高级运筹学题集及答案

1. 假设有一百万元可以投资到三支股票上，设随机变量

i

R 表示投资到股票i 上的一

元钱每年能够带来的收益。通过对历史数据分析，知期望收益1()0.09

E R =，

2()0.07E R =，3()0.06E R =，三支股票的协方差矩阵为0.200.030.040.030.200.050.040.050.15⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦。假设使用股票涨跌稳定性来评测风险，试构建优化模型，在保证期望年收益率不低于0.075的情况下，风险最小，同时表示为非线性优化的向量形式。

解：设123(,,)T X x x x =，其中123,,x x x 分别表示投资组合中123,,R R R 的所占的比例，有

1231x x x ++= ……①

保证期望收益率不低于0.075：

112233()()()0.075x E R x E R x E R ++≥ ……②

建立如下优化模型：

222

12

3121323min ()0.200.200.150.060.080.10f X x x x x x x x x x =+++++ ..s t 1231x x x ++=

1230.090.070.060.075x x x ++≥

123,,0x x x ≥

记：0.200.030.040.030.200.050.040.050.15A ⎡⎤

⎢⎥=⎢⎥

⎢⎥⎣⎦

表示成向量形式：

min ()T f X X AX =

..s t 1111T X ⎛⎫

⎪

= ⎪ ⎪⎝⎭

0.090.070.0750.06T X ⎛⎫ ⎪

≥ ⎪ ⎪⎝⎭

123,,0x x x ≥

2. 用伪算法语言描述“成功-失败”搜索方法。 解：1s ：初始化：0x , h,ε>0

2s ：x=0x ；

1f =f(x) 3s ：2f =f(x+h)

4s ： if 2f <1f go to 5s ;

else

go to 6s ; end

5s : x=x+h;

2f =1f ;

h=2h

6s : if ||h ε<

go to 7s ; else go to 8s ; end

7s : x x *

=

8s : 4

h h =-

; go to 3s . □

3. 请简述黄金分割法的基本思想，并尝试导出区间收缩比率φ≈0.618.

基本思想：黄金分割法就是用不变的区间缩短率ϕ，来代替Fibonacci 法每次不同的缩

短率，因而可以看成是Fibonacci 法的近似。

在搜索区间[a,b]内取两点x

一维搜索时，在区间内取两对称点1λ，'1λ作为搜多点，并满足：

1λ= a+(1-ϕ)(b-a) '1λ= a+ϕ(b-a)

ϕ取近似值0.618

证明：设在第k 次迭代时的搜索区间为[k a ,k b ]，

则在区间内取两对称点1k λ+，'1k λ+作为探索点，并满足：

1(1)()k k k k a b a λϕ+=+-- ……① '1()k k k k a b a λϕ+=+- ……②

由于对称性，即： '

11k k k k a b λλ++-=-

在第k+1次迭代中，不妨取收缩区间为'

1,k k a λ+⎡⎤⎣

⎦ 这样，收缩率ρ表示为：

'1()

0.618k k

k k k k

k k

a b a b a b a λϕρϕ+--=

=

==

≈-- □ 4. 请简述牛顿（Newton ）法的基本原理，并指出可能会出现的“坏现象”。 基本思想：牛顿法是二阶近似仿照切线法思想，推导出下降方向 11()()k k k k X X H X f X +-=-∇

每次计算 1()()k k k D H X f X -=∇，可看成是椭球范数||||k D 下的最速下降法。

对于正定二次函数，一次可达最优解。一定条件下，具有二阶收敛速度。

坏现象：对初始点的依赖性很大，要求初始点接近极小点。若初始点远离极小点，不能保证收敛，甚至连Newton 方向2()1()()()k k f x f x --∇∇都不一定是下降方向，导致算法达不到极小点。 □ 5. 叙述Powell 算法思想.（方向加速法）

算法思想：又称方向加速法。是在研究正定二次函数的极小化问题时形成的，由于迭代过程中构造一组共个方向，其本质属于共轭方向法。

每一轮迭代过程中由n+1个相继的一维搜索组成，先依次沿着n 个已知的线性无关方向搜索，然后沿本轮迭代的初始点和第n 次搜索所得点的连线方向搜索，得到这一轮迭代的最好点并作为下一阶段的起点，再用第n+1个方向（最后的搜索方向）代替前n 个方向的一个，开始下一轮的迭代。 □ 6. 简述有约束优化时既约梯度法的基本思想。

基本思想：将线性规划的单纯形法推广到带线性约束的非线性问题上。 把线性约束优化问题

min ()f X

X=b

..0

A s t X ⎧⎨

≥⎩ 简化为仅在非负限制下的极小化问题

min ()N F X

11

X =B 0..0

B N N b B NX s t X --⎧-≥⎪⎨≥⎪⎩