《电磁学与电动力学[上册]》参考答案 (2)
电动力学习题及答案
根据前面的内容讨论知道：在所考虑区域内 没有自由电荷分布时，可用Laplace's equation求 解场分布；在所考虑的区域内有自由电荷分布时， 且用Poisson‘s equation 求解场分布。
如果在所考虑的区域内只有一个或多个点电 荷，区域边界是导体或介质界面，这类问题又如 何求解场分布？ 这就是本节主要研究的一个问 题。解决这类问题的一种特殊方法称为 — 镜象 法。
电场。右半空间的电场是Q及S面上的感应电荷面密
度 感 共同产生的。以假想的点电荷Q'等效地代替感 应电荷，右半空间的电势必须满足以下条件：
1 2 Q ( x a, y 0, z 0) 0 R 0 x 0 0 (1) (2) (3)
由(4)式得
b 2 Q Q a 将(6)式代入(5)式得
2
(6)
b 2 (a R02 ) ( R02 b 2 ) a
1 2 2 2 即b (a R0 )b R0 0 a
2
解此二次方程，得到
2 R0 b a b a
将此代入(6)式，即有
Q Q R0 Q Q a
c、
Q
4
-Q 5 +Q 4
+Q 6 7
-Q
B
Q
A
1 -Q
3 -Q 2 +Q
要保证 A B 0 则必须有7个象电荷，故电势为
1 1 1 1 1 1 1 1 ( ) 4 0 r r1 r2 r3 r4 r5 r6 r7
一般说明：只要 满足2 偶数的情形，都可用 镜象法求解，此时象电荷的个数等于 (2 ) 1 ，
《电动力学》课后答案
(a ⋅ ∇ ) r = ( a x
∂ ∂ ∂ + ay + a z )[( x − x ' )e x + ( y − y ' )e y + ( z − z ' )e z ] ∂x ∂y ∂z = axe x + a y e y + az ez = a
4 ○
∇ ( a ⋅ r ) = r × (∇ × a ) + ( r ⋅ ∇ ) a + a × (∇ × r ) + (a ⋅ ∇ ) r 因为， a 为常向量，所以， ∇ × a = 0 ， ( r ⋅ ∇) a = 0 ， 又 ∵ ∇ × r = 0 ，∴ ∇( a ⋅ r ) = ( a ⋅ ∇) r = a ∇ ⋅ [ E0 sin( k ⋅ r )] = (∇ ⋅ E0 ) sin( k ⋅ r ) + E0 ⋅ [∇ sin( k ⋅ r )]
ez ex ey dA （3） ∇u × = ∂u / ∂x ∂u / ∂y ∂u / ∂z du dAx / du dAy / du dAz / du
dAy ∂u dAx ∂u dA ∂u dAz ∂u dAz ∂u dAy ∂u − )e x + ( x − )e y + ( − )e z du ∂y du ∂z du ∂z du ∂x du ∂x du ∂y ∂Ay (u ) ∂Ax (u ) ∂A (u ) ∂Ay (u ) ∂A (u ) ∂Az (u ) =[ z − ]e x + [ x − ]e y + [ − ]e z ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y = ∇ × A(u ) =(
S S S S S S S S S
（1）
电动力学习题答案第一章电磁现象的普遍规律
第一章 电磁现象的普遍规律1. 根据算符∆的微分性与矢量性，推导下列公式：()()()()()A B B A B A A B A B ∇⋅=⨯∇⨯+⋅∇+⨯∇⨯+⋅∇21()()2A A A A A⨯∇⨯=∇-⋅∇解：矢量性为()()()a b c b c a c a b ⋅⨯=⋅⨯=⋅⨯ ①()()()c a b b c a c a b⨯⨯=⋅-⋅②()()()a b c c a b c b a⨯⨯=⋅-⋅⋅③微商性()d d a dba b b a dtdt dt ⋅=⋅+⋅④()d d a db a b b a dt dt dt⨯=⨯+⨯⑤ 由②得()()()c c c B A B A B A⨯∇⨯=∇⋅-⋅∇⑥()()()c c c A B A B A B⨯∇⨯=∇⋅-⋅∇⑦ ⑥+⑦得()()()()()()c c c c c c B A A B B A A B B A A B ⎡⎤⎡⎤⨯∇⨯+⨯∇⨯=∇⋅+∇⋅-⋅∇+⋅∇⎣⎦⎣⎦()()()c c A B A B A B ∇⋅=∇⋅+∇⋅因为∴上式得()()()()()c c c c A B B A A B B A A B ∇⋅=⨯∇⨯+⨯∇⨯+⋅∇+⋅∇令B A =得22()2()A A A A A ∇=⨯∇⨯+⋅∇ 21()()2A A A A A ∴⨯∇⨯=∇-⋅∇2.设μ是空间坐标x ，y ，z 的函数，证明：()()()df f u u dxud AA u u du d AA u u du ∇=∇∇⋅=∇⋅∇⨯=∇⨯解：①()()()()()()()()()()x y z x y zx y z f u f u e f u e f u e x y z f u u f u u f u u e e e u x u y u z f u u u u e e e x x y z df u u du ∂∂∂∇=++∂∂∂∂∂∂∂∂∂=++∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=++∂∂∂∂=∇②()x y z y x z A u A A A x y zdA dA dA u u u du x du y du z d A u du∂∂∂∇⋅=++∂∂∂∂∂∂=++∂∂∂=∇⋅③()()()()()()()x y z xyz yy x x z z x y zy y x x z z x y ze e e A u x y z A A A A A A A A A e e e y z z x x ydA dA dA dA dA dA u uu u u u e e e du y du z du z du x du x du y d A u du⎛⎫ ⎪∂∂∂⎪∇⨯= ⎪∂∂∂ ⎪ ⎪⎝⎭∂∂∂∂∂∂=-+-+-∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=-+-+-∂∂∂∂∂∂=∇⨯3.设2r ='x 到场点x 的距离，r 的方向规定为从原点指向场点。
电动力学课后答案 (2)
电动力学课后答案本文档为电动力学课后习题的答案，旨在帮助学生理解和巩固所学的电动力学知识。
以下是习题的答案解析。
1. 高斯定律的应用（20分）题目：一半径为 R 的均匀带电球面，电荷密度为σ。
沿球面 A 点方向垂直放置一个圆环，半径为 r (r < R)，环面上均匀分布着电荷，电荷密度为ρ。
求圆环上的电场强度。
解析：根据高斯定律，可以得到球面上的电场强度公式：E * 4πR² = Q / ε₀其中 E 为电场强度，R 为球面的半径，Q 为球面内的总电荷量，ε₀ 为真空介电常数。
对于球面内的总电荷量 Q，可以通过球面的电荷密度σ求得：Q = σ * 4πR²将 Q 的值代入上式，可以得到球面上的电场强度：E = σ / ε₀对于圆环上的电场强度E₁，根据叠加原理，可以将整个圆环分割成无限小的电荷元素，然后将各个电荷元素对圆环上某一点的电场强度进行叠加：E₁ = ∫(k * dq / r²)其中 k 为库仑常数，dq 为圆环上无限小的电荷元素，r 为圆环上的点到电荷元素之间的距离。
将 dq 的值代入上式，进行积分计算，可以得到圆环上的电场强度。
2. 电势与电势能（15分）题目：一电荷为 Q 的点电荷静止在距离无限远处，根据库仑定律，可以得到电场强度公式。
根据电场强度 E，可以求出电势差V = ∫E · dr。
解析：根据库仑定律，点电荷 Q 在距离 r 处的电场强度 E 可以表示为：E = k * Q / r²其中 k 为库仑常数。
对于电势差V，可以定义为电场强度E 在两点之间的积分：V = ∫E · dr该积分表示沿路径的曲线积分，其中 E 为点电荷 Q 在路径上的电场强度，dr 为路径上的微小位移。
将 E 的表达式代入上式，并对路径进行处理，可以计算得到电势差 V。
3. 静电场的能量（25分）题目：两个点电荷Q₁ 和Q₂ 之间的电势能可以表示为 E = k * Q₁ * Q₂ / r，其中 k 为库仑常数，r 为两个点电荷之间的距离。
电磁学与电动力学_试题2解析
电磁学与电动力学一、选择题（本大题共６小题，每题２分，总计12分）1. 电场强度和电位的关系是_c__。
A. 电场强度等于电位的梯度；B. 电场强度等于电位的梯度；C. 电场强度等于电位的梯度的负值；D. 电场强度等于电位的散度。
2. 恒定磁场的散度等于__d__A. 磁荷密度；B. 荷密度与磁导率之比；C. 矢量磁位；D. 零。
3. 下面哪种情况不会在闭和回路中会产生感应电动势？cA.通过导体回路的磁通量发生变化B. 导体回路的面积发生变化C. 通过导体回路的磁通量恒定D. 穿过导体回路的磁感应强度发生变化4. 在分界面上电场强度的切向分量总是__b__A. 不连续的；B. 连续的；C. 不确定的。
5. 波导中的主模是__c___的模式。
A.截止频率最大；B. 波导波长最大；C. 截止波长最大；D. 截止波长最小。
6. 恒定电场的源是a____A.静止的电荷B.恒定电流C. 时变的电荷D. 时变电流二、试写出下列表达式（本大题共4小题，每小题２分，总计８分）1、电荷守恒定律。
2、洛仑兹规范。
3、电磁场能量守恒定律。
4、四维动量表达式。
三、(本大题总计1０分)真空中有一半径为R0的导体球，导体球不接地而带电荷Q，距球心为a (a >R) 处有一点电荷Q，求球外电势。
四、(本大题总计10分)空间导体球壳的内外半径为R1和R2，球中心置一偶极子p，球壳上带电Q，求空间各点电势和电荷分布。
五、(本大题总计1０分)请推导真空中电磁场波动方程。
六、(本大题总计1０分)两根导线沿半径方向被引到铁环上B.C 两点，电流方向如图所示，求环中心O处的磁感应强度B是多少？七、(本大题总计1０分)三块平行放置的金属板，分别为B、A、C，其面积均为S，AB间距离为X，BC间距离为d，设d极小，金属板可视为无限大平面，忽略边缘效应和A板厚度。
当B，C接地且A导体所带电荷为Q时，试求（1）B，C板上的感应电荷。
（2）空间电场强度和电位分布。
《电磁学与电动力学》期末考试试题及答案
四、（简答题）：（每小题5分，共10分）1、 写出真空中的麦克斯韦方程组，并简要说明各式的物理意义2、试简述狭义相对论的两个基本原理的内容。
六、（计算题）：（每小题5分，共20分3、设有两根互相平行的尺，在各自静止的参考系中的长度均为0l ，它们以相同速率v 相对于某一参考系运动，但运动方向相反，且平行于尺子，求站在一根尺上测量另一根尺的长《电磁学与电动力学》期末考试试题参考答案四、（简答题）：（每小题5分，共10分）1、答：B E t∂∇⨯=-∂，说明变化的磁场产生电场（1分）； D H J t∂∇⨯=+∂，说明传导电流与位移电流均可产生磁场（1分）； D ρ∇•=，电场为有源场，电场线起于正电荷，止于负电荷（1分）；0B ∇•=，磁场为无源场或说磁荷不存在，磁感应线是闭合曲线；（1分）；0D E ε= ，0B H μ= （1分）2、答（1）相对性原理:所有惯性参考系都是等价的，物理规律对于所有惯性参考系都可以表为相同形式；(2.5分)（2）光速不变原理(或坐标变换线性和间隔不变),即真空中的光速对任何惯性参考系沿任一方向恒为c ，并与光源的运动无关。
（2.5分）六、（计算题）：（每小题5分，共20分）3、解：设地面为S 系，固定在车厢上的惯性系为S '系。
设小球由后壁（事件1）运动到前壁（事件2）在S '系中的空时坐标为()11,x t ''、()22,x t ''，它们之间的关系为： 2102100,/x x l t t l u ''''-=-= （1分） 设小球由后壁（事件1）运动到前壁（事件2）在S 系中的空时坐标为()11,x t 、()22,x t ，小球由后壁运动到前壁的时间是21t t t ∆=-。
（1分）洛仑兹变换：2,x y y z z vx t t ⎧''===⎪⎪'⎨'+⎪=⎪⎩（2分）因此：00220021201l vl v x t l vu t t t u c γ'∆+'∆+⎛⎫∆=-===+ ⎪⎝⎭。
FreeKaoYan中国科大《电磁学与电动力学[上册]》参考答案_部分3
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7.1
利用右手螺旋定则可判断出感应电动势沿顺时针方向. 其大小 E = avB (7.1). 线圈所受力与线框速度反向. 取 a 为指向左而长度为 a 的向量, 则可写 F = Ia £ B = ¡a2 vB 2 =R . (7.2) 由安培环路定理可得距导线 r 的点的磁感应强度大小 B = ¹0 I=2¼r . 故线圈中的感应电动势大小 Z vt+b d© d ¹0 I ¹0 I ab E =¡ =¡ adr = ¡ (7.3) dt dt vt 2¼r 2t¼ v + bt
7.4
此情形中四根辐条上均产生等大的电动势: Z a Z a 1 E= ! £ r £ B ¢ dr = B! rdr = Ba2 ! (7.10) 2 0 0 轮子可等价于电动势为 E, 内电阻为 r=4 的电源. 则电路中有恒流 I = 4E=(r + 4R) (7.11), 故
16E 2 R E2 B2 a4 !2 · = (7.12) 2 (r + 4R) r 4r 其等号成立的条件为 r = 4R (7.13). P = I2R =
在脱离水银槽前导线因受安培力而满足fmdvdt由于水银槽很浅则可以认为导线段在可以忽略的位移内加速至v0v0并以该速度为初速度完成了以后的上抛运动
《电磁学与电动力学》答案与解题提示
6.4
导线段在脱离水银槽后成为断路而做纯粹的上抛运动. 在脱离水银槽前, 导线因受安培力而满足 dv dq (6.7) F =m = Bl dt dt 由于水银槽很浅, 则可以认为导线段在可以忽略的位移内加速至 v0 并以该速度为初速度完成了以后的上抛运动. 由能量守恒
7.5
闷罐车底面上将产生与其速度垂直的感应电动势 E = BLv = 2:6 £ 10¡3 V (7.14). 注意到车壁上任意点元的电动势 v £ B ¢ dl ´ 0. 分析可知, 该车两墙壁均分别为等势面, 且电势差 U = E . 而车壁上积累的电荷会在车中产生电场 E = vB = 1:0 £ 10¡3 N¢C¡1 (7.15). 面电荷密度 ¾ = "0 E = 9:1 £ 10¡15 C¢m¡2 (7.16).
电动力学习题答案
电动力学习题答案电动力学是物理学中研究电荷、电场、磁场和它们之间相互作用的分支。
以下是一些典型的电动力学习题及其答案。
# 习题一：库仑定律的应用问题：两个点电荷，一个带电为+3μC，另一个为 -5μC，它们之间的距离为 2m。
求它们之间的静电力大小。
解答：根据库仑定律，两个点电荷之间的静电力 \( F \) 由下式给出：\[ F = k \frac{|q_1 q_2|}{r^2} \]其中 \( k \) 是库仑常数，\( q_1 \) 和 \( q_2 \) 是电荷量，\( r \) 是它们之间的距离。
代入给定的数值：\[ F = 8.9875 \times 10^9 \frac{N \cdot m^2}{C^2} \times\frac{3 \times 10^{-6} C \times (-5 \times 10^{-6} C)}{(2 m)^2} \]\[ F = 37.5 N \]# 习题二：电场强度的计算问题：一个无限大均匀带电平面，电荷面密度为 \( \sigma \)。
求距离平面\( d \) 处的电场强度。
解答：对于无限大均匀带电平面，电场强度 \( E \) 垂直于平面，大小为：\[ E = \frac{\sigma}{2\epsilon_0} \]其中 \( \epsilon_0 \) 是真空电容率。
# 习题三：电势能的计算问题：一个点电荷 \( q \) 位于另一个点电荷 \( Q \) 产生的电场中，两者之间的距离为 \( r \)。
求点电荷 \( q \) 在该电场中的电势能。
解答：点电荷 \( q \) 在由点电荷 \( Q \) 产生的电场中的电势能 \( U \) 为：\[ U = -k \frac{qQ}{r} \]# 习题四：洛伦兹力的计算问题：一个带电粒子，电荷量为 \( q \)，以速度 \( v \) 进入一个垂直于其运动方向的磁场 \( B \) 中。
电动力学课后习题解答(参考)
∂ ∂y
∂ ∂z
=
(
∂Az ∂y
−
∂Ay ∂z
)ex
+
(
∂Ax ∂z
−
∂Az ∂x
)ey
+
(
∂Ay ∂x
−
∂Ax ∂y
)ez
Ax(u) Ay(u) Az(u)
=
(
∂Az du
∂u ∂y
−
∂Ay du
∂u ∂z
)ex
+
(
∂Ax du
∂u ∂z
−
∂Az du
∂ ∂
u x
)ey
+
(
∂Ay du
∂u ∂x
−
(dl2
·
dl1)
11、平行板电容器内有两层介质，它们的厚度分别为l1和l2，电容率为ε1和ε2，今在两板接上电 动势为E的的电池，求
(1)电容器两板上的自由电荷密度ωf (2)介质分界面上的自由电荷密度ωf 若介质是漏电的，电导率分别为σ1和σ2，当电流达到恒定时，上述问题的结果如何？ 解：在相同介质中电场是均匀的，并且都有相同指向，
[∇
1 r
·
∇]m
=
−(m
·
∇)∇
1 r
∴ ∇ × A = −∇ϕ
7、有一个内外半径分别为r1和r2的空心介质球，介质的电容率为ε，使介质内均匀带静止自由 电荷ρf ，求 （1）空间各点的电场 （2）极化体电荷和极化面电荷分布 解：1) S D · dS = ρf dV ，(r2 > r > r1)
R
)
=
(∇
·
m)∇
1 r
+(m源自·m)∇1 r
关于两闭合电流回路之间的受力满足牛顿第三定律的证明..mmdoc
关于两闭合电流回路之间的受力满足牛顿第三定律的证明摘要：本文通过直接的方法证明了两闭合电流回路之间的受力满足牛顿第三定律。
内容：由毕奥-萨伐尔定律： d B ＝µ0Id l ×r ／4πr ³ （1） 和式d F ＝Id l ×B （2），可以导出稳恒电流元I ₁dl ₁对稳恒电流元I ₂dl ₂的作用力为 d F ₁₂＝μ0I ₁I ₂d l ₂×﹙d l ₁×r ₁ ₂﹚／4πr ₁ ₂ ³ ﹙3﹚ 式中，r ₁ ₂＝r ₂－r ₁，表示电流元I ₂d l ₂﹙位于r ₂﹚相对于I ₁d l ₁﹙位于r ₁﹚的位置矢量。
我们可以得到F 21＝μ0I 2I 1d l 1×﹙d l 2×r 2 1﹚／4πr 2 1³显然我们可以发现稳恒电流元一般不满足牛顿第三定律，具体例子可参阅《电磁学与电动力学﹙上册﹚》第129页。
不满足作用力与反作用力大小相等，方向相反的原因是系统动力合动量不为零。
而方向不在同一条直线上是因为角动量不守恒。
因为实际生活中根本不存在所谓的电流元，那只是我们的一个模型，便于研究安培力而已。
牛顿第三定律也是建立在质点上。
而两闭合电流回路之间的作用力却是完全满足牛顿第三定律的。
那么，如何证明两闭合电流回路之间的作用力满足牛顿第三定律呢？ 首先，我们假设有两个闭合电流回路1和2,两回路的电流分别为I ₁和I ₂,回路1上的电流元d l ₁在回路二上的电流元dl ₂的磁场为 d B ＝μ0I ₁d l ₁×r ₁₂／4πr ₁₂³ µ0为真空磁导率， 又∵F ＝I ·L ×B∴d F ₁₂＝μ0I ₁I ₂d l ₂×﹙d l ₁×r ₁ ₂﹚／4πr ₁ ₂ ³ ∴回路一对回路二的力为 F ₁ ₂＝∮₁∮₂d F ₁ ₂＝∮₁∮₂μ0I ₁I ₂d l ₂×﹙d l ₁×r ₁ ₂﹚／4πr ₁ ₂ ³ （4）同理：回路二对回路一的力为 F ₂ ₁＝∮₂∮₁dF ₂ ₁＝∮₂∮₁μ0I ₂I ₁d l ₁×﹙d l ₂×r ₂ ₁﹚／4πr ₂ ₁ ³ （5) 我们只需证明F ₁ ₂＋F ₂ ₁=0即可F 12＋F 21=∮₁∮₂μ0I ₁I ₂d l ₂×﹙d l ₁×r ₁ ₂﹚／4πr ₁ ₂ ³ ＋∮₂∮₁μ0I ₂I ₁d l ₁×﹙d l ₂×r ₂ ₁﹚／4πr ₂ ₁ ³ (6) ∵函数μ0I ₁I ₂d l ₂×﹙d l ₁×r ₁ ₂﹚／4πr ₁ ₂ ³和μ0I ₂I ₁d l ₁×﹙d l ₂×r ₂ ₁﹚／4πr ₂ ₁ ³都是连续的 ∴∮1和∮2的位置可以互相交换∴F12＋F21=μI₁I₂／4πr₁₂³∮₁∮₂[d l₂×﹙d l₁×r₁₂﹚＋d l₁×﹙d l₂×r₂₁﹚] (7)∵A×﹙B×C﹚＝﹙A·C）·B—（A·B）·C∴d l₂×﹙d l₁×r₁₂﹚=（d l2·r12)·d l1-(d l2·d l1)·r12同理，d l₁×﹙d l₂×r₂₁﹚=（d l1·r21)·d l2-(d l1·d l2)·r21=-（d l1·r12)·d l2+(d l1·d l2)·r12∴d l₂×﹙d l₁×r₁₂﹚＋d l₁×﹙d l₂×r₂₁﹚＝（d l2·r12)·d l1—（d l1·r12)·d l2 (8)∴F12＋F21=μI₁I₂／4πr₁₂³∮₁∮₂[（d l2·r12)·d l1—（d l1·r12)·d l2]又由数学分析知∮L r d l／r³=0∴得到F12＋F21=0，即关于两闭合电流回路之间的受力大小相等，方向相反，满足牛顿第三定律。
电动力学答案
电动力学答案电动力学是物理学中一门非常重要的学科，它研究电荷分布以及电场和磁场的相互作用等等问题。
在学习电动力学的过程中，有一些常见问题和答案值得我们了解和掌握。
问题一：为什么电子在电场中会受到力的作用？答案：电场是由电荷产生的，电子是带电粒子，因此在电场中它会受到力的作用。
电场是一种物理场，其实质是空间中将电荷带来的影响进行描述的一种工具。
问题二：什么是电势？答案：电势是描述电场状态的一个物理量。
它是在每个点上电场势能的大小，是由电荷相对于某一点的位置造成的。
在电势中，电势能的单位是伏特，也可以表示为J/C。
问题三：什么是电势差？答案：电势差表示在电场中沿一个路径从一个位置到另一个位置移动一单位电荷时所需的能量差异。
例如，在一条电路中，在电源正极和负极之间有一个电势差，这个电势差会驱动电子流动。
问题四：什么是库仑力？答案：当两个带电粒子之间的电势不同时，它们之间就会产生一个相互作用力，这个力就被称为库仑力。
库仑力是电动力学研究中非常重要的力之一，它可以解释电荷之间的相互作用。
问题五：什么是洛伦兹力？答案：当电子在磁场中运动时，它们会受到一个垂直于速度和磁场方向的力，这个力就被称为洛伦兹力。
洛伦兹力是电动力学中研究磁场和电子之间相互作用的重要力之一。
问题六：什么是电感？答案：电感是指在电路中，当电流改变时，由于电场效应的作用，在导体中会产生感应电动势，这个现象就被称为电感。
电感是电动力学中重要的电学元件之一，可以用来限制电流变化，使之稳定。
以上就是电动力学答案中的一部分常见问题与答案。
通过对这些问题的了解和掌握，可以让我们对电动力学的学习更加深入和全面。
相信在未来的学习和生活中，我们会更加自信和熟练地运用这些知识。
电磁学第二篇课后习题
-σ
0 20 20
电势差 U 为 Ed ： d 0
根 据 电 容 的 定 义 式 ,则 有 : C Q S0 S U d d 0
§2-3 电容器及其电容
2）圆柱形电容器
设带电，则有：
E 2 0r
U E d r R2 dr
l
R1 2 0r
ln R2 2 0 R1
C Q L /( ln R2 )
2-1 静电场中的导体
2：在静电平衡时，导体内部无净电荷， 电荷只分布在导体的表面上.
证明：反证法.
设导体内有一未被抵消的净电荷 q0
EdS
q0
0
s
0
于是面上的不能处处为零， 与静电平衡条件矛盾。
2-1 静电场中的导体
3：静电平衡时，导体表面附近的场强方 向处处与表面垂直，大小与该处导体表面 的电荷面密度成正比.
第二章 有导体时的静电场 静电平衡 封闭金属壳内外的静电场 电容器及其电容 带电体系的静电能
2-1 静电场中的导体
静电感应: 导体内的电荷因外电场的作用而重新 分布的现象叫静电感应。由于静电感 应而出现的电荷叫感应电荷。
静电感应现象演示
2-1 静电场中的导体 一.静电平衡
静电平衡状态： 导体内部和表面都没有电荷定向移动的状态。
§2-5 带电体系的静电能
二、电容器的静电能
将一电池与电容器相连，电池给电容器充
电。在某一瞬间，电容器带电量 q、极板间
电位差为 U 时，将电量 dq由电容器的负极移
到正极时，电源克服电场力作功绝对值为：
AQudq1 QqdqQ2
0
C0
2C
此值等于体系静电能的增加量。利用 QCU
可以得到： W 1 QU
《电动力学》答案
(r / r 3 ) [(1 / r 3 )r ] (1 / r 3 ) r (1 / r 3 ) r
d 1 3 r 3 r r 0 4 r 0 dr r r r 1 3 3 3 4 (r / r ) [(1 / r )r ] (1 / r ) r 3 r ○ r 3 r 3 4 r 3 0 ， (r 0) r r r
3. 设r
( x x' ) 2 ( y y' ) 2 ( z z ' ) 2 为源点 x ' 到场点 x 的距离， r 的方向规定为
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电动力学习题解答
从源点指向场点。 （1）证明下列结果，并体会对源变量求微商与对场变量求微商的关系：
r ' r r / r ； (1 / r ) ' (1 / r ) r / r 3 ； (r / r 3 ) 0 ；
ex ey ez dA （3） u u / x u / y u / z du dAx / du dAy / du dAz / du
dAy u dAx u dA u dAz u dAz u dAy u )e x ( x )e y ( )e z du y du z du z du x du x du y Ay (u ) Ax (u ) A (u ) Az (u ) A (u ) Ay (u ) [ z ]e x [ x ]e y [ ]e z y z z x x y A(u) (
即
2 A ( A) 1 2 A ( A ) A 2. 设 u 是空间坐标 x, y, z 的函数，证明： df dA dA ， A(u ) u f (u ) u ， A(u ) u du du du
电动力学答案L1
（3）静电t情an况θ1：导E体1t 内E2nEv1
σ1 =0
稳恒电∴流情E2况t =：E对1t绝=缘0 介，质即，导体σ 外= 的0 ，电场Jv2线=总0 是垂直于导体表面。
1-14
∴ J1n = J 2n = 0
解（1）由边值关系
即导体内只有平行于导体表面的电场。
evn
×
(
v H
2
−
v H1
)
=
=
Q
S
ε0
∴E
=
Q 4πε0r 2
，即
v E
=
Q 4πε0r 3
rv
∫ ∫ r < a 时，
v E
⋅
v dS
=
4π
r
2
E
=
1
ρdV = 1 ⋅ ρ ⋅ 4 π r3
S
ε0 V
ε0 3
r
a
=
∴
v E
1⋅ Q
ε0 =
(4 3)π Qrv
4πε 0 a 3
a3
⋅
4π 3
r3
=
1 ε0
⋅
Qr 3 a3
求散度、旋度
∴∇ × Bv
=
−
∂Bθ ∂z
evr
+
1 r
∂ ∂r
(rBθ )evz
=
μ0I 2πR12
1 r
∂r 2 ∂r
evz
=
μ0I πR12
evz
=
μ0 Jv
R1
<
r
<
R2 时， B
=
Bθ
=
μ0I 2πr
2
r
《电动力学》简答题参考答案
《电动力学》简答题参考答案1. 分别写出电流的连续性方程的微分形式与积分形式,并简单说明它的物理意义。
解答:电流的连续性方程的微分形式为0J t ρ∂∇⋅+=∂K 。
其积分形式为d d d d S J S V t ρΩ⋅=−∫∫∫∫K K v 。
电流的连续性方程实际上就是电荷守恒定律的公式表示形式,它表示:当某区域内电荷减少时,是因为有电荷从该区域表面流出的缘故;相反,当某区域内电荷增加时,是因为有电荷通过该区域的表面流入的缘故。
2. 写出麦克斯韦方程组,并对每一个方程用一句话概括其物理意义。
解答:(1)f D ρ∇⋅=K 电荷是电场的源;(2)B E t∂∇×=−∂K K 变化的磁场产生电场; (3)0B ∇⋅=K 磁场是无源场;(4)f D H J t∂∇×=+∂K K K 传导电流以及变化的电场产生磁场。
3. 麦克斯韦方程组中的电场与磁场是否对称?为什么?解答:麦克斯韦方程组中的电场与磁场并不对称,因为电场是有源场,电荷是电场的源,而磁场是无源场,不存在磁荷。
4. 一个空间矢量场A K ,给出哪些条件能把它唯一确定?解答:由矢量场的唯一性定理:(1)位于空间有限区域内的矢量场,当它的散度,旋度以及它在区域边界上的场分布给定之后,该矢量场就被唯一确定;(2)对于无限大空间,如果矢量在无限远处减少至零,则该矢量由其散度和旋度唯一确定。
5. 写出极化电流与极化强度、磁化电流密度与磁化强度之间的关系式。
解答:极化电流与极化强度之间的关系式为P P J t ∂=∂K K ; 磁化电流密度与磁化强度之间的关系式为M J M =∇×K K 。
6. 简述公式d d d d d V V w V f V S tσ−=⋅+⋅∫∫∫v K K K K v 的物理意义。
解答:d d d Vw V t −∫表示单位时间区域V 内电磁场能量的减少,d V f V ⋅∫v K K 表示单位时间电磁场对该区域的电荷系统所作的功,d S σ⋅∫K K v 表示单位时间流出该区域的能量。
电磁学与电动力学-USTC
3. 适用范围：尺度(1%的原子尺度）
1010 cm
∞
速度 低速
高速
4. 重要性：四大相互作用之一；物质结构的基 础；高新技术的基础；其它学科的基础。
5.电磁学教材章节安排和主要特色
章次
章名
一 （真空中的） 静电场
二 （静电场中的）导体和电介质
三
静电能
四
稳恒电路
五 （真空中的） 静磁场
六 （静磁场中的）磁介质
226 88
Ra138
222 86
Rn136
4 2
He2
太阳上核聚变反应的一种可能链式过程：
1 1
H0
11
H0
12
D1
e
ve,
2 1
D1
11
H0
32
He1
,
3 2
He1
32
He1
42
He2
211H0.
1965年有人做了一个实验，估计出电子的 寿命超过 1021 年（比推测的宇宙年龄还要 长得多）。
应用与前沿： 有机地融入以上内容中。
6. 课堂教学、课外教学相结合
课堂教学： 讲点故事、多点讨论、 作点演示、加点小练习
课外教学： 辅导讨论、教师讲座、 组织参观、小论文竞赛
教
“物理学不应该教成一堆技术， 而应教成思想概念的诗剧。应该强 调思想概念的演变，强调我们企图 了解物理世界的历史，以使学生具 备洞察未来的能力。”
电磁学与电动力学
（上册：电磁学部分）
程福臻 中国科技大学物理学院 fzhen@
63606844 下载“电磁学pdf”网址：
/~fzhen/dcx
绪论
1. 什么是电磁学：是研究电磁现象、电磁相互 作用规律及其应用的学科。
探讨电磁学理论建立过程中的科学方法及启示
科学研究之路——由电磁学理论的建立过程来看科学研究的一般规律及给我们的启示李元旭PB09203046摘要：讨论了促进电磁学理论发展的一些重要因素以及给我们的启示，并举了一些著名科学家的例子，旨在帮助想投身物理的同学们更好地了解科学研究中的规律，给同学们以启发，让同学们为将来的科研之路作好充分的准备。
关键词：电磁学科学方法观察实验佯谬数学一．观察-通向世界的门理论所以能够成立，其根据就在于它同大量的单个观察关联着，而理论的“真理性”也正在于此。
——爱因斯坦细致的观察是导致物理学重大发现的必经之路！这个世界变化多端，走上科学的第一步就是观察。
观察是一个认识事物的重要途径，观察是智慧的眼睛。
没有良好的观察习惯，没有敏锐的观察力，科学也就无从探索。
可以说，观察是一切理论的来源。
没有理论可以凭空造出，只有对于事物的细致的观察才能有思想的灵感，才能有创造的机会，才能有发展理论的可能。
牛顿孩提时代对各种事物都很感兴趣，喜欢仔细地观察。
他习惯独自一人站在夜空下，遥望深邃的天空，观察星星的闪烁，看流星划过夜空的瞬间……几乎所有的事物都被他尽收眼中。
观察让他产生疑问：为什么月亮最明亮的时候星星却很少？为什么……观察的作用就在于它让人对周围的事物产生疑问，然后想办法解决这些疑问，这就是成功的过程。
可见，要能顺利地解答疑难问题，要想在科学上取得令人瞩目的成就，观察是必不可少的一步。
十八世纪初，丹麦物理学家奥斯特受康德和谢林自然哲学思想的影响，一直坚信电和磁之间一定有某种关系，电一定可以转化为磁。
然而他却苦于找不到这种转化的条件。
1820年4月，在一次讲演快结束的时候，奥斯特抱着试试看的心情又作了一次实验。
他把一条非常细的铂导线放在一根用玻璃罩罩着的小磁针上方，接通电源的瞬间，发现磁针跳动了一下。
这一跳，使有心的奥斯特喜出望外，竟激动得在讲台上摔了一跤。
以后，奥斯特作了许多次实验，发现磁针在有电流的闭合电路周围都会偏转。
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2
《电磁学与电动力学》答案与解题提示
1.14
显然这是一维问题. 选取半径为 r 而高为 h 的圆柱面应用高斯定理, 即
1 "0
Z r 0
2¼RdRh½e (R)
=
ZZ °E
¢
dS
=
2¼rhE
(1.35).
可解得
E
=
a2½0 2"0(a2 +
r2)
r^
(1.36)
1.15
电场力为保守力, 做功大小与移动路径无关. 从电势角度出发便于计算.
E=
1 4¼"0ra3
4 3
¼ra3½ra
¡
1 4¼"0rb3
4 3
¼rb3½r
b
=
½d 3"0
(1.31)
式中 d 是由大球球心指向小球球心的矢量. 可见, 空腔内是匀强场.
1.13
对称性分析表明空间中任意位置处的电场强度只能沿 x 轴.
将整个半导体考虑为若干均匀带电薄板. 由电场强度叠加原理, 知 x = x0(0 6 x0 6 xp) 处的电场强度
两筒的电势差由 (1.45) 给出. 或具体地, 有
U0
=
Ua
¡ Ub
=
¸e 2¼"0
ln
b a
(1.46)
1.20
借用 1.11 题的结论. 核外电荷产生的电势可通过积分得到:
U
=
q 4¼a2"0
Z 1 h³ 2+
r
2a r
+
a2
´ e¡
2r a
r2
¡
a2 i dr
r2
=
q h³ 1 4¼"0 a
0 2"0
4"0
板内的电场强度是纵坐标坐标 r 的函数, 或
E
=
Zr
0
kxdx 2"0
Zb
¡
r
kxdx 2"0
=
k 4"0
(2r2
¡ b2)
for
0
6
r
6
b
(1.28)
1.11
核外带负电荷, Z
总电量
q0
=
1:6 ZZ
£
10¡19
1
r
4¼R2dR½ = ° E ¢ dS
"0 0
C. =
取半径为 r 的球壳作高斯面并应用高斯定理,
q = p4G¼"0(m1 + m2) (1.4). 代入数据得 q = 5:21 £ 1014C.
1.2
该匀速圆周运动过程中, 库仑力作向心力. 给出该质点满足的力学平衡方程:
qQ 4¼"0r2
=
³ mr
2¼ T
´2
(1.5),
整理得
r3 T2
=
qQ 16¼3 "0 m
(1.6)
1.3
粒子受三等大共面而互成 120± 的力的作用,合力为零. 记该平衡位置距任一电荷的距离为 r, 则应有 p3r = a (1.7).
º
=
1 rk 2¼ m
=
1 2¼
r
¡3qQ 4¼"0r3m
(1.11)
.
代入数据,
解得
º
=
2:1
£
1013 Hz.
1.4
取两电荷连线的中点为极点并建立极坐标系.
对称性分析表明, 位于该平面上 r 处的点电荷 q0 所受力只能在该坐标系平面内, 其大小
F
=
2 4¼"0
q0Qr (r2 + l2)1:5
E = 3l2q y^ (1.17). 4¼"0x4
即电四极子产生的电场强度的衰减速度可以预见地快于电偶极子. 它与距离的四次方成反比关系.
1.6
只需证明 AC 上任意位置处的电场强度水平分量为零, 或其上电势处处相等.
考虑计算复杂程度, 此处取后者. 以 O 为极心建立极坐标系和直角坐标系, 则点 P(x; 0) 处的电势
=
¾2 2"0
+
¾3 2"0
+
¾4 ; 2"0
¾4 2"0
=
¾1 2"0
+
¾2 2"0
+
¾3 2"0
(2.1). 解得 ¾1 ¡ ¾4
= ¾2 + ¾3
= 0 (2.2).
即相向面上的面电荷密度等大反号, 相背面上面电荷密度等大同号. 再考虑电荷守恒定律:
¾1S + ¾2S = Q1; ¾3S + ¾4S = Q2 (2.3) 与 (2.2) 联立, 解得金属板各面的电量
再选取矩形回路 I
L,
使得其一组对边与电场平行且长度为
l,
另一组对边与电场垂直.
由环路定理,
得
0 ´ E ¢ dl = l¢E (1.40)
L
式中 ¢E 为沿电场方向的一组对边上的场强之差. 得到 ¢E ´ 0. 这说明与电场平行的任两条直线上场强处处相等.
以上演论说明, 凡是电场强度的方向处相同的地方, 电场强度的大小必定处处相等.
容易判断 (1.44) 给出的空间外任意位置无电场存在. 取无穷远点为电势零点, 则对满足 a < r0 < b 的 r0, 有
Zb U=
¸edr
=
¸e
ln b (1.45). 在 (a; b) 上连续.
r 2¼r"0 2¼"0 r
令 (1.45) 中 r = a 则可得到内筒内部的电势; 而外筒外部的电势为零是容易得出的.
E
=
¡
¾ R 22 "0 r2
r^
(1.26)
而小球面内部的电场强度均为零的结论是不难得出的.
1.10
将厚平板视为若干薄板的叠加, 则 x » x + dx 处薄板的面电荷密度 ¾ = kxdx.
约定 x 正方向为电场强度正方向. 板外任意位置有相同的电场强度大小:
Z b kxdx kb2
E=
= for r > b (1.27)
F
=
¡
qQ 4¼"0
4Dd (D2 ¡ d2)2
z^
(1.20)
垂直时, 电偶极子为了达到与电场强度有相同的取向而受力和力矩的作用. 容易写出
M0
=
Q 4¼"0
Dp £ z^ (D2 + d2)1:5
(1.21). 以及
F0
=
Q 4¼"0
(D2
p + d2)1:5
(1.22)
1.9
设内球面上的面电荷密度为 ¾ 4¼R12¾0 + 4¼R22¾ =
0".0选Z°Z取E包¢含dS外=球面0 (的1.2曲3)面. 解作得为¾积0 分=面¡应RR用1222 ¾高(1斯.2定4)理,
有
再取半径为 r 而满足 RZ1Z6 r 6 R2 的球体作积分面应用高斯定理, 得到
4¼R21¾0
=
"0
°E
¢ dS
=
E
¢ 4¼r2
(1.25). 联立
(1.24)
解得
设粒子在轴线上有一微小位移 ± , 则由对称性可知诸库仑力对其合力必沿轴线方向, 且
F
=
3 4¼"0
qQ ±
(r2 + ±2)1:5
(1.8). 因
±
¿ r 可写 F
=
¡k±
(1.9), 其中 k
=
¡3qQ 4¼"0r3
(1.10)
该力大小与位移成正比且反向, 从而符合简谐运动的特征. 粒子作简谐运动. 与 (1.7) 共同考虑, 得到
单位正电荷从 O 移动到 D 被做的功在数值上与电势差等号, 即
A
=
UO
¡
UD
=
0
¡
³ ¡q 4¼"0l
+
q´ 4¼ "0 3l
=
q 6¼"0l
(1.37)
而单位负电荷从 D 移动到 1 被做的功在数值上与电势差反号, 或
A
=
¡(UD
¡ U1)
=
³ ¡q ¡ 4¼"0l
+
q 4¼"03l
´
+
0
=
q 6¼"0l
(1.12)
作为
r
的单变量函数.
欲求受力的极大值, 可对 (1.12) 两端关于 r 求微并其等于零, 或
dF dr
=
q0Q 2¼"0
l2 ¡ 2r2 (r2 + l2)2:5
= 0 (1.13) . 解得
r
=
p2 l 2
(1.14).
可判断该点为受力最大值点. 诸满足条件的点构成一个圆, 其半径由 (1.14) 给出.
¾1S = ¾4S = (Q2 + Q1)=2; ¾3S = ¡¾2S = (Q2 ¡ Q1)=2 (2.4)
2.2
设中心球体表面分布的电量为 q, 则外球内表面会出现 ¡q 的电荷. 由电荷守恒定律及静电平衡条件, 知外球外表面总电量为
Q + q. 取半径为 r 的球壳面作高斯面应用高斯定理, 容易得到
1.5
对称性分析表明, A 点的电场强度只能沿 y^ 方向. 由电场强度叠加原理, 直接有
E
=
2qdy^ 4¼"0