一元一次不等式组的概念及其解法
一元一次不等式知识点及典型例题
例 2 用>”或<”填空，并说明理由
如果 a<b 则 1）a-2( )b-2
2）-
a 2
-
b 2
例 3 把下列不等式变成 x>a x<a 的形式。
3)-3a-5( )-3b-5
X+4>7
5x<1+4x
-
4 5
x>-1
2x+5<4x-2
例 4 已知实数 a/b/c/在数轴上的对应点如图，则下列式子正确的是（ ）
答案：C 把不等式组
的解集表示在数轴上，正确的为图 3 中的（ ）
不等式组
的解集在数轴上可表示为（ ）
A 答案：D
B
C
D
实数 在数轴上对应的点如图所示，则 ， ， 的大小关系正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
答案：B
用
表示三种不同的物体，现放在天平上比较两次，情况如图所示，那么
这三种物体按质量从大到小的顺序排列应为（ ）
解：解不等式（1），得 原不等式组的解是
． 解不等式（2），得
．
．
（1）方程
的解为
（2）解不等式
≥9；
（3）若
≤a 对任意的 x 都成立，求 a 的取值范围
解：（1）1 或 ． （2） 和 的距离为 7，
因此，满足不等式的解对应的点 3 与 的两侧．
当 在 3 的右边时，如图（2）， 易知
．
解不等式组
宿州市第二初级中学 陆连荣
6、不等式与不等式组
一元一次不等式
不等式：①用符号〉，=，〈号连接的式子叫不等式。②不等式的两边都加上或减去同一个
一元一次不等式组的知识点及其经典习题讲解
一元一次不等式组的知识点及其经典习题讲解知识点一：一元一次不等式组由含有同一未知数的几个一元一次不等式组合在一起，叫做一元一次不等式组。
如：，。
要点诠释：在理解一元一次不等式组的定义时，应注意两点：(1)不等式组里不等式的个数并未规定，只要不是一个，两个、三个、四个等都行；(2)在同一不等式组中的未知数必须是同一个，不能在这个不等式中是这个未知数，而在另一个不等式中是另一个未知数。
知识点二：一元一次不等式组的解集组成一元一次不等式组的几个不等式的解集的公共部分叫做一元一次不等式组的解集.(1)求几个一元一次不等式的解集的公共部分，通常是利用数轴来确定的，公共部分是指数轴上被各个不等式解集的区域都覆盖的部分。
(2)用数轴表示由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集，一般可分为以下四种情况：知识点三：一元一次不等式组的解法求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组。
解一元一次不等式组的一般步骤为：(1)分别解不等式组中的每一个不等式；(2)将每一个不等式的解集在数轴上表示出来，找出它们的公共部分；(3)根据找出的公共部分写出这个一元一次不等式组的解集(若没有公共部分，说明这个不等式组无解).要点诠释：用数轴表示不等式组的解集时，要时刻牢记：大于向右画，小于向左画，有等号画实心圆点，无等号画空心圆圈。
知识点四：利用不等式或不等式组解决实际问题列不等式解应用题的基本步骤与列方程解应用题的步骤相类似，即（1）审：认真审题，分清已知量、未知量；（2）设：设出适当的未知数；（3）找：找出题中的不等关系，要抓住题中的关键字，如“大于”“小于”“不大于”“至少”“不超过”“超过”等关键词的含义；（4）列：根据题中的不等关系，列出不等式或不等式组；（5）解：解出所列的不等式或不等式组的解集；（6）答：检验是否符合题意，写出答案。
要点诠释：在以上步骤中，审题是基础，是根据不等关系列出不等式的关键，而根据题意找出不等关系又是解题的难点，特别要注意结合实际意义对一元一次不等式或不等式组的解进行合理取舍，这是初学者易错的地方。
一元一次不等式(组)及其解法
一.一元一次不等式的定义
只含有一个未知数, 只含有一个未知数,并且未知数的次数是一次的 不等式叫一元一次不等式. 不等式叫一元一次不等式.
二.形式: 形如 形式: 形如ax>b(a≠0)
如何解不等式ax>b(a ≠0)? 如何解不等式
b 分类讨论:a>0时,x> 分类讨论 时 a
1 − 3x 练习: (1)解不等式 − 7 ≤ <2 2 (2)解不等式组 : 4 + 2x > 7 x + 3 3x + 6 > 4 x + 5 2 x − 3 < 3x − 5
x+y=3 例8.方程组 8.方程组 的解满足 x-2y=-3+a 2y=-
x>0 ,求a的取值范围. 的取值范围. y>0
x
b a b a
x
b a<0时,x< 时 a
三.一元一次不等式的解法: 一元一次不等式的解法:
4 − 2x x −3 例1.解不等式 < 1− 3 4
去分母 去括号 移项b的形式 或 化成 的形式
练习：求不等式21 − 4 x > 5的非负整数解 1. 1 2 2.k取什么值时, 代数式 (1 − 5k ) − k的值为非负数. 2 3
2 3 x + 25 例2.关于x的方程 − ( x + m) = + 1的解是正数, 3 3 那么m的取值范围是什么?
四.一元一次不等式组
假设a>b 假设
x>a
(1)
x>b x>a
x>a
x<a
一元一次不等式组公开课评课
一元一次不等式组公开课评课前言在今天的公开课上，我们探讨的是一元一次不等式组的基础知识与解题技巧。
在此之前，我想简单介绍一下我的课程设计理念。
我的课程设计理念是以学生为中心，让学生在探究中实现知识的获取，强调启发式教学和课程渐进式难度递进。
一、知识篇1. 一元一次不等式组的概念一元一次不等式组是由一元一次不等式构成的一个集合。
其中的不等式可以为大于、小于、大于等于或小于等于的关系。
2. 解一元一次不等式组的方法解一元一次不等式组的方法可以分为以下两种：代入法和比较法。
代入法：将一元一次不等式组中的一个不等式的解代入到其他不等式中，逐次消去不等式中的变量，得到最终的解。
比较法：将一元一次不等式组中的不等式相互比较，逐次约束变量的取值范围，得到最终的解。
3. 一元一次不等式组的图像法解法我们可以将一元一次不等式组中的各个不等式画出来，将它们在坐标系中表示出来，通过比较不等式的图像得出它们的交集，即一元一次不等式组的解集。
二、技巧篇1. 方程组与不等式组的区别一个方程组需要求出变量的具体解，而一个不等式组只需要求出变量的取值范围。
2. 解题中常用的变形方法（1）乘法法则：若a>b且c>0，则ac>bc（2）加法法则：若a>b，则a+c>b+c3. 解题中常用的约束条件不等式的约束条件有两种：边界约束和相邻不等式之间的约束。
（1）边界约束：即不等式中的变量取值上、下限，通常有最大值和最小值。
（2）相邻不等式之间的约束：即前一个不等式的解集包含在后一个不等式的解集中。
三、案例分析篇案例：求解方程组{x+2y>3，2x-y<5}解题方法：比较法。
首先将两个不等式的解集相互比较，在第一个不等式中解出一个变量的取值范围，然后将这个取值范围代入到第二个不等式中，得到第二个不等式中另一个变量的取值范围。
最终，可以得到方程组的解集为{x>1，y>-1}。
结语通过今天的公开课，我们对一元一次不等式组的基础知识、解题技巧和应用案例有了更加深入的认识。
一元一次不等式和一元一次不等式组
一元一次不等式和一元一次不等式组知识梳理（一）基本概念1．不等式：2．不等式的解：3．不等式的解集：4．一元一次不等式：5．一元一次不等式组的解集：（二）不等式的基本性质基本性质1：基本性质2：基本性质3：（三）基本方法1．不等式解集的表示方法：（１） （２）2．不等式的解法：【与解方程类似，不同之处就在：左右两边同时乘以（或除以）一个负数时，不等号的方向一定要改变。
】3．不等式组解法：“分开解，集中判”解出各个不等式，再判断所有解集的公共部分即为不等式组的解集。
4．不等式组解集规律：“同大取大，同小取小，不大不小中间找，又大又小无解了。
” 请用数轴展现：设 a > b ：⎩⎨⎧bx a x ⎩⎨⎧b x a x ⎩⎨⎧b x a x ⎩⎨⎧bx a x（四）方法思想1．数形结合思想：不等式（组）解集的两种表示方法。
2．不等式与一次函数的关系，可以利用函数图像来分析解答。
如：一次函数y 1=k 1x+b 1，y 2=k 2x+b 2图像如右图所示，求不等式k 1x+b 1≤k 2x+b 2的解集。
专题一：不等式的有关概念与不等式的基本性质解不等式（组）（一）、不等式的基本性质练习1、已知a ＜b ，用“＜”或“＞”填空(1) a －3b －3；(2) 6a6b ；(3) －a －b ；(4) a －b 0；2aa+b2、若a <b ，则不等式○1a-5<b-5 ○2a+k <b+k ○32a <2b ○4ac <b 中成立的有（ ） Ａ、1个 Ｂ、2个 Ｃ、3个 Ｄ、4个3、不等式7+5x 〈24 的正整数解的个数是（ ）A.1个B.3个C.无数个D.4个4、已知32,5221+-=-=x y x y ，如果21y y <，则x 的取值范围是（ ）A ．2>xB ．2<xC ．2->xD ．2-<x5、当x 时，能使x+4＞0和2x+1>0同时成立6、关于x 的方程632=-x a 的解是正数，那么a 的取值范围：__________（二）、解不等式（组）1（1）4352+>-x x （2）11237x x --≤2、解下列不等式组（1）⎪⎩⎪⎨⎧->->13132x x （2）⎩⎨⎧>+≤0312x x（3）⎩⎨⎧-≤+>+145321x x x x （4）24321<--<-x专题三、不等式组的特解1、求不等式x x 228)2(5-≤+的非负整数解2、解不等式组()⎪⎩⎪⎨⎧---+≥+-xx x x 81311323 并写出该不等式组的整数解当堂练习1、求不等式组⎪⎩⎪⎨⎧-≤+421121 x x 的整数解2、求不等式()⎪⎩⎪⎨⎧-+≤+3212352x x x x 的正整数专题三 用不等式或不等式组解答实际问题一、课堂练习1、小明用30元钱买笔记本和练习本共30本，已知每个笔记本4元，每个练习本4角，那么他最多能买笔记本多少本？2、某校初一新生中有若干住宿生，分住若干间宿舍，若每间住4人，则还有21人无房住；若每间住7人，则有一间不空也不满，求住宿生人数．3、暑假，学校的老师将带领校、镇、市级“三好学生”去旅游.甲旅行社说：“其中一位带队老师买全票，全票价为240元，则其余老师和学生可享受半价优惠”；乙旅行社说：“包括带队老师和学生全部票价6折优惠”。
一元一次不等式组
解一元一次不等式组一、两个概念1.一元一次不等式组：类似于方程组，把含同一个未知数的两个或两个以上的一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组.2.一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集.二、解一元一次不等式组的一般步骤及解集类型1.一般步骤2．由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集通常有如下四种类型（其中a＜b）：不等式组数轴表示解集顺口溜x＞b 大大取较大x＜a 小小取较小a＜x＜b 大小、小大中间找无解大大、小小解不了一元一次不等式组解每个一元一次不等式在数轴上表示各不等式的解集确定各不等式解集的公共部分写出一元一次不等式组的解集x>a x>b x<a x<b x>a x<b x<a x>b逆用不等式组解集解题我们知道，由任意两个一元一次不等式组成的不等式组，最终都可转化为以下四种基本形式（其中a＜b）：①,,x ax b>⎧⎨>⎩⇒x＞b；②,,x ax b<⎧⎨<⎩⇒x＜a；③,,x ax b>⎧⎨<⎩⇒a＜x＜b；④,,x ax b<⎧⎨>⎩⇒无解．如能逆用上述结论，便可顺利解答某些字母范围（或取值）问题．请看下面的例题：例1：已知不等式组311,5xx a-⎧>⎪⎨⎪>⎩的解集为x＞2，则（）.（A）a＜2 （B）a≤2 （C）a＞2 （D）a≥2例2：若关于x的不等式组41,32x xx a+⎧>+⎪⎨⎪+<⎩的解集为x＜2，则a的取值范围是．例3：如果不等式组340,xx a-≤⎧⎨-≥⎩无解，则a的取值范围是．例4：已知不等式组3(2)(1)9,3212x xx mx+--≥⎧⎪⎨+>-⎪⎩的解集是1≤x＜2，求m的取值．小试牛刀：1．已知不等式组()324,213x xa xx--≤⎧⎪⎨+>-⎪⎩的解集是1≤x＜2，求a的值.2．如果不等式组230,xx m-≥⎧⎨≤⎩无解，则m的取值范围是___________.3．若关于x 的不等式组31,43x xx a+⎧>-⎪⎨⎪+<⎩的解集为x＜-1，则a的值为_____.不等式组在实际中应用------方案设计彰显魅力1：今年6月份，我市某果农收获荔枝30吨，香蕉13吨，现计划租用甲、乙两种货车共10辆，将这批水果全部运往深圳.已知甲种货车可装荔枝4吨和香蕉1吨，乙种货车可装荔枝、香蕉各2吨.该果农安排甲、乙两种货车时有几种方案？请你帮助设计出来.2：某校初三同学考试结束后要去旅游，需租用客车.若租40座客车若干辆正好坐满；若租50座客车则可少租一辆，最后一辆车还剩下不到20个空座.已知40座客车的租金是每辆150元，50座客车的租金是每辆170元，只选租其中一种车，问租那种车省钱？3： 2009年某县筹备20周年县庆，园林部门决定利用现有的3490盆甲种花卉和2950盆乙种花卉搭配A、B两种园艺造型共50个摆放在迎宾大道两侧，已知搭配一个A种造型需甲种花卉80盆，乙种花卉40盆，搭配一个B种造型需甲种花卉50盆，乙种花卉90盆．（1）某校九年级1班课外活动小组承接了这个园艺造型搭配方案的设计，问符合题意的搭配方案有几种？请你帮助设计出来．（2）若搭配一个A种造型的成本是800元，搭配一个B种造型的成本是960元，试说明（1）中哪种方案成本最低？最低成本是多少元？4、某商店需要购进一批电视机和洗衣机，根据市场调查，决定电视机进货量不少于洗衣机进货量的一半．电视机与洗衣机的进价和售价如下表：类别电视机洗衣机进价（元/台）1800 1500售价（元/台）2000 1600计划购进电视机和洗衣机共100台，商店最多可筹集资金161800元．（1）请你帮助商店算一算有多少种进货方案？（不考虑除进价之外的其它费用）（2）哪种进货方案待商店销售购进的电视机与洗衣机完毕后获得利润最多？并求出最多利润．5、某公司为了扩大经营，决定购进6台机器用于生产某种活塞，现有甲、乙两种机器供选择，其中每种机器的价格和每台机器日生产活塞的数量如下表，经过预算，本次购买机器所耗资金不能超过34万元.甲乙价格（万元/台）7 5每台日产量（个）100 60（1）按该公司要求可以有几种购买方案？（2）若该公司购进的6台机器的日生产能力不能低于380个，那么为了节约资金应选择哪种方案？。
《一元一次不等式组》说课稿
《一元一次不等式组》说课稿《一元一次不等式组》说课稿1各位评委老师：大家好！我是九集镇龙门中学老师，今天我展示课的内容是人教版数学七年级下册第九章第二节的第一课时《一元一次不等式》。
下面我就分别从教材、教法、学法、教学过程设计四个方面来说明我对这节课的教学设想。
一、教材分析教材的地位和作用在前面已学习了一元一次方程的相关知识和不等式的性质，本节课主要是通过类比一元一次方程的解法总结归纳出一元一次不等式的解法，并熟练运用不等式的性质解一元一次不等式。
只有学生掌握好了一元一次不等式的解法，才能更好学习后面的不等式组及不等式（组）的应用。
同时，学习本节课时涉及的类比思想、化归思想和数形结合思想对后续学习也是十分有益的，所以本课的教学不能仅仅停留在知识的探索上，更要注重数学方法和数学思想的渗透和传播。
日常生产生活中不等关系的情况常常发生，所以不等式在日常生产生活中的应用很广泛，它与数、式、方程、函数甚至几何图形有着密切的联系，它几乎渗透到初中数学的每一部分。
可见，本节课内容在本章乃至整个初中数学中都具有承上启下的作用，处于一个基础性、工具性的地位，不仅是对已有知识的运用和深化，还为后续继学习打下基础。
教学目标根据《课标》要求和上述教材分析，结合学生的实际情况，我制定了以下教学目标：知识与技能1．了解一元一次不等式、2．利用不等式性质解一元一次不等式，并通过解一元一次方程的步骤来探索解一元一次不等式的一般步骤，体会“比较”和“转化”的数学学习方法、3．用数轴表示解集，启发学生对数形结合思想的进一步理解和掌握、过程与方法1．通过类比一元一次方程的解法，引导启发学生掌握一元一次不等式的解法、2．通过练习巩固，能正确应用不等式性质解一元一次不等式、情感、态度与价值观3．在教学过程中引导学生体会数学中“比较”和“转化”的思想方法、4．通过本节的学习让学生体会不等式解集的奇异的数学美，激发学生学习数学的兴趣、教学重难点和教学关键根据上面的教材分析和《课标》要求，确定本节课的教学重点是：初步掌握一元一次不等式的解法；掌握解一元一次不等式的一般步骤，并能用数轴表示解集、为突出重点，本节课让学生积极参与、自主探索并掌握一元一次不等式的解法。
初中数学重点梳理：一元一次不等式(组)
一元一次不等式（组）知识定位不等式是一个比较重要的知识点，难度不是很大，在理解的基础上，使用适当的技巧即可解决。
知识梳理一、不等式与不等式的性质1、不等式：表示不等关系的式子。
（表示不等关系的常用符号：≠，＜，＞）。
2、不等式的性质：（l ）不等式的两边都加上（或减去）同一个数，不等号方向不改变，如a ＞ b ， c 为实数⇒a ＋c ＞b ＋c（2）不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号方向不变，如a ＞b ， c ＞0⇒ac ＞bc 。
（3）不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号方向改变，如a ＞b ，c ＜0⇒ac ＜bc.注：在不等式的两边都乘以（或除以）一个实数时，一定要养成好的习惯、就是先确定该数的数性（正数，零，负数）再确定不等号方向是否改变，不能像应用等式的性质那样随便，以防出错。
3、任意两个实数a ，b 的大小关系（三种）：（1）a – b ＞0⇔ a ＞b（2）a – b=0⇔a=b（3）a–b ＜0⇔a ＜b4、（1）a ＞b ＞0⇔b a >（2）a ＞b ＞0⇔22b a <二、不等式（组）的解、解集、解不等式1、能使一个不等式（组）成立的未知数的一个值叫做这个不等式（组）的一个解。
不等式的所有解的集合，叫做这个不等式的解集。
不等式组中各个不等式的解集的公共部分叫做不等式组的解集。
2．求不等式（组）的解集的过程叫做解不等式（组）三、不等式（组）的类型及解法1、一元一次不等式：（l ）概念：含有一个未知数并且含未知数的项的次数是一次的不等式，叫做一元一次不等式。
（2）解法：与解一元一次方程类似，但要特别注意当不等式的两边同乘以（或除以）一个负数时，不等号方向要改变。
2、一元一次不等式组：（l ）概念：含有相同未知数的几个一元一次不等式所组成的不等式组，叫做一元一次不等式组。
（2）解法：先求出各不等式的解集，再确定解集的公共部分。
注：求不等式组的解集一般借助数轴求解较方便。
一元一次方程与一元一次不等式
第一章：一元一次不等式和一元一次不等式组知识要点：1. 不等式：一般地用不等号连接的式子叫做不等式。
2. 不等式的基本性质：（1）不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变。
（2）不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。
（3）不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。
3. 解不等式：把不等式变为x>a 或x<a 的形式。
4. 一元一次不等式：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，不等式的左右两边都是整式的不等式，叫做一元一次不等式。
5. 解一元一次不等式的步骤：（1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）合并同类项；（5）系数化为16. 一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分。
法则：“同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小是无解。
”【典型例题】例1. 用不等式表示下列数量关系。
（1）a 的一半与－3的和小于或等于1。
（）的与的差的相反数不小于。
2a 3525-（）的相反数的不大于的倍加。
317516x x点评：用不等号表示的时候要准确理解“大”、“小”、“多”、“少”、“不大于”、“不小于”、“不多于”、“不少于”、“至少”、“至多”等词语的含义。
下面我们判断一下，以下的不等式是不是一元一次不等式.请大家讨论.2.一元一次不等式的解法.［例1］解不等式3－x ＜2x +6，并把它的解集表示在数轴上.［分析］要化成“x ＞a ”或“x ＜a ”的形式，首先要把不等式两边的x 或常数项转移到同一侧，变成“ax ＞b ”或“ax ＜b ”的形式，再根据不等式的基本性质求得.解一元一次方程的步骤吗？.有去分母；去括号；移项；合并同类项；系数化成1.［例2］解不等式22-x ≥37x -，并把它的解集在数轴上表示出来.请大家判断以下解法是否正确.若不正确，请改正.解不等式：312 -+-x≥5解：去分母，得－2x+1≥－15移项、合并同类项，得－2x≥－16两边同时除以－2，得x≥8.有两处错误.第一，在去分母时，两边同时乘以－3，根据不等式的基本性质3，不等号的方向要改变，第二，在最后一步，两边同时除以－2时，不等号的方向也应改变.［3.解一元一次不等式与解一元一次方程的区别与联系.联系：两种解法的步骤相似.区别：（1）不等式两边都乘以（或除以）同一个负数时，不等号的方向改变；而方程两边乘以（或除以）同一个负数时，等号不变.（2）一元一次不等式有无限多个解，而一元一次方程只有一个解.例2. 有理数x、y在数轴上的对应点如图所示，试用“>”或“<”号填空：x 0 y（1）x______y （2）x＋y_____0 （3）xy____0（4）x－y______0例3. 设“A、B、C、D”表示四种不同质量的物体，在天平秤上的情况如图所示，请你用“<”号将这四种物体的质量m A、m B、m C、m D从小到大排列：_____________________________。
如何解一元一次不等式组
如何解一元一次不等式组一元一次不等式组是指由若干个一元一次不等式构成的集合。
解一元一次不等式组的目标是找出满足所有不等式的解集。
解一元一次不等式组的方法有两种：图像法和代入法。
图像法是一种直观的解法，通过将每个不等式转化为对应的直线，然后观察这些直线的相对位置来确定解集。
具体步骤如下：1. 将每个不等式转化为对应的直线。
例如，不等式3x + 2 < 7可以转化为直线y = 3x + 2。
2. 将每个直线画在坐标系中。
确保坐标系能够包含所有直线的交点。
3. 观察直线的相对位置。
如果直线之间存在交点，那么交点所代表的坐标就是不等式组的解。
如果直线之间没有交点，那么不等式组没有解。
代入法是一种代数的解法，通过将一个不等式的解代入其他不等式中，检验是否满足所有不等式。
具体步骤如下：1. 选取一个不等式，将不等式的解作为代入值。
2. 将代入值代入其他不等式中，计算出结果。
3. 如果代入值满足所有不等式，那么代入值就是不等式组的解。
如果代入值不满足某个不等式，那么代入值不是不等式组的解。
需要注意的是，解一元一次不等式组时，有以下几个常见情况需要特别关注：1. 当不等式组中的不等式为“大于”或“小于”时，解集为开区间。
例如，不等式组{x > 1, x < 3}的解集为(1, 3)。
2. 当不等式组中的不等式为“大于等于”或“小于等于”时，解集为闭区间。
例如，不等式组{x ≥ 1, x ≤ 3}的解集为[1, 3]。
3. 当不等式组中的不等式为“不等于”时，解集为差集。
例如，不等式组{x ≠ 1, x ≠ 3}的解集为(-∞, 1)∪(1, 3)∪(3, +∞)。
解一元一次不等式组的过程中，还需要注意以下几点：1. 在进行图像法时，需要注意直线的斜率和截距的计算，确保正确画出直线。
2. 在进行代入法时，需要注意代入值的选择。
通常选择较简单的不等式作为代入值。
3. 在进行代入法时，需要注意代入值的范围。
专题10一元一次不等式(组)及其应用(知识点总结+例题讲解)-2021届中考数学一轮复习
2021年中考数学专题10 一元一次不等式(组)及其应用（知识点总结+例题讲解）一、不等式及其性质：1.不等式的定义：用不等号“＞”、“≥”、“＜”、“≤”或“≠”表示不等关系的式子，叫做不等式；2.不等式的解：使不等式成立的未知数的值；3.不等式的解集：（1）对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数的值，都叫做这个不等式的解；（2）对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集；4.解不等式：求不等式的解集的过程，叫做解不等式；5.不等式基本性质：（1）不等式两边加(或减)同一个数(或同一个整式)，不等号的方向不变；若a＞b，则a±c＞b±c；（2）不等式两边乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；若a＞b，c＞0，则ac＞bc(或a b＞)；c c（3）不等式两边乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变；若a＞b，c＜0，则ac＜bc(或a b＜)；c c【例题1】下列式子：（1）4＞0；（2）2x+3y＜0；（3）x＝3；（4）x≠y；（5）x+y；（6）x+3≤7中，不等式的个数有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】C【解析】主要依据不等式的定义，用“＞”、“≥”、“＜”、“≤”、“≠”等不等号表示不相等关系的式子是不等式来判断．解：根据不等式的定义，只要有不等符号的式子就是不等式，所以（1），（2），（4），（6）为不等式，共有4个．故选：C．【变式练习1】据气象台预报，2019年某日武侯区最高气温33℃，最低气温24℃，则当天气温（℃：）的变化范围是（）A．t＞33 B．t≤24 C．24＜t＜33 D．24≤t≤33【答案】D【解析】已知某日武侯区的最高气温和最低气温，可知某日武侯区的气温的变化范围应该在最高气温和最低气温之间，且包括最高气温和最低气温．解：由题意知：武侯区的最高气温是33℃，最低气温24℃，所以当天武侯区的气温（t℃）的变化范围为：24≤t≤33．故选：D．【例题2】（2020•贵港）如果a＜b，c＜0，那么下列不等式中不成立的是（）A．a+c＜b+c B．ac＞bc C．ac+1＞bc+1 D．ac2＞bc2【答案】D【解析】根据不等式的性质解答即可．解：A、由a＜b，c＜0得到：a+c＜b+c，原变形正确，故此选项不符合题意；B、由a＜b，c＜0得到：ac＞bc，原变形正确，故此选项不符合题意；C、由a＜b，c＜0得到：ac+1＞bc+1，原变形正确，故此选项不符合题意；D、由a＜b，c＜0得到：ac2＜bc2，原变形错误，故此选项符合题意．故选：D．【变式练习2】（2019•济南）实数a、b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列关系式不成立的是（）A．a﹣5＞b﹣5 B．6a＞6b C．﹣a＞﹣b D．a﹣b＞0【答案】C【解析】根据数轴判断出a、b的正负情况以及绝对值的大小，然后解答即可．解：由图可知，b＜0＜a，且|b|＜|a|，∴a﹣5＞b﹣5，6a＞6b，﹣a＜﹣b，a﹣b＞0，∴关系式不成立的是选项C．故选：C．【例题3】已知x≥5的最小值为a，x≤﹣7的最大值为b，则ab＝．【答案】-35【解析】解答此题首先根据已知得出理解“≥”“≤”的意义，判断出a和b的最值即可解答．解：因为x≥5的最小值是a，a＝5；x≤﹣7的最大值是b，则b＝﹣7；则ab＝5×（﹣7）＝﹣35．故答案为：﹣35．【变式练习3】关于x的一元一次不等式m−2x3≤−2的解集为x≥4，则m的值为（）A．14 B．7 C．﹣2 D．2【答案】D【解析】本题是关于x的不等式，应先只把x看成未知数，求得不等式的解集，再根据x≥4，求得m的值．解：m−2x3≤−2；所以：m﹣2x≤﹣6；则：﹣2x≤﹣m﹣6；即：x≥12m+3；∵关于x的一元一次不等式m−2x3≤−2的解集为x≥4；∴12m+3＝4，解得m＝2．故选：D．二、一元一次不等式及其解法：1.一元一次不等式的定义：不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是1，且不等式的两边都是整式，这样的2.一元一次不等式的解法一般步骤：（1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）合并同类项；（5）将未知项的系数化为1。
一元一次不等式组的解法及应用
家庭作业
解答题 1．解不等式组
⑴⎩⎨⎧-≤+>+145321x x x x ⑵⎪⎩⎪
⎨⎧-≥-->+35663
4)1(513x x x x
2．某中学需要刻录一批电脑光盘，若到电脑公司刻录，每张需8元（包括空白光盘费）；若学校自刻，出租用刻录机需120元外，每张光盘还需成本4元（包括空白光盘费）。
问刻录这批电脑光盘，该校如何选择，才能使费用较少？
3．将不足40只鸡放入若干个笼中，若每个笼里放4只，则有一只鸡无笼可放；若每个笼里放5只，则有一笼无鸡可放，且最后一笼不足3只。
问有笼多少个？有鸡多少只？
附加题：
1．如果不等式03<-a x 的正整数是1，2，3，那么a 的取值范围是多少？
2．已知不等式42213x a x +>-的解集为2>x ，求a x a ->-2)(3
1
的解集。
3．解不等式0412<--x
4．某宾馆底层客房比二楼少5间，一旅游团有48人，若全安排住底层，每间住4人，则房间不够，若每间安排住5人，则有房间没有住满5人。
又若全安排住在二楼，每间住3人，房间不够；每间住4人，则有房间没有住满4人，问该宾馆共有多少间客房？。
初中数学教学课例《第九章一元一次不等式组的概念及其解法》课程思政核心素养教学设计及总结反思
解不等式组的意义；会解简单的一元一次不等式组，并
会用数轴确定解集。本课内容是一元一次不等式知识的
综合运用和拓展延伸，是进一步刻画现实世界数量关系 教材分析
的数学模型，是下有概念教学又有解题教
学，而概念教学，应该从生活、生产实例或学生熟悉的
已有知识引入，引导学生通过观察比较、分析、综合，
1、在对整节课的时间把握上有所欠缺，学生探究 的时间过多，以致堂堂清无法在课堂上完成。
2、课堂的节奏还可以更紧凑些。 3、如果重新上这节课，我一定再会改正以上不足 之处，使本课的课堂教学效益更高。
力分析 生一定的困惑。而七年级的学生，以感性认识为主，并
向理性认知过渡，所以，我对本节课的设计是通过学生
所熟悉的问题情境，让学生独立思考，动手操作，合作
交流，从而引导其自主学习。
对本节课的设计是通过学生所熟悉的问题情境，让
教学策略选 学生独立思考，动手操作，合作交流，从而引导其自主
择与设计 学习。基于对学情的分析，我确定了本节课的教学难点
思考，合作交流、求解 直观的感受如何利用数轴找各解集的公共部分 自学例题、小组讨论不等式组的解集的意义。 代表发言，全班交流。 归纳总结 请第一组同学任点其余三组的同学板演（板演的同 学如不会做，可请本组同学教。），然后第一组的同学 给予评价。 思考，归纳，发言，测试
1、整体的思路比较清晰：先从实际生活中遇到的 问题出发引出一元一次不等式组的概念，体现了数学是 源于生活的，然后通过练习进行辨析，并让学生自己归 纳注意点，再接下去是应用新知、巩固新知、再探新知、 巩固新知、知识梳理、布置作业。整个流程比较流畅、 自然； 课例研究综
思想方法，感受类比与划归的思想。3、通过解一元一
次不等式组的训练，培养运算能力。情感态度与价值观：
《一元一次不等式与不等式组》知识讲解(1)
3
初一实验班——荣伟伟
一元一次不等式的解法
要点一、一元一次不等式的概念 只含有一个未知数，未知数的次数是一次的不等式，叫做一元一次不等式，例如，
2 x 50 是一个一元一次不等式． 3
要点诠释： (1)一元一次不等式满足的条件：①左右两边都是整式(单项式或多项式)；
②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数为 1． (2) 一元一次不等式与一元一次方程既有区别又有联系： 相同点：二者都是只含有一个未知数，未知数的次数都是 1，“左边”和“右边”都是整式． 不同点：一元一次不等式表示不等关系，由不等号“＜”或“＞”连接，不等号有方向；一 元一次方程表示相等关系，由等号“＝”连接，等号没有方向．
移项、合并同类项得： − 3 x 6 4
系数化 1，得 x −8 故原不等式的解集是 x −8
例 3.m 为何值时，关于 x 的方程： x − 6m −1 = x − 5m −1 的解大于 1？
63
2
【答案与解析】
解： x-12m+2=6x-15m+3
5x=3m-1
x = 3m −1 5
要点二、一元一次不等式的解法 1.解不等式：求不等式解的过程叫做解不等式． 2.一元一次不等式的解法：
与一元一次方程的解法类似，其根据是不等式的基本性质，将不等式逐步化为： x a （或 x a ）的形式，解一元一次不等式的一般步骤为：
(1)去分母； (2)去括号； (3)移项；
(4)化为 ax b （或 ax b ）的形式（其中 a 0 ）；
例
4.若关于
x、y
的二元一次方程组
3x + y x + 3y
=1+ =3
一元一次不等式(组)的解法课件(共22张PPT)
调动思维，探究新知 在在活初初动中中2，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？
很多实际问题，通过设未知数列关系式，得到
的是一元一次不等式．上面解一元一次不等式的步 骤对于任意一个一元一次不等式都有效．
巩固练习，提升素养 在活初动中3，我们用过“自然数集”“有理数集”等表述，这里的“集”就是集合的简称，那么什么是集合呢？
例 1.解不等式2x 1 x 2＞7x 1
32
解：由原不等式可得
数学
基础模块（上册）
第二章 不等式
2.2.2 一元一次不等式（组）的解法
人民教育出版社
第二章 不等式 2.2.2 一元一次不等式（组）的解法
学习目标
知识目标 能力目标
理解一元一次不等式（组）概念及其解集的学习，掌握一元一次不等式（组） 的解题方法
学生运用分组探讨、合作学习，掌握一元一次不等式（组）的解题方法，提 高一元一次不等式（组）解决实际问题能力
12(x+1)+2(x-2)＞21x-6,（原式两边同乘以6)
12x+12+2x-4＞21x-6,
（分配律）
12x-14
（合并同类项）
x＜2.
（不等式的性质）
所以，原不等式的解集是{x丨x＜2}，即（- ,2).
2021年初中数学 六年级春季班第11讲：一元一次不等式(组)及其解法-教师版
（1） x 3 3 ； 2
（2） 2x 5 4 x 0.5 ；
（3） 3x 21 2x 5 x 1 ．
【难度】★★
【答案】（1） x 0 ；（2） x 7 ；（3） x 7 ；数轴上的表示见解析．
2
2
【解析】（1）移项可得： x 0 ，解得： x 0 ； 2
（2）去括号可得： 2x 5 4x 2 ，移项可得 2x 7 ，解得： x 7 ； 2
如果 a b ，则 m2 1 a _______ m2 1 b ；
如果
a
b
，则
a m2
1
_____
bt;；<．
【解析】因为 m2 1 0 ，所以不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的
方向改变；因为 m2 1 0 ，所以不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等
模块三：一元一次不等式组
知识精讲
1、 一元一次不等式组 由几个含有同一个未知数的一次不等式组成的不等式组，叫做一元一次不等式组．
2、 不等式组的解集 不等式组中所有不等式的解集的公共部分叫做这个不等式组的解集．
3、 解不等式组 求不等式组解集的过程叫做解不等式组．
4、 解一元一次不等式组的一般步骤 （1）求出不等式组中各个不等式的解集； （2）在数轴上表示各个不等式的解集； （3）确定各个不等式解集的公共部分，就得到这个不等式组的解集．
例题解析
【例 8】 检验 3， 3 是否是不等式 3x 2 1 2x 的解． 【难度】★ 【答案】3 不是不等式的解；-3 是不等式的解 【解析】将 3 代入不等式中，可得不等式不成立，则 3 不是不等式的解；将-3 代入不等式
中不等式成立，则-3 是不等式的解． 【总结】考察不等式解的定义．
人教版初中数学中考复习 一轮复习 —一元一次不等式(组)解法及含字母(参数)问题
8
4
．
解：（2）去分母，得：8﹣（7x﹣1）＞2（3x﹣2），
去括号，得：8﹣7x+1＞6x﹣4，
移项，得：﹣7x﹣6x＞﹣4﹣1﹣8，
合并同类项，得：﹣13x＞﹣13，
系数化1，得：x＜1．
考点二：解不等式（组）并在数轴上表示解（集）
5．（2021•武汉）解不等式组
2x x 1 ① 4x 10 x 1 ②
考点一：不等式的性质
C 1．（2021•常德）若a＞b，下列不等式不一定成立的是（ ）
A．a﹣5＞b﹣5
B．﹣5a＜﹣5b
C． a b
cc
D．a+c＞b+c
考点一：不等式的性质
2．（2021•临沂）已知a＞b，下列结论：①a2＞ab；②a2＞b2；③若b＜0，
A 则a+b＜2b；④若b＞0，则 1 1 ，其中正确的个数是（ ） ab
性质3：不等式两边同时乘或除同一个负数，不等号的。方向改变
知识点梳理：
二、一元一次不等式(组)及其解法
一元一次不等 含有一个未知数,未知数的次数是
1
式定义
的不等式
解一元一次不 等式的步骤
去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1
一元一次 一般地,关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起,
不等式组 就组成一个一元一次不等式组
3．（2021•南京）解不等式1+2（x﹣1）≤3，并在数轴上表示解集． 解： 1+2（x﹣1）≤3， 去括号，得1+2x﹣2≤3． 移项、合并同类项，得2x≤4． 化系数为1，得x≤2．
表示在数轴上为：
考点二：解不等式（组）并在数轴上表示解（集）
Hale Waihona Puke 4．（2021•泰安）（2）解不等式： 1- 7x 1 3x 2
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一元一次不等式组的概念及其解法
班级________ 姓名________
【例1】下列四个不等式组，哪一个是一元一次不等式组，并写出这个不等式组的解集．
A ．53x x <-⎧⎨->⎩
B ．11x y x y +>⎧⎨-<⎩
C ．221512x x ⎧+>⎪⎨-<⎪⎩
D ．11527x m ⎧+>⎪⎨⎪+>⎩
【例2】（2005·南平市）解下列不等式组．
（1）532,314;2x x x -⎧⎪⎨-<⎪⎩…
（2）627,328.x x x +<+⎧⎨+<-⎩ 【例3】解不等式组．
（1）20,10,
50;x x x +>⎧⎪->⎨⎪-<⎩ （2）31374
x -<…． 【例4】（2005·成都市）求不等式组()312531342
x x x x x ⎧-+<+⎪⎨-+-⎪⎩…①②的自然数解． 【例5】若不等式组232x a x a >+⎧⎨<-⎩
元解，求a 的取值范围． 【例6】已知关于x 、y 的方程组39,51x y a x y a +=+⎧⎨-=-⎩
的解是一对正数． （1）求a 的取值范围；（2）化简445a a +--．
【例7】若不等式组0,1x a x a ->⎧⎨-<⎩
的解集中的任何一个x 值均不在18x 剟范围内，则a 的取值范围是什么？ 【例8】某钱币收藏爱好者想把3.5元纸币兑换成1分、2分、5分的硬币，他要求硬币总数为150枚，
2分硬币的枚数不少于20枚且是4的倍数，5分的硬币要多于2分的硬币，请你根据此要求，帮忙设计所有的兑换方案．
1．（2004·河北省）不等式组21,215x x -<⎧⎨+>⎩
的解集是_________． 2．（2004·绵阳市）不等式组310,27x x +⎧⎨<⎩
…的整数解有_________个． 3．（2003·重庆市）已知关于x 的不等式组521,0x x a --⎧⎨->⎩
…无解，则a 的取值范围为_________．
4．（2003·安徽省）已知不等式组2,1x a b x a b +>+⎧⎨-<-⎩
的解集为12x -<<，则()2004a b +=_________． 5．已知关于x 的不等式组0,321x a x -⎧⎨->-⎩
…的整数解共有5个，则a 的取值范围是_________． 6．如果不等式组3,x x m <⎧⎨>⎩
有解，那么m 的取值范围是（） A ．3m > B ．3m … C ．3m < D ．3m …
7．若方程组31,33x y k x y +=+⎧⎨+=⎩
的解为x 、y ，且24k <<，则x y -的取值范围是（） A ．102x y <-<
B ．01x y <-<
C ．31x y -<-<-
D ．11x y -<-< 8．当方程5252x a x -=-的解在2和6之间时，a 的取值范围是（） A ．92a >
B ．372a <
C ．392a <
D ．93722
a << 9．下列不等式组解集为23x <<的是（） A ．1113,22323X x x x ⎧+<-⎪⎨⎪<+⎩
B ．1131,32233x x x x ⎧-<+⎪⎨⎪+<⎩
C ．1131,22323x x x x ⎧-<+⎪⎨⎪<+⎩
D ．1113,22233x x x x ⎧+<-⎪⎨⎪+<⎩
10．已知0b a <<，那么下列不等式组中无解的是（多项选择）（）
A ．,x a x b >⎧⎨<⎩
B ．,x a x b >-⎧⎨<-⎩
C ．,x a x b >⎧⎨<-⎩
D ．,x a x b >-⎧⎨<⎩
11．不等式组1020x x +⎧⎨-<⎩
…的整数解是（） A ．1-，0，1 B ．1-，1 C ．1-，0 D ．0，1
12．有一两位数，其十位上的数字比个位上的数小2，已知这个两位数大于10且小于30，则这个数为（）
A ．13
B ．24
C ．31或42
D ．13或24 13．（2004·荆门市）现用甲、乙两种运输车将46t 抗旱物资运往灾区，甲种运输车载重5t ，乙种运输
车载重4t ，安排运输车不超过10输，则甲种运输车至少应安排（）
A ．4辆
B ．5辆
C ．6辆
D ．7辆
14．解下列不等式组：
（1）224315x x ⎧+<⎪⎨-⎪⎩…①②（2）52133242x x x x ⎧--⎪⎨--⎪⎩
①②……（3）21353x --<…
（4）()()2534431521132x x x x x x ⎧⎪-<+⎪⎪-<+⎨⎪-⎪⎪⎩…①②
③
（5）70503010x x x x ⎧-<⎪-<⎪⎨+>⎪⎪+>⎩①②③④ 15．若方程组21,2x y x y m +=⎧⎨-=⎩
得到的x 与y 的值都不大于1，求m 的取值范围． 16．已知关于x 的不等式组,221
x a b x a b -⎧⎨-<+⎩…的解集为35x <…，求b a 的值． 17．已知方程512x a x --+=的解适合不等式112
x --…和20x -…，求a 的值． 18．对于整数a 、b 、c 、d ，符合
a
b d
c 表示运算ac b
d -，已知1134b d <<，求b d +的值． 19．已知方程组256,217x y m x y +=+⎧⎨-=-⎩
的解x 、y 都是正数，且x 的值小于y 的值，求m 的取值范围． 20．解不等式()4105x x ⎛⎫-+< ⎪⎝⎭，想一想原不等式改为1045
x x -<+怎样解？ 21．（2006·枣庄市课标卷）解不等式组，并把其解集在数轴上表示出来：()3321318x x x x -⎧+⎪⎨⎪--<-⎩
…
1．如果不等式组230,x x m -⎧⎨⎩
……无解，则m 的取值范围是_________． 2．不等式组()5231,2143x x x x ⎧->+⎪⎨--⎪⎩
…的非负整数解的积为_________． 3．若关于x 的不等式组(
)0,2111x a x x ->⎧⎪⎨+>-⎪⎩的解集是3x >，则a 的取值范围是_________． 4．已知不等式组()()32128,218123.84x x x x ⎧-<+⎪⎨+-+>-⎪⎩
．
（1）求此不等式组的整数解．
（2）若上述整数解满足方程62ax x a +=-，求a 的值．
（3）求代数式200420031a a -
的值．
5．已知不等式组1,1,1.x x x k >-⎧⎪<⎨⎪<-⎩
（1）当12
k =
时，不等式组的解集为_________． （2）当3k =时，不等式组的解焦为_________．
（3）当2k =-时，不等式组的解集为_________．
（4）根据（1）、（2）、（3），不等式组的解集随k 值的变化而变化，当k 为任意数时，写出不等式组
解集的情况． 6．若不等式组,30x a x >⎧⎨-⎩
…有三个整数解，你能确定a 的值吗？ 7．有甲、乙、丙、丁四个人一起讨论一个一元一次不等式组，他们各说出该不等式组的一个性质： 甲：这个不等式组的解在2-与3之间取值（包括2-与3）；
乙：这个不等式组没有小于3的解；
丙：有一个不等式的解为1x >-；
丁：不等式393x -+>-的解为4x <．
若这四个人中恰有三个人的说法是正确的，则该不等式组为_________．
8．（1）若不等式组237,635x a b b x a -<⎧⎨-<⎩
的解集是522x <<，求a ，b 的值． （2）已知不等式组211,3x x a -⎧>⎪⎨⎪>⎩
的解集为2x >，求a 的范围．
9．先阅读绝对值不等式4x <和4x >的解法，然后完成练习．如图
（1）因为4x <，从数轴上（如图（1）所示）可以观察出大于4-而小于4的整的绝对值是小于4的，所以4x <的解集为44x -<<．
（2）满足4x >的数用数轴表示为如图（2）所示，也就是说小于4-的数和大于4的数的绝对值大于4的，所以4x >的解集为4x <-或4x >．
练习：（1）()0x a a <>的解集应为_________，()0x a a >>的解集应为_________．
（2）求54x -<的解集实质上是求不等式组_________的解集．
（3）求不等式5x b ->的解集应先求出不等式_________和不等式_________的解集，
再得不等式
x
<4
（1） （2）
->的解集为_________．x b
5。