(完整版)数列求和——倒序相加法的应用

数列求和—倒序相加法的应用

石家庄实验中学 安军茹 在等差数列的前n 项和公式的推导中，我们使用了倒序相加法：

n n a a a a S ++++=Λ321 ①

121a a a a S n n n n ++++=--Λ ②

①+②得：

)

()()()(2123121a a a a a a a a S n n n n n ++++++++=--Λ)()()(111n n n a a a a a a ++++++=Λ（共n 个）

)(1n a a n +=

2

)(1n n a a n S +=∴ 这种求和方法的本质是得到了n 个相同的和，把一般等差数列求和问题转化为常数列求和问题，从而把问题简化。利用这种方法，我们还可以解决下面的问题：

1、 求证：1321232-=++++n n n n n n n nC C C C Λ 2

证明：设=S n n n n n n n nC C n C C C +-++++-1321)1(32Λ ①

121)2()1(n n n n n n n C C n C n nC S ++-+-+=--Λ ②

①+②得：

n n n n n n n n n n n n n nC C n C C C n C C n nC S +-++++-++-+=---])1([]2)2[(])1[(2112211Λ 021n n n n n n n nC nC nC nC ++++=-

-Λ

)(021n n n n n n n C C C C n ++++=-

-Λn n 2⋅=

12-⋅=∴n n n S

2、求和：2

22

222222222222101109293832921101++++++++++Λ 3、已知),(),,(),(2

41)(222111y x P y x P R x x f x ∈+=

是函数)(x f y =图像上的两点，且线段21P P 中点P 的横坐标是21。 （1）求证：点P 的纵坐标是定值。

（2）若数列{}n a 的通项公式是),,2,1,)((

m n N m m

n f a n Λ=*∈=求数列{}n a 的前n 项和m S 。 这是一道综合题，第二题的解决要用到第一题的结论：

)1()1()2()2()1()1(m

f m m f m m f m f m m f m f +-==-+=-+Λ，共1-m 个相同的和， 求出)13(12

1-=m S m 。可见，只要理解了倒叙相加的本质，利用这种方法解题就不困难了。

数列求和的方法有很多种，对于每一种方法，我们都要掌握其实质，不能只靠生搬硬套。那样，对于一些稍微有点变化的题目，就会感觉无从下手。