拉格朗日动力学

α , t ) L = T − V = L(qα , q
它是广义坐标、广义速度和时间的函数. 只要确定了系统的自由度, 选择好广义坐标, 并正确写 出拉格朗日 函 数 , 就 可利 用拉格朗日方 程 得到 系 统 的运动微分方程 . 由此 可见 , 拉格朗
日函数是系统的动力学特征函数. 把所有力学系统的动力学方程统一起来. 例题 1 质量为 m 的质点, 被约束在半顶角为 α 的 光滑固定圆锥 面 内运动 , 试通过 拉格朗日方 程, 写出质点的运动微分方程. 解 建立如图所示的与圆 锥固连的柱坐标系. 质点的位 置由 ( ρ ,θ , z ) 确定. 由于质点受 到圆锥面的约束, 约束方程为 z = ρ cot α , 所以质点的广义坐 标只有两个, 选择 ρ ,θ 为广义坐 标. 质点的拉格朗日函数为
0
t1
由于欧拉方程是作用量取极值的必要条件, 因此, 当作用量 S 取极值时, 下面 s 个方程必然成立,
d ∂L ∂L − =0 α ∂qα dt ∂q
α = 1,2, , s
这就是完整有势系的拉格朗日方程. 拉格朗日方程组共有 s 个二阶微分方程, 方程 数与广义坐标的数目 ( 即自由度数目 ) 相等 . 方程 中的 L 是系统的拉格朗日函数,
第八章 拉格朗日动力学
本章由完整系哈密顿原理推导出完整系的拉 格朗日方程. 拉格朗日于 1788 年创立分析力学时, 哈密顿原理还没问世 , 拉格朗日是用另一种方法 演绎出拉格朗日方程的.
§8-1 有势系的拉格朗日方程
对受完整约束的有势系 , 哈密顿原理告诉我
α , t )dt 取极值. 们, 真实运动能使作用量 S = ∫t L(qα , q
+ g θ = 0 θ l
振动周期为
T = 2π
l g
该周期与摆长为 l 的单摆的振动周期相等. 如果将式 r = ( ρ + 1)l 代入 第 一 式 , 可得到 另一 个小振动方程： k + ρ = 0 ρ m 表 明 在 近似 条件下 , ρ 随 时 间变 化 的 周期 与 弹簧 谐振子的周期相等. 综上 两 例 , 我们对用拉格朗日方法 建 立完整
将方程代入拉格朗日方程： d ∂L ∂L =0 − dt ∂r ∂r d ∂L − ∂L = 0 ∂θ dt ∂θ 得到系统的运动微分方程：
mg 2 )=0 mr − mrθ − mg cos θ + k (r − l + k rθ + g sin θ = 0 θ + 2r
方程中的 FN 是 锥 面作用于 质点 的约束力的 大小 , 它的方向垂直接触面并指向 z 轴. 要使方程可解, 还需加上约束方程 z = ρ cot α . 例题 2 求弹簧摆 的振 动方程 . 已知 质量 为 m 的 摆锤挂 在 轻弹簧上 , 弹簧 一 端 固定 . 系 统 静止 时弹簧的长度为 l , 原长为 l 0 , 劲度系数为 k . 解 取 弹簧 和 摆锤 为 系 统 , 自由度 为 2. 选 r , θ 作广义坐标.
这是 非线性 方程组 , 需在 计 算 机上 作数值 计 算 . 在一定的初始条件下, 摆锤的轨迹如图所示. 如果 系 统 做 小 振 动 , 可 进行近似计 算 , 将 非 线性方程化为线性方程. 假若摆角θ 很小, 则 sinθ ≈ θ , cosθ ≈ 1 , 则
mg 2 m r − mr θ − mg + k ( r − l + )=0 k r θ + gθ = 0 θ + 2r
为了 求 出 摆 动的 周期 , 令 ρ 为 弹簧 相对 平衡 位置 的相对伸长, 即 ρ = ( r − l ) / l , 则 r = ( ρ + 1)l 代入第二式, 得
+ 2lρ + gθ = 0 θ (1 + ρ )lθ
考虑摆 动 和 沿弹簧 方 向 的 振 动 都 为小 振 动 , 则 为 一阶 小 量 , 并 忽略 二阶 小 量 ρ , , θ θ ρ << 1 , ρ 上式便可近似表示为
L = T −V = 1 2 + z 2 + ρ 2θ 2 ) − mgz m( ρ 2
其中规定了 O 点为重力势能零点. 的函数, ,θ 将 L 变成仅含 ρ ,θ 和 ρ
1 2 + ρ 2 + ρ 2θ 2 cot 2 α ) − mgρ cot α L = m( ρ 2
其 中 第 二 式可写 成 ρ 2θ = 常 量 , 表示质点 对 z 轴 的 角动量守恒. 如果选择 θ 和 z 作为质点的广义坐标, 则
2 tan 2 α = 常量 z θ 2 sin 2 α + g cos 2 α = 0 − zθ z
牛顿力学的方法
2 ) = − F cos α − ρθ m( ρ N = FN sin α − mg z m 2 ρ θ = 常量（由初始条件确定）
[ L ——物理结构——变量] 根据拉格朗日方程
d dt d dt ∂L ∂L − =0 ∂ρ ∂ρ ∂L ∂L − =0 ∂ θ ∂θ
经运算, 得到质点的运动微分方程
2 sin 2 α + g sin α cos α = 0 − ρθ ρ θ = 0 ρθ + 2 ρ
1 2 + r 2θ 2 ) T = m(r 2
1 V = −mgr cosθ + ⋅ k ( r − l0 ) 2 2
当系统静止时 mg = k (l − l 0 ) 所以
l0 = l − mg k
拉格朗日函数写成
1 1 mg 2 2 2 2 ) L = m(r + r θ ) + mgr cos θ − ⋅ k ( r − l + 2 2 k
有势系的运动微分方程的基本步骤作一小结. (1) 判断自由度, 选择合适的广义坐标. (2) 通过 坐标 变 换 方程 , 将 拉格朗日 函 数 写
α , t 的函数, 即 L = T − V = L(qα , q α , t ) . 成 qα , q
(3) 将 拉格朗日 函 数 代入 拉格朗日方程中 , 得到 s 个二阶微分方程, 这就是系统的运动微分方 程 . 在 运 算过 程中 应 正确 掌握 导数 和 偏 导数的运 算.