沪科版(上海)八年级第一学期第五讲 一元二次方程解法2
一元二次方程的解法配方法(沪科版)
1
同学们努力吧,一切皆还有可能﹗
大家好
2
课的内容
• 一元二次方程的解法（2） • -----配方法
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3
平方根的概念：x2 aa0
x a
解方程
x2 25
x 5
这种解方程方法叫 直接开平方法
大家好
4
解方程：
(1 )x24 90 ;(2 )4 9x22 5
(3 )2x26 ;(4)3x2 150
大家好
23
用配方法解一元二次方程的步骤:
移项:把常数项移到方程的右边； 配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方; 开方:根据平方根意义,方程两边开平方; 求解:解一元一次方程; 定解:写出原方程的解.
大家好
24
课后作业
习题17.2 第2题
大家好
25
一元二次方程解法
•
第二课时
• 内容：二次项系数不为1的一元二次方程的
大家好
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概念巩固
用配方法解下列方程，配方错误的是（C）
A.x2+2x-99=0化为(x+1)2=100
B.t2-7t-4=0化为(t-
7 2
)2=
65 4
C.x2+8x+9=0化为(x+4)2=25
2 D.3x2-4x-2=0化为(x-
)2= 10
3
9
大家好
31
典型例题
2.用配方法解方程-3x2+4x+1=0
y y
2 2
5
5 y __2___
1 2
y
_14___
2
2
( (
y _5_2_) y __14_)
沪教版八年级上册-一元二次方程解法
一、选择题
1．如果不为零的n是关于x的方程x2-mx+n=0的根，那么m-n的值为（）．
A．- B．-1 C． D．1
2．若x2+6x+m2是一3 D．以上都不对
3．用配方法将二次三项式 变形，结果是（）
A．（ -2）2+1 B．（ +2）2-1 C．（ +2）2+1 D．（ -2）2-1
6.若方程 的两个实根中只有一个根为0，那么（）
A. B. C. D.
7．一元二次方程x2-2x-m=0可以用完全平方法解，则m=（）．
A．0 B．1 C．-1 D．±1
8．用公式法解方程4y2=12y+3，得到（）
A．y= B．y= C．y= D．y=
9．已知 、b、c是△ABC的三边长，且方程 （1+x2）+2bx-c（1-x2）=0的两根相等，则△ABC为（）
9．若一个三角形的三边长均满足方程x2－6x+8=0，则此三角形的周长为_____．
10．如果 ，b，c为互不相等的实数，且满足关系式b2+c2=2 与bc= ，那么 的取值范围是______．
二、选择题
11．关于x的一元二次方程2x2－3x－a2+1=0的一个根为2，则a的值是（）
A．1 B． C．－ D．±
一元二次方程的解法
知识精要
1.一元二次方程的概念
只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程。
2.一元二次方程的一般形式
，其中 是二次项， 是二次项系数； 是一次项， 是一次项系数； 是常数项。
3.一元二次方程的解法
解法1：直接开平方法
如果一元二次方程的一边含有未知数的代数式的平方，另一方是一个非负数的常数，那么就可以直接用开平方法求解，这种方法适合 的形式。其解为
1一元二次方程的解法2.公式法PPT课件(沪科版)
用公式法解一元二次方程
1．(4 分)用公式法解方程 3x2－ 2＝12x 时，a，b，c 的值分别是( B )
A．a＝3，b＝ 2，c＝12 B．a＝3，b＝－12，c＝－ 2
C．a＝3，b＝12，c＝－ 2 D．a＝3，b＝－ 2，c＝12
2．(4 分)用公式法解方程 3x2＋4＝12x，下列代入公式正确的是( D )
1．一般地，对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，当b_2_－__4_a_c_≥_时0 ，它
－b± b2－4ac
的根为x＝______2_a_____． 2．用公式法解一元二次方程的思路应是：(1)将方程化成一__般__情__势__；(2)
确定_____a_，__b_，__c_______的值；(3)求出_b_2_－__4_a_c_的值；(4)当b_2_－__4_a_c≥__0时， 可直接用求根公式求出它的根．
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15 (3)(x－1)(x＋3)＋5＝0.
将原方程化为标准形式，得 x2＋2x＋2＝0，a＝1，b＝2，c＝2，b2－4ac＝22－4×1×2＝－ 4<0，∴原方程无实数根 14.错误，b＝－7 而不是 b＝7，正确的解是 x1＝7＋611＝3，x2＝ 7－611＝－23
四清导航
14．(8 分)判断下列方程的解法有无错误，若有错误，请改正． 解方程：3(x＋1)(x－2)＝4x 解：方程变形，得 3(x2－x－2)＝4x， 即 3x2－7x－6＝0.这里 a＝3，b＝7，c＝－6. ∴x＝－7± 72＋6 4×3×6＝－76±11. ∴x1＝－3，x2＝23.
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11．当 a≠0 且 b2－4ac≥0 时，下列方程：①ax2＋bx＋c＝0；②ax2－bx＋c＝0；③ax2＋
沪教版(上海)初中数学八年级第一学期1一元二次方程的解课件
三、课堂小结
n 一元二次方程的定义 三个要素，一个条件
n一元二次方程的解法 四个方法，一个思想
五、布置作业
《练习册》
复习题A组1-7
一、一元二次方程的概念
l一元二次方程的定义 一个未知数 未知数的最高次数为2 整式方程
一般情势是 ax2 bx c 0 (a 0)
ห้องสมุดไป่ตู้
一、一元二次方程的概念
1.一元二次方程 2x2 3x 5 0
二次项系数是___2____ 一次项系数是___-_3___
常数项是___5____
一、一元二次方程的概念
(5)2x(x 5) x2 (6)ax2 bx c 0
牢记三个要素， 一个条件
一、一元二次方程的概念
3.当m___≠≠__01_____时，关于x的方程 mmx2x2 3x8xx2 3 mx0 2 是一元二次方程.
4.化若成(m一般2式)x m(m31)mx2x(1m 30)x是关2 于0 x
的一元二次方程，则m_=_－__2_______
二次项系 数不为0
二、一元二次方程的解法 1.下列方程用什么方法解比较简便？
(1)3x2 8 0 (2)x2 4x 4 0 (3)x2 5x 2 0 (4)x2 6x 1591
(5)2(x 1)2 6 0 (6)x2 x 1 0
33
x1 104, x2 96
思考题
1.x2 2mx m2 n2 0(m, n是已知数)
2.已知实数x,y满足 (x2 y2)(x2 y2 1) 6 , 求 x2 y2的值. A( A 1) 6 解： (x2 y2 )2 (x2 y2 ) 6 0
(x2 y2 3)(x2 y2 2) 0
上海初二数学教学课件(五)一元二次方程
例题：利用配方法，求解关于x的一元二次方程： 例题：利用配方法，求解关于x的一元二次方程：
ax + bx + c = 0
2
求根公式
• 求根公式是用以求解一般的一元二次方程的统 一方法。 一方法。 • 在使用求根公式的时候，必定要注意二次项系 在使用求根公式的时候， 数是否为0 以及判别式△是否大于等于0 数是否为0；以及判别式△是否大于等于0。
2x + 4 2 (5)-1.2x +1= 5
2
x2 - 1 (6)3x =2 2
一元二次方程解法综合
例题：至少使用两种方法求解下列方程， 例题：至少使用两种方法求解下列方程，并比较 其优劣。 其优劣。
(1)x +6x+2 = 0
2
一元二次方程解法综合
例题：至少使用两种方法求解下列方程， 例题：至少使用两种方法求解下列方程，并比较 其优劣。 其优劣。
2
(4)x -86x+ 949 = 0
解关于x的方程： 解关于x的方程： a(x -4)= x(a -4)
2
2
课后作业
1：已知： 已知：
2
0，化简： 16x 2 x＜ 化简： x +2x+1 ( 1<x<3 )
2
2：化简： -6x+9 + 化简：x
答案：（1）- 4x ）
(2)： 4 ：
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求根公式法
• 利用求- = 0 4
2
(2)(x+1)(x-3)=1
求根公式法
1 1 (3)(x- )(x+ )= 2x 2 2
沪教版八年级数学上册一元二次方程第二节一元二次方程的解法教案
第二节 一元二次方程的解法（1）【知识要点】一．一元二次方程的解法1.开平方法方程左边是喊未知数的完全平方式，右边是非负数常数形式，可用开平方法求解.2.因式分解法一元二次方程的一边是0，另一边易于分解成两个一次因式时，就可以先考虑用因式分 解法求解.3.配方法为了能用开平方法解一般形式的一元二次方程20(0)ax bc c a ++=≠，必须将方程形为2()x m n +=的形式。
配方法的步骤是：①把二次项系数化为1；②移项，方程的一边为二次项和一次项，另一边为常数项；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④将原方程变形为2()x m n +=的形式.二．一元二次方程解法的运用及其思想方法配方法对所有的一元二次方程都适用，开平方法和因式法只对具备相应特征的方程才适用.我们在解一元二次方程时一定要根据具体问题选择恰当的方法，从而使解题过程准确、简捷.一般情况下：（1）形如20(0)ax c ac +=<的一元二次方程用开平方法或因式分解法（平方差公式）解； （2）形如20(0)ax bx ab +=≠的一元二次方程用因式分解法（提取公因式法）来解；（3）形如20(0)ax bx c abc ++=≠的一元二次方程用因式分解法（十字相乘法）来解. 【学习目标】第十六章 学会直接开平方法，因式分解法解一元二次方程.第十七章 掌握配方法解方程及配方法的技巧.【典型例题】【例1】用开平方法解下列方程（1）242560x -= （221)x -=（3）2(12)9x -= （4）22(21)(3)y y +=-【分析】用开平方法解方程，要先将方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是非负数常数的形式，再根据平方的定义求解。
另外，“整体”思想在解方程时还是十分有用的.【解答】（1）移项得：24256x =将方程各项都除以4得：264x x =∴= 所以，原方程的根是128,8x x ==-（22(1)x -即2(1)1x x -=-=所以原方程的根是1211x x ==（3） 利用开平方法，得123x -=或123x -=-解得1x =-或2x =所以，原方程的根是121,2x x =-=（4）利用开平方法，得213y y +=-或211(3)y y +=--解得23y =或4y =- 所以原方程的根是：122,43y y ==- 【点评】对于第（2）题无理数系数的一元二次方程解法同有理数一样，只不过注意二次根式的简化，而第（3）、（4）是利用“整体”思想解方程.【例2】 用因式分解解下列方程（1）(3)(1)12x x +-= （2）2(13)5(31)x x x -=-（3）22(21)3(1)0x x +-+=【分析】因式分解法的依据是如果两个两个因式的积等于零，那么这 两个因式中至少有一个等于零；反之也同样成立，由此可得方程的根。
沪教版 八年级(上)数学 秋季课程 第5讲 一般一元二次方程的解法及韦达定理(解析版)
利用配方法和求根公式法解一元二次方程是八年级数学上学期第十七章第二节内容，主要对一般的一元二次方程不能运用直接开平方或者是因式分解进行求解的时候，采取的两种方法，重点是对一元二次方程这两种解法的原理和过程的理解，难点是配方法和因式分解在解一元二次方程中的灵活应用．经过本节课学习，我们已经将解方程的常用方法讲解完毕，注意灵活运用和综合提高，在计算的准确度上和选择合适的方法解题上多下功夫．1、配方法的步骤①先把二次项系数化为1：即方程左右两边同时除以二次项系数； ②移项：把常数项移到方程右边；③配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方，把原方程化成2()x m n +=的形式； ④当0n ≥时，用直接开平方的方法解变形后的方程．一般一元二次方程的解法及韦达定理知识结构模块一：一般一元二次方程的解法知识精讲内容分析2、求根公式法的一般步骤①把一元二次方程化成一般形式20ax bx c ++=（0a ≠）； ②确定a 、b 、c 的值；③求出24b ac -的值（或代数式）；若240b ac -≥，则把a 、b 、c 及24b ac -的值代入求根公式242b b ac x a-±-=，求出1x 、2x ；若240b ac -<，则方程无解．【例1】 填空：（1）221_______(____)2x x x -+=-；（2）221_______(_____)25x x -+=-； （3）22_______(____)bx x x a-+=-； （4）22224_______(2_____)b x x a-+=-．【答案】116，14；25x ，15；224b a ，2b a ；4b a x ，b a ．【解析】通过公式()2222a ab b a b ±+=±进行解答． 【总结】本题考查通过公式()2222a ab b a b ±+=±进行配方．【例2】 如果24x ax ++是一个完全平方式，那么a 的值可以是（）A ．2B ．2-C ．2或2-D ．都不对【答案】D【解析】通过公式()2222a ab b a b ±+=±进行解答，根据完全平方有和的平方，差的平方两种，所以有两种情况，并且中间一项是积的2倍．【总结】本题考查通过公式()2222a ab b a b ±+=±进行配方，要考虑两种情形．【例3】 若0m <且2x =时，等式2270x mx m -+-=成立，则m 值为________． 【答案】1-．例题解析【解析】当2x =时，可得2230m m --=，得13m =，21m =-，因为0m <，则1m =-． 【总结】本题考查一元二次方程的解及其应用．【例4】 如果一元二次方程有一个根为1，那么这个方程可以是__________． 【答案】2430x x -+=等．【解析】一元二次方程根为1，则必有()200ax bx c a ++=≠中，0a b c ++=．【总结】一元二次方程()200ax bx c a ++=≠中，当0a b c ++=时，1x =；当0a b c -+=时， 1x =-；当0c =时，0x =．【例5】 解下列方程(配方法)：（1）2340x x +-=；（2）20.040.410x x ++=； （3）22240x mx m ++=；（4）20(0)ax bx c a ++=≠．【答案】（1）124,1x x =-=；（2）125x x ==-；（3）12,x x =； （4）略．【解析】（1）对原方程配方，得：232524x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则3522x +=±，得14x x ==-或，所以原方程的根为：1214x x ==-，；（2）对原方程配方，得：()250x +=，得5x =-，所以原方程的根为：125x x ==-；（3）对原方程配方，得：()222m x m +=，则x m +=，所以原方程的根为：12x x ==，； （4）由20 (0)ax bx c a ++=≠，得20 b c x x a a++=，配方得：2222244b b c b x x a a a a ++=-+，即2224()24b b acx a a -+=，①当240b ac ->时，解得：x =；②当240b ac -=时，解得：2bx a=-； ③当240b ac -<时，解得：x 无实根．综上，①当240b ac ->时，解得：1x =，2x =②当240b ac -=时，解得：122b x x a==-； ③当240b ac -<时，解得：x 无实根．【总结】本题主要考查用配方法求解一元二次方程的根．【例6】 解下列方程（求根公式法）：（1）22(1)x x =-；（2）20.20.11x x -=；（3）21)0x x +++；（4）22220x mx m n -+-=．【答案】（1）原方程无解；（2）122.52x x ==-，；（3）1213x x =-=-- （4）12x m n x m n =+=-，．【解析】（1）2220x x -+=，122a b c ==-=，，，得：2440b ac -=-<，所以方程无解； （2）20.20.110x x --=，0.20.11a b c ==-=-，，，得：240.81b ac -=，则0.10.90.4x ±==，所以原方程的根122.52x x ==-，；（3）)121a b c ===，，2416b ac -=，得：x所以原方程的根1213x x ==-（4）2212a b m c m n ==-=-，，，得2244b ac n -=，得：x =，所以原方程的根12x m n x m n =+=-，．【总结】本题主要考查用求根公式法求解一元二次方程的根．【例7】 解下列关于x 的方程（用适当的方法）：（1）20(0)mx nx p m --=≠；（2）(5)(3)(6)145x x x x --++=．【答案】（1）略；（2）12x x ==（1）a m b n c p ==-=-，，，得：2244b ac n mp -=+，①当240n mp +≥时，解得：x =②当240n mp +<时，解得：x 无实根．综上，①当240n mp +≥时，解得：12x x = ②当240n mp +<时，解得：x 无实根．（2）2650x x --=，1165a b c ==-=-，，，得：24261b ac -=，所以原方程的根为12x x =． 【总结】本题主要考查用求根公式法求解一元二次方程的根．【例8】 用指定的方法解下列方程： （1）2123x x -=（配方法）；（2）()232175x -=（开平方）；（3）2(1(1x x =+（因式分解）； （4）231270x x ++=（公式法）．【答案】（1）1266x x ==；（2）1232x x ==-，；（3）1203x x ==-，；（4）12x x ==．【解析】（1）对原方程配方，得：()2639x -=，所以6x -=所以原方程的解为：1266x x ==；（2）开平方，得：215x -=±，所以原方程的解为：1232x x ==-，；（3）((2110x x -+=，((110x x ⎡⎤-=⎣⎦，所以原方程的解为：1203x x ==-，；（4）∵3127a b c ===，，，∴2460b ac -=，∴x ==所以原方程的根为12x x =【总结】本题主要考查用适当方法求解一元二次方程的根．【例9】 已知：202(21)22x x x x ++=--，求x 的值． 【答案】3x =【解析】由题知2210x x ++≠得1x ≠-，由2221x x --=得123,1x x ==-，所以3x =． 【总结】本题主要考查()010a a =≠，且考查求解一元二次方程的根．【例10】 x 为何值时，代数式22102191x x x -++的值等于零．【答案】123325x x ==，．【解析】由题知2102190x x -+=，得()()23530x x --=，得：123325x x ==，．【总结】本题主要考查分式为零且考查求解一元二次方程的根．【例11】 阅读下面的例题：解方程2||20x x --=解：当0x ≥时，原方程化为220x x --=，解得：1221x x ==-，（舍） 当0x <时，原方程化为220x x +-=，解得：1221x x =-=，（舍） ∴原方程的根是1222x x ==-， 请参照例题解方程2|1|10x x ---=． 【答案】1212x x ==-，．【解析】当10x -≥，即1x ≥时，原方程化为20x x -=，解得：()1201x x ==舍，； 当10x -<，即1x <时，原方程化为220x x +-=，解得：()1221x x =-=，舍； 所以原方程的根为1212x x ==-，．【总结】本题考查绝对值方程及一元二次方程的解法．【例12】 解下列关于x 的方程方程：（1）22(2)(3)0kx k x k +-+-=； （2）(5)(3)(2)(4)49x x x x -++-+=；（3）2222(3)230x a b x a ab b +--+-=．【答案】（1）略；（2）1266x x ==-，；（3）1222a bx b a x -=-=，． 【解析】（1） ①当0k =时，原方程化为：430x --=，解得：34x =-；②当0k ≠时，方程是一元二次方程，()223a k b k c k ==-=-，，，得：24416b ac k -=-+，1若4160k -+>，即4k <时，()()2222k k x k k--±--±==，2若，4160k -+=即4k =时，()122k x x k--==，3若4160k -+<，即4k >时，x 无实根．综上， ①当0k =时，34x =-；②当0k ≠时，若4k <时，()()1222k k x x k k ----==；若4k =时，122k x x k-+==；若4k >时，x 无实根．（2）原方程化为一般式，得：22720x -=，所以6x =±，故1266x x ==-，；（3）原方程可化为()()220x a b x a b +---=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，得：1222a bx b a x -=-=，． 【总结】本题考查一元二次方程的解法，注意对含字母系数的方程的分类讨论．【例13】 已知：2212231447y x x y x x =-+=++，，求x 为何值时，12y y =．【答案】12322x x =-=-，．【解析】由12y y =，得：22231447x x x x -+=++，整理得：22760x x ++=，分解因式，得：()()2230x x ++=，所以12322x x =-=-，．【总结】本题考查一元二次方程的解法．【例14】 解关于x 的一元二次方程24(3)x x mx -=-，其中m 是满足不等式310320m m +>⎧⎨->⎩的整数．【答案】1241x x =-=，．【解析】由310320m m +>⎧⎨->⎩，得1332m -<<，又由于24(3)x x mx -=-，整理得：()21340m x x -+-=，它是一元二次方程，得1m ≠，又m 是整数，所以0m =， 即一元二次方程为2340x x +-=，解得1241x x =-=，． 【总结】本题考查一元二次方程及不等式组的解法及其应用．【例15】 求关于x 的方程：225582220x y xy y x +++-+=的实数解． 【答案】1x =．【解析】由225582220x y xy y x +++-+=，得()()()22222110x y x y ++-++=，得：1x =． 【总结】本题考查一元二次方程的解法及用配方法解方程．【例16】已知152a b c +-=-，求a b c ++的值．【答案】20．【解析】由152a b c +--，得：)))222112302++=，所以102030-===，解得：2612a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩， 所以20a b c ++=．【总结】本题考查一元二次方程的解法及用配方法解方程．【例17】 已知a b c ，，是有理数，试证明关于x 的方程： 2222220x ax a b c bc -+--+=的根也是有理数． 【答案】略．【解析】由2222220x ax a b c bc -+--+=，可得：()()220x a b c ---=，所以12x a b c x a b c =+-=-+，，由于a b c ，，是有理数， 所以a b c a b c +--+、也是有理数，所以即证． 【总结】本题考查一元二次方程的解法的应用．【例18】 已知关于x 的方程：224(1)3240x m x m m k --+-+=，当m 取任意有理数 时，方程的根都是有理数，求k 的值或者是k 的取值范围．【答案】54k =-．【解析】解：()2141324a b m c m m k ==--=-+，，， 得()()22241614324b ac m m m k =-=---+24241616m m k =-+-， 当m 取任意有理数时，方程的根都是有理数，∴24b ac -是完全平方式，∴161636k -=，∴54k =-．【总结】本题综合性较强，主要考查学生对方程的根是有理数的理解．韦达定理：如果12x x ，是一元二次方程 20(0)ax bx c a -+=≠的两个根,由解方程中的公式法得, 22124422b b ac b b acx x a a-+----==，． 那么可推得1212b cx x x x a a +=-⋅=，这是一元二次方程根与系数的关系．【例19】 若方程2(1)0x m x m -++=有解，利用适当的方法解这两个根，分别是___________________________；若这两个根互为相反数则m 的值是_______________；若两个根互为倒数，则m 的值是_______________． 【答案】121x m x ==，；1-；1．【解析】利用十字相乘法因式分解得到方程的两根，后依据相反数和倒数的概念得出相应m例题解析知识精讲模块二：韦达定理的值．【总结】本题考查一元二次方程的解法．【例20】 如果1x ，2x 是方程22360x x +-=的两个根，那么12x x +=_____________；12x x ⋅=_______________．【答案】32-；3-．【解析】由韦达定理，可得：1232x x +=-，123x x =-．【总结】本题考查韦达定理12b x x a +=-，12cx x a =的应用．【例21】 若方程：2980kx x -+=的一个根为1x =，则k =________；另一个根为________． 【答案】1；8x =．【解析】将1x =代入方程，可得：1k =，再由韦达定理可得：128x x =，得另一根为8x =．【总结】本题考查韦达定理12b x x a +=-，12cx x a =的应用．【例22】 ．【答案】2102x +=．【解析】由12bx x a +==-，1212c x x a ==，可得方程为：2102x +=． 【总结】本题考查韦达定理12b x x a +=-，12cx x a=的应用．【例23】 是关于x 的方程210(0)ax bx a ++=≠的两根，求b 的值． 【答案】1-．【解析】由韦达定理，得：121bx x a+==-=-，121cx x a=-=，而1c =，所以得：1a =-，代入可得：1b =-． 【总结】本题考查韦达定理12b x x a +=-，12cx x a=的应用．【例24】 已知12x x ，是方程2133022x x --=的两根，求下列各式的值：（1）1211x x +；（2）2212x x -；（3）2212x x +；（4）12||x x -．【答案】（1）2-；（2）-或3）42；（4）． 【解析】解：由韦达定理，得：126x x +=，123x x =-．（1）原式=12122x x x x +=-； （2）原式()()()1212126x x x x x x =+-=-=±6=±=±•=±（3）原式=()21212242x x x x +-=； （4）原式12x x -．【总结】本题考查韦达定理12b x x a +=-，12cx x a =的灵活应用．【例25】 已知一个直角三角形的两个直角边的长恰好是方程：22870x x -+=两个根，求这个直角三角形的周长． 【答案】7．【解析】解：设直角三角形的三边长为a ，b ，c ，且c 是斜边长，由题知，4a b +=，72ab =， 由勾股定理，可得：222c a b =+，所以3c =，所以直角三角形的周长7a b c ++=．【总结】本题考查韦达定理12b x x a +=-，12cx x a =的灵活应用，并且考查了直角三角形的性质，即勾股定理的应用．【例26】 已知方程：240x x a -+=的一个根大于3，另一个根小于3，求a 的取值范围． 【答案】3a <．【解析】解：设方程的两根为1x ，2x ，由13x >，23x <，可得：()()12330x x --<，即()1212390x x x x -++<，而由韦达定理可得124x x +=，12x x a =， 所以3490a -⨯+<，即3a <．【总结】本题考查韦达定理12b x x a +=-，12cx x a =的灵活应用．【例27】 已知2212510520.1m m n n mn n m--=+-=≠+，，求的值． 【答案】5-．【解析】由22510m m --=，可得：25120m m --=，整理得：21520m m+-=， 又由于2520n n +-=，所以可知1m、n 是方程2520x x +-=的两根， 由韦达定理，可得：15n m+=-． 【总结】本题考查韦达定理12b x x a +=-，12cx x a =的灵活应用，而且还考查了一元二次方程的根的灵活应用，要注意观察．【例28】 已知αβ，是方程：2240x x --=的两根，求代数式3+8+6αβ的值． 【答案】30．【解析】由题及韦达定理可得：2240αα--=，2αβ+=，得：224αα=+． 3+8+6αβ=286ααβ⋅++=()2486ααβ+++=22486ααβ+++ =()224486ααβ++++=()81430αβ++=．【总结】本题考查韦达定理12b x x a +=-，12cx x a =的灵活应用，运用了降次等的思想方法．【习题1】 完成下列填空：（1）2222_____(__)x x x -+=-； （2）2(2_____)______________1y -=+； （3）223_______93(____)x x ++=+．【答案】（1）2，2；（2）1，244y y -；（3）63x ，3． 【解析】略【总结】本题考查了完全平方式的应用．【习题2】 完成下列填空： （1） 对于方程232x x =，用____________法解比较好，其根为______________； （2） 对方程2(21)4x -=，用____________法解比较好，其根为______________； （3）对方程22360x x --=，用___________法解比较好，其根为_______________．【答案】（1）因式分解，12203x x ==，；（2）直接开平方，121322x x =-=，； （3）公式法，1235735744x x +-==，． 【解析】略【总结】本题考查了一元二次方程的解法，要灵活运用．【习题3】 已知2+20x ax a +-=的两根互为倒数，则a 的值为________． 【答案】3．【解析】由韦达定理得，121x x =，即21a -=，得：3a =． 【总结】本题考查了韦达定理的应用．【习题4】 用指定的方法解下列方程：（1）20(0)ax bx a -=≠（因式分解）；（2）2249610()x a a a -+-=为已知数（直接开平方）；随堂检测（3）25690x x +-=（配方法）；（4）2340x -=（求根公式）．【答案】（1）120b x x a ==，；（2）12311322a ax x --==，；（3）12x x =；（4）12x x ==【解析】（1）由题知()0x ax b -=，所以原方程的解为：120bx x a==，；（2）原方程可变形为：()()22231x a =-，得()231231x a x a =--=-或，所以原方程的解为：12311322a ax x --==，；（3）26955x x +=，22263935555x x ⎛⎫⎛⎫++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2354525x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，35x +=，所以原方程的解为：12x x ==；（4）由题知23,4,450a b c b ac ===--=，得：x =，所以原方程的解为：12x x == 【总结】本题考查一元二次方程的解法，要能灵活应用简便方法解方程．【习题5】 用适当的方法解下列方程：（1）21x x -=；（2）22(23)3(23)0x x ---=；（3）2320x -+=； （4）2(35)5(35)40x x +-++=．【答案】（1）12x x =；（2）123924x x ==，；（3）12x x =（4）124133x x =-=-，．【解析】（1）由题知211145a b c b ac ==-=-=-=，，， 所以，所以原方程的解为：12x x ==； （2）由题知()()2322330x x ---=⎡⎤⎣⎦，()()23490x x --=，所以原方程的解为：123924x x ==，；（3）由题知)220-+=，得：20=，所以原方程的解为：12x x ==（4）由题知()()3513540x x +-+-=，得：()()34310x x ++=，所以原方程的解为：124133x x =-=-，．【总结】本题考查一元二次方程的解法，要能灵活应用简便方法解方程．【习题6】 解关于x 方程：（1）2221x ax a -+=； （2）20x px q -+=． 【答案】（1）1211x a x a =+=-，；（2）略．【解析】（1）()21x a -=，1x a -=±，所以1211x a x a =+=-，；（2）由20x px q -+=，配方得：22222p p x px q ⎛⎫⎛⎫-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得：22424p p q x -⎛⎫-= ⎪⎝⎭ ．①当240p q ->时，解得：x =②当240p q -=时，解得：122p x x ==； ③当240p q -<时，原方程无实数根．综上， ①当240p q ->时，解得：12x x ==； ②当240p q -=时，解得：122p x x ==-； ③当240p q -<时，原方程无实数根．【总结】本题主要考查用配方法求解一元二次方程的根，注意对含字母系数的方程的分类讨论．【习题7】 如果2296(1)5x n x n -+++是一个完全平方式，求n 的值． 【答案】2．【解析】令2296(1)5x n x n -+++=0，则()29615a b n c n ==-+=+，，， 得：()()222436136572144b ac n n n -=+-+=-， 因为2296(1)5x n x n -+++是一个完全平方式，所以240b ac -=，即721440n -=，所以2n =．【总结】本题考查一元二次方程240b ac -=时，代数式()20ax bx c a ++≠是完全平方式．【习题8】 用配方法说明：不论x 为何值，代数式257x x -+的值总大于0，再求出当x 为何值时，代数式257x x -+有最小值，最小值是多少？ 【答案】略．【解析】22222555357572224x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+=-++-=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，对于任意的x ，都有2502x ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭，所以2533244x ⎛⎫-+≥ ⎪⎝⎭，即253024x ⎛⎫-+> ⎪⎝⎭，所以257x x -+的值总大于0；当52x =时，代数式257x x -+有最小值，且最小值为34． 【总结】本题考查用配方法解决一些最大值最小值问题，是后面学习二次函数最大值最小值的基础．【习题9】 已知关于x 的方程2(1)(21)30()m x m x m m -+-+-=为实数有两根12x x ，，其中1200x x ><，且12||||x x >，求m 的取值范围．【答案】112m <<． 【解析】因为方程有两根，所以10m -≠，即1m ≠；由韦达定理，可得：12121mx x m -+=-， 1231mx x m -=-，因为1200x x ><，且12||||x x >，所以120x x +>，120x x <， 即1230011m m m m --><--且，解得：112m <<． 【总结】本题考查韦达定理的应用和一元二次方程的概念以及解不等式的应用．【习题10】 解方程||3||20x x x -+=．【答案】1212x x ==，，3x =． 【解析】由题知：0x ≠，分两种情况讨论：（1）当0x >时，原方程转化为2320x x -+=，解得：1212x x ==，，都符合；（2）当0x <时，原方程转化为2320x x --=，解得()120x x =>=舍，．综上，原方程的根为1212x x ==，，3x ． 【总结】本题结合一元二次方程和绝对值方程，分类讨论解方程．【习题11】 已知关于x 的方程2(1)0k x px k --+=有两个正整数根，求整数k 和p 的值． 【答案】23k p ==，．【解析】设12x x 、是原方程的两根，因为12x x 、是正整数根，所以121200x x x x +>>，且都是正整数，由韦达定理，得：121211p k x x x x k k +==--，，所以1k k -是正整数， 所以111111k k k -+=+--是正整数，即11k -是正整数，所以2k =， 代入原方程可得：220x px -+=，方程的两根为1212x x ==，，所以3p =． 【总结】本题考查韦达定理的灵活应用，结合正整数根，题目较综合．【习题12】 已知实数a b ≠，且满足2(1)33(1)a a +=-+，23(1)3(1)b b +=-+，求 【答案】23-．【解析】因为a 、b 是方程()()21331x x +=-+，即2510x x ++=的两根， 所以由韦达定理，可得：51a b ab +=-=，，所以00a b <<，．所以2b a a b ⎛--=-+= ⎝ 代入可得：原式=23-．【总结】本题考查韦达定理12b x x a +=-，12cx x a =的灵活应用，而且还考查了一元二次方程的根的灵活应用，要注意观察，另外化简二次根式时注意符号的变化．【作业1】 已知代数式239x x m -+是一个完全平方式，则m =_____________．【答案】274．【解析】因为代数式是一个完全平方式，所以2481120b ac m -=-=，解得：274m =． 【总结】本题考查了完全平方式的知识，可用配方法，也可用根的判别式来解决问题．【作业2】 以下说法正确的有几个：（1）方程20x =，有两个根；（2）方程24x x =两边同除以x ，解得方程的解为4x =；（3）因为一个数的平方不可能是负数，所以方程21()2x x -=-无解；（4）对于方程22(1)(3)x x -=+，因为无论x 取何值，1x -和3x +都不可能相等，所以方程无解．【答案】只有（1）正确．【解析】（1）120x x ==；（2）方程的解为1240x x ==，；（3）方程化简整理，得：214x =-，虽然此方程无解，但是题目中给出的原因是错误的；（4）原方程可化为1313x x x x -=+-=-+或（），所以方程有解． 【总结】本题考查了一元二次方程的解法及根的情况．课后作业【作业3】 如果12x x ，是方程25750x x -+=的两根，求下列各式的值： （1）1211x x +；（2）2212x x +． 【答案】（1）75；（2）125-．【解析】由韦达定理得1212715x x x x +==，．（1）原式=121275x x x x +=；（2）原式=()212121225x x x x +-=-．【总结】本题考查了韦达定理的应用．【作业4】 用适当的方法解下列方程：（1）249x =；（2）23210x x -=； （3）22350x x --=； （4）2(4)5(4)x x -=-； （5）23420x x --=；（6）2(1)5(1)40y y -+-+=．【答案】（1）1277x x ==-，；（2）1270x x ==，；（3）12512x x =-=，；（4）1249x x ==，；（5）12x x =6）1203y y ==-，． 【解析】（1）直接开平方，得：1277x x ==-，；（2）由题知()3210x x -=，得：1270x x ==，； （3）由题知()()1250x x +-=，得：12512x x =-=，； （4）由题知()()490x x --=，得：1249x x ==，；（5）由题知2342440a b c b ac ==-=--=，，，则，得：12x x ==； （6）由题知()30y y +=，得：1203y y ==-，．【总结】本题考查一元二次方程的解法，要能灵活应用简便方法解方程．【作业5】 用适当的方法解下列方程：（1）224(2)(31)0x x ---=；（2）2(31)3(31)20x x ---+=；（320-=； （4）212205250x x --=．【答案】（1）1213x x ==-，；（2）12213x x ==，；（3）12x x =（4）12153526x x ==-，．【解析】（1）因式分解得：()()()()223122310x x x x -+----=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，即()()5530x x ---=， 所以原方程的解为：1213x x ==-，；（2）由题知()()32330x x --=，所以原方程的解为：12213x x ==，；（3）由题知2450a b c b ac ===--=则，得x =，所以原方程的解为：12x x ==（4）由题知()()2156350x x -+=，所以原方程的解为：12153526x x ==-，． 【总结】本题考查一元二次方程的解法，要能灵活应用简便方法解方程．【作业6】 用适当的方法解下列关于x 方程：（1）22+21()x ax a a +=为已知常数；（2）2220()x ax a a +-=为已知常数； （3）22320()x xb b b --+=为已知常数．【答案】（1）1211x a x a =-=--，；（2）122x a x a ==-，；（3）1223bx b x =-=，． 【解析】（1）由题得：()21x a +=，所以1x a +=±，所以原方程的解为：1211x a x a =-=--，； （2）因式分解，得：()()20x a x a -+=，所以原方程的解为：122x a x a ==-，； （3）因式分解，得：()()320x b x b +-=，所以原方程的解为：1223bx b x =-=，． 【总结】本题考查一元二次方程的解法，要能灵活应用简便方法解方程．【作业7】 若2+317=0x x αβ-，是方程的两个根，求2+2ααβ-的值． 【答案】20．【解析】由韦达定理，得：317αβαβ+=-=-，． 原式=()()231717320αααβαβ+--=-+=--=． 【总结】本题考查了韦达定理的应用以及整体代入思想的运用．【作业8】 已知关于x 的方程2(1)31(1)x m mx x mx -+=+-（）（）有一个根是0，求另一个根及m 的值．【答案】另一根为1x =，m 的值1-．【解析】原方程可整理为()()110mx x m +---=，得：1211x x m m=-=--，．因为10m-≠，所以10m --=，解得：1m =-，代入可得方程的另一根为1x =． 【总结】本题考查了因式分解法解一元二次方程，并考查了分式的意义．【作业9】 已知22620(0)mm mn n n n--=≠，求的值． 【答案】1223-或．【解析】由0n ≠可将原方程化简为：2620m mn n ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，令m x n =，可得：()()21320x x +-=，解得：121223x x =-=，，即121223m m n n ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，． 【总结】本题考查一元二次方程的应用，合理利用可节省解题时间．【作业10】 解关于x 的方程25||30x x --=．【答案】12x x == 【解析】原方程可变为2530x x --=，由题知2513461a b c b ac ==-=--=，，，则，得x =，所以x，得：12x x == 【总结】本题考查一元二次方程的解法，还有绝对值方程的解法．【作业11】 已知方程22120x x --=的两根是αβ，，设1=+C αβ，222=+C αβ，．．．，=+n n n C αβ（n 是正整数）．（1） 求3C 的值；（2） 求证：11=2C 12n n n C C +-+ ． 【答案】（1）80；（2）略．【解析】由题知：212αβαβ+==-，．（1）()()33223212212C αβααββααββ=+=+=+++()222212αβαβ=+++()()22212αβαβαβ⎡⎤=+-++⎣⎦()222212122⎡⎤=-⨯-+⨯⎣⎦80=；（2）()11122n n n n n n C C αβαβ+++-=+-+()2121112n n n n ααββααββ----=+-+ ()()212122n n αααβββ--=-+-111121212n n n C αβ---=+=，得证． 【总结】本题考查了一元二次方程的根与一元二次方程之间的关系，要灵活应用，并要掌握降次的方法．。
沪教版八年级数学-一元二次方程的应用2教师
一元二次方程根的应用2知识精要1、一元二次方程的解法：（1）直接开平方法；（2）因式分解（3）配方法；（4）公式法；一元二次方程的求根公式是()042422≥--±-=ac b aac b b x2、一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的根的判别式ac b 42-=∆．当0>∆时，•方程有两个不相等的实数根a ac b b x 2421-+-= ，aacb b x 2422---=；当0=∆时，方程有两个相等实数根ab x x 221-==； 当0<∆时，方程没有实数根． 3、二次三项式的因式分解：（1）形如c bx ax ++2（a ，b ，c 都不为0）的多项式称为二次三项式。
（2）当042≥-=∆ac b ，先用公式法求出方程()002≠=++a c bx ax 的两个实数根1x 、2x ，再写出分解式()()212x x x x a c bx ax --=++．当042<-=∆ac b ，方程()002≠=++a c bx ax 没有实数根，c bx ax ++2在实数范围内不能分解因式。
4、一元二次方程的应用列一元二次方程解应用问题的步骤和解法与前面讲过的列方程解应用题的方法步骤相同，但在解题中心须注意所求出的方程的解一定要使实际问题有意义，凡不满足实际问题的解（虽然是原方程的解）一定要舍去．列一元一次方程解应用题的步骤： ○1审题，②设出未知数. ③找等量关系. ④列方程， ⑤解方程， ⑥答.精解名题：例1如图，在宽为20m ，长为32m 的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为2540m ，求道路的宽．（部分参考数据：2321024=，2522704=，2482304=） 【分析】此题有两种解法，将道路平移我们可以得到以下两个图形，运用零化整的思想方法. 【答案】解法（1）：由题意转化为右图，设道路宽为x 米 根据题意，可列出方程为()()2032540x x --=） 整理得2521000x x -+= 解得150x =（舍去），22x = 答：道路宽为2米解法（2）：由题意转化为右图，设道路宽为x 米，根据题意列方程得：()220322032540x x ⨯-++=整理得：2521000x x -+= 解得：12x =，250x =（舍去） 答：道路宽应是2米例2. 如图所示，在一个长为50米，宽为30米的矩形空地上，建造一个花园，要求花园的面积占整块面积的75％，等宽且互相垂直的两条路的面积占25％，求路的宽度。
沪科版(上海)八年级第一学期第五讲 一元二次方程解法2
第五讲一元二次方程解法2一、一元二次方程解法选取1. 直接开平方法直接开平方法的概念：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法.（1）形如的方程.方程的解是：.当m＝0时，方程有两个相等的实数根.（2）形如的方程.方程的解是：.（3）形如的方程.方程的解是：.总之，如果一元二次方程的一边是未知数的平方或者是含有未知数的代数式的平方，另一边是一个非负数，那么就可以用直接开平方法求解.2. 因式分解法（1）因式分解法的概念：当一元二次方程的一边为0时，将方程的另一边分解成两个一次因式的积，进而分成两个一元一次方程来求解，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法.（2）因式分解法的理论依据是：两个因式的积等于0，则这两个因式至少有一个等于0。
用式子表示为：若，则a＝0或b＝0。
（3）用因式分解法解一元二次方程的步骤是：①将方程化为（a≠0）的形式；②将方程的左边分解为两个一次因式的积；③令每个因式分别等于0，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就是方程的解.点拨：（1）分解因式常用的方法有提公因式法和运用公式法；（2）如果一个二项式，它能够化成两个整式的平方差，就可以用平方差公式分解因式，分解成两个整式的和与差的积；（3）等式的左边都是三项，其中两项符号为“+”，是一个整式的平方，还有一项符号可“+”可“－”，它是那两项乘积的两倍.凡具备这些特点的三项式，就是一个二项式的完全平方式，将它写成平方形式，便实现了因式分解.3. 配方法配方法的含义：把方程的一边化为一个完全平方式，另一边化为非负数，然后利用开平方求解的方法叫做配方法.归纳：用配方法解一元二次方程的一般步骤是：（1）如果一元二次方程的二次项系数不是1，就先在方程的两边同时除以二次项系数，把二次项系数化为1；（2）把含未知数的项移到左边，常数项移到右边；（3）然后在方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方，这样使方程的左边变成一个完全平方式，右边是一个非负数的形式；（4）最后用直接开平方法解这个一元二次方程.4. 公式法（1）二次方程（a≠0）的求根公式为：（），其中公式中的a、b、c分别是一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项.我们用求根公式法求一元二次方程解的方法叫公式法.（2）用公式法解一元二次方程的一般步骤是：①首先把一元二次方程化为一般形式； ②确定公式中a 、b 、c 的值； ③求出的值；④若≥0，则把a 、b 、c 及的值代入求根公式即可求解.当<0时，此时方程无实数解.说明：①求根公式是专指一元二次方程的求根公式，只有方程为一元二次方程时，方可运用求根公式，即中a ≠0.②公式中的“≥0”是公式成立的一个前提条件.例1、解下列方程（1）3)2(2=-x （2）04)12(32=--y （3）0342=-x x2-=3x ± 解：22-1=33y ±解：()4-3=0x x 122+3,=2-3x x 12313122y y ， 123=,=04x x（4）0523212=-+x x （5）4)2)(3(-=-+x x (6)208)52(2+=+x x 解：212+3-10=0=-5,=2x x x x 解：()()212+-2=0+2-1=0=-2,=1x x x x x x 解：()()()()2122+5-42+5=02+52+1=051=-,=-22x x x x x x（7）24)14(10)14(2=+-+x x （8）01532=+--x x （9）07532=+--x x解：()()()()()()2124+1-104+1-24=04+1-124+1+2=04-114+3=0113=,=-44x x x x x x x x 解：12=37-5+37-5+37x x ∆ 解：12=109-5+109-5-109x x ∆练习：解下列一元二次方程：（1）018)32(22=-+x （2） a x =-2)3( （3）01832=++-x x解：()2122+3=92+3=3=0,=-3x x x x ± 解：12<0,0=3+,=3-a a x a x a≥当方程无解当 解：()()212-3-18=0-6+3=0=6,=-3x x x x x x（4）5)1)(3(=-+x x （5）)(4)(22a x a x --=- （6）02142=--x x解：()()212+2-8=0+4-2=0=-4,=2x x x x x x 解：()()()()2122-+4-=02--+2=0=,=-2x a x a x a x a x a x a 解：()()12-6+3=0=6,=-3x x x x（7）05342=--x x （8）x x =-162解：123+893-89==88x x ， 解：()()212116--1=02-13+1=0=,=-23x x x x x x ⇒⇒二、根的判别式求根公式：x =，当2-4b ac >024b ac -以一元一次方程的1x 24b b ac -+-2x 24b b ac ---，即有两个不相等的实根．当2-4b ac =0时，24b ac -，所以1x =2x =2b a-，即有两个相等的实根；当2-4b ac <0时，根据平方根的意义，负数没有平方根，所以没有实数解．因此，（结论）我们把2-4b ac 叫做一元二次方程()2++=00ax bx c a ≠的根的判别式，记作2=-4b ac ∆；利用根的判别式判断一元二次方程根的情况：（1）当∆>0时，一元二次方程()2++=00ax bx c a ≠有两个不相等实数根即1x =242b b ac a-+-，2x =242b b ac a--．（2）当∆=0时，一元二次方程()2++=00ax bx c a ≠有两个相等实数根即1x =2x =2b a-． （3）当∆<0时，一元二次方程()2++=00ax bx c a ≠没有实数根． 利用一元二次方程根的情况来判断根的判别式的符号： 当方程有两个不相等的实数根时，∆>0； 当方程有两个不相等的实数根时，∆=0； 当方程有两个不相等的实数根时，∆<0； 例1、不解方程，判定方程根的情况（1）216+8=-3x x 2）()2-4=5-8x x x （3）22+5=3x x （4）(2-1+23+3+4=0x x解：=-124∆ 解：=56∆ 解：=49∆ 解：=-3∆（5）当<0c 时，判别方程2++=0x bx c 的根的情况．解：2=-4>0b c ∆，方程有两个不相等的实数根。
沪科版八年级数学一元二次方程专题复习
专题一：一元二次方程知识要点扫描归纳一 基本概念二、一元二次方程的解法 1．直接开方法（1）用直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法.如果一个一元二次方程，左边是一个含有未知数的完全平方式，右边是一个非负数，就可以用直接开平方法求解. 2．配方法（1）用配方法解方程是以配方为手段，以直接开平方法为基础的一种解题方法.是中学数学中常用的数学方法.（2）配方的关键步骤是：在方程两边同时加上一次项系数的绝对值一半的平方.理论根据是：222)(2b a b ab a ±=+±（3）配方的结果是使方程的一边化为一个完全平方式，另一边为非负实数，再利用直接开平方法求解. 3．公式法（1）用求根公式解一元二次方程的方法叫求根公式法.（2）一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 求根公式是：aac b b x 242-±-=（3）在解一元二次方程时，先把方程化为一般开式，确定c b a ,,的值，在042≥-ac b 的情况下：代入求根公式即可求解. 4.因式分解法1． 对于在一元二次方程的一边是0，而另一边易于分解成两个一次因式的积时，可用因式分解法来解这个方程。
2． 理论依据：两个因式的积等于零，那么这两个因式中至少有一个等于零。
例如：如果0)5)(1(=+-x x ，那么x －1=0或x ＋5=0。
因式分解法简便易行，是解一元二次方程的最常用的方法。
3． 因式分解法解一元二次方程的一般步骤 （1）将方程的右边化为零；（2）将方程左边分解成两个一次因式的乘积； （3）令每个因式分别为零，得两个一元一次方程； （4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。
4．形如()002≠=+a bx ax 的方程，可用提公因式法求方程的根：()0021≠-==a abx x ，。
5．形如()()022=+-+n bx m ax )(22b a ≠的方程，可用平方差公式把左边分解。
沪教版（上海）一元二次方程的解法 教案
17.2（2）一元二次方程的解法一、教学设计思路：1、教材分析：一元二次方程的解法是沪教版数学八年级上学期的内容，这节课是其中的因式分解法解一元二次方程。
在整个初中阶段的代数教学中解一元二次方程有着重要的地位，而因式分解法又是在后续中考解题中应用最多、最广泛的一种方法。
这节课不仅有着承前启后的作用，也是培养学生概括总结能力的良好载体。
2、学情分析：学生在之前的课程中已经学习过了一元一次方程以及二元、三元一次方程（组），前两节课也学习了二元一次方程和开平方法解一元二次方程，具备了方程的初步知识。
本节课继续研究因式分解法解一元二次方程，是解方程方法的进一步扩充，也是后续其他一元二次方程解法的一个过渡。
我所任教的班级在年级中成绩较好，基础知识过硬。
班级学生上课也比较活跃，学生乐意在上课的时候表达自己的意见和想法。
但是有个别学生与整体差距较大，需要在课堂中进行更多的关注。
3、教学策略：我希望在教学中可以充分利用优势，调动课堂氛围的同时，鼓励同学，让他们更多的进行抽象的总结性归纳，同时为了照顾部分后进生，又可以用简单易懂的例子将结论进行呈现。
所以本节课首先利用复习初一时学习过的因式分解，为本节课运用因式分解法解一元二次方程做铺垫。
通过两道题目，让学生尝试进行归纳和总结，在遇到两个因式相乘等于0的方程时，可以让其中一个因式的值为0来解决问题，得到方程的两个解.最后指出，实际上这几个方程都是我们所学的一元二次方程，从而引出我们的因式分解法解一元二次方程。
将复习引入中的多项式因式分解变成了解一元二次方程，引导学生使用因式分解的方法将解一元二次方程转化成解两个一元一次方程，利用原有的知识解决新的问题，体验化归的思想，同时得到新的概念。
同时在后续例题和讲解中针对不同题型进行强化，并进一步进行归纳整理和总结。
二、教学目标及重难点：教学目标：1、知识与技能：复习因式分解的概念，会用因式分解的方法解简单数字系数的一元二次方程.2、过程与方法：在探索、讨论、总结与归纳的过程中，让学生体验化归的数学思想，即通过因式分解法实现降次目的，将一元二次方程转化成两个一元一次方程进行求解.3、情感态度价值观：养成学生仔细观察、认真审题的好习惯，提高学生概括总结的能力.教学重点：运用因式分解法解一元二次方程．教学难点：灵活运用因式分解的方法把一元二次方程化为两个一次因式的积等于零的形式.三、教学过程（一）、复习引入1、分解因式：（1）24x x +=（2）21415x x +-=设计说明：通过两道简单题目复习初一时学习过的因式分解，为本节课运用因式分解法解一元二次方程做铺垫.2、整式的乘法：当0=•B A 时，必有 ；当 时，必有0=•B A .设计说明：复习两个因式乘积为0的情况，即如果两个因式的乘积等于0，那么这两个因式中至少有一个是0，反过来，如果两个因式中至少有一个是0，那么这两个数的乘积也是0，强调这里需满足的条件是“或者”，两因式同时为0是满足条件的，但只是一个特殊情况.3、口答下列关于x 的方程的解：（1）()40x x += （2）()()1+15=0x x -（3）()()0x a x b -+= （4）()(5120x x +-=4、求符合下列条件的一元二次方程:两根为-3和6，且二次项系数为1.设计说明：通过前面两道题目，让学生尝试进行归纳和总结，在遇到两个因式相乘等于0的方程时，可以让其中一个因式的值为0来解决问题，得到方程的两个解.最后指出，实际上这几个方程都是我们所学的一元二次方程，从而引出我们的因式分解法解一元二次方程.（二）、新课学习知识点一： 因式分解法的概念5、解下列方程：（1）240x x +=（2）x 2+4x =−4（3）x 2+4x =21设计说明：问题一实际上就是将复习引入中的多项式因式分解变成了解一元二次方程，引导学生使用因式分解的方法将解一元二次方程转化成解两个一元一次方程，利用原有的知识解决新的问题，体验化归的思想，同时得到新的概念.问题二和问题三与问题一形似，但是分别涉及到公式法和十字相乘法的因式分解.此处主要为了呈现概念，不必过多纠结方法，但是需要强调解题格式，规范书写。
沪教版八年级数学-一元二次方程的解法因式分解教师版
一元二次方程的解法因式分解知识精要 1. 十字相乘一般地，))(()(2q x p x pq x q p x ++=+++十字相乘法的关键：把常数项分解成两个数的乘积，并且满足这两个数相加等于一次项系数；（口诀：首尾分解，交叉相乘，求和凑中）2．因式分解法解一元二次方程：通过因式分解使一元二次方程化为两个一次式的乘积等于零的形式，再使两个一次式分别 等于0，这种解法，叫做因式分解法。
一般步骤：（1） 将方程右边化为0（2） 将方程左边的二次三项式分解为两个一元一次方程 （3） 令每一个因式分别为0，得到两个一元一次方程 （4） 分别解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解 精解名题 例1解方程： （1）0232=+x x ； （2）x x 232=； （3）280x x +=； （4）2540x x -=. 【答案】（1）30,2x x ==-；（2）20,3x x ==；（3）0,8x x ==-；（4）40,5x x ==. 例2解方程：（1）2320x x -+=； （2）22480x x +-=； （3）23540x x --=； （4）25500x x +-=；【答案】（1）2,1x x ==；（2）6,8x x ==-；（3）6,9x x =-=；（4）5,10x x ==-例3. 用因式分解法解方程：（1）022=+x x （2）x x 1142=（3）()4222-=-x x （4）2(3)4(3)0x x x -+-=解：（1）2x 2+x=x （2x+1） ∴x=0或2x+1=0， ∴x 1=0，x 2=-12． （2）移项，得：4x 2-11x=0 因式分解，得：x （4x-11）=0 于是，得：x=0或4x-11=0 ∴x 1=0，x 2=114(3) 移项，得（x-2）2-2x+4=0 （x-2）2-2（x-2）=0因式分解，得：（x-2）（x-2-2）=0 得x-2=0或x-4=0 ∴x 1=2，x 2=4 (4) (3)(34)0x x x --+= (3)(53)0x x --=30x -=或530x -= 12335x x ==，例4.用十字相乘法解下列方程(1) 027122=++x x (2) 0562=+-x x(3) 0453142=--x x (4) 0242232=-+-x x(5) 012132=+-x x (6) 07432=-+x x(7) 04432=+--x x (8) 01872=--x x例5．将4个数a b c d ，，，排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成a bc d，定义a b c d ad bc =-，上述记号就叫做2阶行列式．若1111x x x x +--+ 6=，则x = ． 解析：本题中给出了2阶行列式定义，让考生根据定义规定的运算法则，从1111x x x x +--+6=中，提炼出一元二次方程()()()()11116x x x x ++---=，化简、整理，得224,x x =∴=答案：例6:解关于x 的方程：(a 2－b 2)x 2－4abx ＝a 2－b 2．解：(1)当a 2－b 2＝0，即｜a ｜＝｜b ｜时，方程为－4abx ＝0． 当a ＝b ＝0时，x 为任意实数．当｜a ｜＝｜b ｜≠0时，x ＝0．(2)当a 2－b 2≠0，即a ＋b ≠0且a －b ≠0时，方程为一元二次方程． 分解因式，得［(a ＋b )x ＋(a －b )］［(a －b )x －(a ＋b )］＝0， ∵a ＋b ≠0且a －b ≠0，∴x 1＝b a a b +-，x 2＝ba ba -+． 说明：解字母系数的方程，要注意二次项系数等于零和不等于零的不同情况分别求解．本题实际上是分三种情况，即①a ＝b ＝0；②｜a ｜＝｜b ｜≠0；③｜a ｜≠｜b ｜．例7:已知x 2－xy －2y 2＝0，且x ≠0，y ≠0，求代数式22225252y xy x y xy x ++--的值．剖析：要求代数式的值，只要求出x 、y 的值即可，但从已知条件中显然不能求出，要求代数式的分子、分母是关于x 、y 的二次齐次式，所以知道x 与y 的比值也可．由已知x 2－xy －2y 2＝0因式分解即可得x 与y 的比值．解：由x 2－xy －2y 2＝0，得(x －2y )(x ＋y )＝0，∴x －2y ＝0或x ＋y ＝0，∴x ＝2y 或x ＝－y ．当x ＝2y 时，135y 13y 5y 5y y 22)y 2(y 5y y 22)y 2(y 5xy 2x y 5xy 2x 2222222222-=-=+⋅⋅+-⋅⋅-=++--．当x ＝－y 时，21y4y 2y 5y )y (2)y (y 5y )y (2)y (y 5xy 2x y 5xy 2x 222222222-=-=+⋅-⋅+--⋅-⋅--=++--2． 说明：因式分解法体现了“降次”“化归”的数学思想方法，它不仅可用来解一元二次方程，而且在解一元高次方程、二元二次方程组及有关代数式的计算、证明中也有着广泛的 应用．例8 解方程(x 2－1)2－5(x 2－1)＋4＝0解 我们可以将x 2－1视为一个整体，然后设x 2－1＝y ，则y 2＝(x 2－1)2，原方程化为y 2－5y ＋4＝0，解此方程，得y 1＝1，y 2＝4．当y ＝1时，x 2－1＝1，x 2＝2，∴x ＝±2． 当y ＝4时，x 2－1＝4，x 2＝5，∴x ＝±5．∴原方程的解为x 1＝－2，x 2＝2，x 3＝－5，x 4＝5．以上方法就叫换元法，达到了降次的目的，体现了转化的思想．(1)运用上述方法解方程：x 4－3x 2－4＝0．(2)既然可以将x 2－1看作一个整体，你能直接运用因式分解法解这个方程吗 热身练习1.方程x 2－2x －3=0的根是 x 1＝3，x 2＝-1． ． 2．如果a 2－5ab －14b 2=0，则bba 532+= 17/5或-1/5 . 解析：∵a 2—5ab —14b 2＝0，∴（a —7b ）（a +2b ）＝0，∴ a ＝7b 或a ＝—2b ．∴23172315555a b a b bb ++==-或 3．用因式分解法解下列方程（1）0432=--x x （2）0672=+-x x （3）0542=-+x x 解（1）∵x 2-3x-4=（x-4）（x+1） ∴（x-4）（x+1）=0∴x-4=0或x+1=0 ∴x 1=4，x 2=-1（2）∵x 2-7x+6=（x-6）（x-1） ∴（x-6）（x-1）=0∴x-6=0或x-1=0 ∴x 1=6，x 2=1 （3）∵x 2+4x-5=（x+5）（x-1） ∴（x+5）（x-1）=0∴x+5=0或x-1=0 ∴x 1=-5，x 2=1 4．适当的方法解方程:9x(x ＋4)=7(x ＋4)022=--x x05922=--x x5．解关于x 的方程：(1)x 2－4ax ＋3a 2＝1－2a ；(2)x 2＋5x ＋k 2＝2kx ＋5k ＋6；(3)x 2－2mx －8m 2＝0； (4)x 2＋(2m ＋1)x ＋m 2＋m ＝0．解答 (1)x 2－4ax ＋4a 2＝a 2－2a ＋1，(x －2a )2＝(a －1)2，∴x －2a ＝±(a －1)， ∴x 1＝3a －1，x 2＝a ＋1．(2)x 2＋(5－2k )x ＋k 2－5k －6＝0，x 2＋(5－2k )x ＋(k ＋1)(k －6)＝0， ［x －(k ＋1)］［x －(k －6)＝0， ∴x 1＝k ＋1，x 2＝(k －6)．(3)x 2－2mx ＋m 2＝9m 2，(x －m )2＝(3m )2∴x 1＝4m ，x 2＝－2m(4)x 2＋(2m ＋1)x ＋m (m ＋1)＝0，(x ＋m )［x ＋(m ＋1)］＝0，∴x 1＝－m ，x 2＝－m －16．已知x 2＋3xy －4y 2＝0(y ≠0)，试求yx yx +-的值． 解(x ＋4y )(x －y )＝0，x ＝－4y 或x ＝y当x ＝－4y 时，y x y x +-＝3544=+---y y y y ；当x ＝y 时，y x y x +-＝yy yy +-＝0．7．已知(x 2＋y 2)(x 2－1＋y 2)－12＝0．求x 2＋y 2的值．解 (x 2＋y 2)(x 2＋y 2－1)－12＝0，(x 2＋y 2)2－(x 2＋y 2)－12＝0， (x 2＋y 2－4)(x 2＋y 2＋3)＝0，∴x 2＋y 2＝4或x 2＋y 2＝－3(舍去) 五．解方程（1） ()()24222=-+•+x x x x （2）062=--x x解：（1）（x 2+ x ）（ x 2+ x —2）＝24，整理得 （x 2+ x ）2—2（x 2 + x ）—24＝0，∴（x 2+ x —6）（ x 2+ x +4）=0．∴x 2+ x —6＝0．x 2+ x +4＝0由x 2+ x —6＝0得x 1＝-3，x 2＝2． 方程x 2+ x +4＝0无解． ∴原方程的根是x ＝-3或x ＝2．（2）062=--x x ，即062=--x x ，解得x ＝3或x ＝-2（舍去），x 1＝3，x 2＝-3．∴原方程的根是x ＝3或x ＝-3． 自我测试1. 已知：关于x 的方程()1222-=--x ax x a 是一元二次方程，求a ≠3 。
沪教版八年级数学上册,一元二次方程的解法
一元二次方程的解法1、开平方法2、配方法步骤：（1）通过移项、两边同除以二次项的系数，将原方程变形为q px x =+2（p ，q 是已知数）的形式。
（2）通过方程两边同加上“一次项系数一半的平方”，将方程q px x =+2的左边配成一个关于x 的完全平方式，方程化为 qp p x +⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛+2222 （3）当022≥+⎪⎭⎫ ⎝⎛q p 时再利用开平方法解方程；当022<+⎪⎭⎫ ⎝⎛q p 时，原方程无实数根。
重点：一元二次方程的四种解法。
难点：选择恰当的方式解一元二次方程。
1、家里又脏又乱，怎样才能在最短时间内弄干净？ 答案：2、老高骑自行车骑了十公里，但周围的景物始终没有变化。
为什么？ 答案：3、你在一年半的时间都不会说话，这段时间你在干什么？ 答案：4、小胖在从图书馆回家的计程车上睡着了。
突然他一觉醒来，发现前座的司机先生不见了，而车子却仍然在往前进，为什么？ 答案：例1：解方程：(1)(2x-1) 2=5 (2)x 2+6x+9=2 (3)x 2-2x+4=-1分析：很清楚，x 2+4x+4是一个完全平方公式，那么原方程就转化为（x+2）2=1． 解：例2．市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10m 2提高到14.4m ，求每年人均住房面积增长率．分析：设每年人均住房面积增长率为x ．•解：例3． 如图，在△ABC 中，∠B=90°，点P 从点B 开始，沿AB 边向点B 以1cm/s•的速度移动，点Q 从点B 开始，沿BC 边向点C 以2cm/s 的速度移动，如果AB=6cm ，BC=12cm ，•P 、Q 都从B 点同时出发，几秒后△PBQ 的面积等于8cm 2？BCA Q P解： 设x 秒后△PBQ 的面积等于8cm 2则PB=x ，BQ=2x依题意，得：12x ·2x=8 x 2=8根据平方根的意义，得x=±即x 1，x 2可以验证，和都是方程12x ·2x=8的两根，但是移动时间不能是负值． 所以秒后△PBQ 的面积等于8cm 2．例4．某公司一月份营业额为1万元，第一季度总营业额为3.31万元，求该公司二、三月份营业额平均增长率是多少？分析：设该公司二、三月份营业额平均增长率为x ，•那么二月份的营业额就应该是（1+x ），三月份的营业额是在二月份的基础上再增长的，应是（1+x ）2．解：设该公司二、三月份营业额平均增长率为x ．那么1+（1+x ）+（1+x ）2=3.31把（1+x ）当成一个数，配方得：（1+x+12）2=2.56，即（x+32）2=2．56 x+32=±1.6，即x+32=1.6，x+32=-1.6 方程的根为x 1=10%，x 2=-3.1因为增长率为正数，所以该公司二、三月份营业额平均增长率为10%．例5．用配方法解下列关于x 的方程（1）x 2-8x+1=0 （2）x 2-2x-12=0 分析：解：例6．如图，在Rt △ACB 中，∠C=90°，AC=8m ，CB=6m ，点P 、Q 同时由A ，B•两点出发分别沿AC 、BC 方向向点C 匀速移动，它们的速度都是1m/s ，•几秒后△PCQ•的面积为Rt △ACB 面积的一半．B C AQ P分析：设x 秒后△PCQ 的面积为Rt △ABC 面积的一半，△PCQ 也是直角三角形．•根据已知列出等式．解：设x 秒后△PCQ 的面积为Rt △ACB 面积的一半．根据题意，得：12（8-x ）（6-x ）=12×12×8×6 整理，得：x 2-14x+24=0（x-7）2=25即x 1=12，x 2=2x 1=12，x 2=2都是原方程的根，但x 1=12不合题意，舍去．所以2秒后△PCQ 的面积为Rt △ACB 面积的一半．例7．解下列方程（1）2x 2+1=3x （2）3x 2-6x+4=0 （3）（1+x ）2+2（1+x ）-4=0分析：解：例8．用配方法解方程（6x+7）2（3x+4）（x+1）=6分析：因为如果展开（6x+7）2，那么方程就变得很复杂，如果把（6x+7）看为一个数y ，那么（6x+7）2=y 2，其它的3x+4=12（6x+7）+12，x+1=16（6x+7）-16，因此，方程就转化为y•的方程，像这样的转化，我们把它称为换元法．解：设6x+7=y则3x+4=12y+12，x+1=16y-16依题意，得：y 2（12y+12）（16y-16）=6 去分母，得：y 2（y+1）（y-1）=72y 2（y 2-1）=72， y 4-y 2=72（y2-12）2=2894y2-12=±172y2=9或y2=-8（舍）∴y=±3当y=3时，6x+7=3 6x=-4 x=-2 3当y=-3时，6x+7=-3 6x=-10 x=-5 3所以，原方程的根为x1=-23，x2=-53例9. 求证:无论y取何值时,代数式-3 y2+8y-6恒小于0.解：一、选择题1．若x2-4x+p=（x+q）2，那么p、q的值分别是（）．A．p=4，q=2 B．p=4，q=-2 C．p=-4，q=2 D．p=-4，q=-22．方程3x2+9=0的根为（）．A．3 B．-3 C．±3 D．无实数根3．已知x2+y2+z2-2x+4y-6z+14=0，则x+y+z的值是（）．A．1 B．2 C．-1 D．-24．将二次三项式x2-4x+1配方后得（）．A．（x-2）2+3 B．（x-2）2-3 C．（x+2）2+3 D．（x+2）2-35．用配方法解方程x2+4x=10的根为（）A．210B．-214C．10D．106．不论x、y为什么实数，代数式x2+y2+2x-4y+7的值（）A．总不小于2 B．总不小于7C．可为任何实数D．可能为负数二、填空题1．若8x2-16=0，则x的值是_________．2．如果方程2（x-3）2=72，那么，这个一元二次方程的两根是________．3．已知（x+y）（x+y+2）-8=0，求x+y的值，若设x+y=z，则原方程可变为_______，所以求出z的值即为x+y的值，所以x+y的值为______．4．如果x2+4x-5=0，则x=_______．5．无论x、y取任何实数，多项式x2+y2-2x-4y+16的值总是_______数．三、综合提高题1．解关于x的方程（x+m）2=n．2．某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长25m），•另三边用木栏围成，木栏长40m．（1）鸡场的面积能达到180m2吗？能达到200m吗？（2）鸡场的面积能达到210m2吗？一、选择题1．配方法解方程2x2-43x-2=0应把它先变形为（）．A．（x-13）2=89B．（x-23）2=0 C．（x-13）2=89D．（x-13）2=1092．下列方程中，一定有实数解的是（）．A．x2+1=0 B．（2x+1）2=0 C．（2x+1）2+3=0 D．（12x-a）2=a3．用配方法解方程x2-23x+1=0正确的解法是（）．A．（x-13）2=89，x=13±23B．（x-13）2=-89，原方程无解C．（x-23）2=59，x1=235x225D．（x-23）2=1，x1=53，x2=-134．已知x2-8x+15=0，左边化成含有x的完全平方形式，其中正确的是（）．A．x2-8x+（-4）2=31 B．x2-8x+（-4）2=1C．x2+8x+42=1 D．x2-4x+4=-115．如果mx2+2（3-2m）x+3m-2=0（m≠0）的左边是一个关于x的完全平方式，则m等于（）．A．1 B．-1 C．1或9 D．-1或9二、填空题1．方程x 2+4x-5=0的解是________．2．代数式2221x x x ---的值为0，则x 的值为________． 3．如果a 、b 为实数，满足34a ++b 2-12b+36=0，那么ab 的值是_______．4．如果16（x-y ）2+40（x-y ）+25=0，那么x 与y 的关系是________．三、综合提高题1．用配方法解方程．（1）9y 2-18y-4=0 （2）x 2+3=23x2．已知三角形两边长分别为2和4，第三边是方程x 2-4x+3=0的解，求这个三角形的周长．3．如果x 2-4x+y 2+6y+2z ++13=0，求（xy ）z 的值．4．已知：x 2+4x+y 2-6y+13=0，求222x y x y -+的值．一、选择题1．将二次三项式4x 2－4x+1配方后得（ ）A ．（2x －2）2+3B ．（2x －2）2－3C ．（2x+2）2D ．（x+2）2－32．已知x 2－8x+15=0，左边化成含有x 的完全平方形式，其中正确的是（ ）A ．x 2－8x+（－4）2=31B ．x 2－8x+（－4）2=1C ．x 2+8x+42=1D ．x 2－4x+4=－113．已知m 是方程210x x --=的一个根，则代数式222m m -的值等于( )A ．-1B ．0C ．1D ．24．若1x ，2x 是方程24x =的两根，则12x x +的值是 ( )A ．8B ． 4C ．2D ．05．若a 为方程式2(100x =的一根，b 为方程式2(4)17y -=的一根，且a 、b 都是正数，则a b -之值为何?( )A ．5B ．6CD ．10-6．若x 2+6x+m 2是一个完全平方式，则m 的值是（ ）A ．3B ．-3C ．±3D ．以上都不对7．用配方法将二次三项式a 2-4a+5变形，结果是（ ）A ．（a-2）2+1B ．（a+2）2-1C ．（a+2）2+1D ．（a-2）2-18．把方程x+3=4x 配方，得（ ）A ．（x-2）2=7B ．（x+2）2=21C ．（x-2）2=1D ．（x+2）2=2二、填空题1．已知关于x 的方程x 2-4x-p 2+2p+2＝0的一个根为p ，则p ＝________．2．方程2(12)16x -=的解为___ _____．2．将二次三项式2x 2-3x-5进行配方，其结果为_________．3．已知4x 2-ax+1可变为（2x-b ）2的形式，则ab=_______．4．将一元二次方程x 2-2x-4=0用配方法化成（x+a ）2=b 的形式为_______，•所以方程的根为_________．三、解答题1．方程2(2)(1)310m m x m x m --+++-=．(1)如果是关于x 的一元二次方程，试确定m 的值，并指出二次项系数、一次项系数及常数项；(2)如果是关于x 的一元一次方程，试确定m 的值．2. 用直接开平方法解下列方程．(1)2160x -=； (2)2(2)9x -=．3．用配方法解下列方程：（1）3x 2-5x=2． （2）x 2+8x=94.用配方法求解下列问题（1）求2x 2-7x+2的最小值 ；（2）求-3x 2+5x+1的最大值。
沪教版(五四学制)八上：1一元二次方程的解法——因式分解法课件
课堂小结
1.通过因式分解，把一元二次方程化成两个一 次因式的积等于零的情势，从而把解一元二次 方程的问题转化为解一元一次方程的问题，像 这样解一元二次方程的方法叫做因式分解法.
2.当一个一元二次方程的一边是零，而另一边 的二次式易于分解成两个一次因式时，可用因 式分解法解这个一元二次方程.
练习1（口答）说出下列方程的根
（1）x(x 7) 0
（2）(x 3)( x 2) 0
（3）(5x 1)(2x 2) 0
x1
1 5
,
x2
2 2
（4）(x a)(x b) 0
x1 a, x2 b
通过因式分解，把一元二次方程 化成两个一次因式的积等于零的 情势，从而把解一元二次方程的 问题转化为解一元一次方程的问 题，像这样解一元二次方程的方 法叫做因式分解法.
拓展研究 （1）试一试，请写出一个一元二次 方程，使它的两根为3，-2.
（2）利用因式分解法解方程 7x(x 3) 2(x ）/1、2(1)-(6)
练习2 解下列方程
解 ：
练习3 用因式分解法解下列方程： （1）x2 8x 12 0
（2）x2 6x 9 0
在什么情况下，可采用因式分解法解一元二次方程？
当一个一元二次方程的一边是零，而另一边的二次 式易于分解成两个一次因式时，可用因式分解法解这 个一元二次方程.
练习4 用因式分解法解下列方程：
17.2（2）特殊的一元二次方程的解法
----因式分解法
试一试 通过视察，你能直接得出下列方程的根吗?
你能运用数学知识来说明你的答案的正确性吗？
如果两个数的积等于零，那么这两个 数中至少有一个是零；
一元二次方程的解法和应用(沪教版)
一元二次方程的解法和应用一、知识点归纳1、直接开平方法如果一元二次方程的一边含有未知数的代数式的平方，另一边是另一个非负数的常数，那么就可以直接开平方法求解。
适用于（(x+h)2=k(k0)的形式的求解。
2、因式分解法因式分解法的理论依据：若两个因子的积等于零，则两个因式中至少为零，将一元二次方程分解成A·B=0，则A=0或B=0.3、配方法理论依据：(a2±2ab+b2)=(a±b)24、一元二次方程的求根公式一般地，对于一元二次方程ax2+bX+c=0(a≠0)，当b2−4ac≥0时，它的解是x=−b±√b2−4ac（b2−4ac≥0）,这个公式叫做一元二次方程的求根公式。
又称公式法。
2a5、数学思想的灵活运用，如整体思想，换元法，十字相乘法的掌握。
二、典型例题1、用直接开平方法解下列方程：（1）X2−9=0（2）4(X−2)2−36=02、用因式分解法解下列方程：（1）13X=X2+36（2）Y2−(√3+√2)Y+√6=03、用配方法解下列方程：（1）X2−4X=1（2）3X2−6X−8=04、用公式法解下列方程：（1）3X2+5X−2=0（2）2X2−2√3X−√3=√3X2+25、整体法的应用求方程3(X+1)2+5(X+1)(X−4)+2(X−4)2=0的根三、同步练习（一）填空题1、将方程2X2−3X+1=0化为(X+m)2=n的形式。
2、如果X2−mX+4是一个完全平方公式，则m= 。
（二）选择题1、方程X2+X−1=0的一个根是（）A.1-√5B.1−√52C.−1+√5 D.−1+√522、若X=-2是关于X的一元二次方程X2−52aX+a2=0的一个根。
则a的值为（）A.1或4 B.-1或-4 C. -1或4 D. 1或-4（三）计算题1、运用适当方法求下列方程的解。
（1）3X2−5X−2=0（2）√6(1−y2)=y （3）X2−14X+100=51（4）√2X2+4√3X=2√2（5）mX2+(4m+1)X+4m+2=0（四）解答题1、解关于X的方程：X2−2kX−2=02、关于X的方程(2X−m)(mX+1)=(3X+1)(mX−1)有一个根为零，求m的值并求出另一个根。
专题17.5 一元二次方程的解法(2)(知识讲解)-2020-2021学年八年级数学(沪科版)
专题17.5 一元二次方程的解法（2）（知识讲解）【学习目标】1. 理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，能熟练应用公式法解一元二次方程；2. 正确理解因式分解法的实质，熟练运用因式分解法解一元二次方程；3. 通过求根公式的推导，培养学生数学推理的严密性及严谨性，渗透分类的思想．【要点梳理】要点一、公式法解一元二次方程1.一元二次方程的求根公式一元二次方程，当时，.2.一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式：．①当时，原方程有两个不等的实数根；②当时，原方程有两个相等的实数根；③当时，原方程没有实数根.3.用公式法解一元二次方程的步骤用公式法解关于x的一元二次方程的步骤：①把一元二次方程化为一般形式；②确定a、b、c的值（要注意符号）；③求出的值；④若，则利用公式求出原方程的解；若，则原方程无实根.要点诠释：（1）虽然所有的一元二次方程都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选择.（2）一元二次方程，用配方法将其变形为：.①当时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实根：.② 当时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根：.③ 当时，右端是负数．因此，方程没有实根.要点二、因式分解法解一元二次方程1.用因式分解法解一元二次方程的步骤（1）将方程右边化为0；（2）将方程左边分解为两个一次式的积；（3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.2.常用的因式分解法提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等. 要点诠释：（1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的积；（2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；（3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式.【典型例题】类型一、公式法解一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠2224()24b b ac x a a -+=240b ac ∆=->1,22b x a -±=240b ac ∆=-=1,22b x a =-240b ac ∆=-<1 用公式法解方程：22310x x +-=．【答案】1x =，2x = 【分析】直接代入公式求解即可．解：∵22310x x +-=中a=2,b=3,c=-1,==∵134x -=， 234x --= 【总结升华】用公式法解一元二次方程的关键是对a 、b 、c 的确定．用这种方法解一元二次方程的步骤是：(1)把方程化为一元二次方程的一般形式；(2)确定a ，b ，c 的值并计算的值；(3)若是非负数，用公式法求解．举一反三：【变式】用公式法解方程：x 2﹣3x ﹣2=0．【答案】解：∵a=1，b=﹣3，c=﹣2；∵b 2﹣4ac=（﹣3）2﹣4×1×（﹣2）=9+8=17；∵x==， ∵x 1=，x 2=． 2．解方程：2320x x +-=．【答案】1233,22x x -+--== 【分析】先计算判别式的值，然后利用求根公式法解方程.解：()2341217,=-⨯⨯-= 24b ac -24b ac -x =所以12x x ==【总结升华】首先把每个方程化成一般形式，确定出a 、b 、c 的值，在的前提下，代入求根公式可求出方程的根．举一反三：【变式】用公式法解下列方程： ；【答案】解：移项，得．∵ ，，，，∴∴．类型二、因式分解法解一元二次方程3．解方程：（1）24120x x +-=． （2）()()2454x x +=+．【答案】（1）12x =，26x =-；（2）11x =，24x =-．【分析】（1）利用因式分解法求解即可；（2）利用因式分解法求解即可．解：（1）∵24120x x +-=，∵()()260x x -+=，则20x -=或60x +=，解得12x =，26x =-．（2）∵()()2454x x +-+，240b ac -≥2221x x +=22210x x +-=2a =2b =1c =-224242(1)120b ac -=-⨯⨯-=>222x -==⨯1x =2x =∵()()410x x +-=，则40x +=或10x -=，解得11x =，24x =-．【总结升华】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．4．解下列一元二次方程：(1)(2x+1)2+4(2x+1)+4＝0； (2)． 【答案与解析】(1)(2x+1)2+4(2x+1)+4＝0，(2x+1+2)2＝0．即，∴ ． (2) 移项，得(3x-1)(x-1)-(4x+1)(x-1)＝0，即(x-1)(x+2)＝0，所以，．【总结升华】解一元二次方程时，一定要先从整体上分析，选择适当的解法．如 (1)可以用完全平方公式．用含未知数的整式去除方程两边时，很可能导致方程丢根，（2）容易丢掉x ＝1这个根．举一反三：【变式】（1）（x+8）2-5(x+8)+6=0（2） 【答案】（1）（x+8-2）(x+8-3)=0(x+6)(x+5)=0X 1=-6,x 2=-5.(2)3x(2x+1)-2(2x+1)=0(2x+1)(3x-2)=0. (31)(1)(41)(1)x x x x --=+-2(23)0x +=1232x x ==-11x =22x =-3(21)42x x x +=+1212,23x x =-=类型三、用适当方法解一元二次方程5．解下列方程（1）2280x x +-=； （2）（2y ＋1）2－25＝0；（3）24430t t --=； （4）2（m ＋3）＝m 2－9 ．【答案】（1）x 1＝－4，x 2＝2；（2）y 1＝2，y 2＝－3；（3）t 1＝32，t 2＝12-；（4）m 1＝－3，m 2＝5解：（1）x 2+2x -8＝0，（x +4）（x -2）＝0，则x +4＝0或x -2＝0，解得x ＝-4或x ＝2(2) （2y ＋1）2－25＝0；(2y+1)2=25，∵2y+1=±5，∵y 1=2,y 2=-3；(3)24430t t --=；4t 2−4t=3，4t 2−4t+1=3 +1，(2t−1)2= 4，∵2t−1= ± 2，∵t 1=32 , t 2=12- （4）2（m ＋3）＝m 2－92（m ＋3）-（m ＋3）（m -3）＝0（m ＋3）(2-m+3)=0∵m+3=0或5−m=0，∵m 1=-3, m 2=5．【点睛】此题考查解一元二次方程-直接开平方法，解一元二次方程-配方法，解一元二次方程-因式分解法，解题关键在于掌握运算法则．44．解方程（1）2420x x -+= （2）()255210x x ++= （3）2560x x -+= （4）()3133x x x +=+【答案】（1）1222x x ==（2）121x x ==-；（3）1232x x ==，；（4）1211x x =-=，解：（1）2420x x -+=，移项得：242x x -=-，配方得：24424x x -+=-+，即2(2)2x -=，开方得：2x -=，解得：1222x x ==（2）()255210x x ++=，整理得：2210x x ++=，即2(1)0x +=，∵121x x ==-；（3）2560x x -+=，因式分解得：()()320x x --=，∵30x -=，20x -=，∵1232x x ==，；（4）()3133x x x +=+，整理得：()()110x x x +-+=，因式分解得：()()110x x +-=，∵10x +=，10x -=，∵1211x x =-=，． 【点拨】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．。
沪教版八年级数学-一元二次方程的解法(2)-教师
一元二次方程的解法（2）知识精要1．一元二次方程的一般形式02=++c bx ax （a ，b ，c 是常数，0≠a ） 2．一元二次方程的解法 （1）直接开平方法； （2）因式分解法；（3）配方法；解方程()002≠=++a c bx ax 的一般步骤是：a 、通过移项、两边同除以二次项的系数，将原方程变形为q px x =+2（p 、q 是已知数）的形式；b 、通过方程两边同加上“一次项系数一半的平方”，将方程q px x =+2的左边配成一个关于x 的完全平方式，方程化为q p p x +⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛+2222；c 、当022≥+⎪⎭⎫ ⎝⎛q p 时，再利用开平方法解方程；当022<+⎪⎭⎫⎝⎛q p 时，原方程无实数根。
（4）公式法：一元二次方程的求根公式是aac b b x 242-±-=（042≥-ac b ）精解名题例1：用适当的方法解方程：（1）()()137122+=--x x （2）()()5412=-+x x （3）()()02333222=+---x x（4）()5322=+-x x （5）03322=++x x解：（1）（2x-1）2-7=3（x+1）整理，得4x 2-7x-9=0，因为a=4，b=-7，c=-9．所以78=．即x 1，x 2 （2）（2x+1）（x-4）=5，整理，得2x 2-7x-9=0， （x+1）（2x-9）=0，即x+1=0或2x-9=0，所以x 1=-1，x 2=92． （3）设x 2-3=y ，则原方程可化为y 2+3y+2=0． 解这个方程，得y 1=-1，y 2=-2．当y 1=-1时，x 2-3=-1．x 2=2，x 1=2，x 2=-2．当y 2=-2时，x 2-3=-2，x 2=1，x 3=1，x 4=-1．(4) 解：9-6x+x 2+x 2=5 (5)解：(x+3)2=0 x 2-3x+2=0 x+3=0 (x-1)(x-2)=0 x 1=x 2= -3 x 1=1 x 2=2例2：已知关于x 的一元二次方程22(1)30m x mx m -+--=有一根是1，求m 的值.解:由题意2(1)30m m m -+--= 整理得240m -= 得2m =±210,1m m -≠≠±Q . 2m ∴=±例3：已知三角形的边长1和2，第三边长为20.090.210.10y y -+=的根，求这个三角形的周长.解:将方程20.090.210.10y y -+=整理得2921100y y -+= 变形为(32)(35)0y y --=可得 320350y y -=-=或 解得 2533y y ==或 当23y =时，21+23< 所以不成立 当53y =时，51+23>，符合要求 所以，三角形的周长为5141233++=.例4. 已知x 为实数，且22(2)(21)6x x x x --+=，求x 的值.解:原方程可变形为222(2)(2)60x x x x -+--= 即22(23)(22)0x x x x -+--= 可得22230220x x x x -+=--=或当2230x x -+=时 =4-12<0∆ 所以方程没有实数根 当2220x x --=时 =4+8=12∆ 所以212132x ±==± 所以x 的值为13±例5. 如果1x ，2x 是一元二次方程20ax bx c ++=的两根，那么有1212,b cx x x x a a +=-=.这是一元二次方程根与系数的关系，我们利用它可以用来解题:设12,x x 是方程2630x x +-=的两根，求2212x x +的值.解法可以这样：126,x x +=-Q 123,x x =-则222212112()2x x x x x x +=+-=2(6)2(3)42--⨯-=. 请你根据以上解法解答下题：已知12,x x 是方程2420x x -+=的两根，求： （1）1211x x +的值；（2）212()x x -的值. 解：12124,2x x x x +==Q（1）12121211422x x x x x x ++=== （2）222121212()()44428x x x x x x -=+-=-⨯=例6、设a 是方程0120062=+-x x 的一个根，求代数式20061200722++-a a a 的值．1-2007-2=a a -a ，=+12a 2006a 原式= -1备选例题例7、设a 、b 是方程020102=-+x x 的两实数根，求b a a ++22的值。
八年级数学一元二次方程解法及其运用上海科技版知识精讲
初二数学一元二次方程解法及其运用某某科技版【本讲教育信息】一. 教学内容：一元二次方程解法及其运用二. 本章学习目标：1. 了解一元二次方程的有关概念．2. 能灵活运用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程．3. 会根据根的判别式判断一元二次方程的根的情况．4. 通过复习深入理解方程思想、转化思想、分类讨论思想、整体思想，并会应用；5. 进一步培养分析问题、解决问题的能力．三. 知识要点回顾：1. 方程中只含有未知数，并且未知数的最高次数是，这样的方程叫做一元二次方程．通常可写成如下的一般形式：________________（）其中二次项系数是、一次项系数是、常数项是．（一个、2、等式、ax 2＋bx ＋c ＝0、（a ≠0）、a 、b 、c ） 例如：一元二次方程7x －3=2x 2化成一般形式是___________________其中二次项系数是、一次项系数是常数项是 ． （2x 2－7x+3=0，2，－7，3） 2. 解一元二次方程的一般解法有 （1）_________________ （2）（3） （4）求根公式法，求根公式是________________（直接开方法、配方法、因式分解法2b x a-±=（240b ac -≥））3. 一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根的判别式是_____________，当_____________时，它有两个不相等的实数根；当_____________时，它有两个相等的实数根；当_____________________时，它没有实数根．（△=b 2－4ac ，当240b ac ->时，方程有两个不相等的实数根； 当240b ac -=时，方程有两个相等的实数根； 当240b ac -<时，方程没有实数根．）例如：不解方程，判断下列方程根的情况： （1）x （5x+21）=20 （2）x 2+9=6x （3）x 2 —3x = —5 答案：（1）方程有两个不相等的实数根 （2）方程有两个相等的实数根 （3）方程没有实数根4. 一元二次方程的应用【典型例题】例1：用多种方法解方程22(31)69x x x -=++解法1：将方程化为22(31)(3)x x -=+，直接开平方，得31(3)x x -=±+ 解得12x =，212x =-． 解法2：将方程化为一般形式22320x x --=，进而转化为23102x x --=，用配方法可求方程的解．解法3：将方程化为一般形式22320x x --=，用公式法求解，其中224(3)42(2)25b ac -=--⨯⨯-=．例2. 用适当的方法解下列方程：分析：我们学习了四种一元二次方程的解法，对于很多方程来说适用的方法不止一种，在解题中要仔细分析题目，寻找最适合的方法． 解：（1）直接开方法：535x 2=，253x 2=，53x ±=53x 53x 21-==∴ （2）直接开方法：181)-x 2=（231x ±=-231x 21±=∴、 因式分解法：[][]231x 231x 023)1x (023)1x (023)1x (23)1x (0)23()1x (2122+=-=∴=--=+-=--⋅+-=--或（3）公式法：025165114)56(4ac b 22>=⨯⨯--=-122516)56(x ⨯±--=1254)56(x ⨯±--=51x 1x 21==∴配方法：222)53(51)53(x 56x +-=+-254)53(x 56x 22=+-254)53x (2=- 5253x ±=-51x 1x 21==∴例3.某电脑公司2001年的各项经营中，一月份的营业额为200万元，一月、二月、三月的营业额共950万元，如果平均每月营业额的增长率相同，求这个增长率．分析：设这个增长率为x ，由一月份的营业额就可列出用x 表示的二、三月份的营业额，又由三月份的总营业额列出等量关系． 解：设平均增长率为x则200+200（1+x ）+200（1+x ）2=950 整理，得：x 2+3x －1.75=0 解得：x=50%答：所求的增长率为50%．例4. 某商场礼品柜台春节期间购进甲、乙两种贺年卡，甲种贺年卡平均每天可售出500X ，每X 盈利0.3元，乙种贺年卡平均每天可售出200X ，每X 盈利0.75元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，如果甲种贺年卡的售价每降价0.1元，那么商场平均每天可多售出100X ；如果乙种贺年卡的售价每降价0.25元，那么商场平均每天可多售出34X ．如果商场要想每种贺年卡平均每天盈利120元，那么哪种贺年卡每X 降价的绝对量大．分析：原来，两种贺年卡平均每天的盈利一样多，都是150元；0.30.751000.10.2534=≈，从这些数目看，好象两种贺年卡每X 降价的绝对量一样大，下面我们就通过解题来说明这个问题． 解：（1）从“复习引入”中，我们可知，商场要想平均每天盈利120元，甲种贺年卡应降价0.1元．（2）乙种贺年卡：设每X 乙种贺年卡应降价y 元， 则：（0.75－y ）（200+0.25y×34）=120 即（34－y ）（200+136y ）=120 整理：得68y 2+49y －15=0∴y ≈－0.98（不符题意，应舍去） y ≈答：乙种贺年卡每X 降价的绝对量大．例5. 如图，一块长和宽分别为60厘米和40厘米的长方形铁皮，要在它的四角截去四个相等的小正方形，折成一个无盖的长方体水槽，使它的底面积为800平方米．求截去正方形的边长．解：设截去正方形的边长为x 厘米，底面（图中虚线部分）长等于厘米，宽等于 厘米，S 底面= ．点拨：请同学们能够首先分析题目的条件和结论，找到等量关系． 解：设截去正方形的边长为x 厘米，根据题意，得 （60－2x ）（40－2x ）＝800解方程得110x =，240x =，经检验，240x =不符合题意，应舍去，符合题意的解是110x = 答：截去正方形的边长为10厘米．（60－2x ，40－2x ，（60－2x ）（40－2x ） ）例6. 如图，要设计一本书的封面，封面长27cm ，宽21cm ，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度（精确到0.1cm ）？九 年级 练数 学 习同步分析：依据题意知：中央矩形的长宽之比等于封面的长宽之比＝9：7，•由此可以判定：上下边衬宽与左右边衬宽之比为9：7，设上、下边衬的宽均为9xcm ，•则左、右边衬的宽均为7xcm ，依题意，得：中央矩形的长为（27－18x ）cm ，宽为（21－14x ）cm ． 因为四周的彩色边衬所占面积是封面面积的14，则中央矩形的面积是封面面积的34．所以（27－18x ）（21－14x ）=34×27×21 整理，得：16x 2－48x+9=0 解方程，得：x=6334±， x 1≈2.8cm ，x 2所以：9x 1=25.2cm （舍去），9x 2=1.8cm ，7x 2因此，上下边衬的宽均为1.8cm ，左、右边衬的宽均为1.4cm ．例7. 某辆汽车在公路上行驶，它行驶的路程s （m ）和时间t （s ）之间的关系为： s=10t+3t 2，那么行驶200m 需要多长时间?分析：这是一个加速运动，根据已知的路程求时间，因此，只要把s=200代入求关系t 的一元二次方程即可．解：当s=200时，3t 2+10t=200，3t 2+10t －200=0解得t=203（s ） 答：行驶200m 需203s.例8.一辆汽车以20m/s 的速度行驶，司机发现前方路面有情况，•紧急刹车后汽车又滑行25m 后停车．（1）从刹车到停车用了多少时间?（2）从刹车到停车平均每秒车速减少多少?（3）刹车后汽车滑行到15m 时约用了多少时间（精确到0.1s ）? 分析：（1）刚刹车时速度还是20m/s ，以后逐渐减少，停车时速度为0．•因为刹车以后，其速度的减少都是受摩擦力而造成的，所以可以理解是匀减速的，因此，其平均速度为2002+=10m/s ，那么根据：路程=速度×时间，便可求出所求的时间． （2）很明显，刚要刹车时车速为20m/s ，停车时车速为0，车速减少值为20－0=20，因为车速减少值为20，是在从刹车到停车所用的时间内完成的，所以20除以从刹车到停车的时间即可．（3）设刹车后汽车滑行到15m 时约用了xs ．由于平均每秒减少车速已从上题求出，所以便可求出滑行到15米的车速，从而可求出刹车到滑行到15m 的平均速度，再根据：路程=速度×时间，便可求出x 的值．解：（1）从刹车到停车所用的路程是25m ；从刹车到停车的平均车速是2002+=10（m/s ） 那么从刹车到停车所用的时间是2510=2.5（s ） （2）从刹车到停车车速的减少值是20－0=20 从刹车到停车每秒平均车速减少值是202.5=8（m/s ） （3）设刹车后汽车滑行到15m 时约用了xs ，这时车速为（20－8x ）m/s则这段路程内的平均车速为=-+2)820(20x （20－4x ）m/s所以x （20－4x ）=15 整理得：4x 2－20x+15=0解方程：得 x 1≈4.08（不合，舍去），x 2≈0.9（s ）答：刹车后汽车滑行到15m 时约用0.9s ．【模拟试题】（答题时间：45分钟）一. 选择题1. 下列方程中，关于x 的一元二次方程是（ ）A. ()()12132+=+x x B. 02112=-+x xC. 02=++c bx axD. 1222-=+x x x2. 已知3是关于x 的方程012342=+-a x 的一个解，则2a 的值是（ ） A. 11B. 12C. 13D. 143. 关于x 的一元二次方程02=+k x 有实数根，则（ ） A. k ＜0B. k ＞0C. k ≥0D. k ≤04. 若12+x 与12-x 互为倒数，则实数x 为（ ） A. ±21B. ±1C. ±22D. ±25. 用配方法解关于x 的方程x 2 + px + q = 0时，此方程可变形为 （ ）A.22()24p p x +=B. 224()24p p qx -+=C.224()24p p q x +-=D.224()24p q p x --=6. 使分式2561x x x --+ 的值等于零的x 是（ ）A. 6B. －1或6C. －1D. －6 7. 方程0)2)(1(=-+x x x 的解是（ ）A. －1，2B. 1，－2C. 0，－1，2D. 0，1，－28. 某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一X 表示留念，全班共送2070X 照片，如果全班有x 名同学，根据题意，列出方程为 （ ） A. x （x ＋1）=2070B. x （x －1）=2070×2 C. x （x －1）=2070D. 2x （x ＋1）=2070二. 填空题9. 把一元二次方程4)3(2=-x 化为一般形式为：，二次项为：，一次项系数为：，常数项为：．10. 写出一个一根为2的一元二次方程______________．11. 已知方程x 2+kx+3=0 的一个根是 － 1，则k=， 另一根为．12. ++x x 32+=x (2) ．13. 直角三角形的两直角边是3︰4，而斜边的长是20㎝，那么这个三角形的面积是． 14. 若两数和为－7，积为12，则这两个数是．三. 解答题 15. 解方程 （1）x 2＝49（2）3x 2－7x ＝0 （3）0432=-+x x （用配方法） （4）（x －2）（x －5）=－2四. 一元二次方程应用 16. 阅读下面的例题：解方程022=--x x解：（1）当x ≥0时，原方程化为x 2– x –2=0，解得：x 1=2，x 2= － 1（不合题意，舍去）（2）当x ＜0时，原方程化为x 2 + x –2=0，解得：x 1=1，（不合题意，舍去）x 2= －2∴原方程的根是x 1=2， x 2= － 2（3）请参照例题解方程0112=---x x17. 某某百货大楼服装柜在销售中发现：“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“十·一”国庆节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存．经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．要想平均每天销售这种童装盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？【试题答案】一. 选择题 1. A 2. C 3. D 4. C 5. B6. A7. C8. C二. 填空题9.2650x x -+=；2x ；－6；5 10. 略 11. 4；－312.94；3213. 296cm14.－3，－4三. 解答题 15. 解方程 （1）7±（2）0，73（3）－4，1 （4）3，4四. 一元二次方程应用 16. 1，－2 17. 10或20。
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第五讲一元二次方程解法2
一、一元二次方程解法选取
1. 直接开平方法
直接开平方法的概念：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法.
（1）形如的方程.方程的解是：.当m＝0时，方程有两个相等的实数根.
（2）形如的方程.方程的解是：.
（3）形如的方程.方程的解是：.
总之，如果一元二次方程的一边是未知数的平方或者是含有未知数的代数式的平方，另一边是一个非负数，那么就可以用直接开平方法求解.
2. 因式分解法
（1）因式分解法的概念：当一元二次方程的一边为0时，将方程的另一边分解成两个一次因式的积，进而分成两个一元一次方程来求解，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法.
（2）因式分解法的理论依据是：两个因式的积等于0，则这两个因式至少有一个等于0。
用式子表示为：若，则a＝0或b＝0。
（3）用因式分解法解一元二次方程的步骤是：
①将方程化为（a≠0）的形式；
②将方程的左边分解为两个一次因式的积；
③令每个因式分别等于0，得到两个一元一次方程；
④解这两个一元一次方程，它们的解就是方程的解.
点拨：（1）分解因式常用的方法有提公因式法和运用公式法；
（2）如果一个二项式，它能够化成两个整式的平方差，就可以用平方差公式分解因式，分解成两个整式的和与差的积；
（3）等式的左边都是三项，其中两项符号为“+”，是一个整式的平方，还有一项符号可“+”可“－”，它是那两项乘积的两倍.凡具备这些特点的三项式，就是一个二项式的完全平方式，将它写成平方形式，便实现了因式分解.
3. 配方法
配方法的含义：把方程的一边化为一个完全平方式，另一边化为非负数，然后利用开平方求解的方法叫做配方法.
归纳：用配方法解一元二次方程的一般步骤是：
（1）如果一元二次方程的二次项系数不是1，就先在方程的两边同时除以二次项系数，把二次项系数化为1；
（2）把含未知数的项移到左边，常数项移到右边；
（3）然后在方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方，这样使方程的左边变成一个完全平方式，右边是一个非负数的形式；
（4）最后用直接开平方法解这个一元二次方程.
4. 公式法
（1）二次方程（a≠0）的求根公式为：
（），其中公式中的a、b、c分别是一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项.我们用求根公式法求一元二次方程解的方法叫公式法.
（2）用公式法解一元二次方程的一般步骤是：
①首先把一元二次方程化为一般形式；
②确定公式中a、b、c的值；
③求出的值；
④若≥0，则把a、b、c及的值代入求根公式即可求解.当<0时，此时方程无实数解.
说明：①求根公式是专指一元二次方程的求根公式，只有方程为一元二次方程时，方可运用求根公式，即中a≠0.②公式中的“≥0”是公式成立的一个前提条件.
例1、解下列方程
（1）（2）（3）
解：解：解：
（4）（5）(6)
解：解：解：
（7）（8）（9）
解：解：解：
练习：解下列一元二次方程：
（1）（2）（3）
解：解：解：
（4）（5）（6）
解：解：解：
（7）（8）
解：解：
二、根的判别式
求根公式：=，当>0时，根据平方根的意义，等于一个具体数，所以一元一次方程的=≠=，即有两个不相等的实根．当=0时，
根据平方根的意义=0，所以==，即有两个相等的实根；当<0时，根据平方根的意义，负数没有平方根，所以没有实数解．因此，（结论）
我们把叫做一元二次方程的根的判别式，记作；
利用根的判别式判断一元二次方程根的情况：
（1）当>0时，一元二次方程有两个不相等实数根即=，=．
（2）当=0时，一元二次方程有两个相等实数根即==．
（3）当<0时，一元二次方程没有实数根．
利用一元二次方程根的情况来判断根的判别式的符号：
当方程有两个不相等的实数根时，>0；
当方程有两个不相等的实数根时，=0；
当方程有两个不相等的实数根时，<0；
例1、不解方程，判定方程根的情况
（1）2）（3）（4）
解：解：解：解：
（5）当时，判别方程的根的情况．解：，方程有两个不相等的实数根。
（6）判别关于x的方程的根的情况．
解：，所以有两个实数根
例2、判别一元二次方程的根的情况。
解：
当，方程有两个不相等的实数根；
当时，方程有两个不相等的实数根；
当时，方程没有实数根。
例3、已知关于的方程有两个实数根，求的取值范围。
解：
例4、若关于x的一元二次方程没有实数解，求的解集（用含的式子表示）．解：
所以的解集是
小结练习
1、用判别式直接判断一元二次方程是否有实数根。
（1）（2）（3）（4）
解：解：解：解：
方程有两个不相等没有实数根两不相等的实数根没有实数根
的实数根
2、取什么值时，关于的方程
(1)有两个相等的实数根？
(2)有两个不相等的实数根？
(3)没有实数根？
解：
（1）当（2）（3）
3、取什么值时，关于的方程
(1)有两个相等的实数根？
(2)有两个不相等的实数根？
(3)没有实数根？
解：
（1）（2）（3）
4、证明：关于的一元二次方程总有两个不相等的实数根.
解：所以方程总有两个不相等的实数根。
二、一元二次方程应用（1）——二次三项式的因式分解
把二次三项式分解时，
如果，那么（其中是方程的两个实数根）；如果，那么在实数范围内不能分解。
例1、在实数范围内分解因式：
（1）（2）
==
（3）（4）
==
练习：
（1）（2）
==
（3）（4）
==
巩固练习
1、用适当的方法解下列方程：
（2）
（1）
（3）（2x-5）（x-3）＝0 （4）．
解：（1）开平方法，
（2）配方法：
（3）因式分解法：
（4）公式法：方程无解
2、m为何值时，一元二次方程
（1）有两个不相等的实数根？（2）有两个相等的实数根？（3）没有实数根？
解：
（1）（2）（3）
3、已知关于x的一元二次方程没有实数根，试判断关于x的一元二次方程
根的情况，并说明理由。
解：，所以方程没有实数根。
4、把下列各式分解因式
（1）（2）
==
（3）（4）
==
课后作业：
1、填空题：
（1）方程的根是
（2）写一个一元二次方程，使它没有实数根，这个方程可以是
（3）写一个一元二次方程，使它的两个实数根为，则这个方程是
（4）某商品连续两次涨价20%后售价为a元，则该商品的原价为（用含a的代数式表示）
（5）已知方程有一个根是-1，则k= 8 ，另一根是
（6）若，则 3 ，。
（7）若二次三项式在实数范围内可分解因式为，则一元二次方程的两个实数根为。
（8）若二次三项式在实数范围内可分解因式，则a的取值范围是。
2、解下列一元二次方程：
（1）；（2）
解：解：
（3）；（4）
解：解：
3、在实数范围内分解因式：
（1）（2）(3)
===
4、已知关于x的一元二次方程，求
（1）当m为何值时，方程有两个不相等的实数根；
（2）当m为何值时，方程有两个相等的实数根；
（3）当m为何值时，方程没有实数根。
解：
（1）（2）（3）
5、若关于x的方程没有实数根，试判断关于x的方程
的根的情况，并说明理由。
解：
当时，；当时，，方程有两个不相等的实数根。
6、已知关于x的一元二次方程，
（1）m为何值时，方程有实数根；
（2）选取一个你最喜爱的m的值，使得方程有两个不相等的实数根，并求出这两个实数根。
解：1）
（2），
7、已知a，b，c为△ABC的三边，求证：关于x的一元二次方程
有两个不相等的实数根。
证明：所以方程有两个不相等的实数根。