2019-2020年高三数学一轮复习 集合与函数 第6课时 函数单调性

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2020年江苏地区高三数学一轮复习函数的单调性

2020年江苏地区高三数学一轮复习函数的单调性

课时 9 函数的单调性【考纲要求】 等级 B1.理解函数的单调性及几何意义,会判断一些简单函数的单调性2.会用定义法证明一些函数的单调性,并加以应用【基础过关】一、单调性定义1.定义:2.判断单调性的方法:图像法、定义法、复合函数法、导数法定义法,其步骤为:① ;② ;③ ;④ .二、单调性的有关结论1.若f (x ), g (x )均为增(减)函数,则f (x )+g (x ) 函数;2.若f (x )为增(减)函数,则-f (x )为 ;3.复合函数y =f [g(x )]是定义在M 上的函数,若f (x )与g(x )的单调相同,则f [g(x )]为 ,若f (x ), g(x )的单调性相反,则f [g(x )]为 .4.奇函数图像关于 对称,偶函数图像关于 对称奇函数在其对称区间上的单调性 ,偶函数在其对称区间上的单调性 .【基础导练】1.指出下列函数的单调区间(1)13y x =- (2) 21y x =+ (3)11y x=+ (4)22log (45)y x x =-- 2. 定义在R 上的偶函数()f x 满足:对任意的1212,[0,)()x x x x ∈+∞≠,有2121()()0f x f x x x -<-.则(2),(1),(3)f f f -的大小关系为 3.若函数()y f x =是[1,1]-上的偶函数,且在[0,1]上是增函数,(3)(1)f a f a ≤+,则实数a 的取值范围是4.已知log 1()(31)41a x x f x a x a x >⎧=⎨-+≤⎩是R 上的减函数,那么a 的取值范围是5.对于下列四种说法:(1)若定义在R 上函数()f x 满足(2)(1)f f >,则函数()f x 是R 上的增函数(2)若定义在R 上函数()f x 满足(2)(1)f f >,则函数()f x 不是R 上的减函数(3)若定义在R 上函数()f x 在区间(,0]-∞上是增函数,在[0,)+∞上是增函数,则()f x 在R 上是增函数(4)若定义在R 上函数()f x 在区间(,0]-∞上是增函数,在(0,)+∞上是增函数,则()f x 在R 上是增函数【典型例题】例1. 证明函数2()1x f x x -=+在(1,)-+∞上为增函数拓展:讨论并归纳函数()x b f x x a +=+的单调性例2.讨论函数()(0)a f x x a x =+>的单调性.变式(1)当0a <时,讨论()a f x x x =+的单调性变式(2)讨论221()f x x x =+的单调性例3.已知定义在区间(0,+∞)上的函数()f x 满足1122()()()x f f x f x x =-,且当1x >时,()0f x <. (1)求(1)f 的值;(2)判断()f x 的单调性;(3)若(3)1f =-,解不等式(||)2f x <-变式训练:函数()f x 对任意的,a b R ∈,都有()()()1f a b f a f b +=+-,并且当0x >时,()1f x >.(1)求证:()f x 是R 上的增函数;(2)若(4)5f =,解不等式2(32)3f m m --<.【小结归纳】1.证明一个函数在区间D 上是增(减)函数的方法: 定义法.其过程是:取值--作差——定号——下结论,而最常用的变形是将和、差形式的结构变为积或商的形式结构;2.确定函数单调区间的常用方法有:(1) 图象法;(2) 定义法;(3)复合函数法;(4)求导法.注意:单调区间一定要在定义域内.3.含有参量的函数的单调性问题,可分为两类:一类是由参数的范围判定其单调性;一类是给定单调性求参数范围,其解法是由定义或导数法得到恒成立的不等式,结合定义域求出参数的取值范围.【课后作业】1.在R 上定义的函数()f x 是偶函数,且()f x (2)f x =-.若()f x 在区间[1,2]上是减函数,则()f x 在区间[2,1]--上是 函数,在区间[3,4]上是 函数2.已知()f x 为R 上的减函数,则满足1(||)(1)f f x<的实数x 的取值范围是 3. 函数212log (56)y x x =-+的单调增区间为4.已知定义在R 上的偶函数()y f x =的一个递增区间为(2,6),试判断(4,8)是(2)y f x =-的 区间5如果二次函数()()215f x x a x =--+在区间1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭上是增函数,求()2f 的取值范围.6已知函数2()(0,)a f x x x a R x=+≠∈, (1)判断函数()f x 的奇偶性(2)若函数()f x 在区间[2,)+∞是增函数,求实数a 的取值范围。

2020年高考数学一轮复习《函数的性质—奇偶性、单调性、周期性》

2020年高考数学一轮复习《函数的性质—奇偶性、单调性、周期性》

2020年高考数学一轮复习《函数的性质—奇偶性、单调性、周期性》考纲解读1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义,会利用单调性解决函数的最值问题.2.结合具体函数,了解函数奇偶性的含义.3.会利用函数的图像理解和研究函数的性质.命题趋势研究有关函数性质的高考试题,考查重点是求函数的单调区间,利用函数单调性求函数的最值(值域)、比较大小及求解函数不等式.函数奇偶性的判断及其应用是常考知识点,常与函数的单调性、周期性、对称性、最值等结合综合考查.知识点精讲函数奇偶性定义设D D x x f y (),(∈=为关于原点对称的区间),如果对于任意的D x ∈,都有)()(x f x f =-,则称函数)(x f y =为偶函数;如果对于任意的D x ∈,都有)()(x f x f -=-,则称函数)(x f y =为奇函数.性质(1)函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称.(2)奇偶函数的图象特征.函数)(x f 是偶函数⇔函数)(x f 的图象关于y 轴对称;函数)(x f 是奇函数⇔函数)(x f 的图象关于原点中心对称.(3)若奇函数)(x f y =在0=x 处有意义,则有0)0(=f ;偶函数)(x f y =必满足|)(|)(x f x f =.(4)偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反;奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同.(5)若函数)(x f 的定义域关于原点对称,则函数)(x f 能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式.记)]()([21)(x f x f x g -+=,)]()([21)(x f x f x h --=,则)()()(x h x g x f +=. (6)运算函数的奇偶性规律:运算函数是指两个(或多个)函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数,如)()(),()(),()(),()(x g x f x g x f x g x f x g x f ÷⨯-+.对于运算函数有如下结论:奇±奇=奇;偶±偶=偶;奇±偶=非奇非偶;奇)(÷⨯奇=偶;奇)(÷⨯偶=奇;偶)(÷⨯偶=偶.(7)复合函数)]([x g f y =的奇偶性原来:内偶则偶,两奇为奇.函数的单调性定义一般地,设函数)(x f 的定义域为D ,区间D M ⊆,若对于任意的M x x ∈21,,当21x x <时,都有)()(21x f x f <(或)()(21x f x f >),则称函数)(x f 在区间M 上是单调递增(或单调递减)的,区间M 为函数)(x f 的一个增(减)区间.注:定义域中的M x x ∈21,具有任意性,证明时应特别指出“对于任意的M x x ∈21,”. 单调性是针对定义域内的某个区间讨论的.熟练掌握增、减函数的定义,注意定义的如下两种等价形式:设],[,21b a M x x =∈且21x x <,则)(0)()(2121x f x x x f x f ⇔>--在],[b a 上是增函数⇔过单调递增函数图象上任意不同两点的割线的斜率恒大于零⇔0)]()()[(2121>--x f x f x x .)(0)()(2121x f x x x f x f ⇔<--在],[b a 上是减函数⇔过单调递减函数图象上任意不同两点的割线的斜率恒小于零⇔0)]()()[(2121<--x f x f x x .性质对于运算函数有如下结论:在公共区间上,增+增=增;减+减=减;增-减=增;减-增=减. 一般地,对于乘除运算没有必然的结论.如“增×增=增”不一定成立;“若)(x f 为增函数,则)(1x f 为减函数”也是错误的.如)0,()(≠∈=x R x x x f ,则xx f y 1)(1==为减函数是不正确的,但若具备如下特殊要求,则结论成立:若)(x f 为增函数,且(0)(>x f 或)(x f 0<),则)(1x f 为减函数. 若)(x f 为减函数,且(0)(>x f 或)(x f 0<),则)(1x f 为增函数. 复合函数的单调性复合函数的单调性遵从“同增异减”,即在对应的取值区间上,外层函数是增(减)函数,内层函数是增(减)函数,复合函数是增函数;外层函数是增(减)函数,内层函数是减(增)函数,复合函数是减函数.函数的周期性定义设函数))((D x x f y ∈=,如存在非零常数T ,使得对任何D T x D x ∈+∈,,且)()(x f T x f =+,则函数)(x f 为周期函数,T 为函数的一个周期.若在所有的周期中存在一个最小的正数,则这个最小的正数叫做最小正周期.注:函数的周期性是函数的“整体”性质,即对于定义域D 中的任何一个x ,都满足)()(x f T x f =+;若)(x f 是周期函数,则其图像平移若干整数个周期后,能够完全重合. 性质若)(x f 的周期为T ,则)0,(≠∈n Z n nT 也是函数)(x f 的周期,并且有)()(x f nT x f =+. 有关函数周期性的重要结论(如表所示) ()()()()211();()2()()()()2()()4()()2()()()()()2()()()2()()()(x R f x T f x T f x T f x T f x T f x T T f x f x f x T f x T T f x T f x T Tf a x f a x b a f b x f b x f a x f a x af x f a x f a x b a f b x f b x f a ∈+=+=-+=+=-+=-+=--+=-⎧-⎨+=-⎩+=-⎧⎨⎩+=--⎧-⎨+=--⎩函数式满足关系()周期为偶函数)()2()()()4()()()()()4()()()4()x f a x af x f a x f a x b a f b x f b x f a x f a x af x f a x f a x a f x +=--⎧⎨⎩+=-⎧-⎨+=--⎩+=-⎧⎨⎩+=--⎧⎨⎩为奇函数为奇函数为偶函数函数的的对称性与周期性的关系(1)若函数)(x f y =有两条对称轴)(,b a b x a x <==,则函数)(x f 是周期函数,且)(2a b T -=;(2)若函数)(x f y =的图象有两个对称中心))(,(),,(b a c b c a <,则函数)(x f y =是周期函数,且)(2a b T -=;(3)若函数)(x f y =有一条对称轴a x =和一个对称中心))(0,(b a b <,则函数)(x f y =是周期函数,且)(4a b T -=.题型归纳及思路提示题型16 函数的奇偶性思路提示:判断函数的奇偶性,常用以下两种方法:(1)定义法.①首先看定义域是否关于原点对称;②若)()(x f x f -=-,则函数)(x f 为奇函数;若)()(x f x f =-,则函数)(x f 为偶函数.(2)图像法.根据函数图像的对称性进行判断,若函数)(x f 的图像关于原点中心对称,则)(x f 为奇函数;若函数)(x f 的图像关于y 轴对称,则)(x f 为偶函数.【例2.25】判断下列函数的奇偶性.(1)3|3|36)(2-+-=x x x f ; (2)11)(22-+-=x x x f ;(3))1(log )(22++=x x x f ;(4)2|2|)1(log )(22---=x x x f ; (5)⎩⎨⎧>+-<+=)0()0()(22x x x x x x x f .解析 (1)由3|3|36)(2-+-=x x x f 可知⎩⎨⎧-≠≠≤≤-⇒⎩⎨⎧≠-+≥-606603|3|0362x x x x x 且,故函数)(x f 的定义域为}6006|{≤<<<-x x x 或,定义域不关于原点对称,故)(x f 为非奇非偶函数.(2)由110101222±=⇒=⇒⎩⎨⎧≥-≥-x x x x ,故函数)(x f 的定义域为}1,1{-,关于原点对称,故0)(=x f ,所以)()()(x f x f x f -==-,所以函数)(x f 既是奇函数又是偶函数.(3)因为对任意实数x ,都有0||12≥+>++x x x x ,故定义域为R.且)()1(log 11(log )1(log )(222222x f x x x x x x x f -=++-=++=-+=-),故)(x f 为奇函数. (4)由100102|2|012<<<<-⇒⎩⎨⎧≠-->-x x x x 或,定义域关于原点对称. 此时,xx x x x f --=---=)1(log 2|2|)1(log )(2222,故有)()(x f x f -=-,所以)(x f 为奇函数. (5)当0<x 时,)()(,02x f x x x f x -=--=->-;当0>x 时,)()(,02x f x x x f x -=-=-<-.故)(x f 为奇函数.评注 利用定义判断函数的奇偶性要注意以下几点:①首先必须判断)(x f 的定义域是否关于原点对称.若不关于原点对称,则是非奇非偶函数.若关于原点对称,则对定义域任意x 说明满足定义.若否定奇偶性只需有一个自变量不满足. ②有些函数必须根据定义域化简解析式后才可判断,否则可能无法判断或判断错误,如本例(2),若不化简可能误判为偶函数,而本例(4)可能误判为非奇非偶函数.③本例(3)若用奇偶性的等价形式,则01log )1(log )1(log )()(22222==+++-+=+-x x x x x f x f ,即)()(x f x f -=-,故)(x f 为奇函数,显然,等价形式的整理较定义法更为容易.这提醒我们,在函数解析式较复杂时,有时使用等价形式来判断奇偶性较为方便.变式1:判断下列函数的奇偶性.(1)xx x x f -+-=11)1()(; (2)24|3|3)(x x x f -+-=; (3)⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤--<+=)1(2)11(0)1(2)(x x x x x x f ;(4)|2||2|)(++-=x x x f .解析 (1)函数()(f x x =-的定义域为{|11}x x -≤<,其定义域不关于原点对称,故函数()f x 为非奇非偶函数.(2)函数()f x =-2,2),其定义域关于原点对称,又函数()f x ==()()f x f x -=-,故()f x 函数为奇函数.(3)解法一:设1x <-,则1,()2()x f x x f x ->-=--=-,同样当11x -≤≤时,()()f x f x -=-,故()f x 函数为奇函数.解法二:(图象法)函数()f x 的图象如图2-42所示,知函数()f x 为奇函数.(4)函数()f x 的定义域为R ,关于原点对称,又()|2||2||2||-2|=()f x x x x x f x -=--+-+=++,故函数()f x 为偶函数.变式2:已知函数2lg )2lg()(2-++=x x x f ,试判断其奇偶性.解析 函数的定义域为R,又222()()lg()02x x f x f x +--+===,故函数()f x 为奇函数.【例2.26】已知函数),0()(2R x x xa x x f ∈≠+=,试判断其奇偶性. 分析 利用函数奇偶性的定义进行判断.解析 当0=a 时,2)(x x f =,满足)()(x f x f =-,故)(x f 为偶函数;当0≠a 时,xa x x f x a x x f -=-+=22)(,)(,假设)()(x f x f =-对任意R x ∈,0≠x 恒成立,则此时0=a ,与前提矛盾;假设)()(x f x f -=-对任意R x ∈,0≠x 恒成立,则此时022=x ,即0=x ,与条件定义域},0|{R x x x ∈≠矛盾.综上所述,当0=a 时,)(x f 为偶函数;当0≠a 时,函数)(x f 为非奇非偶函数.评注 ①函数)(x f 是奇函数⇔0)()(=-+x f x f ;函数)(x f 是偶函数0)()(=--⇔x f x f .奇偶函数的前提是函数的定义域关于原点对称.②若要说明一个函数为非奇非偶函数,可以举一个反例.③本题的结论还可以借用运算函数的的奇偶性的规律获得,已知函数是一个由2x 与x a 通过加法法则运算得到的函数,而2x y =为偶函数,)0(≠=a xa y 为奇函数,故当0≠a 时,)(x f 为“偶+奇”形式,故为非奇非偶函数;当0=a 时,则2)(x x f =为偶函数.变式1:函数)()1221()(x f x F x ⋅-+=是偶函数,并且)(x f 不等于零,则)(x f 是( ) A.奇函数 B.偶函数 C.既奇又偶函数 D.非奇非偶函数解析 可证明2()1()21x g x f x =+⋅-为奇函数,要使2()(1)()21x F x f x =+⋅-是偶函数,由运算函数的奇偶性规律可知,()f x 是奇函数,故选A.变式2:对于函数R x x f y ∈=),(,“|)(|x f y =的图象关于y 轴对称”是“)(x f 是奇函数”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析 若函数()y f x =是奇函数,则()()f x f x -=-,此时,|()||()||(f x f x f x -=-=,因此|()|y f x =是偶函数,其图象关于y 轴对称,但当|()|y f x =的图象关于y 轴对称时,未必推出()y f x =是奇函数,如2y x =是偶函数,且22|()|||y f x x x ===,其图象关于y 轴对称,并非奇函数,故“|()|y f x =的图象关于y 轴对称”是“()y f x =是奇函数”的必要不充分条件.故选B.【例 2.27】定义在实数集上的函数)(x f ,对任意R y x ∈,都有)()(2)()(y f x f y x f y x f =-++,且0)0(≠f ,试判断)(x f 的奇偶性.分析 对于抽象函数的奇偶性判断通常利用赋值法得到)(x f 与)(x f -的关系.解析 由函数定义域为R 可知定义域关于原点对称.依题意可令0,0==y x ,得2)]0([2)0(2f f =,因为0)0(≠f ,所以1)0(=f .令0=x ,可得)(2)()(y f y f y f =-+,即)()(y f y f -=,所以)()(x f x f -=,故函数)(x f 为偶函数.评注 对于抽象函数奇偶性的判断,常通过赋值法(如令1,1,0-=x 等)凑成含有)(x f 与)(x f -的关系的式子,然后进行判断.变式1:已知函数)(x f 在R 上有定义,且对任意R y x ∈,都有)()()(y f x f y x f +=+,试判断)(x f 的奇偶性.解析 令0x y ==,得(0)2(0),(0)f f f ==,令y x =-,得0=()+()0,()f f x f x f x f x-=-=-(),所以函数()y f x =是奇函数. 变式2:若定义在R 上的函数)(x f 满足对任意R x x ∈21,有1)()()(2121++=+x f x f x x f ,则下列说法正确的是( )A.)(x f 是奇函数B.)(x f 是偶函数C.)(x f +1为奇函数D.)(x f +1为偶函数 解析 解法一:由12,x x R ∈有1212()()()1f x x f x f x +=++, 设12,x x x x ==-,则(0)()()11f f x f x =+-+=-,所以()1()1[f x f x f x +=---=-(-)+1],令()()1F x f x =+,故()()1[()1]F(x)F x f x f x -=-+=-+=-,所以()()1F x f x =+是奇函数,故选C.变式3:已知函数)(x f 在)1,1(-上有定义,且对任意)1,1(,-∈y x 都有)1()()(xyy x f y f x f ++=+,试判断函数)(x f 的奇偶性. 分析 对于抽象函数的奇偶性判断通常利用赋值法,如令0x y ==转化.解析 由于()()()1x y f x f y f xy ++=+,令0x y ==,得2(0)(0)f f =,即(0)0f =;令y x =-,则()()(0)0f x f x f +-==,所以()()f x f x -=-,故()f x 为奇函数. 变式4:已知)(x f ,)(xg 在R 上有定义,对任意的R y x ∈,,有)()()()()(y f x g y g x f y x f -=-,且0)1(≠f .(1)求证:)(x f 为奇函数;(2)若)2()1(f f =,求)1()1(-+g g 的值.解析 解法一:令0x y ==,则(0)(0)(0)(0)(0)f f g g f =-=0,令0,1x y ==,则(1)(1)(0)(1)(0)f f g g f =-,又(1)0f ≠,(0)0,f =所以(0)1g = , 令0x =,则()(0)()(0)()()f y f g y g f y f y -=-=-,所以()f x 为奇函数.. 解法二:令,x m n =-,则x n m -=-所以,()()()()()()f x f m n f m g n g m f n =-=-,()()()()()()()f x f n m f n g m g n f m f x -=-=-=-,所以()f x 为奇函数.(2)令1,1x y ==-,则(2)(1)(1)(1)(1)f f g g f =-+,所以(2)(1)[(1)(1)]f f g g =-+,又因为(1)20f f =≠(),所以(1)(1)1g g -+=,故(1)(1)g g -+的值为1.【例 2.28】已知偶函数1)1()(23++-=mx x a x f 的定义域为),83(2m m m --,则=+a m 2______________.分析 定义域关于原点对称是奇函数或偶函数的必要条件.解析 因为)(x f 为偶函数,故其定义域必关于原点对称,所以0832=--m m ,且m m m <--832,解得4=m .由函数)(x f 为偶函数得3x 的系数为0,则01=-a ,即1=a ,故62=+a m .变式1:若函数))(12()(a x x x x f -+=为奇函数,则=a ( ) 21.A 32.B 43.C 1.D 解析 解法一: 由函数的定义域为1{|2x x ≠-且}x a ≠,有因为()f x 奇函数,可知定义域关于原点对称,故12a =,故选A. 解法二:()(21)(x a)x f x x =+-为奇函数,由于分子为奇函数,则分母为偶函数,又知分母为二次函数,则一次项系数为0,所以12a =,故选A.变式2:若函数)2(log )(22a x x x f a ++=是奇函数,则=a _____________. 分析 由函数的定义域含有数0,则必有(0)0f =解析 函数()log (0a f x x a =>且1)a ≠)为定义域为R 的奇函数,且在0x =有意义,故满足(0)0f =,从而得21log 0,2a a =⇒=又0a >且1a ≠,所以2a =.变式3:若a x f x +-=121)(是奇函数,则=a _____________. 解析 解法一:因为()f x 为奇函数,所以()()0f x f x -+=, 即1102121x x a a -+++=--,整理得122021xx a -+=-,得12a =. 解法二:(赋值法)因为()f x 为奇函数,所以(1)(1)0f f -+=,解得12a =. 变式4:函数k k k x f x x(212)(⋅+-=为常数)为其定义域上的奇函数,则=k ____________. 解析 依题意,函数2()12xxk f x k -=+⋅(k 为常数)为其定义域上的奇函数,则22()1212x x x xk k f x k k -----==+⋅+⋅, 得12122,21212k k k k k k k k k k k k ---==+++故(2)(2)(21)(12)k k k k k k k k +-=-+,22(1)(21)0,1k k k -+==±,若k=1,得12(),12x x f x -=+1221()(),1221x x x x f x f x -----===-++故12()12x x f x -=+为奇函数; 若k=-1,得1221(),1221x x x x f x --+==--2112()(),2112x xx xf x f x --++-====---故()f x 为奇函数; 故k=1或k=-1变式5:函数)1)(11(log )(>--=a x kx x f a 为其定义域上的奇函数,则=k __________. 解析 依题意,函数1()l o g ()(1)1a kx f x a x -=>-为其定义域上的奇函数,则111()l o g ()l o g ()l o g (),111a a a k x k x x f x x x kx +---==-=---- 即2222211,11(1)0,111kx x k x x k x k x kx+-=-=-⇒-==±---得 若k=1,得1()()(1),1a a x f x log log x -==--无意义,故舍去; 若k=-1,得111()(),()()()(),111a a a x x x f x log f x log log f x x x x +--=-===----+满足()f x 为奇函数,故k=-1【例2.29】已知函数)(x f 是定义在R 上的偶函数,当)0,(-∞∈x 时,4)(x x x f -=,则当),0(+∞∈x 时,)(x f =_______________.解析 当0>x 时,则44)()()(,0x x x x x f x --=---=-<-,因为)(x f 是偶函数,所以)(x f 4)(x x x f --=-=,故当),0(+∞∈x 时,4)(x x x f --=.评注 解此类题分三步:第一步将所求解析式自变量的范围转化为已知解析式中自变量的范围;第2步将转化后的自变量代入已知解析式;第3步利用函数的奇偶性求出解析式.变式1:已知函数)(x f 为R 上的奇函数,且当0>x 时,2)(x x x f -=,求函数)(x f 的解析式.解析 当x ﹤0时,-x ﹥0,所以f(-x)=-x-(-x)2=-x-x 2,因为f(x)为奇函数,所以f(x)=- f(-x)= x 2+x,所以当x ﹤0时f(x)=- f(-x)= x 2+x ;当x=0时,f(0)=0,所以22(0)().0x x x f x x x x ⎧+≥⎪=⎨-<⎪⎩ ()【例 2.30】已知)(x f 为定义域是关于原点对称区间上的函数,求证:)(x f 一定可以写成一个奇函数与一个偶函数之和的形式.分析 先设)(x f 能写成一个函数)(x g 和一个偶函数)(x h 之和,再利用奇偶函数的定义列方程组,解方程组即得.解析 先假设存在)()()(x h x g x f +=……………①其中)(x g 为奇函数,)(x h 是偶函数,则)()()()()(x h x g x h x g x f +-=-+-=-………② 由①+②得,2)()()(x f x f x h -+=,由①-②得,2)()()(x f x f x g --=. 由此,我们得出结论,对定义域关于原点对称的函数)(x f ,都可以写成一个奇函数与一个偶函数之和.变式1:已知定义在R 上的奇函数)(x f 和偶函数)(x g 满足)1,0(2)()(≠>+-=+-a a a a x g x f x x .若a g =)2(,则)2(f =( )2.A 415.B 417.C 2.a D 解析 因为f(x)为奇函数,g(x)为偶函数,所以由f(x)+g(x)=a x -a -x +2…①得f(-x)+g(-x)=a -x -a x +2即-f(x)+g(x)= a -x -a x +2….②① +② ,得g(x)=2,①-②得f(x)= a x -a -x ,又g(2)=a ,所以a=2,所以f(x)= 2x -2-x ,f(2)= 22-2-2=15/4,故选B变式2:设函数)(x f 和)(x g 分别是R 上的偶函数和奇函数,则下列结论正确的是( )A.|)(|)(x g x f +是偶函数 |)(|)(.x g x f B -是奇函数)(|)(|.x g x f C +是偶函数 )()(|.x g x f D -是奇函数解析 令f(x)=x 2,g(x)=x 3,则A.f(x)+|g(x)|= x 2+| x 3|, f(-x)+|g(-x)|= x 2+| x 3|= f(x)+|g(x)|,故选项A 正确.同理B,C,D 错误.【例2.31】函数)(1sin )(3R x x x x f ∈++=,若2)(=a f ,则)(a f -的值为( ) 3.A 0.B 1.-C 2.-D分析 函数1s i n )(3++=x x x f 中x x y s i n 3+=为奇函数,借助奇函数的性质求解.解析 令x x x g s i n )(3+=,得1)()(+=x g x f ,依题意得,21)(=+a g ,所以1)(=a g .由)(x g y =为奇函数,故1)()(-=-=-a g a g ,所以01)()(=+-=-a g a f ,故选B. 评注 本题中虽然函数整体没有奇偶性,但可利用局部的奇偶性求解,尤其是当)(x f 为奇函数时,0)()(=+-x f x f ,特别地0)()(m a x m i n =+x f x f .变式1:对于函数c bx x a x f ++=sin )((其中Z c R b a ∈∈,,),选取c b a ,,的一组计算)1(f 和)1(-f ,所得出的正确结果一定不可能是( )A.4和6B.3和1C.2和4D.1和2解析 f(1)+ f(-1)=asin1+b+c+asin(-1)-b+c=2c,因为c ∈Z,则f(1)+ f(-1为偶数,在4个选项中,只有选项D 中1+2=3不是偶数,故选D.变式2:已知函数),(4sin )(3R b a x b ax x f ∈++=,5))10(lg(log 2=f ,则=))2(lg(lg f ( )A.5-B.5-C.3D.4分析 2211log 10,lg(log 10)lg()lg(lg 2),lg 2lg 2===-根据函数y=ax 3+bsinx 为奇函数求解. 解析 由2211log 10,lg(log 10)lg()lg(lg 2),lg 2lg 2===-则f(lg(lg 2)-)+f(lg(lg 2)=8,故f(lg(lg 2)=3,故选C.变式3:设函数1sin )1()(22+++=x x x x f 的最大值为M ,最小值为m ,则.______=+n M解析 将函数解析式化简,利用函数的奇偶性求解.222(1)sin 2sin ()111x x x x f x x x +++==+++,设22sin ()1x x g x x +=+,则()()g x g x -=-,所以()g x 是奇函数,由奇函数图像的对称性知max min ()()0,g x g x +=所以题型17 函数的单调性(区间)思路提示判断函数的单调性一般有四种方法:定义法、图像法、复合函数单调性法和导数法.【例2.32】求证:函数)0()(>+=a xa x x f 在),[+∞a 上是增函数. 分析 利用函数单调性的定义来证明.解析 设任意的两个实数),[,21+∞∈a x x 且21x x <,则有)1)()()()(2121212121x x a x x x a x a x x x f x f --=++-=-(.因为),[,21+∞∈a x x ,所以a x x >21,0,012121<->-x x x x a ,)()(0)()(2121x f x f x f x f <⇒<-,故)(x f 在),[+∞a 上是增函数.评注 利用函数单调性的定义判定时,其步骤为:(1)取值;(2)作差比较;(3)定量;(4)判断.解题时注意所设的21,x x 在区间内须具有任意性.若否定函数单调性时,只要取两个特殊自变量说明不满足即可.变式1:已知函数)(x f 对任意R y x ∈,,满足2)()()(++=+y x f y f x f ,当0>x 时,2)(>x f ,求证:)(x f 在R 上是增函数.分析 判断抽象函数的单调性利用定义法求解.解析 任取x 1,x 2∈R ,设x 1﹤x 2, x 2- x 1﹥0,因为x ﹥0,时,f(x)﹥2,所以f( x 2- x 1) ﹥2,由f(x)+ f(y)= f(x+y)+2,可得f(x+y)- f(x)= f(y)-2,设x+y=x 2,x=x 1,则y=x 2-x 1,所以f( x 2)- f( x 1)= f( x 2- x 1)-2.因为f( x 2- x 1) ﹥2,所以 f( x 2)- f( x 1)= f( x 2- x 1)-2﹥0,所以f( x 2)﹥ f( x 1),当即x 1﹤x 2, f( x 2)﹥ f( x 1),所以f(x)在R 上是增函数.评注:判定抽象函数的单调性时,常利用赋值法和定义法比较f( x 2)和 f( x 1)的大小变式2:定义在R 上的函数0)0(),(≠=f x f y ,当0>x 时,1)(>x f ,且对任意的R b a ∈,,有)()()(b f a f b a f ⋅=+.(1)求证:1)0(=f ;(2)求证:对任意的R x ∈,恒有0)(>x f ;(3)证明:)(x f 是R 上的增函数;(4)若1)2()(2>-⋅x x f x f ,求x 的取值范围.(5)解析 (1)令a=b=0,则f(0)=[ f(0)]2,因为f(0)≠0,所以f(0)=1.(6)(2)当x ﹥0 时,f( x)﹥1﹥0;当x=0 时,f( 0)=1﹥0;(7)当x ﹤0 时,f( x) f(- x)= f( 0)=1,则f( x)= 【f(- x)】-1﹥0,(8)故对任意的x ∈R ,恒有f( x)﹥0.(9)(3)令a ﹥0,则a+b ﹥b,f(a+b)- f(b)= f(a) fb)- f(b)=[ f(a)-1] fb),(10)当a ﹥0时,f( a)﹥1,且b ∈R,恒有f(b)﹥0.故f(a+b) ﹥ f(b),(11)所以f(x)在R 上是增函数.(12)(4)因为f(x). f(2x-x 2)= f(3x-x 2) ﹥1= f( 0),所以3x-x 2 ﹥ 0,(13)所以0﹤x ﹤3,故x 的取值范围时(0,3)【例2.33】设),(a -∞是函数5||42+-=x x y 的一个减区间,则实数a 的取值范围是( ) ),2.[+∞-A ]2,.(--∞B ),2.[+∞C ]2,.(-∞D分析 作出函数的图象,找出递减区间,从而确定a 的取值范围.解析 由5||42+-=x x y 得,)()(x f x f =-,知)(x f y =为偶函数,其图象关于y 轴对称.只要画出当0≥x 时的图象,然后作出其关于y 轴对称的图形即可得到0<x 部分的图象,如图所示.可知,若),(a -∞为函数)(x f 的减区间,则2-≤a .故选B.变式1:下列区间中,函数|)2ln(|)(x x f -=在其上为增函数的是( )]1,.(-∞A ]34,1.[-B )23,0.[C )2,1.[D 解析 用图象法解决,将y=lnx 的图像关于y 轴对称得到y=ln (-x ),再向右平移两个单位,得到y=ln (-(x-2))的图像,将得到的图像在x 轴下方的部分翻折上来,即得到f(x)=|ln(2-x)|的图像,由图2-43知,选项中f(x)是增函数的显然只有D.故选D.评注:要得到函数f(x)=|ln(2-x)|的图像,也可先作函数y=ln(x+2)的图像,将其关于y 轴对称得函数y=ln(-x+2)的图像,在x 轴下方的部分翻折上来,即得到f(x)=|ln(2-x)|的图像.变式2:已知函数a e x f a x ()(||-=为常数).若)(x f 在区间),1[+∞上是增函数,则a 的取值范围是__________________.解析 如图2-44所示,函数f(x)在区间【a,+∞)上单调递增,因此【1,+∞) ⊆【a,+∞),故a 的取值范围是(-∞,1】.变式3:定义在R 上的函数)(x f 是偶函数,且)2()(x f x f -=,若)(x f 在区间]2,1[上是减函数,则)(x f ( )A.在区间]1,2[-上是增函数,在区间]4,3[上是减函数B.在区间]1,2[--上是增函数,在区间]4,3[上是减函数C.在区间]1,2[-上是减函数,在区间]4,3[上是增函数D.在区间]1,2[--上是减函数,在区间]4,3[上是增函数E.分析 根据题意,作出函数f(x)的草图,判断函数的单调性即求函数的单调区间.F.解析 由f(x)= f(2-x)可知f(x)的图像关于x=1对称,又因为f(x)为偶函数,其图像关于x=0对称,可得到f(x)为周期函数且最小正周期为2,结合f(x)在区间[1,2]是减函数,可得到如图2-45所示的函数f(x)的草图,观察可知,f(x)在区间[-2,-1]上是增函数,在区间[3,4]上是减函数.故选B.G.变式4:已知⎩⎨⎧≥<+-=)1(log )1(4)13()(x x x a x a x f a 是R 上的减函数,那么a 的取值范围是( ))1,0.(A )31,0.(B )31,71.[C )1,71.[D分析 本题所给的函数为分段的形式,要满足在R 上的递减不仅要满足在每个子区间上递减,而且要满足在整个定义域上都递减.解析 函数f(x)在R 上递减,故x ﹤1时,f(x)=(3a-1)x+4a 单调递减,因此3a-1﹤0,得a ﹤⅓;当x ≥1时,f(x)=log a x 单调递减,故0 ﹤a ﹤1.同时结合f(x)的图像(如图2-46所示),当x=1时,(3a-1)+4a ≥log a 1,解得a ≥1/7,综上a 的取值范围是[1/7, 1/3).故选C.评注:关于分段函数的单调性应注意:若()(),()x f x c b x ∈⎧=≥⎨∈⎩g(x) [a,b]其中h(x) ([c,d]),g(x)在[a,b]上是增函数,h(x)在[c,d]上是增函数,则f(x)在区间[a,b]∪ [c,d]上不一定是增函数,若使f(x)在区间[a,b]∪ [c,d]上一定是增函数,需补充条件g(b)≤h(c).即有下面的重要结论:分段函数()(),()x f x c b x ∈⎧=≥⎨∈⎩g(x) [a,b]其中h(x) ([c,d])为单调增函数 max min ,()c b ⎧⎪⇔≥⎨⎪≤⎩g(x) 在[a,b]上递增h(x) 在[c,d]上递增其中g(x)h(x)分段函数()(),()x f x c b x ∈⎧=≥⎨∈⎩g(x) [a,b]其中h(x) ([c,d])为单调减函数min max ,()c b ⎧⎪⇔≥⎨⎪≥⎩g(x) 在[a,b]上递减h(x) 在[c,d]上递减其中g(x)h(x)题型18 函数的周期性思路提示(1))0(||)()(≠=⇒=+a a T x f a x f ;)(||)()(b a b a T b x f a x f ≠-=⇒+=+;(2))0(||2)()(≠=⇒-=+a a T x f a x f ;)(||2)()(b a b a T b x f a x f ≠-=⇒+-=+;)0,(||2)()(≠≠-=⇒=+⋅+c b a b a T c b x f a x f .(3))0(||6),2()()(≠=---=a a T a x f a x f x f .【例 2.34】已知函数)(x f 对任意实数x 都满足)(1)1(x f x f =+,若8)1(=f ,则=)2014(f ___________.解析 1)(1(,)(1)1(=⋅+=+x f x f x f x f ),有1)2()1(=+⋅+x f x f ,所以)2()(+=x f x f ,故2=T ,所以81)1(1)0()2014(===f f f .变式1:函数)(x f 对任意实数x 都满足)(1)2(x f x f =+,若5)1(-=f ,则=))5((f f ____. 解析 1(2),(2)()1()f x f x f x f x +=+=即,有(4)(+2)1f x f x +=,所以f(x+4)=f(x),故T=4,f(5)=f(1)=-5,所以f(f(5))=f(-5)=f(-1)=1/f(1)=-1/5【例2.35】已知函数)(x f 满足),)(()()()(4,41)1(R y x y x f y x f y f x f f ∈-++==,则=)2010(f _____________.解析 令)1()1()()1()1()1()(4,1-++=⇒-++==x f x f x f x f x f f x f y)1()()1(--=+⇒x f x f x f ,6=T ,所以)0()2010(f f =,又令0,1==y x ,有)1()1()0()1(4f f f f +=,所以21)2010(,21)0(==f f . 【例2.36】已知函数)(x f 是定义在实数集R 上的不恒等于零的偶函数,且对任意实数x 都有)()1()1(x f x x xf +=+,则)25(f 的值是( )A.0B.21C.1D.25 分析 )(x f 为偶函数,有)()1()1(x f x x xf +=+,只能从x x =+1或者01=++x x 时入手.解析 当01=++x x 时,即21-=x 时,)21(21)21(21)21(21f f f =-=-,得0)25(,0)23(,0)21(===f f f ,故选A. 评注 本题也可以从另外一方面解答,先构造一个函数,当Z x ∉时,xx f x x f )(1)1(=++.令x x f x g )()(=,则1)1()1(++=+x x f x g .所以)()1(x g x g =+,1=T ,令21-=x ,得0)21(),21(21)21(21)21(21==-=-f f f f .因为)21(25(g g =),即02)21(2)25(==f f .故0)25(=f .变式1:已知a 为非零常数,R x ∈且)(1)(1)(x f x f a x f -+=+,试判断)(x f 的周期性. 解析 1()11()1()11()(),(2)1()1()1()()11()f x f x f x a f x f x a f x a f x f x f x a f x f x +++++-+=+===-+--+--, 所以(2)()1f x a f x +=-,即(2)(4)1f x a f x a ++=-所以f(x+4a)=f(x),T=4|a|, 故(x)为周期函数,且T=4|a|.题型19 函数性质的综合思路提示(1)奇偶性与单调性综合解题,尤其要重视利用偶函数(或轴对称函数)与单调性综合解不等式和比较大小.(2)奇偶性、单调性、周期性综合解题,尤其要注意对称性与周期性之间的关系,周期是两条对称轴(或对称中心)之间距离的2倍,是对称中心与对称轴之间距离的4倍.如函数)(x f 的图象关于点)0,(a 和点)0,(b 中心对称,可得)(||2b a b a T ≠-=. )2()(),2()(x b f x f x a f x f --=--=,所以)2()2(x b f x a f -=-,可得||2b a T -=. 如函数)(x f 的图象关于直线a x =和直线b x =轴对称,可得)(||2b a b a T ≠-=.)2()(),2()(x b f x f x a f x f -=-=,所以)2()2(x b f x a f -=-,可得||2b a T -=.如函数)(x f 关于点)0,(a 中心对称,且关于直线b x =轴对称,可得)(||4b a b a T ≠-=.)2()(),2()(x b f x f x a f x f -=--=,所以)2()2(x b f x a f -=--,故)()44(x f x a b f =+-,||4b a T -=.【2.37】定义在R 上的偶函数)(x f 满足:对任意的)](0,(,2121x x x x ≠-∞∈,有0)]()()[(2121>--x f x f x x ,则当*N n ∈时,有( ))1()1()(.+<-<-n f n f n f A )1()()1(.+<-<-n f n f n f B)1()()1(.-<-<+n f n f n f C )()1()1(.n f n f n f D -<-<+分析 偶函数关于y 轴对称,关于y 轴对称的两部分图象单调性相反.解析 由]0,(,21-∞∈∀x x ,有0)]()()[(2121>--x f x f x x 可得]0,(-∞∈x 时,)(x f 单调递增,因为)(x f 为偶函数,所以当),0(+∞∈x 时,)(x f 单调递减,所以自变量绝对值越小,所对应的的函数值越大.因为110+<<-≤n n n ,所以)1()()()1(+>-=>-n f n f n f n f ,故选C.变式1:已知定义域为R 的函数)(x f 在区间),8(+∞上减函数,且函数)8(+=x f y 为偶函数,则( ))7()6(.f f A > )7()6(.f f B > )9()7(.f f C > )10()7(.f f D > 解析 因为s(x+8)为周期函数,所以f(-x+8)=f(x+8),所以f(x)关于x=8对称,又因x ∈(8,+ ∞)时,f(x)为减函数,所以x ∈(-∞,8)时,f(x)为增函数,所以|x-8|越小,f(x)越大, |6-8|>|7-8|⇒f(6)<f(7); |6-8|>|9-8|⇒f(6)<f(9)|7-8|=|9-8|⇒f(7)=f(9) ;|7-8|<|10-8|⇒f(7) >f(10).故选D.变式2:已知偶函数)(x f 在区间),0[+∞上单调递增,则满足)31()12(f x f <-的x 的取值范围是( ))32,31.(A )32,31.[B )32,21.(C )32,21.[D解析 偶函数f(x)在区间(- ∞,0)上单调递增,所以f(x)在区间[0,+ ∞)上单调递减,即|x|越小,f(x)越大,由f(2x-1)=f (|2x-1|)<f(1/3) 可得|2x-1|<1/3,解得1/3<x<2/3.故选A.变式3:设函数)(x f 是奇函数,并且在R 上为增函数,若20πθ≤≤时,0)1()sin (>-+m f m f θ恒成立,则实数m 的取值范围是( ))1,0.(A )0,.(-∞B )21,.(-∞C )1,.(-∞D解析 因为f(x)是奇函数,且在R 上为增函数,又f(msin Ɵ)+ f(1-m) >0所以f(msin Ɵ) >- f(1-m) =f(m-1),所以msin Ɵ >m-1,令t=sin Ɵ∈[0,1],构造函数g(t)=mt-m+1, t ∈[0,1],由函数g(t)在[0,1]上恒大于0,则-m+1>0,故m <1,故选D.变式4:设函数}{,1)3()(3n a x x x f -+-=是公差不为0的等差数列,14)(...)()(721=+++a f a f a f ,则=+++721...a a a ( )A. 0B. 7C. 14D. 21解析f(x)=(x-3)3+x-1=(x-3)3+x-3+2,设t=x-3,令g(t)=t 3+t,易知g(t)在R 上为单调递增的奇函数.有f(a 1)+ f(a 2)+…+ f(a 7)=14,得g(t 1)+g(t 2)+…+g(t 7)=0,其中t 1=a 1-3,t 2=a 2-3,…当t 1+t 7>0时,得t 1>-t 7,g(t 1) >g(-t 7)=- g(t 7),即g(t 1) + g(t 7)>0,同理g(t 2) + g(t 6)>0,g(t 3) + g(t 5)>0,g(t 4) >0,故t 1+t 7>0得g(t 1) + g(t 2) +…+ g(t 7)>0. 当t 1+t 7<0得g(t 1) + g(t 2) +…+ g(t 7) <0. 又g(t 1) + g(t 2) +…+ g(t 7)=0,故只有t 1+t 7=0 即a 1+a 7=6,则a 1+a 2+…+a 7=( a 1+ a 7)x7/2=21.故选D.评注 :本题考查了单调递增的奇函数的性质:若121212,,0()()0x x D x x f x f x ∀∈+>⇔+>,或121212,,0()()0x x D x x f x f x ∀∈+<⇔+<【例2.38】函数)(x f 的定义域为R ,若)1(+x f 与)1(-x f 都是奇函数,则( ) A.)(x f 是偶函数 B.)(x f 是奇函数 C.)2()(+=x f x f D.)2(+x f 是奇函数 分析 由奇偶性⇒对称性⇒周期性.解析 因为)1(+x f 为奇函数,所以)1()1(+-=+-x f x f ,故)0,1(为函数)(x f 的对称中心,由)1(-x f 为奇函数,同理)0,1(-也为函数)(x f 的对称中心,利用结论知函数)(x f 的周期为4,则)1()3(-=+x f x f ,所以)3(+x f 为奇函数.故选D.变式1:定义在R 上的偶函数)(x f 满足)()1(x f x f -=+,且在]0,1[-上单调递增,设)3(f a =,)2(),2(f c f b ==,则c b a ,,的大小关系是( )c b a A >>. b c a B >>. a c b C >>. a b c D >>.解析 由f(x+1)= -f(x),可得T=2,所以-2),c=f(2)=f(0),因为f(x)在[-1,0]上单调递增,所以f(0) >-2) > f(-1),所以c >b >a,故选B.变式2:已知定义在R 上奇函数)(x f 满足)()4(x f x f -=-,且在区间]2,0[上是增函数,则( ))80()11()25(.f f f A <<- )25()11()80(.-<<f f f B )25()80()11(.-<<f f f C )11()80()25(.f f f D <<-解析 由f(x-4)= -f(x),可得T=8,所以f(80)=f(0), f(-25)=f(-1),f(11)=f(3)=-f(-1)=f(1),因为f(x)为定义在R 上的奇函数且在[0,2]上单调递增,所以f(x)在[-2,2]上单调递增,所以f(1) >f(0) >f(-1),即f(-25) <f(80) <f(1),故选D.【例 2.39】定义在R 上的函数)(x f 是奇函数,且是以2为周期的周期函数,则)7()4()1(f f f ++=( )1.-A 0.B 1.C 4.D解析 因为)(x f 的T=2,且是定义在R 上的奇函数,所以0)0(=f ,则0)1()0()1()7()4()1(=-++=++f f f f f f ,故选B.变式1:已知)(x f 是R 上最小正周期为2的周期函数,且当20<≤x 时,x x x f -=3)(,则函数)(x f 的图象在区间]6,0[上与x 轴的交点的个数为( ) A.6 B.7 C.8 D.9解析 因为当0≤x ﹤2时,f(x)=x 3-x=x(x 2-1),又因为f(x)是R 上最小正周期为2的周期函数,且f(0)=0,所以f(6)=f(4)=f(2)=f(0)=0,又因为f(1)=0,f(3)=0,f(5)=0,故函数y=f(x)的图像在区间[0,6]上与x 轴的交点的个数为7个,故选B.【例 2.40】函数)(x f 的定义域为D ,若对任意的D x x ∈21,,当21x x <时,都有)()(21x f x f ≤,则称函数)(x f 在D 上为非减函数,设函数)(x f 在]1,0[上为非减函数,且满足以下3个条件:①0)0(=f ;②)(21)3(x f x f =;③)(1)1(x f x f -=-,则=+)81()31(f f ( ) 43.A 21.B 1.C 32.D解析 21)1(21)31(==f f ,也可得41)31(21)91(==f f ,由)(1)1(x f x f -=-可得21)21(=f ,所以41)21(21)61(==f f .因为当1021≤<≤x x 时都有)()(21x f x f ≤,所以可由618191<<得,)61()81()91(f f f ≤≤,即41)81(=f ,所以43)81()31(=+f f .故选A.变式1:定义在R 上的函数满足1)1()(,0)0(=-+=x f x f f ,)(21)3(x f xf =,且当1021≤<≤x x 时,)()(21x f x f ≤,则=)20101(f ___________. 分析 当x 1<x 2时,f(x 1) ≤f(x 2),可知f(x)为非减函数,求这类函数值时用夹逼的方法解答.解析 由f(0)=0,f(x)=+f(1-x)=1,可得f(12)=12,f(1)=1-f(0)=1,f(15)=12f(1)= 12,当x ∈ [15,12]时,1111()()2522f f =≤=,所以111(),[,],252f x x =∈ 同理111[,],(),25104x f x ∈=当时111[,],(),125508x f x ∈=当时111[,],(),125508x f x ∈=当时111[,],(),62525016x f x ∈=当时111[,],(),3125125032x f x ∈=当时又因为1111,().31251250201032x f <<=变式2:设)(x g 是定义在R 上,以1为周期的函数,若函数)()(x g x x f +=在区间]4,3[上的值域为]5,2[-,则)(x f 在区间]10,10[-上的值域为_____________.解析 设x 1∈[3,4],f(x 1)=x 1+g(x 1) ∈[-2,5],因为g(x)是定义在R 上且周期为1的函数,所以当x 2=x 1+1∈[4,5]时,f(x 2)=x 1+1+g(x 1+1)= x 1+g(x 1) +1∈[-1,6], 当x 3=x 2+1∈[5,6]时,f(x 3)=x 1+2+g(x 1+2)= x 1+g(x 1) +2∈[0,7];…当x 7=x 1+6∈[9,10]时,f(x 7)=x 1+6+g(x 1+6)= x 1+g(x 1) +6∈[4,11].同理当x ∈[-10,-9]时,f(x)=f(x 1-13)=x 1-13+g(x 1-13)= x 1+g(x 1) -13∈-15,-8],综上,当x ∈[-10,10]时,函数f(x)的值域为[-15,11].变式3:对于定义域为]1,0[的连续函数)(x f ,如果同时满足以下3个条件:①对任意的]1,0[∈x ,总有0)(≥x f ;②1)1(=f ;③若1,0,02121≤+≥≥x x x x ,都有)()()(2121x f x f x x f +≥+成立,则)(x f 为理想函数.(1)若函数为理想函数,求)(x f 的值域;(2)判断函数])1,0[(12)(∈-=x x g x 是否为理想函数,并予以证明;(3)若函数)(x f 为理想函数,假定存在]1,0[0∈x ,使得]1,0[)(0∈x f ,且00))((x x f f =,求证:00)(x x f =.(4)解析 (1)由③得f(1)≥f(1)+f(0) ⇒ f(0) ≤0, 由①得f(0) ≥0,所以f(0) =0,当0<x<1时,令t >0且t+x=1,由②③得f(1)≥f(x)+f(t),又因为f(x)为[0,1]上的连续函数,所以f(x) ≤1,所以0≤f(x)≤1,所以f(x)的值域为[0,1].(5)(2) g()x=2x -1(x ∈[0,1])是理想函数,证明如下:x ∈[0,1]时,1≤2x ≤2,所以2x -1≥0,所以满足①;f(1)= 21-1=1,所以满足②; (6)X 1≥0, x 2≥0,x 1+x 2≤1时,(7)g(x 1+x 2)-g(X 1)-g(x 2)=2x 1+x 2 -2x 1-2x 2+1=(2x 1-1)(2x 2-1) ≥0,(8)所以g(x 1+x 2)-g(X 1)-g(x 2)≥0,即g(x 1+x 2) ≥g(X 1)+ -g(x 2),所以满足③. (9)故函数g()x=2x -1(x ∈[0,1])是理想函数.(10)(3)证明:假设f(x 0)=t,当x 0﹥t 时,f(f(x 0))=f(t)=x 0,因为x 0﹥t,函数f(x)在[0,1]上非减,所以f(x) ≥f(t),即t ≥x 0与x 0﹥t 矛盾,故当x 0﹥t 时不成立,同理当x 0﹤t 时,也与已知矛盾.所以f(x 0)= x 0.最有效训练题6(限时45分钟)1.已知函数)32(log )(22--=x x x f ,现使)(x f 为减函数的区间是( ) )6,3.(A )0,1.(-B )2,1.(C )1,.(--∞D2.已知函数]3,2[,)(2-∈=x x x f ,如果存在实数]3,2[,21-∈x x ,使得对任意实数]3,2[-∈x ,都有)()()(21x f x f x f ≤≤,则||21x x -的值是( )A.0B.2C.3D.53.函数)(x f )(R x ∈的图象如图所示,则下列哪个区间是函数)10)((log )(<<=a x f x g a 的单调减区间( )]21,0.[A ),21[)0,.(+∞-∞ B ]1,.[a C ]1,.[+a a D4.已知函数⎩⎨⎧≥<-=)2()2()4()(x a x x a x f x在R上单调递增,则a 的取值范围是( ) ]4,1.(A )4,2.(B )4,2.[C ),4.(+∞D5.函数)(x f 是以2为周期的偶函数,且当)1,0(∈x 时,12)(-=x x f ,则)12(log 2f 的值为( ) 31.A 34.B 2.C 11.D 6.设2)(3-+=x x x f ,若5)(,1)(-==b f a f ,则=+b a ( ) 2.-A 0.B 1.C 2.D7.设函数))(()(R x ae e x x f xx∈+=-是偶函数,则实数=a __________.8.(1)奇函数)(x f 的定义域为]5,5[-,若当]5,0[∈x 时,)(x f 的图象如图所示,则不等式0)(<x f 的解集是__________.(2)已知函数)(x f y =是R 上的偶函数,且在]0,(-∞上是减函数,若()(2)f a f ≥,则实数a 的取值范围是________.9.已知(),()f x g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数,且2()()23f x g x x x +=++,则()()f x g x -=_________.10.已知函数||sin 1()||1x x f x x -+=+()x R ∈的最大值为M ,最小值为m ,则M m +的值为___________.11.设()f x 是定义在R 上的奇函数,且对任意实数x 恒有(2)()f x f x +=-.当[0,2]x ∈时, 2()2f x x x =-.(1)求证: ()f x 是周期函数;(2)当[2,4]x ∈时,求()f x 的解析式;(3)计算(0)(1)(2)(2015)f f f f ++++.12.已知定义域为R 的函数1()41xf x a =++是奇函数.(1)求a 的值;(2)判断()f x 的单调性;(3)若对任意的t R ∈,不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立,求k 的取值范围.最有效训练61.D 解析 由x 2-2x-3 ﹥0得函数的定义域为(-∞,-1)∪(3,+∞),且二次函数t= x 2-2x-3在(-∞,-1)上是减函数,在(3,+∞)上是增函数,而y=log 2t 是增函数,所以复合函数f(x)= log 2(x 2-2x-3)在(-∞,-1)上是减函数.故选D.2.C 解析 由于f(x)=x 2在[-2,0]上单调递减,在[0,3]上单调递增,故最小值点x 1=0,最大值点x 2=3,∣x 1- x 2∣=3.故选C.3.C 解析 令t=log a x(0﹤a ﹤1),则此函数为减函数,由图2-6知y=f(t)在(-∞,0)和(12,+∞)上都是减函数,在[0, 12]上是增函数, 当t ∈[0,12]时,x ∈所以,函数g(x)=f(log a x)在上是减函数.故选C. 4.C 解析 依题意得,函数f(x)在r 上单调递减,则2401,24,2(4)a a x a a⎧->⎪>≤<⎨⎪-≤⎩解得故选C.5.A 解析 f(log 212)= f(log 212-4)= f(log 234)= f(-log 234)= f(log 243),由于0﹤log 243﹤1,故f(log 243)=13.故选A. 6.B 解析 令g(x)=x 3+x,x ∈R,则g(x)为单调递增的奇函数,又f(a)=1,f(b)=-5,所以f(a)+f(b)=g(a)-2+g(b)-2=-4,即g(a) +g(b)=0,所以a+b=0.故选B.7. -1 解析 令g(x)=x,h(x)=e x +ae -x ,因为函数g(x)=x 是奇函数,则由题意知,函数h(x)=e x +ae -x 是奇函数,又函数f(x)的定义域为R , 所以h(0)=0,解得a=-1.8. (1) (-2,0) ∪(2,5]; (2)(-∞,-2] ∪[2, +∞)解析 (1)由奇函数图像的对称性补出其在[-5,0)上的图像,由图像知解集为(-2,0) ∪(2,5].(2)由已知f(x)在[0, +∞)上都是减函数,且f(a)=f(∣a ∣)所以f(a) ≥f(2),故f(∣a ∣) ≥f(2)所以∣a ∣ ≥2,得a ≤-2或a ≥2, 则实数a 的取值范围是(-∞,-2] ∪[2, +∞).9.2x-x 2-3 解析 依题意,f(-x)+g(-x)=x 2-2x+3=- f(x)+g(x),因此f(x)-g(x)= 2x-x 2-3(x ∈R )10. 2 解析 将f(x)变形,利用奇函数的图像冠宇原点对称的特殊性质,因为sin ()1,1x f x x =-+其中sin 1xx μ=+是奇函数,所以M=1+max μ,m=1-min μ故 M+m=2. 11.解析 (1)证明:因为f(x+2)=-f(x),所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x)所以f(x)是周期为4的周期函数.(2)当x ∈[2,4]时,x-2∈[0,2],所以f(x-2)=-x 2+6x-8,又因为f(x-2)=-f((x-2)+2)= -f(x),所。

(整理)高考第一轮复习——函数的单调性(文)

(整理)高考第一轮复习——函数的单调性(文)

【本讲教育信息】一. 教学内容:函数的单调性1. 概念:设函数)(x f 的定义域为I(1)增函数:如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值21,x x ,当21x x <时,都有)()(21x f x f <,那么称函数)(x f 在这个区间上是增函数。

(2)减函数:如果对于属于定义域I 内某个区间的任意两个自变量的值21,x x ,当21x x <时,都有)()(21x f x f >,则称)(x f 在这个区间上是减函数。

(3)单调区间:如果函数)(x f y =在某个区间是增函数或减函数,则称函数)(x f y =在这一区间上具有(严格的)单调性,该区间叫做)(x f y =的单调区间。

注:① 中学单调性是指严格单调的,即不能是)()(21x f x f ≤或)()(21x f x f ≥② 单调性刻画的是函数的“局部”性质。

如xy 1=在)0,(-∞与),0(+∞上是减函数,不能说xy 1=在),0()0,(+∞⋃-∞上是减函数。

③ 单调性反映函数值的变化趋势,反映图象的上升或下降2. 单调性的判定方法(定义法、复合函数单调性结论,函数单调性性质,导数,图象) (1)定义法[例1] 证明函数1)(31-=x x f 在R 上是增函数证:设21x x <,则3223123113212131231121)()(xx x x x x x x x f x f ++-=-=-而分子021<-=x x 分母043)21(3222312311322312311321>++=+⋅+=x x x x x x x 故0)()(21<-x f x f 得证补:讨论函数22)(x x a x f -=的单调性)10(≠<a解:设1>a 时,对任R x ∈,022>-xx a,设121<<x x2112222212)()(x x x x a x f x f +--=,而)](2)[(221212211222x x x x x x x x +--=+--0> 即)()(12x f x f >故在)1,(-∞单增,同理在),1(+∞单减当10<<a 时,同理在(1,∞-)单减,在(1,∞+)单增[例2] 讨论xx x f +=1)(的单调性解:设21x x <,则)11)((11)()(2112112212x x x x x x x x x f x f --=+-+=-21212112)()1)((x x x x x x x x +--=(1)当1021≤<<x x 时,1021<<x x ,0)()(12<-x f x f (2)当211x x <≤时,211x x <,0)()(12>-x f x f 故)(x f 在]1,0(上是减函数,在),1[+∞上是增函数[例3] 试求函数xpx x f +=)((p 0≠)的单调区间 分析:考虑到212112112212)()()()(x x p x x x x x px x p x x f x f --=+-+=-以下分类讨论 (1)当p 0>时① 若p x x -≤<21,则0)()(12>-x f x f ,)(x f 增 ② 若021<<≤-x x p ,则0)()(12<-x f x f ,)(x f 减③ 若p x x ≤<<210,则0)()(12<-x f x f ,)(x f 减④ 若21x x p <≤,则0)()(12>-x f x f ,)(x f 增(2)当0<p 时① 若021<<x x ,则0)()(12>-x f x f 增 ② 若210x x <<,则0)()(12>-x f x f 增综上所述,0>p 时,)(x f 在)0,[p -或],0(p 上是减函数)(x f 在],(p --∞或),[+∞p 上是增函数时,在或上是增函数另法,利用导数21)(x x f -=')(22p x x-= (1)若0>p则))((1)(2p x p x xx f -+=' (2)若0<p ,则0)(>'x f 下证高考分式函数试题类型与解法研究 [例4] 讨论分式函数xbax x f +=)(的单调性(0≠ab ) 以下只研究0,0>>b a 与0,0<>b a 两种情形对于0,0><b a 与0,0<<b a 可利用对称性得到。

高三一轮复习:函数的单调性

高三一轮复习:函数的单调性

高三一轮复习:函数的单调性第一篇:高三一轮复习:函数的单调性高三一轮复习:函数的单调性教学设计一、【教学目标】【知识目标】:使学生从形与数两方面理解函数单调性的概念,学会利用函数图像理解和研究函数的性质,初步掌握利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法.【能力目标】通过对函数单调性定义的探究,渗透数形结合数学思想方法,培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力;通过对函数单调性的证明,提高学生的推理论证能力.【德育目标】通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯,让学生经历从具体到抽象,从特殊到一般,从感性到理性的认知过程.二、【教学重点】函数单调性的概念、判断、证明及应用.函数的单调性是函数的最重要的性质之一,它在今后解决初等函数的性质、求函数的值域、不等式及比较两个数的大小等方面有广泛的实际应用,三、【教学难点】归纳抽象函数单调性的定义以及根据定义或导数证明函数的单调性.由于判断或证明函数的单调性,常常要综合运用一些知识(如不等式、因式分解、配方及数形结合的思想方法等)所以判断或证明函数的单调性是本节课的难点.【教材分析】函数的单调性是函数的重要性质之一,它把自变量的变化方向和函数值的变化方向定性的联系在一起,所以本节课在教材中的作用如下(1)函数的单调性一节中的知识是它和后面的函数奇偶性,合称为函数的简单性质,是今后研究指数函数、对数函数、幂函数、三角函数及其他函数单调性的理论基础。

(2)函数的单调性是培养学生数学能力的良好题材,同时还要综合利用前面的知识解决函数单调性的一些问题,有利于学生数学能力的提高。

(3)函数的单调性有着广泛的实际应用。

在解决函数值域、定义域、不等式、比较两数大小等具体问题中均需用到函数的单调性;利用函数图象来研究函数性质的数形结合思想将贯穿于我们整个数学教学。

因此“函数的单调性”在中学数学内容里占有十分重要的地位。

它体现了函数的变化趋势和变化特点,在利用函数观点解决问题中起着十分重要的作用,为培养创新意识和实践能力提供了重要方式和途径。

函数单调性高三复习知识点

函数单调性高三复习知识点

函数单调性高三复习知识点函数单调性是高中数学中的重要知识点之一,它在数学分析、代数学等学科中有着广泛的应用。

本文将就函数单调性的定义、性质、证明方法等方面进行高中复习知识点的总结。

一、函数单调性的定义与性质在数学中,函数单调性是指函数对于定义域内的任意两个不同的自变量取值,其函数值的变化关系。

具体而言,若函数在定义域D上满足对于任意的x_1,x_2∈D,且x_1 < x_2,都有f(x_1) < f(x_2),则称该函数在D上为递增函数;若对于任意的x_1,x_2∈D,且x_1 < x_2,都有f(x_1) > f(x_2),则称该函数在D 上为递减函数。

函数的单调性可以用图像直观地表示出来。

对于递增函数,其图像从左往右呈上升趋势;对于递减函数,其图像从左往右呈下降趋势。

而对于函数的单调性来说,如果一个函数既是递增函数又是递减函数,那么它在整个定义域上是无单调性的。

二、函数单调性的证明方法1. 利用导数的符号进行证明函数的单调性与函数的导数有着密切的关系。

对于给定的函数,如果在定义域内的某个区间上导数的取值恒为正值,则函数在该区间上为递增函数;如果导数的取值恒为负值,则函数在该区间上为递减函数。

证明函数单调性的关键是分析函数的导数符号。

可以通过导数的定义及相关的数学推理,找出导数在某个区间上的符号,从而得出函数在该区间上的单调性。

2. 利用函数的增减性进行证明对于函数f(x),若在定义域内的任意两个不同的自变量取值x_1和x_2,若有f(x_1) < f(x_2),则函数在x_1和x_2之间取任意值时均满足f(x_1) < f(x) < f(x_2),则称函数在x_1和x_2之间是递增的。

反之,如果有f(x_1) > f(x_2),则称函数在x_1和x_2之间是递减的。

基于这个性质,可以通过选择不同的x_1和x_2来判断函数的单调性。

如果对于所有的x_1 < x_2,都有f(x_1) < f(x_2),则函数为递增函数;如果对于所有的x_1 < x_2,都有f(x_1) > f(x_2),则函数为递减函数。

2019-2020学年高考数学一轮复习-函数的单调性教案

2019-2020学年高考数学一轮复习-函数的单调性教案

2019-2020学年高考数学一轮复习 函数的单调性教案一、考纲要求函数的单调性B二、复习目标1.理解函数的单调性 ;2.能判断或证明函数的单调性;2.能利用函数的单调性解决其它一些综合问题.三、重点难点 判断或证明函数的单调性;利用函数的单调性解决一些综合问题.四、要点梳理1.函数单调性的定义:设函数()f x 的定义域为A ,区间I A ⊆,如果对于区间I 上的任意两个值12,x x ,当12x x <时,都有_____________,称()y f x =在区间I 上是单调增函数,I 称为()y f x =的增区间.如果对于区间I 上的任意两个值12,x x ,当12x x <时,都有_____________,称()y f x =在区间I 上是单调减函数,I 称为()y f x =的减区间.2.单调性与单调区间如果一个函数在某个区间I 上是__________或是__________,就说这个函数在这个区间I 上具有_________(区间I 称为____________).3.复合函数的单调性对于函数()y f u =和()u g x =,如果当(,)x a b ∈,(,)u m n ∈,且()u g x =在区间(,)a b 和()y f u =在区间(,)m n 上同时具有单调性,那么复合函数(())y f g x =在区间(,)a b 上具有单调性.遵循的法则是“同增异减”.即若两个简单函数的单调性相同,则这两个函数的复合函数为______,两个简单函数的单调性相反,则这两个函数的复合函数为_______.4.判断函数的单调性的方法:(1)定义法;(2)导数法;(3)图象法等.5.注意点:①()f x 在区间D 上是增函数121212()()__(,)f x f x x x D x x -⇔>∈-()0f x '⇔≥且()f x '不恒为零121212()[()()]____(,)x x f x f x x x D ⇔-->∈()()f x d f x ⇔+>(d 是任意正数而非某一正常数).同理()f x 在区间D 上是减函数⇔②0)(>'x f 能推出)(x f 为增函数,但反之不一定.如函数3)(x x f =在),(+∞-∞上单调递增,但0)(≥'x f ,∴0)(>'x f 是)(x f 为增函数的______________条件. ③判断函数单调性应先研究函数的________,单调区间是________的子区间.求函数的单调区间要求除同判断函数单调性的要求相同外,还需注意单调区间的合并问题.如果区间不连续,一定不能取并集;④奇函数在关于原点对称的区间上单调性是_________;偶函数在关于原点对称的区间上单调性是___________.五、基础自测1.(必修1第54页第6题)若函数2()2f x x mx =+-的单调递减区间为(,2)-∞,则实数m 的值为____;若()f x 在区间(,2)-∞上单调递减,则则实数m 的取值范围为_______.2.(1) 函数32()15336f x x x x =--+的单调递增区间为 .(2) 函数20.7log (32)y x x =-+的单调减区间是____________________. 3、下列函数 (1)2()(1)f x x =- (2)1()x f x e-= (3)2()log (1)f x x =- (4) 111y x =--(5)||y x x =在(,0)x ∈-∞是减函数的序号是_______________ 4.(必修1第40页第8题)下列命题正确的是_____________.(1)若定义在R 上的函数()f x 满足(2)(1)f f >,则函数()f x 是R 上的单调增函数;(2)若定义在R 上的函数()f x 满足(2)(1)f f >,则函数()f x 在R 上不是单调减函数;(3)若定义在R 上的函数()f x 在区间(,0]-∞上是单调增函数,在区间[0,)+∞上是单调增函数,则函数()f x 在R 上是单调增函数;(4)若定义在R 上的函数()f x 在区间(,0]-∞上是单调增函数,在区间(0,)+∞上是单调增函数,则函数()f x 在R 上是单调增函数.5.若2()2f x x ax =-+与1()2ax g x x +=+在区间(2,)-+∞上是减函数,则a 的取值范围是_____________________.六、典例精讲例1、(1)判断函数1()12f x x =-的单调性,并证明你的结论; (2)判断函数1()ln 1x f x x-=+的单调性,并证明你的结论; (3)已知函数)(x f 的定义域是区间F ,函数)(x g 的定义域是区间G ,且对于任意的F x gG x ∈∈)(,,若)(x f 单调递增, )(x g 单调递减.证明:函数))((x g f 是G 上单调递减函数.例2、(1)若函数2()(1)2(1)1f x x x λλ=-++-+在区间[1,1]-是增函数,求实数λ的范围.(2)若()a f x x x=-在[1)+∞,上递增,求实数a 的取值范围. (3)函数9()log (8)a f x x x =+-在[)1,+∞是增函数,求实数a 的取值范围.例3.已知函数()f x 对任意实数x y ,,总有()()()f x y f x f y +=+,且当0x >时,()0f x <.(1)求(0)f ;(2)判断函数()f x 的单调性;(3)若(1)2f =-,求()f x 在[33]-,上的最值.变式:已知()f x 是定义在[]1,1-的奇函数,且(1)1f =,当[],1,1a b ∈-时,0a b +≠时,有()()0f a f b a b +>+.(1)判断()f x 在[]1,1-上是增函数还是减函数,并证明你的结论 (2)解不等式)41()21(-<-x f x f .七、千思百练:1.函数2()43f x x x =+-的单调递增区间为 .2.函数()||(3)f x x x =-的单调递减区间为 .3.函数()f x 是R 上的减函数,a ∈R ,记2()m f a =,(1)n f a =-,则m ,n 的大小关系是 .4.设函数()f x 是减函数,且()0f x >,下列函数中为增函数的是_________.(1)1()y f x =- (2)12log ()y f x = (3)()2f x y = (4)[]2()y f x = (5)32()y x f x =- 5.若函数()f x x a x =-在区间[1,4]上单调递增,则实数a 的最大值为_________.6.已知函数(31)4,1()log ,1a a x a x f x x x -+<⎧=⎨⎩≥满足对任意12 x x ≠都有1212()()0f x f x x x -<-,则实数a 的取值范围是 .7.若函数[]()log (2)01a f x ax =-在,上是减函数,则实数a 的取值范围是 .8.设函数2()1(,)f x ax bx a b R =++∈.(1)若(1)0f -=,且对任意实数x 均有()0f x ≥,求实数,a b 的值;(2)在(1)的条件下,当[2,2]x ∈-时,()()g x f x kx =-是单调函数,求实数k 的取值范围.9.设函数2()1f x x ax =+.(1)当1a ≥时,证明函数()f x 在区间[0,)+∞是单调减函数;(2)当[0,2]x ∈时,()0f x ≥恒成立,求实数a 的取值范围.10.已知函数()f x 的定义域为(0,)+∞,且对任意的正实数,x y ,都有()()(),1()0,(4)1f xy f x f y x f x f =+>>=又当时,(1)求1(1),()16f f ; (2)判断函数()f x 的单调性并证明你的结论;(3) 解不等式:()(3)1f x f x +-≤.八、总结反思。

高三第一轮复习函数的单调性课件

高三第一轮复习函数的单调性课件

1.(多选题)下列函数中,在区间(0,+∞)上单调递增的是(ABC )
A.y=x2+2x B. y 2x1 C.y x3 1 D.y (x 1) x
2.函数y=x-|1-x|的单调递增区间为 (-∞,1] .
3.函数f(x)=lg (x2-4)的单调递增区间为( C ) (A)(0,+∞) (B)(-∞,0) (C)(2,+∞) (D)(-∞,-2)
探究提高 (1)复合函数是指由若干个函数复合而 成的函数,它的单调性与构成它的函数u=g(x),y=f(u) 的单调性密切相关,其单调性的规律为“同增异减”, 即f(u)与g(x)有相同的单调性,则f[g(x)]必为增函 数,若具有不同的单调性,则f[g(x)]必为减函数. (2)讨论复合函数单调性的步骤是: ①求出复合函数的定义域; ②把复合函数分解成若干个常见的基本函数并判断其 单调性; ③把中间变量的变化范围转化成自变量的变化范围; ④根据上述复合函数的单调性规律判断其单调性.
考点分类 深度剖析
考点一 函数的单调性与单调区间
1、常见函数的单调性及单调区间
(1)一次函数y=kx+b的单调性; (2)二次函数y=ax2+bx+c的单调性; (3)反比例函数 y k (k 0) 的单调性;
x
(4)指数函数y=ax的单调性;
(5)对数函数y loga xa 0, a 0的单调性; (6)幂函数 y x 的单调性;
故x∈(1,+∞).
判断函数的单调性与求函数单调区间的常见方法:
1、利用已知基本初等函数的单调性(如一次、二次、反比例、指数、 对数等函数),转化为已知函数的和、差或复合函数,再求单调区间.
2、图象法:如果f(x)是以图象形式给出的,或者f(x)的图象易作出, 可由图象的直观性写出它的单调区间.一般地,解析式中含绝对值 的函数的单调区间常用此法.

2019-2020学年高三数学第一轮复习 函数单调性及奇偶性导学案 理 .doc

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2019-2020学年高三数学第一轮复习 函数单调性及奇偶性导学案 理编制人: 审核: 下科行政:【学习目标】1、理解函数单调性,最大值、最小值及其几何意义;2、结合具体函数,了解函数奇偶性的含义;3、会运用函数图象理解研究函数的性质。

【课前预习案】一、基础知识梳理2、函数奇偶性如果对于函数)(x f 的定义域内任意一个自变量x ,都有 ,则函数)(x f 为偶函数,都有 ,则)(x f 为奇函数。

奇函数图象关于 对称,偶函数图象关于 对称。

3、函数周期性:对于函数)(x f y =,若存在一个非零常数T ,使得当x 取定义域内任何值时,都有)()(x f T x f =+,则称函数)(x f 为周期函数。

二、练一练1、下列四个函数中,在),0(+∞上为增函数的是( )(A) x y )21(= (B)x y 2log -= (C) x x y 22-= (D) 21x y =2、函数x xx f -=1)(的图象关于( ) (A) Y 轴对称 (B)直线y=-x 对称 (C) 坐标原点对称 (D) 直线y=x 对称 3、已知函数32)1()(2++-=mx x m x f 为偶函数,则)(x f 在区间)3,5(--上( )(A) 先减后增 (B)先增后减 (C) 单调递减 (D) 单调递增4、若偶函数)(x f 在]1,(--∞上是增函数,则下列式子中成立的是( )(A) )2()1(}23(f f f <-<- (B))2()23()1(f f f <-<-(C) )23()1()2(-<-<f f f (D) )1()23()2(-<-<f f f【课内探究】一、讨论、展示、点评、质疑 探究一 函数的单调性问题 例1(1)讨论函数)0(2)(<-=m m mxx f 的单调性(2)求函数)32(log 221+--=x x y 的单调区间拓展1、已知定义在区间),0(+∞上的函数)(x f 满足)()()(2121x f x f x x f -=,且当1>x 时,0)(>x f(1)求)1(f 的值,并判断)(x f 的单调性 (2)若2)4(=f ,求)(x f 在]16,5[上的最大值探究二、函数奇偶性的问他你 例2、判断下列函数的奇偶性 (1))1(log )(22++=x x x f (2)33)(22-+-=x x x f(3)⎪⎩⎪⎨⎧>+-<+=)0()0()(22x x x x x x x f (4)334)(2-+-=x x x f (5)2)(2+-+=a x x x f拓展二、函数21)(xb ax x f ++=是定义在(-1,1)上的奇函数,52)21(=f (1)确定函数)(x f 的解析式(2)用定义证明)(x f 在(-1,1)是增函数 (3)解不等式0)()1(<+-t f t f二 总结提升 1、知识方面2、数学思想方面【课后训练案】一.选择题1、下列函数中,既是偶函数又在),0(+∞单调递增的函数是( )(A )3x y = (B )1+=x y (C )12+-=x y (D )xy -=22、下列函数中非奇非偶的函数是( )(A)xy 2= (B))1lg(2++=x x y(C)xxy -+=22 (D)11lg+=x y 3、已知函数)(x f 对一切R y x ∈,,都有)()()(y f x f y x f +=+,则)(x f 为( ) (A)偶函数 (B)奇函数 (C)既是奇函数又是偶函数 (D )非奇非偶4、已知函数)10(log )(≠>+=a a x a x f a x 且在]2,1[上的最大值和最小值之和为62log +a ,则a 的值为( )(A)21 (B) 41(C) 2 (D) 4 5、已知函数)(x f 对于任意的正实数)(,2121x x x x ≠,恒有0))()()((2121>--x f x f x x ,则一定正确的是( )(A))6()4(->f f (B))6()4(-<-f f (C))6()4(->-f f (D))6()4(-<f f 6、已知偶函数)(x f 在区间),0[+∞上单调递增,则满足)31()12(f x f <-的x 的范围是( )(A))32,31( (B))32,31[ (C))32,21( (D))32,21[ 7、若函数a x x x f +-=2)(为偶函数,则实数a = 。

高三函数单调性知识点总结

高三函数单调性知识点总结

高三函数单调性知识点总结函数是高中数学中重要的概念之一,而函数的单调性又是函数性质中的一个重要内容。

在高三数学学习中,我们需要掌握函数单调性的相关知识点,以便于解题和应用。

本文将对高三函数单调性的知识点进行总结。

一、函数单调性的概念函数的单调性是指函数在定义域内的取值随自变量增大或减小时是否呈现单调变化的性质。

具体而言,对于定义在实数集上的函数 f(x),若对于任意两个自变量 x1 和 x2(x1 < x2),都有 f(x1) ≤ f(x2),则称函数 f(x) 在区间 (x1, x2) 上是单调递增的;若对于任意两个自变量 x1 和 x2(x1 < x2),都有f(x1) ≥ f(x2),则称函数f(x) 在区间 (x1, x2) 上是单调递减的。

二、函数单调性的判断方法1. 导数法判断函数单调性对于可导的函数,其单调性可通过导数的正负进行判断。

若在某一区间内导数恒大于零,则函数在此区间上是递增的;若导数恒小于零,则函数在此区间上是递减的。

对于导数为零的点,需要特别注意。

2. 导数表判断函数单调性对于一元函数,我们可以通过绘制导数表来判断函数的单调性。

首先,求出函数的导函数,然后确定导函数的零点和分区间的符号,最后结合区间端点的符号,即可判断函数的单调性。

3. 零点判断函数单调性函数在临界点和间断点附近的单调性可以通过零点来判断。

对于定义在闭区间上的函数,可以求出函数在区间端点和内部点处的函数值,并观察函数值的变化趋势来判断函数的单调性。

三、函数单调性的性质1. 单调函数的性质(1)在一个区间上,若函数是递增的,则它在该区间上不存在最大值;若函数是递减的,则它在该区间上不存在最小值。

(2)若函数在整个定义域上单调递增(递减),则称为严格递增(递减)函数。

严格递增(递减)函数的反函数也是严格递增(递减)函数。

2. 单调性与零点的关系若函数连续且单调,且 f(a)·f(b) < 0,则在区间 (a, b) 内存在唯一的零点(即方程 f(x) = 0 的唯一实根)。

高中数学一轮复习函数的概念及性质:第6节函数的单调性

高中数学一轮复习函数的概念及性质:第6节函数的单调性

指数函数 y a x ( a 0且 a 1)
y 0<a<1
y=a x
a>1
1
O
x
0a1 a1
单调递减区间为
,
单调递增区间为
,
对数函数 y loga x ( a 0且 a 1)
y
O
1
a> 1 y=log ax
x 0<a< 1
0a1 a1
单调递减区间为
0,
单调递增区间为
0,
幂函数 y x 正弦函数 y sin x
结合题目所给性质和相应的条
件,对任意 x1,x2 在所给区间内比较
f(x1)- f(x2)与 0 的大小,或
f f
x1 与 1 的大小.有时根 x2
据需要,需作适当的变形:如
x1= x2·xx12或 x1= x2+ x1- x2 等;利用函数单调性可以求函数最
值.
x1 【变式探究】已知定义在区间 (0,+ ∞)上的函数 f( x)满足 f x2 = f(x1)-f (x2),且当 x>1
拼搏的你,背影很美!
函数 一次函数
y kx b k 0
二次函数
y ax2 bx c a 0
反比例函数 y k x
k0
努力的你,未来可期 !
图象
y k< 0
k> 0
O
x
y
y=ax 2 +bx+c
a< 0
b x=-
2a
O
x
y
y=ax 2 +bx+c
a< 0
b x=-
2a
O
x
y
k

高考一轮复习:函数单调性

高考一轮复习:函数单调性

本题考查导数的运算,极值点的判断,导数符号与函数单调变化之间 的关系,求解二次不等式,考查运算能力,综合运用知识分析和解决 问题的能力.
练 习 : ( 2011 江 西 ) 设
f (x) 1 x3 1 x2 2ax. 32
(1)若 f (x) 在 ( 2 ,) 上存在单调递增区间, 3
的单调递增区间。
点评:若函数 f (x) 在区间 M 上具有单调性,则函数 f (x) 在区间 M 的任意子区间 D 上都具有相同的单调性, 若函数 f (x) 在区间 M 上具有单调性,则在区间 M 上, 方程 f / (x) 0 没有实数根。
已知函数 f (x) 在区间 M 的单调性,求参数的取值
函数的单调性
• 单调性的本质是描述函数的变化趋势。这 可以直观地观察, 画图,数列等
• 但是,单调性概念的数学本质在于处理无 限变化的趋势;呈现的方式对“任意”两 个自变量 x1 < x2 ,都有 f(x1)< f(x2)
• 将直观的自然语言表述为严格的数学语言, 才能获得数学本质的认识
已知函数的单调性,求参数的取值范围,应注意函数f(x) 在(a,b)上递增(或递减)的充要条件应是f′(x)≥0(或 f′(x)≤0),x∈(a,b)恒成立,且f′(x)在(a,b)的任意子 区间内都不恒等于0,这就是说,函数f(x)在区间上的增 减性并不排斥在区间内个别点处有f′(x0)=0,甚至可以 在无穷多个点处f′(x0)=0,只要这样的点不能充满所给 区间的任何一个子区间.
高考数学第一轮复习
单调性在函数中的地位
函数的三性般所指: (1)单调性 (2)奇偶性 (3)周期性
其中,单调性排在首位,是函数的基本性质,是每个 初等函数要研究的性质. 其他性质则不然,如奇偶性, 周期性等,不是每个初等函数都具有的性质. 由此看到,单调性在函数中的重要地位.

人教A版高中数学选修一 6函数的单调性

人教A版高中数学选修一 6函数的单调性

第6讲 函数的单调性(1)一、教学目标1.掌握函数单调性的定义以及函数的单调区间求法,2.理解函数单调性的应用.二、知识点梳理知识点一:增函数、减函数定义1.增函数的定义:一般地,设函数y=f(x)的定义域为I ,如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1,x 2,当x 1<x 2时,都有f(x 1)<f(x 2),那么就说f(x)在区间D 上是增函数,区间D 称为f(x )的单调增区间。

2.减函数定义:一般地,设函数y=f(x)的定义域为I ,如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1,x 2,当x 1<x 2时,都有f(x 1)>f(x 2),那么就说f(x)在区间D 上是增函数,区间D 称为f(x )的单调减区间。

例1、定义在R 上的函数f(x)对任意两个不相等的实数a,b 总有ba b f a f --)()(>0,则必有( ) A 、函数f (x )先增后减B 、函数f(x)先减后增C 、函数f(x)在R 上是增函数D 、函数f(x)在R 上是减函数变式训练若函数f(x)的定义域为),0(+∞,且满足f(1)<f(2)<f(3),则函数f(x)在),0(+∞上( )A.是增函数B.是减函数C.先增后减D.单调性不能确定知识点二:单调区间与单调性知识点二:函数的单调区间:如果函数()y f x =在某个区间上是增函数(或减函数),就说()f x 在这一区间上具有(严格的)单调性,这一区间叫做()f x 的单调区间。

注意:(1)“区间”这个区间可以是整个定义域,也可以是定义域的真子集。

(2)函数单调性是函数在某一区间上的整体性质(3)并非所有函数都具有单调性⎩⎨⎧为无理数为有理数x x x f ,0,1)(,它的定义域为R 但不具有单调性。

(4)函数在某个区间上是单调增(减)函数,但是在整个定义域上不一定是单调增(减)函数(5)一个函数出现两个或两个以上的单调区间时,不能用“⋃”连接而用“和”“或”连接。

高三数学一轮复习函数的单调性

高三数学一轮复习函数的单调性

函数的单调性〖考纲要求〗理解增函数、减函数的定义,并会运用定义判定或证明一些简单函数的增减性;能结合函数的图象划分函数的单调区间;〖复习要求〗理解增函数、减函数的定义,并会运用定义判定或证明一些简单函数的增减性;能结合函数的图象划分函数的单调区间;会讨论复合函数的单调性.〖复习建议〗理解增函数、减函数的定义,掌握判断函数单调性的方法与步骤:设值、作差、比较、结论,能借助图象寻找函数的单调区间,掌握简单的复合函数单调性规律,学会用变量变化规律逐步寻找函数变化规律的判断方法〖双基回顾〗1、函数y =f (x )在其定义域的一个子区间M 上为增函数(减函数)的充要条件是:、在此区间M 上,函数的图象是 ;如果函数y =f (x )在区间M 上为增函数或为减函数,则称在M 上具有 、M 称为f (x )的 .2、一次函数y =kx +b ,当k >0时,在 上是 函数、当k <0时,在 上是函数、3、奇函数y =f (x )在区间[a ,b ]上是减函数,那么它在区间[-b ,-a ]上是 ;偶函数y =f (x )在区间[a ,b ]上是减函数,那么它在区间[-b ,-a ]上是 .(填增减性)4、函数y =x +xa (a >0)的单调区间为 .(记住这个结论) 一、基础知识练习:1、奇函数f (x )在[3,7]上单调递增且最小值为5,那么在[-7,-3]上……………………( )(A )递增,最小-5 (B )递减,最小-5 (C )递增,最大-5 (D )递减,最大-52、函数f (x )在[a ,b ]上单调并且f (a )·f (b )<0,则方程f (x )=0在[a ,b ]上…………( )(A )至少一解 (B )至多一解 (C )恰一解 (D )无解3、函数f (x )=x 2+mx +n 满足f (2+t)=f (2-t),那么a =f (1),b =f (2),c =f (4)的大小关系是…………( )(A )b <a <c (B )a <b <c (C ) b <c <a (D ) c <b <a4、函数y =(2k +1)x +b 在R 上为减函数,则k ∈ .5、f (x )=log a |x +1|在(-1,0)上恒正,则在(-∞,-1)上f (x )=log a |x +1|的单调性为 .6、函数f (x )=xx x 1log 823-+-的值域为 . 题型一:函数单调性的判断或证明[例1] 已知函数f (x )=x 2+1-ax ,其中a >0.证明:当a ≥1时,函数f (x )在区间[0,+∞)上为单调减函数.3.已知函数f(x)对于任意x,y∈R,总有f(x)+f(y)=f(x+y),且当x>0时,f(x)<0,f(1)=-2 3.(1)求证:f(x)在R上是减函数;(2)求f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值.题型二:求函数的单调区间例2求下列函数的单调区间.(1)f(x)=-x2+2|x|+3;(2)f(x)=log12(-x2-2x+3).思考题2求下列函数的单调区间.(1)f(x)=13-2x-x2;(2)y=x-ln(x-1).题型三:由函数的单调性求参数的值(或范围)1.已知函数f(x)=x2+ax(a>0)在(2,+∞)上为单调递增函数,求实数a的取值范围.2.已知函数f(x)=x-5x-a-2在(2,+∞)上为单调递增函数,求实数a的取值范围.3.若函数f(x)=4x2-kx-8在[5,20]上是单调递增函数,则实数k的取值范围是________.题型三:单调性性质应用1.若f(x)为R上的增函数,则满足f(2-m)<f(m2)的实数m的取值范围是________.2、定义在[-1,1]上的函数y=f(x)是减函数,且是奇函数,若f(a2-a-1)+f(4a-5)>0,求实数a的取值范围.3.已知函数f (x )=x 2+2x +a x ,x ∈[1,+∞).(1)当a =12时,求函数f (x )的最小值;(2)若对任意x ∈[1,+∞),f (x )>0恒成立,试求实数a 的取值范围.巩固练习:1.函数y =-x 2+2x -3(x <0)的单调增区间是( )A .(0,+∞)B .(-∞,1]C .(-∞,0)D .(-∞,-1]2.(2012·佛山月考)若函数y =ax 与y =-b x 在(0,+∞)上都是减函数,则y =ax 2+bx 在(0,+∞)上是() A .增函数 B .减函数C .先增后减D .先减后增3.(2010·天津高考)设函数g (x )=x 2-2(x ∈R),f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧ g (x )+x +4,x <g (x ),g (x )-x ,x ≥g (x ).则f (x )的值域是( )A .[-94,0]∪(1,+∞)B .[0,+∞)C .[-94,+∞)D .[-94,0]∪(2,+∞)4.已知奇函数f (x )对任意的正实数x 1,x 2(x 1≠x 2),恒有(x 1-x 2)(f (x 1)-f (x 2))>0,则一定正确的是( )A .f (4)>f (-6)B .f (-4)<f (-6)C .f (-4)>f (-6)D .f (4)<f (-6)5.函数f (x )=ln(4+3x -x 2)的单调递减区间是( )A.⎝⎛⎦⎤-∞,32B.⎣⎡⎭⎫32,+∞C.⎝⎛⎦⎤-1,32D.⎣⎡⎭⎫32,46.已知函数f (x )=x 2-cos x ,则f (-0.5),f (0),f (0.6)的大小关系是A .f (0)<f (-0.5)<f (0.6)B .f (-0.5)<f (0.6)<f (0)C .f (0)<f (0.6)<f (-0.5)D .f (-0.5)<f (0)<f (0.6)7.已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧ x 2+4x ,x ≥0,4x -x 2,x <0.若f (2-a 2)>f (a ),则实数a 的取值范围是( )A .(-∞,-1)∪(2,+∞)B .(-1,2)C .(-2,1)D .(-∞,-2)∪(1,+∞)8.设f (x )是定义在R 上的奇函数,且当x ≥0时,f (x )=x 2,若对任意的x ∈[t ,t +2],不等式f (x +t )≥2f (x )恒成立,则实数t 的取值范围是A .[2,+∞)B .[3,5)C .[2,3)D .[3,+∞)6.函数y =-(x -3)|x |的递增区间是________.9.已知函数f (x )=2x -12x ,且g (x )=⎩⎨⎧f (x ), x ≥0,f (-x ), x <0,则函数g (x )的最小值是________.10.已知函数f (x )=3-ax a -1(a ≠1). (1)若a >0,则f (x )的定义域是________;(2)若f (x )在区间(0,1]上是减函数,则实数a 的取值范围是________.11.已知函数f (x )是定义在(0,+∞)上的减函数,且满足f (xy )=f (x )+f (y ),f ⎝⎛⎭⎫13=1.(1)求f (1);(2)若f (x )+f (2-x )<2,求x 的取值范围.12.已知:)1()1()(log 22--=a x x a x f a ,讨论函数f (x )的单调性13已知函数f (x )=(a +1)ln x +ax 2+1.(1)讨论函数f (x )的单调性;(2)设a <-1.如果对任意x 1,x 2∈(0,+∞),|f (x 1)-f (x 2)|≥4|x 1-x 2|,求a 的取值范围.。

2020高考文科数学人教版一轮复习讲义第6讲 函数的单调性和答案

2020高考文科数学人教版一轮复习讲义第6讲 函数的单调性和答案

2020高考文科数学(人教版)一轮复习讲义:第6讲函数的单调性和答案第6讲函数的单调性1.理解函数的单调性及其几何意义.2.会运用函数图象理解和研究函数的性质.3.能够熟练地应用定义判断与证明函数在某区间上的单调性.22/ - 1 -2020高考文科数学(人教版)一轮复习讲义:第6讲函数的单调性和答案知识梳理1.函数的单调性的定义给定区间D上的函数f(x),若对于任意的x,x∈D,当x<x时,都有f(x)<f(x),211122则f(x)为区间D上的增函数.对于任意的x,x∈D,当x<x时,都有f(x)>f(x),212211则f(x)为区间D上的减函数.2.函数的单调区间的定义如果函数y=f(x)在某个区间D上是增函数或是减函数,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间D叫做y=f(x)的单调区间.如果函数是增函数,则称区间D为增区间,如果函数是减函数,则称区间D为减区间.3.单调函数的图象特征增函数的图象是上升的(如图1),减函数的图象是下降的(如图2).22/ - 2 -2020高考文科数学(人教版)一轮复习讲义:第6讲函数的单调性和答案1图2图22 / - 3 -讲2020函数的单调性和答案高考文科数学(人教版)一轮复习讲义:第61.单调性定义的等价形式:设x,x∈[a,b],且x≠x,那么2121f?x?-f?x?21>0f(x)f(x)]>0在[a,b]上是增函数;((x-x)[fx)-2121x-x21f?x?-f?x?21<0f(x)在[a,b]上是减函数())[-(xxf(x-fx)]<0.2112x-x212.判断单调性的常用结论(1)若f(x),g(x)均为增(减)函数,则f(x)+g(x)为增(减)函数.(2)若f(x)为增(减)函数,则-f(x)为减(增)函数.(3)y=f[g(x)]是定义在M上的函数,若f(x)与g(x)的单调性相同,则其复合函数f[g(x)]为增函数;若f(x),g(x)的单调性相反,则其复合函数f[g(x)]为减函数.(4)已知函数y=f(x),给定区间D,若对D内任意的x,f′(x)>0,则函数在区间D上单调递增;若对D内任意的x,f′(x)<0,则函数在区间D上单调递减.22/ - 4 -2020高考文科数学(人教版)一轮复习讲义:第6讲函数的单调性和答案热身练习1.下列函数f(x)中,满足“对任意x,x∈(0,+∞),当x<x时,都有f(x)<f(x)”的是221121(D) 12-1))=(x.x)=B f(xf A.(x x D.f(x)=ln(e(C.fx)=-x+1)根据单调性的定义,满足条件的函数f(x)在(0,+∞)上为增函数,分别作出选项A,B,C,D的图象(如下图),根据图象特征进行判断.22/ - 5 -2020高考文科数学(人教版)一轮复习讲义:第6讲函数的单调性和答案由图象可知,应选D.2.(2016·北京卷)下列函数中,在区间(-1,1)上为减函数的是(D)1A.y=B.y=cos x x-1-x 2y D1) x=.C y ln(+.=22/ - 6 -2020高考文科数学(人教版)一轮复习讲义:第6讲函数的单调性和答案1在(-∞,1)和(1,=y选项A中,x-11+∞)上为增函数,故y=在(-1,1)上为增函数;选项B中,y=cos x在(-1,1)上先增后减;x-1选项C中,y=ln(x+1)在(-1,+∞)上为增函数,故y=ln(x+1)在(-1,1)上为增函数;选项1=(在R上为减函数,故y=2在(-1,1)上为减函数.--xxx)D中,=2y22-2ax-3在区间[1,2]上具有单调性,则实数a)3.已知函数f(x=x的取值范围为(D)A.[1,2] B.(1,2)C.(-∞,1)∪(2,+∞) D.(-∞,1]∪[2,+∞)因为二次函数的单调性以对称轴为分界线,故顶点的横坐标不能落在区间(1,2)内,所以a≥2或a≤1.x+log(x+1)在[0,1]上的最大值与最小值之和为=xf4.函数()aa,则a的值为(B)a22/ - 7 -2020高考文科数学(人教版)一轮复习讲义:第6讲函数的单调性和答案11A. B. 42C.2 D.4与y=log x(x=因为ya+1)的单调性相a同,所以f(x)=a+log x(x+1)是单调函数,其最大值和最小值分别在端点处取得,a所以最值之和为f(0)+f(1)=a+log01+a+log2=a. aa1所以log2+1=0,所以a=.a212)的单调递增区间为x[0,2).log(杭州期中5.(2018·)函数fx)=(4-2.2,2)-(函数的定义域是,[0,2)的递减区间为2x=u4-22/ - 8 -2020高考文科数学(人教版)一轮复习讲义:第6讲函数的单调性和答案1又因为<1,根据复合函数的单调性可知,2函数f(x)的递增区间为[0,2).单调性的判定与证明22/ - 9 -函数的单调性和答案讲2020高考文科数学(人教版)一轮复习讲义:第6a,a)在(a>0)(0上是减+=xf证明函数()x x函数.因为没有要求一定要用定义进行证明,因此,除定义证明外,还可考虑用导数进行证明.22/ - 10 -函数的单调性和答案2020高考文科数学(人教版)一轮复习讲义:第6讲a0<x<x,则< (方法一)设21aa)++)-(x(f(x)-f(x)=x2211xx21aa-=(x)(x)+-21xx21axx-21x=( .)()x-21xx21x0<因为a,<,所以x-x<0,0<xx<x<a221112xf(所以,)>f(x),即)-f(x)>0f(x2211a上是减函数.,a(0(x)=x+在)f所以函数xa-2xa=,1-<0=′因为)0<x<a,所以f(x)方法二(22xx,a)上是减函数.在xf所以()(022/ - 11 -2020高考文科数学(人教版)一轮复习讲义:第6讲函数的单调性和答案(1)单调性的判定与证明的常用方法:①定义法:基本步骤为:一设,二作差,三比较,四下结论.②导数法:若f(x)在某个区间内可导,当f′(x)>0时,f(x)为增函数;当f′(x)<0时,f(x)为减函数.a(2)函数y=x+(a>0)是一种常用函数,俗称“双勾函数”,其图象如下图所示.x由图象,你能写出它的单调区间吗?能得出它的哪些性质?22/ - 12 -函数的单调性和答案2020高考文科数学(人教版)一轮复习讲义:第6讲a(a,+∞)xf(x)=+(a>0)在上是增函数..1证明函数x x,则设a<x (方法一)<21aa) +)-(x+)-f(x)=(xf(x2112xx21aa-x=())+(-x21xx21axx-21x=( )().-x21xx21x<因为a a,xx>,,所以<xx-x<0211122x(所以f ),)<f(xx)<0f)-(x,即f(2121a(a,+∞)在x)(所以函数fx=+上是增函数.x22/ - 13 -函数的单调性和答案6讲2020高考文科数学(人教版)一轮复习讲义:第a-2xa=,>0x)=1-因为(方法二)x(>a,所以f′22xx(a,+∞)上是增函数.所以f(x)在复合函数的单调性2-2x-x=xf)(2017·全国卷Ⅱ函数()ln(8)的单调递增区间是)(1) A.(.B2) (-∞,--∞,)) ,+∞.C(1(4.D ,+∞22/ - 14 -2020高考文科数学(人教版)一轮复习讲义:第6讲函数的单调性和答案-2x-8>0,得x>4或x<-2.2x由设t=x-2x-8,则y=ln t为增函数.2要求函数f(x)的单调递增区间,即求函数t=x-2x -8在定义域内的单调递增区间.2因为函数t=x-2x-8的单调递增区间为(4,+∞),2所以函数f(x)的单调递增区间为(4,+∞).D22/ - 15 -2020高考文科数学(人教版)一轮复习讲义:第6讲函数的单调性和答案复合函数y=f[g(x)]的单调性可按下列步骤判断:①将复合函数分解成两个简单的函数,y=f(u)与u=g(x);②确定函数的定义域;③分别确定分解成的两个函数的单调性;④其单调性规律:函数单调性增函数减函数减函数(x)增函数u=g减函数)=yf(u 减函数增函数增函数增函数gfy =[(增函数减函数减函数)]x复合函数的单调性可概括为一句话:“同增异减”.22/ - 16 -2020高考文科数学(人教版)一轮复习讲义:第6讲函数的单调性和答案12-3x+2)的单调递增区间为(-y=log(x∞,1),单调递2.(2018·马山县期中)函数2减区间为(2,+∞).313-3x+2=(x--在[,+∞)22)xu=令2423上递增,在(-∞,)上递减,2又因为x-3x+2>0,所以x>2或x<1.2故u=x-3x+2在(2,+∞)上递增,在(-∞,1)上递减.21又因为y=log u为减函数,21所以函数y=log-3x+2)在(2,+∞)上递减,在(-∞,1)上递增.2x( 2 函数单调性的应用22/ - 17 -函数的单调性和答案2020高考文科数学(人教版)一轮复习讲义:第6讲个单位后关已知(1)f(x)的图象向左平移11,(3)c=f=恒成立,设a=f(-),bf(2),()x于y轴对称,当x>>1时,[f(x-f(x)]·x-x)<01122212)(的大小关系为则a,b,c >aca>b B.>b>A.c c.b D b>a>a C.>c>2,则-3)f(m)<(昭通月考(2)(2018·)已知函数f(x)是定义域-3,3)上的增函数,如果f(3-m)m的取值范围是(实数6).-(6.A(2,,6) B,(26)6,-2)D-6,-2) .(∪.C(-(1)由条件知f(x)的图象关于x=1对称,且f(x)在(1,+∞)上是减函数,155因为a=f(-)=f(),且2<<3,22222/ - 18 -函数的单调性和答案讲2020高考文科数学(人教版)一轮复习讲义:第6.>c所以b>a,<33<3-m-???,m-3<3-3<<6.解得2<m2依题意(2)??,-32m3-m< (1)D(2)A(1)单调性是函数的重要性质,它的应用非常广泛,主要表现在两个方面:①根据自变量的大小关系得到函数值的大小关系,如比较大小、求函数的最值等;②根据函数值的大小关系得到自变量的大小关系,如解有关函数不等式等.(2)解函数不等式的一般步骤:22/ - 19 -2020高考文科数学(人教版)一轮复习讲义:第6讲函数的单调性和答案第一步,(定性)确定函数f(x)在给定区间上的单调性;第二步,(转化)将函数不等式转化为f(M)<f(N)的形式;第三步,(去f)运用函数的单调性“去掉”函数的抽象符号,转化为一般的不等式或不等式组;第四步,(求解)解不等式或不等式组确定解集.13.(1)已知f(x)=log x+,若x∈(1,2),x∈(2,+∞),则(B)221x-1A.f(x)<0,f(x)<0 B.f(x)<0,f(x)>0 2112C.f(x)>0,f(x)<0 D.f(x)>0,f(x)>0 22113,0x≤x,??2(D)的取值范围是),则实数x(2-xx)>f(f)已知函数(2)f(x=若?>0.x?,?ln x+1??A.(-∞,-1)∪(2,+∞)B.(-∞,-2)∪(1,+∞)C.(-1,2)D.(-2,1)22/ - 20 -2020高考文科数学(人教版)一轮复习讲义:第6讲函数的单调性和答案1在(1,+∞)+x)=log f (1)因为函数(x2x-1上为增函数,且f(2)=0,所以当x∈(1,2)时,f(x)<f(2)=0,11当x∈(2,+∞)时,f(x)>f(2)=0,22即f(x)<0,f(x)>0.21(2)因为当x=0时,两个表达式对应的函数值都为0,所以函数图象是一条连续不断的曲线.因为当x≤0时,f(x)=x为增函数,当x>0时,f(x)=ln(x+1)也是增函数,3且当x<0,x>0时,f(x)<f(x),2121所以f(x)是定义在R上的增函数.因此不等式f(2-x22>xx,等价于f)>(x)2-即x+x-2<0,解得-2<x<1,故选D.222/ - 21 -函数的单调性和答案高考文科数学(人教版)一轮复习讲义:第6讲2020.对于单调性的定义的理解,要注意以下四点:1单调性是与“区间”紧密相关的概念.一个函数在不同的区间上可以有不同的单调区(1) 间.具有任意性,不x(2)单调性是函数在某一区间上的“整体”性质.因此,定义中的x,21能用特殊值代替.,)x>()x<x或x(函数,且f由于定义都是充要性命题,因此由(x)是增(减)f(x)<fx(3)221121x这说明单调性使得自变量间的不等关系和函数值之间的不等关系可以“互逆互推”,即有1或f(x)>f((x)<fx)(x)).f<x(22121(4)若函数在两个不同的区间上单调性相同,则这两个区间要分开写,而不能写成并集.如1f(x)=在(-∞,0)和(0,+∞)都是减函数,单调区间不能写成(-∞,0)∪(0,+∞),事实上,x1f(x)=在(-∞,0)∪(0,+∞)上不是减函数.x2.证明函数的单调性,一般从定义入手,也可以从导数入手;判断函数的单调性或者求函数的单调区间一般可以:①从定义入手;②从导数入手;③从图象入手;④从熟悉的函数入手;⑤从复合函数的单调性规律入手.22/ - 22 -。

高三一轮复习函数的单调性ppt课件.ppt

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高三总复习 数学 (大纲版)
[分析] (1)的求解是容易的;对于(2),应利用函数单 调性的定义来证明,其中应注意f(x·y)=f(x)+f(y)的应用; 对于(3),应利用(2)中所得的结果及f(x·y)=f(x)+f(y)进行适 当配凑,将所给不等式化为f[g(x)]≥f(a)的形式,再利用f(x) 的单调性来求解.
高三总复习 数学 (大纲版)
[例 1] 判断函数 f(x)=x2a-x 1(a≠0)在区间(-1,1)上的 单调性.
高三总复习 数学 (大纲版)
[解] 解法 1:任取-1<x1<x2<1,则 f(x1)-f(x2)= a((xx121x-2+11)()x(22x-2-1x) 1).因为(x(1xx122-+11))((xx222--1x)1)>0,所以 a>0 时, 函数 f(x)在(-1,1)上单调递减;a<0 时,函数 f(x)在(-1,1) 上单调递增.
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2.若 f(x)=-x2+2ax 与 g(x)=x+a 1在区间[1,2]上都是减
函数,则 a 的取值范围是
()
A.(-1,0)∪(0,1) C.(0,1)
B.(-1,0)∪(0,1] D.(0,1]
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解析:由 f(x)=-x2+2ax 得对称轴为 x=a,且在[1,2] 上是减函数,所以 a≤1.
解析:函数y=ax-1和y=logax在公共定义域内具有相 同的单调性,在[1,2]区间上的最值对应着函数的最值,故 (a1-1+loga1)+(a2-1+loga2)=1+a+loga2=a,可得loga2 =-1,求得
高三总复习 数学 (大纲版)
4.如果二次函数 f(x)=x2-(a-1)x+5 在区间(12,1) 上是增函数,求 f(2)的取值范围.
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2019-2020年高三数学一轮复习 集合与函数 第6课时 函数单调性
一、考纲要求
①若定义在上的函数满足,则函数是上的单调增函数; ②若定义在上的函数满足,则函数是上不是单调减函数;
③若定义在上的函数的图像是连续的且在区间上是单调增函数,在区间上也是单调增函数,则函数是上的单调增函数;
④若定义在上的函数在区间上是单调增函数,在区间上也是单调增函 数,则函数是上的单调增函数; 2、函数的单调增区间为___________;
3、已知函数在区间(-∞,4)上是减函数,则实数的取值范围为______;
4、已知y =f(x)是定义在(-2,2)上的增函数,若f(m -1)<f(1-2m),则m 的取值范围是_______;
5、已知∈[0,1],则函数y=的值域是__________;
6、若函数满足,且在单调递增,则实数的最小值等于_______ 三、典型例题
例1、已知函数f(x)=1a -1x
.
(1) 求证:函数y =f(x)在(0,+∞)上是增函数;
(2) 若函数y =f(x)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12,2上的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12,2,求实数a 的值.
变式1:已知函数f(x)=|3-|,x ∈(0,+∞).
(1)写出f(x)的单调区间;(2)是否存在实数a,b(0<a<b)使函数y=f(x)定义域、值域均为[a,b ],若存在,求出a,b 的值,若不存在,请说明理由. 例2、已知函数在区间上是增函数,求实数的取值范围。

变式2:已知函数⎩⎨⎧≥+-<=0
,4)3(0
,)(x a x a x a x f x 满足对任意的,都有成立,则实数的取值范围是
__________.
四、巩固练习
1、若函数f(x)=ax +1
x +2在区间(-2,+∞)上是增函数,则a 的取值范围是_________;
2、已知函数的定义域和值域都是,则 ;
3、设是定义在上的单调增函数,满足()()(),(3)1f xy f x f y f =+=当时,的取值范围为 ;
4、已知函数为上的偶函数,在上是单调减函数,则大小关系为____________;
5、函数f(x)=, 若f(x)的值域为[],且定义域为[a,b ],则b-a 的最大值是_______;
6、设是定义在R 上的函数,对、恒有,且当时,.
(1)求证:; (2)证明:时恒有;
(3)求证:在R 上是减函数.
五、小结反思
2019-2020年高三数学一轮复习 集合与函数 第7课时 函数奇偶性
一、考纲要求
①若,则为偶函数;
②若,则不是偶函数;
③若,则一定不是奇函数.
其中正确命题有________(填序号).
2、已知函数是定义在上的偶函数,则___________.
3、设函数是定义在R上的奇函数.若当x∈(0,+∞)时,f(x)=lgx,则满足f(x)>0的x的
取值范围是______.
4、若函数f(x)=xln(x+)为偶函数,则a=__________.
5、若函数(为常数)在定义域上为奇函数,则的值为.
6、已知函数为上的奇函数,且在上是减函数,若,则实数的取值范围是___________.
三、典型例题
例1、判断下列函数的奇偶性:
(1);(2)f(x)=(x-1);
(3);(4);
(5).
例2、已知函数是定义在上的奇函数,当时,.
(1)求函数的解析式,并判断在上的单调性;
(2)解不等式:.
变式2:已知偶函数在上是增函数,如果在上恒成立,则实数的取值范围为________.
四、巩固练习
1、已知,且=10,则=________.
2、定义在[-2,2]上的偶函数在区间[0,2]上单调递减,若,则的取值范围
是________.
3、已知是偶函数,是奇函数,若,则的解析式为________.
4、设函数,则使得成立的的取值范围是________.
5、已知定义在上的函数(为实数)为偶函数,
记()()
0.52
(log3),log5,2
a f
b f
c f m
===,则的大小关系为_____________.
6、设y=f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≥0时, f(x)=2x-x2.(1) 求当x<0时f(x)的
解析式;(2) 问是否存在这样的正数a,b,当x∈[a,b]时,g(x)=f(x),且g(x)的值域为
⎣⎢

⎦⎥

1
b

1
a
?若存在,求出a,b的值;若不存在,请说明理由.
五、小结反思。

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