高等数学 3幂级数收敛域和函数

( x 2) n (4). (1) n1 n n 1

收敛域是(1,3]

tn n 1 设 x－2＝ t ,由(1)知 (1) n n 1
收敛域是(－1,1]
x 2n (5). n n 0 3


收敛域是 ( 3, 3)
令 t x2
lim an a n 1
n
x 2n t n 3n 3n n 0 n 0 1 3n 3 lim n 1 3n 1


x 0
S ( x)dx
2
1 2n2 x n 1 n!


d 2 x2 x2 3 x2 S ( x) x e 1 2x e 1 2x e . dx

1 2 n 2 x2 x ( x ) x (e 1) n 1 n!


1 2.证明 ln 2 n n 1 n 2
a x
n 0 n

n
S ( x)
收敛半径为R, 则
(1) S(x) 在收敛域内连续; (2) S(x) 在(--R,R)内可导,且
n n n 0 n 0
S ( x) ( an x ) (an x ) nan x n1
n 0

即幂级数在(-R,R)内可以逐项求导,所得到的幂级数 收敛半径不变. 可推广到任意阶导数 (3) S(x)在(--R,R)内可积,且
n 1

由等比级数的性质, | x | 1 时收敛, | x | 1 时发散 1 2 n 则收敛域(－1,1)内 1 x x x 1 x
定理1 (阿贝尔定理)
如果 a x
n 0 n

n
：
1.在点 x x0 ( 0) 收敛, 则当 | x || x0 |时，它绝对收敛 2.在点 x x0 ( 0) 发散, 则当 | x || x0 | 时，它发散.
S ( x) un ( x)
n 1
4.余项:
rn ( x) S ( x) Sn ( x)
前n项的部分和
在收敛域内才有意义,且 lim rn ( x ) 0 n
二. 幂级数及其收敛性
幂级数
一般形式:
各项都是幂函数的函数项级数
a0 a1 ( x x0 ) a2 ( x x0 )2 an ( x x0 )n (1)

x
0
S ( x)dx [ an x ]dx
x n 0 n 0 n 0


x
0
an n 1 an x dx x n 0 n 1
n

即幂级数在(-R,R)内可以逐项积分,所得到的幂级数 收敛半径不变. 注意:(2),(3)中端点需要另外讨论.
例 求和函数
(1). nxn



1 dx ln(1 x) 0 1 x
x
1 ln(1 x ), S ( x) x 1,
0 | x | 1 x0
练习
1. 2n 2 2 n1 x 求收敛域及和函数 n! n 1

记 则
2n 2 2 n 1 x S ( x), n! n 1
特例
a0 a1 x a2 x2 an x n 系数
(2)
主要讨论(2),因为(1)可以通过变量代换化成(2) 1.幂级数的收敛域 x = 0 时(2)收敛,一般的,幂级数收敛域是一区间. 例
x n 1 1 x x 2 x n
(1) n 2n 1 且 与 n 都收敛，所以原级数在 x 3 处收敛. 点 n n n n 1 n 1 3 ( 2)
ห้องสมุดไป่ตู้
三.幂级数的运算性质 1.四则运算性质 设

a x
n 0 n
n
f ( x)
b x
n 0 n
n
g ( x)
收敛半径分别为 R1 和 R2 ,记 R min{R1 , R2 } 则对于任意的 x ( R, R) , 有
x 3 时,发散.
ρ<1时,收敛.
ρ<1时,发散.
则收敛区间为 ( 3, 3) 注:缺少奇次项,也可以用此方法.
1 xn (7). n 3 (2) n n n 1

2 n 1 n n n 3 (2) n 1 3 lim n 1 lim n 3 (2) n 1 (n 1) n 2 n1 3 31 (n 1) 3
n 1

设和函数为S(x)
S ( x) x nx
n 1

n 1
x ( x ) x( x n )
n n 1 n 1


x x x( ) 1 x (1 x) 2
( |x| <1 )
xn (2). n 0 n 1
设和函数为S(x)
x n1 x x 则 xS ( x) ( x n dx) ( x n )dx 0 0 n 0 n 1 n 0 n 0

1 n 记 x S ( x), n 1 n 则 S ' ( x) x
n 1 x 0 n 1

1 1 x x , 1 x
2
S ( x) S ' ( x)dx S (0) 1 dx ln(1 x) | x | 1 0 1 x 1 1 1 S ( ) ln(1 ) ln 2. n 2n 2 2 n 1
2.收敛半径的求法 定理2
an R lim n a n 1
(证明略)
例 求收敛半径和收敛域
(1). (1) n1
n 1
1 an R lim lim n 1 n a n 1 n 1 n 1 n 1 1 x =1 时 (1) n 收敛； x =－1时 n 1
第九章 无穷级数
第三节 幂 级 数
第三节 幂级数
一. 函数项级数 函数项级数
n 1
1.定义 u1 ( x) u2 ( x) un ( x) un ( x)
{un ( x)} 是定义在区间 I 上的函数列
2.收敛域 在 I 中任取一点 x0 ,就得到一个数项级数
收敛域是(－3,3)
t =3 时
1 发散
n 1

t =－3时
(1) n 发散
n 1

x 2 n 1 (6). n n 0 3

缺少偶次项,无法用公式，可以用比值法求R
u n 1 x 2 n 3 lim lim n 1 n u n 3 n
x 2 n 1 1 | x |2 3n 3
(1). an x n bn x n (an bn ) x n f ( x) g ( x)
n 0 n 0 n 0
(2).( an x ) ( bn x ) (a0bn a1bn1 anb0 ) x n
n n n 0 n 0 n 0
xn n
收敛域是(－1，1]
1 ( n ) 发散 n 1

xn (2). n 0 n!
an R lim n a n 1


收敛域是(－∞，∞）
1 lim n! n 1 (n 1)!
(3). n! x n
n 1
仅在 x =0 点收敛
n! an lim 0 R lim n ( n 1)! n a n 1



f ( x) g ( x)
利用乘法可以定义除法
a x
n 0 n

n
( bn x ) ( cn x ) 则
n n n 0 n 0


an x n bn x n
n 0 n 0

cn x n
n 0

注意,商级数的收敛半径可能比原来要小得多 2. 分析运算性质 设
an x n 存在非零的收敛点,又存在发散点,则 推论 设
n 0
存在R>0,使得当 |x|<R 时它绝对收敛,当 |x|>R 时它发散 注:三种收敛情形:
(1) 仅在 x = 0 处收敛; (2) 在 (, ) 内处处收敛;
R= 0 R= + ∞ R—收敛半径
(3) 在(－R,R )内收敛,端点另外讨论 收敛区间




所以收敛半径为3, 收敛区间为(3,3)
3n 1 1 1 当 x 3 时，因为 n ，且 发散， n 3 (2) n 2n n 1 n
所以原级数在点x 3处发散.
(3) n 1 1 2n 1 当 x 3 时，由于 n (1) n n , 3 (2) n n n 3 (2) n n
u ( x ) u1 ( x0 ) u2 ( x0 ) un ( x0 )
n 1 n 0

收敛, x0 收敛点
发散, x0 发散点
函数项级数的全体收敛点的集合称为收敛域
3.和函数： 在收敛域内，函数项级数的和依赖于点x， 因此其和是x的函数，称为和函数
x