函数及极限习题及答案
函数与极限习题与答案计算题(供参考)
高等数学二、计算题（共 200 小题，）1、设xxx f +=12)(，求)(x f 的定义域及值域。
2、设x xx f -+=11)(，确定)(x f 的定义域及值域。
3、设)ln(2)(22x x xx x f -+-=，求)(x f 的定义域。
4、的定义域，求设)(sin 512arcsin )(x f x x x f π+-=。
5、的定义域，求设⎪⎭⎫⎝⎛++-=x f x f x x x f 1)(22ln )(。
6、的定义域求函数22112arccos)(x x xxx f --++=。
7、设)(x f 的定义域为[) )()()(m x f m x f x F b a ++-=，．，)0(<m ，求)(x F 的定义域。
8、的定义域，求设 )(16sin )(2x f x x x f -+=。
9、的定义域，求设)(12)(2x f xx x f --=。
10、设，求的定义域f x x xf x ()lg ()=+256。
11、设，求的定义域f x x xf x ()arctan ()=-+2512。
12、13、,55lg )(-+=x x x f 设的定义域；确定)()1(x f []的值，求若)2(lg )()2(g x x g f =。
14、),00()(≠≠++=abc x c bx xa x f ， 设成立，对一切，使求数0)()(≠=x x f x m f m 。
15、1)()1(3)2(3)3()(2+-+++-+++=x f x f x f x f c bx ax x f ，计算设的值，其中c b a ，，是给定的常数。
16、)1()11(1)(2-≠+-+=x x xf xx x f ，求设。
17、)()0(13)1(243x f x x x x x x x f ，求 设≠+++=+。
18、)()0( )11()1(2x f x x x xf ，求 设>++=。
极限练习题及答案
极限练习题及答案一. 选择题1.设F是连续函数f的一个原函数，”M?N”表示“M 的充分必要条件是N”，则必有.F是偶函数?f)是奇函数.F是奇函数?f是偶函数. F是周期函数?f是周期函数. F是单调函数?f是单调函数．设函数f?1x,则ex?1?1x?0，x x?0，x?1都是f?1都是f的第一类间断点. 的第二类间断点x?0是f的第一类间断点，x?1是f的第二类间断点. x?0是f的第二类间断点，x3．设f?x??x?1x?1是f的第一类间断点.1，则f[，x?0、，1f]?1A） 1?xB） 1?x4．下列各式正确的是 C）XD） x1+ )?exx11lim??elimC） D）?exxA） limx?0?1x?1B）limx?01x?x?xx??x??5．已知lim?9，则a?。
A.1；B.?；C.ln3；D.2ln3。
．极限：lim x??2A.1；B.?；C.e7．极限：lim； D.e。
2x??x3?2= x3A.1；B.?；C.0；D.2．8．极限：limx?0x?1?1x=A.0；B.?；C 1； D.2．29. 极限：lim=x???A.0；B.?；C.2；D. 1．2sinx10．极限: limtanx?=x?0sin2xA.0；B.?；C.二. 填空题 11．极限limxsinx??116； D.16．2xx?12= ； 12. limarctanx= ；x?0x13. 若y?f在点x0连续，则lim[f?f]= ； x?x?14. limsin5xxx?0?；15. limn?；16. 若函数y?x?1x?3x?222，则它的间断点是17. 绝对值函数?x,x?0;?f?x??0,x?0;??x,x?0.?其定义域是，值域是。
?1,x?0;?18.符号函数 f?sgnx??0,x?0;其定义域是，值域是三个点的集合。
??1,x?0.?19无穷小量是。
20. 函数y?f在点x0连续，要求函数y?f满足的三个条件是。
第一章 函数与极限的练习解答
一、P21：1；51.设），（），（∞+∞=55--A，），【310-B =，写出 B A B A B A -=\,A B ，及)()\(\B A A B A A --=的表达式。
解：),5()3,(+∞-∞= BA)5,10[-=B A),5)10,(\+∞--∞=-=（ B A B A)5,10[)()\(\--=--=B A A B A A5.下列各题中，函数)(x f 和）x g (是否相同？为什么？（1）x x g x x f lg 2)(,lg )(2==解：不同。
定义域不同，),0()0,(+∞-∞= f D),0(+∞=g D 。
（2）2)(,)(x x g x x f ==解：不同。
对应法则不同，即：值域不同。
),0[,+∞==g f R R R 。
（3）334)(xx x f -=，31)(-•=x x x g解：相同。
因为定义域和对应法（或值域）则相同。
（4）x x x g x f 22tan sec )(,1)(-==解：不同。
定义域不同，R D f =},1,0,2{ ±=+≠=k k x x D g ππ。
二、P21：4（1）、（3）、（5）、（7）、（9）；6；7（2）；P22：10（1）、（4）、(5)；11（1）、（3）、（5）；15（1）、（3）；16.4.求下列函数的自然定义域：（1）23+=x y ；解：32023-≥⇒≥+x x 。
即：),32[+∞-=D 。
（3）211x x y --=； 解：⎩⎨⎧≤≤-≠⎩⎨⎧⇒≥-≠1100102x x x x 。
即：]1,0()0,1[ -=D 。
（5）x y sin =；解：0≥x 。
即：),0[+∞=D （7）)3arcsin(-=x y ；解：42131≤≤⇒≤-≤-x x 。
即：]4,2[=D 。
（9）)1ln(+=x y解：101->⇒>+x x 。
即：),1(+∞-=D6.设,3,3,0,sin )(ππϕ≥<⎩⎨⎧=x x x x 求)2(),4(),4(),6(--ϕπϕπϕπϕ，并作出函数的)(x y ϕ=图形解：32,34,34,36πππππππ≥-<-<<， 216sin 6==⎪⎭⎫⎝⎛∴ππϕ，224sin 4==⎪⎭⎫ ⎝⎛ππϕ，22)4sin(4=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛ππϕ，0)2(=-ϕ。
(完整版)14-函数与极限习题与答案(证明题)
高等数学三、证明题（共 124 小题，）1、)1()( , 5522)(22t f t f t t tt t f =+++=证明设。
2、)1()()(,11ln)(yzz y f z f y f x xx f ++=++-=证明设).1,1(<<z y 式中 3、)()2()2( 1 , )1lg()(2y F y F y F y x x F =--->+=时有证明当设。
4、)()()( , )(y x f y f x f e t f t -==证明 设 。
5、证明是奇函数f x x x ()()()=+--2323。
6、，，设axax x x x x f +-=+∞<<-∞=1)()( arctan )(ϕ []。
，验证：，)()()()11(a f x f x f x a -=<<ϕ 7、证明Sh x Ch x Ch x 222+=。
8、验证。
22Shx Chx Sh x ⋅=9、验证Sh Sh Ch Ch Sh ()αβαβαβ+=+。
10、验证Sh Sh Ch Ch Sh ()αβαβαβ-=-。
11、验证Ch Ch Ch Sh Sh ()αβαβαβ+=+。
12、验证Ch Ch Ch Sh Sh ()αβαβαβ-=-。
13、验证1122-=th x ch x。
14、验证1122-=-cth x sh x。
15、{}{}{}反例。
，如否定结论则需举出如肯定结论请给出证明是否也必是无界数列。
试判定：，都是无界数列，，设数列n n n n n n z y x z y x =16、nn n n n bn n n nn n n n n b a b a n b a b b a a b a ∞→∞→→∞→++==+==lim lim lim lim )21( 21111存在，且存在，试证明：，，，，是两个函数，令，设17、{}．收敛，并求极限，试证数列，，．，，设n n n n n n x x n x x x x ∞→+=-=∈lim )21(2)20(21118、．试证明，，且的某去心邻域内若在B A B x g A x f x g x f x x x x x ≥==≥→→ ; )(lim )(lim )()(019、0)(lim 0)(lim )()(00==αα≤→→x f x x x f x x x x x ，试证明，且的某去心邻域内若在20、试证明不存在。
(完整word版)《微积分》各章习题及详细答案
第一单元 函数与极限一、填空题1、已知x xf cos 1)2(sin +=，则=)(cos x f 。
2、=-+→∞)1()34(lim 22x x x x 。
3、0→x 时，x x sin tan -是x 的 阶无穷小。
4、01sin lim 0=→x x k x 成立的k 为 。
5、=-∞→x e x x arctan lim 。
6、⎩⎨⎧≤+>+=0,0,1)(x b x x e x f x 在0=x 处连续，则=b 。
7、=+→xx x 6)13ln(lim0 。
8、设)(x f 的定义域是]1,0[，则)(ln x f 的定义域是__________。
9、函数)2ln(1++=x y 的反函数为_________。
10、设a 是非零常数，则________)(lim =-+∞→xx ax a x 。
11、已知当0→x 时，1)1(312-+ax 与1cos -x 是等价无穷小，则常数________=a 。
12、函数xxx f +=13arcsin )(的定义域是__________。
13、____________22lim22=--++∞→x x n 。
14、设8)2(lim =-+∞→xx ax a x ，则=a ________。
15、)2)(1(lim n n n n n -++++∞→=____________。
二、选择题1、设)(),(x g x f 是],[l l -上的偶函数，)(x h 是],[l l -上的奇函数，则 中所给的函数必为奇函数。
（Ａ）)()(x g x f +；（Ｂ）)()(x h x f +；（C ）)]()()[(x h x g x f +；（D ）)()()(x h x g x f 。
2、xxx +-=11)(α，31)(x x -=β，则当1→x 时有 。
（Ａ）α是比β高阶的无穷小； （Ｂ）α是比β低阶的无穷小； （C ）α与β是同阶无穷小； （D ）βα~。
高等数学(函数与极限)习题及解答
练习1-1
练习1-2
练习1-3
练习1-4
练习1-5
练习1-6
练习1-7
练习1-8
练习1-9练ຫໍສະໝຸດ 1-10高等数学习题高等数学函数高等数学习题集高等数学习题详解蔡高厅高等数学习题高等数学函数公式高等数学习题答案高等数学极限高等数学极限试题高等数学求极限
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高等数学(函数与极限)习题及解答
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高等数学第一章函数例题及答案
高等数学第一章 函数、极限、连续§1．1 函数一．求函数的定义域例1．求函数()2100ln ln ln x x x f -+=的定义域 例2．求5ln 1-+-=x x x y 的定义域例3．设()x f 的定义域为[]()0,>-a a a ，求()12-x f 的定义域 例4．设()⎩⎨⎧≤≤<≤=42 ,220 ,1x x x g 求()()()12-+=x g x g x f 的定义域，并求⎪⎭⎫ ⎝⎛23f 。
二．求函数的值域 例1．求3311-=x ey 的值域例2．求()()⎪⎩⎪⎨⎧>--≤≤---<-==2,2122,52,323x x x x x x x f y 的值域，并求它的反函数 三．求复合函数有关表达式 1．已知()x f 和()x g ，求()[]x g f 例1．已知()1-=x xx f ，求()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-11x f f 例2．设()21x x x f +=，求()()[]()重复合n x f x f f f n =例3．设()⎩⎨⎧>≤-=2,02,42x x x x f ，求()[]x f f 2．已知()x g 和()[]x g f ，求()x f 例1．设()x e e e f x xx++=+21，求()x f例2．已知()xxxee f -='，且()01=f ，求()x f例3．设()x x fsin =，求()x f '例4．已知()x x f 2cos 3sin -=，求证()x x f 2cos 3cos += 3．已知()x f 和()[]x g f ，求()x g例．已知()()x x f +=1ln ，()[]x x g f =，求()x g 解：()[]x fx g 1-=实际上为求反函数问题()[]()[]x x g x g f =+=1ln ，()x e x g =+1 ()1-=x e x g 4．有关复合函数方程 例．设()x x f x x f 2311-=⎪⎭⎫⎝⎛-+，求()x f 四．有关四种性质例1．设()()x f x F ='，则下列结论正确的是[ ]（A ）若()x f 为奇函数，则()x F 为偶函数。
(完整版)函数、极限与连续习题及答案
第一章 函数、极限与连续(A)1．区间[)+∞,a 表示不等式( )A ．+∞<<x aB ．+∞<≤x aC ．x a <D ．x a ≥ 2．若()13+=t t ϕ，则()=+13t ϕ( )A ．13+tB ．26+tC ．29+tD ．233369+++t t t 3．设函数()()x x x x f arcsin 2513ln +-++=的定义域是( )A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-25,31B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-25,1C ．⎪⎭⎫⎝⎛-1,31 D ．()1,1-4．下列函数()x f 与()x g 相等的是( )A ．()2x x f =，()4x x g =B ．()x x f =，()()2x x g =C ．()11+-=x x x f ，()11+-=x x x g D ． ()112--=x x x f ，()1+=x x g 5．下列函数中为奇函数的是( )A ．2sin xx y = B ．xxe y 2-= C ．x x x sin 222-- D ．x x x x y sin cos 2+= 6．若函数()x x f =，22<<-x ，则()1-x f 的值域为( ) A ．[)2,0 B ．[)3,0 C ．[]2,0 D ．[]3,0 7．设函数()x e x f =(0≠x )，那么()()21x f x f ⋅为( )A ．()()21x f x f +B ．()21x x f +C ．()21x x fD ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛21x x f8．已知()x f 在区间()+∞∞-,上单调递减，则()42+x f 的单调递减区间是( ) A ．()+∞∞-, B ．()0,∞- C ．[)+∞,0 D ．不存在 9．函数()x f y =与其反函数()x fy 1-=的图形对称于直线( )A ．0=yB ．0=xC ．x y =D ．x y -=10．函数2101-=-x y 的反函数是( ) A ．2lg-=x x y B ．2log x y = C ．xy 1log 2= D ．()2lg 1++=x y 11．设函数()⎩⎨⎧=是无理数是有理数x x a x f x ,0,10<<a ，则( )A ．当+∞→x 时，()x f 是无穷大B ．当+∞→x 时，()x f 是无穷小C ．当-∞→x 时，()x f 是无穷大D ．当-∞→x 时，()x f 是无穷小 12．设()x f 在R 上有定义，函数()x f 在点0x 左、右极限都存在且相等是函数()x f 在点0x 连续的( )A ．充分条件B ．充分且必要条件C ．必要条件D ．非充分也非必要条件13．若函数()⎩⎨⎧<≥+=1,cos 1,2x x x a x x f π在R 上连续，则a 的值为( )A ．0B ．1C ．-1D ．-2 14．若函数()x f 在某点0x 极限存在，则( ) A ． ()x f 在0x 的函数值必存在且等于极限值 B ．()x f 在0x 函数值必存在，但不一定等于极限值 C ．()x f 在0x 的函数值可以不存在 D ．如果()0x f 存在的话，必等于极限值15．数列0，31，42，53，64，…是( )A ．以0为极限B ．以1为极限C ．以n n 2-为极限 D ．不存在在极限 16．=∞→xx x 1sin lim ( )A ．∞B ．不存在C ．1D ．017．=⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞→xx x 211lim ( )A ．2-eB ．∞C ．0D ．21 18．无穷小量是( )A ．比零稍大一点的一个数B ．一个很小很小的数C ．以零为极限的一个变量D ．数零19．设()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<≤<≤-=31,110,201,2x x x x x f x 则()x f 的定义域为 ，()0f = ，()1f = 。
函数与极限测试题及答案(二)
函数与极限测试题及答案(二)1.选择题1.设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，"M N"表示“M的充分必要条件是N”，则必有(。
)。
A）F(x)是偶函数f(x)是奇函数。
（B）F(x)是奇函数f(x)是偶函数。
（C）F(x)是周期函数f(x)是周期函数。
（D）F(x)是单调函数f(x)是单调函数。
答案：D2.设函数f(x) = 1/(ex(x-1)),则(。
)。
A）x = -1，x = 1都是f(x)的第一类间断点。
（B）x = -1，x = 1都是f(x)的第二类间断点。
（C）x = 1是f(x)的第一类间断点，x = 1是f(x)的第二类间断点。
（D）x = 1是f(x)的第二类间断点，x = 1是f(x)的第一类间断点。
答案：C3.设f(x) = [1/(x-1)]。
x ≠ 1，则f[1.x] = (。
)，x ≠ 1，则f[1.x] = (。
)。
A）1-x；（B）1-x2；（C）1-x；（D）1-x2.答案：A4.下列各式正确的是(。
)。
A）limx→+∞x/(x+1) = 1；（B）limx→0xsin(1/x) = 0；（C）limx→1(x-1)/(x2-1) = 1/2；（D）limx→∞(1-1/x)e-x = 0.答案：A5.已知limx→∞[(x3+2)/(x3+1)] = a，则a = (。
)。
A）1；（B）∞；（C）e；（D）2ln3.答案：C6.极限：lim(x→+∞)[(x+1)/(x2+2)] = （）。
A）1；（B）∞；（C）e；（D）2.答案：A7.极限：lim(x→0)(x+1-1)/x2 = （）。
A）0；（B）∞；（C）1；（D）2.答案：C8.极限：lim(x→∞)(x+1-1)/x2 = （）。
A）0；（B）∞；（C）1；（D）2.答案：A9.极限：lim(x→+∞)(x2+x-x)/x = （）。
A）0；（B）∞；（C）2；（D）1.答案：C10.极限：lim(x→π/4)(tanx-sinx)/(sin3x/2) = （）。
高等数学(函数与极限)习题及解答
练习1-1(2)∕(∕n5S)W)∙4.设映射f ιX→Y y若存在一个映射g.Y→X.使S-f=I x 5 f-g=ιγ,其中《、“分别是x、y上的恒等映射，即对于每一个xwX,有ZYXnc;对于每一个ywlζ有b>⅛=y.证明:/是双射, 且g是/的逆映射:g=f~x.5.设映射f .X→Y,A^X.证明: (Ir I m)=>4；(2)当/是单射时，有Γ1(∕(^)M・6.求下列函数的自然定义域: (l)y=V3x+2 ;⑶丿=丄-JI-X2 ；X(5) j∕=sin √x;(7)戶arcsing - 3);(8)>,=√3-x+arctan—;⑼TI如);解±x+l>O得函数的定义域P=（-19+∞X1(IO)尸尹.解±x≠0得函数的定义域6（-00, 0）u（0,+00）.7.下列各题中，函数、冷）和蛉）是否相同？为什么? (l)∕(x)≡lgx2,4g(x)≡21gx;解不同.因为定义域不同.⑵/（兀）=七g（x）=V?；解不同.因为对应法则不同,无<0时,g（x）=-兀.⑶f(x)=l∕^(X)=X^[x^i ;解和同.因为定义域、对应法则均相相同.(4MX)=I, g(x)=sec2x-tai^x .解不同.因为定义域不同.&设卩（兀）=<兀一3疗一求久石），仅牙）5 0（-牙｝9吠-2）9并作出函数片於）的图形.9・试证下列函数在指定区间内的单调性:⑴p=⅛gi);(2)y=x+lnx, (0, +□o).io.设yu)为定义在(-M内的奇函数，若沧)在(0』内单调埠加，证明金)在(-/,0)内也单调增加・11.设下面所考虑的函数都是定义在对称区间上的，证I(1)两个偶函数的和是偶函数，两个奇函数的和是奇函数;(2)两个偶函数的乘积是偶函数，两个奇函数的乘积是偶函数偶函数与奇函数的乘积是奇函数.证明设F(x)=f(xyg(x∖如果Λr)和能)都是偶函数，则F(-x M-兀)∙g(-x )∕X)∙g(x)=F(Q 所以Fa)为偶函数，即两个偶函数的积是偶函数.如果压)和ME都是奇函数7则F(→)=∕(-x) g(-Λ)=[√{x)] [-g(x)]√(x)∙g(x)=F(x)9 所以Fa)为偶函数，即两个奇函数的积是偶函数・如果用)是偶函数，而g(x)是奇函数，则F(-x>√(-兀)g(-xM>)[-曲)]=√(H)於)=-F(Q 所以F(Q为奇函数，即偶函数与奇函数的积是奇函数.12.下列函数中哪些是偶函数，哪些是奇函数，哪些既非奇目数又菲偶函数？{l)y=x2(l-x2);解因为Λ→X→)2[l-(→)2]^x2( 1 →2M X),所以√(x)是偶函I-X2.l+x2 9解因为/(一X)=走⅛g,所畑)是偶函{2)y=3x2-x3;⑶尸(4]yw(x-I)(X+1);(5)y=sinx-cos x+1;解由∕{-x)=SirI(-工)-cos(-x)+1 =-sinx-cos x+1 可见√(v)既? 数又非偶函数，(6)尸¥13.下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数，指出其周期：(l)y=cos(x-2);(2)y=cos 4x;(3)y=l+sinπv;(4]y=xcosx;(5)y-siι∕x.14.求下列函数的反函数: (l)y=Vjc+l ；解由尸炖得⑵尸l—x. 1+x ,解由y=2sin Sx 得1 - yX=—arcsm⅛-.3 2所以y=2sinlr 的反函数为解由尸昙得一 1一丿X ~u7,所以v=⅛的反函数为(^y=^±^(ad-bc≠O); cx+a解由P=空毘得CX+d所以空卑的反函数为V =Ir一 dx+b(5)尸 l+ln*+2); 解 由*l+ln*+2)得所以y=l 十ln&十2）的反函数为 y=e x ^l -2.解由少=莞?得 X=Iog2 F L , ι-y所以尸丄的反函数为 2x +lP=Iog215. 设函数金）在数集X 上有定义 试证：函数庄）在X 上有 界的充分必要条件是它在X 上既有上界又有下界・⑹尸 2x 27+l证明先证必要性.设函数TIH)在X 上有界，则存在正数M 使 ∖f(x)∖≤M 9 即-Mg)≤M这就证明了心)在X 上有下界-M 和上界M. 再证充分性设函数刃>)在X 上有下界Kl 和上界心，即 KIg)≤ K 2. 取M=UmX{Kι∣,KT},则-M<K A ^∖X )<K 1<M,即Iz(X)KM. 这就证明了 Λχy^x±有界. 16. 在下列各题中，求由所给函数复合而成的函数，并求这 函数分别对应于给定自变量值Xi 和Xi 的函数值：解 y=sin2v, I =Sin(2∙-^)=Sm^=^(3) y=y∕^i 9 U ==I+x 9 Xl=IS 兀2= 2; 解 y=y∕l+x 2 9 jμ1=71+l 2 =V2 , y 2 =∖∕l + 22 =√5 a_兀71 ，X l=P,j 2=siπ(2∙^)=sι∩y=L(I)^=W 29 M=Sinx 5 x 16(4)Jfee M9u=x29 Xi =0, x2=l;解y = eχ25y↑ =e°2 =15j∕2=^I2 =e-n II(5)y=u , , xι=l9 %2=-l.解2j5yι=e2,1=e2, j2=^2^"1^=e^2β17.设沧)的定义域D=G U求下列各函数的定义域: (Iw)；解由O≤r2≤l得IXld⑵.AsiiK);解由OSSinXSl得2nπ≤x<(2n+1 )π(∕ι=0, ±1, ±2・・・), 所以函数爪血)的定义域为⑵忆(2H+1)∕Γ](H=O? +1, 土2…)・⑶Λ*)(QO);所以函数/(/)的定义域为解由O≤τ+QSl得-a≤x< 1 -Zi, 所以函数βx+a)的定义域为[-a, ∖-a∖.⑷刃χ+d)t∕H)(U〉o)・解由O≤τ+6r≤ l 且O≤x-α≤l 得: '"ι0<π<y 时，a≤x<∖-a∖ 当α>*时，无解.因此当0<a≤^时函数的定义域为阪1-H当时函数无意义f 1 ∣χ∣<l1& 设f(x)=∖ 0 ∖x∖=l9g(x)=e s9求√[g(x)]^tl g[∕(x)]5并作[-1 ∖x∖>∖出这两个函数的图形.1 解/WA O-1■I 护∣<1 f 1I5即/Ig(χ)]T OW(x)]=RE={ e0x∣<l e心，即M∕Cv)]=j1 x∣>l0 IL IL < => I-IiiIIH^ XXXx>0x=Q.19.已知水渠的横断面为等腰梯形，斜 角歼40。
高数函数的极限连续习题精选及答案
1、函数()12++=x x x f 与函数()113--=x x x g 相同．错误 ∵当两个函数的定义域和函数关系相同时，则这两个函数是相同的。
∴()12++=x x x f 与()113--=x x x g 函数关系相同，但定义域不同，所以()x f 与()x g 是不同的函数。
2、如果()M x f >（M 为一个常数），则()x f 为无穷大． 错误 根据无穷大的定义，此题是错误的。
3、如果数列有界，则极限存在．错误 如：数列()nn x 1-=是有界数列，但极限不存在4、a a nn =∞→lim ，a a n n =∞→lim ．错误 如：数列()nn a 1-=，1)1(lim =-∞→nn ，但n n )1(lim -∞→不存在。
5、如果()A x f x =∞→lim ，则()α+=A x f （当∞→x 时，α为无穷小）． 正确 根据函数、极限值、无穷小量的关系，此题是正确的。
6、如果α～β，则()α=β-αo ．正确 ∵1lim=αβ，是 ∴01lim lim =⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-αβαβα，即βα-是α的高阶无穷小量。
7、当0→x 时，x cos 1-与2x 是同阶无穷小．正确 ∵2122sin 412lim 2sin 2lim cos 1lim 2022020=⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅⋅==-→→→x x x x x x x x x8、 01sin lim lim 1sinlim 000=⋅=→→→xx x x x x x ．错误 ∵xx 1sin lim 0→不存在，∴不可利用两个函数乘积求极限的法则计算。
9、 e x xx =⎪⎭⎫⎝⎛+→11lim 0．错误 ∵e x xx =⎪⎭⎫⎝⎛+∞→11lim10、点0=x 是函数xxy =的无穷间断点．错误 =-→x x x 00l i m 1l i m00-=--→x x x ，=+→xx x 00lim 1lim 00=+→x xx ∴点0=x 是函数xxy =的第一类间断点．11、函数()x f x1=必在闭区间[]b a ,内取得最大值、最小值．错误 ∵根据连续函数在闭区间上的性质，()x f x1=在0=x 处不连续∴函数()x f x1=在闭区间[]b a ,内不一定取得最大值、最小值 二、填空题：1、设()x f y =的定义域是()1,0，则（１）()x e f 的定义域是（ (,0)-∞ ）；（２）()x f 2sin 1-的定义域是（,()2x x k x k k Z πππ⎧⎫≠≠+∈⎨⎬⎩⎭ ）； （３）()x f lg 的定义域是（ (1,10) ）． 答案：（1）∵10<<xe （2）∵1sin 102<-<x（3）∵1lg 0<<x2、函数()⎪⎩⎪⎨⎧≤<-=<<-+=403000222x x x x x x f 的定义域是（ (]4,2- ）．3、设()2sin x x f =，()12+=ϕx x ，则()[]=ϕx f （ ()221sin +x ）．4、nxn n sinlim ∞→＝（ x ）．∵x x n n x n n x n x n n n n =⋅==∞→∞→∞→sinlim sin limsin lim 5、设()11cos 11211xx x f x x x x π-<-⎧⎪⎪=-≤≤⎨⎪->⎪⎩，则()10lim x f x →--=（ 2 ），()=+→x f x 01lim （ 0 ）． ∵()1010lim lim (1)2x x f x x →--→--=-=，()()01lim lim 0101=-=+→+→x x f x x6、设()⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=00cos 12x ax x x x f ，如果()x f 在0=x 处连续，则=a （ 21 ）．∵21cos 1lim 20=-→x x x ，如果()x f 在0=x 处连续，则()a f xx x ===-→021cos 1lim 20 7、设0x 是初等函数()x f 定义区间内的点，则()=→x f x x 0lim （ ()0x f ）．∵初等函数()x f 在定义区间内连续，∴()=→x f x x 0lim ()0x f8、函数()211-=x y 当x →（ 1 ）时为无穷大，当x →（ ∞ ）时为无穷小．∵()∞=-→2111limx x ，()011lim2=-∞→x x9、若()01lim2=--+-+∞→b ax x xx ，则=a （ 1 ），=b （ 21-）． ∵()b ax x x x --+-+∞→1lim2()()()bax x x b ax x x b ax x x x +++-+++---+-=+∞→111lim222()()b ax x x b ax x x x +++-+-+-=+∞→11lim 222()()()b ax x x b x ab x a x +++--++--=+∞→11211lim 2222欲使上式成立，令012=-a ，∴1a =±，上式化简为()()2211212112lim lim lim 1x x x b ab ab x b ab a →+∞--++-++--+==+∴1a =，021=+ab ，12b =-10、函数()x x f 111+=的间断点是（ 1,0-==x x ）．11、()34222+--+=x x x x x f 的连续区间是（ ()()()+∞∞-,3,3,1,1, ）．12、若2sin 2lim =+∞→x xax x ，则=a （ 2 ）．()200lim sin 2lim sin 2lim =+=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+∞→∞→∞→a a x x a x x ax x x x ∴2=a13、=∞→xxx sin lim（ 0 ），=∞→xx x 1s i nlim （ 1 ）， ()=-→xx x 11lim （ 1-e ），=⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→kxx x 11lim （ ke ）． ∵0sin 1lim sin lim =⋅=∞→∞→x x x x x x 111sin lim1sin lim ==∞→∞→xx x x x x ()[]1)1(11)(1lim 1lim --⋅-→→=-+=-e x x xx x x kkx x kx x e x x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→∞→)11(lim 11lim14、lim sin(arctan )x x →∞=（ 不存在 ），l i ms i n (a r c c o t )x x →+∞=（ 0 ）三、选择填空：1、如果a x n n =∞→lim ，则数列n x 是（ b ）a.单调递增数列 b ．有界数列 c ．发散数列 2、函数()()1log 2++=x x x f a 是（ a ）a ．奇函数b ．偶函数c ．非奇非偶函数 ∵()()11log 1)(log 22++=+-+-=-x x x x x f aa ()()x f x x a -=++-=1log 23、当0→x 时，1-xe 是x 的（ c ）a ．高阶无穷小b ．低阶无穷小c ．等价无穷小4、如果函数()x f 在0x 点的某个邻域内恒有()M x f ≤（M 是正数），则函数()x f 在该邻域内（ c ）a ．极限存在b ．连续c ．有界 5、函数()x f x-=11在（ c ）条件下趋于∞+.a ．1→xb ．01+→xc ．01-→x 6、设函数()x f xx sin =，则()=→x f x 0lim （ c ）a ．１b ．－１c ．不存在 ∵1sin lim sin limsin lim000000-=-=-=-→-→-→xxx x x xx x x1sin lim sin lim 0000==-→+→xx x x x x 根据极限存在定理知：()x f x 0lim →不存在。
高等数学练习册及答案
第一章第一章 函数与极限§1 函数一、单项选择题1、下面四个函数中，与y=|x |不同的是( A ) （A ）||ln xey = （B ）2x y = （C ）44x y = （D ）x x y sgn =）上是（，在其定义域、B x x f )()3(cos )(22∞+−∞=非周期函数。
的周期函数； 最小正周期为的周期函数；最小正周期为的周期函数； 最小正周期为)(32)(3)(3)(D C B A πππ ）函数的是（ 、下列函数中为非偶数B 3)1lg(1)(4343)(arccos )(1212sin )(2222x x x x y D x x x x y C x y B x y A x x +++=++++−==+−⋅=；；4、是 函数)0(ln)(>+−=a xa xa x f （A ） 的值奇偶性决定于非奇非偶函数；偶函数； 奇函数； a D C B A )()()()(二、填空题1、＝则时且当设 z x z y y x f y x z , , 0 , )(2==−++= . 解：2 , 0 x z y ==时因 2)(x x f x =+∴ 故有 x x x f −=2)( )()()(2y x y x y x f −−−=−)()(2y x y x y x z −−−++=∴2)(2y x y −+=2、的定义域为，则设 )()65lg(56)(22x f x x x x x f +−+−+=解：由 解得 ，650162+−≥−≤≤x x x由 解得 或x x x x 256023−+><>[)(]故函数的定义域是 ，，−1236Υ.3、[]＝则．， ；，设)(0202)(x f f x x x x f≥<+=解：[]f f x x x x ()=+<−≥−4222，；， 4、＝的反函数则．，；，；，设)()(42411)(2x x f x x x x x x f xφ+∞<<≤≤<<∞−=解：当时，，即−∞<<==x y x x y 1 −∞<<y 1 当时，， ．141162≤≤=∴=≤≤x y x x yy当时，， ．42162<<+∞=∴=>x y x y x y log>≤≤<<∞−=φ．，；，；，的反函数故16log 1611)()(2x x x x x x x x f 5，，且成立，对一切实数设0)0()()()()(212121≠=+f x f x f x x f x x x f ，a f =)1(＝则)0(f ，＝)(n f )(为正整数．n解)0()0()0()00(021≠⋅=+==f f f f x x ，代入已知式取∴=f ()01又 f af f f f a ()()()()()1211112==+==设则f k a f k f k f a a akkk ()()()()=+=⋅=⋅=+111nan f n =)(有故对一切§2 数列的极限一．单项选择题1、{}无界是数列发散的数列n a （ B ）件．．既非充分又非必要条 ．充分必要条件．充分条件 ．必要条件D C B A ;;;2、=−为偶数当为奇数当n n n x n ,10,17则 D 。
数学分析上册练习题及答案第三章函数极限
第三章函数极限1． 函数极限概念1． 按定义证明下列极限：（1）65lim 6x x x→+∞+=；（2）22lim(610)2x x x →-+=；（3）225lim 11x x x →∞-=-;（4）2lim 0x -→=； （5）00lim cos cos x x x x →=.证明（1）任意给定0ε>，取5M ε=，则当x M >时有65556x x x Mε+-=<=.按函数极限定义有65lim6x x x→+∞+=.（2）当2x ≠时有，2(610)2(2)(4)24x x x x x x -+-=--=--.若限制021x <-<，则43x -<.于是，对任给的0ε>，只要取min{1,}3εδ=，则当02x δ<-<时，有2(610)2x x ε-+-<.故有定义得22lim(610)2x x x →-+=.(3)由于22254111x x x --=--.若限制1x >，则2211x x -=-，对任给的0ε>，取max M ⎧⎪=⎨⎪⎩，则当x M >时有22225441111x x M x ε--=<=---，所以225lim 11x x x →∞-=-.(4)0==若此时限制021x <-<，==<=0ε>，取2min{1,}4εδ=，当02x δ<-<022εε<≤⋅=，故由定义得2lim 0x -→=.（5）因为sin ,x x x R ≤∈，则0000000cos cos 2sinsin 2sin sin 222222x x x x x x x x x x x x x x -+-+--=-=≤⋅=-.对任给的0ε>，只要取δε=，当00x x δ<-<时，就有00cos cos x x x x δε-≤-<=，所以按定义有00lim cos cos x x x x →=.2． 叙述0lim ()x x f x A →≠。
第一章函数与极限习题参考解答
习题1-1 映射与函数 1、求下列函数的自然定义域： （1）211x x y --=（2）)3arcsin(-=x y （3）xx y 1arctan 3+-= 解（1）由x ≠0且1-x 2≥0得函数的定义域D =[-1, 0)⋃(0, 1]. （2）由|x -3|≤1得函数的定义域D =[2, 4].(3) 由3-x ≥0且x ≠0得函数的定义域D =(-∞, 0)⋃(0, 3).2、在下列各题中，求由所给函数构成的复合函数，并求这函数分别对应于给定自变量值1x 和2x 的函数值：（1）3,6,sin ,212ππ====x x x u u y解y =sin 2x , 41)21(6sin 221===πy ,43)23(3sin 222===πy . （2）2,1,1,212==+==x x x u u y解 21x y +=, 21121=+=y , 52122=+=y （3）1,1,,212-====x x e u u y x解 y =e 2x , y 1=e 2⋅1=e 2, y 2=e 2⋅(-1)=e -2.习题1-2 数列极限 函数极限1、下列各题中，哪些数列收敛？哪些数列发散？对收敛数列，通过观察{}n x 的变化趋势， 写出它们的极限：（1）n n x 21=（2）212n x n +=（3）11+-=n n x n （4）n n x nn1]1)1[(++-= 解（1） 当n →∞时, n n x 21=→0, 021lim =∞→n n .（2） 当n →∞时, 212n x n +=→2, 2)12(lim 2=+∞→nn .（3）当n →∞时, 12111+-=+-=n n n x n →0, 111lim =+-∞→n n n .（4）发散，因为当n 为偶数时,数列趋于2，而当n 为奇数时,数列趋于0。
2、求()()xx x x xx f ==ϕ, 当0→x 时的左、右极限，并说明它们在0→x 时的极限是否存在证明 （1）因为 11lim lim )(lim 00===---→→→x x x x x x f , 11lim lim )(lim 000===+++→→→x x x x x x f ,)(lim )(lim 0x f x f x x +→→=-, 所以极限)(lim 0x f x →存在.（2）因为1lim ||lim )(lim 00-=-==---→→→xx x x x x x x ϕ, 1lim ||lim )(lim 000===+++→→→x x x x x x x x ϕ,)(l i m )(l i m 0x x x x ϕϕ+→→≠-, 所以极限)(lim 0x x ϕ→不存在 3、用定义证明： 0sin lim=+∞→xx x分析 因为x x x x x 1|sin |0sin ≤=-. 所以要使ε<-0sin x x , 只须ε<x1, 即21ε>x .证明 因为∀ε >0, ∃21X ε=>, 当x > X 时, 有ε<-0sin x x , 所以0sin lim =+∞→xx x 。
(完整版)函数极限习题与解析
函数与极限习题与解析（同济大学第六版高等数学）一、填空题1、设x x x f lg lg 2)(+-= ，其定义域为 。
2、设)1ln()(+=x x f ，其定义域为 。
3、设)3arcsin()(-=x x f ，其定义域为 。
4、设)(x f 的定义域是[0，1]，则)(sin x f 的定义域为 。
5、设)(x f y =的定义域是[0，2] ，则)(2x f y =的定义域为 。
6、432lim 23=-+-→x k x x x ，则k= 。
7、函数xx y sin =有间断点 ，其中 为其可去间断点。
8、若当0≠x 时 ，x x x f 2sin )(=，且0)(=x x f 在处连续 ，则=)0(f 。
9、=++++++∞→)21(lim 222nn n n n n n n 。
10、函数)(x f 在0x 处连续是)(x f 在0x 连续的 条件。
11、=++++∞→352352)23)(1(lim x x x x x x 。
12、3)21(lim -∞→=+e n kn n ，则k= 。
13、函数23122+--=x x x y 的间断点是 。
14、当+∞→x 时，x1是比3-+x15、当0→x 时，无穷小x --11与x 相比较是 无穷小。
16、函数x e y 1=在x=0处是第 类间断点。
17、设113--=x x y ，则x=1为y 的 间断点。
18、已知33=⎪⎭⎫ ⎝⎛πf ，则当a 为 时，函数x x a x f 3sin 31sin )(+=在3π=x 处连续。
19、设⎪⎩⎪⎨⎧>+<=0)1(02sin )(1x ax x x xx f x 若)(lim 0x f x →存在 ，则a=。
20、曲线2sin 2-+=x xx y 水平渐近线方程是 。
21、114)(22-+-=x x x f 的连续区间为 。
22、设⎩⎨⎧>≤+=0,cos 0,)(x x x a x x f 在0=x 连续 ，则常数a= 。
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（3）提示：用等阶无穷小代换 ；
（4）提示：
（ ）
7、提示： （ ）
8、 是第二类间断点 ， 是第一类间断点
（C）
1、解：因为 ，故 ，再由 ，
得： ，即 。所以： ， 。
2、解：原式= =
= =0
3、解：因为当 时 ， ，
则 = = =
4、解：因为（5） ； （6） ；
（7） ； （8） ；
（9） ；
6、计算下列极限
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） ；
（5） ； （6） ；
7、比较无穷小的阶
（1） ；
（2） ；
8、利用等价无穷小性质求极限
（1） ； （2） ；
9、讨论函数的连续性
10、利用函数的连续性求极限
（1） ； （2） ；
二、计算题
1、（1）
（2） （3）
2、（1）不同，定义域不同 （2）不同，定义域、函数关系不同
（3）不同，定义域、函数关系不同
3、（1）偶函数 （2）非奇非偶函数 （3）奇函数
4、（1） （2） （3）
5、（1）[ 2 ] （2） （3）-9 （4）0 （5）2 （6）
（7）0 （8） （9）
6、（1）w （2） （3）1 （4） （5） （6）
所以 ，
5、证明：令 ， 在 上连续 ，且
， 。由闭区间上连续函数的零点定理 ，在开区间 至少存在一点 ，使 ，即 。
7、（1） （2）是同阶无穷小
8、（1） （2）
9、不连续
10、（1）0 （2）1 （3）0 （4） （5）0 （6）-2
11、a=1
（B）
1、（1）提示：由 解得：
（2）提示：由 解得：
2、提示：分成 和 两段求。 ， ，
,
4、（1）提示： （2）提示：
（3）提示：用数学归纳法证明：
5、提示： 令 （同阶）
11、 。
12、 ，则k=。
13、函数 的间断点是。
14、当 时， 是比 的无穷小。
15、当 时，无穷小 与x相比较是无穷小。
16、函数 在x=0处是第类间断点。
17、设 ，则x=1为y的间断点。
18、已知 ，则当a为时，函数 在 处连续。
19、设 若 存在 ，则a=。
20、曲线 水平渐近线方程是。
21、 的连续区间为。
22、设 在 连续 ，则常数
a=。
二、计算题
1、求下列函数定义域
（1） ；（2） ；
（3） ；
2、函数 和 是否相同？为什么？
（1） ；
（2） ；
（3） ；
3、判定函数的奇偶性
（1） ； （2） ；
（3） ；
4、求由所给函数构成的复合函数
（1） ；
（2） ；
5、计算下列极限
（1） ； （2） ；
5、求极限
（1） ； （2） ；
（3） ；
（4） ；
6、设 要使 连续，
应当怎样选择数a ？
7、设 求 的间断点，并说明间断点类型。
（C）
1、已知 ，且 ，求 并写出它的定义域。
2、求下列极限：
（1）、 ；（2）、 ；
（3）、求 ；（4）、已知 ，求常数 。
（5）、设 在闭区间 上连续 ，且 ，
证明：在开区间 至少存在一点 ，使 。
（3） ； （4） ；
（5） ；
（6） ；
11、设函数
应当怎样选择a ，使得 的连续函数。
12、证明方程 至少有一个根介于1和2之间。
（B）
1、设 的定义域是[0 ，1] ，求下列函数定义域
（1） （2）
2、设
求
3、利用极限准则证明：
（1） （2） ；
（3）数列 的极限存在 ；
4、试比较当 时 ，无穷小 与 的阶。
第一章 函数与极限
（A）
一、填空题
1、设 ，其定义域为。
2、设 ，其定义域为。
3、设 ，其定义域为。
4、设 的定义域是[0，1]，则 的定义域为。
5、设 的定义域是[0，2] ，则 的定义域为。
6、 ，则k=。
7、函数 有间断点，其中为其可去间断点。
8、若当 时 ， ，且 处连续 ，则 。
9、 。
10、函数 在 处连续是 在 连续的条件。
第一章函数与极限
习 题 答 案
（A）
一、填空题
（1） （2） （3）[2 ，4]
（4） （5）
（6）-3 （7） （8）2 （9）1
（10）充分 （11） （12） （13）x=1 , x=2 （14）高阶
（15）同阶 （16）二 （17）可去 （18）2 （19）-ln2
（20）y=-2 （21） （22）1