江苏省高等数学竞赛题(本科一级)

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江苏省数学竞赛试题

江苏省数学竞赛试题江苏省的数学竞赛是中国地区性数学竞赛之一，旨在激发学生对数学的兴趣，提高数学素养和解决问题的能力。

竞赛通常包括多个难度级别，适合不同年级的学生参加。

试题内容可能涵盖基础数学知识、逻辑推理、几何学、代数学、概率论和统计学等领域。

试题一：基础数学问题题目：计算下列表达式的值：\[ (x+y)^2 - 3xy \]解答：首先，我们可以使用完全平方公式展开 \( (x+y)^2 \)，得到\( x^2 + 2xy + y^2 \)。

然后，将 \( 3xy \) 从展开式中减去，得到：\[ x^2 + 2xy + y^2 - 3xy = x^2 - xy + y^2 \]试题二：几何问题题目：在一个直角三角形中，如果一个锐角的正弦值为\( \frac{3}{5} \)，求这个角的余弦值。

解答：在直角三角形中，如果一个角的正弦值为 \( \frac{3}{5} \)，我们可以使用勾股定理来找到余弦值。

设这个角为 \( \theta \)，那么有：\[ \sin(\theta) = \frac{3}{5} \]\[ \cos^2(\theta) = 1 - \sin^2(\theta) \]\[ \cos(\theta) = \sqrt{1 - \left(\frac{3}{5}\right)^2} \]\[ \cos(\theta) = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} \]\[ \cos(\theta) = \sqrt{\frac{16}{25}} \]\[ \cos(\theta) = \frac{4}{5} \]试题三：代数问题题目：解方程 \( ax^2 + bx + c = 0 \)，其中 \( a \neq 0 \)。

解答：这是一个标准的二次方程。

我们可以使用求根公式来解这个方程：\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]其中，\( \sqrt{b^2 - 4ac} \) 是判别式，如果判别式大于0，则方程有两个实数解；如果判别式等于0，则方程有一个实数解；如果判别式小于0，则方程没有实数解。

江苏省第一届至第十界高等数学竞赛本科一级真题

江苏省第一届（1991年）高等数学竞赛本科竞赛试题（有改动）一、填空题（每小题5分，共50分） 1.函数sin sin y x x =（其中2x π≤）的反函数为________________________。

2.当0→x 时，34sin sin cos x x x x -+x 与nx 为同阶无穷小，则n =____________。

3.在1x =时有极大值6，在3x =时有极小值2的最低幂次多项式的表达式是 _____________________________________。

4.设(1)()n m nnd x p x dx-=，n m ,是正整数，则(1)p =________________。

5.222[cos()]sin x x xdx ππ-+=⎰_______________________________。

6. 若函数)(t x x =由⎰=--xt dt e t 102所确定的隐函数，则==022t dt xd 。

7.已知微分方程()y yy x xϕ'=+有特解ln x y x =，则()x ϕ=________________________。

8.直线21x zy =⎧⎨=⎩绕z 轴旋转，得到的旋转面的方程为_______________________________。

9.已知a v为单位向量，b a ϖϖ3+垂直于b a ϖϖ57-，b a ϖϖ4-垂直于b a ϖϖ27-，则向量b a ϖϖ、的夹角为____________。

10. =⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∞→nn n n n n 122222212111lim Λ 。

二、（7分）设数列{}n a 满足1,2,21≥+=->+n a a a n n n ，求n n a ∞→lim 。

三、（7分）求c 的值，使⎰=++b ac x c x 0)cos()(，其中a b >。

2018年江苏省高等数学竞赛本科一级试题与评分标准

2018 本一试题解答与评分标准一．填空题（每题4分，共20分）(1)设 f u arctan 1u ,x2ln x ,y f x, 则dy. 1u x dx x 1(2)2sin x cos2x2d x.(3)12 d x. 01x2(4)已知函数 F u,v,w可微， F u0,0,01, F v0,0,02, F w0,0,03, 函数z f x, y 由F 2x y3z, 4x2y2z2, x yz0 确立，知足f1,20, 则f x1, 2.(5)设是地区x, y ｜x2y24,0y x的界限曲线，取逆时针方向,则x y 3y1 e yd x x y 3xyeyd y.一.答案:(1)1;(2)22;(3)4; (4)2; (5) 6 .53二 .解以下两题（每题 5 分，共 10分）1 3 L2n32n12(1)求极限lim;n 2 4 L2n22n(2)求极限lim x24xy4y2sin x4y4 .xx y y2 2 L2n12, 因为2k12k1(1) 记a n1k N *,（1分）所以解13L22422n 22k21 33 5 5 72n32n12n12n10 a n224262L2n22n22,（2分）22n2n10, 应用夹逼准则得lim a n0.（2 分）因为 lim2n2n n(2)应用不等式的性质得x2xy y2x2y2 2 xy 2 x2y2 , x4y42x2y2 , （2分）0x 2xy2sin x4y42 x2y211，（1 分）y2x2 y2x4y4y2x2因为 lim110, 应用夹逼准则得lim x2xy4y2sin x4y 40. （2分）xy 22xx4yy x y三. （10分）已知函数f x在 x a 处可导a R,数列n,n知足:x n a,a ,x yy n a,a0, 且lim x a, lim y a,试求 lim x n f y n y n f x n.n n n n n y n x n由 f x在 x a 处可导得f x f af a, (2 分 )解limx a x an lim f x n f af a f a ,n limf y n f af a f a ,( 2分)x n a y n a应用极限的性质得f x n f a f a x n af y n f a f a y n a 代入原式得n x n a ,n y n a ,nn0 n,( 1分)0 n,( 1分)x n f y n y n f x na f a x n n y n a y n n a x nn lim f a n limy n ( 2分)y n x n x nf a a f a n lim x ny n a a x n nx nn lim y n nx n y n y n因为 lim x nn lim y ny n a a x n1 n 0,01,0n n y n x n y n x n f a a f a00 f a a f a .( 2分)四. (10分 )已知 fxsin11cos11 x0或 0x 1 ;试鉴别 : x x2x0x0，(1) f x 在区间1,1上能否连续 ? 如有中断点 ,判断其种类 ;(2)f x 在区间1,1上能否存在原函数 ?若存在 ,写出一个原函数 ;若不存在 , 写出原因 ;(3)f x 在区间1,1上能否可积 ? 若可积 ,求出1f x dx; 若不行积,写出原因. 1解(1) f x在区间1,1上不连续 . (1分 ) 因为lim xsin 10, lim1cos1不存在,x0x x0 2x 所以 lim f x 不存在 , f x在 x0处不连续 , x0 是第二类振荡型中断点.(2 分) x0(2)f x在区间1,1上存在原函数 . (1分 )f x在区间1,1上的一个原函数为F x 1x2 sin11x0或0x 1 ;2x(上式 2 分,下式 1 分) 0x0 .(3)因为 x0 是f x在1,1上的独一中断点，f x 在1,1上有界 , 所以f x在区间1,1上可积 . (1分 )下边用 2种方法计算定积分 :方法 11 f x d x0f x dx1f x d x1011x2sin 1 01x2sin111sin11sin1sin1 (2分 )2x 12x02211方法 2 f x d x F x111sin11sin 1 sin1(2 分) 22五 .(14分) 已知曲面x2 2 y24z28 与平面 x 2 y2z0 的交线是椭圆 ,在 xOy 平面上的投影1也是椭圆 , (1)试求椭圆1的四个极点 A1, A2 , A3 , A4的坐标 ( A i位于第 i象限 ,i1,2,3,4);(2)判断椭圆的四个极点在xOy平面上的投影是不是1,A3,A4,A,A2写出原因 .(1)椭圆在 xOy平面上的投影为1:x 23y 2 2 xy 4,分 )解z(2因为 1 对于原0.点中心对称 , 所以椭圆1的中心是 0, 0 , 为了求椭圆 1 的四个极点的坐标, 只需求椭圆1上到坐标原点的最大距离与最小距离的点.取拉格朗日函数F x2y2x23y22xy4,(1分)由F x 2 x2x y0,F y 2 y2 3 y x0,x2 3 y 2 2 xy4的 1,2式消去得 x2y22xy0,与第3式联立解得y 1. (2分)当 y1时解得可疑的条件极值点 A 1 1 2,1 ,A 2 1 2,1 , 当 y 1时解得可疑的条件极值点 A 12, 1,A 12, 1,因为椭圆1的四个极点存在 ,则上述 A 1 , A 2 , A 3 , A 4 的坐标34即为所求四个极点的坐标.(2 分)(2) 解法 1 椭圆的四个极点在 xOy 平面上的投影不是 A 1,A 2,A 3,A 4 (1 分)( 反证)假定椭圆的四个极点 B 1 ,B 2 , B 3 , B 4 在 xOy 平面上的投影是 A 1 , A 2, A 3, A 4 , 则 B 1,B 2, B 3,B 4的坐标为B 11 2,1,12,B 21 2,1, 12 ,22B 3 12, 1,12,B 412, 1,12, (2分)221 因为椭圆的中心是 0,0,0 , 所以椭圆的短半轴OB 1 OB 3 19 72 , 长半轴2OB 2OB 411972 , 由此得椭圆所围图形的面积为 S1 192 72 17 ,244(2 分 ) 这是不对的 . 因为OA 1 OA 3 422, OA 2 OA 4 422,所以椭圆 1 的长半轴 a 4 2 2, 短半轴 b4 2 2, 于是椭圆1 所围图形的面积为 S 1ab2 2 .(1 分 ) 因为平面 x 2y2z0 的法向量的方向余弦中cos2. 所以3椭圆所围图形的面积应为SS 1 3 2 ，导出矛盾 . (1 分)cos解法 2 椭圆的四个极点在 xOy 平面上的投影不是 A 1, A 2 , A 3, A 4 (1 分)(反证)假定椭圆的四个极点 B 1 , B 2 , B 3 ,B 4 在 xOy 平面上的投影是 A 1, A 2 , A 3 , A 4 , 则此中 B 1 的坐标为B 1 12,1,12 , (1 分)2因为对于原点中心对称 , 所以椭圆的中心是 0, 0，0 , 为了求椭圆的四个极点知足的方程 , 只需求椭圆上到坐标原点的最大距离与最小距离的点. 令F x 2 y 2 z 2x 2 2y 2 4z 2 8 x 2y 2z ,F x2x2x0,F y 2 y4y20,F y2z8z20,(2分 )2228,x 2 y 4 zx 2 y2z0,由方程组中（ 1），（ 2），（ 3）式联立消去，得 3xz yz xy0，(2分)将B1的坐标 x12, y1, z 12代入得23xz yz xy321211 2 121120，222即 B1的坐标不知足方程组，所以 B1不是椭圆的极点。

江苏省高等数学竞赛本科级试题与评分标准(一)

江苏省高等数学竞赛本科级试题与评分标准(一)江苏省高等数学竞赛本科级试题和评分标准是一项重要的数学技能评估活动。

在本次竞赛中，评分标准起着至关重要的作用。

评分标准不仅决定了考试成绩的计算方式，而且也体现了竞赛评分者对学生数学水平的认知。

本文将详细介绍江苏省高等数学竞赛本科级试题和评分标准，以便于竞赛参与者更好地了解竞赛并备战。

试题分析江苏省高等数学竞赛本科级试题旨在考察参赛学生的数学思维能力和素质。

试题难度逐级提高，分别从选择题、填空题、证明题和应用题四个方面进行测试。

选择题和填空题主要考察学生的数学基础知识和解决问题的能力，证明题则更偏重于学生的推理和论证能力。

应用题则结合实际问题进行考察，需要学生将抽象理论与实践相结合，丰富其数学思维。

评分标准江苏省高等数学竞赛本科级评分标准主要分为两个部分：试题得分和满分。

试题得分根据学生对不同难度级别试题的答案正确率进行加权。

满分则是指总分，也就是学生在所有试题中可获得的最大分数。

对于选择题，每个题目的实际得分有三种情况。

如果参赛选手回答正确，则该题得分为该题分值；如果回答错误，则得分为0；未作答则计为0分。

填空题亦是如此。

对于证明题，如果参赛选手证明正确，则该题得分为该题分值，反之则为0分。

对于应用题，情况稍有不同。

应用题的得分计算方式为：学生需要先完成所有题目，获得所有的解题思路和计算方式。

如果该题是否定回答，则该题得分为该题分值的一半；如果回答错误，再回答正确情况下得分的一半；如果回答正确，则该题得分为该题分值。

如果参赛选手未能完成所有题目，则该题记为0分。

本文介绍了江苏省高等数学竞赛本科级试题和评分标准。

试题难度分层，主要考察参赛选手的数学思维能力和素质。

评分标准则以得分和满分为主，通过对不同难度测试题的答对记录和正确率进行加权，最终得出学生成绩。

通过本文，相信参赛学生可以对江苏省高等数学竞赛本科级有更全面的认识，并更加有效地备战竞赛。

江苏高等数学竞赛历年试题(本一)

2000年江苏省第五届高等数学竞赛试题（本科一级）一、填空（每题3分，共15分） 1.设()f x =()f f x =⎡⎤⎣⎦ .2. 1limln 1x x x xx x →-=-+ . 3.()14451x dx x=+⎰.4.通过直线122123:32;:312321x t x t L y t L y t z t z t =-=+⎧⎧⎪⎪=+=-⎨⎨⎪⎪=-=+⎩⎩的平面方程为 .5.设(),z z x y =由方程,0y z F x x ⎛⎫=⎪⎝⎭确定（F 为任意可微函数），则z z x y x y ∂∂+=∂∂ 二、选择题（每题3分，共15分）1.对于函数112121xxy -=+，点0x =是( )A. 连续点；B. 第一类间断点；C. 第二类间断点；D 可去间断点2.设()f x 可导，()()()1sin F x f x x =+，若欲使()F x 在0x =可导，则必有（） A. ()00f '=； B. ()00f =；C. ()()000f f '+=；D ()()000f f '-=3. ()00sin limx y x y x y →→+=- （） A. 等于1； B. 等于0；C. 等于1-；D 不存在 4.若()()0000,,,x y x y f f xy∂∂∂∂都存在，则(),f x y 在()00,x y ( )A. 极限存在，但不一定连续；B. 极限存在且连续；C. 沿任意方向的方向导数存在； D 极限不一定存在，也不一定连续 5.设α为常数，则级数21sin n n n α∞=⎛ ⎝∑ ( )A. 绝对收敛B. 条件收敛；C. 发散； D 收敛性与α取值有关三（6分）设()f x 有连续导数，()()00,00f f '=≠，求()()2002limx xx f t dtxf t dt→⎰⎰.四（6分）已知函数()y y x =由参数方程(1)010y x t t te y +-=⎧⎨++=⎩确定，求202t d ydx =.五（6分）设()(),f x g x 在[],a b 上可微，且()0g x '≠，证明存在一点()c a c b <<，使得()()()()()()f a f c f cg c g b g c '-='-. 六（6分）设()f x x =，()sin 0202x x g x x ππ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩，求()()()0x F x f t g x t dt =-⎰.七（6分）已知(),u u x y =由方程()()(),,,,,,0,,0u f x y z t g y z t h z t ===确定，其中,,f g h 都是可微函数，求,u ux y∂∂∂∂. 八（8分）过抛物线2y x =上一点()2,a a 作切线，问a 为何值时所作的切线与抛物线241y x x =-+-所围成的平面图形面积最小. 九（8分）求级数2311111323333nn +++++⋅⋅⋅⋅的和.十（8分）设()f x 在[],a b 上连续且大于零，利用二重积分证明不等式：()()()21bbaaf x dx dx b a f x ≥-⎰⎰. 十一（8分）已知两个球的半径分别为,()a b a b >，且小球球心在大球球面上，试求小球在大球内的那部分的体积.十二（8分）计算曲面积分()222xy z ds ∑++⎰⎰，其中∑为曲面0)z a =>.2002年江苏省第六届高等数学竞赛试题（本科一级）一.填空（每题5分，共40分）1.()tan 0lim0x xkx e e c c x →-=≠，则k = ，c = 2. 设()f x 在[)1,+∞上可导，下列结论成立的是A. 若()lim 0x f x →+∞'=，则()f x 在[)1,+∞上有界B. 若()lim 0x f x →+∞'≠，则()f x 在[)1,+∞上无界C. 若()lim 1x f x →+∞'=，则()f x 在[)1,+∞上无界3. 设由()1yex y x x -+-=+确定()y y x =，则()0y ''= .4.arcsin arccos x xdx ⋅=⎰.5. 曲线22222z x y x y y⎧=+⎨+=⎩，在点()1,1,2的切线的参数方程为 . 6.设(),sin xy z f g e y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，f 有二阶连续导数，g 有二阶连续偏导数，则2z x y ∂=∂∂7. 交换二次积分的次序()2130,xx dx f x y dy -=⎰⎰.8.幂级数111112n n x n∞=+++∑的收敛域 .二.（8分）设40tan n n I xdx π=⎰，求证()()()1122121n I n n n <<≥+-.三.（8分）设()f x 在[],a b 上连续，()()0b bx aaf x dx f x e dx ==⎰⎰，求证: ()f x 在(),a b 内至少存在两个零点.四.（8分）求直线1211x y z-==-绕y 轴旋转一周的旋转曲面方程，求求该曲面与0,2y y ==所包围的立体的体积.五.（9分）设k 为常数，试判断级数()()221ln nkn n n ∞=-∑的敛散性，何时绝对收敛？何时条件收敛？何时发散？六.（9分）设()()()()(),0,0,0,0,0y x y f x y x y ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩讨论(),f x y 在()0,0连续性，可偏导性与可微性.七.（9分）设()f u 在0u =可导，()2200,:2,0f D x y tx y =+≤≥，求41lim t Dfydxdy t +→⎰⎰八.（9分）设曲线AB 的方程为()22430x y y x +=-≥，一质点P 在力F 作用下沿曲线AB 从()0,1A 运动到()0,3B ，力F 的大小等于P 到定点()2,0M 的距离，其方向垂直于线段MP ，且与y 轴正向的夹角为锐角，求力F 对质点P 做得功.2004年江苏省第七届高等数学竞赛试题（本科一级）一.填空（每题5分，共40分）1.0x →时，sin cos cos 2x x x x -⋅⋅与kcx 为等价无穷小，则c = 2. 21lim arctan x x x x →∞⎛⎫= ⎪⎝⎭3. 2lim n n →∞⎛⎫++=+ 4. ()()4ln 1,4f x x x n =->时()()0n f =5.()2sin cos cos sin x x xdx x x +⋅=-⎰6.()112nn nn ∞==+∑ . 7.设(),f x y 可微，()()()1,22,1,23,1,24x y f f f ''===，()()(),,2x f x f x x ϕ=，则()1ϕ'= . 8. 设()()010x x f x g x ≤≤⎧==⎨⎩其他，D 为,x y -∞<<+∞-∞<<+∞，则()()Df y f x y dxdy +=⎰⎰ .二．（10分）设()f x '在[],a b 上连续，()f x 在(),a b 内二阶可导，()()0f a f b ==，()0baf x dx =⎰，求证:1) (),a b 内至少存在一点ξ使得()()f fξξ'=；2）(),a b 内至少存在一点,,ηηξ≠使得()()f f ηη''=三.（10分）设22:4,D x y x y x +≤≤-，在D 的边界y x =-上任取点P ,设P 到原点距离为t ，作PQ 垂直于y x =-，交D 的边界224x y x +=于Q1）试将,P Q 的距离PQ 表示为t 的函数；2）求D 饶y x =-旋转一周的旋转体的体积. 四（10分）已知点(1,0,1),(3,1,2)P Q ,在平面212x y z 上求一点M ，使PM MQ 最小.五（10分）求幂级数()()1132n nn n x n ∞=+-∑的收敛域.六（10分）求证：332ππΩ<<，其中222:1x y z Ω++≤. 七（10分）设()f x 连续，可导，()11f =，G 为不含原点单连通域，任取,M N G ∈，G 内积分()()212NMydx xdy x f y -+⎰与路径无关. （1）求()f x ；（2）求()()212ydx xdy x f y Γ-+⎰其中Γ为22331x y +=边界取正向.2006年江苏省第八届高等数学竞赛试题（本科一级）一.填空（每题5分，共40分）1.()3xf x a =，()()()41limln 12n f f f n n →∞=⎡⎤⎣⎦2. ()()2501lim 1xtx x e dt x -→-=⎰3.()122arctan 1xdx x =+⎰4.已知点()4,0,0,(0,2,0),(0,0,2)A B C --,O 为坐标原点，则四面体OABC 的内接球面方程为5. 设由y zx ze+=确定(,)z z x y =，则(),0e dz =6.函数()()2,x f x y e ax b y -=+-中常数,a b 满足条件时，()1,0f -为其极大值.7.设Γ是sin (0)y a x a =>上从点()0,0到(),0π的一段曲线，a = 时，曲线积分()()222y x y dx xy e dy Γ+++⎰取最大值.8.级数()111n n ∞+=-∑条件收敛时，常数p 的取值范围是二.（10分）某人由甲地开汽车出发，沿直线行驶，经2小时到达乙地停止，一路畅通，若开车的最大速度为100公里/小时，求证：该汽车在行驶途中加速度的变化率的最小值不大于200-公里/小时3. 三.（10分）曲线Γ的极坐标方程为1cos 02πρθθ⎛⎫=+≤≤ ⎪⎝⎭，求该曲线在4πθ=所对应的点的切线L 的直角坐标方程，并求切线L 与x 轴围成图形的面积.四（8分）设()f x 在(),-∞+∞上是导数连续的有界函数，()()1f x f x '-≤，求证：()()1.,f x x ≤∈-∞+∞. 五（12分）设锥面22233(0)z x y z =+≥被平面40x +=截下的有限部分为∑.（1）求曲面∑的面积；（2）用薄铁片制作∑的模型，(1A B -为∑上的两点，O 为原点，将∑沿线段OB 剪开并展成平面图形D ，以OA 方向为极坐标轴建立平面极坐标系，写出D 的边界的极坐标方程.六（10分）曲线220x zy ⎧=⎨=⎩绕z 轴旋转一周生成的曲面与1,2z z ==所围成的立体区域记为Ω，求2221dxdydz x y z Ω++⎰⎰⎰.七（10分）1）设幂级数21nn n a x ∞=∑的收敛域为[]1,1-，求证幂级数1nn n a x n ∞=∑的收敛域也为[]1,1-；2）试问命题1）的逆命题是否正确，若正确给出证明；若不正确举一反例说明.2008年江苏省第九届高等数学竞赛题（本科一级）一．填空题（每题5分，共40分） 1.a，b时，2limarctan 2xaxx xbxx2. a ，b 时()ln(1)1xf x ax bx在0x时关于x 的无穷小的阶数最高。

2016年江苏省第十三届高等数学竞赛试题（本科一级）讲解

2016年江苏省第⼗三届⾼等数学竞赛试题（本科⼀级）讲解江西省南昌市2015-2016学年度第⼀学期期末试卷（江西师⼤附中使⽤）⾼三理科数学分析⼀、整体解读试卷紧扣教材和考试说明，从考⽣熟悉的基础知识⼊⼿，多⾓度、多层次地考查了学⽣的数学理性思维能⼒及对数学本质的理解能⼒，⽴⾜基础，先易后难，难易适中，强调应⽤，不偏不怪，达到了“考基础、考能⼒、考素质”的⽬标。

试卷所涉及的知识内容都在考试⼤纲的范围内，⼏乎覆盖了⾼中所学知识的全部重要内容，体现了“重点知识重点考查”的原则。

1．回归教材，注重基础试卷遵循了考查基础知识为主体的原则，尤其是考试说明中的⼤部分知识点均有涉及，其中应⽤题与抗战胜利70周年为背景，把爱国主义教育渗透到试题当中，使学⽣感受到了数学的育才价值，所有这些题⽬的设计都回归教材和中学教学实际，操作性强。

2．适当设置题⽬难度与区分度选择题第12题和填空题第16题以及解答题的第21题，都是综合性问题，难度较⼤，学⽣不仅要有较强的分析问题和解决问题的能⼒，以及扎实深厚的数学基本功，⽽且还要掌握必须的数学思想与⽅法，否则在有限的时间内，很难完成。

3．布局合理，考查全⾯，着重数学⽅法和数学思想的考察在选择题，填空题，解答题和三选⼀问题中，试卷均对⾼中数学中的重点内容进⾏了反复考查。

包括函数，三⾓函数，数列、⽴体⼏何、概率统计、解析⼏何、导数等⼏⼤版块问题。

这些问题都是以知识为载体，⽴意于能⼒，让数学思想⽅法和数学思维⽅式贯穿于整个试题的解答过程之中。

⼆、亮点试题分析1．【试卷原题】11.已知,,A B C 是单位圆上互不相同的三点，且满⾜AB AC →→=，则A BA C →→的最⼩值为（）A ．14- B ．12-C ．34-D ．1-【考查⽅向】本题主要考查了平⾯向量的线性运算及向量的数量积等知识，是向量与三⾓的典型综合题。

解法较多，属于较难题，得分率较低。

【易错点】1．不能正确⽤OA ，OB，OC 表⽰其它向量。

江苏省第十一届高等数学竞赛题(本一)试卷评分标准

2012年江苏省普通高等学校第十一届高等数学竞赛试题（本科一级）评分标准一、填空题（每小题4分，共32分，把答案写在题中横线上）1、x→2、()()2ln 1,ny x y =−=则 3、820sin d x x π=∫ 4、1∫5、函数 ()()(),,,x x f x y ϕψ皆可微，设()()(),,z f x y x y ϕψ=+则z z x y∂∂−∂∂ =6、()2222,d d d x y z z x y z x y z ΩΩ++≤++=∫∫∫设：则 7、到直线 (213−点，，)13122x y z−+==−的距离为 8、级数()()211k nnn n n ∞=−+−∑为条件收敛，则常数 k二、（每小题6分，共12分）（1）求 ()11231lim n n nn→∞+−+−+−⋅""（2）设在处三阶可导，且)(x f 0=x (0)0,(0)3f f ′′′==，求 30(e 1)()lim .x x f f x x→−−三、（每小题6分，共12分）在下面两题中，分别指出满足条件的函数是否存在？若存在，举一例，并证明满足条件；若不存在，请给出证明.（1）函数()f x 在处可导，但在0x =0x =的某去心邻域内处处不可导.（2）函数()f x 在(),δδ−上一阶可导()0δ>，()0f 为极值，且()()0,0f 为曲线的拐点.()y f x =四、（10分）设函数(,)f x y 在平面区域D 上可微，线段位于PQ D 内，点的坐标分别为,P Q (),P a b ，,求证：在线段上存在点(,Q x y )PQ (),M ,ξη使得()()()()()(),,,,x y .f x y f a b f x a f y b ξηξη′′=+−+−五、（12分）计算曲线积分222222222()d ()d ()d x y z x y z x y z x y Γ+−++−++−∫v z , 其中 2226x y z y Γ++=为与 224x y y +=(0)z ≥ 的交线，从轴正向看去为逆时针方向..z六、（12分）点()()1,2,1,5,2,3A B −−在平面:223x y z Π−−=的两侧，过点,A B 作球面使其在平面ΣΠ上截得的圆Γ最小，（1）求球面的球心坐标与该球面的方程； Σ（2）证明: 直线与平面的交点是圆AB ΠΓ的圆心.七、（10分）求级数()()21112nnnn nn∞=++−∑ 的和.。

江苏省高等数学竞赛本科一级历年真题PPT

2 n! 2
（2004） f (x) = x4 ln(1− x), n > 4 时 f (n) (0) =
− n! n−4
（2010） y = cos2 x, 则 y(n) =
( ) （2012） y = ln 1 − x2 ，则 y(n) =
2 n −1
cos
⎛ ⎜⎝
2x
+
nπ
2
⎞ ⎟⎠
(−1)(
0
导数计算
（1991）设
P(x)
=
dn dx n
(1 −
xm )n
，其中 m, n
为正整数，则
(−1)n mnn!
P(1) =
（1996）若 f (x) = x(2x −1)(3x − 2)"(100x − 99) ，则 f ′(0) = −99!
( ) （1994）若 f (x) = x2 − 3x − 2 n cos π x2 ，则 f (n) (2) = 16
1+ x2 + 1− x2 − 2
（1998） lim
x→0
1+ x4 −1
−1 2
其他方法
（1994）已知 f (0) = 0, f ′(0) 存在，求
导数定义
lim[
n→∞
f
(
1 n2
)
+
f
2 (n2
) +"+
f
n ( n2 )]
1 f '(0) 2
（1998） lim | sin(π n2 + n ) |
1
dx
x
3x
2 −2 e2 e
（2002）设由 e− y + x( y − x) = 1+ x 确定 y = y(x) ，则 y′′(0) =

江苏省普通高等学校第十四届高等数学竞赛(本一)

江苏省普通高等学校第十四届高等数学竞赛（本一）南京晓庄学院获奖名单
姓名王杏龙周勇
单位南京晓庄学院南京晓庄学院
获奖等级一等奖一等奖
备注
江苏省普通高等学校第十四届高等数学竞赛（本三）南京晓庄学院获奖名单
姓名申李周杨中婕杰丽
单位南京晓庄学院南京晓庄学院南京晓庄学院南京晓庄学院
获奖等级二等奖二等奖二等奖三等奖
备注
1/7

贺韩
婕清
南京晓庄学院南京晓庄学院南京晓庄学院南京晓庄学院南京晓庄学院南京晓庄学院南京晓庄学院南京晓庄学院南京晓庄学院南京晓庄学院南京晓庄学院
三等奖三等奖三等奖三等奖三等奖三等奖三等奖三等奖三等奖三等奖三等奖
钱文慧黄董陈张叶颖源磊伟彤
谢敏寰陆晓蕾吴笑怡
2/7

3/7

4/7

5/7

6/7

7/7

。

江苏省高等数学竞赛题(本科一级)

2008年江苏省高等数学竞赛题（本科一级）一．填空题（每题5分，共40分）1.a =，b =时，2lim arctan 2x ax x x bx x p +=--2. a =，b =时()ln(1)1xf x ax bx =-++在0x ?时关于x 的无穷小的阶数最高。

3.2420sin cos x xdx p =ò4.通过点()1,1,1-与直线,2,2x t y z t ===+的平面方程为5.设222,xz x y =-则(2,1)n n zy ??=6.设D 为,0,1y x x y ===围成区域，则arctan D ydxdy=蝌7.设G 为222(0)x y x y +=?上从(0,0)O 到(2,0)A 的一段弧，则()()x x ye x dx e xy dy G ++-ò=8.幂级数1n n nx ￥=?的和函数为，收敛域为。

二．（8分）设数列{}n x 为1223,33,,33(1,2,)n n x x x x n +==-=-+=L L 证明：数列{}n x 收敛，并求其极限三．（8分）设()f x 在[],a b 上具有连续的导数，求证/1max ()()()b b a x b a a f x f x dx f x dx b a ＃?-蝌四．（8分）1）证明曲面:(cos )cos ,sin ,(cos )sin x b a y a z b a q j q q j S =+==+()02,02q p j p ＃＃()0a b <<为旋转曲面2）求旋转曲面S 所围成立体的体积五．（10分）函数(,)u x y 具有连续的二阶偏导数，算子A 定义为(),u u A u x y x y抖=+抖1）求(())A u A u -；2)利用结论1）以,y x y xx h ==-为新的自变量改变方程222222220u u ux xy y x x y y 抖?++=抖抖的形式六．（8分）求26001lim sin()t tx t dx xy dyt +?蝌七．（9分）设222:1(0)x y z z S ++=?的外侧，连续函数222(,)2()()()((,)2)z z z f x y x y x z e dydz y z e dzdx zf x y e dxdy S=-+++++-蝌求(,)f x y 八．（9分）求23(3)()(1)(13)x x f x x x -=--的关于x 的幂级数展开式。

江苏省高等数学竞赛试题

2010年江苏省高等数学竞赛试题（本科一级）一.填空（每题4分，共32分） 1.()()3sin sin limsin x x x x →-=2.设函数,f ϕ可导，()()arctan tan y f x x ϕ=+，则y '=3. 2cos y x =，则()n y =4.21x xdx x e +=⎰5. 4211dx x +∞=-⎰ 6.圆222222042219x y z x y z x y z +-+=⎧⎨++--+≤⎩的面积为 7.设2,,x f x y f y ⎛⎫- ⎪⎝⎭可微，()()123,22,3,23f f ''==，则()(),2,1x y dz==8.级数()()1111!2!nnn n n ∞=+--∑的和为二．（10分）设()f x 在[]0,c 上二阶可导，证明：存在()0,c ξ∈，使得()()()()()30212cc c f x dx f f c f ξ''=+-⎰三．（10分）已知正方体1111ABCD A BC D -的边长为2，E 为11D C 的中点，F 为侧面正方形11BCC B 的中点，（1）试求过点1,,A E F 的平面与底面ABCD 所成二面角的值。

（2）试求过点1,,A E F 的平面截正方体所得到的截面的面积.四（12分）已知ABCD 是等腰梯形，//,8BC AD AB BC CD ++=,求,,AB BC AD 的长，使得梯形绕AD 旋转一周所得旋转体的体积最大。

五（12分）求二重积分()22cos sin Dx y dxdy +⎰⎰，其中22:1D x y +≤六．（12分）应用高斯公式计算()222ax by cz dS ∑++⎰⎰，（,,a b c 为常数）其中222:2x y y z ∑++=.七.（12分）已知数列{}n a ，123111,2,5,,3n n n a a a a a a +-====- ()2,3,,n =记1n n x a =，判别级数1n n x ∞=∑的敛散性.2010年江苏省《高等数学》竞赛试题（本科二级）一填空题（每题4分，共32分） 1.0sin sin(sin )limsin x x x x→-=2.2ln(1x y x +=+，/y = 3.2cos y x =，()()n y x = 4.21xx e dx x-=⎰ 5.4211dx x +∞=-⎰6.圆222222042219x y z x y z x y z +-+=⎧⎪⎨++--+≤⎪⎩的面积为 7.(2,)xz f x y y=-，f 可微，//12(3,2)2,(3,2)3f f ==，则(,)(2,1)x y dz==8.级数11(1)!2!n nn n n ∞=+-∑的和为 . 二.（10分）设()f x 在[],a b 上连续，且()()bbaab f x dx xf x dx =⎰⎰，求证：存在点(),a b ξ∈，使得()0af x dx ξ=⎰.三．（10分）已知正方体1111ABCD A BC D -的边长为2，E 为11D C 的中点，F 为侧面正方形11BCC B 的中点，（1）试求过点1,,A E F 的平面与底面ABCD 所成二面角的值。

1第十四届江苏省大学生数学竞赛.本一试题与评分标准

f x f 2 x2
5. （2 分）
6
3. （5 分）设 x 表示实数 x 的整数部分，试求定积分
1/6
1 1 d x. x x
(一)
解
作换元变换,令
1 x
6 1/ 6
t ，则
原式 2
2 6 6 1 2 [t ] [t ] dt dt 2 dt （2 分） 2 dt 2 t t 1 t 2 t 1
t d
(2 分)
F x n b x
n 1
f t dt b x f x n 1b x f x
n n x
b
n b x
n 1

b x
f t d t n b x f x
x, y 0
x2 y 2 .

xn , yn
1 , 0 n
n N* ,
当 n 充分大时,显然有 xn , yn U , 且
1 1 1 f xn , yn f , 0 2 3 0 n n n

(本一)
解 1) 令 an
12 22 n2 , 则 n3 12 n3 22 n3 n 2 12 22 n2 12 22 n2 （2 分） an 3 2 n n n3 12
n n 1 2n 1 1 12 22 n2 n lim 3 2 n n 3 6 n3 n 2 n n 1 2n 1 1 12 22 n2 n lim （2 分） 3 2 n 1 3 6 n3 12

2008江苏省高校第9届高等数学赛试题(答案)

2008年江苏省高等数学竞赛题（本科一级）一．填空题（每题5分，共40分） 1.a1，b 2时，2limarctan 2xax xxbx x解析：考虑单侧极限. 2. a1，b12时()ln(1)1xf x ax bx在0x 时关于x 的无穷小的阶数最高。

解析：考虑幂级数展开式. 3.2420sin cos x xdx32.解析：利用公式220sin cos n n xdxxdx .4.通过点1,1,1与直线,2,2x t y z t 的平面方程为460x y z .解析：求出方向向量. 5.设222,x zxy则(2,1)nnzy=1(1)!13nn n . 解析：22211x zxyx y x y.6.设D 为,0,1y x x y 围成区域，则arctan Dydxdy 24.解析：看作Y 型区域直接积分. 7.设为222(0)x y x y上从(0,0)O 到(2,0)A 的一段弧，则()()xxye x dxe xy dy =83.解析：考虑格林公式. 8.幂级数1n n nx 的和函数为2(1)x x ，收敛域为(1,1).解析：11211111(1)x nnn n n n n n x xnx xnx xnx dx xx x x x '''. 二．（8分）设数列n x 为1223,33,,33(1,2,)nn x x x x n证明：数列n x 收敛，并求其极限。

解析：223133132331n nnnnx x x x x1111232n n nx x x . 所以222211111111331222n n n n x x x 2121111111131222nn n nx x x易知，2211,1,()nnx x n，所以1,()nx n.三．（8分）设()f x 在,a b 上具有连续的导数，求证/1max ()()()b b a x baaf x f x dxf x dx b a解析：根据积分中值定理，(,)a b ，使()()baf x dx f ba，[,]x a b ，()()(),xf t dtf x f '故()()(),xf x f f t dt '因而1()()()()(),xb b aaf x f f t dtf x dxf t dt b a''于是/1max ()()()b b a x baaf x f x dxf x dx b a.四．（8分）1）证明曲面:(cos )cos ,sin ,(cos )sin x b a y a z b a02,020a b 为旋转曲面2）求旋转曲面所围成立体的体积解析：（1）令cos tb a ，消掉参数,得方程22222zby a ，显然该曲面是由xoy 面上曲线222x by a 绕y 轴旋转一周得到的旋转曲面。