带电粒子和电磁场的相互作用

注意上式右边各量都是在时刻t‘=t - r/c上所取的 值，例如v =v(t')，r=x-xe(t')等．
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把势对场点空时坐标x和t求导数可得电磁 场强．注意右边是t’的函数，而求电磁场 时要对x和t求导数。
r t =t− =t− c
'
2 r r ' x − xe ( t )
c
给出t'为x和t的隐函数．必须先求∂t'/∂ t和∇t'.
r r r n ' ∇t = − r r =− r r v r v ⋅ ⋅n cr − c 1 − c c
11
∂t ' r 1 = r r = r r ∂t r − v ⋅ r 1 − v ⋅ n c c
r r r n ∇t ' = − = − r r r r v ⋅r v ⋅n cr − c 1 − c c
r 2 & r ev r S= sin Θn 2 3 2 16π ε 0 c r
2
因子sin2Θ表示辐射的方向性．在与 方向上辐射最强．
. r v 垂直的
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总辐射功率为
2r 2 & r r 2 ev P = ∫ S ⋅ nr dΩ = 6πε 0 c 3
上述公式可以近似地应用于X射线辐射问题上，X射线 连续谱部分是由入射电子碰到靶上受到减速而产生 的．当电子突然变速时，产生一脉冲电磁波，形成X射 线的连续谱部分．
. r r e ∂ϕ ' r ∇ϕ = ' ∇t = − v ⋅ r r 2 3 4πε 0 c s ∂t
∇ϕ 沿r方向
r r ' r r & ev ∂A ∂A ∂t ev r r r & v ⋅r , = = + ∂t ∂t ' ∂t 4πε 0 c 2 s 4πε 0 c3 s 2 s
18
*3．任意运动带电粒子的电磁场 上述：我们导出v→ 0情形下加速运动带电粒子 的电磁场。电磁场分两部分．一部分是库仑 场，另一部分是和加速度有关的辐射场． 任意运动速度：作洛伦兹变换，可以得到下带电 粒子激发的电磁场．这电磁场同样分为两部 分．一部分是由库仑场作洛伦兹变换而得的，这 . r 部分的性质讨论过；另一部分是和加速度 v 有关 的辐射场．
23
4
对带电粒子来说，J=ρv ，v为粒子在辐射时刻t‘=t - r/c的速度． 由上式看出，势依赖于粒子运动的 速度，但不依赖于加速度．
可以选择一个在粒子 辐射时刻相对静止的 ~ 参考系 Σ . 在其上观 察，( x，t) 点上势的 瞬时值与静止点电荷 的势相同，即
~= ϕ
~ , A = 0 4πε 0 ~ r
( )
21
r r r ∂A e r v r r r r r r & r − rsv &− & = ⋅ ⋅ E = −∇ϕ − r v r v ∂t 4πε 0 c 2 s 3 c r e r r v r & = × − × r r r v 2 3 c 4πε 0 c s r r r v r & n × n − × v c e = r 3 4πε 0 c 2 r v⋅n 1 − c r r r r r r r ∂A ∂A r ∂A ' B = ∇ × A = ∇t × ' = − × ' = − × cr ∂t cs ∂t ∂t
e 4πε 0 c r
2
r r r & n× n×v
(
)
.. r
r r 1r r & v ×n = n×E 2 c 4πε 0 c r e
. r 令p=exe为带电粒子的电偶极矩，则 p = e v ，
与电偶极辐射公式一致．因此，低速运动带电 粒子当加速时激发电偶极辐射．
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辐射能流、方向性和辐射功率的计算和电偶 . r 极辐射相同．以Θ代表r和 v 的夹角，辐射 能流为
6
r % vϕ
式中 r 可以把它改用∑系上的距离表示 r r r r v v r ' ' c (t − t ) − ⋅ ( x − x ) r − ⋅ r c c % −t %' ) = % = c (t = r v2 v2 1− 2 1− 2 c c
~
李纳一维谢尔（Lienard—Wiechert)势
第二章 带电粒子和电磁场的相互作用
一、研究一个带电粒子激发的辐射电磁场 二、研究粒子所激发的场对粒子本身的反作用 三、研究带电粒子和外电磁场的相互作用
1
一、 运动带电粒子的势和辐射电磁场
2
1．任意运动带电粒子的势
带电粒子在外力作用下沿某一 特定运动。在场点x处，在时 刻t的势是粒子在较早的时刻t' 激发的，该时刻粒子处于xe(t') 点上，其运动速度为v(t')，粒 子与场点的距离为
( )
( 式得
r r r r ∂A 1r r B = × − − ∇ϕ = n×E cr ∂t c
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. r 辐射场与加速度 v 成正比．当带电粒子受到加
速时，就有电磁波辐射。辐射场是横向的，即E 和B都与n垂直，并且B和E互相垂直．此外，辐 射场与r成反比，能流与 r2 成反比，因而总辐射 能量可以传播到任意远处。
r A= r ev e , ϕ= r r v r v r 4πε 0 c 2 r − ⋅ r 4πε 0 r − ⋅ r c c
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李纳一维谢尔（Lienard—Wiechert)势
r A= r ev r v r 2 4πε 0 c r − ⋅ r c , ϕ= r v r 4πε 0 r − ⋅ r c e
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∂t = 1− c ∂t ' ∂t
'
' 1 ∂r ( t ) ∂t '
r ' r r ' ∂ x 1 r v ⋅ r ∂t ' e ( t ) ∂t = 1+ r ⋅ = 1+ ' cr cr ∂t ∂t ∂t ∂t
其中v=∂xe( t')/∂t'是粒子在时刻t'的速度．由上式解得
∂t ' r 1 = r r = r r ∂t r − v ⋅ r 1 − v ⋅ n c c
(
)
14
库仑场与r2成反比，它存在于粒子附近，当r大时可 以略去．略去库仑场后，得低速运动粒子当有加速 . r 度 时激发的辐射电磁场 v
r E= r B= e 4πε 0 c r
2
r r r & n× n×v
(
)
r r 1r r & v ×n = n×E 2 c 4πε 0 c r e
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r E= r B=
r r ' r = x − xe t = c t − t '
() (
)
3
为了计算带电粒子激发的势，我们把粒子看 作在小体积内电荷连续分布的极限．由推迟 势的一般公式为
r r' ρ x ,t − r c ' ϕ ( x, t ) = ∫ dV 4πε 0 r r r' r µ0 J x , t − r r c ' A ( x, t ) = ∫ dV 4π r
e
~ ~ ~ r = c(t − t ')
e为粒子的电荷
5 ~ r 在静止参考系上观察的粒子与场点的距离
变回原参考系∑上
在∑ 上观察，粒子在时刻 t‘的运动速度为v，因此v也就是参考 ~ 系 Σ 相对于∑的运动速度．对上述势应用洛伦兹变换式
r ev 1 = 2 2 4πε c 2 r % v v 0 2 1− 2 c 1− 2 c c % 1 e ϕ ϕ= = 2 % v v 2 4πε 0 r 1− 2 1- 2 c c r A=
n为r方向单位矢量．
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再求t’式对x的梯度．由于r=| x-xe(t') |为x和t'的函数，而t'又 隐含x，因此
1 1 ∇t = − ∇r = − ∇ r － ' ∂ c c c t t =常
'
' ∂ r t 1 ( )
r r r r v ⋅r ' ' ∇t = − + ∇t cr cr
解出
利用这两个公式可由势的公式求出电磁场
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2．偶极辐射
v<<c
r r r n ∂t = 1 , ∇t ' = − = − ∂t cr c
'
把势A和ϕ 的公式（1.5）对时空坐标 微分后再令v→0, 得 r r r r ∂A ' B = ∇ × A = ∇ × A ' ＋∇t × ' t =常 ∂t
13
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下面用李纳---维谢尔势直接计算运 动带电粒子的辐射电磁场． 求辐射场时，注意凡是对含r或r的因子求 微商时，结果都使分母的r幂次增加，但通过 v( t’)对变量t’求微商时不会增加分母的r幂 次．因此，在只保留1/r最低次项时，只需通过 v对t‘求导数。
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令 得
r r v ⋅r s=r− c
v v v v & v ev × r r ev B= − × 2 3 2 4πε 0 c r cr 4πε 0 c r
r r r & r ∂A ev er ' ∂ϕ − ∇ϕ = − + − ∇t ' E=− 2 3 4πε 0 c r 4πε 0 r ∂t ∂t r r r r & & ⋅r er ev r ev = − + 3 2 4πε 0 r 4πε 0 c r cr 4πε 0 cr 2 r er e r r r & = + × × r r v 4πε 0 r 3 4πε 0 c 2 r 3 库仑场 辐射场