理想流体不可压缩流体的定常流动

C
C
C
C
速度环量是标量，它的正负号不仅与速度的
方向有关，而且与线积分的绕行方向有关。
为统一起见， 规定沿封闭周线绕行的正方向
为逆时针方向。被包围面积法线的正方向应
与绕行的正方向成右手螺旋系统。
§2 流体漩涡运动的基本理论
三、斯托克斯定理
斯托克斯定理为：当封闭周线内有涡束时，则沿封闭周线的速度环量等于
v1 v yy y1 yx y1 yz z1 z x1 x x1
w1 w zz z1 zx x1 xy y1 x y1 y x1
§1 流体微团的运动分析
二、流体的有旋流动和无旋流动
1、流体微团的旋转角速度不等于零的流动称为有旋流动。 2、流体微团的旋转角速度等于零的流动称为无旋流动。
5、旋涡强度（涡通量）——穿过任意面积上的法向涡量与面积
的乘积定义为旋涡强度，也称为涡通量
dI dA 2n dA
I dA 2n dA
S
S
§2 流体旋涡运动的基本理论
二、速度环量
速度环量的定义：速度环量 为速度 V 沿流场中任意封闭曲线 C 的线
积分
VSdS V cosdS V dS udx vdy wdz
3、在无旋流动中角速度为零，即 x y z 0 所以每一流体微
团都满足下列条件：
w v y z
u w z x
v u x y
必须指出，有旋流动和无旋流动仅由流体
微团本身是否发生旋转来决定，而与流体
微团本身的运动轨迹无关。
第六章 理想不可压缩流体的定常流动
§1 流体微团运动分析* §2 流体旋涡运动的基本理论* §3 理想不可压缩流体的流动 §4 理想不可压缩流体的平面势流 §5 几种简单的不可压缩流体的平面流动 §6 平面无旋流动的叠加
曲线称为涡线。与流线一样，涡线也不能相交和折转，不定常时涡线形状 随时间而变。
dx dy dz
x y z
3、涡管 —— 过涡场中任意一封闭曲线上所有 点作涡线，形成一个管状柱面，称为涡管。
§2 流体旋涡运动的基本理论
4、涡束——过涡管截面上所有点之涡线总体，称为涡束。涡束内部的流体可以像刚 体旋转那样，流体各微团都以相同的角速度作圆周运动；也可以是宏观上并不作圆 周运动而流体微团绕自身轴线旋转的有旋流场。
v x
u y
由此可见，流体微团各速度分量的第一项是平移速度分量，第二是线变形 运动、第三项是角变形运动、第四项是旋转运动，流体运动的线速度就是 有以上各项分量所引起的。
§1 流体微团的运动分析
u1 u xxx1 xy y1 xz z1 y z1 z y1
1、平移项
2、线变形项
3、角变形项 4、旋转变形项
该封闭周线内所有涡束的涡通量之和。
C
udx
v dy
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wdz
A
w y
v z
dydz
u z
w x
dzdx
v x
u y
dxdy
1、微元面积上的斯托克斯定理
d uAB dx vBC dy uCD dx vDA dy
d
v x
u y
dxdy
2z
dA
d 2zdA dI
§2 流体漩涡运动的基本理论
§2 流体漩涡运动的基本理论
关于非单连通域问题
0 b'dbaea'b'
b'dbaea'b' b'db ba aea' a'b' 0
b'db C
ba a'b'
aea'
C
'
C
C
'
包围机翼的任意封闭曲线上的环量等于机翼周线上 的环量值
§2 流体漩涡运动的基本理论
斯托克斯定理是研究有旋流动的一个重要定理：
1、它可以将对涡量的研究转化为对速度环量的研究，即将面积分转变为 线积分。
2、速度环量是否为零可以决定流动是有旋还是无旋。 3、在用速度环量来判断流动是否有旋时必须注意：包围某区域的环量为
零，该区域内不一定是无旋流动，因为有可能有反向旋转的涡量存在。
1、移动 2、线变形运动 3、角变形运动 4、旋转
§1 流体微团的运动分析
平移速度分量 线性变形率
u
xx
u x
vw
yy
v y
zz
w z
角变形速度
xy
1 2
v x
u y
yz
1 2
w y
v z
zx
1 u 2 z
w x
旋转角速度
.
x
1 2
w y
v z
.
y
1
u
w
2 z x
z
1 2
理想不可压缩流体的定常流动
理想不可压缩流体的定常流动
§1 流体微团运动分析* §2 流体旋涡运动的基本理论* §3 理想不可压缩流体的流动 §4 理想不可压缩流体的平面势流 §5 几种简单的不可压缩流体的平面流动 §6 平面无旋流动的叠加
§1 流体微团的运动分析
１．、流体微团运动的分析
刚体运动一般可分解为移动和转动两部分， 流体微团的运动一般可以分解为移动、转动和发生变形运动三部分。
§2 流体旋涡运动的基本理论
一、流体旋涡运动的基本概念
由于流体在流动中存在粘性，所以自然界中的流体运动都是有旋的。
§2 流体旋涡运动的基本理论
流体在整个流场中作旋涡运动，或者局部流场区域中存在绕自身轴线旋转的 流体微团，于是在该流场中形成了一个用角速度表示的涡量场。
在涡量场中引进涡线、涡管、涡束和涡通量。
wdz
A
w y
v z
dydz
u z
w x
dzdx
v x
u y
dxdy
V ds 2ndA
C
A
§2 流体漩涡运动的基本理论
4、斯托克斯定理推得的结论
若区域内处处无旋，则区域周边的环量等于零；
若区域内处处有旋，则区域周边的环量一般不等于零；
若曲线上的环量不等于零，则所围区域内必定有旋； 若曲线上的环量等于零，则所围区域内不一定是无旋的。
2、任意平面面积 A 上的斯托克斯定理
di 2idAi
di 2idAi
任意曲线上的环量等于所围面积 A 中的旋涡强度
C
udx
vdy
A
v x
u y
dxdy
2 zdA
A
以上斯托克斯定理只在单连通域的流场中成立
§2 流体漩涡运动的基本理论
3、空间任意曲面 A 上的斯托克斯定理
C
udx
vdy
1、涡量、涡量场
涡量是流体微团的旋转角速度的两倍
x
.
2x
w y
v z
y
.
2 y
u z
w x
z
2z
v x
u y
有涡量存在的流场称为涡量场。
2 rotV V
§2 流体旋涡运动的基本理论
2、涡线 —— 涡量场中，任一瞬时 t ，过任一点 P 可作一条曲线，使 曲线上每一点的切线与该点处的流体微团的涡量 之方向一致。这样的