图的连通性判断

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图的连通性判断算法的时间复杂度

图的连通性判断算法的时间复杂度

图的连通性判断算法的时间复杂度图是数学中一种常见的数据结构,在计算机科学中也有广泛的应用。

图由节点(顶点)和边组成,表示了不同元素之间的关系。

在图中,如果每个节点都可以通过路径相互到达,则该图被称为连通图,否则被称为非连通图。

图的连通性判断算法指的是判断给定的图是否是连通图的问题。

常见的图的连通性判断算法包括深度优先搜索(DFS)和广度优先搜索(BFS)算法。

接下来,将分别介绍这两种算法,并分析它们的时间复杂度。

一、深度优先搜索(DFS)算法深度优先搜索算法是一种递归的算法,通过访问节点的方式来遍历整个图。

DFS算法首先选择一个节点作为起始节点,然后通过递归地访问与该节点相邻的节点,直到没有未访问过的节点。

如果所有的节点都被访问过,则图是连通的;否则,图是非连通的。

DFS算法的时间复杂度取决于图的大小和结构。

假设图有n个节点和m条边,那么DFS算法的时间复杂度为O(n + m)。

在最坏的情况下,每个节点都需要被访问一次,并且每个节点都需要遍历它的所有相邻节点。

二、广度优先搜索(BFS)算法广度优先搜索算法是一种迭代的算法,通过按层级的方式遍历整个图。

BFS算法首先选择一个节点作为起始节点,然后按照从起始节点开始的顺序,依次访问每个节点的所有相邻节点。

通过不断扩展搜索的范围,直到所有节点都被访问过。

如果所有的节点都被访问过,则图是连通的;否则,图是非连通的。

BFS算法的时间复杂度也取决于图的大小和结构。

假设图有n个节点和m条边,那么BFS算法的时间复杂度为O(n + m)。

在最坏的情况下,每个节点都需要被访问一次,并且每次访问时都需要遍历其所有相邻节点。

总结:图的连通性判断算法的时间复杂度分别为O(n + m)的DFS算法和BFS算法。

其中,n表示图的节点数,m表示图的边数。

这两种算法在连通性判断问题上表现良好,并且可以在较短的时间内找到问题的解答。

需要注意的是,虽然DFS和BFS可以用于判断图的连通性,但它们在处理大规模图时可能存在效率问题。

图的连通性判断(并查集+Bfs+Dfs+Floyd)

图的连通性判断(并查集+Bfs+Dfs+Floyd)

图的连通性判断(并查集+Bfs+Dfs+Floyd)有向图的连通性检查共4种⽅法,并查集性能最⾼,代码也短,优先推荐:⼀、并查集#include <bits/stdc++.h>using namespace std;const int N = 1010; //图的最⼤点数量/**共提供两组数据,样例1为不连通⽤例,样例2为连通⽤例样例1:不连通,5号结点为独⽴的5 41 22 33 41 4样例2:连通,不存在独⽴结点5 41 22 33 41 5检测各种算法是否能准确获取结果*/int n; //n个⼈int m; //m个亲戚int p; //询问p对亲戚关系int x, y; //输⼊两个⼈之间的关系int fa[N]; //并查集数组//要深⼊理解这个递归并压缩的过程int find(int x) {if (fa[x] != x)//如果x不是族长,递归找⽗亲,副产品就是找回的结果更新掉⾃⼰的家族信息。

fa[x] = find(fa[x]);//⾮常经典的更新,路径压缩⼤法!//返回族长是谁return fa[x];}//加⼊家族集合中void join(int c1, int c2) {int f1 = find(c1), f2 = find(c2);if (f1 != f2)fa[f1] = f2;//各⾃找家长,如果家长不⼀样,就把C1的族长,认C2的族长为爸爸,C1的族长强烈表⽰不满意}int cnt;int main() {//n个⼈员,m个关系cin >> n >> m;//并查集初始化for (int i = 1; i <= n; i++)fa[i] = i; //⾃⼰是⾃⼰的⽼⼤//录⼊m种关系,使⽤并查集来判断图的连通性for (int i = 1; i <= m; i++) {cin >> x >> y;//加⼊并查集join(x, y);}//图已经搭好了,接下来看它们根节点是否相同,如只有⼀个相同的根节点,则说明是⼀个连通图for (int i = 1; i <= n; i++) if (fa[i] == i)cnt++;if (cnt == 1)printf("图是连通的\n");else printf("图不是连通的\n");return 0;}⼆、dfs#include <bits/stdc++.h>using namespace std;const int N = 1010; //图的最⼤点数量struct Edge { //记录边的终点,边权的结构体int to; //终点int value; //边权};int n, m; //表⽰图中有n个点,m条边vector<Edge> p[N]; //使⽤vector的邻接表/**共提供两组数据,样例1为不连通⽤例,样例2为连通⽤例样例1:不连通,5号结点为独⽴的5 41 22 33 41 4样例2:连通,不存在独⽴结点5 41 22 33 41 5检测各种算法是否能准确获取结果*/bool st[N];int cnt;//深度遍历void dfs(int u) {st[u] = true;cnt++;//多⾛了⼀个结点for (int i = 0; i < p[u].size(); i++) {int x = p[u][i].to;if (!st[x]) dfs(x);}}int main() {//采⽤邻接表建图cin >> n >> m;//m条边for (int i = 1; i <= m; i++) {int u, v;cin >> u >> v;p[u].push_back({v, 1});//因本题不需要权值,默认权值为1 }//利⽤dfs进⾏检查是不是强连通的dfs(1);if (cnt == n) printf("图是连通的\n");else printf("图不是连通的\n");return 0;}三、bfs#include <bits/stdc++.h>using namespace std;const int N = 1010; //图的最⼤点数量struct Edge { //记录边的终点,边权的结构体int to; //终点int value; //边权};int n, m; //表⽰图中有n个点,m条边vector<Edge> p[N]; //使⽤vector的邻接表/**共提供两组数据,样例1为不连通⽤例,样例2为连通⽤例样例1:不连通,5号结点为独⽴的5 41 22 33 41 4样例2:连通,不存在独⽴结点5 41 22 33 41 5检测各种算法是否能准确获取结果*/bool st[N];int cnt;int main() {//采⽤邻接表建图cin >> n >> m;//m条边for (int i = 1; i <= m; i++) {int u, v;cin >> u >> v;p[u].push_back({v, 1});//因本题不需要权值,默认权值为1 }//利⽤bfs进⾏检查是不是强连通的//把1号结点放⼊队列queue<int> q;q.push(1);while (!q.empty()) {int u = q.front();q.pop();st[u] = true;cnt++;for (int i = 0; i < p[u].size(); i++) {int x = p[u][i].to;if (!st[x]) q.push(x);}}if (cnt == n) printf("图是连通的\n");else printf("图不是连通的\n");return 0;}四、floyd#include <bits/stdc++.h>using namespace std;const int N = 1010; //图的最⼤点数量int n, m;/**共提供两组数据,样例1为不连通⽤例,样例2为连通⽤例样例1:不连通,5号结点为独⽴的5 41 22 33 41 4样例2:连通,不存在独⽴结点5 41 22 33 41 5检测各种算法是否能准确获取结果*///⽤floyd来判断起点是否可以达到终点int dis[N][N]; //邻接矩阵void floyd() {for (int k = 1; k <= n; k++)for (int i = 1; i <= n; i++)for (int j = 1; j <= n; j++)dis[i][j] = dis[i][j] || (dis[i][k] && dis[k][j]);}int main() {//采⽤邻接矩阵建图cin >> n >> m;//m条边for (int i = 1; i <= m; i++) {int u, v;cin >> u >> v;//双向建边dis[u][v] = 1;dis[v][u] = 1;}//调⽤floydfloyd();for (int i = 1; i <= n; i++)for (int j = 1; j <= n; j++)if (!dis[i][j]) {printf("图不是连通的\n");cout << i << " " << j << endl;exit(0);}printf("图是连通的\n");return 0;}。

图连通性算法及应用

图连通性算法及应用

图连通性算法及应用图是计算机科学领域中常见的数据结构,用于表示对象之间的关系。

在图论中,图的连通性是一个重要的概念,指的是在图中任意两个顶点之间是否存在路径。

图连通性算法是为了判断图中的连通性而设计的算法,并且在实际应用中有着广泛的应用。

一、连通性的定义与分类在图论中,连通性有两种常见的定义方式:强连通性和弱连通性。

强连通性是指在有向图中,任意两个顶点之间存在互相可达的路径;弱连通性是指在有向图中,将其所有有向边的方向忽略后,剩下的无向图是连通的。

本文将重点介绍无向图的连通性算法及其应用。

二、连通性算法的原理1. 深度优先搜索(DFS)深度优先搜索是最常用的连通性算法之一。

它从图中的一个顶点开始,沿着一条未访问过的边深入图中的下一个顶点,直到无法深入为止,然后回溯至上一个顶点,继续深入其他未访问过的顶点。

通过深度优先搜索算法,我们可以得到一个图的连通分量,从而判断图是否连通。

2. 广度优先搜索(BFS)广度优先搜索同样是常用的连通性算法之一。

它从图中的一个顶点开始,沿着一条未访问过的边遍历与该顶点直接相邻的所有顶点,然后再以这些相邻顶点为起点,继续遍历它们的相邻顶点,直到遍历完所有连通的顶点。

通过广度优先搜索算法,我们可以得到一个图的层次遍历树,从而判断图是否连通。

三、连通性算法的应用1. 社交网络分析在社交网络分析中,连通性算法可以用来判断一个社交网络中是否存在分割成多个互不相连的社群。

通过判断社交网络的连通性,我们可以发现隐藏在社交网络背后的关系网络,从而更好地理解和分析社会关系。

2. 网络路由优化在计算机网络中,连通性算法可以用来判断网络节点之间的连通性。

通过分析网络的拓扑结构,我们可以选择合适的路由算法,从而实现快速且可靠的数据传输。

3. 图像分割在计算机视觉和图像处理中,连通性算法可以用来判断图像中的连通区域。

通过判断图像的连通性,我们可以对图像进行分割和提取,从而实现目标检测和图像识别等应用。

一笔画问题的判定法则

一笔画问题的判定法则

一笔画问题的判定法则
一笔画问题是一种经典的智力游戏,玩家需要用一笔连通所有的点,但不能重复经过同一个点。

在解决问题时,有一些判定法则可以帮助玩家更快地找到解答。

1. 判断顶点度数:顶点度数指的是一个点与多少条线段相连。

如果一个点的度数为奇数,则这个点必须作为起点或终点;如果一个点的度数为偶数,则这个点可以通行过去。

2. 判断连通性:判断图形是否连通是解决一笔画问题的关键。

如果图形不连通,则需要用多笔画才能将所有点连通。

而在连通的情况下,有些顶点是必须通过的,有些顶点则可以绕路绕开。

3. 判断欧拉路径和欧拉回路:欧拉路径指的是经过每条边一次的路径,而欧拉回路指的是在欧拉路径的基础上回到起点。

对于连通的无向图,如果存在欧拉路径,则所有点的度数均为偶数。

对于连通的有向图,如果存在欧拉路径,则所有点的入度等于出度。

4. 判断哈密顿回路:哈密顿回路指的是经过每个点一次的回路。

对于无向图,判断哈密顿回路可以使用Dirac定理:如果图中每个点的度数都大于等于n/2(n为顶点数),则图中存在哈密顿回路。

对于有向图,需要用到Ore定理:如果对于所有不相邻的点u和v,都有deg(u)+deg(v)>=n,则有向图存在哈密顿回路。

以上是几种判断一笔画问题的方法,不同的方法适用于不同的情况。

在实际解决问题时,可以根据具体情况选择合适的方法。

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离散数学中的图的连通性与欧拉路径问题

离散数学中的图的连通性与欧拉路径问题

离散数学中的图的连通性与欧拉路径问题图论是离散数学中的一个重要分支,研究对象是图。

图是由一组顶点和连接这些顶点的边组成的数学结构。

在图论中,连通性和欧拉路径问题是两个基本概念,对于理解和解决图相关的问题具有重要意义。

一、连通性在图论中,连通性是指图中任意两个顶点之间存在一条路径。

如果一个图中任意两个顶点都是连通的,则称该图是连通图;如果一个图不是连通图,那么它可以被分解为多个连通的子图,这些子图称为连通分量。

连通性在实际应用中具有广泛的应用。

例如,在社交网络中,连通性可以用来判断两个人之间是否存在关系链;在计算机网络中,连通性可以用来判断网络中的主机之间是否可以进行通信。

二、欧拉路径问题欧拉路径问题是图论中的一个经典问题,它要求找出一条路径,经过图中每条边一次且仅一次。

如果存在这样的路径,则称图具有欧拉路径。

欧拉路径问题有两种情况:1. 欧拉回路:如果存在一条路径,从起点出发,经过图中每条边恰好一次后回到起点,则称该图具有欧拉回路。

2. 半欧拉路径:如果存在一条路径,从起点出发,经过图中每条边恰好一次后到达终点,但不回到起点,则称该图具有半欧拉路径。

欧拉路径问题的解决方法有欧拉定理和深度优先搜索算法。

欧拉定理指出,一个连通图具有欧拉回路的充分必要条件是每个顶点的度数都是偶数;一个连通图具有半欧拉路径的充分必要条件是除了起点和终点外,其它顶点的度数都是偶数。

深度优先搜索算法(DFS)是一种用来遍历图或树的算法,它可以用来解决欧拉路径问题。

DFS从起点开始遍历图,当遍历到某个顶点时,选择一个未访问过的邻接顶点进行继续遍历,直到无法继续遍历为止。

通过DFS算法,可以找到图中的欧拉路径。

三、总结离散数学中的图的连通性与欧拉路径问题是图论中的两个基本概念。

连通性用来描述图中顶点之间的连接情况,欧拉路径问题则是要找出一条路径,经过图中每条边一次且仅一次。

这两个概念在实际应用中具有广泛的应用,对于理解和解决图相关的问题具有重要意义。

图论课件第三章图的连通性

图论课件第三章图的连通性

Bellman-Ford算法
总结词
Bellman-Ford算法是一种用于查找带权图中单源最短路径的算法。
详细描述
Bellman-Ford算法的基本思想是从源节点开始,通过不断更新节点之间的距离,逐步找到从源节点到 其他节点的最短路径。该算法可以处理带有负权重的边,并且在图中存在负权重环的情况下也能正确 处理。
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Floyd-Warshall算法
总结词
Floyd-Warshall算法是一种用于查找所有节点对之间最短路 径的动态规划算法。
详细描述
Floyd-Warshall算法的基本思想是通过动态规划的方式,逐 步构建最短路径矩阵。该算法首先初始化一个距离矩阵,然 后通过一系列的转移操作,逐步更新距离矩阵,直到找到所 有节点对之间的最短路径。
欧拉回路
总结词
欧拉回路是指一个路径的起点和终点是同一点,且经过图中的每条边且仅经过 一次的路径,并且该路径闭合。
详细描述
欧拉回路是欧拉路径的一种特殊情况,它不仅满足欧拉路径的所有条件,而且 起点和终点是同一点,形成一个闭合的路径。在图论中,欧拉回路具有重要的 应用价值。
欧拉回路的判定
总结词
判断一个图是否存在欧拉回路是一个NP 难问题,目前没有已知的多项式时间复 杂度的算法。
连通度
总结词
连通度是描述图中任意两点之间可达性的度量,表示图中节点之间的连接紧密程度。
详细描述
在图论中,连通度是衡量图连通性的一个重要参数。对于一个无向图,连通度通常用K表示,表 示图中任意两点之间是否存在路径。对于有向图,连通度分为入度和出度,分别表示从一个节 点到另一个节点是否存在路径和从另一个节点到这个节点是否存在路径。

判断图的强连通性

判断图的强连通性

判断图的强连通性一、判断一个n阶图的强连通性分以下3步骤:<1>根据图写出图的邻接矩阵(n * n)。

<2>依次计算邻接矩阵的2至(n-1)次方。

<3>观察得到的矩阵,若存在一点在每一个矩阵中都是0,则该点对应的两个顶点不存在通路,可得该图不是强连通图。

若任一点在这些图中存在至少一个不为0,则任意两点总存在通路,可得该图是强连通图。

(程序中将得到每个矩阵相加得到d矩阵,将d矩阵中所有不为“0”的元素置为“1”,再由顶点到顶点是连通的性质得到可达矩阵)。

二、用程序实现<2><3>两个步骤:源代码如下:#include<stdio.h>int main(){int x,i,j,k;printf("请输入图的顶点数:");scanf("%d",&x);int a[x][x],b[x][x],c[x][x],d[x][x];//a是图的邻接矩阵由d得出图的可达矩阵printf("请依次输入每行数据:\n");for(i = 0 ; i < x ; i++){for(j = 0 ; j < x ; j++){scanf("%d",&a[i][j]);b[i][j] = a[i][j];c[i][j] = a[i][j];d[i][j] = a[i][j];}getchar();}//依次求出a的2至x-1次方int t = 2;while(t < x){printf("A的%d次方:\n",t++);for(i = 0 ; i < x ; i++){for(j = 0 ; j < x ; j++){int sum = 0;for(k = 0 ;k < x ; k++){sum = sum + b[i][k] * a[k][j];}c[i][j] = sum;d[i][j] += c[i][j];printf("%d\t",c[i][j]);}printf("\n");}for(i= 0 ; i < x ; i ++)for(j = 0 ; j < x ; j++)b[i][j] = c[i][j];}//输出可达矩阵并判断是否为强连通图int flag = 1;printf("可达矩阵为:\n");for(i= 0 ; i < x ; i ++){for(j = 0 ; j < x ; j++){if(d[i][j] > 0 || i == j)printf("1\t");else{printf("0\t");flag = 0;}}printf("\n");}if(flag == 1)printf("由可达矩阵知此图是强连通图!\n");elseprintf("由可达矩阵知此图不是强连通图!\n");return 0;}实例测试:教材p127图5-13教材p125 图5-9(a)。

图的连通性

图的连通性

有向图中,极大强连通子图=强连通分量
G1的两个强连通分量 G1
V’是连通图G的一个顶点子集。在G中删去V’及与V’ 相关联的边后图不连通,则称V’是G的割顶集。 最小割顶集中顶点的个数,记成K(G),叫做G的连通度。
规定: K(完全图)=顶点数-1 K(不连通图)=K(平凡图)=0
K(G)=l时,割顶集中的那个顶点叫做割顶。 没有割顶的图叫做块,G中成块的极大子图叫做G的块。
LOW(U)值的计算步骤如下:
在算法执行中,对任何顶点U计算LOW(U)值是不断修改 的,只有当以U为根的dfs子树和后代的LOW值、dfn值产 生后才停止。
图中(7,1)应为(7,7)
如r被选为根,则r 成为割顶当且仅当 它有不止一个儿子 点。
顶点U的标号函数LOW(U): LOW(U)=min{dfn(),LOW(s),dfn(W)} 其中:S是U的一个儿子,(U,W)是后向边
LOW(U)是U或U的后代所能追溯到的最早 (序号小)的祖先结点序号。
顶点U<>r作为图的割顶当且仅当U有一个儿子, 使得LOW(S)>=dfn(U),即S和S的后代不会追溯 到比U更早的祖先点。
G1 K(G1)=0
G2 K(G2)=1
G3 K(G3)=3
G4 K(G4)=5-1=
威廉王迷宫
前向边(实线部分) 后向边(虚线部分) Dfn(x):顶点x被首次访问的次序。 Dfn(x)=I表示x是第I个首次被访问的节点 称为深度优先搜索序数。
Dfs树
如U不是根,U成 为割顶当且仅当 存在U的某一个儿 子顶点S,从S或S 的后代点到U的祖 先点之间不存在 后向边
图的连通性
G1
G2
在无向图中,如果从顶点V到V’有路径,则称V和V’是连通的。 在有向图中,如果从顶点V到V’有路径,并且从V’到V有路径, 则称V和V’是强连通的。 如果对于图中任意两个顶点Vi,Vj,Vi和Vj都是连通的,则称连通图。

数学离散数学常见题型解析

数学离散数学常见题型解析

数学离散数学常见题型解析数学离散数学是一门研究数学中离散性、不连续性的分支学科,它与连续性数学形成鲜明对比。

离散数学的研究对象包括离散结构和离散现象,如集合、关系、逻辑、图论等。

在离散数学中,常见的题型有集合论题、逻辑题、图论题等。

本文将对这些常见题型的解题方法进行详细的解析。

一、集合论题解析集合是离散数学的基础概念之一,集合论题主要考察集合的性质和运算。

其中常见的题型包括求交集、并集、补集等。

1.求交集求交集即求两个或多个集合中共有的元素。

解题时需要列出各个集合的元素,然后找出它们的公共元素,即为交集。

例如,已知集合A={1,2,3},B={2,3,4},求A和B的交集。

解答如下:交集A∩B={2,3}。

2.求并集求并集即求两个或多个集合中所有的元素的集合。

解题时需要列出各个集合的元素,然后将它们的元素合并起来即可。

例如,已知集合A={1,2,3},B={2,3,4},求A和B的并集。

解答如下:并集A∪B={1,2,3,4}。

3.求补集求补集即求一个集合中不包含在另一个集合中的元素。

解题时需要明确补集的参照集合。

例如,已知参照集合U={1,2,3,4,5},集合A={2,3,4},求A相对于U的补集。

解答如下:补集A'={1,5}。

二、逻辑题解析逻辑题主要考察命题逻辑和谓词逻辑的推理和判断。

常见的题型包括命题的合取、析取、蕴含关系等。

1.命题合取命题合取即多个命题同时成立,才能得出最终结论为真。

解题时需要逐个判断每个命题的真假,并根据合取关系得出最终结论。

例如,已知命题p:明天下雨,命题q:今天是周二。

判断命题p 合取q的真假。

解答如下:根据实际情况判断,如果p和q都为真,则p合取q为真;反之则为假。

2.命题析取命题析取即多个命题中至少有一个成立,就能得出最终结论为真。

解题时需要逐个判断每个命题的真假,并根据析取关系得出最终结论。

例如,已知命题p:明天下雨,命题q:今天是周二。

判断命题p析取q的真假。

数据结构——图的连通性

数据结构——图的连通性

稀疏图、稠密8.4 图的连通性判定一个图的连通性是图的一个应用问题,我们可以利用图的遍历算法来求解这一问题。

本节将重点讨论无向图的连通性、有向图的连通性、由图得到其生成树或生成森林以及连通图中是否有关节点等几个有关图的连通性的问题。

8.4.1 无向图的连通性在对无向图进行遍历时,对于连通图,仅需从图中任一顶点出发,进行深度优先搜索或广度优先搜索,便可访问到图中所有顶点。

对非连通图,则需从多个顶点出发进行搜索,而每一次从一个新的起始点出发进行搜索过程中得到的顶点访问序列恰为其各个连通分量中的顶点集。

例如,图8.5 (a)是一个非连通图G3,按照图8.18 所示G3 的邻接表进行深度优先搜索遍历,需由算法8.5调用两次DFS(即分别从顶点A 和D出发),得到的顶点访问序列分别为:A B F E C E这两个顶点集分别加上所有依附于这些顶点的边,便构成了非连通图G3的两个连通分量,如图8.5(b) 所示。

因此,要想判定一个无向图是否为连通图,或有几个连通分量,就可设一个计数变量count,初始时取值为0,在算法8.5的第二个for循环中,每调用一次DFS,就给count增1。

这样,当整个算法结束时,依据count的值,就可确定图的连通性了。

序号图8.18 G3的邻接表8.4.3 生成树和生成森林在这一小节里,我们将给出通过对图的遍历,得到图的生成树或生成森林的算法。

设E(G)为连通图G中所有边的集合,则从图中任一顶点出发遍历图时,必定将E(G)分成两个集合T(G)和B(G),其中T(G)是遍历图过程中历经的边的集合;B(G)是剩余的边的集合。

显然,T(G)和图G 中所有顶点一起构成连通图G 的极小连通子图。

按照8.1.2节的定义,它是连通图的一棵生成树,并且由深度优先搜索得到的为深度优先生成树;由广度优先搜索得到的为广度优先生成树。

例如,图8.17(a)和(b)所示分别为连通图G5的深度优先生成树和广度优先生成树。

图的连通性检测方法

图的连通性检测方法

图的连通性检测方法图论是数学的一个分支,研究图形结构以及图形之间的关系。

在图论中,连通性是一个重要的概念,用于描述图中的节点或顶点之间是否存在路径相连。

连通性检测方法是用来确定一个图是否是连通图的方法。

本文将介绍几种常用的图的连通性检测方法。

一、深度优先搜索(DFS)深度优先搜索是一种常用的图遍历算法,也可以用来检测图的连通性。

该方法从图中的一个顶点开始,沿着一条路径尽可能深的搜索,直到到达无法继续搜索的节点,然后回溯到上一个节点,继续搜索其他路径。

具体步骤如下:1. 选择一个起始节点作为根节点。

2. 遍历该节点的邻接节点,并标记为已访问。

3. 递归的访问未访问过的邻接节点,直到所有节点都被访问过。

4. 如果所有节点都被访问过,则图是连通的;否则,图是不连通的。

DFS算法的时间复杂度为O(V+E),其中V是节点数,E是边数。

二、广度优先搜索(BFS)广度优先搜索也是一种常用的图遍历算法,同样可以用来检测图的连通性。

该方法从图中的一个顶点开始,先访问其所有邻接节点,然后再依次访问它们的邻接节点。

具体步骤如下:1. 选择一个起始节点作为根节点。

2. 将该节点加入一个队列中。

3. 从队列中取出一个节点,并标记为已访问。

4. 遍历该节点的邻接节点,将未访问过的节点加入队列中。

5. 重复步骤3和步骤4,直到队列为空。

6. 如果所有节点都被访问过,则图是连通的;否则,图是不连通的。

BFS算法的时间复杂度同样为O(V+E)。

三、并查集并查集是一种数据结构,常用于解决图的连通性问题。

它可以高效地合并集合和判断元素是否属于同一个集合。

具体步骤如下:1. 初始化并查集,每个节点都是一个独立的集合。

2. 遍历图中的每条边,将边的两个节点合并到同一个集合中。

3. 判断图是否连通的方法是查找两个节点是否属于同一个集合。

并查集的时间复杂度为O(V+E)。

四、最小生成树最小生成树是指一个连通图的生成树,其所有边的权值之和最小。

一笔画问题(欧拉定理+图的连通性)

一笔画问题(欧拉定理+图的连通性)

⼀笔画问题(欧拉定理+图的连通性)描述zyc从⼩就⽐较喜欢玩⼀些⼩游戏,其中就包括画⼀笔画,他想请你帮他写⼀个程序,判断⼀个图是否能够⽤⼀笔画下来。

规定,所有的边都只能画⼀次,不能重复画。

输⼊第⼀⾏只有⼀个正整数N(N<=10)表⽰测试数据的组数。

每组测试数据的第⼀⾏有两个正整数P,Q(P<=1000,Q<=2000),分别表⽰这个画中有多少个顶点和多少条连线。

(点的编号从1到P)随后的Q⾏,每⾏有两个正整数A,B(0<A,B<P),表⽰编号为A和B的两点之间有连线。

输出如果存在符合条件的连线,则输出"Yes",如果不存在符合条件的连线,输出"No"。

样例输⼊24 31 21 31 44 51 22 31 31 43 4样例输出NoYes分析欧拉定理如果⼀个⽹络是连通的并且奇顶点的个数等于0或2,那么它可以⼀笔画出;否则它不可以⼀笔画出。

判断⼀笔画的⽅法: ①是连通的。

⼀个图,如果图上任意⼆点总有线段连接着,就称为连通的。

不是连通的就不能⼀笔画出。

②奇点个数是0或者是2。

图上线段的端点可以分成⼆类,奇点和偶数。

⼀个点,以它为端点的线段数是奇数就称为奇点,线段数是偶数就称为偶点。

⼀个图是否是⼀笔画就看奇点的个数,奇点个数是 0 或者 2,就是⼀笔画,否则就不是⼀笔画。

所以这个问题完全可以转化策略为:第⼀步:⾸先我们不管它三七⼆⼗⼏,先进⾏连通性的判断。

第⼆步:(1)如果是连通的,我们来判断此图的度的奇点的个数是0或者是2 ,如果是,则说明这个是欧拉图,即可以⼀笔画出,反之则不能⼀笔画出(2)如果是⾮连通的,这说明这个图很定不能⼀笔画出。

#include<bits/stdc++.h>#define maxv 1001using namespace std;int p,q;int vest[maxv];int du[maxv];void init(int n){for(int i=0;i<=n;i++ )vest[i]=i;memset(du,0,sizeof(du));}int findx(int t){if(vest[t]==t)return t;return vest[t]=findx(vest[t]); }void mergex(int a,int b){int x=findx(a);int y=findx(b);if(x!=y)vest[x]=y;}int main(){//freopen("2.txt","r",stdin); int t;scanf("%d",&t);while(t--){scanf("%d%d",&p,&q); init(q);for(int i=0; i<q; i++){int a,b;scanf("%d%d",&a,&b); du[a]++;du[b]++;mergex(a,b);}int sum1=0;for(int i=1;i<=p;i++){if(vest[i]==i)sum1++;if(sum1>=2)break;}if(sum1>=2){printf("No\n");}else{int sum2=0;for(int i=1;i<=p;i++)if(du[i]%2==1){sum2++;}if(sum2==0||sum2==2) printf("Yes\n");else printf("No\n");}}return 0;}。

atcoder dfs题

atcoder dfs题

atcoder dfs题深度优先搜索(DFS)是一种用于图、树或图形变换等问题下的遍历或搜索数据结构的算法。

在AtCoder竞赛中,DFS常常用于解决与图相关的问题,特别是在求解连通性、路径以及图的遍历等问题上。

在解决AtCoder的DFS题目时,有一些常用的技巧和模板可以参考。

以下是对一些常见的DFS题目的解法和相关参考内容的描述,这些内容可以作为参考,但出于避免链接的要求,不包含具体的URL链接。

需要注意的是,这些参考内容只是一种可能的解答方案,实际解题时根据具体情况进行调整和修改。

1. 普通DFS模板:- 首先,定义一个访问标记数组visited,用于标记节点是否已经被访问过。

- 然后,从起始节点开始进行DFS遍历,对于每个未被访问的邻接节点,依次对其进行递归访问。

- 在遍历过程中,可以进行一些需要的操作,比如得到路径、统计连通性等。

2. 树的DFS遍历:- 对于树的DFS遍历,可以从树的根节点开始,然后递归地对每个子节点进行DFS访问。

- 常常需要注意树的遍历方向、判断是否已访问节点等特殊情况。

3. 图的连通性判断:- 对于无向图,可以通过DFS遍历判断连通性。

- 选择一个节点开始DFS遍历,如果所有节点都被访问到,则图是连通的。

4. 图的路径搜索:- 对于有向图或无向图,可以使用DFS进行路径搜索。

- 选择一个节点开始DFS遍历,记录路径,直到找到目标节点或遍历完所有节点。

- 如果找到了目标节点,则输出路径;如果遍历完所有节点仍未找到目标节点,则输出不存在路径。

5. 图的剪枝:- 在DFS遍历过程中,可以根据实际情况进行剪枝操作,提前终止遍历。

- 比如,在计算图的连通分量时,可以使用剪枝来提前终止搜索。

以上是对AtCoder中常见DFS题目的解法和参考内容的简要描述。

在实际解题时,可以根据具体情况进行调整和修改。

此外,为了更好地理解DFS算法的原理和应用,在解题过程中也建议查阅相关的教材、博客和题解等资源,以便更好地掌握和应用该算法。

图的连通性判断算法

图的连通性判断算法

图的连通性判断算法图是离散数学中一个重要的概念,它由一组顶点和连接这些顶点的边组成。

在图理论中,连通性是一个基本的性质,它描述了图中是否存在一条路径将所有的顶点连接起来。

本文将介绍一些常用的图的连通性判断算法。

1. 深度优先搜索算法(DFS)深度优先搜索算法是一种经典的图遍历算法,也可以用于判断图的连通性。

该算法从一个起始顶点开始,沿着一条路径尽可能深入地搜索图,直到无法再继续下去。

然后回溯到上一个未访问的顶点,重复上述过程,直到所有的顶点都被访问过。

如果在搜索过程中,所有的顶点都被访问到,则图是连通的;否则,图是不连通的。

2. 广度优先搜索算法(BFS)广度优先搜索算法也是一种常用的图遍历算法,可以用于判断图的连通性。

该算法从一个起始顶点开始,按照广度优先的顺序逐层遍历与当前节点相邻的顶点。

如果在遍历过程中,所有的顶点都被访问到,则图是连通的;否则,图是不连通的。

3. 并查集算法并查集是一种用于解决"动态连通性"问题的数据结构,也可以用于判断图的连通性。

并查集通过维护一个森林(或称为集合)来表示各个顶点之间的关系,其中每个集合表示一个连通分量。

并查集提供了合并集合和查找集合的操作,通过这些操作可以判断图的连通性。

4. 可连通性矩阵可连通性矩阵是一种基于矩阵的图表示方法,用于判断图的连通性。

对于一个有n个顶点的图,可连通性矩阵是一个n×n的矩阵,其中第i行第j列的元素表示顶点i和顶点j之间是否存在一条路径。

如果对于所有的顶点对(i,j),可连通性矩阵中的元素都为1,则图是连通的;否则,图是不连通的。

5. 最小生成树算法最小生成树算法是用于求解连通图的一种常用算法,它通过选取图中的一些边来构建一棵树,该树包含图中的所有顶点,并且总权值最小。

如果最小生成树的边数等于顶点数减1,则原图是连通的;否则,原图是不连通的。

总结:本文介绍了几种常用的图的连通性判断算法,包括深度优先搜索算法、广度优先搜索算法、并查集算法、可连通性矩阵和最小生成树算法。

判断图的连通性

判断图的连通性

判断图的连通性连通性判断【试题描述】⽆向图,包含n个节点编号1⾄n,初始没有边。

现在逐次向图中添加m条边,你需要在添加边之前判断该两点是否连通。

【输⼊要求】第⼀⾏两个正整数n、m。

接下来m⾏,每⾏两个正整数x、y。

【输出要求】m⾏,每⾏包含⼀个整数0或1,0表⽰添加这条边之前两个点不连通,1表⽰连通。

【输⼊实例】4 51 21 32 34 43 4【输出实例】11【其他说明】n,m<=300000。

【试题分析】⽤并查集做,这是⼀道全世界最⽔的图论题,直接不⽤说,上代码……【代码】#include<iostream>using namespace std;int x,y,f[301001],n,m;int find(int x){if (f[x]==x) return f[x];return f[x]=find(f[x]);}void merge(int v,int u){int t1,t2;t1=find(v);t2=find(u);if(t1!=t2) f[t2]=t1;return ;}inline int read(){int x,f=1;char ch=getchar();for(;!isdigit(ch);ch=getchar()) if(ch=='-') f=-1;for(x=ch-'0';isdigit(ch=getchar());x=x*10+ch-'0');return x*f;}inline void write(int x){if(x==0){putchar('0');return;}if(x<0)putchar('-'),x=-x;int len=0,buf[15];while(x)buf[len++]=x%10,x/=10;for(int i=len-1;i>=0;i--)putchar(buf[i]+'0');return;}int main(){n=read(),m=read();for(int i=1;i<=n;i++) f[i]=i;for(int i=1;i<=m;i++){bool w=false;x=read(),y=read();if(find(x)!=find(y)) w=true;//如果x和y的根⼀样那么就可以知道这两条边加进去以后图是连通的 if(w==false)write(1),printf("\n");else write(0),printf("\n");merge(x,y);//把x和y连起来}}。

如何判断图的连通

如何判断图的连通

如何判断图的连通判断图是否连通,可⽤dfs和bfs遍历图算法,注意点数⽬较多,⼜是稀疏图的话,最后使⽤邻接表的⽅法存储。

另外推荐采⽤的是并查集的⽅法。

初始化时将每个节点看作⼀个集合,则每给出⼀条边即把两个集合合并。

最后遍历所有点,有⼏个集合便有⼏个连通分量,若只有⼀个集合说明图连通。

并查集⽅法通常情况下时间效率较⾼,还能判断⼀个图是否有回路,在kruskal算法中也可以使⽤。

(1)DFS判断int count = 0;void DFS(MGrap G. int i){int j = 0;visited[i] = 1;count++;for(j=0; j<G.numVertexes; j++){if(G.arc[i][j]==1 && !visited[j])//i和j有关系相邻,并且j顶点没有被访问过{DFS(G, j);}}}从某⼀点出发开始DFS,到最后,只需要判断最后count的值是否是全部的节点就可以,如果⼩于总节点数,则证明是不连通的,如果相等,则证明是连通的。

还可以访问完⼀个节点,就将其删除掉,可提⾼遍历速度void dfs(int s){ //递归深搜vis[s]=true;for(int i=0;i<g[s].size();++i){if(vis[g[s][i]]) g[s].erase(g[s].begin()+i);//删除图中已经遍历过的点,可提⾼遍历速度else dfs(g[s][i]);}}bool judge(){ //判断是否所有点已被遍历过for(int i=1;i<=n;++i)if(!vis[i])return false;return true;}(2)BFS判断void bfs(int s){ //⽤队列⼴搜queue<int> q;q.push(s);while(!q.empty()){int x=q.front();q.pop();vis[x]=true;for(int i=0;i<g[x].size();++i){if(vis[g[x][i]]) g[x].erase(g[x].begin()+i);//删除图中已经遍历过的点,可提⾼遍历速度else q.push(g[x][i]);}}}bool judge(){ //判断是否所有点已被遍历过for(int i=1;i<=n;++i)if(!vis[i])return false;return true;}同样如果从某⼀个节点⼴度搜完,有未访问到的节点,那么该图⼀定是不连通的。

java实现判断图的连通性

java实现判断图的连通性

java实现判断图的连通性图的连通性的概念:连通⽆向图:如果⽆向图任意两个顶点都连通,则称为连通⽆向图连通有向图:如果有向图任意两个顶点vi,vj,从vi到vj和从vj到vi都有路径,则称有向图是强连通有向图public class Connect {public static void main(String[] args) {Set<String> nodes = ImmutableSet.of("A", "B", "C", "D");List<String> hop = Lists.newArrayList("C->A", "C->D");List<Pair<String, String>> objects = Lists.newArrayList();for (String s : hop) {String[] split = s.split("->");String from = split[0];String to = split[1];Pair<String, String> pair = new Pair<>(from, to);objects.add(pair);}Boolean isConnect = unDirectGraphConnect(nodes,objects);System.out.println("⽆向图连通性");System.out.println(isConnect);System.out.println("有向图连通性");Boolean isConnect2 = directGraphConnect(nodes, objects);System.out.println(isConnect2);}/*** 连通⽆向图判断,最后应该只有⼀个连通分量,⽽且可以连通所有节点** @param pairList* @return*/public static Boolean unDirectGraphConnect(Set<String> nodes, List<Pair<String, String>> pairList) {Multimap<String, String> map = HashMultimap.create();for (Pair<String, String> pair : pairList) {String from = pair.getFrom();String to = pair.getTo();//默认from、to都不存在boolean fromPresent = false;boolean toPresent = false;if (isPresent(map, from)) {fromPresent = true;}if (isPresent(map, to)) {toPresent = true;}//from/to都不存在,最简单,from做key,将from和to放value⾥if (!fromPresent && !toPresent) {map.put(from, from);map.put(from, to);//from存在,to不存在,要区分from是key还是value} else if (!toPresent) {boolean inKey = map.containsKey(from);if (inKey) {map.put(from, to);} else {String valKey = getKeyByValue(map, from);map.put(valKey, to);}//to存在,from不存在,也要区分to是key还是value} else if (!fromPresent) {boolean toInKey = map.containsKey(to);if (toInKey) {map.put(to, from);} else {String valKey = getKeyByValue(map, to);map.put(valKey, from);}}//剩下最后⼀种可能,from/to都存在,那就不需要处理了}System.out.println(map);//只有⼀个连通分量,且能连通所有节点return map.keySet().size() == 1 && map.values().containsAll(nodes);}/*** 有向图连通性判断* 理论上有多少顶点就有多少key,且value都等于顶点数** @param pairList* @return*/public static Boolean directGraphConnect(Set<String> nodes, List<Pair<String, String>> pairList) { Multimap<String, String> map = HashMultimap.create();//对map初始化for (String node : nodes) {map.put(node, node);}for (Pair<String, String> pair : pairList) {String from = pair.getFrom();String to = pair.getTo();Collection<String> values = map.get(from);//把to加⼊from连通mapif (!values.contains(to)) {map.put(from, to);}//所有之前能到from的,现在也能到to了for (String key : map.keySet()) {Collection<String> values2 = map.get(key);if (values2.contains(from) && !values2.contains(to)) {values2.add(to);}}//所有之前to能到的,现在from也能到了Collection<String> value5 = map.get(to);for (String s : value5) {if (!map.get(from).contains(s)) {map.put(from, s);}}}boolean connect = true;int nodeSize = nodes.size();for (String key : map.keySet()) {Collection<String> values3 = map.get(key);if (values3.size() != nodeSize) {connect = false;}}System.out.println(map);return connect;}}。

图的连通性判断MATLAB实验报告

图的连通性判断MATLAB实验报告

或一个长度为 3 的链使端 i 和端 j 相连。从而,通过计算 C 的各阶幂次可得到关 于图是否连通的信息。 三、实验内容 1.利用 MATLAB 等语言实现图的连通性判断算法,可对输入的邻接阵进行连通性 以及连通分支数的判断。 2.比较 Warshell 算法和矩阵幂算法在算法正确性和算法复杂度上的区别。 3.对算法进行优化。
矩阵幂算法复杂度为onwarshell算法复杂度为on七遇到的问题及解决方法在编程初期对两种算法的理解不够在编程时无从下手复习课本后并在网上查找了相关资料对两种算法的核心有了较深的理解编程时就没有问题了
实验三:图的连通性判断
一、实验目的 用计算机语言编写图的连通性判断算法,可输入图的邻接矩阵,判断图是否 连通以及确定连通分支的个数,掌握 Warshell 算法或矩阵幂算法的实现方法。
二、实验原理 1、Warshell 算法 Warshell 算法可解决图是否连通的问题, 而且效率很高。 在该算法中, 矩阵 P 是判断矩阵, pij 1 表示从 i 到 j 连通, pij 0 表示从 i 到 j 不连通。 (1)置新矩阵 P:= C; (2)置 i = 1; (3)对所有的 j ,若 p( j , i ) 1 , 则对 k=1,2,…,n, 有 p( j, k ) : p( j, k ) p(i, k ) ;
四、采用的语言
MatLab 源代码: clear,clc; %输入邻接矩阵
disp('图的连通性以及连通分支数的判断'); C = input('请输入图的邻接矩阵(格式如:[1 1 0;1 1 1;0 1 1]) C='); %矩阵幂算法 n=size(C,1);%邻接矩阵阶数 P=zeros(n,n);%构造连通矩阵 P k=1; for k=1:n %计算矩阵幂的和 C1=C^k; P = P + C1; end S=n-rank(P);%连通分支数为 0 特征值个数 %Warshell 算法 S1=0;a=1; G=zeros(n,1); for i=1:n for j=(i+1):n if C(i,j)==1%若两端之间有边连通 if G(i)==G(j)%若两端之间有连通链,说明二者在同一连通分支 if G(i)==0 G(i)=a;G(j)=a; a=a+1; S1=S1+1; end else if G(i)==0 G(i)=G(j);%若与 i 不连通,则与 j 在同一连通分支 elseif G(j)==0 G(j)=G(i);%若与 j 不连通,则与 i 在同一连通分支 else%若两端相连通,但标记在不同连通分支,合并两连通 分支 for b=1:n if G(b)==G(i) G(b)=G(j);%合并两连通分支 end end S1=S1-1;%合并两连通分支 end end end end end %输出结果 C if S==1
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基于MATLAB的实现,此方法可以知道有几个连通域,并且知道各个顶点的归属。

Branches中显示各个节点的归属,同一行的为同一连通分支中的节点。

其第一列为它的分类数。

例如下图,有五个连通分支,1、2、3在同一个连通分支中。

这是上图的邻接矩阵,同一节点间为0。

Branches中的显示内容,第一列为连通分支数,后边跟着的是给连通分支中的节点。

第一行就表示1、2、3为一个连通分支,4自己在一个连通分支中等等。

function [Branches,numBranch]=Net_Branches(ConnectMatrix)
% ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
% This program is designed to count the calculate connected components in networks.
% Usage [Cp_Average, Cp_Nodal] = Net_ClusteringCoefficients(ConnectMatrix,Type)
% Input:
% ConnectMatrix --- The connect matrix without self-edges.
% Output:
% Branches --- A matrix, each rows of which represents the
% different connected components.
% numBranch --- The numbers of connected components in network
%
% +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ % Refer:
% Ulrik Barandes <A faster algorithm for betweennes centrality>
% Written by Hu Yong, Nov,2010
% E-mail: carrot.hy2010@
% based on Matlab 2008a
% Version (1.0),Copywrite (c) 2010
% Input check-------------------------------------------------------------%
[numNode,I] = size(ConnectMatrix);
if numNode ~= I
error('Pls check your connect matrix');
end
% End check---------------------------------------------------------------%
Node = [1:numNode];
Branches = [];
while any(Node)
Quence = find(Node,1); %find a non-zero number in Node set
subField=[]; %one component
% start search
while ~isempty(Quence)
currentNode = Quence(1);
Quence(1) = []; %dequeue
subField=[subField,currentNode];
Node(currentNode)=0;
neighborNode=find(ConnectMatrix(currentNode,:));
for i=neighborNode
if Node(i) ~= 0 %first found
Quence=[Quence,i];
Node(i)=0;
end
end
end
subField = [subField,zeros(1,numNode-length(subField))];
Branches = [Branches;subField]; %save
end
numBranch = size(Branches,1);。

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