高一函数经典难题讲解

高一经典难题讲解

1.已知函数f(x)=(x+1-a)/(a-x),x∈R且x≠a,当f(x)的定义域为[a-1,a-1/2]时,求f(x)值

解:由题知，已知函数f(x)=(x+1-a)/(a-x),

所以，f(x)= -1+1/(a-x),

当f(x)的定义域为[a-1,a-1/2]时

x∈[a-1,a-1/2]

(a-x)∈[1/2,1]

1/(a-x)∈[1,2]

f(x)=-1+1/(a-x)∈[0,1]

2.设a为非负数,函数f(x)=x|x-a|-a. (1)当a=2时,求函数的单调区间

(2)讨论函数y=f(x)的零点个数

解析：(1)∵函数f(x)=x|x-2|-2

当x<2时，f(x)=-x^2+2x-2，为开口向下抛物线，对称轴为x=1

当x>=2时，f(x)=x^2-2x-2，为开口向上抛物线，对称轴为x=1

∴当x∈(-∞,1)时，f(x)单调增；当x∈[1,2]时，f(x)单调减；当x∈(2,+∞)时，f(x)单调增；

(2).f(x)=x|x-a|-a=0,

x|x-a|=a,①

a=0时x=0,零点个数为1；

a>0时x>0,由①，x>=a,x^2-ax-a=0,x1=[a+√(a^2+4a)]/2;

0

a=4时，x2,3=a/2,零点个数为2;

a>4时，②无实根，零点个数为1。

a<0时，x<0,由①，x>=a>-4,x^2-ax-a=0③,x1,2=[a土√(a^2+4a)]/2；

x

a=-4时x1,2=a/2,零点个数为2;

a<-4时③无实根，零点个数为1.

综上，a<-4,或a=0,或a>4时零点个数为1；

a=土4时，零点个数为2；

-4

3.已知函数f(x)=log3为底 1-m(x+2)/x-3的图像关于原点对称

（1）求常数m的值

（2）当x∈（3,4）时，求f(x)的值域；

（3）判断f(x)的单调性并证明。

解：1、函数f(x)=log3 [1-m(x+2)[/(x-3)图象关于原点对称，

则该函数是奇函数，满足f(-x)=-f(x)。

log3 [1-m(2-x)]/(-x-3)=-log3 [1-m(x+2)]/(x-3)

log3 [1-m(2-x)]/(-x-3)=log3(x-3)/ [1-m(x+2)]

[1-m(2-x)]/(-x-3)=(x-3)/[1-m(x+2)]

化简得 -x^2+9=-m^2(x^2)+(2m-1)^2

所以 -m^2=-1

（2m-1)^2=9

解得 m=-1

所以,函数解析式为f(x)=log3 [ (x+3)/(x-3)]

2、先求t(x)=(x+3)/(x-3)在（3,4)上的值域。

t(x）=（x+3)/(x-3)=[(x-3)+6]/(x-3)=1+[6/(x-3)]

当3

1/(x-3)>1,

6/(x-3)>6

所以 t(x)=1+[6/(x-3)]>7

那么,原函数在（3,4)上值域是（log3 (7)，正无穷）

3、先求函数定义域

(x+3)/(x-3)>0且x≠3 解得 x>3或x<-3

(1)当x>3时，

因为t(x)=(x+3)/(x-3)=1+[6/(x-3)]单调递减，所以函数f(x)=log3 t(x)单调递减。（2）当x<-3时，因为t(x)=(x+3)/(x-3)=1+[6/(x-3)]单调递减，所以函数f(x)=log3 t(x)单调递减。

4.已知函数f（x）=log4（4^x+1）+kx是偶函数.

(1)求k的值

(2)设f（x）=log4(a2^x-4/3a)有且只有一个实数根,求实数的取值范围.

解:（1）f(x)=log4（4^x+1)+kx（K∈R）是偶函数，

∴f(-x)=f(x),

即log<4>[4^(-x)+1]+k(-x)=log<4>(4^x+1)+kx,

∴log<4>{[4^(-x)+1]/(4^x+1)}=2kx,

-x=2kx,

k=-1/2.

(2)f(x)=log4(4^x+1)-x/2=log4(4^x+1)-log4(2^x)=log4[(4^x+1)/2^x]

g(x)=log4(a · 2^x-4/3a)

联立

log4[(4^x+1)/2^x]=log4(a · 2^x -4/3a)

∴ (4^x+1)/2^x=a·2^x -4/3a

不妨设t=2^x t ＞0

t^2+1/t=at-4/3a

t^2+1=at^2-4/3at

(a-1)t^2-4/3at-1=0

设u(t)=(a-1)t^2-4/3at-1

∵两函数图像只有1个公共点，在这里就变成了有且只有一个正根

1.当a=1时 t=- 3/4 不满足 (舍)

2.当△=0时 a=3/4 或a=-3

a=3/4时 t= -1/2＜0 （舍）

a=-3时 t=1/2满足

3.当一正根一负根时

(a-1) × u(0)＜0 (根据根的分布)

∴a＞1

综上所述，得a=-3或a ＞1

5.

这个是概念的问题:1.对于f(x)取值范围（0，无穷），f²(x)+bf(x)+c=0最多有两个不同的f(x)。

2.对f(x)的图像进行分析，知道f(x)=1对应的x 值有三个，

即除x=2外另有两个关于x=2对称的x 。f(x)不等于1时对应的x 值有两个，即两个关于x=2对称的两个x 。

3.题意说f²(x)+bf(x)+c=0对应的x 根有5个，显然满足f²(x)+bf(x)+c=0的f(x)有两个，一个f(x)对应三个x 值，设为x1,x2,x3;另一个f （x ）对应两个x,设为x4,x5;

根据以上分析，应有x1+x3=2*2,x2=2;x4+x5=2*2=4 则f （x1+x2+x3+x4+x5）=f(10)=1/8,选B