高等数学 3幂级数收敛域和函数
求幂级数的收敛域和函数
求幂级数的收敛域和函数幂级数是一类特殊的无穷级数，形如：$$\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$$其中$a_n$为一定的常数，$x$为变量。
幂级数在数学中有着广泛的应用，如解微分方程、计算函数值等等。
我们通常研究一个幂级数的收敛性和收敛域。
收敛性指的是该级数在某些特定变量下是否收敛，收敛域则是指使得该级数收敛的变量范围。
1. 收敛域对于一个幂级数$\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nx^n$，令$r$为级数的收敛半径。
则幂级数可以满足以下任意一种情况：（1）当$|x| < r$时，幂级数绝对收敛；经过证明可知，收敛半径$r$满足以下公式：$$r = \lim_{n \to \infty}\frac{1}{\sqrt[n]{|a_n|}}$$其中，如果$\lim\limits_{n \to \infty}\frac{1}{\sqrt[n]{|a_n|}} = \infty$，则$r = \infty$；如果$\lim\limits_{n \to \infty}\frac{1}{\sqrt[n]{|a_n|}} = 0$，则$r = 0$；如果$\lim\limits_{n \to \infty}\frac{1}{\sqrt[n]{|a_n|}}$存在，则$r$等于该极限值。
当$x$在幂级数的收敛域内时，和函数$f(x)$就是幂级数的和。
在收敛域外，则是幂级数的延拓函数。
通常情况下，求幂级数的和函数需要多次对幂级数求导和积分。
而对于三种特殊情况，我们可以通过基本初等函数来求解。
根据幂级数的定义，当$n=0$时，幂级数的和为$1$，即$e^0=1$。
然后，对该幂级数求导、积分，可以证明它在整个实数轴上收敛。
这两个级数是很常见的三角函数展开式。
可以用欧拉公式和幂级数展开式证明它们的收敛性和收敛域。
其中$\alpha$为实数，$\binom{\alpha}{n} =\frac{\alpha(\alpha-1)\dots(\alpha-n+1)}{n!}$。
高数幂级数知识点
高数幂级数知识点高数幂级数是高等数学中一个重要的概念，通过幂级数可以对一些函数进行近似展开，并得到它们的一些性质以及在某个点附近的近似值。
一、高数幂级数的定义高数幂级数由一列项数不同的幂函数相加而成，通常形式如下： f(x) = a0 + a1(x -x0) + a2(x - x0)^2 + a3(x - x0)^3 + ... 其中，a0，a1，a2，a3等为常数，称为系数；x0为展开点，x为自变量。
二、高数幂级数的收敛域幂级数并不在所有点都收敛，而是在一定范围内收敛。
收敛域由展开点x0和幂级数的收敛半径r决定。
收敛半径可以通过柯西-阿达玛公式计算得到： R = 1 / lim sup |an|^(1/n) 其中，an为系数，n为项数。
当n趋向于无穷大时，计算结果即为收敛半径。
三、高数幂级数的求和公式当幂级数收敛时，我们可以通过求和公式计算幂级数的和。
常见的求和公式有以下几种： 1. 几何级数：当|q| < 1时，幂级数a + aq +aq^2 + aq^3 + ...收敛，且和为A = a / (1 - q)。
2. 指数级数：e^x = 1 + x / 1! + x^2 / 2! + x^3 / 3!+ ...，这是由指数函数的泰勒级数展开得到的幂级数。
3. 三角函数级数：sin(x) = x - x^3 / 3! + x^5 / 5! -x^7 / 7! + ...，cos(x) = 1 - x^2 / 2! + x^4 / 4! - x^6 / 6! + ...，这是由三角函数的泰勒级数展开得到的幂级数。
四、高数幂级数的应用高数幂级数在数学及其他学科中有着广泛的应用，包括但不限于以下几个方面： 1. 近似计算：通过幂级数可以对一些复杂的函数进行近似展开，从而得到它们在某个点附近的近似值。
这在计算机科学、物理学等领域中非常重要。
2. 函数性质研究：通过幂级数可以研究函数的性质，如判定函数的奇偶性、周期性等。
专升本高等数学知识点总结
专升本高等数学知识点总结高等数学作为专升本考试的一门重要科目，需要掌握的知识点相对较多。
下面是对高等数学知识点的详细总结。
一、函数与极限1.函数概念与性质：定义域、值域、奇偶性、周期性、单调性等。
2.函数的常用性质：函数的画像、函数的基本性质、函数的运算、函数的反函数、函数的复合、函数的比较等。
3.极限的概念：极限的定义、左极限、右极限、无穷极限、函数极限等。
4.极限的性质：极限的唯一性、夹逼准则、极限的四则运算、函数极限法则等。
5.无穷小与无穷大：无穷小的定义和性质、无穷大的定义和性质。
二、导数与微分1.导数的定义：函数在一点的导数、导数的几何意义、函数的可导性等。
2.导数的计算：基本函数的导数、基本运算法则、复合函数的导数、隐函数的导数等。
3.高阶导数：导数的高阶导数、高阶导数的计算等。
4.微分：微分的定义、微分的计算、微分形式不变性等。
5.高阶导数与高阶微分的关系：高阶导数与高阶微分的计算、高阶微分的含义等。
三、积分与不定积分1.定积分的概念与性质：积分的定义、黎曼和、定积分的计算、积分中值定理等。
2.不定积分的概念与性质：不定积分的定义、不定积分的计算、定积分与不定积分之间的关系等。
3.基本积分公式：幂函数的积分、三角函数的积分、反函数的积分、特殊函数的积分等。
4.定积分的应用：曲边梯形的面积、旋转体的体积、定积分的几何应用等。
四、级数与幂级数1.数列与级数：数列的概念与性质、收敛与发散、常见数列的性质等。
2.级数的概念与性质：级数的概念、部分和、级数的性质、级数收敛性的判别法等。
3.幂级数的概念与性质：幂级数的收敛域、幂级数的性质、幂级数的运算等。
4.泰勒展开与幂级数展开：泰勒展开的定义、泰勒级数、幂级数展开的计算等。
五、多元函数与方程1.多元函数的概念与性质：多元函数的定义、多元函数的极限、多元函数的连续性等。
2.偏导数与全微分：偏导数的定义、全微分的定义、全微分近似计算等。
3.导数与梯度：偏导数与方向导数、梯度的定义和性质、梯度的运算等。
幂级数的收敛与和函数
3. 主要结论
3.1. 幂级数的收敛域
为了具体说明考研数学中对于幂级数收敛域的考察情况，本文总结了关于收敛域的两种出题角度， 第一种给出的研究对象是具体的，第二种给出的研究对象是抽象的。
3.1.1. ห้องสมุดไป่ตู้敛域的具体型问题
∞
1) 对于 ∑ an xn
Convergence and Sum Function of Power Series
Ying Bai, Songqi Zhou
Northeastern University at Qinhuangdao, Qinhuangdao Hebei
Received: Jul. 26th, 2020; accepted: Aug. 13th, 2020; published: Aug. 20th, 2020
摘要
幂级数是数学分析中的重要概念，被作为基础内容应用到了实变函数、复变函数等众多领域当中。并且
文章引用: 白颖, 周颂奇. 幂级数的收敛与和函数[J]. 应用数学进展, 2020, 9(8): 1221-1229. DOI: 10.12677/aam.2020.98143
白颖，周颂奇
在考研数学里，幂级数也是级数这一章所需要掌握的重点。因此，总结幂级数的收敛半径，收敛域，以 及和函数求法在现阶段备考数学中是非常重要的。首先，本文对幂级数收敛与和函数的概念与性质进行 了简要概括。然后，对幂级数收敛与和函数在考研数学中的应用进行了总结归纳。其中，在求幂级数收 敛域的问题中，本文分别对具体型与抽象型问题进行了讨论；在求和函数的问题中，本文对不同情况下 和函数的求解思路进行总结，针对具体的例题给出相应的解题过程，并对幂级数和函数在不定积分、导 数、数列极限、不等式等相关数学分支中的应用进行系统地论述。
求幂级数收敛域的典型例题
求幂级数收敛域的典型例题摘要：I.引言- 介绍幂级数收敛域的概念- 说明幂级数收敛域在数学中的重要性II.幂级数收敛域的求解方法- 定义法- 比较审敛法- 根值法- 积分法III.典型例题- 例题1：求幂级数收敛域- 例题2：求幂级数的收敛区间- 例题3：判断幂级数的收敛性IV.结论- 总结求幂级数收敛域的方法和技巧- 强调在实际应用中注意的问题正文：I.引言幂级数是数学中一种重要的级数形式，它在许多领域都有着广泛的应用。
幂级数收敛域是幂级数研究中的一个重要概念，它反映了幂级数在哪些区域内可以收敛。
求幂级数收敛域是幂级数研究中的一个基本问题，也是数学中的一个经典问题。
II.幂级数收敛域的求解方法求幂级数收敛域的方法有很多种，下面介绍几种常用的方法：定义法：定义法是求幂级数收敛域的基本方法。
定义法的基本思想是先定义一个函数，然后根据函数的性质来求幂级数的收敛域。
比较审敛法：比较审敛法是一种常用的求幂级数收敛域的方法。
它的基本思想是将幂级数与一个已知的收敛级数进行比较，从而求出幂级数的收敛域。
根值法：根值法是一种求幂级数收敛域的方法。
它的基本思想是先求出幂级数的根，然后根据根的性质来求幂级数的收敛域。
积分法：积分法是一种求幂级数收敛域的方法。
它的基本思想是将幂级数转化为一个积分，然后根据积分的性质来求幂级数的收敛域。
III.典型例题下面给出几个求幂级数收敛域的典型例题：例题1：求幂级数收敛域设幂级数$f(x) = sum_{n=1}^{infty} a_n x^n$，其中$a_n > 0$，求幂级数$f(x)$ 的收敛域。
例题2：求幂级数的收敛区间设幂级数$f(x) = sum_{n=1}^{infty} a_n x^n$，其中$a_n > 0$，求幂级数$f(x)$ 的收敛区间。
例题3：判断幂级数的收敛性设幂级数$f(x) = sum_{n=1}^{infty} a_n x^n$，其中$a_n > 0$，判断幂级数$f(x)$ 的收敛性。
幂级数收敛域的方法
幂级数收敛域的方法
幂级数是一种重要的数学工具，其收敛性是研究幂级数的关键问题。
本文将介绍几种判定幂级数收敛域的方法。
首先是比值判别法。
通过计算幂级数相邻两项的比值的极限值，可以判断幂级数的收敛半径和收敛区间。
如果该极限值小于1，则收敛半径为正无穷，即该幂级数在整个实数域内收敛；如果该极限值大于1，则收敛半径为0，即该幂级数在原点处收敛；如果该极限值等于1，则需要进一步研究幂级数的边界收敛性。
其次是根值判别法。
通过计算幂级数的每一项的根值的极限值，可以判断幂级数的收敛半径和收敛区间。
同样，如果该极限值小于1，则收敛半径为正无穷；如果该极限值大于1，则收敛半径为0；如果该极限值等于1，则需要进一步研究幂级数的边界收敛性。
还有一种常用的方法是幂级数的积分判别法。
通过对幂级数逐项积分，可以得到一个新的幂级数，如果该新幂级数收敛，则原幂级数在积分区间内收敛；反之，如果该新幂级数发散，则原幂级数在积分区间内发散。
最后，还可以利用幂级数的特殊函数形式，如正弦函数、余弦函数、指数函数等，来判断幂级数的收敛域。
这需要结合幂级数的特殊性质和基本公式来进行推导。
综上所述，比值判别法、根值判别法、积分判别法和特殊函数形式法是判断幂级数收敛域的主要方法。
在实际应用中，需要根据具体问题选择适当的方法。
《高等数学》第6章3 幂级数
请双面打印/复印(节约纸张)高等数学主讲: 张小向第六章 无穷级数第一节 数项级数 第二节 反常积分判敛法 第三节 幂级数 第四节 傅里叶级数第六章 无穷级数§6.3 幂级数第六章 无穷级数§6.3 幂级数§6.3 幂级数 一. 函数项级数的基本概念 u1(x), u2(x), …, un(x), … ——定义在数集 A上的函数序列 Σ u (x) = u1(x) + u2(x) + …+ un(x) + … n=1 n ——定义在数集 A上的函数项级数 un(x) —— 通项 Sn(x) = k=1uk(x) —— 部分和 Σn ∞n=1 nΣ u (x) = u1(x) + u2(x) + …+ un(x) + …∞∞——定义在数集 A上的函数项级数 收敛(发散)点x0∈D: n=1un(x0) 收敛(发散) Σ Σ 收敛(发散)域: n=1un(x) 的收敛(发散)点的全体 和函数 S(x) = n=1un(x) Σ 其定义域为 n=1un(x) 的收敛域 Σ 余项 Rn(x) = S(x) − Sn(x) = k=n+1uk(x) Σ∞ ∞ ∞ ∞第六章 无穷级数§6.3 幂级数第六章 无穷级数§6.3 幂级数例1. 几何级数 n=1xn−1 = 1 + x + x2 +…+ xn +… Σ 是定义在实数集∞ ∞∞例1. 几何级数n=1 xn−1 的收敛域为(−1, 1). Σ 当 x ∈ (−1, 1)时, Sn(x) = 1− xn , 1− x∞上的函数项级数.当|x| < 1时, n=1|xn−1| 收敛, Σ 故 n=1xn−1 (绝对)收敛. Σ 当|x| ≥ 1时, lim n→∞ 综上所述,n=1 ∞ ∞xn−1≠ 0, 故 n=1 Σxn−1发散.∞lim xn = 0, n→∞ lim Sn(x) = n→∞ 所以 n=1xn−1 = Σ 1 . 1− xΣ xn−1 的收敛域为 (−1, 1).1 , x ∈ (−1, 1). 1− x272365083@1请双面打印/复印(节约纸张)第六章 无穷级数§6.3 幂级数第六章 无穷级数§6.3 幂级数例2. x + (x2 − x) + (x3 − x2) + … + (xn − xn−1) + … 是定义在实数集 上的函数项级数. Sn(x) = xn,例3. 求下列级数的收敛域. ∞ xn (1) n=1 . Σ n! 解: 因为∀x ∈ lim n→∞ 所以 n=1 Σ∞, xn = lim |x| = 0. n! n→∞ n+1lim 当|x| < 1时, lim Sn(x) = n→∞ xn = 0, n→∞ lim 当 x = 1时, lim Sn(x) = n→∞ 1 = 1, n→∞ 当 x < −1 或 x > 1时, lim Sn(x)不存在. n→∞ 综上所述, 该级数的收敛域为(−1, 1], 0, x ∈ (−1, 1); 且和函数 S(x) = 1, x = 1.xn+1 (n+1)!∞ xn xn Σ 收敛, 因而 n=1 收敛. n! n! n ∞ x 可见 n=1 的收敛域为 . Σ n!第六章 无穷级数§6.3 幂级数第六章 无穷级数§6.3 幂级数. n2 n |x| lim lim 解: n→∞ n x 2 = n→∞ n = |x|. n √n2 ∞ xn ∞ xn Σ 当|x| < 1时, n=1 2 收敛, 因而 n=1 2 收敛; Σ n n n ∞ xn lim 当|x| > 1时, n→∞ x 2 ≠ 0, 因而 n=1 2 发散. Σ n n ∞ xn ∞ 1 当|x| = 1 时, n=1 2 = n=1 2 收敛, 因而… Σ Σ n n ∞ xn 可见 n=1 2 的收敛域为[−1, 1]. Σ n(2) n=1 Σ∞xn(3)∞ (x−1)n Σ n n=1 2 n=x−1 + 2 +… 2 ⋅2 2|x−1| (x−1)n = lim n|x−1| nn n→∞ 2(n+1) 2 . 2(x−1)2n+1 lim n+1 解: n→∞ (x−1)2(n+1)∞ (x−1)n |x−1| 当 2 < 1 时, n=1 2nn 绝对收敛; Σ ∞ (x−1)n |x−1| 当 2 > 1 时, n=1 2nn 发散. Σ ∞ (x−1)n ∞ (−1)n 当 x = −1 时, n=1 2nn = n=1 n 收敛. Σ Σ当 x = 3 时, n=1 2nn = n=1 − 发散. Σ Σ n∞(x−1)n∞1第六章 无穷级数§6.3 幂级数第六章 无穷级数§6.3 幂级数n+1 lim n+1 解: n→∞ (x−1)2(n+1)∞(x−1)n |x−1| 2 nn = 2 .(x−1)n (x−1)n(4) n=1 n Σ 解: lim n→∞∞ (−1)n1 n . 1+x当 2|x−1| |x−1|< 1 时, n=1 2nn Σ∞绝对收敛;un+1(x) 1 1 lim n un(x) = n→∞ n + 1 |1 + x| = |1 + x| .当 2> 1 时, n=1 2nn 发散. Σ∞当 |1+x| > 1 时, 该级数绝对收敛; 当 |1+x| < 1 时, 该级数发散. 收敛. 当 x = 0 时, n=1 n Σ∞ ∞当 x = −1 时, n=1 2nn = n=1 n Σ Σ∞(x−1)n∞(−1)n(−1)n∞ (−1)n 1 n = n=1 n 收敛. Σ 1+x ∞ 1 1 n = n=1 − 发散. Σ n 1+x当 x = 3 时, n=1 2nn = n=1 − 发散. Σ Σ n 可见 n=1 2nn 的收敛域为[−1, 3). Σ∞(x−1)n∞1当 x = −2 时, Σ n n=1(−1)n(x−1)n可见该级数的收敛域为(−∞, −2) ∪ [0, +∞).272365083@2请双面打印/复印(节约纸张)第六章 无穷级数§6.3 幂级数第六章 无穷级数§6.3 幂级数二. 函数项级数的一致收敛性y 1S1(x), S2(x), …, Sn(x), … ——定义在数集 A上的函数序列 S(x) ——定义在数集 A上的函数 若∀ε > 0, ∃N∈ , 当 n > N 时, |Sn(x) − S(x)| < ε (∀x ∈ A), 则称{Sn(x)}在A上一致收敛于S(x). 若 n=1un(x) 的部分和序列 {Sn(x)} 在数集 A上 Σ 一致收敛, 则称该级数在A上一致收敛.∞lim xn = 0 (0 < x <1) n→∞∀ε > 0, ∃N∈ , s.t. n > N ⇒ |xn−0| < ε y=x y = x2 y = x3 y = x4 y = x5 y = x6εO x1 x2 x3 x4 x5 1 x…第六章 无穷级数§6.3 幂级数第六章 无穷级数§6.3 幂级数例4. 设0 < a < 1, 证明级数x + (x2 − x) + (x3 − x2) + … + (xn − xn−1) + …例5. 证明级数x + (x2 − x) + (x3 − x2) + … + (xn − xn−1) + …在[0, a]上一致收敛. 证明: 该级数的部分和为 Sn(x) = 在[0, a]上的和为 S(x) ≡ 0. xn, ,在(0, 1)上不一致收敛. 证明: 该级数的部分和为 Sn(x) = xn, 在(0, 1)上的和为 S(x) ≡ 0.N+1 取ε = 1/2, ∀N ∈ , ∃x = ______ ∈ (0, 1), 3/4 虽然 n = N + 1 > N, 但是 |xn − 0| = xn = 3/4 > ε ,max{[logaε ]+1, 1} 对∀ε > 0, ∃N = ________________∈当 n > N 时, |xn − 0| = xn ≤ an < aN ≤ ε (∀x ∈ [0, a]), 可见Sn(x)在[0, a]上一致收敛于S(x).可见Sn(x)在(0, 1)上不一致收敛.第六章 无穷级数§6.3 幂级数第六章 无穷级数§6.3 幂级数定理1 (Cauchy一致收敛准则). Σ u (x)在A上一致收敛 n=1 n ⇔ ∀ε > 0, ∃N∈n+p k=n+1 k ∞定理2 (Weierstrass判别法, M判别法). 设函数项级数 n=1un(x) (x ∈ A) 与正项级数 Σ ,有n=1 n ∞, 当 n > N时, ∀p∈Σ a 满足下列条件+;∞∞Σ u (x) = |Sn+p(x) − Sn(x)| < ε (∀x ∈ A). ⇓ Weierstrass判别法维尔斯特拉斯 [德]1815~1897(1) |un(x)| ≤ an , ∀x∈A, ∀n∈ (2) n=1an 收敛, Σ 则 n=1un(x)在A上一致收敛. Σn=1 n ∞乾隆1736-1796 嘉庆1796-1821 道光1821-1851 咸丰1851-1862 同治1862-1875 光绪1875-1908 宣统1908-1911Σ u (x)的优级数∞272365083@3请双面打印/复印(节约纸张)第六章 无穷级数§6.3 幂级数第六章 无穷级数§6.3 幂级数证明: ∀ε > 0, ∃N∈n+p, 当 n > N时, ∀p∈,有例6. 设0 < a < b, 证明级数n=1 (1+|x|)nΣ u (x) = |Sn+p(x) − Sn(x)| k=n+1 k = |un+1(x) + un+2(x) + … + un+p(x)| ≤ |un+1(x)| + |un+2(x)| + … + |un+p(x)| ≤ an+1 + an+2 + … + an+p < ε (∀x ∈ A). Σ 由Cauchy一致收敛准则可知 n=1 un(x)在 A上一致收敛.∞Σ∞x在A = {x ∈x| a ≤ |x| ≤ b}上一致收敛.|x| b证明: (1+|x|)n = (1+|x|)n ≤ (1+a)n 对于 ∀n∈+以及 ∀x∈A都成立.∞又因为正项级数 n=1 (1+a)n 收敛, Σ 由Weierstrass判别法可知 n=1 (1+|x|)n Σ 在A = {x ∈ | a ≤ |x| ≤ b}上一致收敛.∞bx第六章 无穷级数§6.3 幂级数第六章 无穷级数§6.3 幂级数三. 一致收敛级数的性质回忆定理3. (1) un(x)在[a, b]上连续(∀n∈∞ ∞+)例2中的级数(2) n=1un(x) 在 [a, b]上一致收敛 Σ (3) n=1un(x) = S(x) Σ S(x)在[a, b]上连续.⇒x + (x2 − x) + (x3 − x2) + … + (xn − xn−1) + …的收敛域为(−1, 1], 其和函数 0, x ∈ (−1, 1); S(x) = 1, x = 1. S(x)在(−1, 1]上不连续, 尽管该级数中的每一 项在(−1, 1]上都连续. 由例5可知该级数在(−1, 1]上不一致收敛.第六章 无穷级数§6.3 幂级数第六章 无穷级数§6.3 幂级数定理4 (逐项积分). (1) un(x)在[a, b]上连续(∀n∈ 条 件∞ ∞例7. 设S(x) = n=1 Σ+)∞π cosnx , 求 ∫ 0 S(x)dx. n2(2) n=1un(x) 在 [a, b]上一致收敛 Σ (3) n=1un(x) = S(x) Σ ① S(x)在[a, b]上可积; ② ∀x0, x∈[a, b], Σ ∫ x0 S(t)dt = n=1 (∫ x0 un(t)dt).x ∞ x⇒解:结 论cosnx 1 ≤ 2 (∀x∈[0, π], ∀n∈ +) n2 n ⇒ ∞ 1 Σ 2 收敛 n=1 n ∞ cosnx 在 [0, π] 上一致收敛 Σ n=1 n2 ⇒ cosnx ∈ C[0, π] (∀n∈ +) n2 ∞ π π cosnx ∫ 0 S(x)dx = n=1 ∫ 0 n2 dx Σ ∞ π sinnx = n=1 ∫ 0 n3 dx = 0. Σ272365083@4请双面打印/复印(节约纸张)第六章 无穷级数§6.3 幂级数第六章 无穷级数§6.3 幂级数定理5 (逐项求导).1 (1) un(x) ∈ C[a, b] (∀n∈+)条 件(2) n=1un(x) 在[a, b]上收敛于S(x) ⇒ Σ (3) n=1un(x) 在[a, b]上一致收敛 Σ ′1 ① S(x) ∈ C[a, b] ;∞∞结 论② S′(x) = n=1un(x). Σ ′∞sinnx 1 例8. un(x) = n3 ∈ C(−∞, +∞) (∀n∈ +) sinnx 1 ≤ n3 ∞ sinnx n3 ⇒ n=1 3 (绝对)收敛 Σ n ⇒ ∞ 1 收敛 Σ n=1 n3 sinnx ′ 1 ≤ n2 ∞ sinnx ′ n3 ⇒ n=1 n3 一致收敛 Σ ∞ 1 收敛 Σ n=1 n2 ∞ sinnx 1 Σ n3 的和函数 S(x) ∈ C(−∞, +∞) , n=1 ∞ cosnx ∞ sinnx ′ = n=1 2 . Σ 而且S′(x) = n=1 n3 Σ n第六章 无穷级数§6.3 幂级数第六章 无穷级数§6.3 幂级数四. 幂级数的概念与性质 1. 幂级数的概念 Σ a (x − x0∞2. 幂级数的收敛性 lim 设 n=0anx0n 收敛, 则 n→∞ anx0n = 0, Σ 故 ∃M > 0, s.t. ∀n∈ |anx0n| < M. , x0•∞x − x0的幂级数 )nn=0 nO x • •= a0 + a1(x − x0) + a2(x − x0)2 + … 其中 x0, an ∈ (n = 0, 1, 2, …) x0 = 0时, 对应的形式为 Σ a xn = a0 + a1x + a2x2 + … n=0 n∞若 |x| < |x0|, 令q = |x/x0|, 则 q < 1, |cnxn| = |cnx0n|⋅qn < M⋅qn. Σ 而 n=0M⋅qn 收敛, 所以 n=0|cnxn| 收敛. Σ∞ ∞ ∞xΣ 故对所有满足|x| < |x0|的x, n=0 cnxn 绝对收敛.第六章 无穷级数§6.3 幂级数第六章 无穷级数§6.3 幂级数定理6 (Abel定理). (1) 若n=0 anxn 在x = x0 ≠ 0 处收敛, Σ 则对所有满足|x| < |x0|的x, Σ c xn n=0 n (2)∞ ∞ ∞定理7. 若存在非零实数x1, x2使幂级数n=0 anxn Σ 在x1处收敛, 在x2处发散, 则存在R > 0, 使得 (1) 当|x| < R 时, n=0anxn 绝对收敛; Σ (2) 当|x| > R 时, n=0anxn 发散. Σ −R 收敛半径 x1 R x2 O • • • x (−R, R) ——收敛区间∞ ∞∞绝对收敛. 在x = x0 ≠ 0 处发散,阿贝尔[挪威] 1802~1829 顺治1644-1662 康熙1662-1723 雍正1723-1736 乾隆1736-1796 嘉庆1796-1821 道光1821-1851 咸丰1851-1862 同治1862-1875 光绪1875-1908 宣统1908-1911若n=0 anxn Σ∞则对所有满足|x| > |x0|的x,n=0 nΣ c xn 发散.272365083@5请双面打印/复印(节约纸张)第六章 无穷级数§6.3 幂级数第六章 无穷级数§6.3 幂级数注: 若 n=0 anxn 仅在 x = 0处收敛, Σ 则规定 n=0anxn 的收敛半径 R = 0; Σ 若 n=0anxn 在整个实数轴上收敛, Σ 则规定 n=1anxn 的收敛半径 R = +∞. Σ∞ ∞ ∞∞定理8. 若幂级数 n=0anxn 中an ≠ 0 (∀n∈ Σan n→∞∞), 且n+1 lim a = ρ 或 lim √|an| = ρ. n→∞ n则该幂级数的收敛半径 +∞, R = 1/ρ, 0, 当ρ = 0时; 当0 < ρ < +∞时; 当ρ = +∞时.an+1 注: 教材上证明了 lim a = ρ 的情形, n→∞ nlim 这里证明 n→∞ √|an| = ρ 的情形.n第六章 无穷级数§6.3 幂级数第六章 无穷级数§6.3 幂级数lim 证明: (1) 若 n→∞ √|an| = ρ = 0, 则∀x ∈n n→∞ ∞,有(2) 若0 < ρ < +∞, 则∀x ∈n n→∞,有lim √|anxn| = ρ |x| = 0,∞nlim √|anxn| = ρ |x|.故n=0 |anxn| 收敛, 因而 n=0anxn 收敛. Σ Σ 可见, 此时R = +∞. (2) 若0 < ρ < +∞, 则∀x ∈n n→∞由正项级数的根值判别法知: ∞ ∞ Σ Σ |x| < 1/ρ 时 n=0 |anxn| 收敛, 因而 n=0anxn 收敛; Σ |x| > 1/ρ 时, lim anxn ≠ 0, 因而 n=0anxn 发散. n→∞ 可见, 此时R = 1/ρ . (3) 若ρ = +∞, 则∀x ≠ 0, lim √|anxn| = +∞. n→∞n ∞ ∞,有lim √|anxn| = ρ |x|.由正项级数的根值判别法知: ∞ Σ |x| < 1/ρ 时 n=0 |anxn| 收敛,Σ 因而 lim anxn ≠ 0, 故 n=0anxn 发散. 可见, … n→∞第六章 无穷级数§6.3 幂级数第六章 无穷级数§6.3 幂级数例9. (1) n=1 n! 的收敛半径为_________. Σ +∞an+1 1 ρ = lim a = lim 1 n→∞ n→∞ (n+1)! n! n∞xn例9. (3) n=1 2nn 的收敛半径为_________. Σ 21 n+1 ρ = lim a = lim n+1 1 (n+1) 2nn n→∞ n→∞ 2 n a∞(x−1)n= limn→∞ ∞1 = 0. n+1= limn→∞n 1 =−. 2(n+1) 2(2) n=1 n2 的收敛半径为_________. Σ 1an+1 n lim ρ = lim a = n→∞ (n+1)2 = 1. n→∞ n2xn注① 幂级数在收敛区间端点的收敛性要看具 体情况. 如例9(3), 收敛区间为(−1, 3). 在收敛区间的端点处,∞Σ n=1 2nn∞(x−1)n=条件收敛 (−1)n , x = −1; Σ n=1 n 可见, … ∞ 1 Σ −, x = 3, 发散 n=1 n272365083@6请双面打印/复印(节约纸张)第六章 无穷级数§6.3 幂级数第六章 无穷级数§6.3 幂级数注② 缺项幂级数 不满足定理8中的“∀an ≠ 0 (∀n∈ 例10. n=1 Σ∞)”.例10. n=1 Σ(n!)2x2n−1 的偶次项系数全为零. (2n)! [(n+1)!]2 ⋅(2n)! 2 u (x) lim n+1 = lim |x| n→∞ un(x) n→∞ [2(n+1)]!⋅(n!)2n→∞. (2n)! u (x) |x|2 lim n+1 = . n→∞ un(x) 4 当|x| < 2时, 该级数绝对收敛;∞ (n!)2x2n−1当|x| > 2时, 该级数发散. 所以该级数的收敛半径为R = 2, 收敛区间为(−2, 2). [(n+1)!]2 (n!)2 1 = 得R = 4, 注: 若直接由 lim n→∞ [2(n+1)]! (2n)! 4 则出错!= lim(n+1)2 |x|2 |x|2 = . (2n+2)⋅(2n+1) 4当|x| < 2时, 该级数绝对收敛; 当|x| > 2时, 该级数发散.第六章 无穷级数§6.3 幂级数第六章 无穷级数§6.3 幂级数例10. n=1 Σ∞(n!)2x2n−1 . (2n)!3. 幂级数的代数运算设 n=0anxn 与 n=0bnxn 的收敛半径分别为R1, R2, Σ Σ(2n)!!∞ ∞该级数的收敛半径为R = 2, 收敛区间为(−2, 2).1 Σ 当x = ±2时, 该级数 = ± − n=1 (2n−1)!! . 2∞和函数分别为S1(x), S2(x), R = min{R1, R2}, 则当|x| < R时, 有 S1(x) ± S2(x) =n=0 anxn ±n=0 bnxn = n=0(an±bn)xn, Σ Σ Σ S1(x)⋅S2(x) = ( n=0anxn)⋅( n=0bnxn) Σ Σ = n=0 (a0bn + a1bn−1 + … + anb0)xn. Σ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞lim 因为 (2n−1)!! > 1, 故 n→∞ (2n−1)!! ≠ 0. Σ 因而级数 ± − n=1 (2n−1)!! 发散. 2 所以该幂级数的收敛域为(−2, 2).1∞(2n)!!(2n)!!(2n)!!第六章 无穷级数§6.3 幂级数第六章 无穷级数§6.3 幂级数4. 幂级数的分析性质 定理9. 设幂级数 n=0anxn 的收敛半径为R, Σ 0 < r < R, 则n=0 anxn Σ∞ ∞定理10. 设幂级数 n=0anxn 的收敛半径R > 0, Σ 和函数为S(x), 则 (1) S(x)在收敛域上连续. (2) 对于任意的 x ∈ (−R, R), 有 Σ S′(x) = n=0(anxn)′ = n=1nanxn−1, Σ∞ ∞∞在[−r, r]上一致收敛.∞证明: 由条件可知 n=0|anrn| 收敛. Σ 对于任意的 x ∈ [−r, r], n ∈ |anxn| ≤ |anrn|. Σ 由M判别法可知 n=0anxn 在 [−r, r] 上一 致收敛.∞,有Σ n ∫ 0 S(t)dt = n=0 ∫ 0 an tndt = n=0 n+1xn+1. Σx x∞∞a(3) n=1nanxn−1 和 n=0 n+1xn+1 的收敛半 Σ Σ n 径的仍为R.∞∞a272365083@7请双面打印/复印(节约纸张)第六章 无穷级数§6.3 幂级数第六章 无穷级数§6.3 幂级数例11. 求 n=0(−1)n Σ∞xn+1 n+1的和函数S(x).例12. 对于任意的x ∈ (−1,1), 有 f(x) = 1−x = 1 + x + x2 + … + xn + … (1) f ′(x) = f ″(x) =x解: 首先, 容易求得该幂级数的收敛域为(−1, 1]. 根据定理10(1), S(x)在(−1, 1]上连续.1 , x ∈ (−1, 1), Σ = 又因为 n=0 1+x ∞ x x dt Σ 所以 ln(1+x) = ∫ 0 1+t = n=0∫ 0 (−1)ntndt ∞ xn+1 = n=0(−1)n Σ , x ∈ (−1, 1). n+1∞1(−1)nxn1 = 1 + 2x + … + nxn−1 + … (2) (1−x)2 2 = 2+6x +…+ n(n−1)xn−2 + … (3) (1−x)3 1 x2 xn+1∫ 0 1−t = ln 1−x = x + + … + + … (4) n+1 2 注① 在(4)中令x = 1/2得, ln2 = n=0 (n+1)2n+1 . Σ∞dt而S(1) = lim S(x) = lim ln(1+x) = ln(1+1), 可见 S(x) = ln(1+x), x ∈ (−1, 1].x→1− x→1−1第六章 无穷级数§6.3 幂级数第六章 无穷级数§6.3 幂级数注② x = −1时, n=0 n+1 = n=0 n+1 收敛, Σ Σ x = 1时, n=0 n+1 = n=0 n+1 收敛, Σ Σ 故 n=0 n+1 的收敛域为 [−1,1), Σ 其和函数S(x)在−1处右连续, 而 ln1 也在−1处右连续, 因而 1−x ∞ (−1)n+1 lim = S(−1) = x→−1+S(x) Σ n=0 n+1 1 = x→−1+ ln 1−x = −ln2. lim∞ ∞∞xn+1∞(−1)n+1例13. 求 n=1(−1)n+1n(n+1)xn 的和函数. Σ 解: ρ = lim n+1 = lim (n+1)(n+2) = 1. n(n+1) n→∞ an n→∞ x = ±1时, lim (−1)n+1n(n+1)xn ≠ 0.n→∞∞xn+1∞1axn+1可见, 该级数的收敛域为(−1, 1). 设 n=1 (−1)n+1n(n+1)xn = S(x), x ∈ (−1, 1), Σ 则 ∫ 0 S(t)dt = n=1 ∫ 0 (−1)n+1n(n+1)tndt Σx x ∞ ∞ ∞= n=1 (−1)n+1nxn+1 = x2g(x), Σ第六章 无穷级数§6.3 幂级数第六章 无穷级数§6.3 幂级数设 n=1 (−1)n+1n(n+1)xn = S(x), x ∈ (−1, 1), Σ 则 ∫ 0 S(t)dt = n=1 ∫ 0 (−1)n+1n(n+1)tndt Σx x ∞ ∞∞= n=1 (−1)n+1nxn+1 = x2g(x), Σ 其中g(x) = n=1 (−1)n+1nxn−1, x ∈ (−1, 1). Σ Σ ∫ 0 g(t)dt = n=1 ∫ 0 (−1)n+1ntn−1dt = n=1 (−1)n+1xn Σx x ∞ ∞ ∞x2 故 ∫ S(t)dt = x2g(x) = (1+x)2 . x2 ′ 2x , 即 由此可得 S(x) = (1+x)2 = (1+x)3x 0 n=1Σ (−1)n+1n(n+1)xn =∞2x , x ∈ (−1, 1). (1+x)3 2 27n+1 ∞ 1 Σ (−1) n(n+1) = S(−) = 8 . 注: 取x = 1/2 得 n=1 2n= 1+x . 上式两边对x求导得 g(x) = (1+x)2 .1x272365083@8请双面打印/复印(节约纸张)第六章 无穷级数§6.3 幂级数第六章 无穷级数§6.3 幂级数例14. 求 n=1 2n−1 x2n−1 的和函数S(x). Σ(−1)n lim 解: n→∞ 2n+1 x2n+1 (−1)n−1 2n−1 = lim 2n−1 x2 2n−1 x n→∞ 2n+1∞(−1)n−1又因为S(0), 所以 S(x) = ∫ 0 S′(t)dt + S(0) = ∫0x x= x2. 可见该级数当|x| < 1时收敛, |x| > 1时发散,x = ±1时, 用Leibniz判别法可知该级数收敛,1 dt = arctanx, x ∈ (−1, 1). 1+t2结合 S(x) 和 arctanx 在[−1, 1]内的连续性得 S(x) = arctanx, x ∈ [−1, 1].(−1) Σ 注: 取x = 1得 − = arctan1 = S(1) = n=1 2n−1 . 4 π∞n−1所以该级数的收敛域为[−1, 1]. 根据定理10, S′(x) = n=1(−1)n−1x2n−2 = 1+x2 , Σ x ∈ (−1, 1).∞1第六章 无穷级数§6.3 幂级数第六章 无穷级数§6.3 幂级数例15. 求 n=1 2n x2n−2 的和函数S(x), 并求 Σn=1∞2n−1Σ 2n 的值.2 2n−1 2n−2 = lim 2n+1 2 x x n→∞ 4n−2 2n∞S(x) = n=1 2n x2n−2 =n=1 n x2n−1 Σ Σ 2 = =∞2n−1∞1′2n−1x ∞ x2 n−1 ′ x 1 ′ x ′ Σ( ) = 2⋅ = 2 n=1 2 1 − x2/2 2 − x2 2 + x2 , (2 − x2)2∞lim n+1 解: n→∞ 2n+1 x2n可见该级数当|x| < √2时收敛, |x| > √2时发散,−= x2/2.∞−− − 其中 x ∈ (−√2, √2). 由此可得 n=1 2n = S(1) = 3. Σ2n−1− |x| = √2时, Σ 2n−1 x2n−2 = Σ 2n−1 发散. n=1 2n n=1 2 − − 所以该级数的收敛域为(−√2, √2).∞第六章 无穷级数§6.3 幂级数第六章 无穷级数§6.3 幂级数回忆yy = 1−x2+x4−x6+x8 y = 1−x2+x4五. 函数展开为幂级数 1. 引例 (1) 1+x2 = 1 − x2 + … + (−1)nx2n + o(x2n). (2) n=0 (−1)nx2n = 1 − x2 + x4 − x6 + … Σ 的收敛半径为1, 收敛区间为(−1, 1), Σ (−1)nx2n = 1+x2 n=0∞ ∞11y=1 y= 1 1+x2 1−x2−1O1y=xy= 1−x2+x4−x61(|x| < 1).1 = 1−x2+x4−x6+x8−x10+…+(−1)nx2n + o(x2n). 1+x2272365083@9请双面打印/复印(节约纸张)第六章 无穷级数§6.3 幂级数第六章 无穷级数§6.3 幂级数2. 函数在一点处的泰勒级数 设 f(x)在 x0 的某邻域N(x0)内有任意阶导数, 则称幂级数f (n)(x ) Σ n! 0 (x−x0)n n=0∞f(x) 在 x0 = 0 处的泰勒级数 n=0 Σ f(x) ~ n=0 Σ∞∞f (n)(0) n x n!称为 f(x)的麦克劳林(Maclaurin)级数, 记为f (n)(0) n x. n!为 f(x) 在 x0 处的 泰勒(Taylor)级数, 记为 f(x) ~ n=0 Σ∞泰勒[英] 1685~1731 康熙1662-1723 雍正1723-1736 乾隆1736-1796 泰勒[英] 1685~1731 麦克劳林[英] 1698~1746f (n)(x0) (x−x0)n. n!康熙1662-1723 雍正1723-1736 乾隆1736-1796第六章 无穷级数§6.3 幂级数第六章 无穷级数§6.3 幂级数2. 函数可展为幂级数的条件 定理11. 设 f(x)在x0的某邻域N(x0)内有任意阶 导数, 则 f(x) 在 x0 处的泰勒级数在 N(x0)内收敛并以 f(x)为和函数 ⇔ f(x)在 x0 处的泰勒公式的余项满足n→∞3. 函数展开成幂级数的方法 (1) 直接法(将f(x)展成(x − x0)的幂级数) ① 求f (n)(x0), n = 0, 1, 2, … ② 求 n=0 Σ ③ 检验∞f (n)(x0) (x−x0)n的收敛半径R n! f (n+1)(ξ)lim Rn(x) = 0 (∀x∈ N(x0)).nlim Rn(x) = n→∞ (n+1)! (x−x0)n+1 = 0 lim n→∞ ④ 写出f(x)在x0处的幂级数展开式 f(x) = n=0 Σ∞证明的关键: Rn(x) = f(x) − k=0 Σf (n)(x0) (x−x0)k. n!f (n)(x0) (x−x0)n (指出x的范围) n!第六章 无穷级数§6.3 幂级数第六章 无穷级数§6.3 幂级数例16. 将f(x) = ex展开为x的幂级数. 解: f (n)(0) = 1 (n = 0, 1, 2, …), Rn(x) = (n+1)! xn+1 (0 ≤ θ ≤ 1).e|x| 因为 |Rn(x)| ≤ (n+1)! |x|n+1, ∀x∈ eθ x例17. 将f(x) = cosx展开为x的幂级数. 解: f(0) = 1, f ′(0) = 0, f ′′(0) = −1, …, f (2k)(0) = (−1)k, f (2k+1)(0) = 0, (k ∈ ,x) n+1 x (0 ≤ θ ≤ 1). (n+1)! |x|n+1 因为|Rn(x)| ≤ , ∀x∈ , (n+1)!),Rn(x) =f(n+1)(θ所以 lim Rn(x) = 0 (∀x∈ ),n→∞由此可得 ex = n=0 Σ∞xn (∀x∈ n!所以 lim Rn(x) = 0 (∀x∈ ),n→∞).cosx = 1− (∀x∈ ).x2 x4 x6 x2n + − +…+ (−1)n +… 2! 4! 6! (2n)!272365083@10第六章无穷级数(2)间接法:①代换法, ②逐项求导, ③逐项积分, ④代数运算.例18. 因为§6.3 幂级数(∀x ∈).cos x = 1−+ …+ (−1)n +…x 22! x 2n(2n )! 所以cos2x = …−sin x = −x + +…+ (−1)n +1+…x 2n +1(2n +1)!x 33!sin x = x −+…+ (−1)n+…x 2n +1(2n +1)!x 33! 例19. 将f (x ) = ln(1+x )展开为x 的幂级数. 第六章无穷级数∞n =1(−1)n −1nΣ= ln2. 解: 其和函数S (x ) ∈C(−1, 1],11+x = Σ(−1)n −1x n −1(|x | < 1). ∞n =1逐项积分得ln(1+x ) = Σx n(|x | < 1). (−1)n −1n∞n =1 又因为Σ的收敛域为(−1, 1],∞n =1 x n (−1)n −1n再由ln(1+x ) ∈C(−1, 1]可得ln(1+x ) = Σx n (−1 <x ≤1).(−1)n −1n∞n=1 注:令x = 1得§6.3 幂级数第六章无穷级数例20. 将f (x ) = (1+x )α展开为x 的幂级数(α为解: 先求得f (x )的Maclaurin 级数:其收敛半径R = 1. 则(1+x )S ′(x ) = αS (x ), S (0) = 1. 由此可得S (x ) = (1+x )α, 即常数).(∗)1+αx+α(α−1) 2!x 2+…+ α…(α−n +1) n !xn+ …设其和函数为S (x ), x ∈(−1, 1), (1+x )α= 1+αx +α(α−1) 2!x 2+…+α…(α−n +1)n !x n +…§6.3 幂级数二项式级数但在区间(−1, 1)的端点处是否成立要对α讨论.第六章无穷级数(1+x )α= 1+αx +α(α−1) 2!x 2+…+α…(α−n +1)n !x n +…可以证明, 当α≤−1时, 的收敛域为(−1, 1);当−1< α< 0时, (∗)的收敛域为(−1, 1]; 当α> 0时, (∗)的收敛域为[−1, 1]. 因此, …(∗)1+αx +α(α−1) 2!x 2+…+α…(α−n +1) n !xn+ …§6.3 幂级数例21. 求下例函数在指定点处的泰勒展式.(|x +4| < 7),(|x +4| < 3). (1) f (x ) = xx 2−2x −3, x 0= −4. 第六章无穷级数解: f (x ) = x x 2−2x −3 = −( + ), 1 4 1 x + 1 3 x −31 x −3= −−1 7 1 1−(x +4)/7 (|x +4| < 3),1 x +1= −−1 3 1 1−(x +4)/3 = −−Σ( )n1 3 x +43 ∞n =0 = −−Σ( )n1 7 x +47 ∞n =0 f (x ) = −[ ]1 4 −−Σ( )n 1 3 x +43 ∞n =0 −−Σ( )n 37 x +47∞n =0 = −−Σ( + )(x +4)n 1 4 ∞n =0 1 3n +1 3 7n +1§6.3 幂级数(2) f (x ) = sin x , x 0= π/6.解: sin x = sin[(x −−)+−]π6π6 = −cos(x −−)+ sin(x −−), π6 1 2√3 2 π6 cos(x −−) = 1 −(x −−)2+…+ (x −−)2n+…π6 π6 π6 1 2! (−1)n(2n )! sin(x −−) = (x −−) −(x −−)3+…π6π6 π6 1 3!(−1)n(2n +1)! π6 + (x −−)2n +1+…sin x = −+ (x −−) −(x −−)2+…1 2 √32π6 π6 π6π612⋅2! + (x −−)2n+ (x −−)2n +1+ …(−1)n 2⋅(2n )! (−1)n √3 2⋅(2n +1)! 第六章无穷级数§6.3 幂级数(∀x ∈).解:(3) f (x ) =故∀x ∈(−1, 1),第六章无穷级数e x1−x , x 0= 0. e x= Σ∞n =0 x nn !, 1 1−x= Σx n , ∞n =0 e x1−x= ( Σ)⋅( Σx n )∞n =0 x n n ! ∞n =0 1 1!= 1 + (1+ )x + (1+ + )x2+ (1+ + + )x3+ …1 1! 1 2!1 1! 1 2! 1 3!§6.3 幂级数∀x ∈.∀x ∈(−1, 1).第六章无穷级数求收敛半径直接R = 1/ρ已知等式化为正项级数, 讨论敛散性代换法, 逐项求导/积分, 代数运算间接函数展开为幂级数幂级数求和(ρ= lim|a n +1/a n |, 公式lim|a n |1/n ) Σ|…| 求表达式S (z ) = lim S n (z ) f (n )(x 0)/n !, 检验R n (x )代换法, 逐项求导/积分, 代数运算间接1+αx + Σ⎯⎯⎯⎯⎯x n = (1+x )α, x ∈(−1, 1). α…(α−n +1)n !∞n =2 小结§6.3 幂级数Σx n = , Σ(−x )n = , x ∈(−1, 1). ∞n =11 1−x ∞n =1 1 1+x Σ⎯=e x , Σ= sin x , x ∈. ∞n =0 x n n ! ∞n =0 (−1)n x 2n +1(2n +1)!。
级数(函数项级数、幂级数)复习总结
函数项级数、幂级数一、 函数项级数概念121()()()(),n n n u x u x u x u x ∞==++++∑0I x ∈定义区间前n 项部分和函数1()()n n k k S x u x ==∑和函数1()()n n S x u x ∞==∑，x ∈收敛域二、 幂级数及其收敛域0n nn a x ∞=∑收敛域/发散域图：注：条件收敛的点只可能出现在分界点上！概念：R ：幂级数收敛半径收敛区间：),(R R -收敛域：⋃-),(R R 收敛端点如何求收敛半径？定理(Cauchy-Hadamard)若0n nn a x ∞=∑所有系数满足),1,0(,0 =≠n a n，1lim +∞→=n n n a a R ∑∞=0n n nx a 的收敛半径为R ，则∑∞=-00)(n n n x x a 的收敛域为⋃<-R x x ||0收敛端点。
1. 求n n x n n 202)!(!)2(∑∞=收敛半径。
2. 求∑∞=-+112)]13[ln(n n n x 的收敛域。
三、 和函数性质定理幂级数n n nx a ∑∞=0的和函数)(x S 在收敛域上连续；在收敛区间内可“逐项求导”和“逐项积分”，运算前后收敛半径相同，但收敛域可能改变。
逐项求导——1100)()()(-∞=∞=∞=∑∑∑='='='n n n n n n nn n x a n x a x a x S ，),(R R x -∈ 逐项积分——10000001d d d )(+∞=∞=∞=∑∑⎰⎰∑⎰+===n n n n x n n x n n n x x n a x x a x x a x x S ，),(R R x -∈● 注意点：n n n x a ∑∞=0，11-∞=∑n n n x a n 和101+∞=∑+n n n x n a 收敛半径相同，但端点处的敛散性可能改变。
逐项求导是特别注意0次项的求导！● 利用几何级数结论做题——xx n n -=∑∞=110，)1,1(-∈x 步骤：先求收敛半径，收敛域；在收敛区间内，利用和函数性质：逐项求导/逐项积分等求和函数。
幂级数的收敛半径与收敛域
幂级数的收敛半径与收敛域幂级数是数学中重要的概念，它在各个领域有广泛的应用。
对于任意给定的幂级数，我们关心的一个重要问题是它的收敛性质。
特别是，我们想要知道幂级数的收敛半径以及收敛域。
1. 幂级数的定义与基本性质幂级数是指形如$\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$的无穷级数，其中$a_n$是常数项，$x$是变量。
对于给定的$x$值，我们可以将幂级数看作一个函数$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$，这个函数在某些$x$值上有收敛性。
幂级数有一些基本的性质：（1）收敛性：幂级数在某些$x$值上收敛，即级数$\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$存在有限的和。
（2）发散性：幂级数在某些$x$值上发散，即级数$\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$无限地增大或者震荡。
（3）绝对收敛性：幂级数在某些$x$值上绝对收敛，即级数$\sum_{n=0}^{\infty}|a_nx^n|$存在有限的和。
（4）条件收敛性：幂级数在某些$x$值上条件收敛，即幂级数收敛但不绝对收敛。
2. 幂级数的收敛半径幂级数的收敛半径是一个重要的指标，用于描述幂级数的收敛性。
对于幂级数$\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$，定义收敛半径$R$如下： $$R = \frac{1}{{\limsup\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}}}$$其中$\limsup\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}$表示$a_n$的平方根序列的上极限。
根据收敛半径的定义，我们可以得到以下结论：（1）当$R=0$时，幂级数在除了$x=0$之外的任何$x$值上都发散。
（2）当$R=\infty$时，幂级数在整个实数轴上都绝对收敛。
（3）当$0<R<\infty$时，幂级数在以$x=0$为中心、半径为$R$的区间内绝对收敛，而在离开这个区间的地方发散。
幂级数及其收敛性
证 对 级 数 |an x n|, 由正项级数的比值判别法,
n 0
|an1| |an1 x n1| lim |x| lim n n |a | n |a x | n n
8
|an1 x n1| |an1| lim lim |x| n n |a x | n |a | n n an1 (1) 如果 lim| | ( 0) 存在, 则 n a 比 n 1 值 当 |x| 时, 级 数 a x n 绝对收敛; n 判 n 0 别 1 法 当 |x| 时, 级 数 |an x n| 发散, 从而
n 0
不等式 |x| |x 0| 的一切 x 处 发散.
a n x0 0 证 (1) an x0 收 敛 lim n
n
n
n 0
从而数列 {an x0 }有界, 即有常数 M > 0, 使得 |an x0 | M (n 0, 1, 2, )
4
n
n
幂 级 数
|an x0 | M (n 0, 1, 2, ) n x n x x n n n n |an x | |an x0 n | |an x0 | | | M | | x0 x0 x0 x x n 当 | | 1 时, 等比级数 M | | 收敛, x0 x0 n 0
n
|x| |x 0|
|an x n| 收 敛, 即级数 a n x n(|x| |x 0|) 绝对收敛;
n 0
n 0
(2) 假设当x x0 时发散 , 但有一点 x1 适合 |x1| |x0|
使级数收敛, 由 (1) 结论, 则级数当 x x0 时应收敛, 这与所设矛盾.
高等数学--幂级数
为级数的 和函数 , 并写成
S(x) un(x)
n1
若用
Sn(x)
表示函数项级数前
n
n
项的和,
即
Sn(x) uk(x)
k1
令余项 rn(x)S(x)Sn(x), 则在收敛域上有
n l i m Sn(x)S(x), lnimrn(x) 0.
注记：函数项级数在某点 x 的收敛问题,实质上是
n
M
x x0
n
当 x x0 时, M
n0
x x0
n 收敛, an xn
n0
也收敛,
故原幂级数绝对收敛 .
反之, 若当 xx0时该幂级数发散 ,下面用反证法证之.
假设有一点 x 1 满足 x1 x0 且使级数收敛 , 则由前 面的证明可知, 级数在点 x0 也应收敛, 与所设矛盾,
n0
xn n!
ex
.
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例7 求幂级数nxn的和函数 S(x) .
n1
解 易求出幂级数的收敛半径为 1 , x＝±1 时级数发
散, 故x 当 ( 1,1)时 ,
S(x) nxn x nxn1
n1
n1
x (xn )
x
x
n
n1
n1
x
1
x
x
(1
x x)2
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例8
求级数
xn
的和函数 S(x) .
n0n 1
解 易求出幂级数的收敛半径为 1 , 且x1时级数
幂级数收敛域的求法
幂级数收敛域的求法一、幂级数的定义及基本性质幂级数是指形如 ∑a n ∞n=0(x −x 0)n 的无限级数，其中 a n 和 x 0 是常数，x 是变量。
对于幂级数，我们关注的一个重要问题是它的收敛域的求法。
收敛域指的是使得幂级数收敛的变量的取值范围。
二、常数项判别法对于幂级数 ∑a n ∞n=0(x −x 0)n ，我们首先考虑它的常数项 a 0。
常数项判别法给出了判定收敛性的一些基本条件。
1. a 0=0如果 a 0=0，那么幂级数化为 ∑a n ∞n=1(x −x 0)n 。
在这种情况下，常数项不直接影响收敛性的判断。
2. a 0≠0如果 a 0≠0，那么常数项 a 0 就会直接影响收敛性的判断。
•当 x =x 0 时，幂级数收敛。
• 当 x ≠x 0 时，幂级数的收敛性需要进一步的分析。
三、收敛半径的求法对于 x ≠x 0 的情况，我们需要求出幂级数的收敛半径，即满足幂级数绝对收敛的最大范围。
1. 关于收敛半径的Cauchy-Hadamard 定理对于幂级数 ∑a n ∞n=0(x −x 0)n ，假设它的收敛半径为 R ，则有以下结论：• 如果 lim n→∞√|a n |n =L ，那么该幂级数的收敛半径 R =1L 。
2. 求解收敛半径的步骤按照Cauchy-Hadamard 定理，我们可以求解收敛半径的步骤如下：1. 计算极限 lim n→∞√|a n |n 。
2. 根据极限的值求得收敛半径 R 。
3. 例子以幂级数 ∑(x−1)n 2n ∞n=0 为例，我们来求解它的收敛半径。
1. 计算极限 lim n→∞√|12n |n =lim n→∞12=12。
2. 根据Cauchy-Hadamard 定理，收敛半径 R =112=2。
所以，幂级数 ∑(x−1)n 2n ∞n=0 的收敛域为 x ∈(1−2,1+2)，即收敛域为 (−1,3)。
四、边界点处的收敛性在求得收敛半径后，我们需要进一步分析收敛域的边界点处的收敛性。
求幂级数的收敛域及和函数过程
求幂级数的收敛域及和函数过程幂级数是一种重要的数列级数，在数学分析和实际应用中有广泛的应用。
对于给定的幂级数，我们可以通过判断其收敛域和求解其和函数来深入了解其性质。
接下来，我将详细介绍求幂级数的收敛域和和函数的方法。
一、收敛域的确定对于幂级数∑(a_n*(x-x_0)^n)来说，可以利用以下三个定理求出其收敛域。
（1）柯西收敛原理：设a_n*(x-x_0)^n是一个幂级数，如果存在数R，使得当，x-x_0，<R时，级数绝对收敛；当，x-x_0，>R时，级数发散。
那么，幂级数的收敛域为，x-x_0，<R。
（2）阿贝尔-柯西判别法：设a_n*(x-x_0)^n是一个幂级数，如果存在数R，使得该级数在x=x_0+R和x=x_0-R处绝对收敛，而在x=x_0+R'和x=x_0-R'处发散，其中R'>R，则幂级数的收敛域为R'>，x-x_0，>R。
（3）根值法：设a_n * (x - x_0)^n是一个幂级数，设L =lim┬(n→∞)(│a_n+1 /a_n│)，则幂级数的收敛域如下：当L=0时，幂级数的收敛域为整个实数轴。
当L=+∞时，幂级数的收敛域为{x:x=x_0}。
当0<L<+∞时，幂级数的收敛域为(，x-x_0，<1/L)。
在具体应用中，通常首先使用根值法来求解幂级数的收敛域，因为根值法的计算比较简单。
如果根值法的结果不明显，可以进一步使用柯西收敛原理和阿贝尔-柯西判别法对幂级数的收敛域进行求解。
二、和函数的求解对于幂级数∑(a_n*(x-x_0)^n)，其和函数指的是将幂级数当作函数来处理，即S(x)=∑(a_n*(x-x_0)^n)。
通过求解和函数，我们可以得到幂级数在其收敛域内的函数表达式，从而深入了解幂级数的性质。
求解和函数的方法主要有以下几种：（1）逐项求导求解法：在幂级数的收敛域内，逐项对幂级数求导，得到导数级数∑(n*a_n*(x-x_0)^(n-1))。
高考数学冲刺幂级数的和函数与收敛域求解
高考数学冲刺幂级数的和函数与收敛域求解在高考数学的冲刺阶段，幂级数的和函数与收敛域的求解是一个重要且具有一定难度的知识点。
对于许多同学来说，掌握这部分内容可能会感到有些吃力，但只要我们理清思路，掌握正确的方法，就能在高考中应对自如。
首先，我们来理解一下什么是幂级数。
幂级数就是形如∑an(x x0)＾n 的无穷级数，其中 an 是系数，x0 是常数。
而收敛域就是使得这个幂级数收敛的 x 的取值范围。
那为什么要研究幂级数的和函数与收敛域呢？这是因为它们在数学的很多领域都有重要应用，比如函数的逼近、求解微分方程等等。
在高考中，主要考查我们对基本概念的理解和运用相关方法进行求解的能力。
接下来，我们看看如何求解幂级数的收敛域。
通常有两种方法：比值判别法和根值判别法。
比值判别法：对于幂级数∑an(x x0)＾n ，计算极限lim(n→∞）｜an+1(x x0)＾（n+1) ／ an(x x0)＾n| ，如果这个极限小于 1 ，则幂级数绝对收敛；如果大于1 ，则幂级数发散；如果等于1 ，则判别法失效，需要用其他方法判断。
根值判别法：计算极限lim(n→∞）√（｜an(x x0)＾n|），判断方法与比值判别法类似。
通过这两种方法，我们可以确定幂级数的收敛半径 R 。
然后，再分别讨论 x x0 ＝ R 和 x x0 ＝ R 这两个端点处的收敛情况，从而确定整个收敛域。
在求解收敛域时，需要注意一些特殊情况。
比如当幂级数缺少某些项时，我们要先将其补齐，再进行判别。
下面我们来说说幂级数的和函数。
要求幂级数的和函数，通常有几种常见的方法。
一是先求出幂级数的收敛域，然后对幂级数进行逐项求导或积分，将其转化为我们熟悉的形式，再求和函数。
二是利用已知的幂级数展开式，通过适当的变形和运算来求出给定幂级数的和函数。
例如，我们熟知的几个常见幂级数展开式：e^x ＝∑（x^n ／n!），sin x ＝∑（（－1)＾n x^（2n ＋ 1) ／（2n ＋ 1)！），cos x ＝∑（（－1)＾n x^（2n) ／（2n)！）等等。
幂级数收敛半径和收敛域的求解探讨
③若ａ１ʂａ２(ｋ１<ｋ２)时ꎬ则条件组[ａ１ꎬｋ１][ａ２ꎬｋ２]]⇒[ａ１ꎬｋ１－ｋ１][ａ２ꎬｋ２－ｋ１]]＋ｋ１⇒[ａ１ꎬ０][ａ２ꎬｋ２－ｋ１]]＋ｋ１⇒ａ１Ｎ１ａ２Ｎ２＋Ｋ２－Ｋ１＋ｋ１.由于ａ１Ｎ１ａ２Ｎ２＋Ｋ２－Ｋ１ꎬ所以推出(ＴＮ＋Ｋ１)＋ｍ(ａ１ꎬａ２)∗Ｎ⇒[ｍ(ａ１ꎬａ２)∗ＮꎬＴＮ＋Ｋ１]⇒[ｍ(ａ１ꎬａ２)ꎬＴＮ＋Ｋ１](简洁式).所以:Ｇ＝(ＴＮ＋Ｋ１)＋ｍ(ａ１ꎬａ２)∗Ｎ(跳跃数).则Ｇ＝ＴＮ＋Ｋ１ꎬＧ＝[ｍ(ａ１ꎬａ２)ꎬＴＮ＋Ｋ１](循环是生机).故而ꎬ当平余式(条件式)运算规则确立后ꎬ素数的递推式也就由此呈现ꎬ但里面并不是单一和纯粹的.平余式运算法则:[ａꎬｂ]相与ｙ＝ａｘ＋ｂ的整数值[ａꎬｂ]＝[ａꎬｂʃａ]ꎻ[ａꎬｂ]ʃｍ＝[ａꎬｂʃａ]ʃｍ＝[ａꎬｂʃａʃｍ]＝[ａꎬｂʃｍ][ａꎬｂ]∗ｍ＝[ａꎬｂ∗ｍ]ꎻ[ａꎬｂ]ｎ＝[ａꎬｂｎ]ꎻ[ａꎬｂ]ʃ[ａꎬｃ]＝[ａꎬｂ]ʃｃ＝[ａꎬｂʃｃ]ꎻ[ＮꎬＮ－Ｍ][ＫꎬＫ－Ｍ]]⇒[Ｎ∗ＫꎬＮ∗Ｋ－Ｍ](ＮꎬＫ互质).为了减少书写的难度ꎬ以后将形如[ａꎬｂ][ｃꎬｄ]]⇒[ｅꎬｆ]改写成[ａꎬｂ][ｃꎬｄ]＝[ｅꎬｆ].平余式运算的逆运算 共数的逆向求解设平余式[ａꎬｂ]ꎬ[ｃꎬｄ]ꎬ[ｅꎬｆ].假若[ａꎬｂ][ｃꎬｄ]＝[ｅꎬｆ](ａ与ｃ互质).现已知:[ｃꎬｄ]ꎬ[ｅꎬｆ](ａꎬｃ互质)ꎬ求[ａꎬｂ].解㊀由平余式公式知ｅ＝ａ∗ｃ⇒ａ＝ｅːｃꎬａ∗Ｎ＝ｆ－ｂ(０ɤｂ<ａ)⇒ｂ＝ｆ－ａ∗Ｎ.由于ｆ是实数ꎬ且０ɤｂ<ａꎬ即ｆ与ａ的余数是唯一且稳定的ꎬ故ｂ值也是唯一的ꎬ所以ꎬ在ａ∗Ｎ＝ｆ－ｂ中ꎬ定可确定ｂ的值.其中ａ∗Ｎ<ｆ<ａ(Ｎ＋１)ꎬ则ｂ＝ｆ－ａ∗Ｎ.即可求出[ａꎬｂ].㊀㊀参考文献:[１]郜洪三.运算能力及其培养[Ｊ].数学学习与研究ꎬ２０１３(２１):８３－８４.[２]彭月英ꎬ李世才ꎬ苗丽.求解 余数问题 的算法研究[Ｊ].数学的实践与认识ꎬ２００８(１０):２０９－２１５.[责任编辑:杨惠民]幂级数收敛半径和收敛域的求解探讨如何培养学生的创新思维刘㊀洋(广东省佛山市广州工商学院三水校区㊀５１０８５０)摘㊀要:幂级数收敛半径和收敛域的探讨课堂ꎬ不仅可以培养学生的逻辑思维能力ꎬ而且还能培养学生的创新思维.高等数学是一门抽象的㊁理论性和逻辑性很强的一门课ꎬ学起来比较枯燥无味ꎬ本文以幂级数收敛半径和收敛域的求解的探讨ꎬ引导学生学会创新思维ꎬ不断激发学生学习数学的兴趣.关键词:幂级数ꎻ收敛半径ꎻ收敛域ꎻ对分课堂中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２０)０６－００１２－０２收稿日期:２０１９－１１－２５作者简介:刘洋(１９８９－)ꎬ女ꎬ讲师ꎬ从事高中数学教学研究.㊀㊀一㊁幂级数的收敛半径关于此幂级数的收敛半径的求法可直接利用下面的定理.定理１㊀如果ｌｉｍｎң¥ａｎ＋１ａｎ＝ρꎬ其中ａｎꎬａｎ＋１是幂级数ð¥ｎ＝０ａｎｘｎ的相邻两项的系数ꎬ那么此幂级数的收敛半径Ｒ＝１/ρꎬρʂ０ꎬ＋¥ꎬρ＝０ꎬ０ꎬρ＝＋¥.{形如幂级数ð¥ｎ＝０ａｎｘｎ将其记为 标准型 幂级数ꎬ可直接利用公式ｌｉｍｎң¥ａｎ＋１ａｎ＝ρꎬ求其收敛半径Ｒ＝１ρꎬ收敛区间为(－ＲꎬＲ).对于 一般型 幂级数在求收敛半径时可通过换元转换为标准型求解ꎬ对于规则缺项幂级数和一类缺项幂级数求收敛半径和收敛区间ꎬ可通过逐项求导(或逐项求积分)和换元转换为标准型求解.本文先引用定理引出结论ꎬ然后讨论不同类型幂级数都可以通过换元化为标准型幂级数进行求解ꎬ最后将其结论进行推广应用.２１Copyright©博看网 . All Rights Reserved.㊀㊀二㊁不同类型的幂级数收敛半径和收敛域的求法㊀㊀本文对标准型幂级数求它们的收敛半径和收敛域的求解进行研究.幂级数的形式多样ꎬ不同类型幂级数的求解方法各异ꎬ但本文主要把不同类型幂级数通过换元的方法化为标准型幂级数后ꎬ再进行求解.１. 标准型 ð¥ｎ＝０ａｎｘｎ的求法步骤㊀(１)求ｌｉｍｎң¥ａｎ＋１ａｎ＝ρꎬ则Ｒ＝１ρꎬ收敛区间(－ＲꎬＲ)ꎻ(２)求收敛域(即考察端点ｘ＝ʃＲ的敛散性).例１㊀求幂级数ｘ－ｘ２２＋ｘ３３－ ＋(－１)ｎ－１ｘｎｎ＋ 的收敛半径与收敛域.解㊀此级数可记为ð¥ｎ＝１(－１)ｎ－１ｘｎｎ.因为ρ＝ｌｉｍｎң¥ａｎ＋１ａｎ＝ｌｉｍｎң¥１ｎ＋１１ｎ＝１ꎬ所以收敛半径Ｒ＝１ρ＝１ꎬ收敛区间为(－１ꎬ１).对于端点ｘ＝－１ꎬ级数成为－１－１２＋１３－ －１ｎ－ ꎬ此级数发散ꎻ对于端点ｘ＝１ꎬ级数成为交错级数１－１２＋１３－ ＋(－１)ｎ－１１ｎ＋ ꎬ此级数收敛.因此ꎬ此级数收敛域是(－１ꎬ１].２. 一般型 化为 标准型 的求法通过换元将 一般型 化为 标准型 ꎬ利用标准型求解.例２㊀求幂级数ð¥ｎ＝０(ｘ－５)ｎｎ的收敛半径和收敛域.解㊀令ｔ＝ｘ－５ꎬ得新级数为ð¥ｎ＝０ｔｎｎ.因为ρ＝ｌｉｍｎң¥ａｎ＋１ａｎ＝ｌｉｍｎң¥１ｎ＋１１ｎ＝ｌｉｍｎң¥ｎｎ＋１＝１ꎬ所以收敛半径Ｒ＝１ρ＝１ꎬ新级数的收敛区间为(－１ꎬ１).对于端点ｔ＝－１ꎬ新级数成为ð¥ｎ＝０(－１)ｎｎꎬ满足莱布尼茨定理的交错级数ꎬ故此时新级数收敛ꎻ对于端点ｔ＝１ꎬ新级数成为ð¥ｎ＝０１ｎꎬ即ρ＝１２<１是Ｐ－级数ꎬ故此时新级数发散.因此ꎬ新级数收敛域是[－１ꎬ１)即－１ɤｔ<１ꎬ则－１ɤｘ－５<１ꎬ解得４ɤｘ<６.综上ꎬ原级数的收敛域为[４ꎬ６)ꎬ收敛半径Ｒ＝１.３. 有缺型 化为 标准型 的求法通过逐项积分或逐项求导或换元将 有缺型 化为标准型 ꎬ利用标准型求解.例３㊀求幂级数ð¥ｎ＝１(－１)ｎ－１３ｎｘ２ｎ的收敛半径和收敛域.解㊀令ｔ＝ｘ２ꎬ得新级数为ð¥ｎ＝１(－１)ｎ－１３ｎｔｎꎬ因为ρ＝ｌｉｍｎң¥ａｎ＋１ａｎ＝ｌｉｍｎң¥３ｎ＋１３ｎ＝３ꎬ所以收敛半径Ｒ＝１ρ＝１３ꎬ新级数的收敛区间为(－１３ꎬ１３).对于端点ｔ＝－１３ꎬ新级数成为ð¥ｎ＝１(－１)＝－１－１－１－ ꎬ故此时新级数发散ꎻ对于端点ｔ＝１３ꎬ新级数成为ð¥ｎ＝１(－１)ｎ－１＝１－１＋１－１＋ ꎬ故此时新级数发散.因此ꎬ新级数收敛域是(－１３ꎬ１３)即－１３<ｔ<１３ꎬ则－１３<ｘ２<１３ꎬ解得－１３<ｘ<１３.综上ꎬ原级数的收敛域为－１３ꎬ１３æèçöø÷ꎬ收敛半径Ｒ＝１３.㊀㊀三㊁归纳总结一般规律定理２㊀形如ð¥ｎ＝０ａｎｆｎ(ｘ)的幂级数ꎬ称为广义幂级数.(其中ｆ(ｘ)为ｘ函数)其收敛半径和收敛域的求法如下:步骤㊀(１)令ｔ＝ｆ(ｘ)ꎬ则得新级数为ð¥ｎ＝０ａｎｔｎꎻ(２)求收敛半径Ｒ＝１ρ＝１ｌｉｍｎң¥ａｎ＋１ａｎ＝ｌｉｍｎң¥ａｎａｎ＋１ꎬ收敛区间(－ＲꎬＲ)ꎻ(３)求收敛域(即考察端点ｘ＝ʃＲ的敛散性).由于求收敛域和收敛半径题目类型多样ꎬ为更好更快地解决问题ꎬ需要按 标准型 ㊁ 一般型 和 有缺项 三种类型求解.在上述过程中我们以 标准型 ㊁ 一般型 和 有缺项 三种类型的三个例题通过换元化为 标准型 来具体说明求收敛域和收敛半径的求解方法ꎬ最后总结出一般的规律.本文利用现有的有用信息定理１ꎬ举例讲解例１ꎬ让学生自己去理解体会标准型幂级数求解收敛半径和收敛域的步骤ꎬ进一步探索和想出可供选择的信息进行考虑不同类型的幂级数的求解方法.本文中幂级数收敛半径和收敛域的求解方法按不同的类型化归同一种类型求解的对分课堂ꎬ不仅激发了学生学习数学的兴趣ꎬ而且还培养了学生的创新思维.㊀㊀参考文献:[１]吕端良ꎬ王云丽.广义幂级数收敛域的求法[Ｊ].科技信息ꎬ２０１３(１７):１５２.[２]蒋国强ꎬ一类幂级数收敛半径的统一求法[Ｊ].高等函授学报(自然科学版)ꎬ２００３(０３):２０－２１.[责任编辑:杨惠民]３１ Copyright©博看网 . All Rights Reserved.。
《高等数学教学课件》第三节 幂级数
设幂级数 an x n的收敛半径为R, 和函数为s( x), n0
则在( R, R)内, s( x)可导, 且有逐项求导公式
s( x) ( an x n ) (an x n ) nan x n1 x ( R, R)
n0
n1
n1
幂级数 nan x n1与 an x n有相同的收敛半径.
设sn
n
( 1) k 1
k1 (2k 1)(2k 1)!
rn
s sn
un1
1
104
(2n 1)(2n 1)!
(2n 1)(2n 1)! 104
取n 3, 7 7! 104
1 sin x
3
(1) k 1
11
dx
1 0.9461.
0x
k1 (2k 1)(2k 1)! 3 3! 5 5!
n0
an n
x 1
n1与
n0
an
x
n具有相同的收敛半径.
例1、求幂级数 x n 的收敛半径,收敛区间及收敛域,并求和函数.
解 lim
1
n0 n 1
1 lim n 1 1; R 1;
n n (1)n
n0 n 1 s( x)
2 莱
n 1 n n 2 1n 布 尼 兹 级 数,收 敛. n0 n
解
1
( x)n (1)n x n
1 x 1.
1 x n0 x
1
n0
dx
x
(1)n x ndx
( 1) n
x x ndx
ln(1 x)
(1)n
n0
x n1 n1
x 0
0 1 x
(1)n
n0
幂级数的和函数在收敛域上连续
幂级数的和函数在收敛域上连续幂级数的和函数在收敛域上连续引言• 幂级数是数学中一种重要的级数形式，可以表示很多函数，如指数函数、三角函数等。
• 幂级数的和函数在其收敛域内有很多有趣的性质，其中之一就是连续性。
幂级数的定义• 幂级数是形如 ∑a n ∞n=0x n 的级数，其中 a n 为系数，x 为自变量。
• 它是一个函数序列的无限和，可以表示为 f (x )=a 0+a 1x +a 2x 2+⋯幂级数的收敛域• 幂级数的收敛域是指使得级数收敛的自变量取值范围，有时也称为区间。
• 收敛域可以是开区间、闭区间或无穷区间。
幂级数和函数的连续性• 在幂级数的收敛域内，其和函数是连续的。
• 这意味着对于收敛域内的任意 x 0，有 lim x→x 0f (x )=f (x 0)。
• 这是因为在收敛域内，幂级数是一种绝对收敛的级数，可以对其进行逐项求极限。
连续性的证明1. 假设 x 0 属于幂级数的收敛域。
2. 考虑级数的部分和序列 S k (x )=∑a n k n=0x n 。
3. 由于幂级数收敛于和函数 f (x )，所以对任意正整数 k ，有lim n→∞S k (x )=f (x )。
4. 由级数的逐项求极限性质可知，对于任意的 x 0，有lim k→∞S k (x 0)=f (x 0)。
5. 根据序列极限的定义，连续性可以表述为：对于任意给定的 ϵ>0，存在正整数 K ，使得当 k >K 时，|S k (x 0)−f (x 0)|<ϵ。
6. 这意味着幂级数的和函数在收敛域内连续。
总结• 幂级数是一种重要的级数形式，可以表示很多函数。
• 幂级数的和函数在其收敛域内连续，这是级数的逐项求极限性质导致的结果。
• 连续性的证明可以通过级数的部分和序列和序列极限的定义来完成。
参考资料• Stewart, J. (2015). Calculus: Early Transcendentals (8thed.). Cengage Learning.幂级数的和函数在收敛域上连续引言• 幂级数是数学中一种重要的级数形式，可以表示很多函数，如指数函数、三角函数等。
幂级数与收敛域
幂级数与收敛域幂级数是数学中重要的概念之一，它在许多领域中起着重要作用，特别是在分析学中。
本文将详细介绍幂级数的定义、性质以及收敛域的概念。
一、幂级数的定义幂级数是形如∑(aₙ(x-a)ⁿ)的无穷级数，其中aₙ是系数，x是变量，a是常数。
幂级数可以看作是一个函数展开成无穷项的形式。
二、收敛域的定义在幂级数中，收敛域是指使幂级数收敛的所有值x的集合。
收敛域是幂级数收敛的范围，它可以是一个区间、一个点、整个实数轴，或者一个圆盘。
三、收敛域的求解方法1. 使用比值测试比值测试是判断幂级数收敛与发散的一种常用方法。
具体来说，给定一个幂级数∑(aₙ(x-a)ⁿ)，计算lim┬n→∞〖|aₙ₊₁/ aₙ |〗。
如果这个极限存在且小于1，则幂级数在x=a处收敛；如果这个极限大于1，则幂级数在x=a处发散。
如果这个极限等于1，则无法判断，需要使用其他方法。
2. 使用根值测试根值测试也是判断幂级数收敛与发散的常用方法。
具体来说，给定一个幂级数∑(aₙ(x-a)ⁿ)，计算lim┬n→∞〖( |aₙ| )^1/n 〗。
如果这个极限存在且小于1，则幂级数在x=a处收敛；如果这个极限大于1，则幂级数在x=a处发散。
如果这个极限等于1，则无法判断，需要使用其他方法。
3. 使用幂级数收敛域的常见性质一些常见的幂级数收敛域性质包括：- 幂级数在收敛域内是绝对收敛的；- 幂级数在收敛域的边界上，可能是绝对收敛也可能是条件收敛的；- 幂级数在收敛域之外是发散的。
四、收敛域的示例1. 幂级数∑(xⁿ/n!)的收敛域是整个实数轴R；2. 幂级数∑(xⁿ/n)的收敛域是(-1, 1]；3. 幂级数∑(xⁿ/n²)的收敛域是闭区间[-1, 1]。
五、总结幂级数是一种重要的数学工具，可以用来表示函数，其中的收敛域决定了幂级数的定义域。
通过比值测试、根值测试以及幂级数收敛域的性质，我们可以求解幂级数的收敛域。
对于特定的幂级数，我们可以通过具体的计算来确定其收敛域。
求收敛域和函数
求收敛域和函数收敛域和函数是复变函数中的重要概念，用于研究复数域上的函数收敛性质。
在复数域中，函数的收敛域是指函数在复平面上哪些点上收敛，而函数的收敛性则是指函数在收敛域内是否存在极限。
本文将对收敛域和函数进行详细介绍。
一、收敛域的概念收敛域是指在复平面上满足某一条件下，函数收敛的点的集合。
具体来说，对于复数域上的函数f(z)，如果对于某个复数z0，当z趋近于z0时，函数f(z)趋近于一个有限值，则称函数f(z)在z0处收敛。
而函数的收敛域则是指函数在复平面上所有收敛点的集合。
收敛域的求解是根据函数在复平面上的性质进行分析。
常见的收敛域有圆盘型、无穷远点型和扇形型等，具体形式取决于函数的性质。
例如，对于幂级数函数，其收敛域为以函数中心为圆心的圆盘；而对于有理函数，其收敛域可能是复平面上的任意一个区域，只要函数在该区域内无极点即可。
二、函数的收敛性函数的收敛性是指函数在其收敛域内是否存在极限。
如果函数在某点处收敛，那么这个点就是函数的极限点。
函数的极限可以是有限的实数或复数，也可以是无穷大或无穷小。
对于复数域上的函数，函数的收敛性可以通过级数的收敛性来判断。
如果函数可以表示为幂级数的形式，那么函数在某点处收敛的条件为幂级数收敛的条件。
幂级数的收敛性可以通过根植判别法、比值判别法等方法进行判断。
除了幂级数函数外，还有一些其他常见的函数形式，如指数函数、三角函数等。
这些函数的收敛性可以通过函数的性质和定义进行判断。
例如，指数函数和三角函数在复平面上处处收敛，而对数函数在复平面上不收敛。
三、收敛域和函数的应用收敛域和函数的研究在数学和物理等领域有着广泛的应用。
在数学中，收敛域和函数的研究是复分析的基础内容，对于研究解析函数、调和函数等具有重要意义。
在物理中，收敛域和函数的研究是研究波动现象、传热传质等问题的基础。
例如，电磁场的分析中需要研究函数的收敛域，以确定电磁场在空间中的分布情况。
收敛域和函数还与数值计算密切相关。
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第九章 无穷级数
第三节 幂 级 数
第三节 幂级数
一. 函数项级数 函数项级数
n 1
1.定义 u1 ( x) u2 ( x) un ( x) un ( x)
{un ( x)} 是定义在区间 I 上的函数列
2.收敛域 在 I 中任取一点 x0 ,就得到一个数项级数
所以收敛半径为3, 收敛区间为(3,3)
3n 1 1 1 当 x 3 时，因为 n ，且 发散， n 3 (2) n 2n n 1 n
所以原级数在点x 3处发散.
(3) n 1 1 2n 1 当 x 3 时，由于 n (1) n n , 3 (2) n n n 3 (2) n n
2.收敛半径的求法 定理2
an R lim n a n 1
(证明略)
例 求收敛半径和收敛域
(1). (1) n1
n 1
1 an R lim lim n 1 n a n 1 n 1 n 1 n 1 1 x =1 时 (1) n 收敛； x =－1时 n 1
S ( x) un ( x)
n 1
4.余项:
rn ( x) S ( x) Sn ( x)
前n项的部分和
在收敛域内才有意义,且 lim rn ( x ) 0 n
二. 幂级数及其收敛性
幂级数
一般形式:
各项都是幂函数的函数项级数
a0 a1 ( x x0 ) a2 ( x x0 )2 an ( x x0 )n (1)
( x 2) n (4). (1) n1 n n 1
收敛域是(1,3]
tn n 1 设 x－2＝ t ,由(1)知 (1) n n 1
收敛域是(－1,1]
x 2n (5). n n 0 3
收敛域是 ( 3, 3)
令 t x2
lim an a n 1
n
x 2n t n 3n 3n n 0 n 0 1 3n 3 lim n 1 3n 1
1 dx ln(1 x) 0 1 x
x
1 ln(1 x ), S ( x) x 1,
0 | x | 1 x0
练习
1. 2n 2 2 n1 x 求收敛域及和函数 n! n 1
记 则
2n 2 2 n 1 x S ( x), n! n 1
an x n 存在非零的收敛点,又存在发散点,则 推论 设
n 0
存在R>0,使得当 |x|<R 时它绝对收敛,当 |x|>R 时它发散 注:三种收敛情形:
(1) 仅在 x = 0 处收敛; (2) 在 (, ) 内处处收敛;
R= 0 R= + ∞ R—收敛半径
(3) 在(－R,R )内收敛,端点另外讨论 收敛区间
(1). an x n bn x n (an bn ) x n f ( x) g ( x)
n 0 n 0 n 0
(2).( an x ) ( bn x ) (a0bn a1bn1 anb0 ) x n
n n n 0 n 0 n 0
(1) n 2n 1 且 与 n 都收敛，所以原级数在 x 3 处收敛. 点 n n n n 1 n 1 3 ( 2)
三.幂级数的运算性质 1.四则运算性质 设
a x
n 0 n
n
f ( x)
b x
n 0 n
n
g ( x)
收敛半径分别为 R1 和 R2 ,记 R min{R1 , R2 } 则对于任意的 x ( R, R) , 有
n 1
设和函数为S(x)
S ( x) x nx
n 1
n 1
x ( x ) x( x n )
n n 1 n 1
x x x( ) 1 x (1 x) 2
( |x| <1 )
xn (2). n 0 n 1
设和函数为S(x)
x n1 x x 则 xS ( x) ( x n dx) ( x n )dx 0 0 n 0 n 1 n 0 n 0
u ( x ) u1 ( x0 ) u2 ( x0 ) un ( x0 )
n 1 n 0
收敛, x0 收敛点
发散, x0 发散点
函数项级数的全体收敛点的集合称为收敛域
3.和函数： 在收敛域内，函数项级数的和依赖于点x， 因此其和是x的函数，称为和函数
a x
n 0 n
n
S ( x)
收敛半径为R, 则
(1) S(x) 在收敛域内连续; (2) S(x) 在(--R,R)内可导,且
n n n 0 n 0
S ( x) ( an x ) (an x ) nan x n1
n 0
即幂级数在(-R,R)内可以逐项求导,所得到的幂级数 收敛半径不变. 可推广到任意阶导数 (3) S(x)在(--R,R)内可积,且
1 n 记 x S ( x), n 1 n 则 S ' ( x) x
n 1 x 0 n 1
1 1 x x , 1 x
2
S ( x) S ' ( x)dx S (0) 1 dx ln(1 x) | x | 1 0 1 x 1 1 1 S ( ) ln(1 ) ln 2. n 2n 2 2 n 1
收敛域是(－3,3)
t =3 时
1 发散
n 1
t =－3时
(1) n 发散
n 1
x 2 n 1 (6). n n 0 3
缺少偶次项,无法用公式，可以用比值法求R
u n 1 x 2 n 3 lim lim n 1 n u n 3 n
x 2 n 1 1 | x |2 3n 3
xn n
收敛域是(－1，1]
1 ( n ) 发散 n 1
xn (2). n 0 n!
an R lim n a n 1
收敛域是(－∞，∞）
1 lim n! n 1 (n 1)!
(3). n! x n
n 1
仅在 x =0 点收敛
n! an lim 0 R lim n ( n 1)! n a n 1
x
0
S ( x)dx [ an x ]dx
x n 0 n 0 n 0
x
0
an n 1 an x dx x n 0 n 1
n
即幂级数在(-R,R)内可以逐项积分,所得到的幂级数 收敛半径不变. 注意:(2),(3)中端点需要另外讨论.
例 求和函数
(1). nxn
特例
a0 a1 x a2 x2 an x 为(1)可以通过变量代换化成(2) 1.幂级数的收敛域 x = 0 时(2)收敛,一般的,幂级数收敛域是一区间. 例
x n 1 1 x x 2 x n
f ( x) g ( x)
利用乘法可以定义除法
a x
n 0 n
n
( bn x ) ( cn x ) 则
n n n 0 n 0
an x n bn x n
n 0 n 0
cn x n
n 0
注意,商级数的收敛半径可能比原来要小得多 2. 分析运算性质 设
x 3 时,发散.
ρ<1时,收敛.
ρ<1时,发散.
则收敛区间为 ( 3, 3) 注:缺少奇次项,也可以用此方法.
1 xn (7). n 3 (2) n n n 1
2 n 1 n n n 3 (2) n 1 3 lim n 1 lim n 3 (2) n 1 (n 1) n 2 n1 3 31 (n 1) 3
x 0
S ( x)dx
2
1 2n2 x n 1 n!
d 2 x2 x2 3 x2 S ( x) x e 1 2x e 1 2x e . dx
1 2 n 2 x2 x ( x ) x (e 1) n 1 n!
1 2.证明 ln 2 n n 1 n 2
n 1
由等比级数的性质, | x | 1 时收敛, | x | 1 时发散 1 2 n 则收敛域(－1,1)内 1 x x x 1 x
定理1 (阿贝尔定理)
如果 a x
n 0 n
n
：
1.在点 x x0 ( 0) 收敛, 则当 | x || x0 |时，它绝对收敛 2.在点 x x0 ( 0) 发散, 则当 | x || x0 | 时，它发散.