因式分解专题1_用提公因式法(含答案)
因式分解的常用方法及练习题
因式分解的常用方法一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c) 二、公式法.在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如： （1）平方差公式：(a+b)(a -b) = a 2-b 2(2) 完全平方公式：(a ±b)2= a 2±2ab+b 2(3) 立方和公式：a 3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2)(4) 立方差公式：a 3-b 3=(a -b)(a 2+ab+b 2) （5）完全立方公式：(a±b)³＝a ³±3a ²b ＋3ab ²±b ³ 下面再补充两个常用的公式： (6)a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(7)a 3+b 3+c 3-3abc=(a+b+c)(a 2+b 2+c 2-ab -bc -ca)； 三、十字相乘法.（一）二次项系数为1的二次三项式直接利用公式：))(()(2q x p x pq x q p x ++=+++进行分解。
特点：（1）二次项系数是1； （2）常数项是两个数的乘积；（3）一次项系数是常数项的两因数的和。
例5、分解因式：652++x x 672+-x x练习5、分解因式(1)24142++x x (2)36152+-a a (3)542-+x x练习6、分解因式(1)22-+x x (2)1522--y y (3)24102--x x（二）二次项系数不为1的二次三项式——c bx ax ++2条件：（1）21a a a = 1a 1c（2）21c c c = 2a 2c （3）1221c a c a b += 1221c a c a b += 分解结果：c bx ax ++2=))((2211c x a c x a ++例7、分解因式：101132+-x x练习7、分解因式：（1）6752-+x x （2）2732+-x x（3）317102+-x x （4）101162++-y y（三）二次项系数为1的齐次多项式例8、分解因式：221288b ab a --分析：将b 看成常数，把原多项式看成关于a 的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。
初中数学：因式分解强化练习(含答案)
因式分解知识讲解1、因式分解的概念：把一个多项式分解成几个整式的积的形式，叫做因式分解.注：因式分解和整式乘法互为逆运算.2、常用的因式分解方法：（1）提取公因式法：)(c b a m mc mb ma ++=++（2）运用公式法： 平方差公式：))((22b a b a b a -+=-；完全平方公式：222)(2b a b ab a ±=+±（3）十字相乘法：))(()(2b x a x ab x b a x ++=+++3、因式分解的一般步骤：（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；（2）提出公因式或无公因式可提，再考虑可否运用公式或十字相乘法；（3）对二次三项式，应先尝试用十字相乘法分解，不行的再用求根公式法；（4）最后考虑用分组分解法.4、因式分解的原则（1）分解因式必须要分解到不能分解为止.（2）有公因式的一定要先提取公因式.（一）提公因式法提取公因式法：)(c b a m mc mb ma ++=++公因式：一个多项式每一项都含有的相同的因式，叫做这个多项式各项的公因式；找公因式的方法：1、系数为各系数的最大公约数；2、字母是相同字母；3、字母的次数：相同字母的最低次数.总结:把公有的因式提出来，剩下的照着抄下来.一、填空题（1）因式分解：am-3a= a （m-3） .（2）因式分解：ax ²-ax= ax （x-1） .（3）因式分解：3ab ²+a ²b= ab （3b+a ） .（4）因式分解：x 2﹣xy= x （x ﹣y ） ．（5）因式分解：（x+y ）²-（x+y ）= （x+y ）（x+y-1） .（6）因式分解：a （a-b ）-a+b= （a-b ）（a-1） .（7）因式分解：2m(a －b)－3n(b －a)＝ (a －b)(2m ＋3n) .二、因式分解的解答题1、直接提取公因式(1)3ab 2＋a 2b ； (2)2a 2－4a ； （3）20x ³y-15x ²y 解：原式＝ab(3b ＋a) 解：原式＝2a(a －2) 解：原式=)34(52-x y x(4)x 4＋x 3＋x ； (5)3x 3＋6x 4； (6)4a 3b 2－10ab 3c ；解：原式＝x(x 3＋x 2＋1)． 解：原式＝3x 3(1＋2x)． 解：原式＝2ab 2(2a 2－5bc)．(7)－3ma 3＋6ma 2－12ma ； （8）ab b a b a 264222-+- （9） y x y x y x 332232-- 解：原式＝－3ma(a 2－2a ＋4) 解：原式=-2ab （2ab-3a+1） 解：原式=)321(22x y y x --2、变符号，再提取公因式（1）a （3-b ）+3（b-3） （2）2a （x-y ）-3b （y-x ） (3)x(x －y)＋y(y －x) 解：原式=（3-b ）（a-3） 解：原式=（x-y ）（2a+3b ） 解：原式＝(x －y)2.(4)m(5－m)＋2(m －5)； （5）)93()3(2-+-x x解：原式＝(m －2)(5－m)． 解：原式=x （x-3）；3、稍微复杂的提取公因式（1）6x （a-b ）+4y （b-a ） (2)6p(p ＋q)－4q(p ＋q)．解：原式=2（a-b ）（3x-2y ） 解：原式＝2(p ＋q)(3p －2q)．(3)4q(1－p)3＋2(p －1)2. (4)5x(x －2y)3－20y(2y －x)3.解：原式＝2(1－p)2(2q －2pq ＋1) 解：原式＝5(x －2y)3(x ＋4y)．(5)(a 2－ab)＋c(a －b)； （6）22)2(20)2(5a b b b a a --- 解：原式＝(a ＋c)(a －b)． 解:原式=5（a-2b ）2（a-4b ）4、用简便方法计算：（1）213×255-213×55. （2）1571215711576⨯-⨯-⨯. 解：（1）原式=42600； 解：（2）原式=-15.（二）平方差公式因式分解1、平方差公式 ))((22b a b a b a -+=-2、平方减平方等于平方差，等于两个数的和乘以两个数的差.3、有公因式的，先提公因式，再因式分解.一、填空题（1）因式分解：a ³-a= a （a+1）（a-1） .（2）因式分解：x 2﹣4= （x+2）（x ﹣2） .（3）因式分解：16x 2－64＝ 16(x ＋2)(x －2) .（4）因式分解：a 3﹣ab 2= a （a+b ）（a ﹣b ） ．二、在实数范围内分解因式：1、(1)4x 2－y 2 (2)－16＋a 2b 2 (3)100x 2－9y 2解：(2x ＋y)(2x －y) 解：(ab ＋4)(ab －4) 解：(10x ＋3y)(10x －3y)（4）4x ²-9y ² (5)x 2－3解：原式=（2x+3y ）（2x-3y ） 解：原式＝(x －3)(x ＋3)(6)4x 2－25 (7)(x 2＋9)2－36x 2解：原式＝(2x ＋5)(2x －5) 解：原式＝(x ＋3)2(x －3)22、将下列式子因式分解.（1）（m+n ）²-（m-n ）² (2)(x ＋2y)2－(x －y)2 (3)(a ＋3)2－(a ＋b)2 解:原式=4mn 解：原式＝3y(2x ＋y) 解：原式＝(2a ＋b ＋3)(3－b)3、先提公因式再因式分解.(1)a 3－9a （2）2416x x - （3）224364b a a -解：原式＝a(a ＋3)(a －3) （2）原式=x ²（x+4）（x-4） （3）原式=4a ²（a+3b ）（a-3b ）(4)3m(2x －y)2－3mn 2 （5）(a －b)b 2－4(a －b) 解：原式＝3m(2x －y ＋n)(2x －y －n) 解：原式＝(a －b)(b ＋2)(b －2)4、四次的因式分解.(1)16－b 4 (2)x 4－4解：原式＝(2＋b)(2－b)(4＋b 2) 解：原式＝(x 2＋2)(x ＋2)(x －2) （三）完全平方公式因式分解完全平方式 222)(2b a b ab a ±=+± 等于（首-尾）2或者（首+尾）2一、填空题（1）因式分解：x 2y 2－2xy ＋1＝ (xy －1)2 ．（2）因式分解：－4a 2＋24a －36＝ －4(a －3)2 .（3）因式分解：x 2﹣6x+9= （x ﹣3）2 .（4）因式分解：ab 2﹣4ab+4a= a （b ﹣2）2 ．（5）因式分解：= ﹣（3x ﹣1）2 ．二、解答题1、分解因式.(1)a 2＋4a ＋4 (2)4x 2＋y 2－4xy (3)9－12a ＋4a 2 解：原式＝(a ＋2)2 解：原式＝(2x －y)2 解：原式＝(3－2a)22、因式分解.（1）9)1(6)1(222+---x x （2）16)4(8)4(222+-+-m m m m 解：原式=（x+2）²（x-2）² 解：原式=4)2(-m(4)(a ＋b)2－4(a ＋b)＋4 (3)(m ＋n)2－6(m ＋n)＋9解：原式＝(a ＋b －2)2 解：原式＝(m ＋n －3)23、利用因式分解计算.（1）202²+98²+202×196 （2）800²-1600×798+798²解：（1）原式=90000； 解：（2）原式=4.4、利用因式分解计算：992＋198＋1.解：原式＝992＋2×99×1＋1＝(99＋1)2＝1002＝10000. （四）十字相乘法方法步骤：第一步：拆分，拆分二次项次数和常数项.第二步：交叉相乘，然后相加，加出来的得数若等于中间的一次项系数则配对成功，可以横着写.十字相乘法专项练习题（1）=--1522x x (x-5)(x+3) (2)=+-652x x (x-2)(x-3)（2）=--3522x x (2x+1)(x-3) （4）=-+3832x x (3x-1)(x+3)（5）=+-672x x (x-1)(x-6) （6）=-+1232x x (3x-1)(x+1)（7）=--9542x x (4x-9)(x+1) （8)=--2142x x (x-7)(x+3)（9）2x 2+3x+1= (2x+1)(x+1) （10）=-+22x x (x-1)(x+2)（11）20－9y －20y 2 =-(4y+5)(5y-4) （12）=-+1872m m (m-2)(m+9)（13）=--3652p p (p-9)(p+4) （14）=--822t t (t-4)(t+2)（15）=++342x x (x+1)(x+3) （16）=++1072a a (a+2)(a+5)（17）=+-1272y y (y-3)(y-4) （18）q 2-6q+8=(q-2)(q-4)（19）=-+202x x (x-4)(x+5) （20）=++232x x (x+1)(x+2)（21）18x 2－21x+5=(3x-1)(6x-5) （22）=-+1522x x (x-3)(x+5)（23）2y 2+y －6= (2y-3)(y+2) （24）6x 2－13x+6= (2x-3)(3x-2)（25）3a 2－7a －6= (3a+2)(a-3) （26）6x 2－11x+3= (2x-3)(3x-1)（27）4m 2+8m+3= (2m+3)(2m+1) （28）10x 2－21x+2= (10x-1)(x-2)（29）8m 2－22m+15= (2m-3)(4m-5) （30）4n 2+4n －15= (2n+5)(2n-3)（31）6a 2+a －35= (2a+5)(3a-7) （32）5x 2－8x －13= (5a-13)(a+1)（33）4x 2+15x+9=(4x+3)(x+3) （34）8x 2+6x －35=(4x-7)(2x+5)因式分解中考真题专项练习（一）1、（云南）因式分解：3x 2﹣6x+3= 3（x-1)2 ．2、（宜宾）分解因式：3m 2﹣6mn+3n 2= 3(m-n)2 ．3、（仙桃天门潜江江汉）分解因式：3a 2b+6ab 2= 3ab(a+b) ．4、（湘潭）因式分解：m 2﹣mn= m(m-n) ．5、（绥化）分解因式：a 3b ﹣2a 2b 2+ab 3= ab(a-b)2 ．6、（潍坊）分解因式：x 3﹣4x 2﹣12x= x(x-6)(x+2) ．7、（威海）分解因式：3x 2y+12xy 2+12y 3= 3y(x+2y)2 ．8、（沈阳）分解因式：m 2﹣6m+9= (m-3)2 ．9、（黔西南州）分解因式：a 4﹣16a 2= a 2(a+4)(a-4) ．10、（南充）分解因式：x 2﹣4x ﹣12= (x-6)(x+2) ． 11、（六盘水）分解因式：2x 2+4x+2= 2(x+1)2 ． 12、（临沂）分解因式：a ﹣6ab+9ab 2= a(1-3b)2 ．13、（呼伦贝尔）分解因式：27x 2﹣18x+3= 3(3x-1)2 ． 14、（黄石）分解因式：x 2+x ﹣2= (x+2)(x-1) ．15、（哈尔滨）把多项式a 3﹣2a 2+a 分解因式的结果是 a(a-1)2 ．16、（乐山）下列因式分解：①x 3﹣4x=x （x 2﹣4）；②a 2﹣3a+2=（a ﹣2）（a ﹣1）；③a 2﹣2a ﹣2=a （a ﹣2）﹣ 2；④．其中正确的是 ②④ （只填序号）． 17、（江津区）把多项式x 2﹣x ﹣2分解因式得 (x-2)(x+1) ．18、（荆州）分解因式：x （x ﹣1）﹣3x+4= (x-2)2 ．19、（莱芜）分解因式：﹣x 3+2x 2﹣x= -x(x-1)2 ．20、（菏泽）将多项式a 3﹣6a 2b+9ab 2分解因式得 a(a-3b)2 ．21、（抚顺）分解因式：ax 2﹣4ax+4a= a(a-2)2 ．22、（巴中）把多项式3x 2+3x ﹣6分解因式的结果是 3(x+2)(x-1) ．23、（鞍山）因式分解：ab 2﹣a= a(b+1)(b-1) ．24、（中山）分解因式：x 2﹣y 2﹣3x ﹣3y= (x+y)(x-y-3) ．25、（安顺）将x ﹣x 2+x 3分解因式的结果为 x(1-0.5x)2 ．26、（湘潭）已知m+n=5，mn=3，则m 2n+mn 2= 15 ．27、（潍坊）分解因式：27x 2+18x+3= 3(3x+1)2 ．28、（威海）分解因式：（x+3）2﹣（x+3）= (x+3)(x+2) ．29、（陕西）分解因式：a 3﹣2a 2b+ab 2= a(a-b)2 ．30、（泉州）因式分解：x 2﹣6x+9= (x-3)2 ．31、（攀枝花）因式分解：ab 2﹣6ab+9a= a(b-3)2 ．32、（内江）分解因式：﹣x 3﹣2x 2﹣x= -x(x+1)2．33、（临沂）分解因式：xy 2﹣2xy+x= x(y-1)2 ．34、（嘉兴）因式分解：（x+y ）2﹣3（x+y ）= (x+y)(x+y-3) ．35、（赤峰）分解因式：3x 3﹣6x 2+3x= 3x(x-1)2 ．36、（泰安）将x+x 3﹣x 2分解因式的结果是 x(x-21)2 ． 37、（绍兴）分解因式：x 3y ﹣2x 2y 2+xy 3= xy(x-y)2 ．38、（黔东南州）分解因式：x3+4x2+4x= x(x+2)2．39、（聊城）分解因式：ax3y+axy3﹣2ax2y2= axy(x-y)2．40、（莱芜）分解因式：（2a+b）2﹣8ab= (2a-b)2．41、（巴中）把多项式x3﹣4x2y+4xy2分解因式，结果为 x(x-2y)2．42、（潍坊）在实数范围内分解因式：4m2+8m﹣4= 4(m2+2m-1) ．43、（雅安）分解因式：2x2﹣3x+1= (2x-1)(x-1) ．44、（芜湖）因式分解：（x+2）（x+3）+x2﹣4= (2x+1)(x+2) ．45、（深圳）分解因式：﹣y2+2y﹣1= -(y-1)2．46、（广元）分解因式：3m3﹣18m2n+27mn2= 3m(m-3n)2．47、（广东）分解因式：2x2﹣10x= 2x(x-5) ．48、（大庆）分解因式：ab﹣ac+bc﹣b2= (a-b)(b-c) ．49、（广西）分解因式：2xy﹣4x2= 2x(y-2x) ．50、（本溪）分解因式：9ax2﹣6ax+a= a(3a-1)2．51、（北京）分解因式：mn2+6mn+9m= m(n+3)2．52、（珠海）分解因式：ax2﹣4a= a(x+2)(x-2) ．53、（张家界）因式分解：x3y2﹣x5= x3(y+x)(y-x) ．54、（宜宾）分解因式：4x2﹣1= (2x-1)(2x+1) ．55、（岳阳）分解因式：a4﹣1= (a+1)(a-1)(a2+1) ．56、（扬州）因式分解：x3﹣4x2+4x= x(x-2)2．57、（潍坊）分解因式：a3+a2﹣a﹣1= (a+1)2(a-1) ．58、（威海）分解因式：16﹣8（x﹣y）+（x﹣y）2= (4-x+y)2．59、（淄博）分解因式：8（a2+1）﹣16a=8（a﹣1）2．60、（遵义）分解因式：x3﹣x=x（x+1）（x﹣1）．因式分解中考真题专项练习（二）1、（泸州）分解因式：3a2﹣3=3（a+1）（a﹣1）．2、（泸州）分解因式：2m2﹣8=2（m+2）（m﹣2）．3、（泸州）分解因式：2a2+4a+2=2（a+1）2．4、（泸州）分解因式：2m2﹣2=2（m+1）（m﹣1）．5、（泸州）分解因式：3a2+6a+3= 3（a+1）2．6、（泸州）分解因式：x2y﹣4y=y（x+2）（x﹣2）．7、（泸州）分解因式：x3﹣6x2+9x=x（x﹣3）2．8、（泸州）分解因式：3x 2+6x+3= 3（x+1）2 ．9、（泸州）分解因式：ax ﹣ay= a （x ﹣y ） ．10、（泸州）分解因式：3a 2﹣6a+3= 3（a ﹣1）2 .11、（泸州）分解因式：ax 2﹣4ax+4a= a （x 2﹣4x+4）=a （x ﹣2）2 .12、（南充）分解因式：2a 3﹣8a ＝ 2a （a+2）（a ﹣2） ．13、（德阳）分解因式：2xy 2+4xy+2x ＝ 2x （y+1）2 ．14、（眉山）分解因式：x 3﹣9x ＝ x （x+3）（x ﹣3） ．15、（绵阳）因式分解：x 2y ﹣4y 3＝ y （x ﹣2y ）（x+2y ） ．16、（内江）分解因式：a 3b ﹣ab 3＝ ab （a+b ）（a ﹣b ） ．17、（攀枝花）分解因式：x 3y ﹣2x 2y+xy ＝ xy （x ﹣1）2 ．18、（遂宁）分解因式3a 2﹣3b 2＝ 3（a+b ）（a ﹣b ） ．19、（宜宾）分解因式：2a 3b ﹣4a 2b 2+2ab 3＝ 2ab （a ﹣b ）2 ．20、（自贡）分解因式：ax 2+2axy+ay 2＝ a （x+y ）2 ．21、（广安）因式分解：3a 4﹣3b 4＝ 3（a 2+b 2）（a+b ）（a ﹣b ） ．22、（广元）分解因式：a 3﹣4a ＝ a （a+2）（a ﹣2） ．23、（眉山）分解因式：3a 3﹣6a 2+3a ＝ 3a （a ﹣1）2 ．24、（绵阳）因式分解：m 2n+2mn 2+n 3＝ n （m+n ）2 ．25、（内江）分解因式：xy 2﹣2xy+x ＝ x （y ﹣1）2 ．26、（攀枝花）分解因式：a 2b ﹣b ＝ b （a+1）（a ﹣1） ．27、（宜宾）分解因式：b 2+c 2+2bc ﹣a 2＝ （b+c+a ）（b+c ﹣a ） ．28、（泸州冲刺卷）（1）分解因式：2=-m m 83 2m(m+2)(m-2) .（2）分解因式：=-222m ()()112-+m m .（3）分解因式：=+-962x x ()23-x 29、（泸州模拟）（1）分解因式：2a 2﹣2＝ 2（a+1）（a ﹣1） ．（2）分解因式：x 2﹣2x+1＝ ()21-x ． 30、（泸州冲刺卷）（1）分解因式：3x 3﹣12x ＝ 3x （x ﹣2）（x+2） ．（2）分解因式：2x 2﹣8＝ 2（x+2）（x ﹣2） ．（3）分解因式：3m 2﹣12＝ 3（m+2）（m ﹣2） ．（4）分解因式：2m 2+4m+2＝ 2（m+1）2 ．（5）分解因式：x 2﹣6x+9＝ （x ﹣3）2 ．31、（南充）分解因式：x 2﹣4（x ﹣1）= （x ﹣2）2 ．32、（巴中）分解因式：2a2﹣8=2（a+2）（a﹣2）．33、（达州）分解因式：x3﹣9x=x（x+3）（x﹣3）．34、（乐山）把多项式分解因式：ax2﹣ay2=a（x+y）（x﹣y）．35、（绵阳）因式分解：x2y4﹣x4y2=x2y2（y﹣x）（y+x）．36、（宜宾）分解因式：am2﹣4an2=a（m+2n）（m﹣2n）．37、（广安）分解因式：my2﹣9m=m（y+3）（y﹣3）．38、（株洲）分解因式：x2+3x（x﹣3）﹣9=（x﹣3）（4x+3）．39、（眉山）分解因式：xy2﹣25x=x（y+5）（y﹣5）．40、（宜宾）分解因式：x3﹣x=x（x+1）（x-1）．41、（深圳）分解因式：2x2﹣8=2（x+2）（x﹣2）．42、（绵阳）在实数范围内因式分解：x2y﹣3y=y（x﹣）（x+）．。
《因式分解500题》(含答案)
服务内核部-初数教研
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25. 因式分解：−4 3 2 + 6 2 3 − 12 2 2
26. 分解因式：−6 − 142 3 + 123
27. 分解因式：−26 3 2 + 13 2 2 + 52 5 2 4
28. 因式分解：
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43. 分解因式：( − )5 + ( − )5
44. 分解因式：(1 − + 2 ) − 1 + − 2
45. 将下列各式因式分解：
①53 ( − )3 − 104 3 ( − )2 ；
②( − )2 + ( − ) + ( − )；
6. 分解因式：32 + 6 2
7. 因式分解：2 2 −
8. 分解因式：32 − 6
9. 分解因式：12 − 3 2
10. 用提公因式法因式分解：22 3 + 6 2
11. 因式分解：2( − ) − ( − )
12. 分解因式：( − ) − ( − )
29. 分解因式：( − 3)2 − (2 − 6)；
30. 分解因式：18( − )2 − 12( − )3
31. 因式分解：10( − )2 + 5( − )
32. 计算：( + )2 − ( + )( − )
33. 分解因式：( + 1)( − 1) + ( − 1)
19. 因式分解：−43 + 162 − 26
20. 分解因式：6 2 − 9 + 3
21. 分解因式：−82 − 2 + 6 2
22. 因式分解：−14 − 7 + 49 2
多项式的因式分解(1)——提公因式法
（1）解：原式=5x2·x-5x2·2 =5x2(x-2)
记得写出因数“1”
（2）解：原式=6ab·2bc-6ab·1 =6ab(2bc-1)
（3）解：原式=-(2m3 -8m2 +12m) =-(2m·m2-2m·4m+2m·6) =-2m(m2-4m+6)
二．填空题 5. 多项式 2x2 y3z 4x3 y3z 6x4 yz2 各项的公因式是___________；
6. 12 x2 32 x 4x (________); 5x2 10 xy (________) (x 2y).
7. 若 x=49,y=1007,则 xy-7x=
.
8. 若 a2+a-1=0,则 a -a -a 2019 2020 2021 =___________.
解：原式=32×3198-4×3×3198+10×3198
“数”与“式”
=3198(9-12+10）
的相互变换
提公因式法
=3198×7
∵ 3198为整数， ∴ 3198×7是7的倍数， 即： 3200-4×3199+10×3198的值是7的倍数。
学以致用
3.△ABC的三边长分别为a、b、c，且a＋2ab＝c＋2bc，请判断△ABC
=3(x-y)2·[a- 2b(x-y)]
=3(x-y)2(a-2bx+2by)
学以致用
1、已知a+b=5 ， ab=3， 求a2b+ab2的值。
解：a2b+ab2=ab·a +ab·b =ab(a+b)
用因式分解法求解一元二次方程 (6种题型)-2023年新九年级数学常见题型(北师大版)(解析版)
用因式分解法求解一元二次方程 （6种题型）【知识梳理】一、用因式分解法解一元二次方程的步骤 ①将方程右边化为0；②将方程左边分解为两个一次式的积；③令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程； ④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解. 二、常用的因式分解法提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等. 要点诠释：（1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的积；（2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0； （3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式.【考点剖析】题型1利用提公因式法例1.解关于x 的方程（因式分解方法）：（1）230x =； （2）7(3)39x x x −=−．【答案】（1）120x x ==， （2）12337x x ==，．【解析】（1）(30x x = （2）7(3)3(3)x x x −=−①0x = ②30x 7(3)3(3)0x x x −−−=∴120x x ==， (3)(73)0x x −−= ① 30x −= ②730x −=∴12337x x ==，． 【总结】本题考查了因式分解法解一元二次方程．【变式】（2023春·北京房山·八年级统考期末）方程224x x −=的解为：___________． 【答案】10x =，22x =−【分析】先移项，然后用分解因式法解方程即可．【详解】解：224x x −=，移项得：2240x x +=，分解因式得：()220x x +=，∴20x =或20x +=， 解得：10x =，22x =−． 故答案为：10x =，22x =−．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解法：因式分解法，是基础知识比较简单，解题的关键是分解因式．题型2利用平方差公式例2.用因式分解法解下列方程：(2x+3)2-25＝0． 【答案与解析】(2x+3-5)(2x+3+5)＝0，∴ 2x-2＝0或2x+8＝0，∴ x 1＝1，x 2＝-4．【变式】解关于x 的一元二次方程：22(2016)(2015)1x x −+−=． 【答案】1220162015x x ==，．【解析】移项，得：22(2016)1(2015)x x −=−−，2(2016)[1(2015)][1(2015)]x x x −=+−−−， 2(2016)(2014)(2016)x x x −=−−， 2(2016)(2014)(2016)0x x x −−−−=， (2016)(40302)0x x −−=，解得：1220162015x x ==，．【总结】本题考查了一元二次方程的解法，当系数比较大时，要注意寻找规律进行变型求解．题型3利用完全平方公式例3.解下列一元二次方程：(2x+1)2+4(2x+1)+4＝0； 【答案与解析】(2x+1)2+4(2x+1)+4＝0，(2x+1+2)2＝0． 即， ∴ ． 题型4十字相乘法因式分解例4.用合适的方法解下列关于x 的方程：（1）2(1(30x x −+=； （2）2(35)5(35)40x x +−++=；【答案】（1）121x x =， （2）124133x x =−=−，；【解析】（1）2(1(30x x −+=，[(11](0x x −=，解得：121x =−=， （2）2(35)5(35)40x x +−++=351354x x +−+−(351)(354)0x x +−+−=，解得：124133x x =−=−，；【总结】本题考查了一元二次方程的解法．题型5：选择合适的方法解一元二次方程例5.解关于x 的方程（合适的方法 ）： （1）2110464x x −+=； （2）22((1x +=+． 【答案】（1）1218x x ==；（2）1211x x ==−−， 【解析】（1）因式分解法 （2）直接开方法2(23)0x +=1232x x ==−21()08x −= (1x +=±+108x −= ①1x + ②(1x =−∴1218x x ==； ∴1211x x ==−−， 【总结】本题考查了特殊一元二次方程的解法，注意重根的写法！ 【变式1】解关于x 的方程（合适的方法）：（1）236350x x +−=； （2）2(41)10(14)240x x −+−−=． 【答案】（1）1235136x x ==−，； （2）1213144x x ==−，． 【解析】（1）因式分解法 （2）把41x −看作一个整体，因式分解 (3635)(1)0x x −+= 2(41)10(14)240x x −−−−= ①36350x −= ②10x += (4112)(412)0x x −−−+= ∴1235136x x ==−，； (413)(41)0x x −+= ① 4130x −= ②410x +=∴1213144x x ==−，． 【变式2】用适当的方法解下列方程：（1）22((1x =； （2）2x x =；（3）(3)(1)5x x +−=； （4）2()()0()b a x a c x c b a b −+−+−=≠．【答案】（1）1211x x =−=−； （2）1201x x ==，； （3）1242x x =−=，； （4）121c bx x b a−==−，．【解析】（1）(1x =± （2）20x x −=① 1x +=− ②(1x =− ， (1)0x x −=，解得：1211x x =−=−； 解得：1201x x ==，； （3）整理得：2235x x +−= （4）∵a b ≠原方程是一元二次方程，2280x x +−=， 2()()0()b a x a c x c b a b −+−+−=≠， (4)(2)0x x +−=，()()1b a xc b x −−−− 解得：1242x x =−=，； [()()](1)0b a x c b x −−−−=， 解得：121c bx x b a−==−，． 【总结】本题考查了一元二次方程的解法，注意方法的恰当选择．【答案】B【分析】根据题意进行分类讨论，当0x >时，可得2450x x −−=，求出x 的值即可；当0x <时，可得2250x x −−=求出x 的值即可．【详解】解：当0x >时，则0x x >>−， ∴{}2max ,35x x x x x −==−−，即2450x x −=，解得：125,1x x ==−（不符合题意，舍去），当0x <时，则0x x −>>，∴{}2max ,35x x x x x −=−=−−，即2250x x −−=，解得：11x =，21x =综上：x 的值是5或1 故选：B ．【点睛】本题主要考查了新定义下的运算和解一元二次方程，解题的关键是正确理解题目所给新定义的运算法则，熟练掌握解一元二次方程的方法和步骤．【变式】在正数范围内定义运算“※”，其规则为2a b a b =+※，则方程()15x x +=※的解是（ ） A ．4x =或1x = B ．2x =C ．1x =或4x =−D ．1x =【答案】D【分析】根据规则可得：()215x x ++=，再解此方程，即可求解．【详解】解：根据题意得：()()2115x x x x +=++=※，得2340x x +−=，得()()410x x +−=，故40x +=或10x −=，解得14x =−（舍去），21x =， 所以，原方程的解为1x =， 故选：D ．【点睛】本题考查了新定义，一元二次方程的解法，理解题意，得到方程并求解是解决本题的关键．【答案】3【分析】先通过因式分解法解方程260x x −−=，求出12x x ，，根据新定义的运算规则，12x x ※的值为1x 和2x 中较大的那个数，由此可解．【详解】解：方程260x x −−=，分解因式得：()()320x x −+=，解得：3x =或=2x −， 则()12323x x =−=※※或()233−=※．故答案为：3．【点睛】本题考查新定义运算和解一元二次方程，读懂题意，理解新定义的运算规则是解题的关键． 题型7：因式分解综合应用(1)问梯子的长是多少？(2)若梯子的长度保持不变，梯子的顶端从A 处沿墙AC 下滑的距离与点B 向外移动的距离有可能相等吗？为什么？请你利用学过的知识解答上面的问题． 【答案】(1)2.69m (2)有可能，理由见解析【分析】（1）根据梯子长度不变进而得出等式求出即可；（2）设梯子顶端从A 处下滑y 米，点B 向外也移动y 米代入（1）中方程，求出y 的值符合题意． 【详解】（1）解：设A C '的长是m x ，根据题意得出：2222A C B C BC AC ''+=+，2222(0.41)1(0.2)x x ∴++=++，解得： 2.3x =，2.69m AB ∴≈，答：梯子的长是2.69m ； （2）有可能．设梯子顶端从A 处下滑y 米，点B 向外也移动y 米，则有22(1)(2.5)7.25y y ++−=，解得：1 1.5y =或20y =（舍）∴当梯子顶端从A 处下滑1.5米时，点B 向外也移动1.5米，即梯子顶端从A 处沿墙AC 下滑的距离与点B 向外移动的距离有可能相等．【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，根据题意得出关于y 的一元二次方程是解答此题的关键． 【变式1】（2023·河北石家庄·统考二模）老师就式子39⨯+−，请同学们自己出问题并解答． (1)小磊的问题：若W 代表()22−，代表()31−，计算该式的值；(2)小敏的问题：若398⨯+−=□，W 代表某数的平方，代表该数与1的和的平方，求该数．【答案】(1)22 (2)0或1【分析】（1）根据代数式代入值进行计算即可； （2）设该数为a ，则()22391=8a a ⨯+−+，再进行求解即可．【详解】（1）解：由题意可得：原式()()233291=⨯−+−−()3491=⨯+−−22=；（2）解：设该数为a ，则()22391=8a a ⨯+−+，解得：10a =，21a =，∴求该数为0或1．【点睛】本题考查代数值求值、解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 【变式2】（2023·河北石家庄·校考一模）发现：存在三个连续整数使得这三个连续整数的和等于这三个连续整数的积；验证：连续整数1−，2−，3−______（填“满足”或“不满足”）这种关系； 连续整数2，3，4，______（填“满足”或“不满足”）这种关系； 延伸：设中间整数为n（1）列式表示出三个连续整数的和、积，并分别化简； （2）再写出一组符合“发现”要求的连续整数（直接写结果）．【答案】验证：满足；不满足；（1）和为3n ，积为3n n −；（2）1−，0，1（答案不唯一）【分析】先分别计算123−−−和()()()123−⨯−⨯−的值，比较两组值是否相等；再分别计算234++和234⨯⨯的值，比较两组值是否相等即可；（1）设中间整数为n ，则三个连续整数可表示为：n 1−，n ，1n +，将n 1−，n ，1n +三数相加得其和；将n 1−，n ，1n +三数相乘得其积；（2）令（1）中的和等于积，解方程，求得n 的值，从而可得符合要求的连续整数．【详解】验证：解：1236−−−=−，()()()1236−⨯−⨯−=− ()()()123123∴−−−=−⨯−⨯−1∴−，2−，3−满足这种关系；2349++=，23424⨯⨯=，924≠， 234234∴++≠⨯⨯，∴2，3，4不满足这种关系．延伸：设中间整数为n ，则三个连续整数可表示为：n 1−，n ，1n +， （1）三个连续整数的和可表示为：()()113−+++=n n n n ，三个连续整数的积可表示为：()()311−⋅⋅+=−n n n n n ，（2）当33=−n n n 时，340−=n n ()()220∴+−=n n n解得：0n =，2n =−或2n =，∴符合要求的一组连续整数为：1−，0，1.【点睛】本题考查了探究某类数的规律性问题，其中涉及到了因式分解方法的运用，按照要求写出相关数或式子，按照规则计算，是解答本题的关键．【过关检测】一、单选题【答案】D【分析】变形后利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解：()()2131x x x −=−移项，得2(1)3(1)0x x x −−−=， 因式分解，得()()2310x x −−=，则10x −=或230x −=，解得2131,2x x ==．故选：D【点睛】此题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握因式分解法是解题的关键． 2．（2023·全国·九年级假期作业）已知20x ax b +−=的解是11x =，24x =−，则方程()()223230x a x b +++−=的解是（ ）A ．11x =−，2 3.5x =−B ．11x =，2 3.5x =−C ．11x =−，2 3.5x =D ．11x =，2 3.5x =【答案】A【分析】由这两个方程结合整体思想，可得231x +=，234x +=−，解这两个一元一次方程即得方程()()223230x a x b +++−=的解．【详解】解：令23x y +=，∵方程20x ax b +−=的解是11x =，24x =−，∴方程20y ay b +−=的解是11y =，24y =−，∴对于方程方程()()223230x a x b +++−=而言，231x +=或234x +=−，解得=1x −或 3.5x =−，故选A ．【点睛】本题考查了一元二次方程的解，整体思想解一元二次方程，关键是把方程()()22332340m x x +++−=中的23x +当作一个整体，则此方程与²340mx x +−=毫无二致．3．（2023·全国·九年级假期作业）方程29180x x −+=的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形是周长是( ) A ．12 B ．15 C ．12或15 D ．9或15或18【答案】B【分析】利用因式分解法求出方程的解得到x 的值，分类讨论腰与底，利用三角形边角关系判断即可确定出周长．【详解】解：29180x x −+=，(3)(6)0x x −−=，30x −=，60x −=，13x =，26x =，有两种情况：①三角形的三边为3，3，6，此时不符合三角形三边关系定理，②三角形的三边为3，6，6，此时符合三角形三边关系定理，此时三角形的周长为36615++=， 故选：B ．【点睛】此题考查了因式分解法解一元二次方程，等腰三角形的定义，熟练掌握分解因式的方法是解本题的关键．【答案】C【分析】利用换元法求解即可．【详解】解：设33x m y +=，∵()()3333130x y x y +−++=，∴()()130m m −+=，∴10m −=或30m +=， 解得1m =或3m =−，∴331x y +=或333x y +=−，故选C ．【点睛】本题主要考查了换元法解一元二次方程，熟知换元法是解题的关键．【答案】D【分析】利用因式分解法求出两个根，再从中找出较小的根即可．【详解】解：提公因式，得：331()()0442x x x −−+−=， 整理得：35()(2)044x x −−=，∴123548x x ==，， ∵3548>，∴较小的根是58，故选：D ．【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程，解题的关键是通过提取公因式将等号左边的式子进行因式分解．【答案】B【分析】由2212m m +=可得42210m m −+=，则有21m =，即1m =，然后问题可求解．【详解】解：∵2212m m +=，∴42210m m −+=，解得：21m =，∵0m >， ∴1m =，∴2251254m m −+=−+=；故选B ．【点睛】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 7．（2023·全国·九年级假期作业）实数x 满足方程222()()20x x x x +++−=，则2x x +的值等于（ ） A ．2− B ．1 C ．2−或1 D ．2或1−【答案】B【分析】运用换元法解方程，再根据根的判别式判断根的情况，由此即可求解．【详解】解：根据题意，设2x x M +=，则原式变形得220M M +−=，因式分解法解一元二次方程得，22(1)(2)0M M M M +−=−+=， ∴12M =−，21M =，当2M =−时，22x x +=−，变形得，220x x ++=，根据判别式24141270b ac ∆=−=−⨯⨯=−<，无实根；当1M =时，21x x +=，变形得，210x x +−=，根据判别式24141(1)50b ac ∆=−=−⨯⨯−=>，方程有两个实根；∴21x x +=，故选：B ．【点睛】本题主要考查换元法解高次方程，掌握换元法解方程的方法，根的判别式判断根的情况等知识是解题的关键．8．（2023·全国·九年级假期作业）若关于x 的一元二次方程()230x k x k +++=的一个根是2−，则另一个根是( ) A ．1 B ．1−C ．3−D ．2【答案】A【分析】将2x =−代入方程得：()4230k k −++=，解得：2k =−，再把2k =−代入原方程求解．【详解】解：将2x =−代入方程得：()4230k k −++=，解得：2k =−，∴原方程为：220x x +−=，则()2(1)0x x +−=，解得：2x =−或1x =， ∴另一个根为1． 故选：A ．【点睛】本题考查了一元二次方程的根，因式分解法解一元二次方程，属于基础题．【答案】D【分析】设221x y x −=，则原方程可变形为15y y +=，再化为整式方程即可得出答案.【详解】解：设221x y x −=，则原方程可变形为15y y +=，即2510y y −+=；故选：D.【点睛】本题考查了利用换元法解方程，正确变形是关键，注意最后要化为整式方程.10．（2023春·重庆合川·九年级重庆市合川中学校考阶段练习）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”（如图）就是一例．这个三角形给出了()()12345na b n +=⋯，，，，，的展开式的系数规律（其中，字母按a 的降幂排列，b 的升幂排列）．例如，在三角形中第2行的三个数1，2，1，恰好对应()2222a b a ab b +=++展开式中各项的系数；第三行的的4个数1，3，3，1，恰好对应()3322333a b a a b ab b +=+++展开式中各项的系数；第4行的五个数1，4，6，4，1；恰好对应着()4432234464a b a a b a b ab b +=++++展开式中各项的系数，有如下结论：①()3322333b a b a a ab b −−+=−； ②“杨辉三角”中第9行所有数之和1024； ③“杨辉三角”中第20行第3个数为190； ④32993993991+⨯+⨯+的结果是610；⑤当代数式4328243216a a a a ++++的值是1时，实数a 的值是1−或3−，上述结论中，正确的有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【答案】C【分析】把()3322333a b a a b ab b +=+++中b 换成b −后可得，()()()()3233233a b a a b a b b −−+−⋅+−=+，由此即可判断①；观察并计算可以发现第n 行所有数字之和为2n，由此即可判断②；观察并计算可以发现第n 行（n 大于2）第三个数诶为()12n n −，由此即可判断③；991a b ==，时，()326399139939999110=+++=+⨯⨯，即可判断④；当2b =时，()443228243216a a a a a +=++++，再由4328243216a a a a ++++的值为1，得到()421a +=，解方程即可判断⑤．【详解】解：∵()3322333a b a a b ab b +=+++，∴把上述式子中的b 换成b −后可得，()()()()3233233a b a a b a b b −−+−⋅+−=+，∴()3322333b a b a a ab b −−+=−，故①正确；第1行的所有数字之和为11122+==，第2行的所有数字之和为212124++==，第3行的所有数字之和为3133128+++==，第4行的所有数字之和为414641216++++==，……，∴可以得到规律第n 行所有数字之和为2n，∴“杨辉三角”中第9行所有数之和92512=，故②错误；第2行第三个数为()22112⨯−=， 第3行第三个数为()33132⨯−=，第4行第三个数为()44162⨯−=，第5行第三个数为()551102⨯−=，……，∴第n 行（n 大于2）第三个数为()12n n −， ∴“杨辉三角”中第20行第3个数为()202011902−=，故③正确；∵()3322333a b a a b ab b +=+++，∴当991a b ==，时，()326399139939999110=+++=+⨯⨯，故④正确；∵()4432234464a b a a b a b ab b +=++++，∴当2b =时，()443228243216a a a a a +=++++，∵4328243216a a a a ++++的值为1，∴()421a +=， ∴()221a +=，∴21a +=±， ∴1213a a =−=−，，故⑤正确；故选C ．【点睛】本题主要考查了多项式乘法中得规律探索，正确理解题意找到规律是解题的关键．二、填空题11．（2023·全国·九年级假期作业）若关于x 的一元二次方程230ax bx +−=（0a ≠）有一个根为5x =，则方程()213a x bx b −+−=必有一根为______． 【答案】6x = 【分析】把()213a x bx b−+−=化为()2(1)130,a xb x −+−−=再结合题意得到15,x −=解出即可．【详解】解：()213a x bx b−+−=，()2(1)130a xb x ∴−+−−=．令1x t −=，则230,at bt +−=∵方程230ax bx +−=（0a ≠）有一个根为5x =，∴方程230at bt +−=有一根为5t =，()2(1)130a xb x ∴−+−−=有一根为15x −=，15,x ∴−=6.x ∴=故答案为： 6.x =【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根的含义，掌握利用整体未知数求解方程的根是解此题的关键． 12．（2023·全国·九年级假期作业）一元二次方程220x x +−=的解是________． 【答案】122,1x x =−= 【分析】原方程可转化为()()210x x +−=，再化为两个一次方程即可．【详解】解：∵220x x +−=，∴()()210x x +−=，∴20x +=或10x −=， 解得122,1x x =−=．故答案为：122,1x x =−=．【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，熟练的掌握因式分解的方法解一元二次方程是解本题的关键． 13．（2023·全国·九年级假期作业）一元二次方程()()23121x x =−−的解是________．【答案】12531,x x ==【分析】先移项，再提取公因式分解因式，把原方程化为两个一次方程，再解一次方程即可． 【详解】∵()()23121x x =−−，∴()()231201x x −−−=．∴()()13120x x −−−⎤⎣⎦=⎡．∴10x −=或()3120x −−=，解得12531,x x ==．故答案为：12531,x x ==．【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，熟练的利用因式分解的方法解方程是解本题的关键． 14．（2023·河南信阳·校考三模）小明在解方程2320x x −+=时，发现用配方法和公式法计算量都比较大，因此他又想到了另外一种方法，快速解出了答案： 方法如下： 2320x x −+=2220x x x −−+= 第①步222x x x −=− 第②步()22x x x −=− 第③步1x = 第④步老师看到后，夸小明很聪明，方法很好，但是有一步做错了，请问小明出错的步骤为________（填序号）． 【答案】④ 【分析】由()22x x x −=−，()()120x x −−=，解得1x =或2x =，进而判断作答即可．【详解】解：()22x x x −=−，()()120x x −−=，解得1x =或2x =，∴第④步错误， 故答案为：④．【点睛】本题考查了解一元二次方程．解题的关键在于正确的解一元二次方程．15．（2023秋·湖南常德·九年级统考期末）若()()22222340x y x y +−+−=，则22x y +=______．【答案】4【分析】设22t x y =+，则0t >，根据换元法解一元二次方程，即可求解．【详解】解：设22t x y =+，则0t >，∴原方程可以化为2340t t −−=，解得：4t =或1t =−（舍去）即22x y +=4 故答案为：4．【点睛】本题考查了换元法解一元二次方程，掌握换元法解一元二次方程是解题的关键．16．（2022秋·甘肃平凉·九年级校考阶段练习）已知实数x 满足2220()(23)x x x x −−−−=，则代数式22020x x −+的值为_______．【答案】2023【分析】设2t x x =−，则原方程转化为关于t 的一元二次方程2230t t −−=，利用因式分解法解该方程即可求得t 的值；然后整体代入所求的代数式进行解答，注意判断方程的根的判别式0≥，方程有解．【详解】解：设2t x x =−，由原方程，得2230t t −−=，整理，得()()310t t −+=，所以3t =或1t =−．当3t =时，23−=x x ，则220202023x x −+=；当1t =−时，21x x −=−即210x x −+=时，()214110∆=−−⨯⨯<，方程无解，此种情形不存在．故答案是：2023．【点睛】本题考查了换元法解一元二次方程．换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换．三、解答题17．（2023·江苏·九年级假期作业）用适当的方法解下列各一元二次方程： (1)(2)15x x −=；(2)23680x x +−=（用配方法）； (3)2(2)10(2)210x x +−++=； (4)23520x x −+=；(5)22(2)(1)6x x ++−=． 【答案】(1)15a =，23a =−(2)11x =−，21x =−(3)15=x ，21x = (4)123x =，21x =(5)1x =，2x =【分析】（1）（4）用因式分解的十字相乘法求解比较简便；（2）先把常数项移到等号的另一边，把二次项系数化为1，配方，利用直接开平方法求解； （3）把(2)x +看成一个整体，利用因式分解的十字相乘法求解比较简便； （5）先整理方程，用公式法比较简便． 【详解】（1）解：(2)15x x −=，整理，得22150a a −−=，(5)(3)0a a ∴−+=．50a ∴−=或30a +=．15a ∴=，23a =−；（2）23680x x +−=（用配方法），移项，得2368x x +=，二次项系数化为1，得2823x x +=，配方，得211213x x ++=，211(1)3x ∴+=．1x ∴+=．11x ∴=−，21x =−；（3）2(2)10(2)210x x +−++=，[(2)7][(2)3]0x x ∴+−+−=，即(5)(1)0x x −−=．50x ∴−=或10x −=．15x ∴=，21x =；（4）23520x x −+=，(32)(1)0x x −−=，320x −=或10x −=，123x ∴=，21x =；（5）22(2)(1)6x x ++−=，方程整理，得22210x x +−=，x ===．1x ∴=，2x =． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握一元二次方程的直接开平方法、配方法、因式分解法、公式法是解决本题的关键．18．（2023·全国·九年级假期作业）已知()()22222150a b a b +++−=，求22a b +的值． 【答案】3【分析】先用换元法令22(0)a b x x +=>，再解关于x 的一元二次方程即可． 【详解】解：令22(0)a b x x +=>，则原等式可化为：(2)150x x +−=，解得：123,5x x ==−，0x >，3x ∴=，即223a b +=．22a b +的值为3．【点睛】本题考查了换元法、一元二次方程的解法，注意22a b +为非负数是本题的关键．【答案】2x = 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】解：2211x x x =+−方程两边同乘()()11x x +−， 得()12x x −=，整理得，220x x −−=，∴()()120x x +−=，解得：11x −=，22x =，检验：当=1x −时，()()110x x +−=，=1x −是增根， 当2x =时，()()1130x x +−=≠，∴原方程的解为2x =．【点睛】本题考查了分式方程的解法，属于基本题型，熟练掌握解分式方程的方法是解题关键．【答案】,21x −+【分析】先对分式进行化简，然后求出一元二次方程的解，进而代值求解即可．【详解】2222421121x x x x x x x −−−÷+−−+()()()()222121112x x x x x x x −−=−⋅++−−()21211x x x x −=−++， 2221x x x −+=+ 21x =+解方程220x x +−=得：2x =−或1x =，如果已知分式有意义，必须x 不等于2，1−，1，∵x 为方程220x x +−=的根，∴x 只能为2−，∴当2x =−时，原式2221−+==−．【点睛】本题主要考查分式的化简求值及一元二次方程的解法，解题的关键是熟练掌握各个运算方法． 21．（2023·陕西榆林·校考模拟预测）已知数字A 为负数，将其加6得到数字B ，若数字A 与数字B 的积为7，求数字A ．【答案】7A =−【分析】根据题意得()67A A +=，解一元二次方程即可求解．【详解】解：由题意得6A B +=，7A B ⨯=，∴()67A A +=，∴2670A A +−=，即()()710A A +−=， 解得7A =−或1A =，∵数字A 为负数，∴7A =−．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，掌握“因式分解法”解一元二次方程是解题的关键．22．（2023·全国·九年级假期作业）阅读下面的材料：【答案】(1)1x =，2x =，3x ，4x =；(2)5【分析】（1）设2y x x =+，则2540y y −+=，整理，得(1)(4)0y y −−=，解关于y 的一元二次方程，然后解关于x 的一元二次方程即可求解；（2）设22x a b =+，则23100x x −−=，整理，得−+=(5)(2)0x x ，解一元二次方程即可求解．【详解】（1）解：设2y x x =+，则2540y y −+=，整理，得(1)(4)0y y −−=，解得11y =，24y =，当21x x +=即210x x +−=时，解得x = ；当24x x +=即240x x +−=时，解得x ；∴原方程的解为112x −=， 212x −=， 312x −=， 412x −=；（2）设22x a b =+，则23100x x −−=，整理，得−+=(5)(2)0x x ，解得15y =，2(2y =−舍去)，225a b +=．【点睛】本题考查了换元法解一元二次方程，熟练掌握换元法是解题的关键．【答案】(1)1x =±(2)114x =−，21x =【分析】（1）设2x y =，则由已知方程得到：2560y y −=+，利用因式分解法求得该方程的解，然后解关于x 的一元二次方程；（2）设1x y x +=，则由已知方程得到：260y y +−=，利用因式分解法求得该方程的解，然后进行检验即可．【详解】（1）令2x y =∴2560y y −=+∴(6)(1)0y y +−=∴16y =−，21y =∴26x =−（舍去），21x =∴1x =±；（2）令1x y x += ∴610y y −+=∴260y y +−=∴(3)(2)0y y +−=∴13y =−，22y = ∴13x x +=−，12x x += ∴114x =−，21x = 经检验，114x =−，21x =为原方程的解.【点睛】本题主要考查了换元法解一元二次方程，分式方程，即把某个式子看作一个整体，用一个字母去代替它，实行等量替换．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的．任务：(1)判断：方程2560x x −+= ______ “邻根方程”（填“是”或“不是”）；(2)已知关于x 的一元二次方程()210(x m x m m +++=是常数)是“邻根方程”，求m 的值．【答案】(1)是(2)0m =或2m =【分析】（1）先利用因式分解法解一元二次方程，然后根据“邻根方程”的定义进行判断；（2）先利用因式分解法解一元二次方程得到1x m =，21x =−，再根据“邻根方程”的定义得到11m −=−或11+=−m ，然后解关于m 的方程即可．【详解】（1）解方程2560x x −+=得13x =，22x =， 3比2大1，∴方程是“邻根方程”；（2）()210x m x m +++=， ()()10x m x ∴++=， 0x m ∴+=或10x +=，1x m ∴=−，21x =−，方程()210(x m x m m +++=是常数)是“邻根方程”，11m ∴−−=−或11m −+=−，0m ∴=或2m =．【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．【答案】14x =，214x =m =m =代入方程得22520m m −+=，求出m 的值，再求出x 即可．m ．原方程化为：22520m m −+=，解得：12m =，212m =．当2m =2，解得：14x =；当12m =12=，解得：214x =． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是正确理解题意，会根据题目所描述的换元法求解方程．。
14.3因式分解(1)——提公因式法+课件+2023-2024学年人教版数学八年级上册
知识点 2 提公因式法分解因式 (1)公因式：多项式中每项都有的__因__式__； (2)一般地，如果多项式的各项有_公__因__式___，可以把这个公因式提取出 来，将多项式写成公因式与另一个因式的__乘__积__的形式，这种分解因 式的方法叫做提公因式法.
多项式2a2b3＋4ab2c的公因式是_2_a_b_2__. 多项式m(a－x)－mn(a－x)的公因式是_m__(_a_－__x_) _.
计算： 3×24＋6×24＋4×22. 解：原式＝3×24＋6×24＋24
＝(3＋6＋1)×24 ＝160.
计算： 42×20.23＋72×20.23－20.23×14. 解：原式＝(42＋72－14)×20.23
＝100×20.23 ＝2 023.
如图，长方形的长、宽分别为a，b，周长为10，面积为6， 则a2b＋ab2的值为( B ) A．60 B．30 C．15 D．16
5．确定下列多项式的公因式，并分解因式． (1)ax＋ay； 解：ax，ay的公因式为a， 原式＝a(x＋y)． (2)3mx－6nx2； 解：3mx，－6nx2的公因式为3x， 原式＝3x(m－2nx)．
(3)4a2b＋10ab－2ab2. 解：4a2b，10ab，－2ab2的公因式为2ab， 原式＝2ab(2a＋5－b)．
八年级上册 人教版数学
第十四章 整式的乘法与因式分解 因式分解(1)——提公因式法
复习导入
计算： (1)2(x＋y)＝__2_x_＋__2_y_； (2)(x＋1)(x－1)＝__x_2_－__1_； (3)(a＋b)2＝__a_2_＋__2_a_b_＋__b_2_.
新知探究
知识点 1 因式分解的概念 把一个多项式化成了几个整式的_积___的形式，像这样的式子变形叫做 这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.
因式分解-提公因式法(含答案)
因式分解-提公因式法(含答案)1.因式分解是指将一个多项式拆分成两个或多个较简单的多项式的过程。
其中，选项A、C、D属于因式分解，选项B不属于因式分解。
2.只有选项B不属于因式分解，其余选项都属于因式分解。
3.（1）属于整式乘法，（2）属于因式分解，（3）属于因式分解，（4）属于因式分解。
4.公因式是7ab。
5.公因式是x2y。
6.正确的选项是A。
7.分解后为（x-2）（a2-a）。
8.错误的选项是C。
9.（1）3ac（2b-c），（2）a3（b-c）+a3，（3）-2（2a-5）（a-2），（4）(m-x)(m-y)。
10.XXX×11×29.11.结果是A，即2.12.（1）0.0396，（2）2044.71，（3）3x2y(x+y+z)。
14.如果3x^2 - mxy^2 = 3x(x - 4y^2)，求m的值。
15.写出下列各项的公因式：1) 6x^2 + 18x + 6;2) -35a(a+b)与42(a+b).16.已知n为正整数，试判断n^2+n是奇数还是偶数，并说明理由。
17.试说明817-279-913能被45整除。
知能点分类训练】1.-b^2 + a^2 = _________。
9x^2 - 16y^2 = ___________.2.下列多项式(1) x^2 + y^2.(2) -2a^2 - 4b^2.(3) (-m)(-n)。
(4) -144x^2 + 169y^2.(5) (3a)^2 - 4(2b)^2中，能用平方差公式分解的有：A。
1个B。
2个C。
3个D。
4个3.一个多项式，分解因式后结果是(x^3 + 2)(2-x^3)，那么这个多项式是：A。
x^6 - 4B。
4 - x^6C。
x^9 - 4D。
4 - x^94.下列因式分解中错误的是：A。
a^2 - 1 = (a+1)(a-1)B。
1 - 4x^2 = (1+2x)(1-2x)C。
81x^2 - 64y^2 = (9x+8y)(9x-8y)D。
因式分解50题(配完整解析)
因式分解50题（配完整解析）考点卡片一．因式分解-提公因式法1、提公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．2、具体方法：（1）当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的．（2）如果多项式的第一项是负的，一般要提出“﹣”号，使括号内的第一项的系数成为正数．提出“﹣”号时，多项式的各项都要变号．3、口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶．4、提公因式法基本步骤：（1）找出公因式；（2）提公因式并确定另一个因式：①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数再确定字母；②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式；③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同．二．因式分解-运用公式法1、如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法．22平方差公式：a ﹣b ＝（a +b ）（a ﹣b ）；222完全平方公式：a ±2ab +b ＝（a ±b ）；2、概括整合：①能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反．②能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍．3、要注意公式的综合应用，分解到每一个因式都不能再分解为止．三．因式分解-分组分解法1、分组分解法一般是针对四项或四项以上多项式的因式分解，分组有两个目的，一是分组后能出现公因式，二是分组后能应用公式．2、对于常见的四项式，一般的分组分解有两种形式：①二二分法，②三一分法．例如：①ax +ay +bx +by ＝x （a +b ）+y （a +b ）＝（a +b ）（x +y ）22②2xy ﹣x +1﹣y 22＝﹣（x ﹣2xy +y ）+12＝1﹣（x ﹣y ）＝（1+x ﹣y ）（1﹣x +y ）四．因式分解-十字相乘法等借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做十字相乘法．2①x +（p +q ）x +pq 型的式子的因式分解．这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解：x 2+（p +q ）x +pq ＝（x +p ）（x +q ）2②ax +bx +c （a ≠0）型的式子的因式分解这种方法的关键是把二次项系数a 分解成两个因数a 1，a 2的积a 1•a 2，把常数项c 分解成两个因数c 1，c 2的积c 1•c 2，并使a 1c 2+a 2c 1正好是一2次项b ，那么可以直接写成结果：ax +bx +c ＝（a 1x +c 1）（a 2x +c 2）．五．实数范围内分解因式实数范围内分解因式是指可以把因式分解到实数的范围（可用无理数的形式来表示），一些式子在有理数的范围内无法分解因式，可是在实数范围内就可以继续分解因式．例如：x ﹣2在有理数范围内不能分解，如果把数的范围扩大到实数范围则可分解2x 2﹣2＝x 2﹣（2）2＝（x+2）（x-2）一．填空题（共5小题）1．因式分解：-2x 2+2x =．2．因式分解：a 3+2a =．3．分解因式：8x 2-8xy +2y 2=．4．分解因式：ab 2+a 2b =．5．因式分解2x 2y -8y =．二．解答题（共45小题）6．分解因式（1）n 2(m -2)-n (2-m )（2）(a 2+4b 2)2-16a 2b 2．7．因式分解（1）(2a +b )2-(a +2b )2（2）16x 4-8x 2y 2+y 48．已知m -2n =-2，求下列多项式的值：（1）5m -10n +10m 2（2）+n 2-mn -3．49．因式分解：(x 2-3)2+2(3-x 2)+1．10．因式分解：m 2(m -4)2+8m (m -4)+16．11．分解因式：4(a +2)2-9(a -1)2．12．(x 2+4)2-16x 2．13．因式分解：(x -6x )+18(x -6x )+81．14．分解因式：（1）x 4-2x 2+1；（2）a 4-8a 2b 2+16b 4；（3）(a 2+4)2-16a 2；（4）(m 2-4m )2+8(m 2-4m )+16．15．分解因式（1）x -4xy +4y （2）4a -12ab +9b （3）a b +2ab +1．16．（1）计算：(2x -y +z )(2x -y -z )（2）分解因式：25(a +b )2-16(a -b )217．分解因式：(x +3)2-(x -3)2．18．(x -5y )2-(x +5y )219．分解因式：（1）3ax 2-6axy +3ay 2；（2）(3m +2n )2-(2m +3n )2．20．分解因式：（1）(a -b )(x -y )-(b -a )(x +y )（2）5m (2x -y )2-5mn 221．分解因式：（1）-3x 2+6xy -3y 2；222222222（2）(a +b )(a -b )+4(b -1)．22．因式分解（1）9a 2(x -y )+4b 2(y -x )；（2）4a (b -a )-b 223．因式分解：（1）a 4-16；（2）ax 2-4axy +4ay 2．24．将下列各式分解因式：（1）-25ax 2+10ax -a （2）4x 2(a -b )+y 2(b -a )25．分解因式：（1）5x 2+10x +5（2）(a +4)(a -4)+3(a +2)26．因式分解（1）9m 2-25n 214（3）2x 2y -8xy +8y（2）m 2-mn +n 2（4）(y 2-1)2+6(1-y 2)+927．把下列各式因式分解：（1）12x 4-6x 3-168x 2（2）a 5(2-3a )+2a 3(3a -2)2+a (2-3a )3（3）abc (a 3+b 3+c 3+2abc )+(a 3b 3+b 3c 3+c 3a 3)28．分解因式（1）16-a 4（2）y 3-6xy 2+9x 2y（3）(m +n )2-4m (m +n )+4m 2（4）9-a 2+4ab -4b 229．因式分解（1）-a 2-a（2）(x +y )(5m +3n )2-(x +y )(m -n )2（3）(a 2+6a )2+18(a 2+6a )+81（4）x 2-4x -y 2+4．30．把下列各式分解因式：（1）(a 2+a +1)(a 2-6a +1)+12a 2；（2）(2a +5)(a 2-9)(2a -7)-91；124242（4）(x -4x +1)(x +3x +1)+10x 4；31．分解因式：（1）12abc -2bc 2（2）2a 3-12a 2+18a （3）9a (x -y )+3b (x -y )（4）(x +y )2+2(x +y )+1（3）xy (xy +1)+(xy +3)-2(x +y +)-(x +y -1)2；（5）2x 3-x 2z -4x 2y +2xyz +2xy 2-y 2z ．（6）(a+b)(a-b)+4(b-1)32．将下列各式因式分解：（1）a4-16（2）16(a-b)2-9(a+b)2（3）x2-1+y2-2xy（4）(m+n)2-2(m2-n2)+(m-n)2．（5）x2-5x+6（6）x2-5x-6（7）x2+5x-6（8）x2+5x+6．33．分解因式（1）-3x3-6x2y-3xy2；（2）(a2+9)2-36a2（3）25m2-(4m-3n)2；（4）(x2-2x)2-2(x2-2x)-3．34．因式分解：（1）x2-5x-6（2）9a2(x-y)+4b2(y-x)（3）y2-x2+6x-9（4）(a2+4b2)2-16a2b235．把下列多项式分解因式：（1）27xy2-3x121x+xy+y22222（3）a-b-1+2b（4）x2+3x-436．因式分解：（1）x2-xy-12y2；（2）（2）a2-6a+9-b237．分解因式（1）8a3b2-12ab3c（2）-3ma3+6ma2-12ma（3）2(x-y)2-x(x-y)（4）3ax2-6axy+3ay2（5）p2-5p-36（6）x5-x3（7）(x-1)(x-2)-6（8）a2-2ab+b2-c238．把下列各式分解因式：（1）4x3-31x+15；（2）2a2b2+2a2c2+2b2c2-a4-b4-c4；（3）x5+x+1；（4）x3+5x2+3x-9；（5）2a4-a3-6a2-a+2．39．分解因式（2）1-9x 2（3）4x 2-12x +9（4）4x 2y 2-4xy +1（5）p 2-5p -36（6）y 2-7y +12（7）3-6x +3x 2（8）-a +2a 2-a 3（9）m 3-m 2-20m40．分解因式：(x 2+x +1)(x 2+x +2)-12．41．分解因式：(x 2+4x +8)2+3x (x 2+4x +8)+2x 2．42．分解因式：（1）2a (y -z )-3b (z -y )；（2）-x 2+4xy -4y 2；（3）x 2-2（在实数范围内分解因式）；（4）4-12(x -y )+9(x -y )2．43．阅读下面的问题，然后回答，分解因式：x 2+2x -3，解：原式=x 2+2x +1-1-3=(x 2+2x +1)-4=(x +1)2-4=(x +1+2)(x +1-2)=(x +3)(x -1)上述因式分解的方法称为配方法．请体会配方法的特点，用配方法分解因式：（1）x 2-4x +3（2）4x 2+12x -7．44．下面是某同学对多项式(x -4x +2)(x -4x +6)+4进行因式分解的过程．解：设x -4x =y原式=(y +2)(y +6)+4（第一步）222=y 2+8y +16（第二步）=(y +4)2（第三步）=(x 2-4x +4)2（第四步）请问：（1）该同学因式分解的结果是否彻底？（填“彻底”或“不彻底”)．若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果．（2）请你模仿以上方法尝试对多项式(x -2x )(x -2x +2)+1进行因式分解．45．阅读并解决问题：对于形如x 2+2ax +a 2这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成(x +a )2的形式，但对于二次三项式x 2+2ax -3a 2就不能直接运用公式了．此时，我们可以这样来处理：22x2+2ax-3a2=(x2+2ax+a2)-a2-3a2=(x+a)2-4a2=(x+a+2a)(x+a-2a)=(x+3a)(x-a)像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”．（1）利用“配方法”分解因式：a2-8a+15；（2）若a+b=6，ab=4，求：①a2+b2；②a4+b4的值；（3）已知x是实数，试比较x2-6x+11与-x2+6x-10的大小，说明理由．11146．小亮在对a4+分解因式时，步骤如下：a4+=a4+a2+-a2（添加a2与-a2，前444三项可利用完全平方公式）1=(a2+)2-a2（写成完全平方式与最后一项又符合平方差公式）211=(a2+a+)(a2-a+)．22请你利用上述方法分解因式4x4+1．47．十字相乘法分解因式：（1）x2+3x+2（2）x2-3x+2（3）x2+2x-3（4）x2-2x-3（5）x2+5x+6（6）x2-5x-6（7）x2+x-6（8）x2-x-6（9）x2-5x-36(10)x2+3x-18(11)2x2-3x+1(12)6x2+5x-6．48．分解因式：(x+1)(x+3)(x+6)(x+8)+9．49．分解因式：（1）x4-7x2+6．（2）x4-5x2-36．（3）4x4-65x2y2+16y4．（4）a6-7a3b3-8b6（5）6a4-5a3-4a3．（6）4a6-37a4b2+9a2b4．50．因式分解：（1）(x+y)4+(x+y)2-20；（2）(x2-2x-2)(x2-2x-9)+6；（3）(x2+4x+3)(x2-12x+35)-105；（4）(x2-6)2-4x(x2-6)-5x2．因式分解50题（配完整解析）参考答案与试题解析一．填空题（共5小题）1．因式分解：-2x2+2x=-2x(x-1)．【解答】解：-2x2+2x=-2x(x-1)，故答案为：-2x(x-1)．2．因式分解：a3+2a=a(a2+2)．【解答】解：a3+2a=a(a2+2)，故答案为a(a2+2)．3．分解因式：8x2-8xy+2y2=2(2x-y)2．【解答】解：原式=2(4x2-4xy+y2)=2(2x-y)2．故答案为：2(2x-y)2．4．分解因式：ab2+a2b=ab(a+b)．【解答】解：原式=ab(a+b)．故答案是：ab(a+b)．5．因式分解2x2y-8y=2y(x+2)(x-2)．【解答】解：2x2y-8y=2y(x2-4)=2y(x+2)(x-2)故答案为：2y(x+2)(x-2)．二．解答题（共45小题）6．分解因式（1）n2(m-2)-n(2-m)（2）(a2+4b2)2-16a2b2．【解答】解：（1）原式=n(m-2)(n+1)；（2）原式=(a2+4b2+4ab)(a2+4b2-4ab)=(a+2b)2(a-2b)2．7．因式分解（1）(2a+b)2-(a+2b)2（2）16x4-8x2y2+y4【解答】解：（1）(2a+b)2-(a+2b)2=(2a+b-a-2b)(2a+b+a+2b)=3(a-b)(a+b)；（2）16x4-8x2y2+y4=(4x2-y2)2=(2x+y)2(2x-y)2．8．已知m-2n=-2，求下列多项式的值：（1）5m-10n+10m2（2）+n2-mn-3．4【解答】解：（1）m-2n=-2，∴原式=5(m-2n)+10=-10+10=0；m-2n=-2，（2）11∴原式=(m2+4n2-4mn)=(m-2n)2-3=1-3=-2．449．因式分解：(x2-3)2+2(3-x2)+1．【解答】解：(x2-3)2+2(3-x2)+1=(x2-3)2-2(x2-3)+1=(x2-3-1)2=(x2-4)2=(x+2)2(x-2)2．10．因式分解：m2(m-4)2+8m(m-4)+16．【解答】解：原式=[m(m-4)]2+2⨯m(m-4)⨯4+42=[m(m-4)+4]2=(m2-4m+4)2=[(m-2)2]2=(m-4)4．11．分解因式：4(a+2)2-9(a-1)2．【解答】解：4(a+2)2-9(a-1)2=[2(a+2)-3(a-1)][2(a+2)+3(a-1)]=(7-a)(5a+1)．12．(x2+4)2-16x2．【解答】解：(x2+4)2-16x2=(x2+4-4x)(x2+4+4x)=(x-2)2(x+2)2．13．因式分解：(x-6x)+18(x-6x)+81．222【解答】解：(x-6x)+18(x-6x)+81222=(x2-6x+9)2=(x-3)4．14．分解因式：（1）x4-2x2+1；（2）a4-8a2b2+16b4；（3）(a2+4)2-16a2；（4）(m2-4m)2+8(m2-4m)+16．【解答】解：（1）原式=(x2-1)2=[(x+1)(x-1)]2=(x+1)2(x-1)2；（2）原式=(a2-4b2)2=[(a+2b)(a-2b)]2=(a+2b)2(a-2b)2；（3）原式=(a2+4-4a)(a2+4+4a)=(a-2)2(a+2)2；（4）原式=(m2-4m+4)2=[(m -2)2]2=(m -2)4．15．分解因式（1）x -4xy +4y （2）4a -12ab +9b （3）a b +2ab +1．【解答】解：（1）x -4xy +4y =(x -2y )；（2）4a -12ab +9b =(2a -3b )；（3）a b +2ab +1=(ab +1)．16．（1）计算：(2x -y +z )(2x -y -z )（2）分解因式：25(a +b )2-16(a -b )2【解答】解：（1）(2x -y +z )(2x -y -z )222222222222222=(2x -y )2-z 2=4x 2+y 2-4xy -z 2；（2）25(a +b )2-16(a -b )2=[5(a +b )-4(a -b )][5(a +b )+4(a -b )]=(a +9b )(9a +b )．17．分解因式：(x +3)2-(x -3)2．【解答】解：(x +3)2-(x -3)2=(x +3-x +3)(x +3+x -3)=12x ．18．(x -5y )2-(x +5y )2【解答】解：(x -5y )2-(x +5y )2=(x -5y +x +5y )(x -5y -x -5y )=-20xy ．19．分解因式：（1）3ax 2-6axy +3ay 2；（2）(3m +2n )2-(2m +3n )2．【解答】解：（1）3ax 2-6axy +3ay 2=3a (x 2-2xy +y 2)=3a (x -y )2；（2）(3m +2n )2-(2m +3n )2=[(3m +2n )-(2m +3n )][(3m +2n )+(2m +3n )]=(m -n )(5m +5n )=5(m -n )(m +n )．20．分解因式：（1）(a -b )(x -y )-(b -a )(x +y )（2）5m (2x -y )2-5mn 2【解答】解：（1）原式=(a -b )(x -y +x +y )=2x (a -b )．（2）原式=5m (2x -y +n )(2x -y -n )．21．分解因式：（1）-3x 2+6xy -3y 2；（2）(a +b )(a -b )+4(b -1)．【解答】解：（1）-3x 2+6xy -3y 2=-3(x 2-2xy +y 2)=-3(x -y )2；（2）(a +b )(a -b )+4(b -1)=a 2-b 2+4b -4=a 2-(b -2)2=(a +b -2)(a -b +2)．22．因式分解（1）9a 2(x -y )+4b 2(y -x )；（2）4a (b -a )-b 2【解答】解：（1）原式=9a 2(x -y )-4b 2(x -y )=(x -y )(3a +2b )(3a -2b )；（2）原式=-(4a 2-4ab +b 2)=-(2a -b )2．23．因式分解：（1）a 4-16；（2）ax 2-4axy +4ay 2．【解答】解：（1）a 4-16=(a 2+4)(a 2-4)=(a 2+4)(a +2)(a -2)；（2）ax 2-4axy +4ay 2=a (x 2-4xy +4y )=a (x -2y )2．24．将下列各式分解因式：（1）-25ax 2+10ax -a （2）4x 2(a -b )+y 2(b -a )【解答】解：（1）原式=-a (25x 2-10x +1)=-a (5x -1)2；（2）原式=4x 2(a -b )-y 2(a -b )=(a -b )(2x +y )(2x -y )．25．分解因式：（1）5x 2+10x +5（2）(a +4)(a -4)+3(a +2)【解答】解：（1）原式=5(x 2+2x +1)=5(x +1)2；（2）原式=a 2-16+3a +6=a 2+3a -10=(a -2)(a +5)．26．因式分解（1）9m 2-25n 214（3）2x 2y -8xy +8y（2）m 2-mn +n 2（4）(y 2-1)2+6(1-y 2)+9【解答】解：（1）9m 2-25n 2=(3m +5n )(3m -5n )；（2）m 2-mn +n 2141=(m-n)2；2（3）2x2y-8xy+8y=2y(x2-4x+4)=2y(x-2)2；（4）(y2-1)2+6(1-y2)+9=[(1-y2)+3]2=(1-y2+3)2．=(4-y2)2=(2+y)2(2-y)2．27．把下列各式因式分解：（1）12x4-6x3-168x2（2）a5(2-3a)+2a3(3a-2)2+a(2-3a)3（3）abc(a3+b3+c3+2abc)+(a3b3+b3c3+c3a3)【解答】解：（1）原式=6x2(2x2-x-28)=6x2(2x+7)(x-4)；（2）原式=a5(2-3a)+2a3(2-3a)2+a(2-3a)3=a(2-3a)[a4+2a2(2-3a)+(2-3a)2]=a(2-3a)(a2+2-3a)2=a(2-3a)(a-1)2(a-2)2；（3）原式=a4bc+a3(b3+c3)+2a2b2c2+abc(b3+c3)+b3c3=bc(a4+2a2bc+b2c2)+a(b3+c3)(a2+bc)=bc(a2+bc)2+a(b3+c3)(a2+bc)=(a2+bc)[bc(a2+bc)+a(b3+c3)]=(a2+bc)[(bca2+ab3)+(b2c2+ac3)]=(a2+bc)[ab(ca+b2)+c2(b2+ac)]=(a2+bc)(b2+ac)(c2+ab)．28．分解因式（1）16-a4（2）y3-6xy2+9x2y（3）(m+n)2-4m(m+n)+4m2（4）9-a2+4ab-4b2【解答】解：（1）原式=(4+a2)(4-a2)=(4+a2)(2+a2)(2-a2)；（2）原式=y(y2-6xy+9x2)=y(y-3x)2；（3）原式=(m+n-2m)2=(n-m)2；（4）原式=9-(a-2b)2=(3-a+2b)(3+a-2b)．29．因式分解（1）-a2-a（2）(x +y )(5m +3n )2-(x +y )(m -n )2（3）(a 2+6a )2+18(a 2+6a )+81（4）x 2-4x -y 2+4．【解答】解：（1）-a 2-a =-a (a +1)（2）(x +y )(5m +3n )2-(x +y )(m -n )2=(x +y )(5m +3n +m -n )(5m +3n -m +n )=(x +y )(6m +2n )(4m +4n )=8(x +y )(3m +n )(m +n )（3）(a 2+6a )2+18(a 2+6a )+81=(a 2+6a +9)2=(a +3)4（4）x 2-4x -y 2+4=(x -2)2-y 2=(x -2+y )(x -2-y )30．把下列各式分解因式：（1）(a 2+a +1)(a 2-6a +1)+12a 2；（2）(2a +5)(a 2-9)(2a -7)-91；12（4）(x 4-4x 2+1)(x 4+3x 2+1)+10x 4；【解答】解：（1）令a 2+1=b ，则原式=(b +a )(b -6a )+12a 2（3）xy (xy +1)+(xy +3)-2(x +y +)-(x +y -1)2；（5）2x 3-x 2z -4x 2y +2xyz +2xy 2-y 2z ．=b 2-5ab -6a 2+12a 2=b 2-5ab +6a 2=(b -2a )(b -3a )=(a 2+1-2a )(a 2+1-3a )=(a -1)2(a 2-3a +1)；（2）原式=[(2a +5)(a -3)][(a +3)(2a -7)]-91=(2a 2-a -15)(2a 2-a -21)-91=(2a 2-a )2-36(2a 2-a )+224=(2a 2-a -28)(2a 2-a -8)=(a -4)(2a +7)(2a 2-a -8)；（3）设x +y =a ，xy =b ，则原式=b (b +1)+(b +3)-2(a +)-(a -1)212=(b 2+2b +1)-a 2=(b +1+a )(b +1-a )=(xy +1+x +y )(xy +1-x -y )；（4）令x 4+1=a ，则原式=(a -4x 2)(a +3x 2)+10x 4=a 2-x 2a -2x 4=(a -2x 2)(a +x 2)=(x 4+1-2x 2)(x 4+1+x 2)=(x +1)2(x -1)2(x 2+x +1)(x 2-x +1)；（5）原式=(2x3-x2z)+(-4x2y+2xyz)+(2xy2-y2z) =x2(2x-z)-2xy(2x-z)+y2(2x-z)=(2x-z)(x2-2xy+y2)=(2x-z)(x-y)2．31．分解因式：（1）12abc-2bc2（2）2a3-12a2+18a（3）9a(x-y)+3b(x-y)（4）(x+y)2+2(x+y)+1（5）x2-1+y2-2xy（6）(a+b)(a-b)+4(b-1)【解答】解：（1）12abc-2bc2=2bc(6a-c)；（2）2a3-12a2+18a=2a(a2-6a+9)=2a(a-3)2；（3）9a(x-y)+3b(x-y)=3(x-y)(3a+b)；（4）(x+y)2+2(x+y)+1=(x+y+1)2；（5）x2-1+y2-2xy=(x-y)2-1=(x-y+1)(x-y-1)；（6）(a+b)(a-b)+4(b-1)=a2-b2+4b-4=a2-(b-2)2=(a-b+2)(a+b-2)．32．将下列各式因式分解：（1）a4-16（2）16(a-b)2-9(a+b)2（3）x2-1+y2-2xy（4）(m+n)2-2(m2-n2)+(m-n)2．（5）x2-5x+6（6）x2-5x-6（7）x2+5x-6（8）x2+5x+6．【解答】解：（1）a4-16=(a2+4)(a2-4)=(a2+4)(a+2)(a-2)；（2）16(a-b)2-9(a+b)2=[4(a-b)+3(a+b)][4(a-b)-3(a+b)]=(4a-4b+3a+3b)(4a-4b-3a-3b)=(7a-b)(a-7b)；（3）x2-1+y2-2xy=(x-y)2-1=(x-y+1)(x-y-1)；（4）(m+n)2-2(m2-n2)+(m-n)2=[(m+n)-(m-n)]2=(m+n-m+n)2=(2n)2=4n2；（5）x2-5x+6=(x-2)(x-3)；（6）x2-5x-6=(x-6)(x+1)；（7）x2+5x-6=(x+6)(x-1)；（8）x2+5x+6=(x+2)(x+3)．33．分解因式（1）-3x3-6x2y-3xy2；（2）(a2+9)2-36a2（3）25m2-(4m-3n)2；（4）(x2-2x)2-2(x2-2x)-3．【解答】解：（1）-3x3-6x2y-3xy2；=-3x(x2+2xy+y2)=-3x(x+y)2；（2）(a2+9)2-36a2=(a2+9+6a)(a2+9-6a)=(a+3)2(a-3)2；（3）25m2-(4m-3n)2=(5m)2-(4m-3n)2，=(5m+4m-3n)(5m-4m+3n)=3(3m-n)(m+3n)；（4）(x2-2x)2-2(x2-2x)-3=(x2-2x-3)(x2-2x+1)=(x-3)(x+1)(x-1)2．34．因式分解：（1）x2-5x-6（2）9a2(x-y)+4b2(y-x)（3）y2-x2+6x-9（4）(a2+4b2)2-16a2b2【解答】解：（1）x2-5x-6=(x-3)(x+2)；（2）9a2(x-y)+4b2(y-x)=(x-y)(9a2-4b2)=(x-y)(3a+2b)(3a-2b)；=y2-(x2-6x+9)=y2-(x-3)2=(y+x-3)(y-x+3)；（4）(a2+4b2)2-16a2b2=(a2+4b2+4ab)(a2+4b2-4ab) =(a+2b)2(a-2b)2．35．把下列多项式分解因式：（1）27xy2-3x（2）12x2+xy+12y2（3）a2-b2-1+2b（4）x2+3x-4【解答】解：（1）27xy2-3x =3x(9y2-1)=3x(3y+1)(3y-1)；（2）12x2+xy+12y2=1(x2+2xy+y2 2)=1(x+y)22；（3）a2-b2-1+2b=a2-(b2-2b+1)=a2-(b-1)2=(a+b-1)(a-b+1)；（4）x2+3x-4=(x+4)(x-1)．36．因式分解：（1）x2-xy-12y2；（2）a2-6a+9-b2【解答】解：（1）x2-xy-12y2，=(x+3y)(x-4y)；（2）a2-6a+9-b2，=(a-3)2-b2，=(a-3+b)(a-3-b)．37．分解因式（1）8a3b2-12ab3c（2）-3ma3+6ma2-12ma（3）2(x-y)2-x(x-y)（4）3ax2-6axy+3ay2（6）x 5-x 3（7）(x -1)(x -2)-6（8）a 2-2ab +b 2-c 2【解答】解：（1）8a 3b 2-12ab 3c =4ab 2(2a 2-3bc )；（2）-3ma 3+6ma 2-12ma =-3ma (a 2-2a +4)=-3ma (a -2)2；（3）2(x -y )2-x (x -y )=(x -y )(2x -2y -x )=(x -y )(x -2y )；（4）3ax 2-6axy +3ay 2=3a (x 2-2xy +y 2)=3a (x -y )2；（5）p 2-5p -36=(p -9)(p +4)；（6）x 5-x 3=x 3(x 2-1)=x 3(x +1)(x -1)；（7）(x -1)(x -2)-6=x 2-3x +2-6=(x -4)(x +1)；（8）a 2-2ab +b 2-c 2=(a -b )2-c 2=(a -b +c )(a -b -c )．38．把下列各式分解因式：（1）4x 3-31x +15；（2）2a 2b 2+2a 2c 2+2b 2c 2-a 4-b 4-c 4；（3）x 5+x +1；（4）x 3+5x 2+3x -9；（5）2a 4-a 3-6a 2-a +2．【解答；（；（5522232】解：（1）4x 3-31x +15=4x 3-x -30x +15=x (2x +1)(2x -1)-15(2x -1)=(2x -1)(2x 2+x -15)=(2x -1)(2x -5)(x +3)2）2a b +2a c +2b c -a -b -c =4a b -(a +b +c +2a b -2a c -2b c )=(2ab )-(a +b -c )=(2ab +a +b -c )(2ab -a -b +c )=(a +b +c )(a +b -c )(c +a -b )(c -a +b )32222）3x +x +1=x -x +x +x +1=x (x -1)+(x +x +1)=x (x -1)(x +x +1)+(x +x +1)=(x +x +1)(x -x 2+1)；（；（4）x 3+5x 2+3x -9=(x 3-x 2)+(6x 2-6x )+(9x -9)=x 2(x -1)+6x (x -1)+9(x -1)=(x -1)(x +3)25）2a -a -6a -a +2=a (2a -1)-(2a -1)(3a +2)=(2a -1)(a -3a -2)=(2a -1)(a +a -a -a -2a -2)=(2a -1)[a (a +1)-a (a +1)-2(a +1)]=(2a -1)(a +1)(a 2-a -2)=(a +1)(a -2)(2a -1)．39．分解因式（1）20a 3x -45ay 2x（2）1-9x 2（3）4x 2-12x +9（4）4x 2y 2-4xy +1（5）p 2-5p -36（6）y 2-7y +12（7）3-6x +3x 2（8）-a +2a 2-a 3（9）m 3-m 2-20m【解答】解：（1）原式=5ax (4a 2-9y 2)=5ax (2a +3y )(2a -3y )；（2）原式=(1+3x )(1-3x )；（3）原式=(2x )2-12x +9=(2x -3)2；（4）原式=(2xy-1)2；（5）原式=(p+4)(p-9)；（6）原式=(y-3)(y-4)；（7）原式=3(x2-2x+1)=3(x-1)2；（8）原式=-a(a2-2a+1)=-a(a-1)2；（9）原式=m(m2-m-20)=m(m+4)(m-5)．40．分解因式：(x2+x+1)(x2+x+2)-12．【解答】解：设x2+x=y，则原式=(y+1)(y+2)-12=y2+3y-10=(y-2)(y+5)=(x2+x-2)(x2+x+5)=(x-1)(x+2)(x2+x+5)．说明本题也可将x2+x+1看作一个整体，比如令x2+x+1=u，一样可以得到同样的结果，有兴趣的同学不妨试一试．故答案为(x-1)(x+2)(x2+x+5)41．分解因式：(x2+4x+8)2+3x(x2+4x+8)+2x2．【解答】解：设x2+4x+8=y，则原式=y2+3xy+2x2=(y+2x)(y+x)=(x2+6x+8)(x2+5x+8)=(x+2)(x+4)(x2+5x+8)．42．分解因式：（1）2a(y-z)-3b(z-y)；（2）-x2+4xy-4y2；（3）x2-2（在实数范围内分解因式）；（4）4-12(x-y)+9(x-y)2．【解答】解：（1）原式=2a(y-z)+3b(y-z)=(y-z)(2a+3b)；（2）原式=-(x2-4xy+4y2)=-(x-2y)2；（3）原式=(x+2)(x-2)；（4）原式=[3(x-y)-2]2=(3x-3y-2)2．43．阅读下面的问题，然后回答，分解因式：x2+2x-3，解：原式=x2+2x+1-1-3=(x2+2x+1)-4=(x+1)2-4=(x+1+2)(x+1-2)=(x+3)(x-1)上述因式分解的方法称为配方法．请体会配方法的特点，用配方法分解因式：（1）x2-4x+3（2）4x2+12x-7．【解答】解：（1）x2-4x+3=x2-4x+4-4+3=(x -2)2-1=(x -2+1)(x -2-1)=(x -1)(x -3)（2）4x 2+12x -7=4x 2+12x +9-9-7=(2x +3)2-16=(2x +3+4)(2x +3-4)=(2x +7)(2x -1)44．下面是某同学对多项式(x -4x +2)(x -4x +6)+4进行因式分解的过程．解：设x -4x =y原式=(y +2)(y +6)+4（第一步）222=y 2+8y +16（第二步）=(y +4)2（第三步）=(x 2-4x +4)2（第四步）请问：（1）该同学因式分解的结果是否彻底？不彻底（填“彻底”或“不彻底”)．若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果．（2）请你模仿以上方法尝试对多项式(x -2x )(x -2x +2)+1进行因式分解．【解答】解：（1）（2）设x -2x =y原式=y (y +2)+1222(x 2-4x +4)2=(x -2)4，∴该同学因式分解的结果不彻底．=y 2+2y +1=(y +1)2=(x 2-2x +1)2=(x -1)4．故答案为：不彻底．45．阅读并解决问题：对于形如x 2+2ax +a 2这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成(x +a )2的形式，但对于二次三项式x 2+2ax -3a 2就不能直接运用公式了．此时，我们可以这样来处理：x 2+2ax -3a 2=(x 2+2ax +a 2)-a 2-3a 2=(x +a )2-4a 2=(x +a +2a )(x +a -2a )=(x +3a )(x -a )像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”．（1）利用“配方法”分解因式：a 2-8a +15；（2）若a +b =6，ab =4，求：①a 2+b 2；②a 4+b 4的值；（3）已知x 是实数，试比较x 2-6x +11与-x 2+6x -10的大小，说明理由．【解答】解：（1）a 2-8a +15=(a 2-8a +16)-1=(a -4)2-12=(a -3)(a -5)；（2）a +b =6，ab =4，a2+b2=(a+b)2-2ab=36-8=28．a4+b4=(a2+b2)2-2a2b2=282-2⨯16=752．（3）x2-6x+11=(x-3)2+22，-x2+6x-10=-(x-3)2-1-1，∴x2-6x+11>-x2+6x-10．46．小亮在对a4+1114分解因式时，步骤如下：a4+4=a4+a2+4-a2三项可利用完全平方公式）=(a2+12)2-a2（写成完全平方式与最后一项又符合平方差公式）=(a2+a+12)(a2-a+12)．请你利用上述方法分解因式4x4+1．【解答】解：4x4+1=4x4+4x2+1-4x2=(2x2+1)2-4x2=(2x2+2x+1)(2x2-2x+1)．47．十字相乘法分解因式：（1）x2+3x+2（2）x2-3x+2（3）x2+2x-3（4）x2-2x-3（5）x2+5x+6（6）x2-5x-6（7）x2+x-6（8）x2-x-6（9）x2-5x-36(10)x2+3x-18(11)2x2-3x+1(12)6x2+5x-6．【解答】解：（1）x2+3x+2=(x+1)(x+2)；（2）x2-3x+2=(x-1)(x-2)；（3）x2+2x-3=(x+3)(x-1)；（4）x2-2x-3=(x-3)(x+1)；（5）x2+5x+6=(x+3)(x+2)；（6）x2-5x-6=(x-6)(x+1)；（7）x2+x-6=(x+3)(x-2)；a2与-a2，前（添加（8）x2-x-6=(x-3)(x+2)；（9）x2-5x-36=(x-9)(x+4)；(10)x2+3x-18=(x+6)(x-3)；(11)2x2-3x+1=(2x-1)(x-1)；(12)6x2+5x-6=(2x+3)(3x-2)．48．分解因式：(x+1)(x+3)(x+6)(x+8)+9．【解答】解：(x+1)(x+3)(x+6)(x+8)+9=[(x+1)(x+8)][(x+3)(x+6)]+9=(x2+9x+8)(x2+9x+18)+9=(x2+9x)2+26(x2+9x)+153=(x2+9x+9)(x2+9x+17)．49．分解因式：（1）x4-7x2+6．（2）x4-5x2-36．（3）4x4-65x2y2+16y4．（4）a6-7a3b3-8b6（5）6a4-5a3-4a3．（6）4a6-37a4b2+9a2b4．【解答】解：（1）x4-7x2+6=(x2-1)(x2-6)=(x+1)(x-1)(x+6)(x-6)；（2）x4-5x2-36=(x2-9)(x2+4)=(x+3)(x-3)(x2+4)（3）4x4-65x2y2+16y4=(2x2-4y2)2-49x2y2=(2x2-4y2+7xy)(2x2-4y2-7xy)=(2x-1)(2x+1)(1-4y)(1+4y)；（4）a6-7a3b3-8b6=(a3-8b3)(a3+b3)=(a-2b)(a2+2ab+b2)(a+b)(a2-ab+b2)=(a-2b)(a+b)3(a2-ab+b2)；（5）6a4-5a3-4a3=6a4-9a3=3a3(2a-3)；（6）4a6-37a4b2+9a2b4=a2(4a4-37a2b2+9b4)=a2(4a4-12a2b2+9b4-25a2b2)=a2[(2a2-3b2)2-25a2b2]=a2(2a+1)(2a-1)(1-3b)(1+3b)．50．因式分解：（1）(x+y)4+(x+y)2-20；（2）(x2-2x-2)(x2-2x-9)+6；（3）(x2+4x+3)(x2-12x+35)-105；（4）(x2-6)2-4x(x2-6)-5x2．【解答】解：（1）原式=[(x+y)2-4][(x+y)2+5]=(x+y+2)(x+y-2)(x2+y2+2xy+5)；（2）原式=(x2-2x)2-11(x2-2x)+24=(x2-2x-3)(x2-2x-8)=(x-3)(x+1)(x-4)(x+2)；（3）原式=(x+1)(x+3)(x-5)(x-7)-105=(x2-4x-5)(x2-4x-21)-105=(x2-4x)2-26(x2-4x)=(x2-4x)(x2-4x-26)=x(x-4)(x2-4x-26)（4）原式=(x2-6-5x)(x2-6+x)=(x-6)(x+1)(x-2)(x+3)．第21页（共21页）。
初二数学-因式分解
（一） 提公因式法一、填空题1．因式分解是把一个________化为_________________的形式．2．ax 、ay 、－ax 的公因式是______；6mn 2、－2m 2n 3、4mn 的公因式是______． 3．因式分解a 3－a 2b ＝_________． 二、选择题4．下列各式变形中，是因式分解的是（ ）A ．a 2－2ab ＋b 2－1＝（a －b ）2－1Ｂ．)11(22222xx x x +=+C ．（x ＋2）（x －2）＝x 2－4D ．x 4－1＝（x 2＋1）（x ＋1）（x －1） 5．将多项式－6x 3y 2 ＋3x 2y 2－12x 2y 3分解因式时，应提取的公因式是（ ） A ．－3xy B ．－3x 2y C ．－3x 2y 2 D ．－3x 3y 36．多项式a n －a 3n ＋a n ＋2分解因式的结果是（ ） A ．a n （1－a 3＋a 2） B ．a n （－a 2n ＋a 2） C ．a n （1－a 2n ＋a 2） D ．a n （－a 3＋a n ） 三、计算题 7．x 4－x 3y 8．12ab ＋6b9．5x 2y ＋10xy 2－15xy 10．3x （m －n ）＋2（m －n ）11．3（x －3）2－6（3－x ） 12．y 2（2x ＋1）＋y （2x ＋1）213．y （x －y ）2－（y －x ）3 14．a 2b （a －b ）＋3ab （a －b ）15．－2x 2n －4x n16．x （a －b ）2n ＋xy （b －a ）2n＋1四、解答题17．应用简便方法计算：（1）2012－201 （2）4.3×199.8＋7.6×199.8－1.9×199.8（3）说明3200－4×3199＋10×3198能被7整除．综合、运用、诊断一、填空题18．把下列各式因式分解：（1）－16a 2b －8ab ＝______；（2）x 3（x －y ）2－x 2（y －x ）2＝______． 19．在空白处填出适当的式子：（1）x （y －1）－（ ）＝（y －1）（x ＋1）；（2）=+c b ab 3294278（ ）（2a ＋3bc ）． 二、选择题20．下列各式中，分解因式正确的是（ ）A ．－3x 2y 2＋6xy 2＝－3xy 2（x ＋2y ）B ．（m －n ）3－2x （n －m ）3＝（m －n ）（1－2x ）C ．2（a －b ）2－（b －a ）＝（a －b ）（2a －2b ）D ．am 3－bm 2－m ＝m （am 2－bm －1）21．如果多项式x 2＋mx ＋n 可因式分解为（x ＋1）（x －2），则m 、n 的值为（ ）A ．m ＝1，n ＝2B ．m ＝－1，n ＝2C ．m ＝1，n ＝－2D ．m ＝－1，n ＝－2 22．（－2）10＋（－2）11等于（ ）A ．－210B ．－211C ．210D ．－2 三、解答题23．已知x ，y 满足⎩⎨⎧=-=+,13,62y x y x 求7y （x －3y ）2－2（3y －x ）3的值．24．已知x ＋y ＝2，,21-=xy 求x （x ＋y ）2（1－y ）－x （y ＋x ）2的值拓展、探究、思考25．因式分解：（1）ax ＋ay ＋bx ＋by ； （2）2ax ＋3am －10bx －15bm ．（二） 公式法（1）一、填空题1．在括号内写出适当的式子：（1）0.25m 4＝（ ）2；（2）=ny 294（ ）2；（3）121a 2b 6＝（ ）2． 2．因式分解：（1）x 2－y 2＝（ ）（ ）； （2）m 2－16＝（ ）（ ）； （3）49a 2－4＝（ ）（ ）;（4）2b 2－2＝______（ ）（ ）． 二、选择题3．下列各式中，不能用平方差公式分解因式的是（ ） A ．y 2－49x 2B ．4491x - C ．－m 4－n 2D ．9)(412-+q p4．a 2－（b －c ）2有一个因式是a ＋b －c ，则另一个因式为（ ） A ．a －b －c B ．a ＋b ＋c C ．a ＋b －c D ．a －b ＋c 5．下列因式分解错误的是（ ） A ．1－16a 2＝（1＋4a ）（1－4a ） B ．x 3－x ＝x （x 2－1）C ．a 2－b 2c 2＝（a ＋bc ）（a －bc ）D ．)l .032)(32l .0(l 0.09422n m m n n m -+=- 三、把下列各式因式分解6．x 2－25 7．4a 2－9b 28．（a ＋b ）2－649．m 4－81n 410．12a 6－3a 2b 211．（2a －3b ）2－（b ＋a ）2四、解答题12．利用公式简算：（1）2008＋20082－20092；（2）3.14×512－3.14×492．13．已知x ＋2y ＝3，x 2－4y 2＝－15，（1）求x －2y 的值；（2）求x 和y 的值．综合、运用、诊断一、填空题14．因式分解下列各式：（1）m m +-3161＝______； （2）x 4－16＝______；（3）11-+-m m a a＝______；（4）x （x 2－1）－x 2＋1＝______．二、选择题15．把（3m ＋2n ）2－（3m －2n ）2分解因式，结果是（ ）A ．0B ．16n 2C ．36m 2D ．24mn16．下列因式分解正确的是（ ）A ．－a 2＋9b 2＝（2a ＋3b ）（2a －3b ）B ．a 5－81ab 4＝a （a 2＋9b 2）（a 2－9b 2）C ．)21)(21(212212a a a -+=- D ．x 2－4y 2－3x －6y ＝（x －2y ）（x ＋2y －3）三、把下列各式因式分解 17．a 3－ab 2 18．m 2（x －y ）＋n 2（y －x ）19．2－2m 4 20．3（x ＋y ）2－2721．a 2（b －1）＋b 2－b 3 22．（3m 2－n 2）2－（m 2－3n 2）2四、解答题 23．已知,4425,7522==y x 求（x ＋y ）2－（x －y ）2的值．拓展、探究、思考24．分别根据所给条件求出自然数x 和y 的值：（1）x 、y 满足x 2＋xy ＝35；（2）x 、y 满足x 2－y 2＝45．（三） 公式法（2）一、填空题1．在括号中填入适当的式子，使等式成立：（1）x 2＋6x ＋（ ）＝（ ）2；（2）x 2－（ ）＋4y 2＝（ ）2； （3）a 2－5a ＋（ ）＝（ ）2；（4）4m 2－12mn ＋（ ）＝（ ）2 2．若4x 2－mxy ＋25y 2＝（2x ＋5y ）2，则m ＝______． 二、选择题3．将a 2＋24a ＋144因式分解，结果为（ ） A ．（a ＋18）（a ＋8） B ．（a ＋12）（a －12） C ．（a ＋12）2 D ．（a －12）2 4．下列各式中，能用完全平方公式分解因式的有（ ）①9a 2－1； ②x 2＋4x ＋4； ③m 2－4mn ＋n 2； ④－a 2－b 2＋2ab ； ⑤;913222n mn m +-⑥（x －y ）2－6z （x ＋y ）＋9z 2． A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个5．下列因式分解正确的是（ ）A ．4（m －n ）2－4（m －n ）＋1＝（2m －2n ＋1）2B ．18x －9x 2－9＝－9（x ＋1）2C ．4（m －n ）2－4（n －m ）＋1＝（2m －2n ＋1）2D ．－a 2－2ab －b 2＝（－a －b ）2 三、把下列各式因式分解 6．a 2－16a ＋64 7．－x 2－4y 2＋4xy8．（a －b ）2－2（a －b ）（a ＋b ）＋（a ＋b ）2 9．4x 3＋4x 2＋x10．计算：（1）2972 （2）10.32四、解答题11．若a 2＋2a ＋1＋b 2－6b ＋9＝0，求a 2－b 2的值．综合、运用、诊断一、填空题12．把下列各式因式分解：（1）49x 2－14xy ＋y 2＝______；（2）25（p ＋q ）2＋10（p ＋q ）＋1＝______；（3）a n ＋1＋a n －1－2a n ＝______； （4）（a ＋1）（a ＋5）＋4＝______．二、选择题13．如果x 2＋kxy ＋9y 2是一个完全平方公式，那么k 是（ ）A ．6B ．－6C ．±6D ．18 14．如果a 2－ab －4m 是一个完全平方公式，那么m 是（ ）A ．2161bB ．2161b -C ．281b D ．281b - 15．如果x 2＋2ax ＋b 是一个完全平方公式，那么a 与b 满足的关系是（ ）A ．b ＝aB ．a ＝2bC ．b ＝2aD ．b ＝a 2 三、把下列各式因式分解 16．x （x ＋4）＋4 17．2mx 2－4mxy ＋2my 218．x 3y ＋2x 2y 2＋xy 319．2341x x x -+四、解答题20．若,31=+x x 求221xx +的值．21．若a 4＋b 4＋a 2b 2＝5，ab ＝2，求a 2＋b 2的值．拓展、探究、思考22．（m 2＋n 2）2－4m 2n 2 23．x 2＋2x ＋1－y 224．（a ＋1）2（2a －3）－2（a ＋1）（3－2a ）＋2a －325．x 2－2xy ＋y 2－2x ＋2y ＋126．已知x3＋y3＝（x＋y）（x2－xy＋y2）称为立方和公式，x3－y3＝（x－y）（x2＋xy＋y2）称为立方差公式，据此，试将下列各式因式分解：（1）a3＋8 （2）27a3－1（四）十字相乘法能运用公式x2＋（a＋b）x＋ab＝（x＋a）（x＋b）把多项式进行因式分解．一、填空题1．将下列各式因式分解：（1）x2－5x＋6＝______；（2）x2－5x－6＝______；（3）x2＋5x＋6＝______；（4）x2＋5x－6＝______；（5）x2－2x－8＝______；（6）x2＋14xy－32y2＝______．二、选择题2．将a2＋10a＋16因式分解，结果是（）A．（a－2）（a＋8）B．（a＋2）（a－8）C．（a＋2）（a＋8）D．（a－2）（a－8）3．因式分解的结果是（x－3）（x－4）的多项式是（）A．x2－7x－12 B．x2－7x＋12C．x2＋7x＋12D．x2＋7x－124．如果x2－px＋q＝（x＋a）（x＋b），那么p等于（）A．ab B．a＋bC．－ab D．－a－b5．若x2＋kx－36＝（x－12）（x＋3），则k的值为（）A．－9B．15C．－15 D．9三、把下列各式因式分解6．m2－12m＋20 7．x2＋xy－6y28．10－3a－a2 9．x2－10xy＋9y210．（x－1）（x＋4）－36 11．ma2－18ma－40m12．x3－5x2y－24xy2四、解答题13．已知x＋y＝0，x＋3y＝1，求3x2＋12xy＋13y2的值．综合、探究、检测一、填空题14．若m2－13m＋36＝（m＋a）（m＋b），贝a－b＝______．15．因式分解x（x－20）＋64＝______．二、选择题16．多项式x2－3xy＋ay2可分解为（x－5y）（x－by），则a、b的值为（）A．a＝10，b＝－2 B．a＝－10，b＝－2C．a＝10，b＝2D．a＝－10，b＝217．若x2＋（a＋b）x＋ab＝x2－x－30，且b＜a，则b的值为（）A．5B．－6C．－5D．618．将（x＋y）2－5（x＋y）－6因式分解的结果是（）A．（x＋y＋2）（x＋y－3）B．（x＋y－2）（x＋y＋3）C．（x＋y－6）（x＋y＋1）D．（x＋y＋6）（x＋y－1）三、把下列各式因式分解19．（x2－2）2－（x2－2）－220．（x2＋4x）2－x2－4x－20拓展、探究、思考21．因式分解：4a2－4ab＋b2－6a＋3b－4．22．观察下列各式：1×2×3×4＋1＝52；2×3×4×5＋1＝112；3×4×5×6＋1＝192；判断是否任意四个连续正整数之积与1的和都是某个正整数的平方，并说明理由．。
(完整版)提公因式法分解因式典型例题
因式分解（1）一知识点讲解知识点一：因式分解概念：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。
1.因式分解特征：因式分解的结果是几个整式的乘积。
2.因式分解与整式乘法关系：因式分解与整式的乘法是相反方向的变形知识点二：寻找公因式1、小学阶段我们学过求一组数字的最大公因（约）数方法：（短除法）例如：求20,36,80的最大公（约）数？最大公倍数？2、寻找公因式的方法：（一）因式分解的第一种方法（提公因式法）（重点）：1.提取公因式法：如果多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提到括号外面，把多项式转化成公因式与另一个多项式的积的形，这种因式分解的方法叫做提公因式法。
2.符号语言：)(c b a m mc mb ma ++=++ 3.提公因式的步骤：（1）确定公因式 （2）提出公因式并确定另一个因式（依据多项式除以单项式） 公因式原多项式另一个因式=4.注意事项：因式分解一定要彻底二、例题讲解模块1：考察因式分解的概念1. （2017春峄城区期末）下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（ ） A 、x x x x x 6)3)(3(692+-+=+- B 、103)2)(5(2-+=-+x x x x C 、22)4(168-=+-x x x D 、b a ab 326⋅=2. （2017秋抚宁县期末）下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（ ） A 、2)1(3222++=++x x x B 、22))((y x y x y x -=-+ C 、222)(y x y xy x -=+- D 、)(222y x y x -=- 3. （2017秋姑苏区期末）下列从左到右的运算是因式分解的是（ ） A 、1)1(21222+-=+-a a a a B 、22))((y x y x y x -=+- C 、22)13(169-=+-x x x D 、xy y x y x 2)(222+-=+4.（2017秋华德县校级期末）下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（ ） A 、15123-=-+x y x B 、2249)23)(23(b a b a b a -=-+C 、)11(22xx x x +=+ D 、)2)(2(28222y x y x y x -+=-5. （2017春新城区校级期中）下列各式从左到右的变形是因式分解的是（ ） A 、ab a b a a -=-2)( B 、1)2(122+-=+-a a a a C 、)1(2-=-x x x x D 、)(222xy y x y x xy -=-6. （2016秋濮阳期末）下列式子中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A 、23)2)(1(2+-=--x x x x B 、)2)(1(232--=+-x x x x C 、4)4(442+-=++x x x x D 、))((22y x y x y x -+=+模块2：考察公因式1. （2017春抚宁县期末）多项式3222320515n m n m n m -+的公因式是（ ） A 、mn 5 B 、225n m C 、n m 25 D 、25mn 2.（2017春东平县期中）把多项式332223224168bc a c b a c b a -+-分解因式，应提的公因式是（ ）A 、bc a 28-B 、3222c b aC 、abc 4-D 、33324c b a 3.（2017秋凉州区末）多项式92-a 与a a 32-的公因式是（ ） A 、3+a C 、3-a B 、1+a D 、1-a 4.（2017春邵阳县期中）多项式n m n my x y x 31128--的公因式是（ ）A 、nmy x B 、1-n myx C 、nmy x 4 D 、14-n myx5.（2016春深圳校级期中）多项式mx mx mx 1025523-+-各项的公因式是（ ）A 、25mxB 、35mx - C 、mx D 、mx 5- 6.下列各组代数式中没有公因式的是（ ） A 、)(5b a m -与a b - B 、2)(b a +与b a -- C 、y mx +与y x + D 、ab a +-2与22ab b a -7.观察下列各组式子：①b a +2和b a +；②)(5b a m -和b a +-；③)(3b a +和b a --；④22y x -和22y x +。
2020年初一数学(下)期中复习《因式分解》含答案
初一下数学期中复习因式分解一．因式分解-提公因式法1．把下列各式分解因式：（1）ax﹣ay+az；（2）6a2b﹣15ab2+30a2b2；（3）10a（x﹣y）2﹣5b（y﹣x）；（4）x（a﹣x）（a﹣y）﹣y（x﹣a）（y﹣a）．2．因式分解：（x+1）（x+3）﹣33．（2019秋•徐汇区校级期中）（x﹣3y）（x﹣y）﹣（﹣x﹣y）24．因式分解：2m（a﹣b）﹣3n（b﹣a）6．（2018秋•如皋市期中）因式分解：（1）x2﹣10x （2）﹣8ax2+16axy﹣8ay2 6．（2017春•天宁区校级月考）因式分解：2x2﹣4x．8．（2017春•滨海县期末）因式分解：（1）3a（x﹣y）﹣5b（y﹣x）（2）x6﹣x2y4．9．（2015春•新沂市期中）分解因式：3x（a﹣b）﹣6y（b﹣a）10．（2013春•常州期中）因式分解：3a2﹣6a2b+2ab．二．因式分解-运用公式法12．分解因式：（1）16x2﹣8xy+y2；（2）a2（x﹣y）﹣b2（x﹣y）．13．（2019春•泰兴市期中）因式分解．（1）4x2﹣9y2 （2）x2+2xy+2y214．分解因式：（a2+1）2﹣4a2．15．（2018春•江宁区校级月考）分解因式．（1）（m+1）（m﹣9）+8m （2）（x2﹣x）2﹣（x﹣1）2 15．（2018春•工业园区期末）分解因式：x4﹣2x2+1．17．（2020春•灌云县期中）因式分解：（1）2m（a﹣b）﹣3n（b﹣a）（2）8a2﹣2b2 （3）4+12（x﹣y）+9（x﹣y）218．（2019秋•崇川区校级期末）分解因式：（1）4x2y﹣9y （2）（a2+4）2﹣16a219．因式分解（1）4a2﹣9；（2）3ax2+6axy+3ay2．20．分解因式：（1）9ax2﹣ay2；（2）2x3y+4x2y2+2xy3．21．（2020春•东台市期中）因式分解①2x2﹣8 ②x3﹣2x2y+xy2 ③（x2+4）2﹣16x2．四．因式分解-分组分解法23．分解因式：x2+y2+2xy﹣1．24．（2018春•玄武区校级期中）因式分解（1）m2（x﹣2）+m（2﹣x）（2）（x+y）2﹣4（x+y﹣1）；（3）（x2+y2）2﹣4x2y2；（4）x3+x2y﹣xy2﹣y3．25．（2018秋•启东市期中）分解因式（1）16﹣a4 （2）y3﹣6xy2+9x2y（3）（m+n）2﹣4m（m+n）+4m2 （4）9﹣a2+4ab﹣4b2（1）a4﹣16 （2）x2﹣2xy+y2﹣9 （3）n2（m﹣2 ）+（2﹣m）27．（2017春•苏州期中）分解因式：（1）2a3﹣8a（2）4a（x﹣y）﹣2b（y﹣x）（4）（x2+4）2﹣16x2（4）2xy﹣x2+1﹣y2．28．（2017春•江阴市校级月考）因式分解（1）x3﹣4x （2）﹣2a2+4a﹣2（3）x2﹣5x﹣6 （4）x2﹣4y2+x+2y．29．（2016春•鼓楼区校级期中）分解因式（1）4x2﹣36；（2）﹣4m3+8m2+32m；（4）（y2﹣1）2﹣6（y2﹣1）+9；（4）a2+ac﹣bc﹣b2．（1）3x﹣12x3 （2）a3﹣4ab2（3）（2x+y）2﹣（x+2y）2 （4）a2﹣4a+4﹣c2．31．（2016秋•张家港市校级月考）因式分解：（1）3ax﹣3ay2（2）（a+b）2﹣a2 （3）3a（x﹣y）+9（y﹣x）（4）x4﹣18x2+81 （5）x2﹣5x+6 （6）a2+2a+1﹣b2．32．（2016春•江阴市校级月考）因式分解：（1）3a5﹣12a4+9a3（2）3a2﹣6ab+3b2﹣12c2．五．因式分解-十字相乘法等33．（2019春•常熟市期末）将下列各式分解因式：（1）x2﹣5x﹣6；（2）8x2﹣8x+2；（3）a2（x﹣y）+b2（y﹣x）．（1）9x2﹣25 （2）x4y4﹣8x2y2+16（3）a2（x﹣y）﹣b2（x﹣y）（4）x2﹣xy﹣6y235．（2019春•吴江区期中）分解因式：（1）ax2﹣6ax+9a （2）（m+1）（m﹣9）+8m （3）a4+3a2﹣436．（2019春•丹阳市期中）分解因式（1）6xz﹣9xy （2）8a3﹣8a2+2a（3）2ax2﹣18a3 （4）x2﹣4x﹣1237．（2019春•常熟市期中）分解因式：（1）3a2﹣6a+3；（2）a2﹣ab﹣6b2；（3）9a2（2x﹣y）+（y﹣2x）（1）x4﹣81 （2）x2﹣x﹣2 （3）2x2y﹣8xy+8y 39．分解因式：（a2+a）2﹣8（a2+a）+12．40．（2018春•玄武区校级月考）分解下列因式（1）a2（x﹣y）+b2（y﹣x）（2）16x4﹣8x2y2+y4 （3）（x2+4）2﹣16x2 （4）36（a+b）2﹣4（a﹣b）2 （5）x2﹣6x﹣1641．（2018春•常熟市期末）将下列各式分解因式（1）3x（a﹣b）﹣9y（b﹣a）；（2）a2﹣4a﹣12；（3）81x4﹣72x2y2+16y442．（2018春•相城区期中）将下列各式分解因式：（1）2ax2﹣8a （2）x2﹣6xy+5y2（3）（2m﹣n）2﹣6n（2m﹣n）+9n2 （4）a2﹣b2+2b﹣1一．因式分解-提公因式法1．（1）ax﹣ay+az＝a（x﹣y+z）；（2）6a2b﹣15ab2+30a2b2＝3ab（2a﹣5b+10ab）；（3）10a（x﹣y）2﹣5b（y﹣x）＝10a（x﹣y）2+5b（x﹣y）＝5（x﹣y）[2a（x﹣y）+b] ＝5（x﹣y）（2ax﹣2ay+b）；（4）x（a﹣x）（a﹣y）﹣y（x﹣a）（y﹣a）＝x（a﹣x）（a﹣y）﹣y（a﹣x）（a﹣y）＝（a﹣x）（a﹣y）（x﹣y）．2．（x+1）（x+3）﹣3＝x2+4x+3﹣3＝x2+4x＝x（x+4），3．（x﹣3y）（x﹣y）﹣（﹣x﹣y）2＝x2﹣xy﹣3xy+y2﹣（x2+xy+y2），＝x2﹣xy﹣3xy+y2﹣x2﹣xy﹣y2，＝﹣xy+y2，＝﹣y（x﹣y）．4．2m（a﹣b）﹣3n（b﹣a）＝2m（a﹣b）+3n（a﹣b）＝（a﹣b）（2m+3n）．5．3x2（x﹣2y）﹣18x（x﹣2y）﹣27（2y﹣x）＝3x2（x﹣2y）﹣18x（x﹣2y）+27（x﹣2y）＝3（x﹣2y）（x2﹣6x+9）＝3（x﹣2y）（x﹣3）2．6．（1）x2﹣10x＝x（x﹣10）；（2）﹣8ax2+16axy﹣8ay2＝﹣8a（x2﹣2xy+y2）＝﹣8a（x﹣y）2．7．2x2﹣4x＝2x（x﹣2）．8．（1）3a（x﹣y）﹣5b（y﹣x）＝（x﹣y）（3a+5b）（2）x6﹣x2y4＝x2（x4﹣y4）＝x2（x2﹣y2）（x2+y2）＝x2（x﹣y）（x+y）（x2+y2）9．3x（a﹣b）﹣6y（b﹣a）＝3x（a﹣b）+6y（a﹣b）＝3（a﹣b）（x+2y）．10．3a2﹣6a2b+2ab＝a（3a﹣6ab+2b）．11．6a（b﹣1）2﹣2（1﹣b）2＝2（b﹣1）2（3a﹣1）．二．因式分解-运用公式法12．（1）16x2﹣8xy+y2＝（4x﹣y）2（2）a2（x﹣y）﹣b2（x﹣y）＝（x﹣y）（a2﹣b2）＝（x﹣y）（a+b）（a﹣b）．13．（1）4x2﹣9y2＝（2x+3y）（2x﹣3y）（2）x2+2xy+2y2＝（x2+4xy+4y2）＝（x+2y）2．14．（a2+1）2﹣4a2．＝（a2+1+2a）（a2+1﹣2a）＝（a+1）2（a﹣1）2．15．（1）（m+1）（m﹣9）+8m＝m2﹣8m﹣9+8m＝m2﹣9＝（m+3）（m﹣3）；＝（x+1）（x﹣1）3．16．x4﹣2x2+1＝（x2﹣1）2＝（x+1）2（x﹣1）2．三．提公因式法与公式法的综合运用17．（1）2m（a﹣b）﹣3n（b﹣a）＝2m（a﹣b）+3n（a﹣b）＝（a﹣b）（2m+3n）（2）8a2﹣2b2＝2（4a2﹣b2）＝2（2a+b）（2a﹣b）（3）4+12（x﹣y）+9（x﹣y）2＝[2+3（x﹣y）]2＝（2+3x﹣3y）218．（1）4x2y﹣9y＝y（4x2﹣9）＝y（2x+3）（2x﹣3）（2）（a2+4）2﹣16a2＝（a2+4﹣4a）（a2+4+4a）＝（a+2）2（a﹣2）219．（1）4a2﹣9＝（2a+3）（2a﹣3）（2）3ax2+6axy+3ay2＝3a（x2+2xy+y2）＝3a（x+y）220．（1）9ax2﹣ay2＝a（9x2﹣y2）＝a（3x+y）（3x﹣y）（2）2x3y+4x2y2+2xy3＝2xy（x2+2xy+y2）＝2xy（x+y）221．①2x2﹣8＝2（x2﹣4）＝2（x﹣2）（x+2）②x3﹣2x2y+xy2═x（x2﹣2xy+y2）＝x（x﹣y）2③（x2+4）2﹣16x2＝（x2+4x+4）（x2﹣4x+4）＝（x+2）2（x﹣2）222．（1）x2﹣4＝（x+2）（x﹣2）；（2）x3﹣2x2+x＝x（x2﹣2x+1）＝x（x﹣1）2．四．因式分解-分组分解法23．x2+y2+2xy﹣1＝（x+y）2﹣1＝（x+y﹣1）（x+y+1）．24．（1）m2（x﹣2）+m（2﹣x）＝m2（x﹣2）﹣m（x﹣2）＝（x﹣2）（m2﹣m）＝m（x﹣2）（m﹣1）；（2）（x+y）2﹣4（x+y﹣1）＝（x+y）2﹣4（x+y）+4＝（x+y﹣2）2；（3）（x2+y2）2﹣4x2y2＝（x2+y2+2xy）（x2+y2﹣2xy）＝（x+y）2（x﹣y）2；（4）x3+x2y﹣xy2﹣y3＝x2（x+y）﹣y2（x+y）＝（x+y）（x2﹣y2）＝（x+y）2（x﹣y）．25．（1）16﹣a4＝（4+a2）（4﹣a2）＝（4+a2）（2+a）（2﹣a）（2）y3﹣6xy2+9x2y＝y（y2﹣6xy+9x2）＝y（y﹣3x）2（3）（m+n）2﹣4m（m+n）+4m2＝（m+n﹣2m）2＝（n﹣m）2（4）9﹣a2+4ab﹣4b2＝9﹣（a﹣2b）2＝（3﹣a+2b）（3+a﹣2b）26．（1）a4﹣16＝（a2+4）（a2﹣4）＝（a2+4）（a+2）（a﹣2）（2）x2﹣2xy+y2﹣9＝（x﹣y）2﹣32＝（x﹣y+3）（x﹣y﹣3）（3）n2（m﹣2 ）+（2﹣m）＝（m﹣2）（n2﹣1）＝（m﹣2）（n+1）（n﹣1）27．（1）2a3﹣8a＝2a（a2﹣4）＝2a（a+2）（a﹣2）；（2）4a（x﹣y）﹣2b（y﹣x）＝2（x﹣y）（2a+b）；（3）（x2+4）2﹣16x2＝（x2+4+4x）（x2+4﹣4x）＝（x+2）2（x﹣2）2；（4）2xy﹣x2+1﹣y2＝1﹣（x﹣y）2＝（1+x﹣y）（1﹣x+y）．28．（1）x3﹣4x＝x（x2﹣4）＝x（x+2）（x﹣2）（2）﹣2a2+4a﹣2＝﹣2（a2﹣2a+1）＝﹣2（a﹣1）2（3）x2﹣5x﹣6＝（x﹣6）（x+1）（4）x2﹣4y2+x+2y＝（x+2y）（x﹣2y）+（x+2y）＝（x+2y）（x﹣2y+1）29．（1）4x2﹣36＝4（x2﹣9）＝4（x+3）（x﹣3）（2）﹣4m3+8m2+32m＝﹣4m（m2﹣2m﹣8）＝﹣4m（m+2）（m﹣4）（3）（y2﹣1）2﹣6（y2﹣1）+9＝（y2﹣1﹣3）2＝[（y+2）（y﹣2）]2＝（y+2）2（y﹣2）2（4）a2+ac﹣bc﹣b2＝（a+b）（a﹣b）+c（a﹣b）＝（a﹣b）（a+b+c）30．（1）3x﹣12x3＝3x（1﹣4x2）＝3x（1+2x）（1﹣2x）（2）a3﹣4ab2＝a（a2﹣4b2）＝a（a+2b）（a﹣2b）；（3）（2x+y）2﹣（x+2y）2＝（2x+y﹣x﹣2y）（2x+y+x+2y）＝（x﹣y）（3x+3y）＝3（x﹣y）（x+y）；（4）a2﹣4a+4﹣c2＝（a﹣2）2﹣c2＝（a﹣2+c）（a﹣2﹣c）．31．（1）3ax﹣3ay2＝3a（x﹣y2）；（2）（a+b）2﹣a2＝（a+b﹣a）（a+b+a）＝b（2a+b）；（3）3a（x﹣y）+9（y﹣x）＝3（x﹣y）（a﹣3）；（4）x4﹣18x2+81＝（x2﹣9）2＝（x+3）2（x﹣3）2；（5）x2﹣5x+6＝（x﹣3）（x﹣2）；（6）a2+2a+1﹣b2＝（a+1）2﹣b2＝（a+1+b）（a+1﹣b）．32．（1）3a5﹣12a4+9a3＝3a3（a2﹣4a+3）＝3a3（a﹣3）（a﹣1）（2）3a2﹣6ab+3b2﹣12c2＝3（a2﹣2ab+b2﹣4c2）＝3[（a﹣b）2﹣4c2]＝3（a﹣b+2c）（a﹣b﹣2c）五．因式分解-十字相乘法等33．（1）x2﹣5x﹣6＝（x﹣6）（x+1）（2）8x2﹣8x+2＝2（4x2﹣4x+1）＝2（2x﹣1）2（3）a2（x﹣y）+b2（y﹣x）＝（x﹣y）（a2﹣b2）＝（x﹣y）（a+b）（a﹣b）34．（1）9x2﹣25＝（3x+5）（3x﹣5）（2）x4y4﹣8x2y2+16＝（x2y2﹣4）2＝（xy+2）2（xy﹣2）2（3）a2（x﹣y）﹣b2（x﹣y）＝（a2﹣b2）（x﹣y）＝（a+b）（a﹣b）（x﹣y）（4）x2﹣xy﹣6y2＝（x﹣3y）（x+2y）35．（1）ax2﹣6ax+9a＝a（x2﹣6x+9）＝a（x﹣3）2；（2）（m+1）（m﹣9）+8m＝m2﹣8m﹣9+8m＝m2﹣9＝（m+3）（m﹣3）；（3）a4+3a2﹣4＝（a2﹣1）（a2+4）＝（a﹣1）（a+1）（a2+4）．36．（1）6xz﹣9xy＝3x（2z﹣3y）（2）8a3﹣8a2+2a＝2a（4a2﹣4a+1）＝2a（2a﹣1）2（3）2ax2﹣18a3＝2a（x2﹣9a2）＝2a（x+3a）（x﹣3a）（4）x2﹣4x﹣12＝（x﹣6）（x+2）37．（1）3a2﹣6a+3＝3（a2﹣2a+1）＝3（a﹣1）2；（2）a2﹣ab﹣6b2＝（a﹣3b）（a+2b）；（3）9a2（2x﹣y）+（y﹣2x）＝9a2（2x﹣y）﹣（2x﹣y）＝（2x﹣y）（9a2﹣1）＝（2x﹣y）（3a+1）（3a﹣1）．38．（1）x4﹣81＝（x2+9）（x2﹣9）＝（x2+9）（x+3）（x﹣3）；（2）x2﹣x﹣2＝（x+1）（x﹣2）；（3）2x2y﹣8xy+8y＝2y（x2﹣4x+4）＝2y（x﹣2）2．39．（a2+a）2﹣8（a2+a）+12＝（a2+a﹣2）（a2+a﹣6）＝（a+2）（a﹣1）（a+3）（a﹣2）．40．（1）a2（x﹣y）+b2（y﹣x）＝a2（x﹣y）﹣b2（x﹣y）＝（a2﹣b2）（x﹣y）＝（x﹣y）（a+b）（a﹣b）；（2）16x4﹣8x2y2+y4＝（4x2﹣y2）2＝（2x+y）2（2x﹣y）2；（3）（x2+4）2﹣16x2＝（x2+4+4x）（x2+4﹣4x）＝（x+2）2（x﹣2）2；（4）36（a+b）2﹣4（a﹣b）2＝（6a+6b）2﹣（2a﹣2b）2＝（6a+6b+2a﹣2b）（6a+6b﹣2a+2b）＝（8a+4b）（4a+8b）＝16（2a+b）（a+2b）；（5）x2﹣6x﹣16＝（x﹣8）（x+2）．41．（1）3x（a﹣b）﹣9y（b﹣a）＝3x（a﹣b）+9y（a﹣b）＝3（a﹣b）（x+3y）；（2）a2﹣4a﹣12＝（a﹣6）（a+2）；（3）81x4﹣72x2y2+16y4＝（9x2﹣4y2）2＝（3x+2y）2（3x﹣2y）2．42．（1）2ax2﹣8a＝2a（x2﹣4）＝2a（x+2）（x﹣2）；（2）x2﹣6xy+5y2＝（x﹣y）（x﹣5y）；（3）（2m﹣n）2﹣6n（2m﹣n）+9n2＝（2m﹣n﹣3n）2＝4（m﹣2n）2；（4）a2﹣b2+2b﹣1＝a2﹣（b﹣1）2＝（a+b﹣1）（a﹣b+1）．。
提公因式法(有答案解析)
2.2 提公因式法A卷：基础题一、选择题1．下列各组代数式中，没有公因式的是（）A．5m（a－b）和b－a B．（a+b）2和－a－bC．mx+y和x+y D．－a2+ab和a2b－ab22．下列多项式中，能用提公因式法分解因式的是（）A．x2－y B．x2+2x C．x2+y2D．x2－xy+y23．下列用提公因式法分解因式不正确的是（）A．12abc－9a2b2c=3abc（4－3ab）B．3x2y－3xy+6y=3y（x2－x+2y）C．－a2+ab－ac=－a（a－b+c）D．x2y+5xy+y=y（x2+5x+1）4．（－2）2007+（－2）2008等于（）A．2 B．22007C．－22007D．－220085．把代数式xy2－9x分解因式，结果正确的是（）A．x（y2－9）B．x（y+3）2C．x（y+3）（y－3）D．x（y+9）（y －9）二、填空题6．9x2y－3xy2的公因式是______．7．分解因式：－4a3+16a2b－26ab2=_______．8．多项式18x n+1－24x n的公因式是______，提取公因式后，另一个因式是______．9．a，b互为相反数，则a（x－2y）－b（2y－x）的值为________．10．分解因式：a3－a=______．三、解答题11．某中学有三块草坪，第一块草坪的面积为（a+b）2m2，第二块草坪的面积为a（•a+b）m2，第三块草坪的面积为（a+b）bm2，求这三块草坪的总面积．12．观察下列等式，你得出了什么结论？并说明你所得的结论是正确的．1×2+2=4=22；2×3+3=9=32；3×4+4=16=42；4×5+5=25=52；…B卷：提高题一、七彩题1．（巧题妙解题）计算：123369510157142113539155152572135⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯.2．（多题一思路路）（1）将m 2（a －2）+m （2－a ）分解因式，正确的是（ ） A ．（a －2）（m 2－m ） B ．m （a －2）（m+1） C ．m （a －2）（m －1） D ．m （2－a ）（m －1） （2）若x+y=5，xy=10，则x 2y+xy 2=_______；（3）mn 2（x －y ）3+m 2n （x －y ）4分解因式后等于_______． 二、知识交叉题3．（科内交叉题）你对分解因式的了解是不是多了一些？请你猜一猜： 32005－4×32004+•10×32003能被7整除吗？4．（科内交叉题）已知串联电路的电压U=IR1+IR2+IR3，当R1=12.9Ω，R2=18.5Ω，R3=18.6Ω，I=2.3A时，求U的值．三、实际应用题5．在美丽的海滨步行道上，整齐地排着十个花坛，栽种了蝴蝶兰等各种花奔，•每个花坛的形状都相同，中间是矩形，两头是两个半圆形，半圆的直径是中间矩形的宽，若每个花坛的宽都是6m，每个花坛中间矩形长分别为36m，25m，30m，28m，•25m，•32m，24m，24m，22m和32m，你能求出这些花坛的总面积吗？你用的方法简单吗？四、经典中考题6．（2008，重庆，3分）分解因式：ax－ay=______．7．（2007，上海，3分）分解因式：2a2－2ab=_______．C卷1．（规律探究题）观察下列等式：12+2×1=1×（1+2）；22+2×2=2×（2+2）；32+2×3=3×（3+2）；…则第n个等式可以表示为_______．2．（结论开放题）如图2－2－1，由一个边长为a的小正方形与两个长，宽分别为a，•b 的小矩形组成图形ABCD，则整个图形可表达出一些有关多项式分解因式的等式，请你写出其中任意三个等式．3．（阅读理解题）先阅读下面的例子，再解答问题．求满足4x（2x－1）－3（1－2x）=0的x的值．解：原方程可变形为（2x－1）（4x+3）=0．所以2x－1=0或4x+3=0，所以x1=12，x2=－34．注：我们知道两个因式相乘等于0，那么这两个因式中至少有一个因式等于0；•反过来，如果两个因式中有一个因式为0，它们的积一定为0，请仿照上面的例子，求满足5x （x－2）－4（2－x）=0的x的值．3.先阅读下面的材料，再分解因式：要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它的前两项分成一组，并提出a；•把它的后两项分成一组，并提出b，从而得到a（m+n）+b（m+n）．这时，由于a（m+n）+b（m+n）•又有公因式（m+n），于是可提公因式（m+n），从而得到（m+n）（a+b）．因此有am+•an+•bm+bn=（am+an）+（bm+bn）=a（m+n）+b（m+n）=（m+n）（a+b）．这种因式分解的方法叫做分组分解法．•如果把一个多项式的项分组并提出公因式后，它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以利用分组分解法来分解因式了．请用上面材料中提供的方法分解因式：（1）a2－ab+ac－bc；（2）m2+5n－mn－5m．参考答案A卷一、1．C 点拨：A中公因式是（a－b），B中公因式是（a+b），D中公因式是（a－b）．2．B 点拨：x2+2x=x（x+2）．3．B 点拨：3x2y－3xy+6y=3y（x2－x+2）．4．B 点拨：（－2）2007+（－2）2008=（－2）2007+（－2）2007×（－2）=（－2）2007×（1－2）=（－1）×（－2）2007=22007．5．C 点拨：xy2－9x=x（y2－9）=x（y2－32）=x（y+3）（y－3）．二、6．3xy 点拨：9x2y－3xy2=3xy·3x－3xy·y=3xy（3x－y）．7．－2a（2a2－8ab+13b2）点拨：－4a3+16a2b－26ab2=－2a（2a2－8ab+13b）．8．6x n；3x－4 点拨：18x n+1－24x n=6x n·3x－6x n·4=6x n（3x－4）．9．0 点拨：因为a+b=0，所以a（x－2y）－b（2y－x）=a（x－2y）+b（x－2y）=（x－2y）（a+b）=0．10．a（a+1）（a－1）点拨：a3－a=a（a2－1）=a（a+1）（a－1）．三、11．解：（a+b）2+a（a+b）+b（a+b）=（a+b）[（a+b）+a+b]=（a+b）（2a+2b）=2（a+b）2（m2）点拨：本题是整式的加法运算，利用提公因式法，很快得到运算结果．12．解：结论是：n（n+1）+（n+1）=（n+1）2．说明：n（n+1）+（n+1）=（n+1）（n+1）=（n+1）2．点拨：本题是规律探究题，把所给等式竖着排列，易于观察它们之间存在的规律．B卷一、1．解：原式=33333333123(1357)1232 135(1357)1355⨯⨯⨯+++⨯⨯==⨯⨯⨯+++⨯⨯．点拨：本题的巧妙之处是利用提公因式法分解因式可使计算过程简化，且不易出错．2．（1）C （2）50 （3）mn（x－y）3（n+mx－my）点拨：（1）m2（a－2）+m（2－a）=m2（a－2）－m（a－2）=m（a－2）（m －1），故选C．（2）x2y+xy2=xy（x+y）．因为x+y=5，xy=10，所以原式=10×5=50．（3）mn2（x－y）3+m2n（x－y）4=mn（x－y）3[n+m（x－y）]=mn（x－y）3（n+mx－my）．以上三题的思路是一致的，都是利用提公因式法分解因式，其中第（2）•题分解因式后再代入求值．二、3．解：能，理由：32005－4×32004+10×32003=32003×（32－4×3+10）=32003×7，故能被7整除．点拨：对一个算式进行运算，运算的结果若有因数7，说明它能被7整除．4．解：U=IR1+IR2+IR3=I（R1+R2+R3）=2.3×（12.9+18.5+18.6）=2.3×50=115（V）．点拨：遇到运算比较复杂的题目，可尝试用分解因工的方法把式子化简．三、5．解：S=（π·32+36×6）+（π·32+25×6）+（π·32+30×6）+…+（π·32+32×6）=10×π·32+6×（36+25+30+…+32）≈1951（m2）．四、6．a（x－y）7．2a（a－b）C卷1．n2+2n=n（n+2）2．解：a（a+b）+ab=a（a+2b）；a（a+2b）－ab=a（a+b）；a（a+2b）－a2=2ab；a2+2ab=a（a+2b）；a（a+2b）－a·2b=a2；a（a+2b）－a（a+b）=ab．点拨：答案不唯一，从上述等式中任写三个即可．3．解：5x（x－2）－4（2－x）=0，5x（x－2）+4（x－2）=0，（x－2）（5x+4）．=0，所以x－2=0•或5x+4=0，所以x1=2，x2=－45点拨：观察以上解题特点发现等号左边为0，左边为因式乘积的形式，所以只要把5x（x－2）－4（2－x）=0左边因式分解即可．3.解：（1）a2－ab+ac－bc=（a2－ab）+（ac－bc）=a（a－b）+c（a－b）=（a－b）（a+c）．（2）m2+5n－mn－5m=（m2－mn）+（5n－5m）=m（m－n）+5（n－m）=m（m－n）－5（m－n）=（m－n）（m－5）．。
因式分解（一）提公因式法（含习题及答案）
因式分解（一）——提公因式法教学目标：因式分解的概念，和整式乘法的关系，公因式的相关概念，用提公因式法分解因式，学会逆向思维，渗透化归的思想方法.教学重点和难点：1. 因式分解；2. 公因式；3. 提公因式法分解因式.教学过程：一、提出问题，感知新知1．问题：把下列多项式写成整式的乘积的形式(1)x2+x =_________ (2)x2−1 =_________ (3)am+bm+cm =_ _学生思考，得出结果．2．分析特点：根据整式乘法和逆向思维原理(1)x2+x = x(x+1)；(2)x2−1 = (x+1)(x−1)；(3)am+bm+cm = m(a+b+c)分析特点：等号的左边：都是多项式等号的右边：几个整式的乘积形式.3．得到新知总结概念：像这种把一个多项式化成几个整式的积的形式的变形叫做把这个多项式因式分解，也叫把这个多项式分解因式.与整式乘法的关系：是整式乘法的相反方向的变形.注意：因式分解不是运算，只是恒等变形.形式：多项式 = 整式1×整式2×…×整式n4．分析例题：(1)x2+x =_________ (2)am+bm+cm =_ _(1)中各项都有一个公共的因式x，(2)中各项都有一个公共因式m.因此，我们把每一项都含有的因式叫做公因式.5．认识公因式例：多项式 14m3n2+7m2n−28m3n3的公因式是？7m2n教师分析，学生解答二、学生动手，总结方法1．我们已经学习了公因式，下面请大家根据自己的理解完成下列的因式分解.把8a3b2−12ab3c分解因式.2．学生动手.3．分析过程：①先确定公因式：4ab2；②然后用每一项去除以公因式；③结果：4ab2(2a2b−3bc).4．总结方法：以上①②③的分解过程的方法叫做提公因式法.5．加强练习例：因式分解：① 2a(b+c)−3(b+c) ②3x3−6xy+x ③−4a3+16a2−18a ④6(x−2)+x(2−x)解：① 2a(b+c)−3(b+c) = (b+c)(2a−3)②3x3−6xy+x = x(3x2−6y+1)③−4a3+ 16a2−18a = −2a(2a2−8a+9)④6(x−2)+x(2−x) = (x−2)(6−x)三、小结：1．因式分解的概念；2．公因式；3．提公因式法.因式分解（二）——公式法教学目标：运用平方差公式和完全平方公式分解因式，能说出平方差公式和完全平方公式的特点，会用提公因式法与公式法分解因式．培养学生的观察、联想能力，进一步了解换元的思想方法．并能说出提公因式在这类因式分解中的作用，能灵活应用提公因式法、公式法分解因式以及因式分解的标准．教学重点和难点：1．平方差公式；2．完全平方公式；3．灵活运用3种方法．教学过程：一、提出问题，得到新知观察下列多项式：x2−25和9x2−y2它们有什么共同特征？学生思考，教师总结：(1)它们有两项，且都是两个数的平方差；(2)会联想到平方差公式．公式逆向：a2−b2 = (a+b)(a−b)如果多项式是两数差的形式，并且这两个数又都可以写成平方的形式，那么这个多项式可以运用平方差公式分解因式．二、运用公式例1：填空①4a2 = ( )2②b2 = ( )2③ 0.16a4 =( )2④1.21a2b2 = ( )2⑤2x4 = ( )2⑥5x4y2 = ( )2解答：① 4a2 = ( 2a)2；②b2 = (b)2；③ 0.16a4 = ( 0.4a2)2；④ 1.21a2b2 = (1.1ab)2；⑤2x4 = (x2)2；⑥5x4y2 = (x2y)2.例2：下列多项式能否用平方差公式进行因式分解①−1.21a2+0.01b2②4a2+625b2③16x5−49y4④−4x2−36y2解答：①−1.21a2+0.01b2能用②4a2+625b2不能用③16x5−49y4不能用④−4x2−36y2不能用问题：根据学习用平方差公式分解因式的经验和方法，分析和推测运用完全平方公式分解因式吗？能够用完全平方公式分解因式的多项式具有什么特点？分析：整式乘法的平方差公式反过来写即是分解因式的平方差公式．同样道理，把整式乘法的完全平方公式反过来写即分解因式的完全平方公式．即：a2±2ab+b2 = (a±b)2公式特点：多项式是一个二次三项式，其中有两个数的平方和还有这两个数的积的2倍或这两个数的积的2倍的相反数．例：分解因式：①16x2+24x+9 ②−x2+4xy−4y2解答：①16x2+24x+9 = (4x)2+2•3•(4x)+32 = (4x+3)2②−x2+4xy−4y2 = −[x2−2•x•2y+(2y)2] = −(x−2y)2随堂练习：三、小结：1．平方差公式；2．完全平方公式．典型例题1．如果a(a−b)2−(b−a) = (a−b)·M，那么M等于( )A．a(a−b) B．−a(a−b) C．a2−ab−1 D．a2−ab+1答案：D说明：因为a(a−b)2−(b−a) = a(a−b)2+(a−b) = (a−b)[a(a−b)+1] = (a−b)(a2−ab+1)，所以M = a2−ab+1，答案为D．2．下列各项的两个多项式中没有公因式的一组是( )A．6xy+8yx2与−4x−3 B．(a+b)2与−a−bC．a−b与−a2+ab D．ax+y与x+y答案：D说明：选项A，6xy+8yx2= 2xy(3+4x)，与−4x−3有公因式4x+3；选项B，(a+b)2与−a−b 有公因式a+b；选项C，−a2+ab = −a(a−b)，与a−b有公因式a−b；选项D，ax+y与x+y没有公因式，所以答案为D．3．下列式子中，不能用平方差公式分解因式的是( )A．−m4−n2 B．−16x2+y 2 C．−x4 D．(p+q)2−9答案：A说明：选项A不能用平方差公式分解因式；选项B，−16x2+y2= (y+4x)(y−4x)，可以用平方差公式分解因式；选项C，−x4 = (+x2)(−x2)，可以用平方差公式分解因式；选项D，(p+q)2−9 = [(p+q)+3][(p+q)−3]，也可以用平方差公式分解因式；所以正确答案为A．4．下列多项式中，能用公式法进行因式分解的是( )A．x2−xy+y2 B．x2+2xy−y2 C．x2+xy+y2 D．−x2+2xy−y2答案：D说明：观察四个选项中多项式的形式，不难得出A、B、C三个选项中的多项式不能用公式法进行因式分解，选项D，−x2+2xy−y2 = −(x2−2xy+y2) = −(x−y)2，可以用完全平方公式进行因式分解，所以答案为D．习题精选选择题：1．若多项式3x2+mx−4分解因式为(3x+4)(x−1)，则m的值为( )A．7 B．1 C．−2D．3答案：B说明：因为因式分解并不改变多项式的值，所以(3x+4)(x−1) = 3x2+mx−4，而(3x+4)(x−1) = 3x2+4x−3x−4 = 3x2+x−4，因此，m = 1，答案为B．2．下列各式的分解因式中，正确的是( )A．3a2x−6bx+3x = 3x(a2−2b) B．xy2+x2y =xy(y+x) C．−a2+ab−ac = −a(a+b−c) D．9xyz−6x2y2= 3xyz(3−2xy)答案：B说明：选项A，3a2x−6bx+3x = 3x(a2−2b+1)≠3x(a2−2b)，A错；选项B正确；选项C，−a2+ab−ac = −a(a−b+c)≠−a(a+b−c)，C错；选项D，9xyz−6x2y2 = 3xy(3z−2xy)≠3xyz(3−2xy)，D错；答案为B．3．若9x2−kxy+4y2是一个完全平方式，则k的值为( )A．6 B．±6 C．12 D．±12答案：D说明：由已知可设9x2−kxy+4y2 = (mx+ny)2 = m2x2+2mnxy+n2y2，所以m2 = 9，n2 = 4，2mn = k，由m2 = 9，n2 = 4可得m2n2 = 36，即(mn)2 = 36，则有mn =±6，所以k = 2mn =±12，答案为D．4．分解因式的结果为(x−2)(x+3)的多项式是( )A．x2+5x−6 B．x2−5x−6 C．x2+x−6D．x2−x−6答案：C说明：因为(x−2)(x+3) = x2−2x+3x−6 = x2+x−6，所以分解因式的结果为(x−2)(x+3)应该是x2+x−6，答案为C．5．下列从左边到右边的变形，是因式分解的是( )A．(x+1)(x−1) = x2−1 B．x2−1+x = (x+1)(x−1)+xC．x2−1 = (x+1)(x−1) D．2x·3x = 6x2答案：C说明：因式分解是把一个多项式化成几个整式的积的形式，则因式分解的结果首先应该是积的形式，因此，A、B都不正确；而选项D左边是两个单项式的乘积，它的变形过程只是简单的单项式乘以单项式的过程，不是因式分解，正确的答案应该是C．6．多项式5a3b3+ 15a2b−20a3b3的公因式是( )A．5a3b B．5a2b2 C．5a2b D．5a3b2答案：C说明：这个多项式中有三项，这三项的系数分别是5，15，−20，系数所含的公因式为5；第一项有因式a3，第二项中含因式a2，第三项中含因式a3，公因式则是a2，同样道理这三项还有公因式b，即这个多项式的公因式应该是5a2b，答案为C．7．下列分解变形中正确的是( )A．2(a+b)2−(2a+b) = 2(a+b)(a+b−1) B．xy(x−y)−x(y−x) =x(x−y)(y+1)C．5(y−x)2+3(x−y) = (y−x)(5x−5y+3) D．2a(a−b)2−(a−b) =(a−b)(a−b−1)答案：B说明：选项A，2a+b中没有a+b这个因式，因此，A中的变形是错误的；选项B，xy(x−y)−x(y−x) = (x−y)(xy+x) = x(x−y)(y+1)，B正确；选项C，5(y−x)2+3(x−y) =(y−x)[5(y−x)+3] = (y−x)(5y−5x+3)，C错误；选项D，2a(a−b)2−(a−b) = (a−b)[2a(a−b)−1] = (a−b)(2a2−2ab−1)，D错误；答案为B．8．下列式子中，能用平方差公式分解因式的是( )A．a2+4 B．−x2−y2 C．a3−1 D．−4+m2答案：D说明：根据平方差公式的形式，不难得到能用平方差公式分解因式的应该是−4+m2 = (m+2)(m−2)，答案为D．9．下列各题中，因式分解正确的是( )①(x−3)2−y2 = x2−6x+9−y2；②a2−9b2 = (a+9b)(a−9b)；③4x6−1 = (2x3+1)(2x3−1)；④(3x+2y)2−4y2 = 3x(3x+4y)A．①②③ B．②③④ C．③④ D．②③答案：C说明：①中的变形不是因式分解；②a2−9b2 = (a+3b)(a−3b)≠(a+9b)(a−9b)，②中因式分解错误；③4x6−1 = (2x3+1)(2x3−1)，③中因式分解正确；④(3x+2y)2−4y2 =(3x+2y+2y)(3x+2y−2y) = 3x(3x+4y)，④中因式分解正确，所以答案为C．解答题：1．把下列各式分解因式：①9(x+y)2−4(x−y)2；②−8a4b3+2a2b；③4(a+b)−(a+b)2−4；④(a−2)(a−3)+ 5a−42．答案：①(5x+y)(x+5y)；②2a2b(1+2ab)(1−2ab)；③−(a+b−2)2；④(a+6)(a−6)说明：①9(x+y)2−4(x−y)2 = [3(x+y)+2(x−y)][3(x+y)−2(x−y)] =(3x+3y+2x−2y)(3x+3y−2x+2y) = (5x+y)(x+5y)②−8a4b3+2a2b = 2a2b(−4a2b2+1) = 2a2b(1+2ab)(1−2ab)③4(a+b)−(a+b)2−4 = −[(a+b)2−4(a+b)+4] = −[(a+b)−2]2 = −(a+b−2)2④(a−2)(a−3)+5a−42 = a2−3a−2a+6+5a−42 = a2−36 = (a+6)(a−6)2．已知a、b、c为三角形的三条边，且满足：a2+b2+c2−ab−bc−ac = 0，试判断△ABC 的形状，并说明理由．答案：a = b = c，等边三角形说明：因为2(a2+b2+c2−ab−bc−ac) = 2a2+2b2+2c2−2ab−2bc−2ac= (a2−2ab+b2)+(a2−2ac+c2)+(b2−2bc+c2) = (a−b)2+(a−c)2+(b−c)2再由已知a2+b2+c2−ab−bc−ac = 0，知2(a2+b2+c2−ab−bc−ac) = (a−b)2+(a−c)2+(b−c)2 = 0因为(a−b)2≥0，(a−c)2≥0 ，(b−c)2≥0，所以(a−b)2 = 0，(a−c)2 = 0，(b−c)2 = 0即a = b = c，所以该三角形为等边三角形．3．已知矩形面积是(x+2)(x+3)+x2−4(x>0)，其中一边长是2x+1，求矩形的另一边长．答案：x+2说明：因为(x+2)(x+3)+x2−4 = (x+2)(x+3)+(x+2)(x−2) = (x+2)(x+3+x−2) =(x+2)(2x+1)，即该矩形的面积是(x+2)(2x+1)，而它的一边长为2x+1，所以它的另一边长为x+2．4．已知x3+x2+x+1 = 0，求1+x+x2+x3+…+x2003的值．答案：0说明：1+x+x2+x3+…+x2003 = (1+x+x2+x3)+(x4+x5+x6+x7)+…+(x4n+x4n+1+x4n+2+x4n+3)+…+(x2000+x2001+x2002+x2003) = (1+x+x2+x3)+x4(1+x+x2+x3)+...+x4n(1+x+x2+x3)+...+x2000(1+x+x2+x3) = (1+x+x2+x3)(1+x4+...+x4n+ (x2000)∵1+x+x2+x3 = 0，∴1+x+x2+x3+…+x2003 = (1+x+x2+x3)(1+x4+…+x4n+…+x2000) = 0。
人教版八年级下册数学专题复习及练习(含解析)：因式分解
专题14.3因式分解1.因式分解把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个式子因式分解.2.因式分解方法(1)提公因式法：找岀最大公因式.(2)公式法：①平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b) ②完全平方公式：a2±2ab+b2=(a±b)23.分解因式的一般步骤若有公因式，先提公因式；然后再考虑用公式法(平方差公式：孑一歹=(a+b)(a-2>),完全平方公式: /±2曰b+F=(a±bF)或英它方法分解；直到每个因式都不能再分解为止.【例题1】因式分解：ab-a= __________ •【例题2］把多项式4子-1分解因式，结果正确的是( )A. (4M1) (4a-1) B・(2M1) (2”1)C. (2a- 1) 2D・(2亦1) 2【例题3］分解因式3/ - 27/= __________ .【例题4】分解因式：xf - 2xy^x= _________ .【例题5】因式分解：/-9= _________ .【例题6】分解因式：_________________ ・一.选择题1.a'b - 6a'bTa：b分解因式得正确结果为( )A. a"b (a* - 6a+9) B・ a-b (a - 3) (a+3) C・ b (a" - 3) D・ a"b (a - 3)2.把多项式x2 - 6x+9分解因式，结果正确的是()A・(x - 3 ) 2 B・(x - 9)=C・(x+3) ( x - 3 ) D・(x+9) ( x - 9)3.多项式77x: - 13x - 3 0可因式分解成(7 x+a ) ( bx+c儿其中a > b、c均为整数，求a+b + c之值为何？( )A. 0 B・ 10 C・ 12 D・ 224.已知甲、乙、丙均为x的一次多项式，且其一次项的系数皆为正整数.若甲与乙相乘为X3- 4,乙与丙相乘为x=+15x - 34,则甲与丙相加的结果与下列哪一个式子相同？( )A. 2x+19 B・ 2x - 19 C・ 2x+15 D・ 2x - 155.把8a'-8a：+2a进行因式分解，结果正确的是( )A. 2a ( 4a: - 4a+l) B・ 8a: ( a - 1)C. 2a ( 2a - 1) 2 D・ 2a (2a+l) 26.多项式77x" - 13x - 30可因式分解成(7x-ra ) ( bx+c )，其中a. b c均为整数，求a+b + c之值为何？( )A. 0 B・ 10 C・ 12 D・ 227.已知甲、乙、丙均为x的一次多项式，且英一次项的系数皆为正整数.若甲与乙相乘为x c- 4,乙与丙相乘为x=+15x - 34,则甲与丙相加的结果与下列哪一个式子相同？( )A. 2x+19B. 2x - 19 C ・ 2x+15 D. 2x・ 158.把多项式亍+ax+b分懈因式，得(x+1) (x-3)则a, b的值分别是( )A. a=2t b=3 B・ a= - 2, b二・3 C・ a= - 2, b=3 D・ a=2, b= - 39.分解因式：16-丘二( )A. (4 - x) (4+x) B・(x - 4) (x+4) C. (8+x) (8 - x) D. (4 - x):10.将下列多项式因式分解，结果中不含有因式a+1的是( )A. a" - 1 B・ a"+a C・ a"+a - 2 D・(a+2) " - 2 (a+2) +1二、填空题11.分解因式：1-¥= _________ .12.分解因式：3a'b十6卅二__ ・13.分解因式X3—9x= _____1 0 114•已知实数x满足x+_=3,则x2 + —的值为___________ -X X15•因式分解：£・6a+9二____ ・16.分解因式：2^2 - 8/= ______________ .17.因式分解：a2 -2a = _________ .18.分解因式：x2 +x-2 = __________ ・19.分解因式.4丘一9二 _____ ・20.分解因式：a^b —ab= _______ ・21.分解因式：ax= - ay== ______________ .22.分解因式：a-16a= ________________ ・23.把多项式9a5 - ab：分解因式的结果是__________ .24._______________________________________ •把多项式ax：+2a*a'分解因式的结果是.25.分解因式3m l - 48= ____________ ・26・分解因式：ab 1 - 4ab:+4ab:= ______________ ・27.分解因式：(m+1) (m- 9) +8m二__________ ・28•将/ (x-2) +加(2-.Y)分解因式的结果是________________三、解答题29•已知a+b二3, ab=2,求代数式a5b+2aV+ab3的值.专题14.3因式分解1.因式分解把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个式子因式分解.2.因式分解方法(1)提公因式法：找岀最大公因式.(2)公式法：①平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b) ②完全平方公式：a2±2ab+b2=(a±b)23.分解因式的一般步骤若有公因式，先提公因式；然后再考虑用公式法(平方差公式：孑一歹=(a+b)(a-2>),完全平方公式: /±2曰b+F=(a±bF)或英它方法分解；直到每个因式都不能再分解为止.【例题1】因式分解：ab-a= ___________•【答案】a (6-1).【解析】提公因式a即可.ab- a=a (.b ■ 1 )・【点拨】本题考査了提取公因式法因式分解.关键是求岀多项式里各项的公因式，提公因式.【例题2】把多项式4/ - 1分解因式，结果正确的是( )A. (4亦1) (4a- 1)B. (2M1) (2”1)C. (2a- 1) 2D・(2M1) 2【答案】B【解析】如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法.平方差公式：=(a+6) (a- b)i完全平方公式：a:±2aM6:= (a±b) 5：4a:- 1= (2a+l) (2a- 1),【点拨】本题考査了分解因式，熟练运用平方差公式是解题的关键。
第12课 因式分解(1)——提公因式法
6. (例3)分解因式： (1)6x2＋2x; 2x(1＋3x)
(2)6x2y－4x3；
2x2(3y－2x)
(3)－x2＋3x; x(3－x)
(4)－3x－6y. －3(x＋2y)
7. 分解因式： (1)4x2－8x3y; 4x2(1－2xy)
(2)6xy－8x2y；
2xy(3－4x)
(3)－2m＋4n; －2(m－2n)
①数学的 ________________________ ；
②字母的 ________________________ .
4. (例2)填空：
(1)多项式6x2＋2x的公因式是 ________ ； 2x
(2)多项式6x2y－4x3的公因式是 ________ . 2x2 5. 填空： 4x2 ； (1)多项式4x2－8x3y的公因式是 ________ 2xy (2)多项式6xy－8x2y的公因式是 ________ .
知识点2：提公因式法分解因式 (1)x2－x＝x( (2)2x2－4x＝2x( )； ).
公因式：多项式中每项都有的 ________ ； 如：x2－x的公因式是x； 2x2－4x的公因式是2x.
像这样，把多项式的 ________ 提取出来，化成公因式与另一个多
项式乘积的形式，这种分解因式的方法叫提公因式法： 找公因式的方法
(x－4)(m＋n)
11. 分解因式： (1)x(a＋1)＋y(a＋1)； (a＋1)(x＋y)
(2)a(x－y)＋3(y－x)． (x－y)(a－3)
三、过关检测
第1关 12. 分解因式： a(x＋y) (1)ax＋ay＝ ________________ ； 2(x－3y) (2)2x－6y＝ ________________ ；
因式分解-提公因式法(含答案)
因式分解 - 提公因式法【知能点分类训练】知能点 1因式分解的意义1．以下从左到右的变形，属于因式分解的是（）．A．（ x+3）（x－ 3） =x2－ 9B． x2－ 9+x=（ x+3）（ x－ 3）－ x C． xy2－ x2y=xy（y－x）D． x2 +5x+4=x（ x+5+）2．以下变形不属于分解因式的是（）．A．x2－ 1=（ x+1）（ x－ 1）B． x2+x+1=（ x+1） 242C． 2a5－ 6a2=2a2（ a3－ 3）D． 3x2－6x+4=3x（ x－ 2） +43．以下各式从左到右的变形中，哪些是整式乘法哪些是因式分解哪些二者都不是（1） ad+bd+cd+n=d（ a+b+c） +n（2）ay2－2ay+a=a（y－1）2（ 3）（ x－ 4）（ x+4） =x2－ 16（4）x2－y2+1=（x+y）（x－y）+1知能点 2提公因式法分解因式4．多项式－ 7ab+14abx－ 49aby 的公因式是 ________．5． 3x2y3， 2x2y，－ 5x3y2z 的公因式是 ________．6．以下各式用提公因式法分解因式，此中正确的选项是（）．A．5a3+4a2－ a=a（ 5a2+4a）B． p（ a－ b）2+pq （ b－ a）2=p（ a－b ）2（1+q）C．－ 6x2（ y－ z）3+x（ z－ y）3=－ 3x（ z－ y）2（ 2x－ z+y）D．－ x n－ x n+1－ x n+2 =－ x n（ 1－ x+x2）7．把多项式 a2（ x－ 2） +a（ 2－ x）分解因式等于（）．A．（ x－ 2）（a2+a）B．（ x－2 ）（ a2－ a）C． a（ x－2）（ a－1）D． a（ x－ 2）（ a+1）8．以下变形错误的选项是（）．A．（ y－ x）2=（ x－ y）2B．－ a－ b=－（ a+b）C．（a－ b）3=－（ b －a）3D．－ m+n=－（ m+n）9．分解以下因式 :（ 1） 6abc－ 3ac2（ 2）－ a3c+a4b+a3（ 3）－ 4a3+16a2－ 26a（4）x（m－x）（m－y）－m（x－m）（y－m）知能点 3 利用因式分解解决问题10． 9992+999=__________=_________．11．计算（－ 2）2007+（－ 2）2008的结果是（）．A．2B．－ 2C． 2007D．－ 1 12．计算以下各题 :（ 1）－× ;（ 2）× +×－×13．先分解因式，再求值：xyz2+xy2z+x2yz，此中 x= 2， y=7，z=1．5204【综合应用提升】14．假如 3x2－ mxy2 =3x（ x－ 4y2），那么 m 的值为 ________．15．写出以下各项的公因式 :（ 1） 6x2+18x+6;（ 2）－ 35a（ a+b）与42（ a+b）．16．已知 n 为正整数，试判断n2+n 是奇数仍是偶数，说明原因．17．试说明817－ 279－ 913能被 45 整除．因式分解 -公式法【知能点分类训练】知能点 1用平方差公式分解因式1．－ b2+a2=___________________;9x 2－ 16y2=________________________ ．2．以下多项式（1） x2+y2；（ 2）－ 2a2－ 4b2；（3）（－m）2－（－n）2；（4）－144x2+169y2；（ 5）（ 3a）2－ 4（ 2b）2中，能用平方差公式分解的有（）A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个3．一个多项式，分解因式后结果是（x3+2）（ 2－x3），那么这个多项式是（）．A． x6－4B． 4－ x6C． x9－ 4D． 4－ x94．以下因式分解中错误的选项是（）A． a2－ 1=（ a+1）（ a－ 1）B．1－ 4x2=（ 1+2x）（ 1－ 2x）C． 81x2－ 64y2=（ 9x+8y）（ 9x－ 8y） D．（－ 2y）2－ x2=（－ 2y+x）（ 2y+x）5．分解因式 :（1） a2－（ 2） 25（ m+n）2－ 16（ m－ n）244－ 64x22－9y2（3）x（ 4）（ x+y）9知能点 2 用完整平方公式分解因式6． 4a2+______+81=（ 2a－ 9）2．7．多项式 a2－ 4b2与 a2+4ab+4b2的公因式是（）．A．a2－ 4b2B． a+2b C． a－ 2b D．没有公因式8．以下因式分解中正确的选项是（）．A．x4－ 8x2+16=（ x－4）2B．－ x2+x－1=－1（2x－ 1）244C． x（ m－n ）－ y（ n－ m）=（ m－n）（x－ y） ; D． a4－ b4=（ a2+b2）（ a2－b2）9．以下各式：①－2212122222x － xy－ y；② a +ab+2b；③－ 4ab－ a +4b；④ 4x +9y－12xy；2⑤ 3x2－ 6xy+3y2． ?此中能用完整平方公式分解因式的有（）．10．分解以下因式 :（ 1）－ x 2+12xy － 36y 2（ 2）25x 2－10x+1（ 3）－ 2x 7+36x 5－ 162x 3（ 4）（ a 2+6a ） 2+18（ a 2+6a ） +81知能点 3 利用因式分解解决问题11．计算： 2 0072 －72 =_____________;992+198+1=___________． 12．假如 ab=2， a+b=3，那么 a 2+b 2=________．13．若 a 2+2（ m － 3） a+16 是完整平方式，则 m 的值为（）．A ．－ 5B ．－ 1C ．7D ．7 或－ 114．已知 a=22， b=25，求（ a+b ） 2－（ a － b ） 2 的值．754415．利用因式分解计算 :（ 1） 9×－ 4× ;（ 2） 80× +160×× +80×（3） 1812 6123012 1812【综合应用提升】16．分解以下因式:（ 1） 9x2（ a－ b） +y2（ b－ a）（2）4a2b2－（a2+b2）2（ 3） x4－ 81（4）1－x2+6xy－9y217．已知 x－ y=－ 2，求（ x2 +y2）2－ 4xy（ x2+y2） +4x2y2的值．【开放探究创新】18．已知 a， b， c 是△ ABC的三条边．（1）判断（ a－ c）2－ b2的值的正负 ;（2）若 a， b， c 知足 a2+c2+2b （b －a－ c） =0，判断△ ABC的形状．【中考真题实战】19．（沈阳）分解因式：2x2－ 4x+2=________．20．（成都）把 a3+ab2－ 2a2b 分解因式的结果是 ________．21．（衡阳）分解因式x3－ x，结果为（）．A． x（ x2－ 1）B．x（ x－1）2C．x（ x+1）2D． x（ x+1）（ x－1）22．（北京）分解因式a2－4a+4－ b2．因式分解阶段性复习一、阶段性内容回首1．把多项式化成几个整式_______的形式叫做因式分解，也叫________．2．多项式中每一项都含有_________的因式叫公因式．3．把一个多项式中各项的________提出来进行因式分解的方法叫提公因式法．4．运用多项式的 _________ 进行因式分解的方法叫做公式法．5 ． a2－ b2=_______， ?即两个数的平方差等于这两个数的________?乘以这两个数的_______．6． a2± 2ab+b2=________，即两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2?倍等于这两个数的 ________．7．分解因式的一般步骤：假如多项式各项有_______，则先把 _______提出来， ?而后再考虑用 ________，最后 _________ ．二、阶段性稳固训练1．（福州）分解因式： x3－4x=_____________．2．（贵阳）分解因式： 2x2－20x+50=____________ ．3．以下变形属于因式分解的是（）．A．（x+1）（ x－ 1） =x2－ 1B． a2－1(a1)22a b2b bC． x2+x+ 1=（ x+1）2D． 3x2－ 6x+4=3x2（x－2） +4 42x4．以下多项式加上 4x2后，能够成为完整平方式的是（）．A． a2+2ax B．－ a2+2axC．－ 2x+1D． x4+45．① 4xy；② 12xy2；③－ 2y2；④ 4y．此中能够作为多项式－28x2y+12xy2－24y 3的因式的是（）．A．④B．②④C．①③D．③④6．用因式分解的方法计算 +× +的值为（）．A．5 730B．2 500C． 250 000D．100 0007．分解以下多项式 :（ 1） 5ax2－ 10axy+5ay2（ 2）4x2－3y（ 4x－ 3y）（ 3）（ x2－1）2+6（ 1－ x2） +9（4）1－x2+6xy－9y2（ 5）（ a 2－ 1a ） 2+（a 2－ a ）+ 12 168．假如 x 2+mxy+9y 2 是完整平方式，求代数式 m 2+4m+4 的值．1 1 1 12 ) ．9．计算（ 1－2 )(132 )(1 2 )ggg(1102410．假如 m ， n 知足│ m+2│ +（ n － 4） 2=0，那么你能将代数式（ x 2+y 2）－（ mxy+n ）?分解因式吗11．已知 a 2+b 2+c 2=20， ab+bc+ac=10，试求出（ a+b+c ） 2 的值．12．已知 a ，b ，c 为△ ABC 的三边，且知足条件a 2 －c 2+ab － bc=0，试说明△ ABC?为等腰三角形．13．察以下各式：32－ 12=4× 2， 42－ 22=4× 3，52－3 2=4×4，⋯（1）猜想（ n+2）2－ n2的果．（2）你的猜想．14．已知 a+b= 2，ab=1，求 a3b+2a2b2+ab3的．3215．（1）假如 x2+2x+2y+y2 +2=0，求 x2007+y2008的．（2）已知 m+n= 3， m－ n=1，求 m2－ 2mn+3m+3n+n 2的．44。
因式分解例题附答案
因式分解 例题讲解及练习例题精选：132********y x y x y x ++评析：先查各项系数其它字母暂时不看;确定5;15;20的最大公因数是5;确定系数是5 ;再查各项是否都有字母X;各项都有时;再确定X 的最低次幂是几;至此确认提取X 2;同法确定提Y;最后确定提公因式5X 2Y..提取公因式后;再算出括号内各项..解：3223220155y x y x y x ++=)431(522y xy y x -+ 223229123y x yz x y x -+- 评析：多项式的第一项系数为负数;应先提出负号;各项系数的最大公因数为3;且相同字母最低次的项是X 2Y解:23229123y x yz x y x -+- =)3129(2223y x yz x y x +-- =)43(32223y x yz x y x +--=)1423(32+--xy y x3y-xc-b-a-x-y2a+b-c-x-yb-2a评析：在本题中;y-x 和x-y 都可以做为公因式;但应避免负号过多的情况出现;所以应提取y-x解：原式=y-xc-b-a+y-x2a+b-c+y-xb-2a=y-xc-b-a+2a+b-c+b-2a=y-xb-a（4） 4 把343232x y x -分解因式评析：这个多项式有公因式2x 3;应先提取公因式;剩余的多项式16y 4-1具备平方差公式的形式解：343232x y x -=2)116(43-y x =2)14)(14(223+-y y x =)14)(12)(12(223++-y y y x（5） 5 把827xy y x -分解因式评析：首先提取公因式xy 2;剩下的多项式x 6-y 6可以看作2323)()(y x -用平方差公式分解;最后再运用立方和立方差公式分解..对于x 6-y 6也可以变成3232)()(y x -先运用立方差公式分解;但比较麻烦..解：827xy y x -=xy 2x 6-y 6= xy 22323)()(y x -=))((33332y x y x xy +-=))()()((22222y xy x y x y xy x y x xy +-+++- 6把2236)(12)(z z y x y x ++-+分解因式评析：把x+y 看作一个整体;那么这个多项式相当于x+y 的二次三项式;并且为降幂排列;适合完全平方公式..对于本例中的多项式切不可用乘法公式展开后再分解;而要注意观察分析;善于把x+y 代换完全平方公式中的a;6Z 换公式中的解：2236)(12)(z z y x y x ++-+=22)6()6)((2)(z z y x y x ++-+=x+y-6z 2（7） 7 把42222222)2(2)2(21y y y x y x +---分解因式评析：把x 2-2y 2和y 2看作两个整体;那么这个多项式就是关于x 2-2y 2和y 2的二次三项式;但首末两项不是有理数范围内的完全平方项;不能直接应用完全平方公式;但注意把首项系数提出后;括号里边实际上就是一个完全平方式.. 解：42222222)2(2)2(21y y y x y x +---=])2(2)2(2)2[(2122222222y y y x y x +•---=2222222)4(21)22(21y x y y x -=--=22)2()2(21y x y x -+（8） 8 分解因式a 2-b 2-2b-1评析：初看;前两项可用平方差公式分解..采用“二、二”分组;原式=a+ba-b-2b+1;此时无法继续分解..再仔细看;后三项是一个完全平方式;应采用“一、三”分组..解：a 2-b 2-2b-1= a 2-b 2-2b+1=a 2-b+12=a+b+1a-b+1=a-b-1a+b+1一般来说;四项式“一、三”分解;最后要用“平方差”..四项式“二、二”分组;只有前后两组出现公因式;才是正确的分组方案..（9） 9 把a 2-ab+ac-bc 分解因式解法一：a 2-ab+ac-bc=a 2-ab+ac-bc=aa-b+ca-b=a-ba+c解法二：a 2-ab+ac-bc=a 2+ac-ab+bc=aa+c-ba+c =a-ba+c（10） 10 把y x xy x 33222--+分解因式解法一：y x xy x 33222--+=)32)(()(3)(2)33()22(2-+=+-+=+-+x y x y x y x x y x xy x 解法二：y x xy x 33222--+ =))(32()32()32()32()32(2y x x x y x x y xy x x +-=-+-=-+- 说明：例2和例3的解法一和解法二虽然分组不同;但却有着相同的内在联系;即两组中的对应系数成比例..2题解法一 1：1;解法二也是1：1；3题解法一是1：1;解法二是2：-311 分解因式123+--x x x评析：四项式一般先观察某三项是否是完全平方式..如是;就考虑“一、三”分组；不是;就考虑“二、二”分组解法一：123+--x x x=)1()1()1()(223---=+-+-x x x x x x =)1()1()1)(1)(1()1)(1(22+-=+--=--x x x x x x x解法二：123+--x x x =)1()1()1(2223---=+-+-x x x x x x=)1()1()1)(1)(1()1)(1(22+-=-+-=--x x x x x x x 解法三：123+--x x x =)1()1)(1()()1(223+-+-+=+-+x x x x x x x x=222)1)(1()12)(1()1)(1(-+=+-+=-+-+x x x x x x x x x（12） 12 分解因式a-b 2-1-2ca-b+c 2评析：本题将a-b 看作一个整体;可观察出其中三项是完全平方式;可以“一、三”分组解：a-b 2-1-2ca-b+c 2=a-b 2-2ca-b+c 2-1=a-b-c 2-1=a-b-c 2-1-a-b-c+1a-b-c-113分解因式8a 2-5ab-42b 2 8a -21b解：8a 2-5ab-42b 2 a +2b=8a-21ba+2b -21ab+16ab=-5ab（14） 14 分解因式a 6-10a 3+16解：a 6-10a 3+16 a 3 -2= a 3-2 a 3-8 a 3 -8= a 3-2a-2a 2+2a+4 -8a 3-2a 3 =-10a 3（15） 15 分解因式-x 2+x+30解：-x 2+x+30 先提出负号 x +5=- x 2-x-30 x -6=-x+5x-6 +5x-6x=-x（16） 16 分解因式12x+y 2-8x+y-7解：12x+y 2-8x+y-7 2x+y +1=2x+y+16x+y-7 6x+y -7=2x+2y+16x+6y-7 -14+6=817把2233y xy x y x ----分解因式评析：此题是一个五项式;它能否分组分解;要看分组后组与组之间是否出现公因式或是否符合公式..本题注意到后三项当把-1提出后;实际上是33y x -按立方差公式分解后的一个因式：解：2233y xy x y x ----=)()(2233y xy x y x ++-- =)())((2222y xy x y xy x y x ++-++-=)1)((22--++y x y xy x（18） 18 把122222+----x yz z y x 分解因式评析：把122+-x x 看成一组符合完全平方公式;而剩下的三项把-1提出之后恰好也是完全平方式;这样分组后又可用平方差公式继续分解..解：122222+----x yz z y x =)2()12(222z yz y x x ++-+- =22)()1(z y x +--=)1)(1(z y x z y x ---++-19分解因式6)2)(1(22-++++x x x x 评析：先不要把前面两个二次三项式的乘积展开;要注意到这两个二次三项式的前两项都是x x +2这一显著特点;我们不妨设x x +2=a可得a+1a+2-6即a 2+3a+2-6;即a 2+3a-4;此时可分解为a+4a-1解：6)2)(1(22-++++x x x x=62)(3)(222-++++x x x x=4)(3)(222-+++x x x x=]1)][(4)[(22-+++x x x x =)1)(4(22-+++x x x x 20把8)32)(42(22--+++x x x x 分解因式 解：8)32)(42(22--+++x x x x =812)2()2(222--+++x x x x=20)2()2(222-+++x x x x=]4)2][(5)2[(22-+++x x x x=)42)(52(22-+++x x x x 21把72)209)(23(22-+-++x x x x 分解因式 评析：它不同于例31的形式;但通过观察;我们可以对这两个二次三项式先进行分解;有)5)(4)(2)(1()209)(23(22--++=+-++x x x x x x x x ..它又回到例31的形式;我们把第一项和第三项结合在一起;第二、四项结合在一起;都产生了x 2-3x解：72)209)(23(22-+-++x x x x=72)5)(4)(2)(1(---++x x x x=72)]5)(2)][(4)(1[(--+-+x x x x=72)103)(43(22-----x x x x=32)3(14)3(222----x x x x =]2)3][(16)3[(22+---x x x x =)1)(2)(163()23)(163(222----=+---x x x x x x x x 22把2)6)(3)(2)(1(a a a a a +++++分解因式评析：不要轻易展开前四个一次因式的积;要注意到常数有1×6=2×3=6 利用结合律会出现a 2+6解：2)6)(3)(2)(1(a a a a a +++++=2)]3)(2)][(6)(1[(a a a a a =++++=222)56)(76(a a a a a +++++=222222)66(36)6(12)6(a a a a a a ++=++++ 23把x+1x+3x+5x+7-9分解因式评析：不要轻易地把前四个一次因式的乘积展开;要注意到1+7=3+5;如果利用乘法结合律;把x+1x+7和x+3x+5分别乘开就会出现9)158)(78(22-++++x x x x 的形式;这就不难发现x 2+8x 作为一个整体a 同时出现在两个因式中;即a+7a+15-9的形式;展开后有a 2+22a+96;利用十字相乘616⨯a a ;得到a+6a+16而分解..解：x+1x+3x+5x+7-9=x+1x+7x+3x+5-9=9)158)(78(22-++++x x x x 以下同于例3=9]105)8(22)8[(222-++++x x x x=)8(22)8(222x x x x ++++96=]6)8)][(16)8[(22++++x x x x=)68)(168(22++++x x x x 24把xx+1x+2x+3-24分解因式评析：通过观察第一项和第四项两上一次式相乘出现x 2+3x;第二和第三个一次式相乘出现x 2+3x..可以设x 2+3x=a;会有aa+2-24;此时已易于分解解：xx+1x+2x+3-24=xx+3x+1x+2-24=24)23)(3(22-+++x x x x=24]2)3)[(3(22-+++x x x x=24)3(2)3(222-+++x x x x=)43)(63(22-+++x x x x 25把10)3(2)13(222-+-++x x x x 分解因式 评析：不要急于展开22)13(++x x ;通过观察前两项;发现它们有公共的x 2+3x;此时把它看成一个整体将使运算简化..解：10)3(2)13(222-+-++x x x x =10)3(21)3(2)3(2222-+-++++x x x x x x=)33)(33(9)3(2222-+++=-+x x x x x x26把分解因式))((4)(2d c b a d c b a +++--+评析：我们可以观察到+前后的两项都有a+b 和c+d..据此可把它们看作为一个整体..解：))((4)(2d c b a d c b a +++--+ =))((4)]()[(2d c b a d c b a ++++-+ =))((4)())((2)(22d c b a d c d c b a b a +++++++-+ =22)())((2)(d c d c b a b a ++++++=22)()]()[(d c b a d c b a +++=+++27把32)1()1()1(1+++++++a a a a a a a 分解因式评析：把1+a 看成一个整体;第一项1与第二项a 也合成一个整体1+a解：32)1()1()1(1+++++++a a a a a a a=])1()1(1)[1(2a a a a a a ++++++=)]1(1)[1)(1(a a a a a +++++=4)1()1)(1)(1)(1(a a a a a +=++++28把41126222-++-+y x y xy x 分解因式 评析：此题容易想到分组分解法;但比较困难;考虑到 )2)(32(6222y x y x y xy x +-=-+ 此时可设411262)2)(32(22-++-+=+++-y x y xy x n y x m y x 再用待定系数法求出m 和n解：设41126222-++-+y x y xy x = mn y m n x n m y xy x n y x m y x ++-+++-+=+++-)23()2(62)2)(32(22 比较两边对应系数 得到m+2n=2 ①-3n+2m=11 ②mn=-4 ③由①和② 得到m=4;n=-1 代入③也成立∴41126222-++-+y x y xy x =2x-3y+4x+2y-129把31048222+---+y x y xy x 分解因式解：31048222+---+y x y xy x =3104)2)(4(+---+y x y x y x=x+4y+mx-2y+n=mn y m n x n m y xy x +-+++-+)24()(8222 有 m+n=-4 ①4n-2m=-10 ②mn=3 ③由①和② 得到m=-3;n=-1 代入③也成立∴31048222+---+y x y xy x =x+4y-3x-2y-130当x+y=2时;求336y xy x ++的值评析：∵x+y=2这是唯一的条件..∴要从336y xy x ++中找到x+y或有关x+y 的表达式解：336y xy x ++=x+y 22y xy x +-+6xy∵x+y=2∴原式=xy y xy x 622222++-=)2(22422222y xy x y xy x ++=++ =222)2(2)(⨯=+y x =831己知x x 1+=2 求331x x +的值 解：331x x +=]3)1)[(1()11)(1(222-++=+-+x x x x x x x x ∵x x 1+=2∴原式=222-3=232己知x-y=2;求)62(12222a xy ay ax y x a --+-+的值 解：)62(12222a xy ay ax y x a --+-+=]6)()2[(12222a ay ax y xy x a ---+-=]6)()[(1222a y x a y x a ---- x-y -3a=)]2)(3[(12a y x a y x a +--- x-y +2a∵x-y=a∴原式=6)6(1)3)(2(1222-=-=-a a a a a初中因式分解的常用方法例题详解一、提公因式法.如多项式),(c b a m cm bm am ++=++其中m 叫做这个多项式各项的公因式; m 既可以是一个单项式;也可以是一个多项式．二、运用公式法.运用公式法;即用))((,)(2),)((223322222b ab a b a b a b a b ab a b a b a b a +±=±±=+±-+=-写出结果．三、分组分解法.一分组后能直接提公因式例1、分解因式：bn bm an am +++分析：从“整体”看;这个多项式的各项既没有公因式可提;也不能运用公式分解;但从“局部”看;这个多项式前两项都含有a ;后两项都含有b ;因此可以考虑将前两项分为一组;后两项分为一组先分解;然后再考虑两组之间的联系..解：原式=)()(bn bm an am +++=)()(n m b n m a +++ 每组之间还有公因式=))((b a n m ++思考：此题还可以怎样分组此类型分组的关键：分组后;每组内可以提公因式;且各组分解后;组与组之间又有公因式可以提..例2、分解因式：bx by ay ax -+-5102解法一：第一、二项为一组； 解法二：第一、四项为一组；第三、四项为一组.. 第二、三项为一组..解：原式=)5()102(bx by ay ax -+- 原式=)510()2(by ay bx ax +-+-=)5()5(2y x b y x a --- =)2(5)2(b a y b a x ---=)2)(5(b a y x -- =)5)(2(y x b a --练习：分解因式1、bc ac ab a -+-2 2、1+--y x xy二分组后能直接运用公式例3、分解因式：ay ax y x ++-22分析：若将第一、三项分为一组;第二、四项分为一组;虽然可以提公因式;但提完后就能继续分解;所以只能另外分组..解：原式=)()(22ay ax y x ++-=)())((y x a y x y x ++-+=))((a y x y x +-+例4、分解因式：2222c b ab a -+-解：原式=222)2(c b ab a -+-=22)(c b a --=))((c b a c b a +---注意这两个例题的区别练习：分解因式3、y y x x 3922--- 4、yz z y x 2222---综合练习：13223y xy y x x --+ 2b a ax bx bx ax -+-+-223181696222-+-++a a y xy x 4a b b ab a 4912622-++-592234-+-a a a 6y b x b y a x a 222244+--7222y yz xz xy x ++-- 8122222++-+-ab b b a a9)1)(1()2(+---m m y y 10)2())((a b b c a c a -+-+11abc b a c c a b c b a 2)()()(222++++++12abc c b a 3333-++四、十字相乘法.一二次项系数为1的二次三项式直接利用公式——))(()(2q x p x pq x q p x ++=+++进行分解..特点：1二次项系数是1；2常数项是两个数的乘积；3一次项系数是常数项的两因数的和..例5、分解因式：652++x x分析：将6分成两个数相乘;且这两个数的和要等于5..由于6=2×3=-2×-3=1×6=-1×-6;从中可以发现只有2×3的分解适合;即2+3=5.. 1 2解：652++x x =32)32(2⨯+++x x 1 3=)3)(2(++x x 1×2+1×3=5用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积;且这两个因数的代数和要等于一次项的系数..例6、分解因式：672+-x x解：原式=)6)(1()]6()1[(2--+-+-+x x 1 -1=)6)(1(--x x 1 -6-1+-6= -7练习5、分解因式124142++x x 236152+-a a 3542-+x x练习6、分解因式122-+x x 21522--y y 324102--x x二二次项系数不为1的二次三项式——c bx ax ++2条件：121a a a = 1a 1c221c c c = 2a 2c31221c a c a b += 1221c a c a b +=分解结果：c bx ax ++2=))((2211c x a c x a ++例7、分解因式：101132+-x x分析： 1 -2 3 -5-6+-5= -11解：101132+-x x =)53)(2(--x x练习7、分解因式：16752-+x x 22732+-x x3317102+-x x 4101162++-y y三二次项系数为1的齐次多项式 例8、分解因式：221288b ab a --分析：将b 看成常数;把原多项式看成关于a 的二次三项式;利用十字相乘法进行分解.. 1 8b1 -16b8b+-16b= -8b解：221288b ab a --=)16(8)]16(8[2b b a b b a -⨯+-++=)16)(8(b a b a -+练习8、分解因式12223y xy x +-22286n mn m +-3226b ab a --四二次项系数不为1的齐次多项式例9、22672y xy x +- 例10、2322+-xy y x1 -2y 把xy 看作一个整体 1 -12 -3y 1 -2-3y+-4y= -7y -1+-2= -3解：原式=)32)(2(y x y x -- 解：原式=)2)(1(--xy xy练习9、分解因式：1224715y xy x -+ 28622+-ax x a综合练习10、117836--x x 222151112y xy x -- 310)(3)(2-+-+y x y x 4344)(2+--+b a b a5222265x y x y x -- 62634422++-+-n m n mn m73424422---++y x y xy x 82222)(10)(23)(5b a b a b a ---++910364422-++--y y x xy x 102222)(2)(11)(12y x y x y x -+-++思考：分解因式：abc x c b a abcx +++)(2222五、主元法.例11、分解因式：910322++--x y xy x解法一：以x 为主元 解：原式=)2910()13(22+----y y y x x 2 1 -5y-2=)]12()][25([-+--y x y x 1 2y-1=)12)(25(-++-y x y x -5y-2+2y-1= -3y-1解法二：以y 为主元解：原式=)93(102+---x y y =)93(10[2-+-y x y =2- 2 x -1=- 5 -x +2=)25)(12(---+-x y x y 5x -1-2x +2=3x -9练习11、分解因式156422-++-y x y x 267222-+--+y x y xy x3613622-++-+y x y xy x 436355622-++-+b a b ab a六、双十字相乘法..定义：双十字相乘法用于对F Ey Dx Cy Bxy Ax +++++22型多项式的分解因式..条件：121a a A =;21c c C =;21f f F =2B c a c a =+1221;E f c f c =+1221;D f a f a =+1221即： 1a 1c 1f2a 2c 2f B c a c a =+1221;E f c f c =+1221;D f a f a =+1221则=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 22))((222111f c x a f y c x a ++++例12、分解因式12910322-++--y x y xy x2613622-++-+y x y xy x解：12910322-++--y x y xy x应用双十字相乘法： x y 5- 2x y 2 1-xy xy xy 352-=-;y y y 945=+;x x x =+-2∴原式=)12)(25(-++-y x y x2613622-++-+y x y xy x应用双十字相乘法： x y 2- 3x y 3 2- xy xy xy =-23;y y y 1394=+;x x x =+-32∴原式=)23)(32(-++-y x y x练习12、分解因式167222-+--+y x y xy x222227376z yz xz y xy x -+---七、换元法..例13、分解因式12005)12005(200522---x x22)6)(3)(2)(1(x x x x x +++++解：1设2005=a ;则原式=a x a ax ---)1(22=))(1(a x ax -+=)2005)(12005(-+x x2型如e abcd +的多项式;分解因式时可以把四个因式两两分组相乘..原式=222)65)(67(x x x x x +++++设A x x =++652;则x A x x 2672+=++∴原式=2)2(x A x A ++=222x Ax A ++ =2)(x A +=22)66(++x x练习13、分解因式1)(4)(22222y x xy y xy x +-++290)384)(23(22+++++x x x x 3222222)3(4)5()1(+-+++a a a例14、分解因式1262234+---x x x x观察：此多项式的特点——是关于x 的降幂排列;每一项的次数依次少1;并且系数成“轴对称”..这种多项式属于“等距离多项式”..方法：提中间项的字母和它的次数;保留系数;然后再用换元法..解：原式=)1162(222x x x x x +---=[]6)1()1(2222-+-+x x xx x 设t x x =+1;则21222-=+t xx ∴原式=[]6)2222---t t x （=()10222--t t x =()()2522+-t t x =⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+215222x x x x x =⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+21··522·x x x x x x =()()1225222+++-x x x x =)2)(12()1(2--+x x x 2144234+++-x x x x 解：原式=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-2221414x x x x x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+1141222x x x x x 设y x x =-1;则21222+=+y xx ∴原式=()3422+-y y x =()()312--y y x=)31)(11(2----xx x x x =()()13122----x x x x 练习14、1673676234+--+x x x x 2)(2122234x x x x x +++++ 八、添项、拆项、配方法..例15、分解因式14323+-x x解法1——拆项.. 解法2——添项..原式=33123+-+x x 原式=444323++--x x x x=)1)(1(3)1)(1(2-+-+-+x x x x x =)44()43(2++--x x x x=)331)(1(2+-+-+x x x x =)1(4)4)(1(++-+x x x x=)44)(1(2+-+x x x =)44)(1(2+-+x x x=2)2)(1(-+x x =2)2)(1(-+x x23369-++x x x解：原式=)1()1()1(369-+-+-x x x=)1()1)(1()1)(1(333363-++-+++-x x x x x x=)111)(1(3363+++++-x x x x=)32)(1)(1(362++++-x x x x x练习15、分解因式1893+-x x 24224)1()1()1(-+-++x x x31724+-x x 422412a ax x x -+++5444)(y x y x +++ 6444222222222c b a c b c a b a ---++九、待定系数法..例16、分解因式613622-++-+y x y xy x分析：原式的前3项226y xy x -+可以分为)2)(3(y x y x -+;则原多项式必定可分为)2)(3(n y x m y x +-++解：设613622-++-+y x y xy x =)2)(3(n y x m y x +-++∵)2)(3(n y x m y x +-++=mn y m n x n m y xy x --+++-+)23()(622∴613622-++-+y x y xy x =mn y m n x n m y xy x --+++-+)23()(622 对比左右两边相同项的系数可得⎪⎩⎪⎨⎧-==-=+613231mn m n n m ;解得⎩⎨⎧=-=32n m ∴原式=)32)(23(+--+y x y x例17、1当m 为何值时;多项式6522-++-y mx y x 能分解因式;并分解此多项式..2如果823+++bx ax x 有两个因式为1+x 和2+x ;求b a +的值..1分析：前两项可以分解为))((y x y x -+;故此多项式分解的形式必为))((b y x a y x +-++解：设6522-++-y mx y x =))((b y x a y x +-++则6522-++-y mx y x =ab y a b x b a y x +-+++-)()(22 比较对应的系数可得：⎪⎩⎪⎨⎧-==-=+65ab a b m b a ;解得：⎪⎩⎪⎨⎧==-=132m b a 或⎪⎩⎪⎨⎧-=-==132m b a∴当1±=m 时;原多项式可以分解；当1=m 时;原式=)3)(2(+--+y x y x ；当1-=m 时;原式=)3)(2(--++y x y x2分析：823+++bx ax x 是一个三次式;所以它应该分成三个一次式相乘;因此第三个因式必为形如c x +的一次二项式..解：设823+++bx ax x =))(2)(1(c x x x +++则823+++bx ax x =c x c x c x 2)32()3(23+++++ ∴⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=82323c c b c a ;解得⎪⎩⎪⎨⎧===4147c b a ;∴b a +=21练习17、1分解因式2910322-++--y x y xy x2分解因式6752322+++++y x y xy x3已知：p y x y xy x +-+--1463222能分解成两个一次因式之积;求常数p 并且分解因式..4k 为何值时;253222+-++-y x ky xy x 能分解成两个一次因式的乘积;并分解此多项式..初二因式分解练习题 5 单元测试 姓名一、 填空题：5分 4=20分1 分解因式； ；2 分解因式： ；3 分解因式： ；4 分解因式： ；二、 选择题：5分 6=30分1下列变形;是因式分解的是-----------------------------------------------------------A BC D2下列各式中;不含因式的是-----------------------------------------------------A B C D3下列各式中;能用平方差分解因式的式子是---------------------------------------A B C D4已知;则的值是---------------------------A ;BCD ;5如果是一个完全平方式;那么的值是-------------------------- A B C D6已知;则的值是--A 0BC 3D 9三、把下列各式因式分解：6分5=30分1 23 45四、10分已知;求证：五、10分求证：每个奇数的平方被8除必余1。
培优专题1_用提公因式法把多项式进行因式分解(含答案)
1、用提公因式法把多项式进行因式分解【知识精读】如果多项式的各项有公因式，根据乘法分配律的逆运算，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式。
提公因式法是因式分解的最基本也是最常用的方法。
它的理论依据就是乘法分配律。
多项式的公因式的确定方法是：（1）当多项式有相同字母时，取相同字母的最低次幂。
（2）系数和各项系数的最大公约数，公因式可以是数、单项式，也可以是多项式。
下面我们通过例题进一步学习用提公因式法因式分解【分类解析】1. 把下列各式因式分解（1）-+--+++a x abx acx ax m m m m 2213（2）a a b a b a ab b a ()()()-+---32222分析：（1）若多项式的第一项系数是负数，一般要提出“－”号，使括号内的第一项系数是正数，在提出“－”号后，多项式的各项都要变号。
解：-+--=--+++++a x abx acx ax ax ax bx c x m m m m m 221323()（2）有时将因式经过符号变换或将字母重新排列后可化为公因式，如：当n 为自然数时，()()()()a b b a a b b a n n n n -=--=----222121；，是在因式分解过程中常用的因式变换。
解：a a b a b a ab b a ()()()-+---32222 )243)((]2)(2))[(()(2)(2)(222223b b ab a b a a b b a a b a b a a b a ab b a a b a a ++--=+-+--=-+-+-=2. 利用提公因式法简化计算过程例：计算1368987521136898745613689872681368987123⨯+⨯+⨯+⨯分析：算式中每一项都含有9871368，可以把它看成公因式提取出来，再算出结果。
解：原式)521456268123(1368987+++⨯= =⨯=987136813689873. 在多项式恒等变形中的应用例：不解方程组23532x y x y +=-=-⎧⎨⎩，求代数式()()()22332x y x y x x y +-++的值。
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1、用提公因式法把多项式进行因式分解
【知识精读】
如果多项式的各项有公因式，根据乘法分配律的逆运算，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式。
提公因式法是因式分解的最基本也是最常用的方法。
它的理论依据就是乘法分配律。
多项式的公因式的确定方法是：
（1）当多项式有相同字母时，取相同字母的最低次幂。
（2）系数和各项系数的最大公约数，公因式可以是数、单项式，也可以是多项式。
下面我们通过例题进一步学习用提公因式法因式分解
【分类解析】
1. 把下列各式因式分解
（1）-+--+++a x abx acx ax m m m m 2213
（2）a a b a b a ab b a ()()()-+---32222
分析：（1）若多项式的第一项系数是负数，一般要提出“－”号，使括号内的第一项系数是正数，在提出“－”号后，多项式的各项都要变号。
解：-+--=--+++++a x abx acx ax ax ax bx c x m m m m m 221323()
（2）有时将因式经过符号变换或将字母重新排列后可化为公因式，如：当n 为自然数时，()
()()()a b b a a b b a n n n n -=--=----222121；，是在因式分解过程中常用的因式
变换。
解：a a b a b a ab b a ()()()-+---32222 )
243)((]2)(2))[(()
(2)(2)(222223b b ab a b a a b b a a b a b a a b a ab b a a b a a ++--=+-+--=-+-+-=
2. 利用提公因式法简化计算过程
例：计算1368
987521136898745613689872681368987123⨯+⨯+⨯+⨯
分析：算式中每一项都含有
9871368，可以把它看成公因式提取出来，再算出结果。
解：原式)521456268123(1368
987+++⨯= =⨯=9871368
1368987
3. 在多项式恒等变形中的应用
例：不解方程组23532
x y x y +=-=-⎧⎨⎩，求代数式()()()22332x y x y x x y +-++的值。
分析：不要求解方程组，我们可以把2x y +和53x y -看成整体，它们的值分别是3和-2，观察代数式，发现每一项都含有2x y +，利用提公因式法把代数式恒等变形，化为含有2x y +和53x y -的式子，即可求出结果。
解：()()()()()()()223322233253x y x y x x y x y x y x x y x y +-++=+-+=+- 把2x y +和53x y -分别为3和-2带入上式，求得代数式的值是-6。
4. 在代数证明题中的应用
例：证明：对于任意自然数n ，323222n n n n ++-+-一定是10的倍数。
分析：首先利用因式分解把代数式恒等变形，接着只需证明每一项都是10的倍数即可。
323233222222n n n n n n n n ++++-+-=+--
=+-+=⨯-⨯33122110352
22n n n n ()()
对任意自然数n ，103⨯n 和52⨯n 都是10的倍数。
∴-+-++3
23222n n n n 一定是10的倍数
5、中考点拨：
例1。
因式分解322x x x ()()---
解：322x x x ()()--- =-+-=-+322231x x x x x ()()()()
说明：因式分解时，应先观察有没有公因式，若没有，看是否能通过变形转换得到。
例2．分解因式：412132q p p ()()-+-
解：412132q p p ()()-+-
=-+-=--+=--+4121212112122132
2
2q p p p q p p q pq ()()()[()]()()
说明：在用提公因式法分解因式前，必须对原式进行变形得到公因式，同时一定要注意符号，提取公因式后，剩下的因式应注意化简。
题型展示：
例1. 计算：200020012001200120002000⨯-⨯
精析与解答：
设2000=a ，则20011=+a
∴⨯-⨯200020012001200120002000
=+++-++=+⨯-+⨯=+⨯-=a a a a a a a a a a a a [()()]()()
()()()()
1000011110000110001110001110001100010
说明：此题是一个有规律的大数字的运算，若直接计算，运算量必然很大。
其中2000、2001重复出现，又有200120001=+的特点，可通过设未知数，将复杂数字间的运算转化为代数式，再利用多项式的因式分解化简求值，从而简化计算。
例2. 已知：x bx c 2++（b 、c 为整数）是x x 42625++及3428542
x x x +++的公因式，求b 、c 的值。
分析：常规解法是分别将两个多项式分解因式，求得公因式后可求b 、c ，但比较麻烦。
注意到x bx c 2++是362542()x x ++及3428542x x x +++的因式。
因而也是-+++()3428542x x x 的因式，所求问题即可转化为求这个多项式的二次因式。
解： x bx c 2++是362542()x x ++及3428542x x x +++的公因式
∴也是多项式3625342854242()()x x x x x ++-+++的二次因式
而362534285142542422()()()x x x x x x x ++-+++=-+
b 、
c 为整数
得：x bx c x x 2225++=-+
∴=-=b c 25，
说明：这是对原命题进行演绎推理后，转化为解多项式1428702x x -+，从而简便求得x bx c 2++。
例3. 设x 为整数，试判断1052+++x x x ()是质数还是合数，请说明理由。
解：1052+++x x x ()
=+++=++52225()()()()
x x x x x x x ++25，都是大于1的自然数
∴++()()x x 25是合数
说明：在大于1的正数中，除了1和这个数本身，还能被其它正整数整除的数叫合数。
只能被1和本身整除的数叫质数。
【实战模拟】
1. 分解因式：
（1）-+-41222332m n m n mn
（2）a x abx acx adx n n n n 2211++-+--（n 为正整数）
（3）a a b a b a ab b a ()()()-+---322222
2. 计算：()
()-+-221110的结果是（ ） A. 2100 B. -210 C. -2 D. -1
3. 已知x 、y 都是正整数，且x x y y y x ()()---=12，求x 、y 。
4. 证明：812797913
--能被45整除。
5. 化简：111121995+++++++x x x x x x x ()()()…，且当x =0时，求原式的值。
试题答案
1. 分析与解答：
（1）-+-41222332m n m n mn
=--+226122mn mn m n ()
（2）a x abx acx adx n n n n 2211++-+--
=+---ax ax bx cx d n 132()
（3）原式=-+---a a b a a b ab a b ()()()322222
=--+-=--=-a a b a b a b a a b a b a a b ()[()]
()()()222
22333
注意：结果多项因式要化简，同时要分解彻底。
2. B
3. x x y y y x ()()---=12
∴-+=()()x y x y 12
x y 、是正整数
∴12分解成1122634⨯⨯⨯，，
又 x y -与x y +奇偶性相同，且x y x y -<+
∴-=+=⎧⎨⎩∴==⎧⎨⎩x y x y x y 2642
说明：求不定方程的整数解，经常运用因式分解来解决。
4. 证明： 812797913
-- =--=--=⨯=⨯⨯=⨯333393135335
345
282726
262624224()
∴--812797913
能被45整除
5. 解：逐次分解：原式=++++++()()()()111121995x x x x x x … =++++=++++++==+()()()()()()()()1111111121995
341995
1996
x x x x x x x x x x x …………
∴当x =0时，原式=1。