数据的数字特征
教案《数据的数字特征》
教案《数据的数字特征》第一章：数据的描述1.1 数据的概念与分类理解数据的概念掌握数据的分类：定量数据、定性数据1.2 数据的收集与整理学习数据收集的方法理解数据整理的意义掌握数据整理的基本技巧第二章：平均数2.1 平均数的定义与计算理解平均数的概念学会计算简单数据的平均数2.2 平均数的作用与局限性理解平均数在数据分析中的作用认识平均数的局限性第三章：中位数3.1 中位数的定义与计算理解中位数的概念学会计算简单数据的中位数3.2 中位数的作用与局限性理解中位数在数据分析中的作用认识中位数的局限性第四章：众数4.1 众数的定义与计算理解众数的概念学会计算简单数据的众数4.2 众数的作用与局限性理解众数在数据分析中的作用认识众数的局限性第五章：方差5.1 方差的定义与计算理解方差的概念学会计算简单数据的方差5.2 方差的作用与局限性理解方差在数据分析中的作用认识方差的局限性第六章：标准差6.1 标准差的定义与计算理解标准差的概念学会计算简单数据的标准差6.2 标准差的作用与局限性理解标准差在数据分析中的作用认识标准差的局限性第七章：离散系数7.1 离散系数的定义与计算理解离散系数的概念学会计算简单数据的离散系数7.2 离散系数的作用与局限性理解离散系数在数据分析中的作用认识离散系数的局限性第八章：数据的关系与趋势8.1 数据的关系：相关系数理解相关系数的概念学会计算简单数据的相关系数8.2 数据的趋势：趋势线理解趋势线的作用学会绘制简单数据的趋势线第九章：数据的分布9.1 数据的正态分布理解正态分布的概念学会识别正态分布的数据9.2 数据的偏态分布理解偏态分布的概念学会识别偏态分布的数据回顾本章所学的内容理解各种数字特征在数据分析中的应用10.2 数据的数字特征应用实例通过实例分析，运用所学知识解决实际问题重点和难点解析重点一：数据的分类数据的分类是理解后续数字特征的基础。
定量数据和定性数据的区别需要学生深刻理解，这将直接影响到对平均数、中位数、众数等概念的理解。
高中教育数学必修第二册人教B版《5.1.2 数据的数字特征》教学课件
度越小．
(2)标准差、方差的取值范围：[0，＋∞)．
标准差、方差为0时，样本各数据全相等，表明数据没有波动幅度，
数据没有离散性．
(3)因为方差与原始数据的单位不同，且平方后可能夸大了偏差的程
度，所以虽然方差与标准差在刻画样本数据的分散程度上是一样的，
5．1.2 数据的数字特征
新知初探·自主学习
课堂探究·素养提升
【课程标准】
(1)结合实例，理解最值、平均值、众数、极差、方差、标准差的含
义．
(2)结合实例，能用样本估计百分位数，理解百分位数的统计含义．
新知初探·自主学习
教 材 要 点
知识点一 最值
一组数据的最值指的是其中的最大值与最小值．
状元随笔 最值反应的是这组数最极端的情况．一般地，最大值用
值相等的情况下，比较方差或标准差以确定稳定性．
跟踪训练3 在例3中，若甲机床所加工的6个零件的数据全都加10，
那么所得新数据的平均数及方差分别是多少？
解析：甲的数据为99＋10，100＋10，98＋10，100＋10，100＋10，103＋10，平均数为100＋10＝110，
1
7
方差仍为6[(109－110)2＋(110－110)2＋(108－110)2＋(110－110)2＋(110－110)2＋(113－110)2]＝3.
知识点四 极差、方差与标准差
1．一组数的极差指的是这组数的最大值减去最小值所得的差．
2．如果x1，x2，…，xn的平均数为തx，则方差可用求和符号表示为s2
1
＝ σ=1 − ҧ 2 .
3．方差的算术平方根称为标准差．
数据的数字特征
数据的数字特征
4.1 平均数、中位数、众数、极差、方差
4.2 标准差
课前探究学习
课堂讲练互动
【课标要求】 1．掌握各种基本数字特征的概念、意义以及它们各自的 特点．
2．要重视数据的计算，体会统计思想．
【核心扫描】
1．各种数字特征的意义以及计算．(重点)
2．学习标准差的概念，通过实例理解样本标准差的意义 和作用，会由方差求标准差．(重点、难点)
课前探究学习 课堂讲练互动
1 s乙＝ [(99－100)2＋(100－100)2＋(102－100)2＋(99－100)2＋ 6 (100－100)2＋(100－100)2]＝1(cm2)． (2)两台机床所加工零件的直径的平均数相同，又 s2 >s2 ，所 甲 乙 以乙机床加工零件的质量更稳定．
用标准差．
课前探究学习
课堂讲练互动
题型一
求一组数据的平均数、中位数和众数
【例1】在一次乒乓球单打比赛中，甲选手在1比3落后的情况 下连扳三局，4比3击败乙选手成功卫冕，这七局的比分 是：4∶18，8∶11，11∶5，4∶11，11∶9，11∶8，
11∶6.试分别计算这两位运动员成绩的平均数、众数和中
【题后反思】 用样本估计总体时，样本的平均数、标准 差只是总体的平均数、标准差的近似值．实际应用中，当 所得数据平均数不同时，须先分析平均水平，再计算标准 差(方差)分析稳定情况．
课前探究学习 课堂讲练互动
【训练3】甲、乙两机床同时加工直径为100 cm的零件，为了 检验质量，各从中抽取6件进行测量，分别记录数据为： 甲：99 100 98 100 100 103
1 [错解] (1)该单位员工的月工资的平均数为 ×(5×800＋ 50 10×1 000＋20×1 200＋7×1 500＋5×2 000＋3×2 500)＝ 1 320(元)，中位数为 1 200 元，众数为 1 200 元．
数据的数字特征
§4 数据的数字特征【自主探讨学习】 【自主归纳】1、平均数：一组数据的和与这组数据的个数的商，数据, ,……，的平均数=nx x x n+++ 212、中位数：一组数据按从小到大的顺序排成一列，处于中间位置的数成为这组数据的中位数。
若个数为偶数，中位数为位于中间的数的平均数，若个数为奇数，位于中间的数为中位数。
3、（1）众数：一组数据中出现次数最多的数为这组数据的众数。
（2）众数特征：一组数据中的众数可能不止一个，也可能没有。
反应该数据的集中趋势 4、极差 一组数据的最大值与最小值的差成为这组数据的极差，表示该组数据之间的差异情况。
5、标准差：样本数据到平均数的一种平均距离。
S=nx x x x x x n 22221)()()(-++-+-6、方差，即标准差的平方 =【问题研讨】疑点一：中位数，众数和平均数的作用及区别①中位数，众数及平均数都是描述一组数据集中趋势的量 ②平均是的大小与一组数据里的每个数的大小均有关系，任何一个数据的变动都会引起平均数的变动。
③众数考察各数出现的频率，其大小与这组数据中部分数据又关，当一组数据中有不少数据重复出现时，其众数往往能反映问题。
④中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的变动对中位数没有影响，中位数可能出现在所给数据中，也可能不再所给数据中，当一组数据中个别数据较大时，可用中位数描述其中集中趋势。
【问题研讨】：1、已知一组数据为10，20，80，40，30，90，50，40，50，40.这组数据的众数是40，中位数是40 平均数是_____。
2、某鞋厂为了了解中学生穿鞋的鞋号情况，对某中学初二某班的20名男生所穿鞋号的统计如右表：那么这20名男生鞋号数据的平均数是24.55，中位数是24.5，众数是25，在平均数、中位疑点二 方差和标准差都是用来描述一组数据被动情况的特征数，方差和标准差的大小与数据被动有何关系？数据的方差（标准差）越大，数据的波动越大，稳定性越差，反之方差（标准差）越小，波动越小，稳定性越好。
北师大版高中数学高一第一章 4 数据的数字特征
组数据的中位数与平均数的数值相等；④这组数据的平均数与众数的数值
相等.
其中正确结论的个数为
√A.1
B.2 C.3 D.4
解析 在这11个数中，数3出现了6次，频率最高，故众数是3；将这11个
数按从小到大的顺序排列得2,2,3,3,3,3,3,3,6,6,10，中间数据是3，故中位数 是3；而平均数 x ＝2×2＋3×611＋6×2＋故10只＝有4. ①正确.
A.5
B.6 C.7 D.8
√
解析 由题意知，10＋11＋0＋3＋x＋8＋9＝7×7，解得x＝8.
12345
解析 答案
4.若样本数据x1，x2，…，x10的标准差为8，则数据2x1－1,2x2－1，…， 2x10－1的标准差为__1_6__.
解析 设样本数据x1，x2，…，x10的标准差为s， 则s＝8， 可知数据2x1－1,2x2－1，…，2x10－1的标准差为2s＝16.
解答
类型三 数据的数字特征的综合应用
例3 在一次科技知识竞赛中，两组学生的成绩如下表：
分数
50 60 70 80 90 100
甲组 2 人数
乙组 4
5 10 13 14
6
4 16 2 12 12
已经算得两个组的平均分都是80分.请根据你所学过的统计知识，进一步 判断这两个组在这次竞赛中的成绩谁优谁劣，并说明理由.
解答
达标检测
1.某市2017年各月的平均气温(℃)数据的茎叶图如图：
则这组数据的中位数是
A.19
√B.20
C.21.5
D.23
解析 由茎叶图知，平均气温在20℃以下的有5个月，在20℃以上的也有
5个月，恰好是20℃的有2个月，由中位数的定义知，这组数据的中位数
教案《数据的数字特征》
教案《数据的数字特征》一、教学目标：1. 理解数据的数字特征的概念和意义。
2. 学会计算数据的众数、平均数、中位数、方差等数字特征。
3. 能够运用数字特征对数据进行分析和解释。
二、教学内容：1. 数据的数字特征的定义和意义。
2. 众数的计算方法和应用。
3. 平均数的计算方法和应用。
4. 中位数的计算方法和应用。
5. 方差的计算方法和应用。
三、教学过程：1. 导入：通过实例引入数据的数字特征的概念，激发学生的兴趣。
2. 众数：讲解众数的定义和计算方法，通过例题让学生掌握众数的计算和应用。
3. 平均数：讲解平均数的定义和计算方法，通过例题让学生掌握平均数的计算和应用。
4. 中位数：讲解中位数的定义和计算方法，通过例题让学生掌握中位数的计算和应用。
5. 方差：讲解方差的定义和计算方法，通过例题让学生掌握方差的计算和应用。
四、教学方法：1. 讲授法：讲解数据的数字特征的概念和计算方法。
2. 例题解析法：通过例题让学生理解和掌握数据的数字特征的计算和应用。
3. 练习法：通过练习题让学生巩固和加深对数据的数字特征的理解和应用。
五、教学评价：1. 课堂问答：通过提问了解学生对数据的数字特征的概念和计算方法的掌握情况。
2. 练习题：通过练习题的完成情况了解学生对数据的数字特征的计算和应用的能力。
3. 课后作业：通过课后作业的完成情况了解学生对数据的数字特征的理解和应用的情况。
六、教学资源：1. 教学PPT：用于展示数据的数字特征的概念和计算方法。
2. 练习题库：用于巩固学生的学习和检测学生的掌握情况。
3. 数据分析软件：用于展示数据的数字特征在实际应用中的效果。
七、教学环境：1. 教室：提供宽敞的学习空间和舒适的学习环境。
2. 计算机：用于展示PPT和数据分析软件。
3. 投影仪：用于展示PPT和数据分析软件。
八、教学拓展：1. 数据的数字特征在实际应用中的案例分析。
2. 数据的数字特征在其他学科中的应用。
3. 数据的数字特征的进一步研究和发展。
数据的数字特征教案
数据的数字特征教案一、教学目标1. 让学生理解数据的数字特征的概念。
2. 让学生学会计算数据的众数、中位数、平均数、方差和标准差。
3. 培养学生运用数字特征分析数据的能力，提高数据处理和解决问题的能力。
二、教学内容1. 众数：一组数据中出现次数最多的数。
2. 中位数：将一组数据从小到大排列，位于中间位置的数。
3. 平均数：一组数据的总和除以数据的个数。
4. 方差：衡量一组数据波动大小的量。
5. 标准差：方差的平方根，衡量一组数据离散程度的量。
三、教学重点与难点1. 教学重点：众数、中位数、平均数、方差和标准差的计算方法及其应用。
2. 教学难点：方差和标准差的计算方法，以及如何运用数字特征分析数据。
四、教学方法1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生通过探究问题来学习数据的数字特征。
2. 利用实例和练习题，让学生动手计算和分析数据，提高实际操作能力。
3. 采用小组讨论和汇报的形式，培养学生的合作意识和沟通能力。
五、教学过程1. 导入：通过一个现实生活中的问题，引出数据的数字特征的概念，激发学生的学习兴趣。
2. 讲解：讲解众数、中位数、平均数、方差和标准差的定义和计算方法。
3. 练习：让学生独立完成一些练习题，巩固所学知识。
4. 案例分析：给出一个实际案例，让学生运用数字特征分析数据，解决问题。
6. 作业布置：布置一些有关数据的数字特征的练习题，让学生课后巩固所学知识。
六、教学评估1. 课堂练习：通过课堂练习题，评估学生对数据的数字特征的理解和应用能力。
2. 小组讨论：观察学生在小组讨论中的表现，评估学生的合作意识和沟通能力。
3. 案例分析报告：评估学生在案例分析中的分析能力和解决问题的能力。
七、教学拓展1. 介绍其他数据的数字特征，如极值、范围、四分位数等。
2. 介绍方差和标准差的计算公式及其推导过程。
3. 探讨数据的数字特征在实际应用中的重要性，如统计学、经济学、生物学等领域。
八、教学资源1. 教案、PPT和教学素材。
数据的数字特征
四分位极差
R1 Q3 Q1
四分位标准差
ˆ R1
1.349
三均值
Mˆ
1 4
Q1
1 2
M
1 4
Q3
描述数据集中位置的稳健估计
总体标准差 的稳健估计
下截断点 上截断点
Q1 1.5R1 Q3 1.5R1
小于下截断点的数据为特小值 大于上截断点的数据为特大值
特小值、特大值合称异常值.
用PROC UNIVARIATE过程计算分位数、四分位极差；用
计算均值、方差、标准差、变异系数、偏度、峰度 解 用SAS系统PROC UNIVARRIATE 过程计算，得
x 73.660
S 2 15.524
S 3.940
CV 5.349
g1 0.061
g2 0.034
偏度、峰度的绝对值皆较小，可以认为数据是来自正态总体的样
本.
1.2 中位数、分位数、三均值与极差
当数据是某些总体随机取出的样本时，数据数字特征即是样本的 数字特征.与样本数字特征对应的是总体的数字特征.样本数字特征是 相应的总体数字特征的矩估计.
例1.2 某单位对100名女学生测定血清总蛋白含量(g/L),数据如 下：
74.3 78.8 68.8 78.0 70.4 80.5 80.5 69.7 71.2 73.5 79.5 75.6 75.0 78.8 72.0 72.0 72.0 74.3 71.2 72.0 75.0 73.5 78.8 74.3 75.8 65.0 74.3 71.2 69.7 68.0 73.5 75.0 72.0 64.3 75.8 80.3 69.7 74.3 73.5 73.5 75.8 75.8 68.8 76.5 70.4 71.2 81.2 75.0 70.4 68.0 70.4 72.0 76.5 74.3 76.5 77.6 67.3 72.0 75.0 74.3 73.5 79.5 73.5 74.7 65.0 76.5 81.6 75.4 72.7 72.7 67.2 76.5 72.7 70.4 77.2 68.8 67.5 67.5 67.3 72.7 75.8 73.5 75.0 73.5 73.5 73.5 72.7 81.6 70.3 74.3 73.5 79.5 70.4 76.5 72.7 77.2 84.3 75.0 76.5 70.4
数据的数字特征
x1 x2 xn 数据x1, x2, …, xn的平均数为 x n
注意: 任何一个数据的改变都会引起平均数的变化, 这是众数 和中位数都不具有的性质. 2.中位数 一组数据按从小到大的顺序排成一列, 处于中间位 置的数或中间两个数的平均数称为这组数据的中位数. 注意: 一组数据中的中位数是唯一的, 反映了该组数据的集中 趋势. 3.众数 一组数据中出现次数最多的数称为这组数据的众数. 注意: 一组数据中的众数可能不止一个, 也可能没有, 反映了 该组数据的集中趋势.
问哪个班男生100米短跑平均水平高一些? 解: x甲 1 (15.1 14.8 14.1 14.6 15.3 14.8 14.9 10 14.7 15.2 14.5) 14.8( s) 1 x乙 (15.0 15.0 14.2 14.5 16.1 15.2 14.8 10 14.9 15.1 15.2) 15.0( s)
15.67 3.9585(m/s) 1 又 x乙 (33 29 38 34 28 36) 33 6 1 s乙 [(33 33) 2 (29 33) 2 (36 33) 2 ] 6 12.67 3.5595(m/s)
x甲 x乙 , s甲 s乙
x甲 x乙 ∴ 甲班男生短跑的平均水平高些.
练习2.对划艇运动员甲、乙两人在相同的条件下进行6次测试,测 得他们最大速度(m/s)的数据如右: 甲 27 38 30 37 35 31 33 29 38 34 28 36 试比较这两名划艇运动员谁更优秀. 乙
1 x ( 27 38 30 37 35 31) 33 甲 解: 6 1 s甲 [(27 33) 2 (38 33) 2 (31 33) 2 ] 6
数理统计第二章数字特征
计算方法
对于一组数据，峰态系数可 以通过计算四阶中心矩与标 准差的四次方的比值得到。
判断标准
当峰态系数大于3时，数据分 布呈现尖峰态；当峰态系数 小于3时，数据分布呈现平峰 态；当峰态系数接近3时，数 据分布接近正态分布。
偏态和峰态的关系
相互影响
偏态和峰态都是描述数据分布形态的统计量，它们之间存在相互影响。当数据分布呈现偏态时，其峰态也可能受到影 响。
偏态对峰态的影响
当数据分布呈现右偏态时，其右侧的极端值会对峰态产生较大影响，使得峰态系数增大；当数据分布呈现左偏态时， 其左侧的极端值会对峰态产生较大影响，使得峰态系数减小。
峰态对偏态的影响
当数据分布呈现尖峰态时，其分布的集中程度较高，可能导致偏态系数的绝对值增大；当数据分布呈现 平峰态时，其分布的分散程度较高，可能导致偏态系数的绝对值减小。
数理统计第二章数字特征
目录
• 数字特征概述 • 集中趋势度量 • 离散程度度量 • 偏态与峰态度量 • 分布形状的描述与检验 • 数字特征在统计分析中的应用
01 数字特征概述
定义与意义
定义
数字特征是统计学中用于描述数据集 基本属性和结构的一组数值。
意义
通过数字特征，可以简洁有效地揭示 数据集的中心趋势、离散程度、分布 形态等关键信息，为后续的数据分析 和建模提供重要依据。
标准差
方差的算术平方根，它反映了数 据的波动程度。标准差用s表示。
变异系数
• 变异系数：标准差与平均数的比值，它反映了数据的相对波动 程度。变异系数越小，说明数据的波动程度越小；变异系数越 大，说明数据的波动程度越大。
04 偏态与峰态度量
偏态系数
定义
偏态系数是描述数据分布偏态程度的一个统计量，用于衡量数据分布的不对称性。
数据的数字特征
叫做这N 个数的算术平
1 ，2，3，3，3，4，6，8，8，8，9，9 求平均数
中位数：将一组数据按大小依次排列 ， 把 处 在最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均 数 ) 叫做这组数据的中位数。
中位数将观测数据分成相同数目的两部分，其中一部 分都比这个数小而另一部分都比这个数大。
来衡量这组数据的波动大小，并把它叫做这组数据的 方差．
5，2，3，10，7，6，8，8，9 ，17
求方差
？
1. 标准差的单位与原始测量的单位相同,在统计 中常用标准差来刻画数据的离散程度. 2.如何利用统计的数字特征数字进行分析。
作业：《金版教程》相应的课时作业 再见
数据的数字特征
数据的数字特征
数据的信息除了通过前面学过的各种统 计图表来加以整理和表达之外,还可以通过 一引起统计量来表述,将多个数据“加工” 为一个数值，使这个数值能够反映这组数 据的某些重要的特征。 同学们，根据我们在初中阶段已学过了 哪些统计量？这些统计量各有什么意义?
几个概念：
平均数：一般地，对于N 个数x1，x2 ··x N，我们 ·· ·· 把 x1 x2 +··+x N ·· ·· N 均数，简称平均数。
求下列各组数据的众数
（1）、1 ，2，3，3，3，5，3，3，3，5，5，8，8，9，9 众数是：3
极差：极差=数据中的最大值-数据中的最小 值．
极差表示了一组数据变化范围的大小，反映了极端数据的 波动情况．
1 ，2，3，3，3，4，6，8，8，8，9，9 求极差
方差：设在一组数据 x1 , x2 ,, xn 中 ，各数据与它们的平 ( (x 均数 x 的差的平方分别是 ( x1 x ) 2、 2 x ) 2、···xn x ) 2 ··· 那么我们用它们的平均数，即用
20-21版：5.1.2 数据的数字特征（步步高）
5．1.2 数据的数字特征学习目标 1.理解样本数据标准差的意义和作用，学会计算数据的标准差.2.能根据实际问题的需要合理地选取样本，从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数、标准差)，并做出合理的解释．知识点一 最值、平均数、中位数、百分位数、众数1．一组数据的最值指的是其中的最大值与最小值，最值反映的是这组数最极端的情况．一般地，最大值用max 表示，最小值用min 表示． 2．平均数如果给定的一组数是x 1，x 2，…，x n ，则这组数的平均数为x ＝x 1＋x 2＋…＋x nn ，简记为x ＝1n i ＝1nx i . 如果x 1，x 2，…，x n 的平均数为x ，且a ，b 为常数，则ax 1＋b ，ax 2＋b ，…，ax n ＋b 的平均数为a x ＋b . 3．中位数如果一组数有奇数个数，且按照从小到大排列后为x 1，x 2，…，x 2n ＋1，则称x n ＋1为这组数的中位数；如果一组数有偶数个数，且按照从小到大排列后为x 1，x 2，…，x 2n ，则称x n ＋x n ＋12为这组数的中位数． 4．百分位数设一组数按照从小到大排列后为x 1，x 2，…，x n ，计算i ＝np %的值，如果i 不是整数，设i 0为大于i 的最小整数，取xi 0为p %分位数；如果i 是整数，取x i ＋x i ＋12为p %分位数．特别地，规定：0分位数是x 1(即最小值)，100%分位数是x n (即最大值)． 5．众数一组数据中，某个数据出现的次数称为这个数据的频数，出现次数最多的数据称为这组数据的众数，一组数据的众数可以是一个，也可以是多个． 知识点二 极差、方差与标准差 1．极差一组数据中最大值减去最小值所得的差称为这组数据的极差．2．方差如果x 1，x 2，…，x n 的平均数为x ，则方差可用求和符号表示为s 2＝1n ∑i ＝1n(x i －x )2.此时，如果a ，b 为常数，则ax 1＋b ，ax 2＋b ，…，ax n ＋b 的方差为a 2s 2. 3．标准差方差的算术平方根称为标准差．标准差描述了数据相对于平均数的离散程度，一般用s 表示． s ＝1n [(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2].1．中位数是一组数据中间的数．( × ) 2．众数是一组数据中出现次数最多的数．( √ )3．一组数据的标准差越小，数据越稳定，且稳定在平均数附近．( √ ) 4．一组数据10,11,9,8,6,12,4的25%分位数是6.( √ )一、利用概念求平均数、中位数、百分位数、众数 例1 甲、乙两人在10天中每天加工零件的个数分别为 甲：18 19 20 20 21 22 23 31 31 35 乙：11 17 19 21 22 24 24 30 30 32则这10天甲的日加工零件的平均数为________；乙的日加工零件的众数与中位数分别为________和________． 答案 24 24与30 23解析 甲每天加工零件的个数分别为18,19,20,20,21,22,23,31,31,35， 所求平均数为x 甲＝110×(18＋19＋20＋20＋21＋22＋23＋31＋31＋35)＝24.乙每天加工零件的个数分别为11,17,19,21,22,24,24,30,30,32，故众数为24与30. 中位数为12×(22＋24)＝23.反思感悟 平均数、众数、中位数的计算方法平均数一般是根据公式来计算的；计算众数、中位数时，可先将这组数据按从小到大或从大到小的顺序排列，再根据各自的定义计算．跟踪训练1 十名工人某天生产同一零件，生产的件数是15,17,14,10,15,17,17,16,14,12，设其平均数为a ，中位数为b ，众数为c ，则有( ) A ．a >b >cB ．c >b >aC ．c >a >bD ．b >c >a答案 B解析 从小到大排列此数据为10,12,14,14,15,15,16,17,17,17. 平均数为110(10＋12＋14×2＋15×2＋16＋17×3)＝14.7；数据17出现了三次，17为众数；在第5位、第6位均是15，故15为中位数．所以这组数据的平均数是14.7，中位数是15，众数是17. 二、极差、方差、标准差的计算及应用例2 甲、乙两机床同时加工直径为100 mm 的零件，为检验质量，各从中抽取6件测量，数据为甲：99 100 98 100 100 103 乙：99 100 102 99 100 100 (1)分别计算两组数据的平均数及方差；(2)根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定． 解 (1)x 甲＝16(99＋100＋98＋100＋100＋103)＝100，x 乙＝16(99＋100＋102＋99＋100＋100)＝100.s 2甲＝16[(99－100)2＋(100－100)2＋(98－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2＋(103－100)2]＝73， s 2乙＝16[(99－100)2＋(100－100)2＋(102－100)2＋(99－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2]＝1. (2)两台机床所加工零件的直径的平均值相同，又s 2甲>s 2乙， 所以乙机床加工零件的质量更稳定． 延伸探究在本例中，若甲机床所加工的6个零件的数据全都加10，那么所得新数据的平均数及方差分别是多少？解 甲的数据为99＋10,100＋10,98＋10,100＋10,100＋10,103＋10，平均数为100＋10＝110， 方差为16[(109－110)2＋(110－110)2＋(108－110)2＋(110－110)2＋(110－110)2＋(113－110)2]＝73. 反思感悟 在实际问题中，仅靠平均数不能完全反映问题，还要研究方差，方差描述了数据相对平均数的离散程度．在平均数相同的情况下，方差越大，离散程度越大，数据波动性越大，稳定性越差；方差越小，数据越集中、越稳定．跟踪训练2某班20位女同学平均分为甲、乙两组，她们的劳动技术课考试成绩如下(单位：分)：甲组：60,90,85,75,65,70,80,90,95,80；乙组：85,95,75,70,85,80,85,65,90,85.(1)试分别计算两组数据的极差、方差和标准差；(2)哪一组的成绩较稳定？解(1)甲组：最高分为95分，最低分为60分，极差为95－60＝35(分)，平均分为x甲＝110×(60＋90＋85＋75＋65＋70＋80＋90＋95＋80)＝79(分)，方差为s2甲＝110×[(60－79)2＋(90－79)2＋(85－79)2＋(75－79)2＋(65－79)2＋(70－79)2＋(80－79)2＋(90－79)2＋(95－79)2＋(80－79)2]＝119，标准差为s甲＝s2甲＝119≈10.91(分)．乙组：最高分为95分，最低分为65分，极差为95－65＝30(分)，平均分为x乙＝110×(85＋95＋75＋70＋85＋80＋85＋65＋90＋85)＝81.5(分)，方差为s2乙＝110×[(85－81.5)2＋(95－81.5)2＋(75－81.5)2＋(70－81.5)2＋(85－81.5)2＋(80－81.5)2＋(85－81.5)2＋(65－81.5)2＋(90－81.5)2＋(85－81.5)2]＝75.25，标准差为s乙＝s2乙＝75.25≈8.67(分)．(2)由于乙组的方差(标准差)小于甲组的方差(标准差)，因此乙组的成绩较稳定．从(1)中得到的极差也可得到乙组的成绩比较稳定．1．2019年某高一学生下学期政治考试成绩为79798484868487909097则该生政治考试成绩的平均数和众数依次为()A．8584 B．8485C．8684 D．8486答案 C解析由题意可知，平均数x＝79＋79＋84＋84＋86＋84＋87＋90＋90＋9710＝86，众数为84.2．某地铁运行过程中，10个车站上车的人数统计如下：70,60,60,50,60,40,40,30,30,10，则这组数据的众数、极差的和为()A ．120B ．165C ．160D ．150 答案 A解析 这组数据的众数是60，极差为70－10＝60，它们的和为120. 3．计算∑i ＝13(2i ＋1)等于( )A ．6B ．9C ．10D ．15 答案 D解析 ∑i ＝13(2i ＋1)＝(2×1＋1)＋(2×2＋1)＋(2×3＋1)＝3＋5＋7＝15.4．国家射击队要从甲、乙、丙、丁四名队员中选出一名选手去参加射击比赛，四人的平均成绩和方差如下表：甲 乙 丙 丁 平均成绩x 8.5 8.8 8.8 8 方差s 23.53.52.18.7则应派________参赛最为合适． 答案 丙解析 由表可知，丙的平均成绩较高，且发挥比较稳定，应派丙去参赛最合适．5．样本中共有5个个体，其值分别为a ,0,1,2,3，若该样本的平均数为1，则样本方差为________． 答案 2解析 由题意知15(a ＋0＋1＋2＋3)＝1，解得a ＝－1.所以样本方差为s 2＝15[(－1－1)2＋(0－1)2＋(1－1)2＋(2－1)2＋(3－1)2]＝2.1．知识清单：(1)数据的数字特征的计算方法． (2)数据的数字特征的应用． 2．常见误区：(1)数据同时增加或减少相同的数，平均数变化，方差不变． (2)方差、标准差的计算．。
数据的数字特征(第2课时+极差、方差与标准差)(教学课件)
课堂练习
【训练 5】在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没 有发生大规模群体感染的标志为“连续 10 天，每天新增疑似病例不超过 7 人”， 根据过去 10 天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是 () A.甲地：总体平均数为 3，中位数为 4 B.乙地：总体平均数为 1，总体方差大于 0 C.丙地：中位数为 2，众数为 3 D.丁地：总体平均数为 2，总体方差为 3
提示：平均数相同只能说明五次射击的平均环数一样， 但是并不知道其稳定性怎么样.
新知探索 知识点一：极差
一组数的极差指的是这组数的最大值减去最小值所得的 差.不难看出,极差反映了一组数的变化范围,描述了这组 数的离散程度.
注意：极差反映了一组数据变化的最大幅度，它对一组数 据中的极端值极为敏感，极差只需考虑两个极端值，便于 计算，但没有考虑中间的数据，可靠性较差.
即时训练 知识点二：方差与标准差
【解析】(1)甲组：最高分为 95 分，最低分为 60 分，极差为 95－60＝35(分)， 平均分为甲＝110×(60＋90＋85＋75＋65＋70＋80＋90＋95＋80)＝79(分)， 方差为 s2甲＝110×[(60－79)2＋(90－79)2＋(85－79)2＋(75－79)2＋(65－79)2＋(70 －79)2＋(80－79)2＋(90－79)2＋(95－79)2＋(80－79)2]＝119， 标准差为 s 甲＝ s2甲＝ 119≈10.91(分).
,
.
【解析】(1)将每一个数乘以 10,再减去 190,可得
为
方差为
这组新数的平均数
由此可知,所求平均数为 19.2,方差为
.
教材例题
(2)可将数据整理为
高一上学期数学人教B版()必修第二册第五章5.1.2数据的数字特征-课件
尝试与发现3：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 甲 1 2 2 2 2 3 3 3 5 5 6 6 8 8 9 10 10 12 13 13 乙 0 0 0 0 1 1 2 3 4 5 6 6 7 7 10 14 14 14 14 15
高一（1）班：69 84 69 80 75 70 75 71 87 70 80 84 73 81 81 73 66 78 68 79 73 75 76 76 70 74 71 86 63 88
高一（1）班的最大值是88，最小值是63，平均数是75.5，中位数75， 第一四分位数70，第三四分位数80.
70 72 81 89 81 77 72 77 67 67 72 79 81 75 75 84
上述情境中的两个班的语文成绩，可以从哪些角度进行对照？
上述情境中的两个班的语文成绩，可以从最值、平均数、中位数 等角度进行对照.
最值 ：
一组数据的最值指的是其中的最大值和最小值，反应数据 最极端的情况.一般地，最大值用max表示，最小值用min表示.
指出甲乙两组数的中位数.
尝试与发现3：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 甲 1 2 2 2 2 3 3 3 5 5 6 6 8 8 9 10 10 12 13 13 乙 0 0 0 0 1 1 2 3 4 5 6 6 7 7 10 14 14 14 14 15
尝试与发现2：
有甲乙两个组，每组有6名成员，他们暑假读书的本数如下：
甲组：1，2，3，3，4，5
平均数为 3
乙组：0，0，1，2，3，12 平均数为 3
数字特征的知识点总结
数字特征的知识点总结一、数字特征的定义和基本概念1. 数字特征的定义：数字特征是对事物、数据或者模式的某种属性或特征进行数字化的描述。
它可以是一个数值、一个统计量、一个概率分布、一个向量等，用来表示事物的某些属性、状态、规律等。
2. 数字特征的基本概念：数字特征包括数据的描述性统计量、数据的分布特征、数据的频域特征、数据的空域特征等。
它可以用来描述数据的集中趋势、离散程度、分布形态、相关性、周期性等。
3. 数字特征的作用：数字特征可以用来度量数据的不同属性和特征，帮助人们理解事物的规律和特点，进行数据的分析、聚类、分类、回归、识别等。
二、数字特征的常用描述性统计量1. 均值：均值是一组数据的平均值，用来表示数据的集中趋势。
2. 中位数：中位数是一组数据的中间值，用来表示数据的分布特征。
3. 众数：众数是一组数据中出现次数最多的数值，用来表示数据的分布特征。
4. 标准差：标准差是一组数据的离散程度的度量，用来表示数据的离散程度。
5. 方差：方差是一组数据的离散程度的度量，用来表示数据的离散程度。
6. 偏度：偏度是一组数据的分布形态的度量，用来表示数据的分布形态。
7. 峰度：峰度是一组数据的分布形态的度量，用来表示数据的分布形态。
三、数字特征的常用分布特征1. 正态分布特征：正态分布是一种对称的分布形态，具有单峰性、对称性、均值等于中位数等特点。
2. 偏态分布特征：偏态分布是一种不对称的分布形态，具有偏度大于零或者小于零的特点。
3. 峰态分布特征：峰态分布是一种尖峰或者扁峰的分布形态，具有峰度大于零或者小于零的特点。
4. 均匀分布特征：均匀分布是一种等概率分布形态，具有概率密度在一段区间内等概率分布的特点。
四、数字特征的常用频域特征1. 傅立叶变换特征：傅立叶变换是一种把时域信号转换成频域信号的变换方法，用来表示信号的频域特征。
2. 离散傅立叶变换特征：离散傅立叶变换是一种把离散信号转换成频域信号的变换方法，用来表示信号的频域特征。
数据的数字特征
n
甲：s＝0.16（mm） 乙：s＝0.077(mm) 因为甲的标准差比乙大，因此乙更稳定
练
习
1、下列说法中正确的有___________ （1）在统计中，把所需考察对象的全体 叫做总体， （2）一组数据的平均数一定大于这组数 据中的每一个数据， （3）平均数、众数、中位数，从不同的 角度描述一组数据的集中趋势， （4）一组数据的标准差越大，说明数据 波动越大。
1 2 n
0
24
4、数据a 1 , a 2 a n , 的方差为 S 的方差为（ ） A
1 2 S
2
2
，则 2 a , 2 a
1
2
2an
B
S
2
C
2S
2
D
4S
2
25
小结：
• 1 . 众数、中位数、平均数的概念
• 2. 三种数字特征的优缺点 • 3. 极差、方差、标准差的概念
• 4. 如何利用标准差刻画数据的离 散程度?
16
方差与标准差：
2 2 2
方差：
s
2
(x
=
1
- x
)
+
(x
2
- x
)
+ L +
(x
n
- x
)
n
2
2
2
标准差：
(x
s =
1
- x
)
+
(x
2
- x
)
+ L +
(x
n
- x
)
n
注：（1）方差变形式 （2）极差，方差和标准差用来反映离散程度 （3）若一组数据全部相等则离散度为0
教案《数据的数字特征》
教案《数据的数字特征》一、教学目标1. 让学生理解众数、中位数、平均数等数据的数字特征概念。
2. 培养学生运用数据分析问题的能力。
3. 引导学生通过合作交流，提高解决问题的策略。
二、教学内容1. 众数：一组数据中出现次数最多的数。
2. 中位数：将一组数据从小到大（或从大到小）排列，位于中间位置的数。
3. 平均数：一组数据的总和除以数据的个数。
三、教学重点与难点1. 教学重点：理解众数、中位数、平均数的定义及求法。
2. 教学难点：众数、中位数、平均数在实际问题中的应用。
四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生探究数据的数字特征。
2. 利用案例分析法，让学生通过实际问题体验数据的数字特征。
3. 组织小组合作交流，培养学生解决问题的能力。
五、教学过程1. 导入：通过生活中的实例，如调查同学们最喜欢的学科，引入众数的概念。
2. 讲解：讲解众数、中位数、平均数的定义及求法。
3. 案例分析：分析一组具体数据，求出众数、中位数、平均数，并讨论其在实际问题中的应用。
4. 实践操作：让学生分组收集一组数据，计算众数、中位数、平均数，并分析结果。
6. 课后作业：布置一道有关数据数字特征的练习题，巩固所学知识。
教案《数据的数字特征》（后续章节待补充）六、教学评价1. 评价内容：学生对众数、中位数、平均数的理解与应用。
2. 评价方法：课堂问答、练习题、小组讨论、课后作业。
3. 评价指标：a. 能否正确理解众数、中位数、平均数的定义。
b. 能否运用众数、中位数、平均数解决实际问题。
c. 小组合作交流的效果。
七、教学资源1. 教材：数据数字特征相关章节。
2. 辅助材料：数据收集表、练习题、案例分析资料。
3. technology：投影仪、计算机、网络等。
八、教学进度安排1. 第1-2课时：讲解众数、中位数、平均数的定义及求法。
2. 第3-4课时：案例分析，实际问题中的应用。
3. 第5-6课时：实践操作，分组收集数据并分析。
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所以在实际中，人们更多使用的是标准差
二、标准差
1、方差的正的平方根
( x1 x) 2 ( x2 x) 2 L ( xn x) 2 2、公式： s s n
2
3、优点： （1）、从数学上来说，二次函数的性质比绝对值函数要好； （2）、单位一致； （3）、比较方便运算 。
10
＝0.006(m㎡)
பைடு நூலகம்
方法3
甲
1 40 40 39.8 40 39.8 40 10 0.14
乙
1 40 40 40 40 39.9 40 10 0.06
方法4
甲
1 3 3 3 40 40 39.8 40 39.8 40 10 2 0.005(m m )
§4 数据的数字特征
Data’s characteristic
复习回顾
条形统计图
折线统计图 统计图 扇形统计图
茎叶图
利用统计图表可以显示样本数据的特征
数据的特征除了利用统计图表外，还可 以利用一些统计量（多个数据“加工”为一 个数值）来表述，使这个数值能反映这组数 据的某些重要的整体特征。前面我们在表示 数据的集中趋势和离散程度时，我们利用平 均数、中位数，众数、极差、方差等来表示。
该数亦大
问题这么多方式都可以表达，那么什么方式表达最好呢？
方法1(即极差)因为极差对极值过于敏感，显然不满足第一条原则。 方法2（即方差）满足理想形式的三条原则，它是刻画数据离散程度的一 种方法，但是它的单位是原观测数据的单位的平方。 方法3（即绝对差）满足理想形式的三条原则，它也是刻画数据离散程度 的一种方法。 方法4、满足理想形式的三条原则，它也是刻画数据离散程度的一种方法。 但运算量大。
(1)分别计算该公司员工月工资的平均数、中位数和众数。 (2)公司经理会选取上面哪个来代表该公司员工的月工资情 况，税务官呢？工会领导呢？ 分析：1.根据平均数、中位数的计算公式，可以算出平均数 为：1373元，中位数为：800元，众数为：700元
2.不同身份的人代表不同阶层人的利益，对公司领导平均数 好，对税务官中位数比较好，对工会领导众数即使他的选择
如果你应聘该公司，你怎样看待公司员工的收入情况？
平均数是将所有的数据都考虑进去得到的度 量，它是反映数据集中趋势最常用的统计量； 中位数将观测数据分成相同数目的两部分， 其中一部分都比这个数小而另一部分都比这 个数大，对于非对称的数据集，中位数更实 际地描述了数据的中心；当变量是分类变量 时，众数往往经常被使用
一、复习：常用的特征数
1、平均数： 就是一组数据的平均，设有n个数据，x1 ,x2, …,xn,
这组数据的平均数为：
x1 x2 xn x n
特别地，如果上面n个数据中不同数据x1，x2，…，xn的个 数分别为k1，k2，…，kn，那么它们的平均数为
x1k1 x2 k2 xn kn x k1 k2 kn
例2、 在上一节中，从甲乙两个城市随机抽取的 甲的中位数：20 16台自动售货机的销售额可以用茎叶图表示如下
众数：10 18 30 极差：53 1°甲乙两组数据的中位数众数 乙的中位数：29 极差分别是多少？ 众数：23 34 极差：38
甲 865 0 2°你能从上图中分别比较甲 甲的平均数： 8 8 4 0 0 22.8 1 52 2 乙两组数据的平均数和方差 方差：7210.9 0 0 28.6 3 乙的平均数： 的大小吗？ 31 4 方差：115.2 8 5
5、方差： 就是一组数据中所有数与平均数的差的平方和 的平均数．设有n个数据x1，x2，…，xn，这组数据的 方差为：
2 2 2 ( x x ) ( x x ) ( x x ) 2 n s2 1 n
极差和方差反映数据的离散程度
例1 某公司员工的月工资情况如表：
月工资/元 员工数/人 8000 1 5000 2 4000 2000 1000 800 4 6 12 8 700 20 600 5 500 2
方法2(方差) 1 2 2 2 2 s [( 40 40 ) 39 . 8 40 39 . 8 40 ] 甲： 甲 10
＝0.026(m㎡) 乙 s 2 1 [( 40 40 ) 2 40 40 2 39 .9 40 2 ] 甲
乙
1 3 3 3 40 40 40 40 39.9 40 10 2 0.0006 (m m )
用不同的方式刻画数据离散程度，其理想的形式满 足一下三条 ：
1°应充分利用数据，以便提供更确却的信息 2°仅用一个数据来刻画数据的离散程度
3°对于不同的数据，当离散程度大时，
乙
028 02337 12448 238
例3、 甲乙两台机床同时生产直径为40mm的零件， 为了检验产品的质量，从两台机床生产的产品中个 抽取10件进行测量，结果如下：
甲/mm 乙/mm 40.0 40.0 39.8 40.0 40.1 39.9 40.2 39.9 40.0 40.2 40.0 39.9 40.1 40.1 39.8 40.1 40.2 39.8 40.0 39.9
你能选择适当的数分别表示这两组数据吗？
40.3 40.2 40.1 40 39.9 39.8 39.7 39.6 1 2 3 4 5 6 7 产品编号 8 9 10
直径/mm
它们的平均数都是40，因此仅用平均水平还 难以准确地刻画一组数据
方法1(极差) 甲：40.2-39.8＝0.4 乙：40.1-39.9＝0.2
2、中位数： 就是一组数据按照从小到大或从大到小的顺序进 行排列时，处于中间位置的数(或中间两数的平均数)称 为这组数据的中位数． 奇数个数时，中间那1个 偶数个数时，中间那两个的平均数
3、众数：
就是一组数据中出现次数最多的数．
平均数、中位数或众数反映数据的集中趋势
4、极差： 就是一组数据中最大数与最小数之间的差．