《简单的线性规划问题》教案
高二数学人教A版必修5教学教案3-3-2简单的线性规划问题(7)
《简单的线性规划问题》教学设计一、教学内容解析线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支，是辅助人们进行科学管理的数学方法，为合理地利用有限的人力、物力、财力等资源作出最优决策。
本节的教学重点是线性规划问题的图解法。
数形结合和化归思想是研究线性约束条件下求线性目标函数的最值问题的数学理论和方法，本节课重点体现了这一数学思想，将目标函数与直线的截距、斜率、两点距离联系起来，这样就能使学生对数形结合思想的理解和应用更透彻，为以后解析几何的学习和研究奠定了基础，使学生从更深层次地理解“以形助数”的作用。
二、教学目标设置（1）知识与技能：使学生了解线性规划的意义，利用数形结合及化归的数学方法，理解并掌握非线性目标函数及非线性约束条件下目标函数的最值求法；（2）过程与方法：在实验探究的过程中，培养学生的数据分析能力、探究能力、合情推理能力；在应用图解法解题的过程中，培养学生运用数形结合思想解题的能力；（3）情态、态度与价值观：激发学生动手操作、勇于探索的精神，培养学生发现问题、分析问题及解决问题的能力，体会数学活动充满着探索与创造。
三、教学重点难点教学重点：求非线性目标函数的最值；教学难点：能将代数问题转化为斜率或距离等几何问题；四、学情分析本节课学生在学习了简单线性规划问题的基础上，会画出平面区域，并且会计算简单线性目标函数的最值。
从数学知识上看，学生在此基础上还学习过直线的斜率，两点距离问题，直线与圆的位置关系，具备本节课所需知识要素。
从数学方法上看，学生对图解法的认识还很少，数形结合的思想方法的掌握还需时日，这成了学生学习的困难。
五、教学方法本课以例题为载体，以学生为主体，以数学实验为手段，以问题解决为目的，激发学生动手操作、观察思考、猜想探究的兴趣。
注重引导帮助学生充分体验“从具体到一般”的抽象过程。
应用“数形结合”的思想方法，培养学生学会分析问题，解决问题的能力。
六、教学过程。
9_简单的线性规划问题
§3.3.3 简单的线性规划问题一、教学目标：（一）知识与技能1.从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决；2.理解线性规划的意义以及线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等概念；会根据条件建立线性目标函数3.理解线性规划的图解法，并会用图解法求线性目标函数的最大（小）值4.培养学生观察、联想以及作图的水平；渗透集合、化归、数形结合、等价转化的数学思想，提升学生“建模”和解决实际问题的水平，培养学生应用数学的意识。
经历从实际情境中抽象出不等式模型的过程，培养学生数学建模的水平以及数学应用意识．（三）情感、态度与价值观1. 通过具体情景，感受在现实世界和日常生活中存有着大量的不等关系，体会不等式对于刻画不等关系的意义和价值；2.体会线性规划的基本思想，借助几何直观解决一些简单的线性规划问题；3.通过实例，体验数学与日常生活的联系，感受数学的实用价值，增强应用意识，提升实践水平，培养学生理论联系实际的观点．二、教学重难点：重点：线性规划的图解法。
难点：从实际情景中抽象出一些简单的二元线形规划问题；寻求线性规划问题的最优解。
三、教学过程：（一）创设情景，揭示课题1. 在生活、生产中，经常会遇到资源利用、人力调配、生产安排的等问题，本节课就学习此方面的应用2.问题：在约束条件4104320x yx yxy+≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩下，如何求目标函数2P x y=+的最大值？OyxA CB430x y -+=1x = 35250x y +-=（二）自学导案（三）解决自学导案（四）例题分析例1 设2z x y =+，式中变量,x y 满足条件4335251x y x y x -≤-⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，求z 的最大值和最小值．解：由题意，变量,x y 所满足的每个不等式都表示一个平面区域，不等式组则表示这些平面区域的公共区域．由图知，原点(0,0)不在公共区域内，当0,0x y ==时，20z x y =+=，即点(0,0)在直线0l ：20x y +=上，作一组平行于0l 的直线l ：2x y t +=，t R ∈，可知：当l 在0l 的右上方时，直线l 上的点(,)x y 满足20x y +>，即0t >，而且，直线l 往右平移时，t 随之增大． 由图象可知，当直线l 经过点(5,2)A 时，对应的t 最大， 当直线l 经过点(1,1)B 时，对应的t 最小， 所以，max 25212z =⨯+=，min 2113z =⨯+=．变题：设610z x y =+，式中,x y 满足条件4335251x y x y x -≤-⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，求z 的最大值和最小值．解：由引例可知：直线0l 与AC 所在直线平行，则由引例的解题过程知，当l 与AC 所在直线35250x y +-=重合时z 最大，此时满足条件的最优解有无数多个，当l 经过点(1,1)B 时，对应z 最小，∴max 61050z x y =+=，min 6110116z =⨯+⨯=．例2 投资生产A 产品时，每生产一百吨需要资金200万元，需场地200 m 2，可获利润300万元；投资生产B 产品时，每生产一百米需要资金300万元，需场地100m 2，可获利润200万元．现某单位可使用资金1400万元，场地900 m 2，问 应作怎样的组合投资，可获利最大？ 分析：解 设生产A 产品x 百吨，生产B 产品y 百米，利润为S 百万元，则约束条件为：23142900x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，，，． 目标函数为y x S 23+=，223Sx y +-=，这是斜率为23-，在y 轴上的截距为2，随着2S 变化的直线族．当2S最大时，S 最大，但直线要与可行域相交．当直线经过两条直线143292=+=+y x y x 与的交点⎪⎭⎫⎝⎛25413，A 时，直线在y 轴上的截距最大，此时75.145.2225.33=⨯+⨯=S ,所以，生产A 产品325t ，生产B 产品250m 时，获利最大，且最大利润为1475万元．例3 某运输公司向某地区运送物资，每天至少运送180t ．该公司有8辆载重为6t 的A 型卡车与4辆载重为10t 的B 型卡车，有10名驾驶员．每辆卡车每天往返次数为A 型车4次，B 型车3次．每辆卡车每天往返的成本费A 型车为320元，B 型车为504元．试为该公司设计调配车辆方案，使公司花费的成本最低，若只调配A 型或B 型卡车，所花的成本费分别是多少？解 设每天调出A 型车x 辆，B 型车y 辆，公司花费成本z 元，将题中数据整理成如下表格：A 型车B 型车 物资限制 载重（s ） 6 10 共180 车辆数 8 4 出车次数 43每车每天运输成本（元）320504则约束条件为10,4631018008,04,,x y x y x y x y +≤⎧⎪⋅+⋅≥⎪⎪≤≤⎨⎪≤≤⎪∈⎪⎩，Ｚ. 即1045300804,x y x y x y x y +≤⎧⎪+≥⎪⎪≤≤⎨⎪≤≤⎪∈⎪⎩，，，，Ｚ．目标函数为y x z 504320+=．作出可行域：当直线z y x =+504320经过直线3054=+y x 与x 轴的交点（7.5，0）时，z 有最小值，因为（7.5，0）不是整点，故不是最优解．由图可知，经过可行域内的整点，且与原点距离最近的直线是2560504320=+y x ，经过的整点是（8，0），它是最优解．答 公司每天调出A 型车8辆时，花费的成本最低，即只调配A 型卡车，所花最低成本费25608320=⨯=z （元）；若只调配B 型卡车，则y 无允许值，即无法调配车辆．五、课堂小结：本节课学习了以下内容： 1. 线性规划问题的求解步骤：（1）审：审题（将题目中数据列表），将实际问题转化为数学问题； （2）设：设出变量，确定约束条件，建立目标函数；（3）画：画出线性约束条件所表示的可行域，作出目标函数线；（4）移：在线性目标函数所表示的一组平行线中，利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线； （5）求：通过解方程组求出最优解； （6）答：回答实际问题．2. 对于有实际背景的线性规划问题，可行域通常是一个凸多边形区域，此时变动直线的最正确位置一般通过这个凸多边形的顶点，所以，确定其最优解，往往只需考虑在各个顶点的情形，通过比较，即可得最优解．3. 本节课学习的数学思想：化归思想、数形结合思想．六、课外作业课本P94-95 第8,9,10,11题教学反思：。
高中数学 3.3.3 简单的线性规划问题(第1课时)教案 必修5
3．3.3 简单的线性规划问题第1课时简单的线性规划问题(教师用书独具)●三维目标1.知识与技能(1)从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决；(2)了解线性规划的意义以及线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等概念，会根据条件建立线性目标函数；(3)了解线性规划的图解法，并会用图解法求线性目标函数的最大(小)值；(4)培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透集合、化归、数形结合、等价转化的数学思想．2.过程与方法(1)本节课是以二元一次不等式(组)表示的平面区域的知识为基础，将实际生活问题通过数学中的线性规划问题来解决；(2)考虑到学生的知识水平和消化能力，教师可通过激励学生探究入手，讲练结合，真正体现数学的工具性，同时，借助计算机的直观演示可使教学更富趣味性和生动性．3．情感、态度与价值观(1)结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生创新；(2)渗透集合、数形结合、化归的数学思想，培养学生“数形结合”的应用数学的意识，激发学生的学习兴趣.●重点、难点重点：线性规划问题的图解法，寻求线性规划问题的最优解．难点：利用图解法求最优解．为突出重点，本节教学应指导学生紧紧抓住化归、数形结合的数学思想方法，将实际问题数学化，代数问题几何化．解决难点的方法是精确作图，利用数形结合的思想将代数问题几何化．(教师用书独具)●教学建议从内容上看，简单的线性规划问题是在学习了不等式、直线方程的基础上展开的，它是对二元一次不等式的深化和再认识、再理解．它是用数学知识解决实际问题，属于数学建模，是初等数学中较抽象的，对学生要求较高，又是必须予以掌握的内容．考虑到学生的认知水平和理解能力，建议教师可以通过激励学生探究入手，讲练结合，培养学生对本节内容的学习兴趣，培养学生数形结合的意识，让学生体味数学的工具性作用．另外，教师还可借助计算机直观演示利用图解法求最优解的过程，增强教学的趣味性和生动性．●教学流程创设问题情境，引导学生了解线性约束条件、线性目标函数、可行域、线性规划问题等概念.⇒结合教材让学生掌握线性规划问题的图解法.⇒通过例1及其变式训练使学生巩固掌握利用图解法求最优解的步骤.⇒通过例2及其变式训练使学生掌握利用线性规划研究字母参数的方法.⇒通过例3及其变式训练使学生掌握求非线性目标函数的最值的方法.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双达达标，巩固所学知识，并进行反馈矫正.(对应学生用书第56页)课标解读1.了解目标函数、约束条件、可行域、最优解等基本概念．2.掌握线性规划问题的求解过程，特别是确定最优解的方法．(重点、难点)可行域约束条件所表示的平面区域，称为可行域.线性规划求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题，通常称为线性规划问题，上述只含两个变量的简单线性规划问题可用图解法解决.(对应学生用书第56页)线性规划问题设z ＝3x ＋5y ，式中变量x 、y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥3，7x ＋10y ≥17，x ≥0，y ≥0.求z的最小值．【思路探究】【自主解答】 画出约束条件表示的点(x ，y )的可行域， 如图所示的阴影部分(包括边界直线)．把z ＝3x ＋5y 变形为y ＝－35x ＋z 5，得到斜率为－35，在y 轴上的截距为z5，随z 变化的一族平行直线．作直线l ：3x ＋5y ＝0，把直线向右上方平行移至l 1的位置时，直线经过可行域上的点M ，此时l 1：3x ＋5y －z ＝0的纵截距最小，同时z ＝3x ＋5y 取最小值．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝3，7x ＋10y ＝17，得M (1,1)．故当x ＝1，y ＝1时，z min ＝8.1．由本例可以看出，解线性规划问题时，一定要注意最优解的对应点是最大值点，还是最小值点．对于目标函数z ＝ax ＋by ，当b >0时，直线截距最大时，z 有最大值，截距最小时，z 有最小值；当b <0时，则相反．2．图解法是解决线性规划问题的有效方法，其关键是利用z 的几何意义求解．平移直线ax ＋by ＝0时，看它经过哪个点(哪些点)时最先接触可行域和最后离开可行域，则这样的点即为最优解，最优解一般是在可行域的边界取得．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x －5y ＋10≤0，x ＋y －8≤0，则目标函数z ＝3x －4y 的最大值和最小值分别为多少．【解】 作可行域如图所示，解⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2＝0，x ＋y －8＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝5，∴A (3,5)．解⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －8＝0，x －5y ＋10＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝3，∴B (5,3)．平移直线3x －4y ＝z 可知，直线过A 点时，z 取最小值，过B 点时，z 取最大值． ∴z min ＝3×3－4×5＝－11，z max ＝3×5－4×3＝3.利用线性规划求字母参数的值(或范围)已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y ≤25，x ≥1，设z ＝ax ＋y (a ＞0)，若当z 取最大值时，对应的点有无数多个，求a 的值．【思路探究】【自主解答】 作出可行域如图所示．由⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋5y ＝25，x －4y ＋3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝2，∴点A 的坐标为(5,2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，3x ＋5y ＝25，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝4.4，∴点C 的坐标为C (1,4.4)．当直线z ＝ax ＋y (a ＞0)平行于直线AC ，且直线经过线段AC 上任意一点时，z 均取得最大值，此时有无数多点使z 取得最大值，而k AC ＝－35，∴－a ＝－35，即a ＝35.1．本题中，z 取最值时对应的点有无数多个，故这无数多个对应点构成平面区域的一段边界．2．解线性规划问题时一般要结合图形(平面区域)及目标函数的几何意义解题．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －y ≥－1，2x －y ≤2，目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1,0)处取得最小值，则a 的取值范围是________．【解析】 作出可行域，让目标函数所表示的直线过定点，观察斜率的范围，构建不等式求参数范围．如图所示，约束条件所表示的平面区域为三角形，目标函数z ＝ax ＋2y ，即y ＝－a 2x ＋z 2仅在点(1,0)处取得最小值，故其斜率应满足－1＜－a 2＜2，即－4＜a ＜2.故填(－4,2)．【答案】 (－4,2)求非线性目标函数的最值已知x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧7x －5y －23≤0，x ＋7y －11≤0，4x ＋y ＋10≥0.(1)求u ＝x 2＋y 2的最大值和最小值； (2)求z ＝yx ＋5的最大值和最小值． 【思路探究】【自主解答】 画出不等式组所表示的平面区域，如图所示．(1)∵u ＝x 2＋y 2，∴u 为点(x ，y )到原点(0,0)的距离，结合不等式组所表示的平面区域可知，点B 到原点的距离最大，而当(x ，y )在原点时，距离为0.由⎩⎪⎨⎪⎧7x －5y －23＝0，4x ＋y ＋10＝0得点B 的坐标为(－1，－6)，∴(x 2＋y 2)max ＝(－1)2＋(－6)2＝37，(x 2＋y 2)min ＝0. (2)z ＝yx ＋5＝y －0x －－5，所以求z 的最大值和最小值，即是求可行域内的点(x ，y )与点(－5,0)连线斜率的最大值和最小值．设点M 的坐标为(－5,0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋7y －11＝0，4x ＋y ＋10＝0得点C 的坐标为(－3,2)，由(1)知点B 的坐标为(－1，－6)，∴k max ＝k MC ＝2－0－3－－5＝1，k min ＝k MB ＝－6－0－1－－5＝－32，∴yx ＋5的最大值是1，最小值是－32. 1．本题中，(1)x 2＋y 2是平面区域内的点(x ，y )到原点的距离的平方；(2)y x ＋5＝y －0x －－5可看成平面区域内的点(x ，y )与点(－5,0)连线的斜率．2．解决此类问题，应先准确作出线性约束条件表示的平面区域，然后弄清非线性目标函数的几何意义．已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x ＋y －4≥0，2x －y －5≤0.(1)求z ＝x 2＋y 2＋2x －2y ＋2的最小值； (2)求z ＝|x ＋2y －4|的最大值． 【解】 (1)作出可行域，如图所示， ∵z ＝(x ＋12＋y －12)2，∴z 可看作是可行域内任意一点(x ，y )到点M (－1,1)的距离的平方． 由图可知z min 等于原点到直线x ＋y －4＝0的距离的平方， ∴z min ＝(|－4|2)2＝8.(2)∵z ＝|x ＋2y －4|＝5·|x ＋2y －4|5， ∴z 可看作是可行域内任意一点(x ，y )到直线x ＋2y －4＝0的距离的5倍． 由图可知点C 到直线x ＋2y －4＝0的距离最大．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2＝0，2x －y －5＝0得点C (7,9)，∴z max ＝|7＋2×9－4|5×5＝21.(对应学生用书第58页) 直线的倾斜程度判断不准致误已知⎩⎪⎨⎪⎧11x ＋4y ≤44，7x ＋5y ≤35，6x ＋7y ≤42，x ≥0，y ≥0，求z ＝x ＋y 的最大值．【错解】 作出可行域，如图所示．作出直线l 0：x ＋y ＝0，将它移至点B ，则点B 的坐标是可行域中的最优解，它使z 达到最大值．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧11x ＋4y ＝44，7x ＋5y ＝35，得点B 的坐标为(8027，7727)．所以z max ＝8027＋7727＝15727.【错因分析】 将直线l 0向上移动时，最后离开可行域的点不是点B 而是点A ，这是由于直线倾斜程度不准确引起的，由于三条边界直线的斜率依次是－67，－75，－114，而目标函数z ＝x ＋y 的斜率为－1，它夹在－67与－75之间，故经过点B 时，直线x ＋y ＝z 必在点A 的下方，即点B 不是向上平移直线时最后离开可行域的点，而是点A .【防范措施】 解决线性规划问题时，可行域一定要准确，关键点的位置不能画错，若数据比较大，不易画图，也可用斜率分析法确定关键点或取得最值点．【正解】 作出二元一次不等式组所表示的平面区域如上图．作出直线l ′0：x ＋y ＝0，将它向上平移，当它经过点A 时，z 取得最大值．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧7x ＋5y ＝35，6x ＋7y ＝42，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3519，y ＝8419，故z max ＝3519＋8419＝119191．基础知识： (1)可行域； (2)线性规划． 2．基本技能： (1)解线性规划问题；(2)利用线性规划求字母参数的值(或范围)； (3)求非线性目标函数的最值． 3．思想方法： (1)数形结合思想； (2)函数思想； (3)转化思想．(对应学生用书第58页)1．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ≤3，x ＋y ≥0，则目标函数z ＝x ＋2y 的最小值为________．【解析】 画出不等式组表示的平面区域，由图可知目标函数在点(3，－3)处取得最小值－3.【答案】 －3图3－3－72．给出平面区域(包含边界)如图3－3－7所示，若使目标函数z ＝ax ＋y (a ＞0)取得最大值的最优解有无数多个，则a 的值为________．【解析】 由题意知－a ＝k AC ＝－35，∴a ＝35.【答案】 353．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2＜0，x ＞1，x ＋y －7＜0，则yx的取值范围是________．【解析】 目标函数y x 是可行域上的动点(x ，y )与原点连线的斜率，最小值是k OC ＝95，最大值是k AO ＝6，又可行域边界取不到，∴95＜yx＜6.【答案】 (95，6)4．已知x 、y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧7x －5y －23≤0，x ＋7y －11≤0，4x ＋y ＋10≥0，求z ＝4x －3y 的最值．【解】 原不等式组表示的平面区域如图所示： 其中A (4,1)、B (－1，－6)、C (－3,2)． 作与4x －3y ＝0平行的直线l ：4x －3y ＝t ， 即y ＝43x －t3，则当l 过C 点时，t 最小； 当l 过B 点时，t 最大．∴z max ＝4×(－1)－3×(－6)＝14，z min ＝4×(－3)－3×2＝－18.(对应学生用书第97页)一、填空题1．(2013·微山高二检测)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1，y ≤x ，y ≥－2，则z ＝3x ＋y 的最大值为________．【解析】 不等式组表示的平面区域如图所示：把z ＝3x ＋y 变形为y ＝－3x ＋z 得到斜率为－3，在y 轴截距为z 的一族平行直线，由图当直线l ：y ＝－3x ＋z 过可行域内一点M 时，在y 轴截距最大，z 也最大．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，y ＝－2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－2，即M (3，－2)．∴当x ＝3，y ＝－2时，z max ＝3×3＋(－2)＝7. 【答案】 72．(2013·苏州高二检测)变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≥12，2x ＋9y ≥36，2x ＋3y ≥24，x ≥0，y ≥0，则使得z ＝3x ＋2y 的值最小的(x ，y )是________．【解析】 不等式组表示的平面区域如图所示：把z ＝3x ＋2y 变形为y ＝－32x ＋z 2，作与直线l 0：y ＝－32x 平行的直线l ，显然当l 经过可行域内点M 时在y 轴上截距最小，z 也最小．由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝12，2x ＋3y ＝24，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝6，即M (3,6)时，z ＝3x ＋2y 的值最小． 【答案】 (3,6)3．设z ＝2y －2x ＋4，式中的x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤1，0≤y ≤2，2y －x ≥1，则z 的取值范围是________．【解析】 作出满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤1，0≤y ≤2，2y －x ≥1的可行域(如图所示)，作直线2y －2x ＝0，并将其平移，由图象可知当直线经过点A (0,2)时，z max ＝2×2－2×0＋4＝8； 当直线经过点B (1,1)时，z min ＝2×1－2×1＋4＝4.所以z 的取值范围是[4,8]． 【答案】 [4,8]4．(2013·连云港检测)设实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y －2≤0，x ＋2y －4≥0，2y －3≤0，则yx的最大值是________．【解析】 不等式组表示的平面区域如图所示： 又y x ＝y －0x －0表示过平面区域内一点(x ，y )与原点(0,0)的直线的斜率，由图知(x ，y )在平面区域内A 点处时直线斜率最大．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4＝0，2y －3＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝32，∴A (1，32)，∴y x 的最大值为32.【答案】 325．(2013·无锡检测)二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＜0，y ＜0，x ＋y ＋4＞0表示的平面区域内，使得x ＋2y 取得最小值的整点坐标为________．【解析】 不等式组表示的平面区域如图所示： ∵平面区域不包括边界，∴平面区域内的整点共有(－1，－1)，(－1，－2)，(－2，－1)三个． 代入检验知，整点为(－1，－2)时x ＋2y 取得最小值． 【答案】 (－1，－2)6．已知⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≤0，x －y ＋1≥0，y ≥－1，且u ＝x 2＋y 2－4x －4y ＋8，则u 的最小值为________．【解析】 不等式组表示的平面区域如图所示，由已知得(x －2)2＋(y －2)2＝(u )2，则(u )min ＝|2＋2－1|1＋1＝32，u min ＝92.【答案】 927．已知变量x ，y 满足约束条件1≤x ＋y ≤4，－2≤x －y ≤2.若目标函数z ＝ax ＋y (其中a ＞0)仅在点(3,1)处取得最大值，则a 的取值范围为________．【解析】 由题设知可行域为如图所示的矩形，要使目标函数z ＝ax ＋y 在点(3,1)处取得最大值，结合图形可知a ＞1.【答案】 (1，＋∞)8．如果点P 在平面区域⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2≥0，x －2y ＋1≤0，x ＋y －2≤0内，点Q 在曲线x 2＋(y ＋2)2＝1上，那么|PQ |的最小值为________．【解析】 首先作出不等式组表示的平面区域和曲线x 2＋(y ＋2)2＝1，如图所示，从而可知点P 到Q 的距离最小值是可行域上的点到(0，－2)的最小值减去圆的半径1，由图可知|PQ |min ＝12＋－22－1＝5－1。
《简单的线性规划问题》教学设计
碳 水 化 合 物 ， ． ｋ 的 蛋 白质 ， ．７ ｇ ０１ ｇ ４ Ｏ０ ｋ ￣
生直 观感 知 目 标函数和 可行域 边 界的 斜率与最优解的关系， 体会从特 殊到一
般的过程 ； 探究 的过程 中， 会最 优 在 体 解 与目标 函数和可 行域 边界 的斜率 之 间的关系。
肪， 物Ａ Ｂ 食 、 如何 搭配才能满足营养专家
教 师用交互 式电子 白板展示 四组 求最优解的过程。
足需要 ， 所用钢 板 数最 一？ 且 Ｊ 、
学生 思考， 主完成 ， 自 并且 利用实
物投影展示解题的过程 。
师： 得 很 好 ， 说 解题 过 程也 很 严谨 ，
设计意图： 组求最优解的 把四 过程
放在同一张ＰＴ 可以使学生更直观 地 Ｐ上， 进行比 较和归 有利于学 纨 生迅速发现规
２检测引申， ． 提出问题
课件 展示 ： 要将两种大小不同的钢
板截成Ａ Ｂ ｃ 、 、三种规格 ， 每张钢板可同时 截得三种规格 的小钢板的块 数， 如表２ 。
现 需要 Ａ Ｂ ｃ 种 规 格 的成 品分 别是 ｌ 、 、三 ５ 、
１ ２块 ， ８ ７ 求截 得 这 两种 钢板 多少张 才能满
指 出的日 常饮食要求？
线性规 划问题 的第二 课时 ， 本节 课既 是上节课求最优 解的巩固和发展 ， 又是 解决生活最 优化 问题的基础。 在学 生学 习了平 面区域 的前提 下， 与学生共 同探 究最优解问 及其几何意义。 题 黪 学生分析
学 生 已经学 过 平 面 区域 的知 识， 可 以根 据 题 意 列 出二 元 一 次 不 等 式
生５要 先预 算 一 下直 线与两坐 标轴 ：
的交点， 然后确定单位 坐标， 才能画得 更 美观 ， 而且能直 观地看出区域的位置。
简单的线性规划问题
简单的线性规划问题(一)教案单县一中 万继昌一． 教学目标：1． 知识目标：（1）了解线性规划，可行域等概念的意义。
（2）掌握简单的线性规划问题的解法。
2． 能力目标：结合实际应用实例，概括总结出线性规划问题及解决方法，培养学生现实应用技能，分析、探索的能力。
3． 情感目标：体会数学来源于现实生活，体验数学在建设节约型社会中的作用，提高学生解决实际问题的能力。
二． 教学重点：利用图解法求得线性规划问题的最优解；三． 教学难点： 如何准确求出线性规划问题的最优解。
四． 教学方法： 启发探究式教学。
五． 教学工具： ppt 课件，实物展台等。
六． 教学过程：（一） 复习引入：（1）二元一次不等式Ax +By +C >0在平面直角坐标系 表示什么图形?直线Ax +By +C =0的某一侧所有点组成的平面区域 (2) 作出下列不等式组的所表示的平面区域 ⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+-≤-1255334x y x y x师生互动：【教师】先让学生做，画，然后点拨。
【学生】画图，总结步骤：直线定界，特殊点定域【教师】问题1：x 有无最大（小）值？问题2：y 有无最大（小）值？问题3：2x+y 有无最大（小）值？设计意图：复习回顾上节内容，为本节课学习奠定基础，同时提出问题，激发学生兴趣，引入新课。
（二）新课讲授1 引例某工厂用A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4 个A配件耗时1h，每生产一件乙产品使用4个B 配件耗时2h，该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B 配件，按每天工作8 h计算，（1）该厂所有可能的日生产安排是什么？师生互动：【教师】多媒体投影引例，并提出问题引导学生思考。
1)如何设变量？请用不等式组表示问题中的限制条件。
2)画出该不等式组表示的平面区域。
【学生】按老师的问题解答：解：设甲、乙两种产品分别生产x、y件，由已知条件可得二元一次不等式组画出可行域【教师】引导学生作出不等式组表示成平面上的区域，图中的阴影部分中的整点(坐标为整数)即为所有可能的日生产安排。
《简单的线性规划问题》说课稿(附教学设计)
《简单的线性规划问题》说课稿一、教材分析线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支，是辅助人们进行科学管理的数学方法，为合理地利用有限的人力、物力、财力等资源作出最优决策.本节课是学生学习了二元一次不等式（组）所表示的平面区域及直线方程和简单函数的最值的基础上，借助二元一次函数与直线方程间的相互转化和数形结合思想的有关知识求二元一次函数的最值，也是对二元一次不等式(组)表示平面区域的知识升华.本节的教学重点是线性规划问题的图解法.数形结合和化归思想是研究线性约束条件下求线性目标函数的最值问题的数学理论和方法,本节教学内容中蕴含了丰富的属性结合素材，具体表现为:(1)不定方程的解与平面内点的坐标的结合，进而产生了直线的方程.(2)线性目标函数解析式与直线的斜截式方程的结合.(3)线性目标函数的函数值与直线的纵截距的结合.(4)二元一次不等式(组)与为平面内点的坐标的结合.(5)线性目标函数在线性约束条件下的最值与直线过可行域内的点时纵截距的最值的结合.这样就能使学生对数形结合思想的理解和应用更透彻,为以后解析几何的学习和研究奠定了基础, 使学生从更深层次地理解“以形助数”的作用。
线性规划的实际问题的解决需要数学建模，一个正确数学模型的建立要求建模者熟悉规划问题的具体实际内容.对学生来说，上一节课已初步学习利用表格将文字长、数据多的应用问题中的数据进行整理，设未知数，列出线性约束条件；本节课一方面要让学生经历数据整理过程，准确列出约束条件，还要分析数据写出线性目标函数，尝试运用该模型解决实际问题，在多次数学问题解决的全过程中加深对简单线性规划问题数学模型的理解．通过本节教学还能使学生学会运用已有的认知结构探求新知的方法.这将使学生在以后的学习数学的过程中遇到困难想办法进行转化，例如以后可能会遇到目标函数为22y x z xy z +==或的问题，解决中可以借鉴本节课探索方法. 二、教学目标解析1.教学内容的脉络：本节课首先运用尝试计算比较的方法求目标函数的最值，随着可行域的逐步复杂学生思维产生结点，这样让学生经历问题提出的过程.然后引导学生经历知识探究过程，让他们学会运用已有知识探究新问题的方法，引导学生总结一般性的方法，掌握本节的重点.巩固练习中对两个例题都进行了再剖析,结合例1对数形结合思想的运用进行深入体会；针对例2由于作图的误差可能会带来的错解研究对策，同时用两个例题来培养体验数学在建设节约型社会中的作用，品尝学习数学的乐趣和科学严谨的学习态度.2.使学生学会从实际优化问题中抽象、识别出线性规划模型．会用图解法求线性目标函数的最大值、最小值. 了解约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念.3.教学中不但要教教材,还要教教材中的蕴含的方法.在探究如何求目标函数的最值时，让学生领悟到数形结合思想、化归思想在数学中的应用.在例1的反思中深入体会数学结合思想,培养学生在今后的学习中尝试运用数学思想方法进行思考，养成动手实践的探究新问题的习惯.4.在线性规划问题的探究过程中，使学生经历观察、分析、操作、归纳、概括的认知过程，经历知识的形成过程.三、教学分析让学生学会求简单的线性规划问题的方法并不困难，但对该问题的探究过程学生存在如下困难：（1）含两个决策变量的函数问题学生没有接触过，其函数值只能用代入法求得，直接求最大值对学生思维的要求跨度太大；（2）二元一次函数化成直线形式不是学生直接能想到的，也就是化归与数学结合的思想学生并不能熟练地应用. (3)学生对数形结合思想的理解往往停留只在表面化,让学生深入理解其作用及如何结合是本节课的难点之一.另外学生对实际生活中的问题转化为线性规划问题的数学建模意识也比较缺乏.教学难点：使让学生经历用图解法求最优解的探索过程；数形结合思想的理解.教学关键：指导学生紧紧抓住化归、数形结合的数学思想方法找到目标函数与直线方程的关系.四、教法分析新课程倡导学生积极主动、勇于探索的学习方式，通过学生动手实践、动脑思考等方法探究数学知识获取直接经验，进而培养学生的思维能力和应用意识等.本节课我以学生为中心，以问题为载体，采用启发、引导、探究相结合的教学方法.（1）设置“问题”情境，激发学生解决问题的欲望，调动学习积极性，在同一游戏背景下，设计富有层次的问题，引领学生思维有条理的深入到问题本质，经历问题的提出、深化变式、解决过程.（2）提供“观察、探索、交流”的机会，引导学生独立思考，有效地调动学生思维，使学生在开放的活动中获取直接经验. 通过设计探究环节和学生合作交流的活动,学生学会怎样利用原有的知识探究新知.使学生学到知识的同时又学会方法,注重知识的形成过程.（3）在本节应用题教学中，让学生经历“学数学、做数学、用数学”的过程；做到数学原理与解决问题的统一，即帮助学生掌握了知识与方法，也培养了应用意识、形成数学思想.《简单的线性规划问题》教学设计一、内容与内容解析本节课是《普通高中课程标准实验教科书数学》人教A版必修5第三章《不等式》中3.3.2《简单的线性规划问题》的第一课时. 主要内容是线性规划的相关概念和简单的线性规划问题的解法．线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支，它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法，广泛地应用于军事作战、经济分析、经营管理和工程技术等方面．简单的线性规划指的是目标函数含两个自变量的线性规划，其最优解可以用数形结合方法求出。
简单的线性规划教案
简单的线性规划教案教案标题：简单的线性规划教案教学目标：1. 了解线性规划的基本概念和特点。
2. 理解线性规划问题的求解过程。
3. 能够利用线性规划方法解决简单的实际问题。
所需材料：1. 铅笔、纸张、计算器。
2. 多个线性规划问题的案例。
教学步骤：引入阶段：1. 引导学生思考：什么是线性规划？线性规划有哪些应用场景？2. 提出教学目标，并解释线性规划的定义和特点。
探究阶段：3. 解释线性约束条件和目标函数的概念。
4. 利用一个简单的例子说明线性规划问题的形式和表示方法。
5. 引导学生分析并列出问题的线性约束条件和目标函数。
实践阶段：6. 将学生分成小组，每个小组选择一个实际问题，并将其转化为线性规划问题。
7. 指导学生列出问题的线性约束条件和目标函数。
8. 引导学生运用计算器或手动计算，求解其线性规划问题。
9. 学生分享并讨论解决过程和结果。
巩固阶段：10. 提供更多复杂的线性规划问题案例，让学生独立尝试解答，并讨论解决策略和结果。
11. 简要总结线性规划的基本原理和步骤。
拓展阶段：12. 引导学生思考更高级的线性规划问题，如带有整数约束或非线性目标函数的问题。
13. 推荐相关参考书籍和网上学习资源供学生深入学习。
评估方式：1. 在实践阶段，观察学生的合作和参与情况。
2. 收集学生独立解答的线性规划问题的答案，并进行评估。
教学反思：根据学生的反馈和评估结果，适时调整教学步骤和内容，确保学生能够理解和应用线性规划的基本原理。
《简单的线性规划问题》教案
《简单的线性规划问题》教学设计（人教A版高中课标教材数学必修5第三章第3.3.2节）祁东二中谭雪峰一、内容与内容解析本节课是《普通高中课程标准实验教科书数学》人教A版必修5第三章《不等式》中第3.3.2《简单的线性规划问题》的第一课时. 本课内容是线性规划的相关概念和简单的线性规划问题的解法．线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支，它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法.本节内容是在学习了不等式和直线方程的基础上，利用不等式和直线方程的有关知识展开的.简单的线性规划指的是目标函数含两个自变量的线性规划，其最优解可以用数形结合方法求出.简单的线性规划关心的是两类问题：一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；二是给定一项任务，如何合理规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成. 本节内容蕴含了丰富的数学思想方法，突出体现了优化思想、数形结合思想和化归思想.通过这一部分的学习，使学生进一步了解数学在解决实际问题中的应用，体验数形结合和转化的思想方法，培养学生学习数学的兴趣、应用数学的意识和解决实际问题的能力.二、教学目标一）、知识目标1.了解线性规划的意义、了解线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念.2.理解线性规划问题的图解法3. 会用图解法求线性目标函数的最优解.二）、能力目标1.在应用图解法解题的过程中培养学生的观察能力、理解能力.2.在变式训练的过程中，培养学生的分析能力、探索能力.3.培养学生观察、联想、作图和理解实际问题的能力，渗透化归、数形结合的数学思想.三)、情感目标1.让学生体验数学来源于生活，服务于生活，品尝学习数学的乐趣.2.让学生体验数学活动充满着探索与创造，培养学生勤于思考、勇于探索的精神.三、教学重点、难点重点：线性规划问题的图解法；寻求有实际背景的线性规划问题的最优解.难点：借助线性目标函数的几何含义准确理解线性目标函数在y 轴上的截距与z最值之间的关系.四、学习者特征分析1. 已经掌握用平面区域表示二元一次不等式（组）2. 初步学会分析简单的实际应用问题3. 能根据实际数据假设变量，并从中抽象出不等的线性约束条件并用相应的平面区域进行表示本节课学生在学习过程中可能遇到以下疑虑和困难：1.将实际问题抽象成线性规划问题；2.用图解法解线性规划问题中，为什么要将求目标函数最值问题转化为经过可行域的直线在y轴上的截距的最值问题？如何想到要这样转化？3.数形结合思想的深入理解.五、教学与学法分析本节课以学生为中心，以问题为载体，采用启发、引导、探索相结合的教学方法.课堂中应注重创设师生互动、生生互动的和谐氛围，通过学生动手实践、动脑思考等方法探究数学知识获取直接经验，进而培养学生的思维能力和应用意识等.1.设置“问题”情境，激发学生解决问题的欲望；2.提供“观察、探索、交流”的机会，引导学生独立思考，有效地调动学生思维，使学生在开放的活动中获取直接经验.3.在教学中体现“重过程、重情感、重生活”的理念；让学生经历“学数学、做数学、用数学”的过程.指导学生做到“四会”：会疑、会议、会思、会变.4.在教学中重视学生的探索经历和发现新知的体验，使学生形成自己对数学知识的理解和有效的学习策略.六、文本教学与信息技术整合点分析根据本节课教材内容的特点，为了更直观、形象地突出重点，突破难点，调动学生的学习兴趣，利用多媒体辅助教学，借助信息技术工具，以“几何画板”软件为平台，将目标函数与直线方程进行转化，通过直线的平行移动的演示，观察纵坐标的变化，直观生动地呈现图解法求最优解的过程，既加大课堂信息量，提高教学效率，同时让学生学会用“数形结合”思想方法建立起代数问题和几何问题间的密切联系．七、教学过程分析数学教学是数学活动的教学，我将整个教学过程分为五个环节：1.复习回顾：[幻灯片第2－4张]1）提问：如何作二元一次不等式表示的平面区域？直线定界；特殊点定域.2）巩固练习：画出下面不等式组所表示的平面区域.【设计意图】复习旧知，为本课的图解法解题热身准备. 2. 分析引例，形成概念，规范解答在现实生产、生活中，经常会遇到资源利用、人力调配、生产安排等问题……1) 将实际生活问题转化为数学问题(数学建模) [幻灯片第5－8张]教师组织学生学习引例.[引例]：某工厂有A 、B 两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A 配件耗时1h ，每生产一件乙产品使用4个B 配件耗时2h ，该厂每天最多可从配件厂获得16个A 配件和12个B 配件，按每天8h 计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？师生活动：通过教师引导，让学生正确理解题意，用不等式组表示问题中的5003x y x y x -+⎧⎪+⎨⎪⎩≥≥≤限制条件及作出相应的平面区域，将实际问题转化为数学问题.（1）、教师提问：同学们，你们能用不等式组表示问题中的限制条件吗？引导学生设定未知数（设甲、乙两种产品分别生产x 、y 件）， 分析已知条件得到二元一次方程组：（2）、让学生画出不等式组所表示的平面区域.【设计意图】数学是现实世界的反映.通过引入学生感兴趣的实际生活问题，激发学生兴趣，使学生产生急于解决问题的内驱力，引发了学生的思考，同时师生之间通过互动复习旧知，培养学生从实际问题抽象出数学模型的能力.（3）、教师进一步提出新问题：若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，采用哪种生产安排利润最大？引导学生若设定工厂获得的利润为z ，则易得z = 2x + 3y ，此时问题转化为即求z 的最大值的问题了.【设计意图】添加优化问题，定义目标函数，引出新问题.2）分析问题，形成概念[幻灯片第9－17张]师生活动：教师根据引题得出线性规划问题相关概念.（1）、就在学生兴趣顿起的时候，教师就此给出了相关概念：① 上述问题中，不等式组是一组对变量 x 、y 的约束条件，这组约束条件都是关于x 、y 的一次不等式，所以又叫线性约束条件. 线性约束条件除了用一次不等式表示外，有时也用一次方程表示.② 欲求最大值或最小值的函数z=2x+3y 叫做目标函数. 由于 z=2x+y 又是x 、y 的一次解析式，所以又叫线性目标函数.③ 一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题.④ 满足线性约束条件的解(x,y)叫做可行解.2841641200x y x y x y +≤⎧⎪≤⎪⎪≤⎨⎪≥⎪≥⎪⎩⑤ 由所有可行解组成的集合叫做可行域.⑥ 使目标函数取得最大值或最小值的可行解，它们都叫做这个问题的最优解.（2）、 引导学生理解，引题的问题就是一个线性规划问题. 图中阴影部分（即可行域）的整点（坐标为整数的点）就代表所有可能的日生产安排. 于是问题就转化为当点（x,y ）在可行域运动时如何求z=2x+3y 的最大值问题.3）探究交流，解决问题[幻灯片第18－20张]（1）、教师提问：如何求z=2x+3y 的最大值问题？先让学生自主探究，再分组讨论交流，然后试着这样引导学生：由于已经将x ,y 所满足的条件几何化了，你能否将式子z=2x+3y 作某种几何解释？学生自然地想到它在几何上表示直线2x+3y-z=0. 当z 取不同的值时可得到一族平行直线.于是问题又转化为当这族直线与可行域有公共交点时，如何求z=2x+3y 的最大值.（2）、这一问题对于部分学生仍有一定难度，教师再次提问：在直线2x+3y-z=0中，z 是否与这直线的某种几何意义有关？学生讨论交流后得出：将直线2x+3y-z=0改写成斜截式233z y x =-+，学生此时会明白直线2,33z y x =-+它表示为斜率为2,3k =-截距3z b =的直线，当z 变化时，可以得到一组互相平行的直线，而且当截距3z 最大时，z 取最大值. 于是问题又转化为当2x+3y-z=0这族直线与可行域有公共交点时，在可行域内找一个点，使直线经过此点时在y 轴上的截距最大. 接着让学生动手实践，用作图法找到点E 并求出点E 的坐标（4，2），而求出z 的最大值为14，所以每天生产甲产品4件，乙产品2件时，工厂可获得最大利润14万元 .师生活动：教师引发学生思考变形目标函数，将z=2x+3y 化成233z y x =-+的形式，挖掘几何含义，作过原点直线23y x =-并进行平移，观察纵截距的最大值，教师利用多媒体辅助教学工具作动态演示平移确定最值，并有意强调解题步骤:画、作、移、求.【设计意图】：让学生自主探究，体验数学知识的发生、发展过程，体验转化和数形结合的思想方法，通过目标函数的不同变式，让学生熟悉求最值的方法，从而让学生更好地理解数学概念和方法，突出了重点，化解了难点.3.反思过程，提练方法[幻灯片第21张]教师引导学生归纳、提炼求解步骤：第一步：画——根据约束条件画出可行域；第二步：作——过原点作目标函数直线的平行直线0l ；第三步： 移——平移直线0l 找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线，确定可行域内最优解的位置；第四步：求——解有关方程组求出最优解，将最优解代入目标函数求最值.4.模仿练习，强化方法，拓展题型[幻灯片第22－26张]为了更好地理解图解法解线性规划问题的内在规律，同时让学生掌握解决简单线性规划问题的基本步骤，让学生做下面这个练习：练习（教材例5）、营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供0.075kg的碳水化合物，0.06kg 的蛋白质，0.06kg 的脂肪，1kg 食物A 含有0.105kg 碳水化合物，0.07kg 蛋白质，0.14kg 脂肪，花费28元；而1食物B 含有0.105kg 碳水化合物，0.14kg 蛋白质，0.07kg 脂肪，花费21元.为了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物A 和食物B 多少kg ？师生活动：教师引领学生理解题意，让学生领会用表格形式描述数据的直观性.让学生独立建立线性规划的数学模型，并正确设出变量，找好目标函数及约束条件后自行完成此题. 由一位同学生展示自己的解题过程和结果. 教师规范解题步骤和格式.1.分析：将已知数据列成表格解：设每天食用x （kg ）食物A ，y （kg ）食物B ，总成本为z ，那么 0.1050.1050.075,0.070.140.06,0.140.070.06,0,0.x y x y x y x y +≥⎧⎪+≥⎪⎪+≥⎨⎪≥⎪≥⎪⎩①目标函数为2821z x y =+.二元一次不等式组①等价于775,7146,1476,0,0.x y x y x y x y +≥⎧⎪+≥⎪⎪+≥⎨⎪≥⎪≥⎪⎩ ②二元一次不等式组所表示的平面区域（图1），即可行域．考虑2821z x y =+，将它变形为4321z y x =-+.这里4321z y x =-+是斜率为43-，随z 变化的一组平行直线，21z 是直线在y 轴上的截距，当21z 取最小值时，z 的值最小．当然直线要与可行域相交，即在满足约束条件时目标函数2821z x y =+取得最小值．由图1可见，当直线2821z x y =+经过可行域上的点M 时，截距21z 最小，即z 最小． 解方程组775,147 6.x y x y +=⎧⎨+=⎩ 得M 的坐标为17x =,47y =. 所以282116z x y =+=．答：每天食用食物A 为17kg ，食物B 为47kg ，能够满足日常饮食要求，又使花费最低，最低成本为16元.【设计意图】1）. 通过一道完整的简单线性规划问题，让学生掌握解决简单线性规划问题的基本步骤，培养学生的数学建模意识.同时进一步加深对图解法的认识.2）.通过此题检测学生对已学知识的掌握情况，进一步培养学生的运算能力和准确作图的能力.3）.展现线性规划的另一类型题（可行域不封闭、最优解为最小值），并与引例相比较，对比可行域封闭与不封闭、最优解为最大值与最小值两种情况的线性规划问题.师生活动:由教师帮助学生分析错解的原因,并提出问题.学生意识到可以把所有可能的解都求出来,进行比较即可.师生一起反思练习的求解过程.教师通过巡视发现错解的学生，帮助学生找到错误的原因.并提出问题：有时若由于不可避免的误差带来错解，你如何解决?【设计意图】通过反思及寻求问题答案，让学生深入思考,培养学生科学严谨的学习态度和解决问题的能力.5.变式演练，深入探究，开阔视野[幻灯片第27张]师生活动:让学生自己动手解决问题，教师可用几何画板演示。
简单的线性规划问题
三、新知建构，典例分析
某工厂用A,B两种配件生产甲,乙两种产品, 每生产一件甲种产品使用4个A配件耗时1h, 每生产一件乙种产品使用4个B配件耗时2h, 该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和 12个B配件,按每天工作8小时计算,该厂所有 可能的日生产安排是什么?
若生产1件甲种产品获利2万元,生产1 件乙 种产品获利3万元,采用哪种生产安排利润最大?
x2y 8
44
x y
16 12
象这样关于x,y一次不等 式组的约束条件称为 线性约束条件
x
0
Z=2x+3y称为目标函数,(因这里 目标函数为关于x,y的一次式,又
y 0
称为线性目标函数
在线性约束下求线性目标函数 的最值问题,统称为线性规划,
满足线性约束的解(x,y)叫做可行解, 所有可行解组成的集合叫做可行域 使目标函数取得最值的可行解叫做这个 问题的最优解
y4x z 3 28
z 28 是直线在y轴上
的截距，当截距最
5/7 M
小时，z的值最小。 3/7
3、移
如图可见，当直线z＝ 28x＋21y 经过可行 域上的点M时，纵截距 最小，即z最小。
o
3/7
y4x 3
/ 57 6/7 x
4、求 M点是两条直线的交点，解方程组
7 x 7 y 5
14x 7 y 6
二、新课引入，任务驱动
1、二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法：
“直线定界、特殊点定域”
2、二元一次不等式组表示的平面区域
各个不等式所表示的平面区域的公共部分
二、新课引入，任务驱动
通过本节的学习你能掌握简单的线性规 划问题的解法及步骤吗？
三、新知建构，典例分析
《简单的线性规划问题》参考教案
课题: §3.3.2简单的线性规划第1课时授课类型：新授课【教学目标】1．知识与技能：使学生了解二元一次不等式表示平面区域；了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念；了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题；2．过程与方法：经历从实际情境中抽象出简单的线性规划问题的过程，提高数学建模能力；3．情态与价值：培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透集合、化归、数形结合的数学思想，提高学生“建模”和解决实际问题的能力。
【教学重点】用图解法解决简单的线性规划问题【教学难点】准确求得线性规划问题的最优解【教学过程】1.课题导入[复习提问]1、二元一次不等式在平面直角坐标系中表示什么图形？2、怎样画二元一次不等式（组）所表示的平面区域？应注意哪些事项？3、熟记“直线定界、特殊点定域”方法的内涵。
2.讲授新课在现实生产、生活中，经常会遇到资源利用、人力调配、生产安排等问题。
1、下面我们就来看有关与生产安排的一个问题：引例：某工厂有A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A配件耗时1h,每生产一件乙产品使用4个B配件耗时2h，该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件，按每天8h计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？（1）用不等式组表示问题中的限制条件：设甲、乙两种产品分别生产x、y件，又已知条件可得二元一次不等式组： (1)（2）画出不等式组所表示的平面区域：如图，图中的阴影部分的整点（坐标为整数的点）就代表所有可能的日生产安排。
（3）提出新问题：进一步，若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，采用哪种生产安排利润最大？（4）尝试解答：设生产甲产品x件，乙产品y件时，工厂获得的利润为z,则z=2x+3y.这样，上述问题就转化为：当x,y满足不等式（1）并且为非负整数时，z的最大值是多少？把z=2x+3y变形为，这是斜率为，在y轴上的截距为的直线。
简单的线性规划教学教案
简单的线性规划教学教案教学目标：1.理解线性规划的概念和应用。
2.学会构建线性规划模型。
3.掌握常用的线性规划求解方法。
教学重点：1.线性规划的基本概念和原理。
2.如何根据实际问题构建线性规划模型。
3.线性规划的常用求解方法。
教学难点：1.如何确定线性规划模型的约束条件。
2.如何进行线性规划问题的求解。
教学准备：1.教师准备PPT、教学案例和练习题。
2.学生准备纸笔和计算器。
教学过程：一、导入（10分钟）1.引入线性规划的概念，简单介绍线性规划的应用背景和目标。
2.提问：你知道线性规划吗？它有什么应用领域？二、概念讲解（20分钟）1.讲解线性规划的基本定义和特点。
解释什么是线性规划问题，以及如何区分线性规划和非线性规划。
2.介绍线性规划的基本假设和约束条件。
三、模型构建（30分钟）1.通过实际案例，讲解线性规划的模型构建过程。
2.以一个简单的生产问题为例，引导学生如何根据给定的条件构建线性规划模型。
3.引导学生讨论和思考，如何确定目标函数和约束条件。
四、线性规划问题的求解方法（30分钟）1.介绍线性规划问题的常用求解方法，包括图形法、单纯形法等。
2.以图形法为例，演示如何利用图形法求解线性规划问题。
3.引导学生通过练习题熟练掌握线性规划问题的求解方法。
五、案例分析（20分钟）1.给出一个较为复杂的线性规划问题，引导学生分组进行讨论和求解。
2.学生展示解题过程和结果，并进行讨论和总结。
六、总结与拓展（10分钟）1.整理本节课的主要内容，进行总结。
2.引导学生扩展拓展线性规划的应用领域。
教学延伸：1.鼓励学生通过实际案例进行线性规划模型的构建和求解。
2.将线性规划与其他数学知识结合，如代数、数学建模等。
教学反思：1.这节课应该增加更多的实例分析，帮助学生更好地理解线性规划的构建和求解过程。
2.可以设计更多的练习题，帮助学生巩固所学知识。
简单的线性规划问题精品教案
加强学生对“数形结合”思想方法的认识.
法的掌握、对思想的应用.最后，学生通过对高考真题的完成建立了学习数学的信心，提
高了对数学学习的热情.
解决解线性规划问题的一般步骤：
1、画：画出线性约束条件所表示的可行域；
3.3.2 简单的线性规划问题
2、移：在线性目标函数所表示的一组平行线中，利用平移的方法找出与可行域有公共点并且在 板
四、课堂小结： 1、 线性规划问题的一般步骤：画、移、求、答. 2、 解题时应注意：“斜率”、“截距”对 z 最值的影响. 3、 突出“数形结合”思想方法的运用.
【总结 1】注意线性目标函数的“斜率”对最优解的影响.
五、课后作业：【课后训练案】
变式 4.若目标函数为 z x y ，求 z 的最大值.
教学设计
授课题目
简单的线性规划问题
授课教师
学科
数学 授课班级
二、概念引入
教学目标
知识与技能：了解线性规划的相关概念，理解线性规划问题中 z 的几何 问题 3.若生产每吨 A 产品可收益 1 万元，每吨 B 产品可收益 1 万元，问如何规划 A、B
意义，会用图解法求线性目标函数的最优解；
的生产数量可以使得公司获利最大？
最优解：使目标函数取得最大值或最小值的可行解.
品，而现在可供使用的石油原料只有 12t.设 A、B 两种产品分别生产 x、y t.回答下列问题： 练习 1．给定下列命题：在线性规划中，
问题 1.列出有序实数对 (x, y) 满足的二元一次不等式组.
① 最优解指的是使目标函数取得最大值的变量 x 或 y 的值；
过程与方法：在解决实际问题时培养学生数学建模的意识，在应用图解 方法 1：几何画板演示.
简单线性规划问题教案
课题名称：简单的线性规划问题(教课设计 )高一数学备课组（潘洪存）三维教课目的知识与技术：①认识线性规划的意义以及拘束条件、线性目标函数、可行域、最优解等有关的基本观点；②在稳固二元一次不等式（组）所表示的平面地区的基础上，能从实质优化问题中抽象出拘束条件和目标函数，并依照目标函数的几何含义直观地运用图解法求出最优解；③掌握对一些实质优化问题成立线性规划数学模型并运用图解法进行求解的基本方法和步骤。
过程与方法：①培育学生的形象思想能力、绘图能力和研究能力；②加强数形联合的数学思想方法；③提高学生建立（不等关系）数学模型、解决简单实质优化问题的能力。
感情、态度与价值观：①在感觉现实生产、生活中的各样优化、决议问题中体验应用数学的快乐；②在运用求解线性规划问题的图解方法中，感觉动向几何的魅力；③在研究性练习中，感觉多角度思虑、探究问题并收获研究成就的乐趣。
教课要点及应付策略1、教课要点：依据实质优化问题正确成立目标函数，并依照目标函数的几何含义直观地运用图解法求出最优解；教课难点：①借助线性目标函数的几何含义正确理解线性目标函数在y 轴上的截距与z 最值之间的关系；②用数学语言表述运用图解法求解线性规划问题的过程。
教课过程设计教课教课内容师生活动设计企图环节复习回首，引入本节课要研究的数师生共同回首前面所学内容，在作唤起学生对直线地点一、学识题出 5 条直线的图像的基础上，剖析关系的回想，为本节（1）出它们之间的关系结论：课利用数形联合的方指引学生在同向来角坐标系复下作出以下直线，并找出它们之间①形如 2 x y t 的直线与法解决线性规划问题习回顾二、创设的关系：l1 : 2 x y 0 平行打下础。
l1 : 2x y 0;l 2 : 2x y1;l3 : 2x y 3②k<0 时，k 越大，直线的倾斜角l4 : x y 0;l5 : x 3 y 0越大指引学生作出以下不等式组第一由学生回答前两个问题，在小让学生产生进一步学（2）x4y3组议论后请一位学生代表回答第三习的欲念，即怎样能所表示的平面地区3x 5 y25，解决这类最值问题。
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《简单的线性规划问题》教学设计（人教A版高中课标教材数学必修5第三章第3.3.2节）祁东二中谭雪峰一、内容与内容解析本节课是《普通高中课程标准实验教科书数学》人教A版必修5第三章《不等式》中第3.3.2《简单的线性规划问题》的第一课时. 本课内容是线性规划的相关概念和简单的线性规划问题的解法．线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支，它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法.本节内容是在学习了不等式和直线方程的基础上，利用不等式和直线方程的有关知识展开的.简单的线性规划指的是目标函数含两个自变量的线性规划，其最优解可以用数形结合方法求出.简单的线性规划关心的是两类问题：一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；二是给定一项任务，如何合理规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成. 本节内容蕴含了丰富的数学思想方法，突出体现了优化思想、数形结合思想和化归思想.通过这一部分的学习，使学生进一步了解数学在解决实际问题中的应用，体验数形结合和转化的思想方法，培养学生学习数学的兴趣、应用数学的意识和解决实际问题的能力.二、教学目标一）、知识目标1.了解线性规划的意义、了解线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念.2.理解线性规划问题的图解法3. 会用图解法求线性目标函数的最优解.二）、能力目标1.在应用图解法解题的过程中培养学生的观察能力、理解能力.2.在变式训练的过程中，培养学生的分析能力、探索能力.3.培养学生观察、联想、作图和理解实际问题的能力，渗透化归、数形结合的数学思想.三)、情感目标1.让学生体验数学来源于生活，服务于生活，品尝学习数学的乐趣.2.让学生体验数学活动充满着探索与创造，培养学生勤于思考、勇于探索的精神.三、教学重点、难点重点：线性规划问题的图解法；寻求有实际背景的线性规划问题的最优解.难点：借助线性目标函数的几何含义准确理解线性目标函数在y 轴上的截距与z最值之间的关系.四、学习者特征分析1. 已经掌握用平面区域表示二元一次不等式（组）2. 初步学会分析简单的实际应用问题3. 能根据实际数据假设变量，并从中抽象出不等的线性约束条件并用相应的平面区域进行表示本节课学生在学习过程中可能遇到以下疑虑和困难：1.将实际问题抽象成线性规划问题；2.用图解法解线性规划问题中，为什么要将求目标函数最值问题转化为经过可行域的直线在y轴上的截距的最值问题？如何想到要这样转化？3.数形结合思想的深入理解.五、教学与学法分析本节课以学生为中心，以问题为载体，采用启发、引导、探索相结合的教学方法.课堂中应注重创设师生互动、生生互动的和谐氛围，通过学生动手实践、动脑思考等方法探究数学知识获取直接经验，进而培养学生的思维能力和应用意识等.1.设置“问题”情境，激发学生解决问题的欲望；2.提供“观察、探索、交流”的机会，引导学生独立思考，有效地调动学生思维，使学生在开放的活动中获取直接经验.3.在教学中体现“重过程、重情感、重生活”的理念；让学生经历“学数学、做数学、用数学”的过程.指导学生做到“四会”：会疑、会议、会思、会变.4.在教学中重视学生的探索经历和发现新知的体验，使学生形成自己对数学知识的理解和有效的学习策略.六、文本教学与信息技术整合点分析根据本节课教材内容的特点，为了更直观、形象地突出重点，突破难点，调动学生的学习兴趣，利用多媒体辅助教学，借助信息技术工具，以“几何画板”软件为平台，将目标函数与直线方程进行转化，通过直线的平行移动的演示，观察纵坐标的变化，直观生动地呈现图解法求最优解的过程，既加大课堂信息量，提高教学效率，同时让学生学会用“数形结合”思想方法建立起代数问题和几何问题间的密切联系．七、教学过程分析数学教学是数学活动的教学，我将整个教学过程分为五个环节：1.复习回顾：[幻灯片第2－4张]1）提问：如何作二元一次不等式表示的平面区域？直线定界；特殊点定域.2）巩固练习：画出下面不等式组所表示的平面区域.【设计意图】复习旧知，为本课的图解法解题热身准备. 2. 分析引例，形成概念，规范解答在现实生产、生活中，经常会遇到资源利用、人力调配、生产安排等问题……1) 将实际生活问题转化为数学问题(数学建模) [幻灯片第5－8张]教师组织学生学习引例.[引例]：某工厂有A 、B 两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A 配件耗时1h ，每生产一件乙产品使用4个B 配件耗时2h ，该厂每天最多可从配件厂获得16个A 配件和12个B 配件，按每天8h 计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？师生活动：通过教师引导，让学生正确理解题意，用不等式组表示问题中的5003x y x y x -+⎧⎪+⎨⎪⎩≥≥≤限制条件及作出相应的平面区域，将实际问题转化为数学问题.（1）、教师提问：同学们，你们能用不等式组表示问题中的限制条件吗？ 引导学生设定未知数（设甲、乙两种产品分别生产x 、y 件）， 分析已知条件得到二元一次方程组：（2）、让学生画出不等式组所表示的平面区域.【设计意图】数学是现实世界的反映.通过引入学生感兴趣的实际生活问题，激发学生兴趣，使学生产生急于解决问题的内驱力，引发了学生的思考，同时师生之间通过互动复习旧知，培养学生从实际问题抽象出数学模型的能力.（3）、教师进一步提出新问题：若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，采用哪种生产安排利润最大？引导学生若设定工厂获得的利润为z ，则易得z = 2x + 3y ，此时问题转化为即求z 的最大值的问题了.【设计意图】添加优化问题，定义目标函数，引出新问题.2）分析问题，形成概念[幻灯片第9－17张]师生活动：教师根据引题得出线性规划问题相关概念.（1）、就在学生兴趣顿起的时候，教师就此给出了相关概念：① 上述问题中，不等式组是一组对变量 x 、y 的约束条件，这组约束条件都是关于x 、y 的一次不等式，所以又叫线性约束条件. 线性约束条件除了用一次不等式表示外，有时也用一次方程表示.② 欲求最大值或最小值的函数z=2x+3y 叫做目标函数. 由于 z=2x+y 又是x 、y 的一次解析式，所以又叫线性目标函数.③ 一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题.④ 满足线性约束条件的解(x,y)叫做可行解.2841641200x y x y x y +≤⎧⎪≤⎪⎪≤⎨⎪≥⎪≥⎪⎩⑤ 由所有可行解组成的集合叫做可行域.⑥ 使目标函数取得最大值或最小值的可行解，它们都叫做这个问题的最优解.（2）、 引导学生理解，引题的问题就是一个线性规划问题. 图中阴影部分（即可行域）的整点（坐标为整数的点）就代表所有可能的日生产安排. 于是问题就转化为当点（x,y ）在可行域运动时如何求z=2x+3y 的最大值问题.3）探究交流，解决问题[幻灯片第18－20张]（1）、教师提问：如何求z=2x+3y 的最大值问题？先让学生自主探究，再分组讨论交流，然后试着这样引导学生：由于已经将x ,y 所满足的条件几何化了，你能否将式子z=2x+3y 作某种几何解释？学生自然地想到它在几何上表示直线2x+3y-z=0. 当z 取不同的值时可得到一族平行直线.于是问题又转化为当这族直线与可行域有公共交点时，如何求z=2x+3y 的最大值.（2）、这一问题对于部分学生仍有一定难度，教师再次提问：在直线2x+3y-z=0中，z 是否与这直线的某种几何意义有关？学生讨论交流后得出：将直线2x+3y-z=0改写成斜截式233z y x =-+，学生此时会明白直线2,33z y x =-+它表示为斜率为2,3k =-截距3z b =的直线，当z 变化时，可以得到一组互相平行的直线，而且当截距3z 最大时，z 取最大值. 于是问题又转化为当2x+3y-z=0这族直线与可行域有公共交点时，在可行域内找一个点，使直线经过此点时在y 轴上的截距最大. 接着让学生动手实践，用作图法找到点E 并求出点E 的坐标（4，2），而求出z 的最大值为14，所以每天生产甲产品4件，乙产品2件时，工厂可获得最大利润14万元 .师生活动：教师引发学生思考变形目标函数，将z=2x+3y 化成233z y x =-+的形式，挖掘几何含义，作过原点直线23y x =-并进行平移，观察纵截距的最大值，教师利用多媒体辅助教学工具作动态演示平移确定最值，并有意强调解题步骤:画、作、移、求.【设计意图】：让学生自主探究，体验数学知识的发生、发展过程，体验转化和数形结合的思想方法，通过目标函数的不同变式，让学生熟悉求最值的方法，从而让学生更好地理解数学概念和方法，突出了重点，化解了难点.3.反思过程，提练方法[幻灯片第21张]教师引导学生归纳、提炼求解步骤：第一步：画——根据约束条件画出可行域；第二步：作——过原点作目标函数直线的平行直线0l ；第三步： 移——平移直线0l 找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线，确定可行域内最优解的位置；第四步：求——解有关方程组求出最优解，将最优解代入目标函数求最值.4.模仿练习，强化方法，拓展题型[幻灯片第22－26张]为了更好地理解图解法解线性规划问题的内在规律，同时让学生掌握解决简单线性规划问题的基本步骤，让学生做下面这个练习：练习（教材例5）、营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供0.075kg 的碳水化合物，0.06kg 的蛋白质，0.06kg 的脂肪，1kg 食物A 含有0.105kg 碳水化合物，0.07kg 蛋白质，0.14kg 脂肪，花费28元；而1食物B 含有0.105kg 碳水化合物，0.14kg 蛋白质，0.07kg 脂肪，花费21元.为了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物A 和食物B 多少kg ？师生活动：教师引领学生理解题意，让学生领会用表格形式描述数据的直观性.让学生独立建立线性规划的数学模型，并正确设出变量，找好目标函数及约束条件后自行完成此题. 由一位同学生展示自己的解题过程和结果. 教师规范解题步骤和格式.1.分析：将已知数据列成表格解：设每天食用x （kg ）食物A ，y （kg ）食物B ，总成本为z ，那么 0.1050.1050.075,0.070.140.06,0.140.070.06,0,0.x y x y x y x y +≥⎧⎪+≥⎪⎪+≥⎨⎪≥⎪≥⎪⎩①目标函数为2821z x y =+.二元一次不等式组①等价于775,7146,1476,0,0.x y x y x y x y +≥⎧⎪+≥⎪⎪+≥⎨⎪≥⎪≥⎪⎩ ②二元一次不等式组所表示的平面区域（图1），即可行域．考虑2821z x y =+，将它变形为4321z y x =-+.这里4321z y x =-+是斜率为43-，随z 变化的一组平行直线，21z 是直线在y 轴上的截距，当21z 取最小值时，z 的值最小．当然直线要与可行域相交，即在满足约束条件时目标函数2821z x y =+取得最小值．由图1可见，当直线2821z x y =+经过可行域上的点M 时，截距21z 最小，即z 最小． 解方程组775,147 6.x y x y +=⎧⎨+=⎩ 得M 的坐标为17x =,47y =. 所以282116z x y =+=．答：每天食用食物A 为17kg ，食物B 为47kg ，能够满足日常饮食要求，又使花费最低，最低成本为16元.【设计意图】1）. 通过一道完整的简单线性规划问题，让学生掌握解决简单线性规划问题的基本步骤，培养学生的数学建模意识.同时进一步加深对图解法的认识.2）.通过此题检测学生对已学知识的掌握情况，进一步培养学生的运算能力和准确作图的能力.3）.展现线性规划的另一类型题（可行域不封闭、最优解为最小值），并与引例相比较，对比可行域封闭与不封闭、最优解为最大值与最小值两种情况的线性规划问题.师生活动:由教师帮助学生分析错解的原因,并提出问题.学生意识到可以把所有可能的解都求出来,进行比较即可.师生一起反思练习的求解过程.教师通过巡视发现错解的学生，帮助学生找到错误的原因.并提出问题：有时若由于不可避免的误差带来错解，你如何解决?【设计意图】通过反思及寻求问题答案，让学生深入思考,培养学生科学严谨的学习态度和解决问题的能力.5.变式演练，深入探究，开阔视野[幻灯片第27张]师生活动:让学生自己动手解决问题，教师可用几何画板演示。