQ＝厘米；（可用含t、a的代数式表示）（2）若以D，B，P为顶点的三角形和以P，C，Q为顶点的三角形全等，试求a、t的值.【变式6-1】如图，点A，B，C在同一直线上，点E在BD上，且△ABD≅△EBC．（1）求证：AC⊥BD；（2）判断直线AD与直线CE的位置关系，并说明理由．【变式6-2】如图，在△ABC中，BC=8cm，AG//BC，AG=8cm，点F从点B出发，沿线段BC以4cm/s的速度连续做往返运动，点E从点A出发沿线段AG以2cm/s的速度运动至点G，E、F两点同时出发，当点E到达点G时，E、F两点同时停止运动，EF与AC交于点D，设点E的运动时间为t（秒）（1）分别写出当0<t<2和2<t<4时线段BF的长度（用含t的代数式表示）（2）当BF=AE时，求t的值；（3）当△ADE≌△CDF时，直接写出所有满足条件的t值.【变式6-3】如图，A，D，E三点在同一直线上，且△BAD≌△ACE.（1）你能说明BD、DE、CE之间的数量关系吗? （2）请你猜想△ABD满足什么条件时，BD//CE.。
图形全等知识点
图形全等是几何学中的一个重要概念，它指的是两个或多个图形在形状和大小上完全相同。
图形全等是几何学中的基础，它在解决问题和证明定理时起着重要的作用。
本文将介绍图形全等的定义、判定方法和相关定理。
一、图形全等的定义图形全等是指两个或多个图形在形状和大小上完全相同。
这意味着它们的所有对应的边和角都相等，并且可以通过平移、旋转和翻转等变换方式重合在一起。
二、图形全等的判定方法确定两个图形是否全等可以通过以下几种方法来判定：1.边-边-边全等判定法（SSS判定法）：如果两个三角形的三条边分别相等，则它们全等。
2.边-角-边全等判定法（SAS判定法）：如果两个三角形的一条边和与其相邻的两个角分别相等，则它们全等。
3.角-边-角全等判定法（ASA判定法）：如果两个三角形的两个角和它们夹着的一条边分别相等，则它们全等。
4.直角三角形的判定法：如果两个直角三角形的一个锐角和斜边分别相等，则它们全等。
5.全等多边形的判定法：如果两个多边形的对应的边和对应的角都相等，则它们全等。
三、图形全等的相关定理在图形全等的基础上，有一些定理可以用于解决问题或证明其他定理。
以下是一些常见的图形全等定理：1.全等三角形的对应部分全等定理：如果两个三角形全等，则它们的对应的边和对应的角都相等。
2.等腰三角形的全等定理：如果两个等腰三角形的底边和底角分别相等，则它们全等。
3.直角三角形的全等定理：如果两个直角三角形的斜边和一个锐角分别相等，则它们全等。
4.正方形的全等定理：如果两个正方形的边长分别相等，则它们全等。
5.矩形的全等定理：如果两个矩形的高和宽分别相等，则它们全等。
四、应用示例图形全等在解决实际问题中有着广泛的应用。
例如，在测量实地距离时，可以利用三角形的全等判定法来确定两个不可测量的距离。
另外，图形全等还能够用于证明其他几何定理，如相等角的性质和平行线的判定等。
五、总结图形全等是几何学中的重要概念，它指的是两个或多个图形在形状和大小上完全相同。
图形的全等、相似
图形的全等、相似一、全等三角形【知识点】1.“全等”的理解全等的图形必须满足：（1）形状相同的图形；（2）大小相等的图形；即能够完全重合的两个图形叫全等形。
同样我们把能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
全等三角形定义：能够完全重合的两个三角形称为全等三角形。
（注：全等三角形是相似三角形中的特殊情况）当两个三角形完全重合时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。
由此，可以得出：全等三角形的对应边相等，对应角相等。
（1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；（2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角；（3）有公共边的，公共边一定是对应边；（4）有公共角的，角一定是对应角；（5）有对顶角的，对顶角一定是对应角。
2.全等三角形的性质（1）全等三角形对应边相等；（2）全等三角形对应角相等。
3.全等三角形的判定方法（1）三边对应相等的两个三角形全等。
∵AB=A1B1，AC=A1C1，BC=B1C1∴△ABC≌△A1B1C1（SSS）（2）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。
∵∠B=∠B1，BC=B1C1，∠C=∠C1∴△ABC≌△A1B1C1（ASA）（3）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。
∵∠B=∠B1，∠A=∠A1，BC=B1C1∴△ABC≌△A1B1C1（AAS）（4）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。
∵AB=A1B1，∠A=∠A1，BC=B1C1∴△ABC≌△A1B1C1（SAS）（5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
∵∠C=∠C1=90°，AB=A1B1，BC=B1C1∴△ABC≌△A1B1C1（HL）4.角平分线的性质及判定性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
判定：到一个角的两边距离相等的点在这个角平分线上。
5.线段垂直平分线的性质及判定性质：线段平分线上的点到线段两端点的距离相等。
图形的全等
通过比较四边形的对角线相等且互相平分，判 定四边形是平行四边形。
计算几何图形的周长和面积
3
通过全等变换可以计算几何图形的周长和面积 。
在建筑设计中的应用
设计对称建筑
建筑设计中使用全等图形可以设计出对称、美观的建筑。
建筑物的变形
在建筑物设计中可以通过全等变换将建筑物进行变形，使建 筑物更加美观。
步骤
首先，需要找到两个图形中的对应 点、对应边和对应角。然后，通过 对应点、对应边和对应角来证明两 个图形全等。
找出全等的两个图形
总结词
通过观察和识别，可以找出全等的两个图形。
方法
观察两个图形的形状和大小，判断它们是否完全相同。如果形状和大小都相同， 那么这两个图形就是全等的。
利用全等设计图案
总结词
图形的全等
xx年xx月xx日
目录
• 定义和性质 • 判别方法 • 实际应用 • 练习题
01
定义和性质
什么是图形的全等
图形全等是指两个图形形状、大小完全相同，即任意一对对 应点到对称轴的距离都相等。
全等图形可以是相似图形的特殊情况，但相似图形不一定是 全等图形。
图形的全等和相似性的关系
全等图形一定是相 似图形，相似图形 不一定是全等图形 。
常用的测量工具包括直尺、圆规、量角器等。
利用计算器进行测量和验证
利用计算器可以精确地测量长度、角度等几何量，并通过计 算器验证两个图形是否全等。
需要注意的是，由于计算器精度有限，测量结果可能存在误 差。因此，在验证全等时，还需要借助其他方法。
03
实际应用
在几何中的应用
1 2
证明两个三角形全等
通过比较三角形的边和角，使用SSS、SAS、 ASA等定理来证明两个三角形全等。
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A
“全等”符号： “ ≌”
D
B
C
E
F
通常把对应的 顶点字母写在 对应位置上
如上图：△ABC 与△DEF全等 则记作△ABC≌△DEF
仔细观察,再用全等符号表示下列两组 全等三角形.
A C O O
M
S
B
D N T
△AOB≌ △DOC △OAB≌ △ODC
△MON≌ △SOT
全等三角形的对应边相等，对应角相等。 A D
仅从△AMC≌△BMD能正确找出所有的对应元素吗？ 在图上又是怎样找对应元素的呢？
在图上找全等三角形的对应边
A B D C A C B F D
E
有公共边的，公共边是对应边. 一对最长的边是对应边，一对最短的边 是对应边.
在图上找全等三角形的对应角
C E
A
C
A
D B D
O
B
有公共角的，公共角是对应角. 有对顶角的，对顶角是对应角. 最大角与最大角（最小角与最小角） 为对应角。
沿图形中的虚线，分别把下面图形划分为两个 全等图形（至少找出两种方法）
画法
A
D
B
C E
F
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
A
D
B
C
E
F
对应顶点：点A和点A1，点B和点B1，点C和点C1，
对应边：AB和A1B1，AC 和A1C1，BC 和 B1C1
对应角:∠A
和 1，∠B ∠A
和∠B1，∠C 和 1 ∠C
B C E F 对应顶点：点A和点D，点B和点E，点C和点F， 对应边：AB和 DE，AC 和 DF，BC 和EF = = = 对应角：∠A和 = ∠D， ∠B 和 ， ∠C 和∠F = ∠E =
全等三角形性质：
A D
B
C E ∵△ABC≌△DEF ∴AB=DE、BC=EF、CA=FD ∠A=∠D、 ∠B=∠E、 ∠C=∠F
C E
A
D B
已知：如图1两三角形全等
1、请用数学符号表示出这种关系： ________________ 2、如果∠A=35°，∠D=75°， 那么∠COB=____
如图2，如果△ADE ≌ △CBF，那么AE∥CF吗？
A C
D
B
E
F
___ (口答“是”或“不是”)
现有两个全等的三角形纸板。请你 们摆出二者可能的位置关系，看哪 个小组摆的多。 A A1
1、什么是全等图形、全等三角形、全等三角形的 对应顶点、对应边、对应角? 2、表示三角形全等时应注意什么？ 3、识别全等三角形的对应边、对应角的关键是正确
识别它们的对应顶点。
4、注意在数学中常常通过平移、旋转或翻折这三种图形
变换方式，识别全等三角形。
思考：
面积相等的两个三角形是全等三角形吗？
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寻找对应边、对应角的方法
1. 在表达式上找：利用字母的对应位置来确定
对应边和对应角。
2．在图上找：特殊的边和特殊的角
3. 对应边所所示
练一练,我能行!
1、若△MNP≌△NMQ,且MN=8,NP=7,PM=6, 则MQ的长为______. 7
DC 2、如下图,△ADC≌△AEB,则EB=_____, ∠BEA AD CE AE=____,BD=____,∠CDA=_______.
④
⑤
d
e
全等图形的特征
全等图形的形状和大小都相同
1.下列说法正确的是（ C ） A.两个面积相等的图形一定是全等图形 B.两个等边三角形是全等图形 C.两个全等图形的面积一定相等 D.两个正方形一定是全等图形
考查知识点：全等图形的特征
2.对于两个全等图形,下列结论: (1)两个图形的周长相等; (2)两个图形的面积相等; (3)两个图形的周长和面积都相等; (4)两个图形的形状相同,面积相等 其中能成立的有（D） A．1个 B.2个 C.3个 D.4个
B
C
B1
C1
如图,点B,C,E在同一直线上, 若△ABC≌△EFC,且CF=3cm,∠EFC=64° ,则BC=_____cm,∠B=_____. 3 64°
A
你还能求出哪些边的长度,
哪些角的度数?
F
B
C
E
C
练习
A
D
1
A C E
E
B
B
F D
1、如图，已知△ABD≌△ACE， 且∠1=45°,∠ADB=95°,则 ∠AEC= 95° ∠C= 50° . 2、如右图，已知△ABC≌△DFE， 且AC与DE是对应边，若BE=14CM， FC=4CM，则BC=9CM .
形状相同，大小也相同。
能够完全重合的两个图形叫 做全等图形
(1)
判断两个图形全等的 方法
方法一：根据图形的形 状和大小是否相同来进 行判定 方法二：把一个图形平 移、旋转或翻折，看它 是否与另一个图形重合。
A A D
(2)
(3)
C B
(4)
O
把全等图形用线连 起来：
① ② ③ a b c
F
全等三角形的对应边相等，对应角相等
判断题: ①全等三角形的对应边相等,对应角相等. (√ ) ②全等三角形的周长相等. (√) ③全等三角形的面积相等. (√) ④面积相等的三角形是全等三角形. ( × )
已知△AMC≌△BMD,请找出所 有对应顶点、对应边和对应 角。 说一说，你是怎样找这些对 应元素的？