高等代数欧氏空间

第九讲 欧氏空间、双线性函数

一、 欧氏空间的概念、标准正交基

1、 内积 设V 是实数域R 上的线性空间，映射

:f V V R ⨯→

满足 （1）对称性 (,)(,),,f f V αββααβ=∀∈；

（2）线性性 (,)(,)(,),,,f k l kf lf V αβγαγβγαβγ+=+∀∈；

（3）非负性 (,)0,f V ααα≥∀∈，且(,)00f ααα=⇔=， 则称f 为V 的一个内积。

注：①将(,)f αβ简记为(,)αβ；

②线性性（2）等价于(,)(,),(,)(,)(,)k k αβαβαβγαγβγ=+=+。

2、 欧氏空间 定义了内积的线性空间V 称为欧氏空间。

注：在同一线性空间中可以定义不同的内积，不同的内积就是不同的欧氏空间。

3、 两个常用的欧氏空间

（1）n

R 的普通内积： 1212(,,,),(,,,)n n a a a b b b αβ∀== ， 1122(,)n n a b a b a b αβ=+++ 。

（2）(,)C a b 的普通内积：,(,)f g C a b ∀∈，(,)()()b

a f g f x g x dx =⎰。

4、长度与夹角 V 为欧氏空间，(,)1,,,cos V αβαβαβααβ-∈=<>=。

5、标准正交基 （1）V 为欧氏空间，,V αβ∈，若α⊥β(,)0αβ⇔=。

（2）非零向量12,,,s V ααα∈ ，